Programación Lineal - WordPress.comMatemática Básica -Programación Lineal 2018- FCE-UNL 3 Programación Lineal 1. Introducción La Programación Lineal es una de las principales
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MATEMÁTICA BÁSICA
-2da PARTE-
2018
EQUIPO DOCENTE
Susana Marcipar Claudia Zanabria Marta Nardoni
Gabriela Roldán Cecilia Municoy Cristina Rogiano
Gustavo Cabaña Verónica Valetti Mariel Lovatto
Agustina Huespe Juan Ignacio Suppo (Ayudante alumno)
PROGRAMACIÓN LINEAL
Material Elaborado por: Cristina Rogiano, Gabriela Roldán, Claudia Zanabria
Zanabria, Claudia Programación lineal : problemas de optimización / Claudia Zanabria ; Gabriela Roldán ; Cristina Rogiano. - 1a ed. - Santa Fe : Universidad Nacional del Litoral, 2015. E-Book. ISBN 978-987-692-057-5 1. Álgebra Lineal. 2. Ecuaciones. I. Roldán, Gabriela II. Rogiano, Cristina III. Título CDD 510.712 Fecha de catalogación: 10/03/2015
En esta unidad se trabajará con problemas que refieren a la optimización de funciones de dos variables, máximiza-ción o minimización, que cumplen un conjunto de condiciones. El abordaje de estos problemas requiere de un proce-so formado por distintas etapas. En el siguiente gráfico se visualizan los conceptos fundamentales de esta unidad que surgirán a medida que se tran-site por cada una de las etapas.
Hemos demostrando que P = (1 t) A + t B es un punto de S, t [0,1].
3.1.11- Valores de una función en un segmento
Teorema: Si f es una función definida en R2 de la forma f(x, y) = c1 x+ c2 y sean A =(x1, y1) y B = (x2, y2) puntos en R2 .
Se cumple que para todo punto X que se encuentra en el segmento de recta determinado por los puntos A y B se
verifica que f toma valores comprendidos entre f(A) y f(B).
En consecuencia: Si f(A)=f(B)= K ϵ R entonces f(x) = K
Ejemplo 8: Considerando el segmento: (x1, x2) = (1-t)
3
20;10t
7
60;
7
60 con 0≤ t ≤1 y
la función: f(x1; x2) =z = 20 x1 + 15 x2 Analizaremos los valores que toma esta función en los puntos del segmento: Comenzamos evaluando la función en los puntos extremos:
f 7
60.15
7
60.20
7
60;
7
60
= 300
f 3
20151020
3
2010 ..;
= 300
Si consideramos ahora puntos interiores del segmento como
21
160;
7
65
f
21
160;
7
65= 20. 300
21
160.15
7
65
Aplicaremos los conceptos abordados en las secciones 3.1.1 a 3.1.11 para resolver problemas de programación
lineal por método gráfico.
3.2. Resolución gráfica de un problema de programación lineal de máximo con única solución
Retomamos el problema del ejemplo 1 cuyo modelo es:
Maximizar: G (x, y) = 50 x + 65y (función objetivo)
Sujeto a: (describe el conjunto de restricciones del problema)
3x + 5y 150 (restricción estructural 1)
3x + 3y 120 (restricción estructural 2)
x 0 , y 0 (restricciones de no negatividad)
Debemos determinar la intersección de los cuatro semiplanos correspondientes a las restricciones del problema, la
que nos va a permitir determinar la zona factible.
a) Como f(x,y) = 1 es una recta que está fuera de la zona factible entonces no existe el conjunto de soluciones factibles donde la función objetivo tome el valor 1. Podemos observar en el gráfico
Determinamos la intersección de la recta 3x + 2y = 3 con los ejes coordenados: (0,3/2) y ( 1,0. Como los puntos (0,3/2) y (1,0) son solucio-nes factibles y el segmento determinado por ellos es un conjunto convexo, los puntos del interior dl segmento también son soluciones factibles. El conjunto de soluciones factibles donde la función objetivo vale 3 es
(x,y) = (1-t) (0,3/2) +t ( 1,0) t [0,1]
c) f(x,y) = 4 entonces 3x+2y = 4 Gráficamente
Determinamos la intersección de la recta 3x + 2y = 4 ésta recta con los ejes coordenados: (0, 2) y ( 4/3,0) que son soluciones factibles. El conjunto de soluciones factibles donde la fun-ción objetivo vale 6 es
(x,y) = (1-t) (0,2) +t ( 4/3,0) t [0,1]
d) f(x,y) = 6 entonces 3x+2y = 6
En este caso la intersección de la recta 3x+ 2y = 6 con los ejes no nos da la información co-mo para poder hallar los puntos para deter-minan el segmento. El punto (0,3) no es solución factible Como vemos gráficamente es necesario determinar
e) f(x,y) =11
El conjunto de soluciones factibles donde la fun-ción objetivo vale11 es
el punto de intersección entre la recta x + 3y = 6 y la recta 3x+ 2y = 6
que es el punto ( 6/7,12/7). Entonces el conjunto de soluciones factibles donde la función objetivo vale 6 es
(x,y) = (1-t) (2,0) +t ( 6/7,12/7) t [0,1]
f) f(x,y) = 11.5
El conjunto de soluciones factibles donde la fun-ción objetivo vale 11.5 es
(x,y) = (1-t) (7/2,1/2) + t ( 23/6,0) t [0,1]
g) f(x,y) = 12
Como podemos observar gráficamente la úni-ca solución factible donde f = 12 es (4,0) que es una solución básica factible óptima y en donde f alcanza el valor máximo.
. h) f(x,y) = 18
Gráficamente vemos que no existe solución factible donde f = 18 ya que 18 es mayor al máximo que alcanza la función objetivo.
7.3. ¿Cómo modificación de la función objetivo de un problema de programación lineal para que tenga soluciones alternativas? Analicemos el siguiente ejemplo
La f(x, y) = 3x+2y debe ser cambiado por f(x, y)= x + y o f(x, y)= x + 3y o por ejemplo f(x, y)= 10x + 10y o f(x, y)= 5x + 15y
En el caso de elegir f(x, y)= x + y el conjunto de soluciones óptimas será
(x,y) = (1-t) (4,0) +t ( 3,1) t [0,1] donde el f máximo será 4
En el caso de elegir f(x, y)= 10x + 10y el conjunto de soluciones óptimas será
(x,y) = (1-t) (4,0) +t ( 3,1) t [0,1] donde el f máximo será 40
En el caso de elegir f(x, y)= x + 3y el conjunto de soluciones óptimas será
(x,y) = (1-t) (0,2) +t ( 3,1) t [0,1] donde el f máximo será 6
En el caso de elegir f(x, y)= 5x + 15y el conjunto de soluciones óptimas será
(x,y) = (1-t) (0,2) +t ( 3,1) t [0,1] donde el f máximo será 30
Observaciones:
En los problemas con alternativas tendremos soluciones factibles óptimas no básicas.
No son los únicos cambios posibles, existen infinitos, siempre se debe verificar que para determinado va-lor de la función objetivo tengan la misma pendiente que una recta frontera que determina la zona facti-ble.
8.1 – Categorias de problemas de programación lineal: Como ya lo hemos analizados, al resolver un problema de programación lineal podemos encontrar las siguientes categorías:
8.2- Modelación de un problema de programación lineal
FUNCIÓN OBJETIVO
RESTRICCIONES
CONDICIONES DE NO NEGATIVIDAD
8.3- Métodos de Resolución:
EsquinaPuntodelMétodo
GráficoMétodosolucióndeMétodos Re
8.4- Clasificación de soluciones: Las soluciones de un problema de programación lineal se pueden categorizar de acuerdo al siguiente cuadro
ÓPTIMANO
ÓPTIMABÁSICASNO
ÓPTIMANO
ÓPTIMABÁSICAS
FACTIBLESOLUCIÓN
Todo punto de la región factible es una solución factible del problema. La solución factible es básica cuando se en-cuentra en uno de los vértices de la región, en caso contrario es no básica. Si la solución básica optimiza la función objetivo, se denomina solución factible básica óptima.
Problema nº6: Un revendedor acude a cierta fábrica de materiales de construcción a comprar cerámicos con
$50000. Le ofrecen dos tipos de cerámicos: las de tipo A a $50 el m2 y las de tipo B a $80 el m2. Sólo dispone en su
camioneta de un espacio para transportar 700 m2 de cerámicos como máximo y que piensa vender el m2 de cerámi-cos tipo A a $58 y el m2 de tipo B a $90.
a) ¿Cuántos m2 de cerámicos de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio?
b) ¿Cuál será ese beneficio máximo?
Problema nº7: Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3
toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres cali-
dades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200
de baja calidad. Sabiendo que el costo diario de la operación es de $2000 en cada mina ¿cuántos días debe trabajar
cada mina para que el costo sea mínimo?
Problema nº8: Imaginemos que las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas, hidratos de car-
bono y grasas son 8, 12 y 9 unidades, respectivamente. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa
composición mínima mezclando los productos A y B cuyos contenidos por kilogramo son los que se indican en la siguiente tabla:
Proteínas Hidratos Grasas Costo (kg)
Producto A 2 6 1 600
Producto B 1 1 3 400
¿Cuántos kilogramos de cada producto deberán comprarse semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea
mínimo?
Problema nº9: Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 28 kg de manteca para hacer dos tipos de tor-
tas T1 y T2. Para hacer una docena de tortas de tipo T1 necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1kg de manteca y
para hacer una docena de tipo T2 necesita 6 kg de harina, 0,5 kg de azúcar y 1 kg de manteca.
El beneficio que obtiene por una docena de tortas tipo T1 es $30 y por una docena de tipo T2 es $30. Halla el núme-
ro de docenas que tiene que hacer de cada tipo de torta para que el beneficio sea máximo.
Problema nº10: Una empresa fabrica dos tipos de perfumes: A y B. La primera contiene un 15% de extracto de rosas,
un 20% de alcohol y el resto es agua y la segunda lleva un 30% de extracto de rosas, un 15% de alcohol y el resto es
agua. Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de rosas y de 50 litros de alcohol. Cada día se pueden producir
como máximo 150 litros del perfume B. El precio de venta por litro de perfume A es de $500 y el del perfume B es
$2000. Halla los litros de cada tipo de perfume que deben producirse diariamente para que el beneficio sea máximo.
Problema nº11: Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 micros de 40 plazas y 10 micros de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un micro grande cuesta 80
pesos y el de uno pequeño, 60 pesos. Calcula cuántos micros de cada tipo hay que utilizar para que la excursión re-
sulte lo mas económica posible para la escuela.
Problema nº12: Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar más de 8 ha con
olivos de tipo A. Cada hectárea de olivos de tipo A necesita 4 m3 de agua anuales y cada una de tipo B, 3 m3. Se dis-pone anualmente de 44 m3 de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una inversión de $500 y cada una de tipo B,
$225. Se dispone de $ 4500 para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de olivar de tipo A y B producen, respecti-
vamente, 500 y 300 litros anuales de aceite:
a) Halla las hectáreas de cada tipo de olivo que se deben plantar para maximizar la producción de aceite.
Problema nº13: El siguiente gráfico representa el área de soluciones factibles de un problema de programación li-neal donde la función objetivo es:
Maximizar f(x, y) = 4 x + 2 y
a) Formula el problema de pro-gramación lineal correspondien-te.
b) Resuelve el problema utilizando el método punto esquina.
c) Resuelve el problema gráfica-mente
d) Determina el conjunto de solu-ciones factibles donde f(x,y) = 20
e) Resuelve los ítems a) b) y c) pe-ro suponiendo que la función objetivo corresponde a : Minimizar g(x, y) = 4 x + 2 y
f) Modifica la función objetivo pa-ra que el problema de máximo tenga alternativa.
Problema nº14: El siguiente gráfico representa el área de soluciones factibles de un problema de programación li-neal donde la función objetivo es: Maximizar f(x, y) = x + 2 y.
a) Formula el problema de pro-gramación lineal correspon-diente.
b) Resuelve el problema utili-zando el método punto es-quina.
c) Resuelve el problema gráfi-camente
Problema nº15: El siguiente gráfico corresponde a un problema de programación lineal de máximo cuya función objetivo es : f (x1,x2) = 50x1 +50x2
a) Determina el sistema de inecuaciones que lo verifica. b) Resuelve el problema gráficamente. c) Da las coordenadas de un punto que corresponda a: - una solución factible no básica - una solución factible básica no óptima - una solución factible básica óptima - una solución factible óptima no básica Problema nº16: Para el siguiente problema de programación lineal:
Minimizar g(x,y) = x +3y sujeto a 13x +6y 25 x+3y 7 x0 y0 a) Determina las coordenadas de dos puntos esquina. b) Busca una solución factible (x,y) al problema planteado donde g(x,y) = 10 c) Resuelve gráficamente. Problema nº17: El siguiente conjunto de puntos P1 = (0,0); P2 = (4,0); P3 = (3,2); P4 = (1,3) ; P5 = (0,3); constituyen los vértices de un conjunto convexo que es el conjunto de soluciones factibles de un problema de programación lineal de máximo. Los puntos P3 y P4 son soluciones óptimas del problema. a) Plantea el problema de programación lineal b) Grafica el conjunto de soluciones factibles, la función objetivo y el conjunto de soluciones óptimas. c) Determina, si existe, una solución básica donde la función objetivo asume el valor 4. Problema nº18: Para el siguiente problema de programación lineal:
Maximizar ( x, y) = 2x + 5y sujeto a x + 2,5y 4 ; 2x + y 3; x 0 ; y 0 a) Determina las coordenadas de dos puntos de esquina.
b) Busca una solución factible (x, y) al problema planteado donde (x , y) = (1, 0 )
c) Modifica la pendiente de para que el máximo de este problema esté en el punto (1,5, 0).
Problema nº19: a) Investiga si los puntos
2
9,
2
3; (0, 6) y
3
10,
3
5 están en el segmento determinado por los pun-
tos (1, 5) y (2, 4) Problema nº20: El siguiente gráfico representa el área de soluciones factibles de un problema de programación li-neal donde la función objetivo es:
a) Completa la formulación del problema de programación lineal con el conjunto de restricciones estructurales y las condiciones de no negatividad. b) Expresa el conjunto de puntos del área de soluciones factibles donde el funcional sea: i) f (x, y) = 4 ii) f (x, y) = 8 iii) f (x, y) = 12 iv) f (x, y) = 14 Problema nº21: Una empresa produce dos productos P1 y P2 y desea maximizar las ganancias. Los requerimientos para cada producto 1 se dan en la siguiente tabla:
Producto 1 Producto 2
Materia prima 1 1 2
Materia prima 2 1 1
Materia prima 3 4 3
De la materia prima uno dispone de hasta 28 unidades, de la materia prima dos hasta 16 unidades y de la materia prima tres hasta 56 unidades. Si la ganancia de cada unidad del producto P1 es de $ 12 y la de cada unidad del pro-ducto P2 es de $ 9 ¿Cuántas unidades del producto 1 y cuántas unidades del producto 2 se deben fabricar para ob-tener la máxima ganancia? a) Plantea el problema de programación lineal. b) Determina la solución óptima del problema de máximo con el correspondiente valor del funcional. c) En el problema de máximo, determine si (11, 4) es una solución factible óptima no básica. Problema nº22: Una maderera, que tiene dos sucursales, necesita producir al menos 80 artículos de madera de baja calidad, 140 de mediana calidad y 50 de alta calidad. Cada día, la sucursal I produce 20 artículos de baja calidad, 30 de mediana calidad y 10 de alta calidad, mientras que la sucursal II produce 10 artículos de baja calidad, 20 de media y 10 de alta calidad. Si los costos diarios son de $ 4000 para la sucursal I y de $3500 para la sucursal II. ¿Cuán-tos días debe operar cada sucursal para satisfacer los requerimientos de producción a un costo mínimo? ¿Cuál es el costo mínimo? Resuelve utilizando el método punto esquina Problema nº23: El siguiente gráfico representa el área de soluciones factibles de un problema de programación li-neal donde la función objetivo es:
Maximizar f(x, y) = 2 x + 3 y.
a) Dé las coordenadas de un punto que corresponda a: - una solución factible no básica - una solución factible básica no optima - una solución factible básica optima b) Expresa el conjunto de puntos del área de soluciones factibles donde el funcional sea: i) f (x, y) = 6. ii) f (x, y) = 11
Se deben comprar 200 m2 de cerámicos de tipo A y 500 m2 de cerámicos tipo B para obtener un beneficio máxi-
mo de $6600.
7) Variables de decisión: x: nº de días que se debe trabajar en la mina A y: nº de días que se debe trabajar en la mina B
Minimizar: f(x,y) = 2000x+2000y
sujeto a: x+2y ≥ 80
3x+2y ≥ 160
5x+2y ≥ 200 x ≥ 0, y ≥ 0
Se debe trabajar 40 días en la mina A y 20 en la B. Costo mínimo $120000 8) Variables de decisión: x: nº de kg del producto A y: nº de kg del producto A
Se deben comprar 3 kg del producto A y 2 kg del producto B. Costo mínimo $2600 9) Variables de decisión: x: nº de docenas de tortas de tipo T1 y: nº de docenas de tortas de tipo T2
Maximizar: f(x,y) = 30x+30y
sujeto a: 3x+6y ≤ 150
x+1/2 y ≤ 22
x+y ≤ 28
x ≥ 0, y ≥0 Conjunto de soluciones óptimas
(x, y) = (1t) (16, 12) + t (6,22) t [0,1] Beneficio máximo de $840. 10) Variables de decisión: x: nº de litros de perfume A y: nº de litros de perfume B
Maximizar: f(x,y) = 500x+2000y
sujeto a: 0.15x+0.30y ≤ 60
0.20 x+0.15 y ≤ 50 y ≤ 150
x ≥ 0, y ≥ 0
Se deben producir 100 litros de perfume del tipo A y 150 litros de perfume del tipo B. Beneficio máximo $350000 11) Variables de decisión: x: nº de transportes grandes y: nº transportes pequeños
Minimizar: f(x,y) = 80x+60y
sujeto a: 50x+ 40y ≥ 400
x+ y ≤ 9
x ≤ 10
y ≤ 8
x ≥ 0, y ≥ 0
Se deben utilizar 4 transportes grandes y 5 pequeños. Costo mínimo $620. 12) Variables de decisión: x: nº de ha de olivo tipo A y: nº de ha de olivo tipo B
Maximizar: f(x,y) = 500x+300y
sujeto a: x ≤ 8
4x+3y ≤ 44
500x+225y ≤ 4500
x ≥ 0, y ≥ 0
a) Hay que cultivar 8 hectáreas de olivo de tipo A y 4 hectáreas del tipo B.
b) La producción máxima es de 5200 litros 13) a) Max f(x,y) = 4x + 2y Sujeto a
2x + 3y ≤ 24 2x + 3y ≥ 12 2x + y ≥ 6 x + y ≤ 9 x ≥0 y ≥0
(0,3) solución factible básica no óptima (2,2) solución factible básica óptima Para obtener una solución factible no básica óptima en
(x1,x2) = (1-t) (1,3) +t (2,2) t [0,1] tomamos por ejemplo t = 1/2 (x, y) = (1-1/2) (1,3) +1/2 (2,2) = 1/2 (1,3) +1/2 (2,2) = (1/2,3/2)+(1,1) = (1/2+1,3/2+1) = (3/2,5/2). 16) a) Dos de los puntos esquinas factibles pueden ser (1,2) (0,25/6) b) Ejemplo (1,3) g(1,3) = 1+3.3=10 c) Resolución gráfica
b) i) (x, y) = (1t) (1, 0) + t (0, 2) t [0,1] ii) (x, y) = (1t) (2, 0) + t (1, 2) t [0,1]
iii) (x, y) = (1t) (3, 0) + t (2, 2) t [0,1]
iv) (x, y) = (3, 1)
21)a) x1: nº de unidades del producto 1 x2: nº de unidades del producto 2 Maximizar: f(x1,x2) = 12x1+ 9x2 sujeto a x1 + 2x2 ≤ 28 x1 + x2 ≤ 16 4x1 + 3x2 ≤ 56 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
b) Solución óptima (x1,x2)= (1-t)(14,0)+t(8,8) t0,1 Máximo f = 168 c) (11,4)= (1-t) . (14, 0) +t (8,8) = (14 -14t, 0) + (8t, 8t)= (14 - 6t, 8t)
)2(4t8
)1(11t614 De (2) 8t = 4 t = ½ en (1) 14-6(1/2) = 14-3 = 11
Como (11,4) está en el segmento determinado por (14,0) y (8,8) es una solución factible no básica óptima. Otra forma de resolver el ítem c) f(11,4)= 12(11)+9(4) = 168 (11,4) es una solución factible ya que verifica todas las siguientes desigualdades 11 + 2 .(4) ≤ 28 11 + 4 ≤ 16 4(11) + 3 .(4) ≤ 56 11 ≥ 0 4 ≥ 0
Actividad 1: El lenguaje de la programación lineal 1) Lee el siguiente problema: “Una compañía de software para computadoras publica juegos y progra-
mas educativos. Su estrategia de negocios es comercializar por lo menos 32 nuevos software cada año, pero si se duplica la producción de programas educativos, el total de software no debe superar las 48 unidades. La compañía tiene una ganancia de 15 mil dólares por cada juego y 20 mil dólares por cada programa educativo. Determina cuántos juegos y cuántos programas educativos debe pro-ducir para maximizar su ganancia ” 1 a) ¿Por qué el problema dado es de programación lineal? 1b) Modela la situación planteada en el problema identificando: FUNCIÓN OBJETIVO – RESTRICCIO-NES - CONDICIONES DE NO NEGATIVIDAD
2) El siguiente es un modelo de un problema de un programación lineal y su representación gráfica.
2a) Ubica cada concepto según corresponda: FUNCIÓN OBJETIVO – RESTRICCIONES - CONDICIONES DE NO NEGATIVIDAD- REGIÓN FACTIBLE – SOLUCIÓN
BÁSICA – SOLUCIÓN BÁSICA ÓPTIMA –SOLUCIÓN NO BÁSICA
Maximizar: f(x;y) = 10 x + 10 y
Sujeto a: 2x + y 8
2x + 3y 12
y 3
x 0
y 0
2b) ¿Cómo se debe definir la función objetivo para que la solución sea: (x; y) = (3; 2) (1-t) + (4;0) t , 0≤t≤1
2c) ¿Cuál es la solución si se pretende que f(x;y) = 30?
Actividad 2: Argumenta si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. a) Sabiendo que.: “Una compañía de software para computadoras publica juegos y programas educa-
tivos. Su estrategia de negocios es comercializar por lo menos 32 nuevos software cada año, pero si se duplica la producción de programas educativos, el total de software no debe superar las 48 unidades. La compañía tiene una ganancia de 15 mil dólares por cada juego y 20 mil dólares por cada programa educativo”. En estas condiciones se puede asegurar que:
Producir 10 programas de cada tipo es una solución factible de este problema.
b) El segmento: (x; y) = (2;1) t + (4; 5) (1-t), siendo 0≤t≤1, es solución de un problema de programa-
ción lineal de máximo. Con esta información se puede asegurar que (10/3 ; 11/3) es una solución
óptima de dicho problema.
c) El punto (10/3, 13/3) pertenece al segmento determinado por (2,3) y (4,5).
d) Dado el siguiente problema de Programación Lineal: Minimizar g(x,y) =6x+2y sujeto a: x+y ≥ 8 3x+y ≥ 12 x≥0 y≥0 una solución factible no básica óptima del problema es: (2;6)
e) Dada la siguiente zona factible del problema de programación lineal cuya función objetivo es: Ma-ximizar f(x,y) = x + y el conjunto de restricciones que representa la zona factible es:
x + y ≤ 4 5x + 3y ≤ 15 y ≤2 x≥0 y≥0
REFLEXION FINAL: Supone que debes darle a un compañero, que va a cursar Matemática Básica, una opinión sobre el taller. Expresa que le dirías al respecto