UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE ANZOÁTEGUI ESCUELA DE INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE COMPUTACIÓN Y SISTEMAS PROCESOS ESTOCÁSTICOS Aplicación del Modelo de Teoría de Colas para el Estudio del fenómeno de espera de Tutti Frappe, ubicado en La Av. Municipal de Puerto La Cruz, Edo. Anzoátegui. PROFESORA: Ing. Yu, Sonia BACHILLERES: Carvalho Fernando C.I: 19.940.928 Valdivieso Rubetzi C.I:
Proyecto de procesos estocasticos a una franquicia de maxidonas en Lecheria, estado Anzoategui, realizado por alumnos de la UDO
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UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NÚCLEO DE ANZOÁTEGUI
ESCUELA DE INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS
DEPARTAMENTO DE COMPUTACIÓN Y SISTEMAS
PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Aplicación del Modelo de Teoría de Colas para el Estudio del fenómeno de espera de Tutti Frappe, ubicado en La Av. Municipal de Puerto La Cruz, Edo. Anzoátegui.
PROFESORA:
Ing. Yu, Sonia
BACHILLERES:
Carvalho Fernando C.I: 19.940.928
Valdivieso Rubetzi C.I: 19.316.800
BARCELONA, ABRIL DEL 2013.
ÍNDICE
Planteamiento del Problema 3
Objetivos : 5
Objetivo General 5
Objetivos Específicos 5
Marco Teórico 6
Sistemas de Colas 6
Componente de un Sistema de Colas 7
Elementos a considerar para el Modelaje de Sistemas de Espera 9
Terminología Utilizada para el Modelaje de Sistemas de Espera 10
Técnicas e Instrumentos de Recolección de Datos 11
Estimación de Parámetros 15
Descripción del Sistema 18
Modelado del Sistema 20
Estimación de los Parámetro de Llegadas y Servicios 25
Aplicación del modelo 29
Análisis de Resultados 32
Conclusiones y Recomendaciones 33
Bibliografía 36
Anexos 37
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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Actualmente el mundo se encuentra en constante crecimiento, ya sea en el
ámbito de la tecnología, la economía, la industria o el mercado, y las colas influyen
en cada uno de estos aspectos al ser parte de la vida diaria ; por otro lado, las
actividades comerciales, financieras y turísticas juegan un papel primordial en el
día a día de la entidad generando un constante crecimiento, mientras que las
colas se han vuelto parte de la vida moderna y las encontramos continuamente en
nuestras actividades diarias como por ejemplo en los supermercado, en el
transito , en los bancos entre otros. Es allí en donde surge el fenómeno de colas
que consiste; en un grupo de individuos o mecanismos que llegan a un
determinado establecimiento para recibir un servicio, sí, ellos esperan para ser
atendidos, surgen las líneas de espera.
La línea de espera es el efecto resultante en un sistema cuando la
demanda de servicio supera la capacidad de proporcionar dicho servicio. Los
sistemas donde se presentan líneas de espera son aquellos que están
conformados por un conjunto de entidades o servidores y una disciplina en la cual
las transacciones llegan, esperan (de ser necesario) y son atendidas. Los clientes
que solicitan el servicio se generan a través del tiempo, éstos entran al sistema y
se unen en una cola. Las entidades pueden ser cajeras, máquinas, semáforos,
etcétera, dependiendo del sistema en cuestión, y las transacciones pueden ser
clientes, piezas, autos, etcétera.
En este tipo de fenómenos, variables como el tiempo de servicio y las
entradas al sistema se encuentran fuera del control de quien toma las decisiones,
por lo tanto surge la necesidad de utilizar modelos estocásticos para su estudio.
Como se mencionó anteriormente, actualmente existe gran cantidad de sistemas
que presenta líneas de espera, así que es necesario aplicar un estudio de las
variables presentes y analizar las complicaciones que pueden estar afectando a
los mismos. La nueva franquicia de jugos naturales tipo frappe, Tutti Frappe, no es
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la excepción al surgimiento de las líneas de espera, donde se presentan colas
como fenómeno de espera debido a que los clientes que solicitan el servicio,
generalmente no pueden ser atendidos exactamente al momento de su llegada.
Este se encuentra ubicado en la Av. Municipal de Puerto La Cruz, Edo.
Anzoátegui.
El problema que se presenta es saber si el local de jugos naturales tipo
frappe se encuentra en capacidad de satisfacer en su totalidad las exigencias de
las personas que asisten al mismo todos los días, o si el sistema puede colapsar
en un determinado momento debido a la gran cantidad de clientes que solicitan el
servicio y esperan para ser atendidos.
El propósito del estudio presentado viene dado por el interés en conocer el
comportamiento del sistema (en este caso se trata de un local de ventas de jugos
naturales tipo frappe, Tutti Frappe).
Para conocer tanto el promedio de llegadas como el promedio de duración
del servicio, bastará con realizar una observación directa dentro del sistema,
tomando nota de las horas en las cuales los clientes llegan al lugar y el tiempo que
tardan en ser servidos y poder inferir sobre el nivel de eficacia y eficiencia, de una
manera más exacta, mediante el empleo de modelos matemáticos.
Una vez estudiado y analizado el modelo matemático, pues partiendo de los
resultados arrojados por dicho estudio y el análisis realizado, se obtiene una
herramienta importante para la toma de decisiones en relación al
desenvolvimiento del sistema de colas que se presenta en el local de ventas de
jugo naturales tipo frappe.
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OBJETIVOS
Objetivo general
Aplicar el Modelo de Teoría de Colas para el Estudio del fenómeno de
espera de Tutti Frappe, ubicado en la Av. Municipal de Puerto La Cruz, Edo.
Anzoátegui.
Objetivos Específicos
Describir el sistema de colas de Tutti Frappe ubicado en la Av. Municipal de
Puerto La Cruz, Edo. Anzoátegui.
Identificar los parámetros del proceso de cola correspondiente al sistema de
usuario.
Estimar los parámetros de entrada y servicios del sistema.
Determinar las medidas de desempeño del modelo de colas que se adapten
al sistema en estudio.
Proponer mejoras valiéndose de los resultados obtenidos de la aplicación
de los modelos matemáticos correspondientes al sistema objeto de estudio.
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MARCO TEÓRICO
Sistemas de Colas
La teoría de colas aparece a principios del presente siglo para estudiar los
problemas de congestión de tráfico que se presentaban en las recientemente
inventadas comunicaciones telefónicas. Entre 1903 y 1905, Erlang es el primero
en tratar el tráfico telefónico de forma científica, y establece la unidad de tráfico
telefónico, que recibe su nombre. Posteriormente esta teoría se ha aplicado a
multitud de problemas de la vida real, como el tráfico de automóviles, la regulación
de semáforos en una ciudad, la determinación del número de cajeros en los
hipermercados, o el control de los tiempos de espera de los procesos que acceden
al procesador de un ordenador que trabaja en tiempo compartido.
Se puede definir un sistema de colas como un sistema en el que los
productos (o clientes) llegan a una estación, esperan en una fila (o cola), obtienen
algún servicio y luego salen del sistema. Ejemplos de un sistema de colas puede
ser:
Los clientes que llegan a un banco, esperan en una fila para obtener un
servicio de uno de los cajeros, y después salen del banco.
Las partes de un producto en un proceso de producción que llegan a una
estación de trabajo en particular desde diferentes estaciones, esperan en
un compartimiento para ser procesadas por una máquina, y luego son
enviadas a otra estación de trabajo.
Las llamadas telefónicas que llegan a un centro de reservaciones de una
aerolínea, esperan a agente de venta disponible, son atendidos por un
agente y dejan el sistema cuando el cliente cuelga.
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Componentes de un Sistema de Colas
Cuando se habla de modelos de colas se está hablando del estudio
matemático de las colas o líneas de espera cuyos componentes son los
siguientes:
Las Llegadas: los clientes llegan al sistema en busca de algún servicio y
pueden ser personas, máquinas que requieren reparaciones, llamadas telefónicas
que hay que contestar. Las llegadas pueden ser constantes o aleatorias, sin son
aleatorias siguen algún comportamiento probabilística, pueden ser individuales o
en grupo.
El Servicio: el servicio o la atención que se le presta al cliente para
satisfacción de su necesidad. El tiempo que se requiere para concluir el servicio
puede ser constante o aleatorio, si es aleatorio sigue algún comportamiento
probabilística.
Fuente de Entrada: es la población potencial de clientes que en algún
determinado momento puede requerir servicio. Puede suponerse que el tamaño es
infinito (por ejemplo los clientes de un supermercado) o finito (los compresores
que se les hace mantenimiento a determinada empresa). De modo que también se
dice que la fuente de entrada es ilimitada o limitada. Como los cálculos son mucho
más sencillos para el caso infinito, esta suposición se hace muy seguida aun
cuando el tamaño real sea un número fijo relativamente grande, y deberá tomarse
como una suposición implícita en cualquier modelo que no establezca otra cosa.
El caso finito es más difícil analíticamente, pues el número de clientes en la cola
afecta el número potencial de clientes fuera del sistema en cualquier tiempo; pero
debe hacerse esta suposición finita si la tasa a la que la fuente de entrada genera
clientes nuevos queda afectada en forma significativa por el número de clientes en
el sistema de líneas de espera.
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También se debe especificar el patrón estadístico mediante el cual se
generan los clientes a través del tiempo. La suposición normal es que se generan
de acuerdo a un proceso Poisson, es decir, el número de clientes que llegan hasta
un tiempo específico tiene una distribución Poisson. En nuestro caso corresponde
a aquel cuyas llegadas al sistema ocurren de manera aleatoria pero con cierta
tasa media fija y sin importar cuántos clientes están ya ahí (por lo que el tamaño
de la fuente de entrada es infinito). Una suposición equivalente es que la
distribución de probabilidad del tiempo que transcurre entre dos llegadas
consecutivas es exponencial. Se hace referencia al tiempo que transcurre entre
dos llegadas consecutivas como tiempo entre llegadas.
Cola: una cola se caracteriza por el número máximo de clientes que puede
admitir. Las colas pueden ser finitas o infinitas, según si este número es finito o
infinito. La suposición de una cola infinita es la estándar para la mayor parte de los
modelos, incluso en situaciones en las que de hecho existe una cota superior,
relativamente grande, sobre el número permitido de clientes, ya que manejar una
cota así puede ser un factor complicado para el análisis. Los sistemas de colas en
los que la cota superior es tan pequeña que se llega a ella con cierta frecuencia,
necesitan suponer una cola finita.
Disciplina de la Cola: se refiere al orden en que se selecciona los clientes
para ser atendidos. Se tienen varias disciplinas:
Primero en entrar, primero en salir. (PEPS o FIFO)
Ultimo en entrar, primero en salir. (UEPS o LIFO)
Aleatorio.
Por prioridades.
Unidad de Servicio: es el sitio donde el cliente es servido. La unidad de
servicio puede ser simple o múltiple. Si existe más de una instalación de servicio,
puede ser que sirva al cliente a través de una secuencia de ellas (canales de
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servicio en serie). En una instalación dada, el cliente entra en uno de estos
canales y el servidor le presta el servicio completo. Un modelo de colas debe
especificar el arreglo de las instalaciones y el número de servidores (canales
paralelos) en cada una. Los modelos más elementales suponen una instalación,
ya sea con un servidor o con un número finito de servidores.
Elementos a Considerar para el Modelaje de Sistemas de Espera
Para poder conocer o determinar si un sistema de colas se ajusta o no a un
modelo conocido, se requiere de un método para clasificar las colas y para esto se
debe tomar en cuenta lo siguiente:
El tamaño de la población.
La forma en que las unidades llegan para ingresar a los sistemas de
cola; por ejemplo; una por una o en grupos.
La disciplina de la línea de espera, o el orden en que se atienden las
unidades.
Si existe o no espacio suficiente para que todas las unidades que
llegan aguarden en fila.
El número de servidores que posee el sistema.
Tomando en cuenta todos estos aspectos podemos obtener los siguientes
modelos:
Cola infinita, fuente infinita, canal simple.
Cola infinita, fuente infinita, canal múltiple.
Cola infinita, fuente finita, canal simple.
Cola infinita, fuente finita, canal múltiple.
Cola finita, fuente finita, canal simple.
Cola finita, fuente finita, canal múltiple.
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Terminología Utilizada para el Modelaje de Sistemas de Espera
La terminología utilizada para modelar matemáticamente un sistema de
colas es la siguiente:
n: Tasa media de llegadas de nuevos clientes cuando hay n clientes en el
sistema (número promedio de llegadas por unidad de tiempo).
1/: Tiempo promedio entre llegadas.
n: Tasa media de servicio de nuevos clientes cuando hay n clientes en el
sistema (número promedio de clientes al cual puede dar servicio la instalación en
una unidad de tiempo, suponiendo que no hay escasez de clientes).
1/: Tiempo promedio de servicio.
Lq: Número esperado de clientes en la cola (excluye los clientes que están
en servicio).
L: Número de clientes que se atienden o esperan en el sistema.
Wq: Tiempo estimado que se emplea un cliente esperando en la cola.
W: Tiempo estimado que emplea un cliente esperando mas el que emplea
siendo atendido.
Po: Probabilidad de encontrar el sistema vacío u ocioso.
Pn: Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema.
: Fracción esperada del tiempo en que los servidores individuales estén
ocupados.
Población: Es todo conjunto de elementos, finito o infinito, definido por una
o más características, de las que gozan todos los elementos que lo componen, y
sólo ellos. Se entiende por población a la totalidad del universo que interesa
considerar, y que es necesario que esté bien definido para que sepa en todo
momento que elementos lo componen.
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Técnicas e Instrumentos de Recolección de Datos
Observación: Es una técnica que consiste en el registro sistemático,
valido y confiable de comportamientos o conducta manifiesta. Como método para
recolectar datos es muy similar al Análisis de Contenido. Puede utilizarse en
diversas circunstancias y puede servir para determinar la aceptación de un grupo
respecto a su profesor, analizar conflictos familiares, eventos masivos, la
aceptación de un producto en un supermercado, el comportamiento de deficientes
mentales, etc. Para el desarrollo de la investigación es necesaria la observación
directa como una de las principales herramientas para la recolección de datos, la
cual implica la necesidad de un trabajo más dilatado y cuidadoso, al estar presente
y ser testigo en el lugar donde ocurre el fenómeno.
Cotejo de Observación: es el instrumento utilizado para anotar cada
una de las observaciones hechas por los investigadores, no posee un patrón o
modelo específico, solo se ajusta a las características del fenómeno de estudio.
Distribución de Probabilidad: Las distribuciones de probabilidad
pueden definirse como la función que representa todas las probabilidades de
ocurrencia de una variable que proporciona un método para relacionar cualquier
resultado con una medida cuantitativa. Las distribuciones de probabilidades varían
según el comportamiento de la variable aleatoria.
Distribución de Poisson
Datos Históricos: La distribución de Poisson se llama así en honor a
Simeón Dennis Poisson (1781 - 1840), francés que desarrollo esta distribución
basándose en estudios efectuados en la última parte de su vida.
Se dice que existe un proceso de Poisson si podemos observar eventos
discretos en un área de oportunidad un intervalo continuo (de tiempo, longitud,