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Seja o sistema linear Ax = b. Um processo de fatoração para a resolução do sistema
linear acima consiste em decompor a matriz A (matriz dos coeficientes) num produto de dois ou mais fatores, e resolver uma sequência de sistemas lineares que conduz à solução do sistema original.
Ou seja, Caso possa se fazer a fatoração A = CD, o sistema linear
Ax = b pode ser escrito como (CD)x = b.Se y = Dx, então resolver o sistema linear Ax= b é o
mesmo que resolver o sistema linear Cy = b e em seguida solucionar o sistema Dx = y.
Os processos de fatoração são vantajosos pois permitem resolver qualquer sistema linear que tenha a matriz A como matriz de coeficientes.
A fatoração LU é um dos processos de fatoração mais empregados para se resolver sistemas lineares. Nessa fatoração, a matriz L é uma matriz triangular inferior
com diagonal unitária e a matriz U é uma matriz triangular superior.
A obtenção dos fatores L e U por fórmulas dificulta o uso de estratégias de pivoteamento, e por esta razão, para se obter esses fatores será usado o processo de Gauss.
Para exemplificar, seja o seguinte sistema linear e a respectiva matriz A, apresentados a seguir,
Sintetizando, Fatorou-se a matriz A em duas matrizes triangulares L e U,
sendo que o fator L é triangular superior com diagonal unitária e seus elementos lij para i > j são os multiplicadores mij obtidos no processo de Eliminação de Gauss; e
O fator U é triangular superior e é a matriz triangular obtida no final da fase de triangularização do Processo de Eliminação de Gauss.
A estratégia de pivoteamento parcial na fatoração LU requer a permutação de linhas na matriz A(k), quando necessário.
Para isso, é necessárioDefinir o que é uma matriz de permutação;Como usar o pivoteamento parcial na fatoração LU; e Analisar quais os efeitos das permutações na solução dos
Uma matriz quadrada de ordem n é denominada de Matriz de Permutação quando ela pode ser obtida a partir da Matriz Identidade de ordem n permutando-se suas linhas (ou colunas).
Fazendo-se a pré-multiplicação de uma matriz A por uma matriz de permutação P obtém-se a matriz PA com as linhas permutadas e esta permutação de linhas é a mesma efetuada na matriz identidade para se obter a matriz P.