Proekt na temu

Подготовили, ученики 11 «А» класса.

ГБОУ СОШ №810.

Сафонов Никита

Свистаков Александр

Стольников Григорий

Леонов Никита

Под руководством:

Алешкиной Е.Л.

Проект на тему:решение С2 методом координат.

Метод координат — способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов (например, положение шахматных фигур на доске определяется с помощью чисел и букв). Числа (символы), определяющие положение точки (тела) на прямой, плоскости, в пространстве, на поверхности и так далее, называются её координатами. В зависимости от целей и характера исследования выбирают различные системы координат.

Метод координат.

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Наиболее часто в решении задач используется прямоугольная система координат.

Система координат

Прямоугольная (или декартовая) система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует ее широкому применению.

Так как мы рассматриваем систему координат как один из способов решения С2, то следует говорить о прямоугольной системе координат в пространстве.

Прямоугольная (или декартовая) система координат

Прямоугольная система координат в пространстве (имеется в виду трёхмерное пространство) образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (но не обязательно) одинаковы для всех осей. OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось аппликат.

Прямоугольная система координат в пространстве.

Положение точки А в пространстве определяется тремя координатами x, y и z . Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно.

Координата x называется абсциссой точки,

координата y — ординатой точки,

координата z — аппликатой точки.

Символически это записывают так: А(x; y; z)

Чтобы перейти к решению С2, прежде всего, необходимо понять, как же пользоваться координатами. Какие теоремы регулируют отношения между различными точками пространства?

y

z

x

o

Для начала введем понятие вектора в пространстве. Зададим систему координат Oxyz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т.е. вектор, длина которого равна 1. Обозначим через i единичный вектор оси абсцисс, через j- единичный вектор оси ординат и через k- единичный вектор оси аппликат. Векторы i, j, k назовем координатными векторами.Любой вектор а можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде  a= xi + yj + z k причем коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом.

j

k

i

А что, если в задаче нет векторов? — есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми? Все просто: зная координаты точек — начала и конца вектора — можно вычислить координаты самого вектора.Теорема. Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала.Эта теорема одинаково работает и на плоскости, и в пространстве. Выражение «вычесть координаты» означает, что из координаты x одной точки вычитается координата x другой, затем то же самое надо сделать с координатами y и z. Вот несколько примеров:

y

z

x

o.

A

B

C

A (1; 6; 3)B (3; − 1;

7) C (− 4; 3;

− 2)

AB (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).AC (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).BC (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Координаты середины отрезка.Есть две произвольные точки A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2). Тогда серединой отрезка A1A2 будет точка С с координатами x, y, z, где

Вычисление длины вектора.Длина вектора a (x; y;z) в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть, находится по формуле:  

|𝑎|=√𝑥2+𝑦2+𝑧 2

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Формулa следующая из формулы скалярного произведения:

Скалярное произведение векторов.

формулы, связанные с уравнением на плоскости.

Особого внимания заслуживают формулы, связанные с уравнением плоскости.

Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит через начало координат, D = 0. А если не проходит, то D = 1.

Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0, имеет координаты: n = (A; B; C).

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат.

Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0) — то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:

Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Ответ: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0

Теперь, когда мы вывели основные формулы, связанные с координатами и координатными векторами, мы можем приступить к решению задач С2.

Спасибо за Внимание!.