Prof. Jorge Teoria dos Conjuntos. Prof. Jorge Conjuntos – Conceitos iniciais Na teoria dos conjuntos, consideramos como primitivos os conceitos de elemento,

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Teoria dos Conjuntos

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Conjuntos – Conceitos iniciais

Na teoria dos conjuntos, consideramos como primitivos os conceitos de elemento, pertinência e conjunto.

Exemplos - Conjunto

I. O conjunto dos alunos do 1º ano do Colégio Nóbrega.

II. O conjunto de todos os números inteiros.

III. O conjunto de todos os números reais que é solução da equação x2 – 16 = 0.

Em geral, utilizamos letras latinas maiúsculas para representar conjuntos. A, B, C, ..., Z.

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Conjuntos – Conceitos iniciais

Na teoria dos conjuntos, consideramos como primitivos os conceitos de elemento, pertinência e conjunto.

Exemplos – Elemento

I. Pedro é um elemento do conjunto dos alunos do 1º ano do Colégio Nóbrega.

II. 7 é um elemento do conjunto dos números inteiros.

III. +4 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x2 – 16 = 0.

Em geral, utilizamos letras latinas minúsculas para representar elementos. a, b, c, ..., z.

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Conjuntos – Conceitos iniciais

Na teoria dos conjuntos, consideramos como primitivos os conceitos de elemento, pertinência e conjunto.

Exemplos – Pertinência

I. Pedro pertence ao conjunto dos alunos do 1º ano do Colégio Nóbrega.

II. 7 pertence ao conjunto dos números inteiros.

III. +4 pertence ao conjunto dos números reais que satisfaz à equação x2 – 16 = 0.

Utilizamos o símbolo “pertence” e “não

pertence” para relacionar elemento e conjunto.

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Notações de Conjuntos

Um conjunto pode ser representado:

Enumerando seus elementos entre chaves, separados por vírgulas;

Indicando, entre chaves, uma propriedade que caracterize cada um de seus elementos;

Por meio de uma figura fechada, dentro da qual podem-se escrever seus elementos. “Diagrama de Venn-Euler”.

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Exemplo

Representar o conjunto V das vogais.

V = {a, e, i, o, u}

V = {x; x é vogal}

como no diagrama ao lado aei

o

u

V

No caso a V, mas m V.

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Observação

Há conjuntos com apenas:

Um único elemento, chamados conjuntos unitários;

Nenhum elemento, chamados conjunto vazio;

Infinitos elementos, chamados conjuntos infinitos.

O conjunto vazio pode ser representado pelos símbolos { } e Ø.

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Exemplos

A = {x; x é inteiro positivo, par e primo}

A = {2}

B = {x; x é inteiro, ímpar e divisível por 2}

B = { } = Ø

C = {a; a é número natural ímpar e primo}

C = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}

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Se x A ⇒ x B

Se x B ⇒ x A

Observação

Se dois conjuntos possuem exatamente os mesmos elementos (não importando a ordem em que eles aparecem), dizemos que eles são conjuntos iguais.

A = {x; x é inteiro positivo e x < 4}

B = {2, 3, 1}

A = {1, 2, 3} = B.

A = B ⇔

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Exemplo

A = Conjunto das letras da palavra TRATOR

B = Conjunto das letras da palavra ATOR

A = {t, r, a, o}

B = {a, t, o, r}

A = B

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Subconjuntos

Se todo elemento de um conjunto A é também elemento de um conjunto B, dizemos que:

A está contido em B (símbolo: A ⊂ B);

B contém A (símbolo: B ⊃ A);

A é subconjunto de B;

A é parte de B.B A

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Exemplo

A = {x ℕ; x < 4}

B = {x ℝ; x(x – 1) = 0}

A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1}

Podemos afirmar que B é um subconjunto de A (B ⊂ A).

A B0

12

3

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Observação – subconjuntos

Se um conjunto A é igual a um conjunto B (A = B), então A ⊂ B e B ⊂ A.

Se A ≠ B, A ≠ Ø e A ⊂ B, dizemos que A é subconjunto próprio de B.

O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto (Ø ⊂ A, para todo A)

O vazio é subconjunto de qualquer conjunto; Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.

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Exemplo

Encontrar todos os subconjuntos de A = {1, 2, 3}.

Com 0 elemento → Ø

Com 1 elemento → {1}, {2}, {3}

Com 2 elementos → {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}

Com 3 elementos → {1, 2, 3}

Dizemos que Ø e A = {1, 2, 3} são subconjuntos triviais de A. Os outros são os subconjuntos próprios de A.

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Observação – subconjuntos

Chamamos de conjunto das partes do conjunto A e representamos por P(A), o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A.

Exemplo

A = {1, 2, 3}

Subconjuntos de A:

Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}

P(A) = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

n(P(A)) = 2n(A)

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Exemplo

Se um conjunto A tem n elementos e 128 subconjuntos, quantos elementos possui o conjunto A?

2n = 128 ⇒ 2n = 27 ⇒ n = 7

Logo, o conjunto A tem 7 elementos.

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Operações com Conjuntos

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Operações com Conjuntos

A partir de dois conjuntos conhecidos, A e B, podemos obter outros conjuntos, operando com os conjuntos dados.

Definimos as operações a seguir:

I. União;

II. Interseção;

III.Diferença;

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União dos Conjuntos A e B (A B)

É o conjunto dos elementos que pertencem ou a A, ou a B ou a ambos os conjuntos.

A B = {x; x A ou x B}

BA

Podemos generaliza a operação união para três ou mais conjuntos.

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Exemplo

Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 7} e C = {5, 6, 7, 8, 9}, vamos obter:

a) A B.b) A B C.

a) A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}

b) A B C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

No caso de três ou mais conjuntos, podemos escrever A B C = (A B) C = A (B C).

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Interseção dos Conjuntos A e B (A B)

É o conjunto dos elementos que pertencem a A e B.

A B = {x; x A e x B}

BA

Também a operação interseção pode ser generalizada para três ou mais conjuntos.

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Exemplo

Dados os conjuntos A = {0, 1, 5}, B = {0, 2, 5, 7}, C = {4, 6, 7, 9} e D = {0, 1, 6}, vamos obter:

a) A B.b) A C.c) A B D.

a) A B = {0, 5}

b) A C = Ø Logo, A e C são disjuntos

c) A B D = {0}

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Diferença dos Conjuntos A e B (A – B e B – A )

É o conjunto dos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.

A – B = {x; x A e x B}

BA

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Diferença dos Conjuntos A e B (A – B e B – A )

É o conjunto dos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.

B – A = {x; x B e x A}

BA

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Exemplos

Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}, vamos obter:

a) A – B.b) B – A.

a) A – B = {1, 2, 3, 4, 5} – {2, 4, 6} =

b) B – A = {2, 4, 6} – {1, 2, 3, 4, 5} =

Em geral A – B ≠ B – A.

{1, 3, 5}

{6}

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Exemplos

Se A = {x natural, menor que 10 / x é par} eB = {x natural, menor que 10 / x é primo}.Determine A B, A B, A – B e B – A.

A = {0, 2, 4, 6, 8} B = {2, 3, 5, 7}

A B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A B = {2}BA

20

4 6

8

3

5

7

A – B = {0, 4, 6, 8}

B – A = {3, 5, 7}

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Complemento de um Conjunto

No caso em que o conjunto B está contido no conjunto A (B ⊂ A), a diferença A – B pode ser chamada, também, complementar de B em relação

a A (∁AB).

B ⊂ A ⇒ A – B = ∁AB

A B A – B

O complementar de A em relação a um dado universo pode ser representado, simplesmente por A.

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Exemplos

Dados os conjuntos

X = {1, 2, 4}, Y = {1, 2, 3, 4, 5}, X ⊂ Y. Obter ∁YX.

∁YX = Y – X = {1, 2, 3, 4, 5} – {1, 2, 4} = {3, 5}

Se A = {x ℝ; x > 2}, A está contido no universo

ℝ. Obter ∁A.

∁A = A = {x ℝ; x ≤ 2}

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Exemplos

Se A = {a, b, c, d, e} e B = {d, e, f, g} estão contidos no universo U = {a, b, c, d, e, f, g, h},

determinar o conjunto ∁A B.

∁A = U – A = {f, g, h}

∁A B ={f, g, h} {d, e, f, g} ={f, g}

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Número de elementos da união de conjuntos

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Número de elementos da união de conjuntos

Existe uma relação importante que envolve a quantidade de elementos dos seguintes conjuntos finitos: A, B, A B e A B. Observe:

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)

n(A B) = número de elementos da união

n(A) = número de elementos do conjunto A

n(B) = número de elementos do conjunto B

n(A B) = número de elementos da interseção

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Exemplos

Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8}, temos:

A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A B = {4, 5, 6}

Podemos comprovar que:

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)

8 = 6 + 5 – 3 BA2

1 4

6

53

8

7

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Exemplos

O conjunto A tem 8 elementos; o conjunto B, 13 elementos; o conjunto A B, 5 elementos. Determinar o número de elementos do conjunto A B.

BA

58 – 5 = 3 13 – 5 = 8

n(A B) = 3 + 5 + 8 = 16

(A – B) (B – A)A B

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Exemplos Numa turma de 42 alunos, o professor perguntou:

“Quem é torcedor do Grêmio?” 36 levantaram o braço. A seguir, perguntou: “Quem é nascido em Porto Alegre?” 28 levantaram o braço. Sabendo que nenhum aluno deixou de levantar o braço, vamos determinar quantos alunos são gremistas e Porto-alegrenses.

PG

x36 – x 28 – x

36 – x + x + 28 – x = 42

(G – P)(G – P)

G P

⇒ 64 – x = 42 ⇒ x = 22