PowerPoint Presentation
Programov vyhlsenie fyziky
Systm, stav, zmena stavuasov vvoj
Derivcia ako rchlos zmeny
Demontrcia toho vetkho na jednoduchom obvode s kondenztoromPozn.
Niektor slajdy maj aj zvukov komentr, treba klikn na ikonu
reproduktora a spusti prehrvanieStav a jeho zmenaVeci okolo ns sa
menia
Nejak vec sa neustle men, ale zostva tou istou vecouNevstpi
dvakrt do tej istej rieky?
Fyziklny objekt a jeho stav
Stav fyziklneho objektu sa s asom men, ale ostva tm istm
fyziklnym objektom
Najjednoduch prklad je mechanick pohyb
audio 1_12Achilles a korytnakaAchilles nepredbehne
korytnaku:
km dobehne tam, kde je korytnaka teraz, korytnaka je u o ksok
alej
Ako me objekt niekde by a sasne sa aj hba?Ako me by objekt v
nejakom stave a sasne svoj stav meni?
Newton (a Leibnitz) vymyslel matematick techniku na popis
meniacich sa vec infinitezimlny poet derivcie a integrly
audio 1_23Stav a jeho asov vvojPoznanie naej (zpadnej)
civilizcie:
okamih (stav systmu) mono zaznamena a na zklade zznamu ho
zrekontruovaasov vvoj systmu je asov postupnos stavov
(okamihov)asov vvoj systmu je mon predpoveda, vychdzajc zo znalosti
poiatonho stavu. Technolgiou predpovede budcnosti s matematick
pohybov rovnice. asov vvoj hadme ako rieenie pohybovch rovnc, ktor
spa poiaton podmienku (stav na zaiatku je znmy poiaton stav)
audio:1_34StavZznam o stave:sbor hodnt relevantnch fyziklnych
velin
o to je relevantnch, to je na majstrovstve fyzika.
Ke sledujem vlak na jeho ceste do iliny, tak do zznamu o stave
vlaku v nejakom okamihu spravidla nedvam, kde sa prve nachdza hmyz
vo vagnoch.
Ale ak je ruovodi alergick na velie pichnutie, tak je dleit, kde
je vela, lebo ak ho pichne, zamdlie, nezbad semafr a vlak do iliny
nedoraz.
Ale: Nemem chcie vetko
Stav a jeho asov vvojPoznanie naej (zpadnej) civilizcie:
okamih (stav systmu) mono zaznamena a na zklade zznamu ho
zrekontruovaasov vvoj systmu je asov postupnos stavov
(okamihov)asov vvoj systmu je mon predpoveda, vychdzajc zo znalosti
poiatonho stavu. Technolgiou predpovede budcnosti s matematick
pohybov rovnice. asov vvoj hadme ako rieenie pohybovch rovnc, ktor
spa poiaton podmienku (stav na zaiatku je znmy poiaton stav)aj ke
neviem vetko, je uiton pracova s vhodne vyselektovanmi informciami,
lebo aj nepln predpovedanie budcnosti pomha prei v dungliFyzika
nepopisuje cel svet vylen nejak fyziklny systm, a analyzuje
hoZloitejie systmy sa poka popsa ako skladaku z jednoduchchStav a
jeho asov vvojLimitovan monosti popisu stavu mu ohraniova presnos
alebo dokonca monos predpovedania budcnosti
Poasie vieme predpoveda vychdzajc z momentlnych dajov o stave
atmosfry (meriame teplotu, vlhkos, tlak, vietor... na sieti
meteorologickch stanc) pribline na 10 dn dopredu. Ovea lepie to
nikdy nebude. Dlhodobejie predpovede by vyadovali nerelne hust sie
meteorologickch stanc, ale ani to by nestailo, lebo mimoatmosfrick
vplyvy (napr. priemyslov innos) tie ovplyvnia poasie v budcnosti
(efekt motlch krdel).
Astronmovia vedia predpoveda naprklad zatmenia slnka vemi presne
na vea rokov dopredu, ale i to je limitovan, dnes vbec nevieme, i v
septembri o 100 milinov rokov odteraz bude jar, leto, jese alebo
zima (teda kde bude Zem na obenej drhe okolo Slnka)
audio: 1_47Programov vyhlsenie fyzikyVybra ksok sveta ako
fyziklny systmPopsa okamit stav toho systmuNjs pohybov
rovnicePredpoveda vvoj stavu do budcnosti
Budeme demontrova tento program na jednoduchom fyziklnom systme,
ktorho stav je dan hodnotou jedinej fyziklnej veliiny, teda jedinm
slomKondenztorMme fyziklny objekt (systm), kondenztor
SKondenztorDve paraleln dosky oddelen izolantom (dielektrikom)Ak
na jednu dosku privedieme nboj +Q a na druh dosku nboj Q, vznikne
stabiln stav. Opan nboje sa priahuj, dosky ostvaj nabit i ke je
kondenztor naprklad odpojen z elektrickho obvodu
Q-Q
audio 1_511KondenztorDve paraleln dosky oddelen izolantom
(dielektrikom)Ak na jednu dosku privedieme nboj +Q a na druh dosku
nboj Q, vznikne stabiln stav. Opan nboje sa priahuj, dosky ostvaj
nabit i ke je kondenztor naprklad odpojen z elektrickho obvoduVekos
nboja Q me by v podstate ubovon, hovorme, e kondenztor je nabit
nbojom QSksenos hovor, e stav kondenztora je dostatone uren, ak
zadme hodnotu nboja QV princpe je mon zvaova na dourenie stavu aj
in veliiny, naprklad teplotu kondenztora. To nie je pln nezmysel, s
teplotou sa menia rozmery (vzdialenos dosiek) o spsob zmenu naptia
medzi doskami pri rovnakom Q, ale, v zvislosti na konkrtnej situcii
to mono asto zanedba
Kondenztor
Kondenztor
SQStav a jeho asov vvojokamih (stav systmu) mono zaznamena a na
zklade zznamu ho zrekontruovaasov vvoj systmu je asov postupnos
stavov (okamihov)asov vvoj systmu je mon predpoveda, vychdzajc zo
znalosti poiatonho stavu. Technolgiou predpovede budcnosti s
matematick pohybov rovnice. asov vvoj hadme ako rieenie pohybovch
rovnc, ktor spa poiaton podmienku (stav na zaiatku je znmy poiaton
stav)Pripomeme si:Stav a jeho asov vvojokamih (stav systmu) mono
zaznamena a na zklade zznamu ho zrekontruovaasov vvoj systmu je
asov postupnos stavov (okamihov)asov vvoj systmu je mon predpoveda,
vychdzajc zo znalosti poiatonho stavu. Technolgiou predpovede
budcnosti s matematick pohybov rovnice. asov vvoj hadme ako rieenie
pohybovch rovnc, ktor spa poiaton podmienku (stav na zaiatku je
znmy poiaton stav)Kondenztor: stav je dan jedinm dajom QStav a jeho
asov vvojokamih (stav systmu) mono zaznamena a na zklade zznamu ho
zrekontruovaasov vvoj systmu je asov postupnos stavov
(okamihov)asov vvoj systmu je mon predpoveda, vychdzajc zo znalosti
poiatonho stavu. Technolgiou predpovede budcnosti s matematick
pohybov rovnice. asov vvoj hadme ako rieenie pohybovch rovnc, ktor
spa poiaton podmienku (stav na zaiatku je znmy poiaton
stav)Kondenztor: stav je dan jedinm dajom QAko sa stav (Q)
men?Zmena stavu kondenztora
Q Q + QAko sa stav (Q) men?Zmena stavu kondenztora
Q Q + Q
Coulomb = Ampr sekunda
audio: 1_719Zmena stavu kondenztora
Q Q + Q
Coulomb = Ampr sekundaPozn: I me by aj zporn, ke prd teie opanm
smerom ako je nakreslen, vtedy je aj Q zporn, nboj na kondenztore
sa zmenuje, kondenztor sa vybja
URVoltmeterOhmov zkon:
audio: 1_822
Ohmov zkon:
UR
U0
U
URU0UABC
audio:1_926
audio:1_1028
Takto sa vo fyzike predpoved budcnos:Ak poznm stav Q(t) v ase
tpotom viem predpoveda, ak bude stav v troku neskorom ase, teda
stavQ(t+dt)Reazenie predpoved budcnosti
Reazenie predpoved budcnosti
audio: 1_1131Reazenie predpoved budcnosti
Takto sa vo fyzike predpoved budcnos:Ak poznm stav Q(t) teraz
potom sa postupne po malch asovch krokoch dtposvam do ubovone
alekho budceho okamihut+dt+dt+dt+dt+dt+dt+...............Reazenie
predpoved budcnosti
Ale pozor !!!
Aby to bolo dos presn, musia by asov prrastkydtvemi (nekonene)
mal
to sme si zatia v oiali nadenia neuvedomili, v alom to
rozoberieme podrobne
Take znovu a teraz starostlivejie. Zaali sme takto:Pripomeme
si:
Take znovu a teraz starostlivejie. Zaali sme takto:Problm je v
tom, o naozaj znamen nasledovn rovnica a i vbec nieo:
audio:1_1235
Take znovu a teraz starostlivejie. Zaali sme takto:Fyzik, na
rozdiel od matematika neskma mylienky ale prroduFyziklne tvrdenia
sce musia by logicky (matematicky) sprvne ale ete musia aj
zodpoveda tomu, o v skutonosti pozorujeme
ExperimentU0 = 20 V, R = 10000 , C = 100 FPoiaton stav: t = 0, Q
= 0Meriam U(t), prepotavam na Q(t) = C U(t)
audio: 1_1337
audio:1_1438
audio:1_1539
audio:1_1640
Pozorovanie:
Nrast nboja nie je rovnomernPrd ukazovan amprmetrom nie je
kontantn
o ukazuje amprmeter?
Pozorovanie:
Nrast nboja nie je rovnomernPrd ukazovan amprmetrom nie je
kontantn
o ukazuje amprmeter?
???
audio:1_1743
audio:1_1844
Preo nevychdzaj rovnak hodnoty Q v prvej polsekunde a v druhej
polsekunde?
Preo nevychdzaj rovnak hodnoty Q v prvej polsekunde a v druhej
polsekunde?Lebo krivka Q(t) je v prvej polsekunde strmia ako v
druhej polsekunde
Keby krivka mala stle rovnak strmos, vychdzali by pre rovnak
prrastky asu t rovnak prrastky nboja QAk grafom Q(t) je priamka,
potom prrastky nboja Q za rovnak asov seky s rovnak
Ak grafom Q(t) je priamka, potom podiel Q/t je rovnak pre rzne
dlh asov seky
ZverAk grafom Q(t) je priamka, potom defincia prdu
je zmyslupln bez alej pecifikcie, ktor a ako dlh asov sek t
myslme
Newtonov trik
Ak sa pozrieme na dostatone mal sek grafu pri vhodnom zven,
vyzer ako priamka
Pozorovanie:
Nrast nboja nie je rovnomernPrd ukazovan amprmetrom nie je
kontantn
o ukazuje amprmeter?
???
o ukazuje amprmeter?
Vpoet urobme vo vemi malikom okienku: zvolme t tak mal, aby sa
do toho okienka zmestilo, njdeme prslun Q a vypotame podiel, to o
dostaneme nazvemeokamit hodnota prdu Ilebo okienko pokrva len
okamiho ukazuje amprmeter?
Amprmeter ukazuje okamit hodnotu prdu.Ako dlho trv ten okamih,
to je dan kontrukciou prstroja. iadny relny amprmeter neukazuje
hodnotu zodpovedajcu nekonene krtkemu okamihu, kad prstroj m svoju
asov klu, v rmci ktorej u meniace sa hodnoty teoreticky okamitho
prdu nerozliujeo ukazuje amprmeter?
Amprmeter ukazuje okamit hodnotu prdu.Ako dlho trv ten okamih,
to je dan kontrukciou prstroja. iadny relny amprmeter neukazuje
hodnotu zodpovedajcu nekonene krtkemu okamihu, kad prstroj m svoju
asov klu, v rmci ktorej u meniace sa hodnoty teoreticky okamitho
prdu nerozliujeProblm pre hbavch fyzikov:Skste vemi hrubo odhadn
asov klu amprmetra klasickej deprzskej kontrukcie, teda ruikovho
prstroja s otavou cievkou v magnetickom poli.Nvod: skste o tom
prstroji uvaova ako o akomsi kyvadleNewton teda vybabral s antickmi
filozofmi (Achilles a korytnaka, Zennov letiaci p): vymyslel
techniku ako definova pojem
okamit rchlos zmeny nejakej veliiny
Nvod znie ako udov re: v okol elanho okamihu zvolm tak mal t ako
je rozumn a urobm podiel
potom I sa nazva okamit rchlos zmeny veliiny Q
Newton teda vybabral s antickmi filozofmi (Achilles a korytnaka,
Zennov letiaci p): vymyslel techniku ako definova pojem okamit
rchlos zmeny nejakej veliinyNvod znie ako udov re: v okol elanho
okamihu zvolm tak mal t ako je rozumn a urobm podiel
potom I sa nazva okamit rchlos zmeny veliiny Q
Neskr exaktn matematici vybabrali s Newtonom, kritizujc: o to je
za neexaktn re tak mal t ako je rozumn, to treba formulova
matematicky presne a definovali:
I nazvali to matematici derivciou
I nazvali to matematici derivciou
I nazvali to matematici derivciou
Derivcia je smernica dotyniceMaj matematici pravdu ?Nekonene mal
t ?
amprmeter nem nekonene mal tnboj naozaj pribda po jednotlivch
elektrnoch, take ak je as t prli mal, a traf medzeru medzi dvoma
elektrnmi nepribudne ni, v nasledovnom okamihu me naraz pribudn 5
elektrnov. Prd je na malch asovch sekoch trhan a cel kontrukcia s
dotynicou sa zrtina chvu zabudnem na fyziku, pracujem len s
matematickm modelom, vyuvam cel dobrodenie matematiky, ale potom na
konci musm vsledky zskan v matematickom modeli znovu fyziklne
interpretova
audio:1_1962
Pripomeme si:audio:1_2063
Takto sa vo fyzike predpoved budcnosAk poznm stav Q(t) v ase
tpotom viem predpoveda, ak bude stav v troku neskorom ase, teda
stavQ(t+dt)Reazenie predpoved budcnosti
Pripomeme si:
Poiaton stav: t=0; Q(0)=0
Poiaton stav: t=0; Q(0)=0
Zadan
audio:1_2172
Vsledok: krivka (funkcia) Q(t)
audio:1_2273Stav a jeho asov vvojPoznanie naej (zpadnej)
civilizcie:
okamih (stav systmu) mono zaznamena a na zklade zznamu ho
zrekontruovaasov vvoj systmu je asov postupnos stavov
(okamihov)asov vvoj systmu je mon predpoveda, vychdzajc zo znalosti
poiatonho stavu. Technolgiou predpovede budcnosti s matematick
pohybov rovnice. asov vvoj hadme ako rieenie pohybovch rovnc, ktor
spa poiaton podmienku (stav na zaiatku je znmy poiaton
stav)Pripomeme si:
Postup na priblin kontrukciu rieenia:o za rovnicu to vlastne
rieime
audio:1_2375
audio:1_2476Chceme predpoveda budcnosAk matematick lohu to
rieime?
Zadan je: v t=0 je poiaton stav Q(0)=0
Hadme funkciu Q(t), ktor spa rovnicu
V tej rovnici vystupuje nielen hadan funkcia Q(t) ale aj jej
derivcia, preto sa t rovnica vol diferencilna rovnica
Poiaton stav: t=0; Q(0)=0lohaHadm funkciu Q(t), ktor spa poiaton
podmienku Q(0)=0 a vyhovuje diferencilnej rovnici
Hadm krivku na grafe, ktor zana vo vyznaenom bode a v kadom jej
bode Q(t) m t krivka dotynicu so smernicou
Vsledok: krivka (funkcia) Q(t)
lohaHadm krivku na grafe v rovine (t, Q), ktor zana vo vyznaenom
bode a v kadom jej bode Q(t) m t krivka dotynicu so smernicou
Neviem dopredu poveda, ktormi bodmi (t,Q) bude t krivka
prechdza. Ale vieme, e ak by prechdzala bodom (t,Q), mala by v om
dotynicu so smernicou
Pripravm si preto plochu (t,Q) a v kadom jej bode nakreslm krtku
iaroku, ktorej smernica je dan ako
QtAk zoberiem ceruzku a zanem kresli krivku v poiatonom bode
(modr bod) pritom tak, aby sa krivka dotkala iaroiek v bodoch,
ktormi prechdza, nakreslm rieenie
Kreslenie poda dotynicovch iaroiek je vlastne grafick verzia
iteranej procedry
Kreslenie poda dotynicovch iaroiek je vlastne grafick verzia
iteranej procedry
dtdQ
dtdQKreslenie poda dotynicovch iaroiek je vlastne kranie po
malch krokoch v smere, ktor v danom mieste vdy ukazuje iaroka. Je
to ako turista, ktor sa pozrie, kam ukazuje na danom mieste smerov
turistick pka a potom ide ksok v danom smere, a na novom mieste,
kam sa dostane, sa pozrie, kam ukazuje pka tam umiestnenNumerick
(potaov) itercia
ktorou sa riei diferencilna rovnica sa nazva Eulerova metda
Ja ju rd nazvam metda Sovietskej armdy pretoe to pripomna
techniku, akou Sovietska armda dola a do Berlna: v kadom meste, kam
armda dorazila predvoj zapichol pku s npisom Berln a vojsko u
vedelo, ktorm smerom sa pohn alej.
Numerick (potaov) itercia
ktorou sa riei diferencilna rovnica sa nazva Eulerova metda
Ja ju rd nazvam metda Sovietskej armdy pretoe to pripomna
techniku, akou Sovietska armda dola a do Berlna: v kadom meste, kam
armda dorazila predvoj zapichol pku s npisom Berln a vojsko u
vedelo, ktorm smerom sa pohn alej.
Stav a jeho asov vvojokamih (stav systmu) mono zaznamena a na
zklade zznamu ho zrekontruovaasov vvoj systmu je asov postupnos
stavov (okamihov)asov vvoj systmu je mon predpoveda, vychdzajc zo
znalosti poiatonho stavu. Technolgiou predpovede budcnosti s
matematick pohybov rovnice. asov vvoj hadme ako rieenie pohybovch
rovnc, ktor spa poiaton podmienku (stav na zaiatku je znmy poiaton
stav)Pripomeme si:Stav a jeho asov vvojokamih (stav systmu) mono
zaznamena a na zklade zznamu ho zrekontruovaasov vvoj systmu je
asov postupnos stavov (okamihov)asov vvoj systmu je mon predpoveda,
vychdzajc zo znalosti poiatonho stavu. Technolgiou predpovede
budcnosti s matematick pohybov rovnice. asov vvoj hadme ako rieenie
pohybovch rovnc, ktor spa poiaton podmienku (stav na zaiatku je
znmy poiaton stav)Pohybov rovnica je spravidla diferencilna
rovnica. Predpoveda budcnos znamen njs funkciu udvajcu stav v
budcom ase tak, e v poiatonom ase udva poiaton stav a v kadom ase
spa diferencilnu pohybov rovnicuStav a jeho asov vvojokamih (stav
systmu) mono zaznamena a na zklade zznamu ho zrekontruovaasov vvoj
systmu je asov postupnos stavov (okamihov)asov vvoj systmu je mon
predpoveda, vychdzajc zo znalosti poiatonho stavu. Technolgiou
predpovede budcnosti s matematick pohybov rovnice. asov vvoj hadme
ako rieenie pohybovch rovnc, ktor spa poiaton podmienku (stav na
zaiatku je znmy poiaton stav)Pohybov rovnica je spravidla
diferencilna rovnica. Predpoveda budcnos znamen njs funkciu udvajcu
stav v budcom ase tak, e v poiatonom ase udva poiaton stav a v
kadom ase spa diferencilnu pohybov rovnicu
Ukzali sme si ako njs (priblin) rieenie diferencilnej rovnice
Eulerovou metdou malch krokov pomocou potaa.To sa meme poksi urobi
vdy, a spravidla ani inak postupova nevieme. Aj astronmovia, ke chc
predpoveda zatmenie slnka, to inak nevedia, ako numericky na
potai.Otzkou je, ako aleko do budcnosti sa vieme numericky dosta,
presnos predpovede do vzdialenej budcnosti sa stle zniuje, a sa
predpove stane bezcennou.
Niekedy vieme diferencilnu rovnicu vyriei analyticky, teda njs
vzorec pre funkciu, ktor je rieenm.Na rieenie diferencilnych rovnc
neexistuje univerzlny algoritmus, spravidla musm prs na ikovn
trik.
Zavediem pomocn funkciu
Zavediem pomocn funkciu
Zavediem pomocn funkciu
Teraz urobm matematick trik trochu autisticky, t.j. naozaj
nevysvetlm, o urobm, ale urobm to len poda matematickej intucie (ak
ju mm ), v inej prednke takto trik prediskutujeme podrobnejie
Zavediem pomocn funkciu
Zavediem pomocn funkciu
Zavediem pomocn funkciu
Zavediem pomocn funkciu
Presvedte sa, e vzorec
zodpoved kvalitatvne krivke na obrzku
Toto vetko sme si zopakovali, aby sme si ukzali ako funguje
fyzika, ke m pln informciu o stave.
Pri systmoch s vekm potom stupov vonosti pln informcia nie je
spravidla mon. Ak mm plyn a m 1023 astc, potom pln zadanie stavu
vyaduje zada pre kad asticu 6 hodnt: 3 sradnice polohy a 3 priemety
rchlsoti. To je nerelne.
O plyne spravidla poznm len niekoko makroskopickch hodnt ako
objem, tlak, teplota. Ak poznm tie makroskopicky meraten hodnoty,
poviem, e poznm makrostav plynu. pln stav plynu spravidla nepoznm,
pre lepie rozlenie to o vo veobecnej fyzike sa vol stav (teda pln
znalos systmu v danom okamihu) sa v tatistickej fyzike vola
mikrostav.
Mikrostav teda spravidla nepoznm, len makropstav. Napriek tomu
chcem vedie, o sa bude odohrva v budcnosti, i ke mi chba pln
informcia o okamihu teraz.tatistick fyzika ma pre prcu s neplnou
informciou nasledovn technolgiupredstavm si vetky mon spsoby, ako
by mohlo vyzera doplnenie informcie o mikrostave pre zadan
makrostavtak vznikne tzv tatistick sbor (ansmbl) mikrostavov
reprezentujci dan makrostavvyslim pre kad mikrostav v ansmbli to o
ma zaujma, teda naprklad hodnotu nejakej veliinyz hodnt vyslench
pre kad mikrostav ansmbla urobm stredn hodnotuvypotan stredn
hodnotu budem chpa ako predpove toho, o oakvam, e nameriam v
zadanom makrostave
Poznmka: kontrukcia tatistickho sboru me by zloitejia, rzne
mikrostavy, ktor prichdzaj do vahy ako reprezentujce dan makrostav
mu do tatistickho sboru vstupova s rozlinou relatvnou
pravdepodobnosou.