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36 seccin 1 ESTRATEGIA
36
cap
tulo
2A
La clave de las operaciones rentables consiste en aprovechar al
mximo los recursos disponibles de personas, materiales, planta,
equipo y dinero. Hoy en da, el administrador tiene a su alcance una
potente herramienta en la programacin lineal que le permite hacer
modelos matemticos. En este captulo se demostrar que el uso de
Solver de Excel de Microsoft para solucionar problemas de
la PL le abre todo un mundo nuevo al administrador innovador y,
a aquellos que piensan hacer carrera
de asesores, les proporciona un valioso elemento ms que podrn
sumar a su conjunto de habilidades
tcnicas. En este captulo, se utiliza un problema de planeacin de
productos para explicar cmo se usa
esta herramienta. Se encontrar la mezcla ptima de productos que
requieren diferentes recursos y
tienen distintos costos. Por supuesto que el problema es
relevante para el mercado competitivo de hoy.
Las compaas verdaderamente exitosas ofrecen una mezcla de
productos que van desde los modelos
c a p t u l o 2 A
PROGRAMACIN LINEAL UTILIZANDO SOLVER DE EXCEL
S U M A R I O
3 7 Introduccin Definicin de programacin lineal
3 8 Modelo de la programacin lineal
3 9 Programacin lineal gr ca Definicin de programacin lineal
grfica
4 1 Programacin lineal utilizando Excel de Microsoft
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PROGRAMACIN LINEAL UTILIZANDO SOLVER DE EXCEL captulo 2A 37
estndar hasta los de lujo de las clases altas. Todos ellos
compiten por utilizar la produccin que es limi-
tada y otras capacidades. La empresa que mantiene la mezcla
correcta de estos productos a lo largo del
tiempo podra elevar sustancialmente sus ganancias y el
rendimiento de sus activos.
Se inicia el captulo con una breve explicacin de la programacin
lineal y de las condiciones en las
que se puede aplicar la tcnica. A continuacin, se resolver un
problema simple de la mezcla de produc-
tos. A lo largo del libro aparecen otras aplicaciones de la
programacin lineal.
INTRODUCCIN
La programacin lineal (o PL) se refi ere a varias tcnicas
matemticas utilizadas para asignar, en forma ptima, los recursos
limitados a distintas demandas que compiten por ellos. La PL es el
ms popular de los enfoques que caben dentro del ttulo general de
tcnicas matemticas para la optimizacin y se ha aplicado a muchos
problemas de la administracin de operaciones. Algunas aplicaciones
tpicas son:
Planeacin de operaciones y ventas agregadas: encontrar el
programa de produccin que tenga el costo mnimo. El problema radica
en preparar un plan para un periodo de entre tres y seis meses que,
dadas las limitantes de la capacidad de produccin esperada y el
tamao de la fuerza de trabajo, sa-tisfaga la demanda esperada. Los
costos relevantes considerados en el problema incluyen los salarios
para el trabajo regular y las horas extra, las contrataciones y los
despidos, la subcontratacin y el costo de manejo de
inventarios.Anlisis de la productividad en la produccin/servicios:
considerar el grado de efi ciencia con el cual los establecimientos
de servicios y de manufactura estn utilizando sus recursos en
comparacin con la uni-dad que tiene mejor desempeo. Para ello se
utiliza un enfoque llamado anlisis envolvente de datos.Planeacin de
los productos: encontrar la mezcla ptima de productos, considerando
que varios productos requieren diferentes recursos y tienen
distintos costos. Algunos ejemplos son encontrar la mezcla ptima de
elementos qumicos para la gasolina, las pinturas, las dietas
humanas y el alimento para animales. Este captulo cubre algunos
ejemplos de este problema.Rutas de los productos: encontrar el
camino ptimo para fabricar un producto que debe ser procesa-do en
secuencia, pasando por varios centros de maquinado, donde cada
mquina del centro tiene sus propios costos y caractersticas de
produccin.Programacin de vehculos/cuadrillas: encontrar la ruta
ptima para utilizar recursos como aviones, autobuses o camiones y
las cuadrillas que los tripulan para ofrecer servicios de
transporte a clientes y llevar los materiales que se transportarn
entre diferentes plazas.Control de procesos: minimizar el volumen
de desperdicio de material generado cuando se corta acero, cuero o
tela de un rollo o de una lmina de material.Control de inventarios:
encontrar la combinacin ptima de productos que se tendrn en
existencia dentro de una red de almacenes o centros de
almacenamiento.Programacin de la distribucin: encontrar el programa
ptimo de embarques para distribuir los productos entre fbricas y
almacenes o entre almacenes y detallistas.Estudios para ubicar la
planta: encontrar la ubicacin ptima para una nueva planta evaluando
los costos de embarque entre plazas alternativas y las fuentes de
suministro y de demanda.Manejo de materiales: encontrar las rutas
que impliquen el costo mnimo para el manejo de mate-riales y
mquinas (como gras) entre los departamentos de una planta o
transportar materiales de un patio de almacn a los lugares de
trabajo, por ejemplo, por medio de camiones. Cada camin podra tener
diferente capacidad de carga y de desempeo.
La programacin lineal est teniendo enorme aceptacin en muchas
industrias en razn de la disponibi-lidad de informacin detallada de
las operaciones y el inters por optimizar los procesos para reducir
los costos. Muchos proveedores de software ofrecen opciones de
optimizacin que se usan con los sistemas de planeacin de recursos
de las empresas. Algunas compaas los llaman opcin de planeacin
avan-zada, planeacin sincronizada y optimizacin de procesos.
Programacin lineal (PL)
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38 seccin 1 ESTRATEGIA
Para que una situacin plantee un problema de programacin lineal
debe cumplir con cinco condicio-nes bsicas. En primer trmino, debe
tener recursos limitados (como una cantidad limitada de
trabaja-dores, equipamiento, dinero y materiales), porque de lo
contrario no habra problema. En segundo, debe tener un objetivo
explcito (como maximizar la utilidad o minimizar el costo). En
tercero, debe existir linearidad (dos es el doble de uno; es decir,
si se necesitan tres horas para hacer una pieza, entonces dos
piezas tomaran seis horas y tres piezas, nueve). En cuarto, debe
existir homogeneidad (los productos fa-bricados en una mquina son
idnticos o todas las horas que trabaja un obrero son igual de
productivas). En quinto, debe existir divisibilidad: la programacin
lineal normal presupone que los productos y los recursos se pueden
subdividir en fracciones. Si la subdivisin no es posible (como un
vuelo con medio avin o la contratacin de un cuarto de persona) se
puede utilizar una modifi cacin de la programacin lineal llamada
programacin entera.
Cuando el objetivo nico es maximizar (por ejemplo las
utilidades) o minimizar (por ejemplo, los costos), se puede
utilizar la programacin lineal. Cuando existen varios objetivos,
entonces se utiliza la programacin por metas. Si un problema se
resuelve mejor por etapas o plazos de tiempo, entonces se utiliza
la programacin dinmica. Otras restricciones debidas a la naturaleza
del problema tal vez requieran que se resuelva utilizando otras
variantes de la tcnica, como la programacin no lineal o la
programacin cuadrtica.
MODELO DE LA PROGRAMACIN LINEAL
En trminos formales, el problema de la programacin lineal entraa
un proceso de optimizacin en el cual se eligen valores no negativos
para una serie de variables de la decisin X1, X2,..., Xn de modo
que se maximice (o minimice) una funcin objetivo con la frmula:
Maximizar (minimizar) Z = C1X1 + C2X2 + + CnXn
sujeto a las restricciones de los recursos con la frmula:
A11X1 + A12X2 + + A1nXn < B1
A21X1 + A22X2 + + A2nXn < B2
Am1X1 + Am2X2 + + AmnXn < Bm
donde Cn, Amn y Bm son constantes dadas.Dependiendo del
problema, las restricciones se pueden expresar con signo de
igualdad (=) o con
signo de mayor o igual que (>).
EJEMPLO 2A.1: Puck and Pawn CompanySe describen los pasos para
la solucin de un modelo simple de programacin lineal en el contexto
de un problema de muestra: el caso de Puck and Pawn Company,
fabricante de bastones de hockey y juegos de ajedrez. Cada bastn de
hockey produce una utilidad incremental de $2 y cada juego de
ajedrez una de $4. La fabricacin de un bastn requiere 4 horas de
trabajo en el centro de maquinado A y 2 horas en el centro de
maquinado B. La fabricacin de un juego de ajedrez toma 6 horas en
el centro de maquinado A, 6 horas en el centro de maquinado B y 1
hora en el centro de maquinado C. El centro de maquinado A tiene un
mximo de 120 horas de capacidad disponible por da, el centro de
maquinado B tiene 72 horas y el centro de maquinado C tiene 10
horas.
Si la compaa quiere maximizar la utilidad, cuntos bastones de
hockey y juegos de ajedrez debe pro-ducir por da?
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PROGRAMACIN LINEAL UTILIZANDO SOLVER DE EXCEL captulo 2A 39
SOLUCINPlantee el problema en trminos matemticos. Si H es el
nmero de bastones de hockey y C es el nmero de juegos de ajedrez,
para maximizar la utilidad la funcin objetivo se puede expresar
como:
Maximizar Z = $2H + $4C
La maximizacin estar sujeta a las restricciones siguientes:
4H + 6C 120 (restriccin del centro de maquinado A)
2H + 6C 72 (restriccin del centro de maquinado B)
1C 10 (restriccin del centro de maquinado C)
H, C 0 Este planteamiento cumple con los cinco requisitos de una
PL estndar mencionados en la primera
seccin de este captulo:
Los recursos son limitados (un nmero fi nito de horas
disponibles en cada centro de maquinado).1. Hay una funcin objetivo
explcita (se conoce el valor de cada variable y la meta para
resolver el 2. problema).Las ecuaciones son lineales (no hay
exponentes ni productos cruzados)3. Los recursos son homogneos
(todo se ajusta a una unidad de medida: las horas-mquina).4. Las
variables de la decisin son divisibles y no negativas (se puede
fabricar una fraccin de bastn 5. de hockey o de juego de ajedrez,
pero si se considerara que no es deseable, entonces se tendra que
utilizar la programacin entera).
PROGRAMACIN LINEAL GRFICA
Si bien la aplicacin de la programacin lineal grfi ca se limita
a problemas que incluyen dos variables en la decisin (o tres
variables en el caso de grfi cas tridimensionales), la programacin
lineal grfica proporciona una visin inmediata de la ndole de la
programacin lineal. Se describirn los pasos que implica el mtodo
grfi co en el contexto de Puck and Pawn Company. Los pasos que se
presentan a con-tinuacin ilustran el enfoque grfi co:
1. Plantee el problema en trminos matemticos. Las ecuaciones
para el problema presentadas antes.
2. Trace las ecuaciones de las restricciones. Las ecuaciones de
las restricciones se pueden trazar fcilmente si se deja que una
variable sea igual a cero y se resuelve la interseccin del eje de
la otra. (En este paso no se consideran las fracciones de
desigualdad de las restricciones.) En el caso de la ecuacin de la
restriccin del centro de maquinado A, cuando H = 0, C = 20 y cuando
C = 0, H = 30. En el caso de la ecuacin de la restriccin del centro
de maquinado B, cuando H = 0, C = 12, y cuando C = 0, H = 36. En el
caso de la ecuacin de la restriccin del centro de maquinado C, C =
10 para todos los valores de H. La ilustracin 2A.1 presenta una
grfi ca con estas lneas.
3. Determine el rea de factibilidad. La direccin de los signos
de desigualdad de cada restric-cin determina el rea donde se
encuentra una solucin factible. En este caso, todas las
desigualdades son de tipo menor o igual que, lo que signifi ca que
no sera posible producir una combinacin de produc-tos que se
ubicara a la derecha de alguna de las lneas de las restricciones de
la grfi ca. La zona de las soluciones factibles est sombreada en la
grfi ca y forma un polgono convexo. Un polgono convexo se presenta
cuando una lnea trazada entre dos puntos cualesquiera del polgono
permanece dentro de las fronteras del mismo. Si esta condicin de
convexidad no existe, entonces el problema est mal planteado o no
es apto para la programacin lineal.
Programacin lineal grfica
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40 seccin 1 ESTRATEGIA
4. Trace la funcin objetivo. La funcin objetivo se puede trazar
suponiendo una cifra arbitraria para la utilidad total y, a
continuacin, resolviendo la ecuacin con el fi n de conocer las
coordenadas del eje, como se hizo en el caso de las restricciones.
Otros trminos de la funcin objetivo cuando se usan en este contexto
son la isoutilidad o lnea de contribucin igual, porque muestra
todas las combinaciones posibles de la produccin para una cifra de
utilidad dada. Por ejemplo, si se toma la lnea punteada ms prxima
al origen de la grfi ca, se pueden determinar todas las
combinaciones posibles de bastones de hockey y de juegos de ajedrez
que rinden 32 dlares eligiendo un punto en la lnea y leyendo el
nmero de cada producto que se puede fabricar en ese punto. Las
combinaciones que producen 32 dlares en el punto a sera 10 bastones
de hockey y tres juegos de ajedrez. Se puede constatar lo anterior
sustituyendo H = 10 y C = 3 en la funcin objetivo:
$2(10) + $4(3) = $20 + $12 = $32
H C Explicacin
0 120/6 = 20 interseccin de restriccin (1) y eje C 120/4 = 30 0
interseccin de restriccin (1) y eje H 0 72/6 = 12 interseccin de
restriccin (2) y eje C 72/2 = 36 0 interseccin de restriccin (2) y
eje H 0 10 interseccin de restriccin (3) y eje C 0 32/4 = 8
interseccin de lnea de isoutilidad $32 (funcin objetivo) y eje C
32/2 = 16 0 interseccin de lnea de isoutilidad $32 y eje H 0 64/4 =
16 interseccin de lnea de isoutilidad $64 y eje C 64/2 = 32 0
interseccin de lnea de isoutilidad $64 y eje H
5. Encuentre el punto ptimo. Se puede demostrar, en trminos
matemticos, que la combinacin ptima de las variables de decisin
siempre est en el punto extremo (esquina) del polgono convexo. En
la ilustracin 2A.1 hay cuatro puntos en las esquinas (excluyendo el
origen) y se puede determinar cul es el ptimo al tenor de los dos
enfoques. El primer enfoque busca encontrar los valores de las
diversas soluciones de las esquinas en trminos algebraicos. Esto
implica resolver simultneamente las ecuaciones de los distintos
pares de lneas que se intersectan y sustituir las cantidades de las
variables resultantes en la funcin objetivo. Por ejemplo, el clculo
para la interseccin de 2H + 6C = 72 y C = 10 son:
Grfica del problema de los bastones de hockey y los juegos de
ajedrezilustracin 2A.1
30
Juegosde ajedrez
por da
20
16
12108
4
(3)
(2)
(1)10 16 20 30 32 3624
ptimo2H + 6C = 72 (2)
4H + 6C = 120 (1)
2H + 4C = $642H + 4C = $32
Lneas dela funcinobjetivo
C = 10 (3)
a
Zona infactible
Zonafactible
Bastones de hockey por da
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PROGRAMACIN LINEAL UTILIZANDO SOLVER DE EXCEL captulo 2A 41
Al sustituir C = 10 en 2H + 6C = 72 se tendr que 2H + 6(10) =
72, 2H = 12, o H = 6.Si se sustituye H = 6 y C = 10 en la funcin
objetivo se tendr:
Utilidad = $2H + $4C = $2(6) + $4(10) = $12 + $40 = $52
Una variante de este enfoque es leer las cantidades de H y C
directamente en la grfi ca y sustituirlas en la funcin objetivo,
como muestra el clculo anterior. El inconveniente de este enfoque
es que en proble-mas que tienen un nmero considerable de ecuaciones
de restriccin habr muchos puntos posibles que se deban evaluar y el
procedimiento de comprobar cada uno en trminos matemticos no es efi
ciente.
El segundo enfoque, generalmente preferido, entraa utilizar
directamente la funcin objetivo, o lnea de isoutilidad, para
encontrar el punto ptimo. El procedimiento implica simplemente
trazar una lnea recta paralela a una lnea de isoutilidad, elegida
de forma arbitraria, de modo que la lnea de isoutilidad es la ms
alejada del origen de la grfi ca. (En problemas de minimizacin de
costos, el objetivo sera trazar la lnea por el punto ms cercano al
origen.) En la ilustracin 2A.1, la lnea punteada marcada $2H + $4C
= $64 intersecta el punto ms distante. Advierta que la lnea de
isoutilidad inicial escogida arbitrariamente es necesaria para
presentar la pendiente de la funcin objetivo del problema
particular.1 Esto es importan-te porque una funcin objetivo
diferente (pruebe utilidad = 3H + 3C) podra indicar que algn otro
punto est ms lejos del origen. Dado que $2H + $4C = $64 es ptimo,
el monto de cada variable para producir se puede leer en la grfi
ca: 24 bastones de hockey y cuatro juegos de ajedrez. Ninguna otra
combinacin de productos produce una utilidad mayor.
Los problemas de programacin lineal se pueden resolver
utilizando hojas de clculo. Excel de Microsoft cuenta con un
instrumento relacionado con la optimizacin que se llama Solver y
cuyo uso se demostrar resolviendo el problema de los bastones de
hockey y los juegos de ajedrez. Se llama a Solver en la Barra de
datos. Un cuadro de dilogo solicita la informacin que requiere el
programa. El ejemplo siguiente describe cmo resolver el problema de
muestra utilizando Excel.
Si la opcin Solver no aparece en su Barra de datos, haga clic en
Opciones de Excel Agregar, seleccione Agregar Solver y haga clic en
Aceptar. Solver quedar disponible directamente en la Barra de datos
para uso futuro.
En el ejemplo siguiente se trabaja paso por paso, primero
preparando una hoja de clculo y despus resolviendo el problema de
Puck and Pawn Company. La estrategia bsica es primero defi nir el
problema dentro de la hoja de clculo. A continuacin se llama a
Solver y se le alimenta la informacin requerida. Por ltimo, se
ejecuta Solver y se interpretan los resultados de los informes que
presenta el programa.
Paso 1: Defina las celdas cambiantes Un punto conveniente para
iniciar es identificar las celdas que se utilizarn para las
variables de la decisin del problema. Se trata de H y C, el nmero
de bastones de hockey y el nmero de juegos de ajedrez que se
producirn. En Solver, Excel se refiere a estas celdas como celdas
cambiantes. Con relacin a la pantalla de Excel (ilustracin 2A.2),
se ha designado la B4 como la ubicacin para el nmero de bastones de
hockey y la C4 para el nmero de juegos de ajedrez que se producirn.
Advierta que, inicialmente, estas celdas estn marcadas igual a 2.
Se podra colocar cualquier valor en estas celdas, pero es
aconsejable usar uno que no sea cero para que ayude a comprobar que
los clculos estn correctos.
Paso 2: Calcule la utilidad total (o el costo) sta es la funcin
objetivo y se calcula multiplicando la utilidad asociada a cada
producto por el nmero de unidades producidas. Se han anotado las
utilida-des de las celdas B5 y C5 ($2 y $4) de modo que la utilidad
se calcula con la ecuacin siguiente: B4*B5 + C4*C5, la cual se
calcula en la celda D5. Solver se refiere a ella como celda
objetivo y corresponde a la funcin objetivo de un problema.
PROGRAMACIN LINEAL UTILIZANDOEXCEL DE MICROSOFT
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42 seccin 1 ESTRATEGIA
Paso 3: Establezca el uso de recursos Los recursos son los
centros de maquinado A, B y C, como se definieron en el problema
original. Se han establecido tres filas (9, 10 y 11) en la hoja de
clculo, una para cada restriccin de los recursos. En el centro de
maquinado A se emplean 4 horas de tiempo de procesamiento para
producir cada bastn de hockey (celda B9) y 6 horas para cada juego
de ajedrez (celda C9). Para una solucin particular, el total del
recurso del centro de maquinado A utilizado se calcula en D9 (B9*B4
+ C9*C4). En la celda E9 se ha indicado que se quiere que este
valor sea menor a la capacidad de 120 horas del centro de maquinado
A, que est asentado en F9. El uso de recursos de los centros de
maquinado B y C se anota exactamente de la misma manera en las
filas 10 y 11.
Paso 4: Prepare Solver Vaya a la Barra de datos y seleccione la
opcin Solver.
Estimar
Resolver
Cerrar
Opciones
Restablecer
Ayuda
Celda objetivo
Valor de: Mximo Mnimo Valores de:
Por celdas cambiantes
Sujetas a ls siguientes restricciones
Agregar
Cambiar
Eliminar
1. Celda objetivo: se selecciona la ubicacin donde se calcular
el valor que se desea optimizar. sta es la utilidad calculada en D5
en la hoja de clculo.
2. Valor de la celda objetivo: se selecciona Mximo porque el
objetivo es maximizar la utilidad.3. Celdas cambiantes: son las
celdas que Solver puede cambiar para maximizar la utilidad. En
el
problema, las celdas cambiantes van de la B4 a la C4.
Pantalla de Excel de Microsoft para el caso de Puckand Pawn
Companyilustracin 2A.2
Inicio
Obtener datosexternos
Refrescartodo
Herr.datos
Esbozo
Solver
Conexiones Ordenar y filtrar Anlisis
Ordenar Filtrar
Insertar Despl. pg Frmulas Datos Repaso Ver
PL Solver Microsoft Excel
Bastones de hockey
Celdas cambiantes
Utilidad
Mquina A
Mquina B
Mquina C
Juegos de ajedrez Total
Bastones de hockey Juegos de ajedrez Usados Capacidad
Recursos
Bastones de hockey y juegos de ajedrez
Excel: PL Solver
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PROGRAMACIN LINEAL UTILIZANDO SOLVER DE EXCEL captulo 2A 43
4. Sujetas a las siguientes restricciones: corresponde a la
capacidad del centro de maquinado. Ah se hace clic en Agregar y se
indica que el total utilizado de un recurso es menor o igual a la
capacidad disponible. A continuacin se presenta un ejemplo para el
centro de maquinado A. Haga clic en Aceptar despus de especifi car
cada restriccin.
Agregar Restriccin
Referencia de la celda: Restriccin:
Aceptar Cancelar Agregar Ayuda
5. Un clic en Opciones permite indicar a Solver qu tipo de
problema se desea resolver y cmo se desea solucionar. Solver tiene
muchas opciones, pero aqu slo se usarn unas cuantas. A continuacin
se muestra la pantalla:
Agregar Restriccin
Tiempo:
Iteraciones:
Precisin:
Tolerancia:
Convergencia:
Convergencia: Usar escala automtica
Mostrar resultado de iteracionesAsumir no negativos
segundos Aceptar
Cancelar
Cargar modelo...
Guardar modelo...
Ayuda
Estimacin
Lineal
Cuadrtica
Progresivas
Centrales
NewtonGradiente conjugado
Derivadas Hallar por
La mayor parte de las opciones se refi eren a la manera en que
Solver trata de solucionar problemas no lineales, los cuales pueden
ser muy difciles de resolver y las soluciones ptimas son difciles
de en-contrar. Por fortuna el problema es lineal. Esto se sabe
porque las restricciones y la funcin objetivo se pueden calcular
utilizando ecuaciones lineales. Haga clic en Adoptar modelo lineal
para indicar a Solver que se desea utilizar la opcin de la
programacin lineal para resolver el problema. Adems, se sabe que
las celdas cambiantes (variables de la decisin) deben ser nmeros
mayores o igual a cero, porque no tiene sentido fabricar un nmero
negativo de bastones de hockey o de juegos de ajedrez. Se indica lo
anterior seleccionando la opcin de Asumir no negativos. Ahora ya se
puede resolver el problema. Haga clic en Aceptar para volver al
cuadro Parmetros de Solver.
Paso 5: Resuelva el problema Haga clic en Resolver. De inmediato
se presenta un reconocimiento de Resultados de Solver como el que
se presenta a continuacin.
Resultados de Solver
RespuestasSensibilidadLmites
Aceptar Cancelar Guardar escenario... Ayuda
Solver encontr una solucin. Todas las restriccionesy condiciones
de optimalidad estn satisfechas.
Utilizar solucin de Solver
Restaurar valores originales
Informes
Solver reconoce que se encontr una solucin que parece la ptima.
Del lado derecho de este cuadro aparecen opciones para tres
informes: Respuestas, Sensibilidad y Lmites.
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44 seccin 1 ESTRATEGIA
Haga clic en cada informe para que Solver se lo proporcione.
Despus de resaltar los informes, haga clic en Aceptar para volver a
salir a la hoja de clculo. Se han creado tres nuevos elementos que
corresponden a estos informes.
Los informes ms interesantes para el problema son el Informe de
respuestas y el Informe de sensi-bilidad, como aparecen en la
ilustracin 2A.3. El Informe de Respuestas muestra las respuestas fi
nales relativas a la utilidad total (64 dlares) y las cantidades
producidas (24 bastones de hockey y 4 juegos de ajedrez). En la
seccin de las restricciones del Informe de respuestas aparece el
estatus de cada recurso. Se utiliza el total del centro de
maquinado A y del centro de maquinado B y hay seis unidades de
margen para el centro de maquinado C.
El Informe de sensibilidad est dividido en dos partes. La
primera, titulada Celdas cambiantes corresponde a los coefi cientes
de la funcin objetivo. La utilidad por unidad para los bastones de
hockey puede ir hacia arriba o hacia abajo 0.67 dlares (entre 2.67
y 1.33 dlares) sin tener repercusiones en la solucin. Por otro
lado, la utilidad de los juegos de ajedrez puede ser entre 6 y 3
dlares sin cambiar la solucin. En el caso del centro de maquinado
A, el lado derecho podra incrementar a 144 (120 + 24) o disminuir a
84 sin resultar en un incremento o decremento de $0.33 por unidad
en la funcin objetivo. El lado derecho del centro de maquinado B
puede incrementar a 90 unidades o disminuir a 60 unidades
Informes de respuestas y sensibilidad de Solver de
Excelilustracin 2A.3
Informe de respuestas
Celda objetivo (mx)
Celda Nombre Valor original Valor final
$D$5 Utilidad total $12 $64
Celdas ajustables
Celda Nombre Valor original Valor final
$B$4 Celdas cambiantes bastones hockey 2 24
$C$4 Celdas cambiantes juegos ajedrez 2 4
Restricciones
Celda Nombre Valor celda Frmula Estatus Margen
$D$11 Usando mquina C 4 $D$11
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PROGRAMACIN LINEAL UTILIZANDO SOLVER DE EXCEL captulo 2A 45
con el mismo cambio de 0.33 dlares para cada unidad de la funcin
objetivo. En el caso del centro de maquinado C, el lado derecho
podra incrementar al infi nito (1E+30 es una notacin cientfi ca
para una cifra muy alta) o disminuir a 4 unidades sin cambio alguno
en la funcin objetivo.
VOCABULARIO BSICOProgramacin lineal (PL) Se refi ere a varias
tcnicas matemticas utilizadas para asignar, en forma ptima,
recursos limitados entre demandas que compiten por ellos.
Programacin lineal grfica Proporciona una visin rpida de la
naturaleza de la programacin lineal.
PROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMA RESUELTO 1Una mueblera elabora tres
productos: mesas, sofs y sillas. Estos productos son procesados en
cinco de-partamentos: el de serrado de madera, el de corte de tela,
el de lijado, el de entintado y el de montaje. Las mesas y las
sillas slo llevan madera, y los sofs llevan madera y tela. Se
requiere mucho pegamento e hilo y stos representan un costo
relativamente insignifi cante que queda incluido en el gasto de
operaciones. Los requerimientos especfi cos de cada producto son
los siguientes:
Recurso o actividad Requerimiento Requerimiento
Requerimiento(cantidad disponible por mes) por mesa por sof por
silla
Madera (4 350 pies de tablones) 10 pies de tablones a 7.5 pies
de tablones a 4 pies de tablones a $10/pie = $100/ mesa $10/pie =
$75 $10/pie = $40Tela (2 500 yardas) Ninguno 10 yardas a Ninguna
$17.50/yarda = $175Serrar la madera (280 horas) 30 minutos 24
minutos 30 minutosCortar la tela (140 horas) Ninguno 24 minutos
NingunoLijar (280 horas) 30 minutos 6 minutos 30 minutosEntintar
(140 horas) 24 minutos 12 minutos 24 minutosMontar (700 horas) 60
minutos 90 minutos 30 minutos
Los gastos de trabajo directo de la compaa suman 75 000 dlares
por mes por concepto de las 1 540 horas de trabajo, a 48.70 dlares
por hora. Basndose en la demanda actual, la empresa puede vender
300 mesas, 180 sofs y 400 sillas por mes. Los precios de venta son
400 dlares para las mesas, 750 dlares para los sofs y 240 dlares
para las sillas. Suponga que el costo de mano de obra es fi jo y
que, durante el prximo mes, la empresa no proyecta contratar ni
despedir a empleados.
Se desea saber:
Cul es el recurso ms limitante para la compaa mueblera?1.
Determine la mezcla de productos necesaria para maximizar la
utilidad de la compaa mueblera. Cul 2. es el nmero ptimo de mesas,
sofs y sillas que debe producir por mes?
SolucinDefi na X1 como el nmero de mesas, X2 como el nmero de
sofs y X3 cono el nmero de sillas que se produciran cada mes. La
utilidad se calcula como el ingreso por cada artculo menos el costo
de materia-les (madera y tela), menos el costo de mano de obra.
Dado que la mano de obra es fi ja, se resta como una cantidad
total. En trminos matemticos se tiene (400 100)X1 + (750 75 175)X2
+ (240 40)X3 75 000. La utilidad se calcula as:
Utilidad = 300X1 + 500X2 + 200X3 75 000
Las restricciones son las siguientes:
Madera: 10X1 + 7.5X2 + 4X3 < 4 350Tela: 10X2 < 2
500Serrado: 0.5X1 + 0.4X2 + 0.5X3 < 280Cortado: 0.4X2 <
140Lijado: 0.5X1 + 0.1X2 + 0.5X3 < 280Entintado: 0.4X1 + 0.2X2 +
0.4X3 < 140Montaje: 1X1 + 1.5X2 + 0.5X3 < 700Demanda:
Mesas: X1 < 300Sofs: X2 < 180Sillas: X3 < 400
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46 seccin 1 ESTRATEGIA
Paso 1: Establezca las celdas cambiantes stas son B3, C3 y D3.
Advierta que estas celdas han sido establecidas en igual a
cero.
Compaa mueblera
Celdas CambiantesUtilidad
MaderaTelaSerrarCortar telaLijarEntintarMontarDemanda
mesasDemanda sofsDemanda sillas
Mesas Sofs Sillas Total Lmite
Problema resuelto
Listo
Paso 2: Calcule la utilidad total sta es E4 (es igual a B3
multiplicado por 300 dlares del ingreso asociado a cada mesa, ms C3
multiplicado por 500 dlares del ingreso por cada sof, ms D3
multiplicado por 200 dlares del ingreso asociado a cada silla).
Advierta que, para calcular la utilidad, el gasto fi jo de75 000
dlares se ha restado del ingreso.
Paso 3: Establezca el uso de recursos En las celdas que van de
la E6 a la E15, el uso de cada recurso se calcula multiplicando B3,
C3 y D3 por el monto que se necesita para cada artculo y sumando el
produc-to (por ejemplo, E6 = B3*B6 + C3*C6 + D3*D6). Los lmites de
estas restricciones estn anotados en las celdas que van de la F6 a
la F15.
Paso 4. Establezca Solver Vaya a Herramientas y seleccione la
opcin Solver.
Parmetros de Solver
Celda objetivo:
Valor deCeldas cambiantes
Sujetas a las siguientes restricciones:
Resolver
Cerrar
Estimar
Agregar
Cambiar
Eliminar
Opciones
Restablecer
Ayuda
Mximo Mnimo Valores de:
a) Celda objetivo: se establece en la ubicacin donde se calcula
el valor que se desea optimizar. sta es la utilidad calculada en E4
en esta hoja de clculo.
b) Valor de la celda objetivo: se establece en Mximo porque la
meta es maximizar la utilidad.c) Celdas cambiantes: son las celdas
que Solver puede cambiar para maximizar la utilidad (de la celda
B3
a la D3 en este problema).d) Sujeta a las siguientes
restricciones: es donde se suma el conjunto de restricciones, se
indica que el
rango que va de E6 a E15 debe ser menor o igual al rango de F6 a
F15.
Agregar restriccin
Referencia de la celda: Restriccin:
Aceptar Cancelar Agregar Ayuda
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PROGRAMACIN LINEAL UTILIZANDO SOLVER DE EXCEL captulo 2A 47
Paso 5: Marque las opciones Aqu hay muchas opciones, pero para
los propsitos que se buscan slo se necesita sealar Adoptar modelo
lineal y Asumir no negativos. Adoptar modelo lineal signifi ca que
todas las frmulas son simples ecuaciones lineales. Asumir no
negativos indica que las celdas cambiantes deben ser mayores o
iguales a cero. Con un clic en Aceptar estar listo para resolver el
problema.
Agregar Restriccin
Tiempo:
Iteraciones:
Precisin:
Tolerancia:
Convergencia:
Adoptar modelo lineal: Usar escala automtica
Mostrar resultado de iteracionesAsumir no negativos
segundos Aceptar
Cancelar
Cargar modelo...
Guardar modelo...
Ayuda
Estimacin
Lineal
Cuadrtica
Progresivas
Centrales
NewtonGradiente conjugado
Derivadas Hallar por
Paso 6: Resuelva el problema Haga clic en Resolver. Se puede ver
la solucin y dos informes es-peciales resaltando los elementos en
el reconocimiento de Resultados de Solver que aparece despus de que
se encuentra una solucin. Advierta que en el informe siguiente,
Solver indica que ha encontrado una solucin y que se han cumplido
todas las restricciones y las condiciones de optimalidad. En el
cuadro de Informes a la derecha, las opciones Respuestas,
Sensibilidad y Lmites han sido resaltadas, indicando as que se
desea ver estos elementos. Tras resaltar los informes, haga clic en
Aceptar para regresar a la hoja de clculo.
Resultados de Solver
RespuestasSensibilidadLmites
Aceptar Cancelar Guardar escenario... Ayuda
Solver encontr una solucin. Todas las restriccionesy condiciones
de optimalidad estn satisfechas.
Utilizar solucin de Solver
Restaurar valores originales
Informes
Advierta que se han creado tres nuevos elementos: un Informe de
respuestas, un Informe de sensibilidad y un Informe de lmites. El
Informe de respuestas indica en la seccin de la Celda objetivo que
la utilidad asociada a la solucin es de 93 000 dlares (se inici con
75 000 dlares). Segn la seccin de la Celda objetivo, se deberan
fabricar 260 mesas, 180 sofs y ninguna silla. Segn la seccin de las
Restricciones, advierta que las nicas restricciones que afectan la
utilidad son la capacidad de entintado y la demanda de sofs. Es
posible ver lo anterior en la columna que indica si una restriccin
limita o no limita. Las restric-ciones que no limitan tienen un
margen, como indica la ltima columna.
Celda objetivo (Mx)
Celda Nombre Valor original Valor final
$E$4 Total utilidad $75 000 $93 000
Celdas ajustables
Celda Nombre Valor original Valor final
$B$3 Celdas cambiantes mesas 0 260$C$3 Celdas cambiantes sofs 0
180$D$3 Celdas cambiantes sillas 0 0
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48 seccin 1 ESTRATEGIA
Restricciones
Celda Nombre Valor celda Frmula Estatus Margen
$E$6 Total madera 3 950 $E$6
-
PROGRAMACIN LINEAL UTILIZANDO SOLVER DE EXCEL captulo 2A 49
entintado, con un valor de 750 dlares por hora. Por otro lado,
la columna Decremento permitido muestra la cantidad en que se podra
disminuir el recurso sin cambiar el precio sombra. El informe
presenta algo de informacin valiosa.
El Informe de lmites proporciona ms informacin acerca de la
solucin.
Celda Nombre meta Valor
$E$4 Total utilidad $93 000
Lmite Resultado ResultadoCelda Nombre ajustable Valor inferior
objetivo Lmite superior objetivo
$B$3 Celdas cambiantes mesas 260 0 15 000 260.0000002 93 000
$C$3 Celdas cambiantes sofs 180 0 3 000 180 93 000
$D$3 Celdas cambiantes sillas 0 0 93 000 0 93 000
La utilidad total de la solucin actual es de 93 000 dlares. El
valor actual de B3 (mesas) es de 260 unidades. Si se redujera a 0
unidades, la utilidad bajara a 15 000 dlares. En el lmite superior
de 260, la utilidad es de 93 000 dlares (la solucin actual). Por
otro lado, para C3 (sofs), si se redujera a 0, la utilidad bajara a
3 000 dlares. En el lmite superior de 180, la utilidad es 93 000
dlares. Para D3 (sillas), si se redujera a 0, la utilidad es 93 000
dlares (solucin actual) y en este caso, el lmite superior de las
sillas tambin es de 0 unidades.
Las respuestas aceptables a las preguntas son las
siguientes:
1. Cul es el recurso ms limitante para la compaa mueblera? En
trminos de los recursos de produccin, la capacidad de entintado est
afectando realmente la utili-
dad en este momento. Se podran utilizar otras 16 horas de
capacidad.2. Determine la mezcla de productos que se necesita para
maximizar la utilidad de la compaa mueblera. La mezcla de productos
sera fabricar 260 mesas, 180 sofs y ninguna silla.
Por supuesto que, con esta solucin, slo se ha realizado una
revisin superfi cial. De hecho se podra experimentar con un
incremento de la capacidad para entintar. Esto proporcionara
informacin del si-guiente recurso ms limitante. Tambin se podran
montar escenarios en los que se requiere producir un nmero mnimo de
cada producto, lo cual probablemente sea un escenario ms realista.
Esto ayudara a determinar cmo se podra reasignar el uso del trabajo
en el taller.
PROBLEMA RESUELTO 2Son las dos de la tarde del viernes y Joe
Bob, el chef principal (encargado de la parrilla) de Bruces Diner,
est tratando de decidir cul es la mejor manera de asignar las
materias primas disponibles a los cuatro platillos especiales del
viernes por la noche. La decisin se debe tomar temprano por la
tarde porque tres de los platillos se deben empezar a preparar ya
(albndigas, tacos y picadillo). La tabla que est en seguida
contiene la informacin sobre los alimentos en inventario y las
cantidades requeridas para cada platillo.
Alimento Hamburguesa con queso Albndigas Tacos Picadillo
Disponible
Carne molida (lbs.) 0.3 0.25 0.25 0.4 100 lbs.Queso (lbs.) 0.1 0
0.3 0.2 50 lbs.Frijoles (lbs.) 0 0 0.2 0.3 50 lbs.Lechuga (lbs.)
0.1 0 0.2 0 15 lbs.Tomate (lbs.) 0.1 0.3 0.2 0.2 50 lbs.Panes 1 1 0
0 80 panesTortillas 0 0 1 0 80 tortillas
No hay otros hechos importantes para la decisin de Joe Bob. A
continuacin se presenta la demanda de mercado estimada y el precio
de venta.
Hamburguesas con queso Albndigas Tacos Picadillo
Demanda 75 60 100 55Precio de venta $2.25 $2.00 $1.75 $2.50
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50 seccin 1 ESTRATEGIA
Joe Bob quiere maximizar el ingreso porque ya ha comprado todos
los materiales, los cuales estn en el congelador.
Se desea saber:
Cul es la mejor mezcla de los especiales del viernes por la
noche para maximizar el ingreso de Joe 1. Bob?Si un proveedor
ofreciera surtir un pedido extra de panes a $1.00 la pieza, vale la
pena invertir ese 2. dinero?
SolucinDefi na X1 como el nmero de hamburguesas con queso, X2
como el nmero de albndigas, X3 como el nmero de tacos y X4 como el
nmero de porciones de picadillo que se prepararn para los
especiales del viernes.
Ingreso = $2.25 X1 + $2.00 X2 + $1.75 X3 + $2.50 X4
Las restricciones son las siguientes:
Carne molida: 0.30 X1 + 0.25 X2 + 0.25 X3 + 0.40 X4 <
100Queso: 0.10 X1 + 0.30 X3 + 0.20 X4 < 50Frijoles: 0.20 X3 +
0.30 X4 < 50Lechuga: 0.10 X1 + 0.20 X3 < 15Tomate: 0.10 X1 +
0.30 X2 + 0.20 X3 + 0.20 X4 < 50Panes: X1 + X2 < 80Tortillas:
X3 < 80
Demanda
Hamburguesa con queso X1 < 75Albndigas X2 60Tacos X3
100Picadillo X4 55
Paso 1: Defi na las celdas cambiantes stas son B3, C3, D3 y E3.
Advierta que los valores de las celdas cambiantes estn establecidas
en 10 cada una de modo que se puedan comprobar las frmulas.
Celdas cambiantes
Demanda
Ingreso
Hamburguesa Albndiga Taco Picadillo
Hamburguesa Albndiga Taco Picadillo Total
Total
DisponibleAlimento Carne molida (lbs.)Queso (lbs.)Frijoles
(lbs.)Lechuga (lbs.)Tomate (lbs.)PanesTortillas
Paso 2: Calcule el ingreso total Est en la celda F7 (es igual a
B3 multiplicado por 2.25 dlares de cada hamburguesa con queso, ms
C3 multiplicado por 2.00 dlares de las albndigas, ms D3
multiplicado por 1.75 dlares de cada taco, ms E3 multiplicado por
2.50 dlares por cada porcin de picadillo, se utiliz la funcin
SUMAPRODUCTOS de Excel para hacer el clculo ms rpido). Advierta que
el valor actual es de 85 dlares, o sea el resultado de vender 10
unidades de cada platillo.
Paso 3: Establezca el uso de la comida En las celdas que van de
la F11 a la F17, el uso de cada alimento se calcula multiplicando
la fi la de las celdas cambiantes por el uso de cada artculo que
aparece en la tabla y despus sumando los resultados. Los lmites de
cada uno de estos tipos de alimentos se presentan de la H11 a la
H17.
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PROGRAMACIN LINEAL UTILIZANDO SOLVER DE EXCEL captulo 2A 51
Paso 4: Establezca Solver y seleccione la opcin de Solver
Parmetros de Solver
Celda objetivo:
Valor de Mximo Mnimo Valores de:Celdas cambiantes:
Estimar
Agregar
Cambiar
Eliminar
Resolver
Cerrar
Opciones
Restablecer
Ayuda
Sujetas a las siguientes restricciones:
a) Celda objetivo: se establece en la ubicacin donde se calcula
el valor que se desea optimizar. El ingreso se calcula en F7 en
esta hoja de clculo.
b) Valor de la celda objetivo: se establece en Mximo porque el
objetivo es maximizar el ingreso.c) Celdas Cambiantes: son las que
indican la cantidad de cada platillo que se debe producir.d) Sujeto
a las siguientes restricciones: es donde se aaden dos restricciones
separadas, una para la
demanda y otra para el uso de los alimentos.
Agregar Restriccin
Referencia de la celda: Restriccin:
Aceptar Cancelar Agregar Ayuda
Paso 5: Establezca opciones Haga clic en Opciones. Se dejan
todas las opciones en sus valores en forma predeterminada y slo
tendrn que asegurarse dos cambios: (1) marcar la opcin Adoptar
modelo lineal y (2) marcar la opcin Asumir no negativos. Estas dos
opciones garantizan que Solver sepa que se trata de un problema de
programacin lineal y que todas las celdas cambiantes deben ser no
negativas. Haga clic en Aceptar para volver a la pantalla de los
Parmetros de Solver.
Agregar Restriccin
Tiempo:
Iteraciones:
Precisin:
Tolerancia:
Convergencia:
Convergencia: Usar escala automtica
Mostrar resultado de iteracionesAsumir no negativos
segundos Aceptar
Cancelar
Cargar modelo...
Guardar modelo...
Ayuda
Estimacin
Lineal
Cuadrtica
Progresivas
Centrales
NewtonGradiente conjugado
Derivadas Hallar por
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52 seccin 1 ESTRATEGIA
Paso 6: Resuelva el problema Haga clic en Resolver. Aparecer el
recuadro de Resultados de Solver. Asegrese que dice lo siguiente:
Solver encontr una solucin. Todas las restricciones y condiciones
de optimizacin estn satisfechas.
Resultados de Solver
RespuestasSensibilidadLmites
Aceptar Cancelar Guardar escenario... Ayuda
Solver encontr una solucin. Todas las restriccionesy condiciones
de optimalidad estn satisfechas.
Utilizar solucin de Solver
Restaurar valores originales
Informes
En el lado derecho del cuadro, aparece una opcin para tres
informes: Respuestas, Sensibilidad y L-mites. Haga clic en los tres
informes y despus haga clic en Aceptar, esto le volver a llevar a
la hoja de clculo, pero tendr tres nuevas hojas de trabajo en su
libro de trabajo.
El informe de respuestas indica que la celda objetivo tiene una
solucin fi nal de 416.25 dlares y empez como 85 dlares. En el rea
de las celdas ajustables es posible ver que se debera preparar 20
hamburguesas con queso, 60 albndigas, 65 tacos y 55 porciones de
picadillo. Esto responde el primer requerimiento del problema de la
mezcla conveniente de los platillos especiales del viernes.
Celda objetivo (Mx)
Celda Nombre Valor original Valor final
$F$7 Total ingreso $85.00 $416.25
Celdas ajustables
Celda Nombre Valor original Valor final
$B$3 Celdas cambiantes hamburguesa con queso 10 20
$C$3 Celdas cambiantes albndigas 10 60
$D$3 Celdas cambiantes tacos 10 65
$E$3 Celdas cambiantes picadillo 10 55
Restricciones
Celda Nombre Valor celda Frmula Estatus Margen
$F$11 Total carne molida (lbs.) 59.25 $F$11
-
PROGRAMACIN LINEAL UTILIZANDO SOLVER DE EXCEL captulo 2A 53
Celdas ajustables
Valor Costo Coeficiente Incremento DecrementoCelda Nombre final
reducido objetivo permitido permitido
$B$3 Celdas cambiantes 20 0 2.25 0.625 1.375 Hamburguesas con
queso
$C$3 Celdas cambiantes albndigas 60 0.625 2 1E+30 0.625
$D$3 Celdas cambiantes tacos 65 0 1.75 2.75 1.25
$E$3 Celdas cambiantes picadillo 55 2.5 2.5 1E+30 2.5
Restricciones
Valor Precio Restriccin Incremento DecrementoCelda Nombre final
sombra LD permitido permitido
$F$11 Total carne molida (lbs.) 59.25 0.00 100 1E+30 40.75
$F$12 Total queso (lbs.) 35.50 0.00 50 1E+30 17.5
$F$13 Total frijoles (lbs.) 29.50 0.00 50 1E+30 20.5
$F$14 Total lechuga (lbs.) 15.00 8.75 15 3 13
$F$15 Total tomate (lbs.) 44.00 0.00 50 1E+30 6
$F$16 Total panes 80.00 1.38 80 55 20
$F$17 Total tortillas 65.00 0.00 80 1E+30 15
Se ha resaltado la fi la de los panes para responder la
pregunta. Se puede ver que los panes tienen un precio sombra de
1.38 dlares. El precio sombra signifi ca que cada pan adicional
generar 1.38 dlares de utilidad. Tambin es posible ver que otros
alimentos, como la carne molida, tienen un precio sombra de 0
dlares. Los artculos que tienen un precio sombra de 0 dlares no
suman nada a la utilidad, porque actual-mente no se est usando todo
lo que se tiene. La otra informacin importante que se tiene
respecto a los panes es que slo valen 1.38 dlares hasta los
siguientes 55 panes y que eso explica por qu el incremento
permitido es de 55. Asimismo, se ve que una libra de lechuga vale
8.75 dlares. Tal vez sera conveniente buscar a un proveedor urgente
de lechuga para poder incrementar la utilidad de los viernes.
Las respuestas aceptables de estas preguntas son:
1. Cul es la mejor mezcla de los especiales del viernes por la
noche para maximizar el ingreso de Joe Bob?20 hamburguesas con
queso, 60 albndigas, 65 tacos y 55 porciones de picadillo. 2. Si un
proveedor ofreciera servir un pedido urgente de panes a 1.00 dlar
la unidad, vale la pena invertir ese dinero?S, cada pan adicional
ingresa 1.38 dlares, por lo tanto, si cuestan 1 dlar, entonces se
obtendr 0.38 dlares netos por pan. No obstante, esto slo ser as
hasta los 55 panes adicionales.
PROBLEMAS Resuelva el problema siguiente con Solver de
Excel:1.
Maximizar Z = 3X + Y. 12X + 14Y 85 3X + 2Y 18 Y 4
Resuelva el problema siguiente con Solver de Excel:2.
Minimizar Z = 2A + 4B.4A + 6B 120
2A + 6B 72 B 10
Una compaa manufacturera ha descontinuado la produccin de una
lnea de productos que no era 3. rentable. Por ello, se ha creado un
exceso considerable de capacidad de produccin. La gerencia est
considerando la posibilidad de dedicar este exceso de capacidad a
uno o ms de tres productos: X1, X2 y X3.
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54 seccin 1 ESTRATEGIA
Las horas mquina requeridas por unidad son:
Producto
Tipo de mquina X1 X2 X3
Molino 8 2 3 Torno 4 3 0 Trituradora 2 0 1
El tiempo disponible de horas mquina por semana es:
Horas mquina por semana
Molinos 800 Tornos 480 Trituradoras 320
Los vendedores estiman que podrn vender todas las unidades de X1
y X2 que se fabriquen. Pero el potencial de ventas de X3 es cuando
mucho de 80 unidades por semana.
Las utilidades por unidad para los tres productos son:
Utilidad por unidad
X1 $20 X2 6 X3 8
a) Plantee las ecuaciones que se pueden resolver para maximizar
la utilidad por semana.b) Resuelva las ecuaciones utilizando Solver
de Excel.c) Cul es la solucin ptima? Qu cantidad de cada producto
se debera fabricar y cul sera la
utilidad resultante?d) Cul es la situacin en lo que respecta a
los grupos de mquinas? Se utilizara toda la capacidad
o habra tiempo disponible sin usar? X3 estar a su capacidad
mxima de ventas?e) Suponga que se pueden obtener 200 horas
adicionales por semana de los molinos trabajando horas
extra. El costo incremental sera 1.50 dlares por hora.
Recomendara que se hiciera? Explique cmo lleg a su respuesta.
Se est preparando la dieta para los dormitorios de la
Universidad de Arizona. El objetivo es alimentar 4. a los
estudiantes al costo mnimo, pero la dieta debe contener entre 1 800
y 3 600 caloras. La dieta debe tener un mximo de 1 400 caloras de
almidones y un mnimo de 400 de protena. La dieta estar compuesta
por dos alimentos: A y B. El alimento A cuesta 0.75 dlares por
libra y contiene 600 caloras, 400 de ellas de protena y 200 de
almidones. No se pueden utilizar ms de dos libras del alimento A
por estudiante. El alimento B cuesta 0.15 dlares por libra y
contiene 900 caloras, de las cuales 700 son de almidones, 100 de
protena y 100 de grasa.a) Escriba las ecuaciones que representan
esta informacin.b) Resuelva grfi camente el problema indicando las
cantidades de cada alimento que se deben usar. Resuelva el problema
4 aadiendo la restriccin de que la dieta slo puede contener un
mximo de 150 5. caloras de grasa y que el precio del alimento A ha
subido a 1.75 dlares la libra y el alimento B a 2.50 dlares la
libra. Logan Manufacturing quiere mezclar dos combustibles, 6. A y
B, para minimizar el costo de sus camiones. Necesita un mnimo de 3
000 galones para sus camiones durante el mes entrante. Tiene una
capacidad mxima de almacenamiento de combustible de 4 000 galones.
Hay disponibles 2 000 galones del com-bustible A y 4 000 galones
del combustible B. La mezcla de combustible debe tener un octanaje
de un mnimo de 80.
Cuando se mezclan los combustibles, la cantidad obtenida es tan
slo igual a la suma de las canti-dades que se vierten en la mezcla.
El octanaje es el promedio ponderado de los octanos individuales,
ponderados en proporcin con sus respectivos volmenes.
Se sabe lo siguiente. El combustible A tiene 90 octanos y cuesta
1.20 dlares por galn. El combus-tible B tiene 75 octanos y cuesta
0.90 dlares por galn.a) Escriba las ecuaciones que expresan esta
informacin.b) Resuelva el problema utilizando Solver de Excel,
proporcionando la cantidad de cada combustible
que se usar. Plantee los supuestos necesarios para resolver este
problema.
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PROGRAMACIN LINEAL UTILIZANDO SOLVER DE EXCEL captulo 2A 55
Quiere preparar un presupuesto que optimice el uso de una
fraccin de su ingreso disponible. Cuenta 7. con un mximo de 1 500
dlares al mes para asignar a comida, vivienda y entretenimiento. La
cantidad que gaste en alimento y vivienda juntos no debe pasar de 1
000 dlares. La cantidad que gaste slo en vivienda no puede pasar de
$700. El entretenimiento no puede pasar de $300 al mes. Cada dlar
que gaste en comida tiene un valor de satisfaccin de 2, cada dlar
que gaste en vivienda tiene un valor de satisfaccin de 3 y cada
dlar que gaste en entretenimiento tiene un valor de satisfaccin de
5.
Suponiendo una relacin lineal, utilice Solver de Excel para
determinar la asignacin ptima de sus fondos. La cervecera C-town
produce dos marcas: Expansion Draft y Burning River. Expansion
Draft tiene un 8. precio de venta de $20 por barril, mientras que
Burning River tiene un precio de venta de 8 dlares por barril. La
produccin de un barril de Expansion Draft requiere 8 libras de maz
y 4 libras de lpulo. La produccin de un barril de Burning River
requiere de 2 libras de maz, 6 libras de arroz y 3 libras de lpulo.
La cervecera tiene 500 libras de maz, 300 libras de arroz y 400
libras de lpulo. Suponga una relacin lineal y use Solver de Excel
para determinar la mezcla ptima de Expansion Draft y Burning River
que maximice el ingreso de C-town. BC Petrol fabrica tres productos
en su planta qumica en Kentucky: BCP1, BCP2 y BCP3. Estos pro-9.
ductos se elaboran con dos procesos de produccin llamados zona y
hombre. La operacin del proceso zona durante una hora cuesta 48
dlares y produce tres unidades de BCP1, una unidad de BCP2 y una
unidad de BCP3. La operacin del proceso hombre durante una hora
cuesta 24 dlares y produce una unidad de BCP1 y una unidad de BCP2.
Para satisfacer la demanda de los clientes se debe producir
diariamente un mnimo de 20 unidades de BCP1, 10 unidades de BCP2 y
6 unidades de BCP3. Supon-ga una relacin lineal y use Solver de
Excel para determinar la mezcla ptima del proceso zona y del
proceso hombre para minimizar los costos y satisfacer la demanda
diaria de BC Petrol. Una agricultora de Wood County tiene un
terreno de 900 acres. Piensa sembrar cada acre con maz, 10. soya o
trigo. Cada acre con maz produce 2 000 dlares de utilidad, cada
acre con soya produce 2 500 dlares de utilidad y cada acre con
trigo produce 3 000 dlares de utilidad. Ella tiene 100 trabajadores
y 150 toneladas de fertilizante. La tabla que se presenta a
continuacin muestra los requerimientos por acre para cada una de
las tres cosechas. Suponga una relacin lineal y use Solver de Excel
con el fi n de determinar la mezcla ptima para sembrar maz, soya y
trigo para maximizar su utilidad.
Maz Soya Trigo
Trabajo (hombres) 0.1 0.3 0.2 Fertilizante (toneladas) 0.2 0.1
0.4
NOTA1. La pendiente de la funcin objetivo es 2. Si P = utilidad,
P = $2H + $4C; $2H = P $4C; H= P/2 2C. Por lo tanto, la
pendiente es 2.
Anderson, D.R., D.J. Sweeney y T.A. Williams. An Introduction to
Management Science, 11a. ed. Mason, OH. South-Western, 2005.
Kelly, Julia y Curt Simmons. The Unoffi cial Guide to Microsoft
Ex-cel 2007. Nueva York: John Wiley & Sons, 2007.
Winston, W.L. y S.C. Albright. Practical Management Science. 3a.
ed. Mason, OH: South-Western, 2006.
BIBLIOGRAFA SELECCIONADA
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