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Princípio generalizado:Se mais de k itens são colocados em k caixas, então pelo
menos uma caixa contém mais de um item.
Exemplos práticos de aplicação:Suponha que um departamento possui 13 professores.
Então dois dos professores nasceram no mesmo mês.
Suponha que um saco de lavanderia contém meias vermelhas, brancas e azuis. Então é necessário pegar apenas quatro meias para se ter certeza de obter um par com uma única cor.
Achar o menor número de elementos que devem ser escolhidos em um conjunto S = {1,2,3,...,9} para se ter certeza de que dois números somem 10.
Os conjuntos de dois números que somam 10 são {1,9}, {2,8}, {3,7}, {4,6}, {5,5}. Logo qualquer escolha de seis elementos de S garante que dois dos números somam 10.
O binômio de Newton permite escrever na forma canônica o polinômio correspondente à potência de um binômio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático
Isaac Newton. A expressão para o quadrado de um binômio é bastante
conhecida:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Esse é o caso particular de se elevar ao quadrado um binômio a uma potência inteira não negativa n.A fórmula genérica para (a + b)n envolve a combinação de
n elementos.Há um algoritmo simples para calcular os coeficientes
Calculando-se os valores das combinações, tem-se o triângulo com os seguintes valores:
Observando atentamente o triângulo, constata-se que qualquer número que não esteja na borda pode ser obtido somando-se os dois elementos diretamente acima na linha anterior.
Demonstração Combinatória de C(n,k) = C(n - 1,k - 1) + C(n - 1,k), para 1 k n - 1.
Deseja-se calcular C(n,k), o número de maneiras de se escolher k objetos entre n objetos. Tais escolhas podem classificadas em duas categorias distintas: o objeto 1 é um dos k objetos ou não.
Se o objeto 1 for um dos k objetos, então os k - 1 objetos que faltam têm que ser escolhidos entre os n - 1 objetos, retirando-se o objeto 1, e existem C(n - 1,k - 1) escolhas possíveis.
Se o objeto 1 não é um dos k objetos, então todos os k objetos têm que ser escolhidos entre os outros n - 1 objetos e existem C(n - 1,k) escolhas possíveis.
O número total de escolhas é a soma das escolhas desses dois casos disjuntos.
Uma análise dos coeficientes nas expansões anteriores sugere um resultado geral, ou seja, que os coeficientes na expansão (a + b)n são os elementos na linha n no Triângulo de Pascal. Isso é formalizado no teorema abaixo.
Devido a seu uso no teorema binomial, a expressão C(n, r) também é chamada de coeficiente binomial.