Simulação de Sistemas (TE102) Simulação de Sistemas (TE102) Aula 5 – Introdução à Teoria das Filas Prof. Anselmo Pitombeira 2011 CENTRO DE TECNOLOGIA Departamento de Engenharia Mecânica e de Produção
Simulação de Sistemas (TE102)Simulação de Sistemas (TE102)Aula 5 – Introdução à Teoria das Filas
Prof. Anselmo Pitombeira
2011
CENTRO DE TECNOLOGIADepartamento de Engenharia Mecânicae de Produção
Sistemas de filas
Clientes
Demandam serviço. São imediatamente atendidos se encontram o servidor desocupado.
Servidor
Atende os clientes. Selecionam clientes da fila para atendimento.
Fila
Acúmulo de clientes que encontram o servidor ocupado ao chegarem no sistema.
Sistemas de filas
Fila Servidor
Sistema
Clientes chegam Clientes partem
Exemplos de sistemas de filas
Lojas, bancos e supermercados:
Clientes: Pessoas que requerem atendimento nos guichês
Servidores: Guichês de atendimento
Fábrica
Clientes: Peças que demandas processamento nas etapas de produção
Servidores: Máquinas e estações de trabalho
Exemplos de sistemas de filas
Portos
Clientes: Navios que demandam o uso do terminal de carga e descarga
Servidores: Máquinas e equipamentos de carga e descarga
Interseção em um sistema viário
Clientes: Veículos que demandam passagem
Servidor: Sistema de controle de tráfego (semáforo)
Elementos de um sistema de filas
Tempo entre chegadas de clientes (TEC): Intervalo de tempo entre clientes sucessivos. Ex.: A cada 2 min chega um cliente em média.
Tempo de atendimento (TA): Tempo que o servidor leva para prestar o serviço a um cliente. Ex.: Um cliente é atendido em média em 1 min.
Elementos de um sistema de filas
Taxa de chegada de clientes (λ)
Ritmo de chegada dos clientes. Inverso do TEC médio.
Ex.: λ = 10 clientes/h TEC = 6 min (em média)→
Taxa de atendimento de clientes (μ)
Ritmo de atendimento. Inverso do TA médio.
Ex.: μ = 5 clientes/h TA = 12 min (em média)→
Elementos de um sistema de filas
Número de servidores:
Um servidor.
Múltiplos servidores. Ex.: Caixa caixa de banco, caixa rápido.
Infinitos servidores. Ex: Sistema de self-service.
Elementos de um sistema de filas
Tamanho da fila
Finita: Há um limite máximo para o tamanho da fila. Ex.: Área de espera em uma agência bancária
Infinita: A fila não possui limitação teórica de tamanho. Ex.: Clientes esperando por uma linha em um sistema de telefonia.
Elementos de um sistema de filas
Disciplina da fila
PEPS (Primeiro-que-entra-primeiro-que-sai): Chamada em inglês de FIFO (first-in-first-out). O servidor seleciona da fila o cliente que espera há mais tempo.
LIFO (last-in-first-out): O cliente que espera há menos tempo na fila é o primeiro a ser atendido. Ex.: Processos em um birô de um funcionário de escritório.
Aleatório: Clientes são selecionados “por sorteio”.
Prioridade: Clientes são selecionados por certa “ordem de importância”. Ex.: Emergência de um hospital, ordens de produção com urgência.
Elementos de um sistema de filas
População de clientes:
Finita: O número de clientes que requerem o serviço é limitado. Ex.: Máquinas que demandam o serviço de manutenção em uma fábrica.
Infinita: Não há limitação teórica para o número de clientes que pode requerer serviço. Ex.: O número de clientes de uma agência bancária pode ser teoricamente considerado infinito.
Comportamento dos clientes
Clientes podem trocar de fila na esperança de reduzir o tempo de espera.
Clientes podem desistir de entrar na fila.
Clientes podem abandonar a fila.
Medidas de desempenho deum sistema de filas
Ls – Número médio de clientes no sistema
Lq – Número médio de clientes na fila
Ws – Tempo médio dos clientes no sistema
Wq – Tempo médio dos clientes na fila
- Número médio de servidores ocupados
u – Utilização média dos servidores
p0 – Probabilidade de um cliente encontrar o servidor desocupado
c̄
Relações entre asmedidas de desempenho
Lei de little
λef – Taxa efetiva de chegada dos clientes
Relação entre Ws e W
q
L s = λ efW s
Lq = λ efW q
W s = W q+1μ
Relações entre asmedidas de desempenho
Relação entre Lq e Ls
Número médio de servidores ocupados
Utilização média dos servidores
L s = Lq+λefμ
c̄ = Ls−Lq =λefμ
u =c̄c
Exercício 1
A taxa efetiva de chegada de clientes em uma fila de banco é de λ = 100 /h.
O tempo médio de atendimento por um guichê é de 2 min.
Há 4 guichês de atendimento.
Ademais, o tempo médio na fila é de 10 min (medido pelo sistema de senhas da agência).
Calcule: O número médio de clientes no sistema e na fila, e a utilização média dos servidores.
Notação de Kendall
Notação simplificada para caracterização do sistema de filas.
(a/b/c):(d/e/f)
a – distribuição dos tempos entre chegadas
b – distribuição dos tempos de atendimento
c – número de servidores
d – disciplina da fila
e – número máximo de clientes no sistema
f – tamanho da população de clientes (finito ou infinito)
Notação de Kendall: Exemplo
(M/D/10):(GD:20:∞)
M Tempo entre chegadas segue uma distribuição exponencial→
D Tempo de atendimento constante (determinístico)→
10 10 servidores paralelos→
GD Disciplina da fila qualquer (general discipline)→
∞ → População infinita
Modelo generalizado de fila de Poisson
Tempos entre chegadas e tempos de atendimento seguem distribuições exponenciais.
Isso implica que as chegadas de clientes e saída de clientes do sistema seguem processos de Poisson.
Distribuição exponencial
f X ( x) = λ e−λ x x ≥ 0 λ > 0
Diagrama de transição de estados
Seja n o número de clientes no sistema em um dado instante.
n é uma variável de estado.
N = 0, 1, 2, 3, …
λn – Taxa de chegadas de clientes no estado n
μn – Taxa de partida dos clientes no estado n
n clientesλ
nμn
Diagrama de transição de estados
0 1 2 ... n-1 n n+1
λ0 λ1 λn-1 λn
μ1 μ2 μn μn+1
Fluxo médio de entrada no estado n = λn−1 pn−1+μn+1 pn+1
Fluxo médio de saída do estado n = (λn+μn ) pn
pn – Probabilidade do sistema se encontrar no estado n
Equações de equilíbrio
Sistema de filas em equilíbrio (estável).
Fluxo de entrada médio no estado n deve ser igual ao fluxo de saída médio do estado n.
λn−1 pn−1+μn+1 pn+1 = (λn+μn ) pn n = 0,1, 2...
Resolvendo as equações de equilíbrio
Para n = 0:
Para n = 1 (resolvendo em função de p0):
Por indução:
μ1 p1 = λ0 p0p1 = (λ0
μ1) p0
p2 = ( λ1 λ0
μ2μ1) p0
pn = ( λn−1 ...λ0
μn ...μ1) p0 p0 = 1−∑
n=1
∞
pn
Número médio de clientes
Dadas as probabilidades de equilíbrio p0, p1, ...pn, ...
L s = ∑n=0
∞
n pn
Exercício 2
Um estacionamento de uma loja está limitado a apenas 5 vagas.
Carros chegam segundo um processo de Poisson a uma taxa de 6 carros por hora.
O tempo de permanência de um veículo no estacionamento segue uma distribuição exponencial com média de 30 min.
Carros que chegam e não encontram vaga esperam na rua (máximo de 3 carros) até uma vaga ser liberada.
Exercício 2 (cont.)
Determine:
O número médio de carros no sistema (estacionamento+fila).
A taxa efetiva de chegada para carros que conseguem utilizar o estacionamento.
O tempo médio que um carro espera por uma vaga.
O número médio de vagas ocupadas.
A utilização média do estacionamento.
A probabilidade de um carro chegar e ter uma vaga disponível.
Modelo (M/M/1):(GD:∞:∞)
É o modelo mais simples e mais utilizado em Teoria de Filas.
Admite λn = λ e μ
n = μ (taxas de chegada e de atendimento
independentes do estado)
A probabilidade pn é dada por:
pn = ( λμ )n
p0
pn = ρn p0 e ρ = λ
μ
Modelo (M/M/1):(GD:∞:∞)
Pode-se provar que:
Logo:
pn = ρn p0 e ρ = λμ
p0 = 1−ρ
pn = ρn(1−ρ)
Modelo (M/M/1):(GD:∞:∞)Número médio de clientes no sistema
L s = ∑n=0
∞
n pn
L s = ∑n=0
∞
nρn(1−ρ)
L s =ρ
1−ρ
Exercício 3
Considere um lava-jato com apenas uma baia para lavagem.
Veículos chegam a uma taxa média de λ = 4 carros por hora.
O tempo de lavagem é exponencial, com média de 10 min.
Carros que não encontram a baia livre, podem esperar estacionados na rua.
Determine as medidas de desempenho do lava-jato.