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1LABORATORIO PROCESOS ALEATORIOSNancy Janeth Castillo, Carlos
Andrs Rodrguez
Universidad Tecnologica de Pereira
AbstractEn este informe se encuentra registrado la
experi-mentacin con procesos aleatorios, la creacin de
realizaciones,el paseo aleatorio y los procesos de Wiener.
I. INTRODUCCIN
En este documento se encuenta el desarrollo de
practicasasociadas a procesos aleatorios con la ayuda del software
decomputacin Matlab, y la simulacin de algunos procesos quepermite
una mejor comprensin de lo que son los procesosaleatorios.
Se puede decir que un proceso aleatorio es el conjunto
demultiples seales resultado de un proceso de adquisicin dedatos de
un determinado evento o fenomeno natural evaluadasen tiempos
especificos.
II. PROCESO ALEATORIO DEFINIDO
La primer parte de este laboratorio inicia con la suposicinde un
proceso aleatorio definido como X(t) = Y cos(t), donde es constante
y Y es una variable aleatoria uniforme convalores entre (0,1).
Se comienza dibujando cinco realizaciones del procesoaleatorio
mencionado con la ayuda del cdigo que se muestraen la figura 1.
Figure 1. Creacin de proceso aleatorio
En la figura 2. se muestra el resultado de las 5
primerasrealizaciones del proceso aleatorio. En ellas se puede
observarque la frecuencia es constante y que la amplitud es la
diferenteen cada una de las realizaciones.
Figure 2. Realizaciones
El siguiente paso es realizar el calculo de la media esti-mada
como funcin del nmero de realizaciones utilizando lasiguiente
ecuacin.
X =1
N
Nn=1
xn
Con la ayuda de siguiente cdigo se realiza el clculo (verfigura
3.). En el se puede observar tambin el clculo de lamedia real, al
igual que la determinacin del error de la mediay el valor medio del
error de la media.
Figure 3. Clculo de la media estimada
los valores obtenidos pueden ser observados en la
siguientefigura 4.
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2Figure 4. Mdia estimada
Despues se procede a calcular la funcin de autocovarianzaCXX(t1,
t2), como funcin del nmero de realizaciones. Te-niendo en cuenta
que la covarianza se puede estimar con lasiguiente ecuancin.
cov(X,Y ) =1
N
Nn=1
(xn X)(yn Y )
El proceso se desarrolla con el siguiente cdigo (ver figura5.)
tambien se observa que se evalua la covarianza real
Figure 5. Clculo de la covarianza
como resultado se grfican correspondientemente la covari-anza y
la covarianza real como se muestra en la siguente figura6.
Figure 6. Grficas de covarianza
III. REPRESENTACIN EN SERIETRIGONOMETRICA
Se pide la generacin de realizaciones de la siguiente
serietrigonomtrica de Fourier:
x(t) = a0 +
Nn=1
ancos(n0t) +
Nn=1
bnsen(n0t)
donde a0, an y bnson variables aleatorias de algn tipo.Para la
creacin de las realizaciones se desarrolla el sigu-
iente cdigo, ver figura 7.
Figure 7. Representacin en series de fourier
del cual se grafican cinco realizaciones y la grfica
corre-sponde a el total de las realizaciones creadas. (ver figura
8.)
Figure 8. Realizaciones de series de Fourier
IV. PASEO ALEATORIO
Para esta parte del laboratorio se pide realizar un
paseoaleatorio a partir de d=1 y T=1.
Para el desarrollo de esta parte se crea el siguiente cdigo.(ver
figura 9.)
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3Figure 9. Cdigo paseo aleatorio
El resultado del paseo aleatorio puede ser observado en
lasiguiente figura 10.
Figure 10. Paseo aleatorio
V. PROCESO DE WIENEREn esta parte del laboratorio se solicita
realizar un cdigo
que permita la generacin de un proceso de Wiener. Elcdigo
desarrollado para esta actividad se puede observar enla siguiente
figura 11.
Figure 11. Cdigo para el proceso de Wiener
La grfica obtenida de este proceso puede ser observada enla
siguiente figura 12.
Figure 12. Proceso de Wiener
VI. CONCLUSIONES
Del desarrollo de este laboratorio se pudo observar queen el
proceso aleatorio definido los calculos de la mediaestimada y la
media real son coincidentes, pudiendose decirque el resultado es
satisfactorio, al igual que los calculos delas varianzas y la
covarianzas, donde la media de los erroresera muy cercana a
cero.
De la serie de Fourier como a0, an y bn afectan elcomportamiento
de la serie.
Se pudo observar el comportamiento de un paseo aleatorioy como d
y T afecta su comportamiento.
Del proceso de Wiener se logro observar resultados con-secuentes
con la teora, de modo que se puede decir que elproceso ha sido
satisfactorio.