Señales aleatorias, estacionarias y Ergódicas 1 Bibliografía Básica: Epig 3.3 •Statistical and Adaptive Signal Processing - Spectral Estimation, Signal Modeling, Adaptive Filtering and Array Processing, 2005 Dimitris G. Manolakis Sumario •Introducción •Procesos Aleatorios •Procesos estacionarios •Procesos ergodicos •Densidad Espectral Tel e comunicaciones mática Departamento ISPJAE Procesamiento Digital de Señales
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Señales aleatorias, estacionarias y Ergódicas
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Bibliografía Básica:Epig 3.3•Statistical and Adaptive Signal Processing - Spectral Estimation, Signal Modeling, Adaptive Filtering and Array Processing, 2005 Dimitris G. Manolakis
Se conoce para valores de k ≥1 para todo instante n1 y n2,... nk
y la función de densidad de probabilidades
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Obvio que se requiere para la descripción probabilística una
cantidad de información difícil de obtener en la práctica.
Por eso se recurre a los promedios de primer y segundo orden, a los
momentos.
Para simplificar la nomenclatura se suele representar, el proceso
aleatorio x(n,ζ) como x(n) que además se considera complejo para
generalizar
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Descripción estadística de segundo orden
Valor medio
Varianza
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Para la estadística de x(n) en dos instantes diferentes n1 y n2 se
utiliza la función de autocorrelación o autocovarianza
La función de autocorrelación de las variables aleatorias x(n1) y x(n2)
Nos da la medida de la dependencia de los valores del proceso en
dos instantes diferentes
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La función de autocovarianza de las variables aleatorias x(n1) y x(n2)
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Para la estadística de dos procesos está la función de
crosscorrelación de las variables aleatorias x(n1) e y(n2)
Y la crosscovarianza
crosscorrelación normalizada
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En dependencia del comportamiento estadístico los procesos se
clasifican en:
•Procesos independientes
•Procesos incorrelacionados
•Procesos ortogonales
•Periódicos en sentido amplio (WSP)
•Estacionario en sentido amplio
•Estadísticamente independiente
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Covarianza
Covarianza mide grado de relación entre dos procesos
Cómo varía uno respecto al otro
En forma aproximada se estima según Matlab
M
(x-µx)(y-µy)n=1
n=M
xy= =
xyn=1
n=M
-µxµyM
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Si x e y son procesos aleatorios independientes se cumple:f(x,y)=f(x)f(y)
El grado de independencia lo da la matriz de covarianza. Si E{x,y}=E{y,x} 0Son independientes.
Dos procesos aleatorios x e y se consideran independientes, si los valores fuera de la diagonal son 0.
C={ }x~
2E
{ }y~2E
{ }x y~ ~E
{ }y x~ ~E
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Matriz covarianza de dos variables aleatorias independientes% variables aleatorias dependientesx=[randn(5000,1)];y=[randn(5000,1)];C=cov([x,y])
1.0080 0.0036C= 0.0036 0.9966
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Ejemplo de matriz de covarianza de dos variables aleatorias no independientes% variables aleatorias dependientesd=randn(5000,1);x=[randn(5000,1);d];y=[randn(5000,1);d];C=cov([x,y])
1.0116 0.5116C= 0.5116 1.0268
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Cada variable aleatoria de la secuencia tiene función
densidad de probabilidad diferente
FDP de x(n1) FDPdex(n2).
Procesos estocástico
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Proceso Estacionario
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x(n,ζ)
n
x(n1,ζ)x(no,ζ)
l
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Procesos estacionarios
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Un proceso estocástico es estacionario si la estadística para x(n) es
igual a la estadística para x(n+k) para todo k
Un proceso estocástico es estacionario de orden N si
fx(x1,...,xN;n1,...nN)=fx(x1,...,xN;n1+k,...nN+k)
Si se cumple para N=1,2,3... Es estrictamente estacionario SSS
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Sus propiedades estadísticas no varían al trasladar el origen de tiempo
Proceso estocástico Estacionario en sentido estricto
Si la media y la autocorrelación no varían al trasladar el origen del tiempoMedia: