Problemas variados de trigonometría 1) En un triángulo rectángulo ABC (recto en C) de lados , y respectivamente se cumple que: y Siendo p el semiperímetro del triángulo, calcular el valor de la Solución : De acuerdo al enunciado, efectuamos la siguiente gráfica Si p es el semiperímetro entonces: .....(1) Reemplazando (1) en entonces luego : ..... (2) Análogamente reemplazando (1) en entonces: luego: ..... (3) reemplazando (2) en (3) : por tanto de la figura : entonces :
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Problemas variados de trigonometría
1) En un triángulo rectángulo ABC (recto en C) de lados , y respectivamente se cumple que: y Siendo p el semiperímetro del triángulo, calcular el valor de la Solución: De acuerdo al enunciado, efectuamos la siguiente gráfica
Si p es el semiperímetro entonces: .....(1)
Reemplazando (1) en entonces luego :
.....(2) Análogamente reemplazando (1) en entonces: luego:
.....(3)
reemplazando (2) en (3) : por tanto
de la figura : entonces :
2) De la siguiente figura siendo ABCD un cuadrado. se pide calcular
Solución: Efectuemos los trazos que indica la figura adjunta , que esta de acuerdo a la solución siguiente:
Consideremos que la longitud de cada lado del cuadrado sea : “a” Unamos B y Q entonces: . Unamos Q y D entonces : QD = a. Luego el Δ AQD es isósceles. Por D trazamos una perpendicular a AQ en N entonces : AN = NQ. Como AD AB y ND AQ entonces Δ rectángulo BQA : AQ = .....(1) Δ rectángulo QND : NQ = entonces : AQ = ....(2) Igualando (1) y (2) se obtiene:
Por tanto:
3) Si AD = 4 AC y “O” : centro de la circunferencia . Calcular: cos .
Solución:
Veamos la siguiente figura :
Si AC = a entonces AD = 4a , luego: CD = 3a.
Hagamos: DB = b.
Por propiedad de relaciones métricas en una circunferencia: Luego: ....(1) En el triángulo rectángulo ABD : ....(2)
Reemplazando (1) en (2) ; de donde
Triángulo rectángulo OBD : ....(3)
Luego (1) en (3):
De la figura: finalmente :
4) En un sector circular cuyo ángulo central es “” está inscrito un lado del cuadrado de lado “L”. El radio de la circunferencia correspondiente es: Solución: Grafiquemos la figura siguiente de acuerdo al enunciado del problema y efectuemos Los trazos correspondientes :
Trazemos OT perpendicular a NP entonces: OH también será perpendicular a MQ Luego OT actúa como bisectriz del ángulo central dividiendo a “ “ en partes iguales y también actúa como mediana de MQ y NP. Triángulo rectángulo OMH : Unamos O y N ,siendo : OA = OB = R entonces : ON = R Triángulo rectángulo OTN (sombreado de amarillo) por Pitágoras: Reduciendo:
5) Del gráfico adjunto , calcular: ....(☺)
Solución:
Hagamos AD = DB = a . Unamos el punto B con C entonces en la semicircunferencia . Por D levantemos la perpendicular DN ( N en AC). rectángulo AND : rectángulo DBC :
rectángulo DNC : entonces: ....(1)
Por razones trigonométricas de ángulos compuestos en el primer miembro de (1):
Luego: ....(2) Sustituyendo (1) y (2) en (☺):
Por Tanto:
6) Si AB = BC y AM = 2, MN = 3 ,NC = 4, calcular el valor de sen
Solución:
Observando la figura : al ser el triángulo ABC isósceles (AB = BC) entonces
Por M trazemos una paralela a AC que corte a BC en P Por tanto PC = 2 entonces NP = 2 y
Por Pitágoras en el triángulo rectángulo MNP : MP = y además que:
por consiguiente:
cos = Por propiedad de coseno del ángulo mitad:
despejando cos : por tanto :
7) Sabiendo que : Arcsen a + Arcsen b + Arcsen c = ....(☺) Reducir : E = Solución: De (☺) hagamos: Arcsen a = entonces sen = a ....(1) Arcsen b = entonces sen = b ....(2) Arcsen c = entonces sen = c ....(3)
Además que: + + = ....(4)
Sustituyendo (1), (2) , (3) y (4) en E :
Por identidades trigonométricas:
Multiplicando la expresión anterior por “2”:
Por propiedad del ángulo doble:
Transformando “suma a producto” la expresión encerrada entre paréntesis y efectuando seno del ángulo doble al término :
.....(5)
De otro lado de (4):
Entonces: ....(6) ....(7)
Sustituyendo (6) y (7) en(5):
Reduciendo:
Transformando “diferencia a producto” : ....(8)
Reemplazando (1) , (2) y (3) en (8):
8) En la figura mostrada ¿A qué distancia se encuentra el globo respecto al lago?
Donde H es la altura que se encuentra la vista del niño respecto al suelo y el ángulo “” el ángulo de elevación.Se sobreentiende que la respuesta debe estar en función de “H” y “”.
Solución:Consideremos al globo G y la imagen I como objetos puntuales y “a” la distancia que se encuentra el globo de la superficie del lago.
Por la ley de reflexión de la luz (óptica geométrica): GL = LI = a
De la figura adjunta: ML = H y como GI MÑ y GÑ IÑ entonces
Despejando “ a “ y aplicando identidades trigonométricas de cociente , pitagóricas y propiedad del ángulo doble se deduce finalmente que:
(Este problema fue tomado en el examen de admisión a la Universidad de Ingeniería de Lima-Perú en el año 1997)
9) Si: ....(1)
Calcular: en función de y
Solución:
De (1):
Entonces: ...(2)
sabemos que: ....(3)
Remplazando (3) en (2) :
Desarrollando y ordenando:
Simplificando :
Luego:
De donde: ....(4) esto implica que: ....(5)
reemplazando (4) y (5) en “N”:
Operando y simplificando:
10) Siendo: ...(1) ...(2) Hallar una relación entre “a” y “b” que sea independiente de “x”.
Solución:
Por propiedad del seno del ángulo triple en (1):
Entonces reduciendo: luego: ....(3)
De otro lado de (2) por propiedad del ángulo triple:
Reduciendo:
luego: ....(4)
Dividiendo (4) entre (3) obtenemos: ...(5) Del resultado obtenido en (5) dibujemos el triángulo rectángulo siguiente :
Por Pitágoras: ...(6) De otro lado multipliquemos (3) y (4) y simplificando: ....(7)
Ahora bien del triángulo rectángulo : y
Sustituyendo estas expresiones en (7) y efectuando operaciones tendremos que: 11) Determinar el valor de “K” para que “R” sea independiente de “ ”. Siendo
Solución:
Sabemos que :
Entonces: ...(1)
Análogamente: ...(2)
Sustituyendo (1) y (2) en R y simplificando:
Operando:
Reduciendo: Para que R sea independiente de entonces el término se debe cancelar, esto
se logra igualando a cero el factor . Por tanto: entonces:
12) Si en cuadrilátero inscriptible ABCD se cumple: Calcular (en función de “a”, “b” , “c” y “d”.
Solución: Como ABCD es un cuadrilátero inscriptible entonces
Por la ley de cosenos en el triángulo BAD:
....(1)
Por la ley de cosenos en el triángulo BCD:
Luego de la expresión anterior: ...(2)
Igualando (1) y (2) y despejando :
....(3)
Del dato: entonces : por tanto:
Ordenando y operando:
....(4)
Remplazando (4) en (3): ....(5)
De otro lado recordemos que ...(6) Sustituyendo (5) en (6):
Entonces: Por consiguiente:
13) Si A , B y C son los ángulos interiores de un triángulo cualquiera. Hallar el mínimo valor de : .
Solución:
Si A, B y C son los ángulos interiores de un triángulo entonces:
entonces: ....(1)
Si se cumple (1) entonces se establece que:
....(2) (*) -Ver nota al final del ejercicio- Multiplicando a F por 2 y restando al resultado 2 unidades miembro a miembro :
...(3)
Usando (2) la expresión (3) puede escribirse así:
Ordenando convenientemente y reduciendo:
El segundo miembro es positivo o igual a cero entonces:
por tanto : Luego el mínimo valor de : (*) Justifiquemos que
Ponemos
donde
c.q.d.
14) En la siguiente figura; hallar (x + y), si y
Solución:
De la figura:
En el rectángulo ABC :
En el rectángulo ACD :
En el rectángulo EDA :
En el rectángulo AEF :
Por dato: AF = 3 entonces : entonces : ...(1)
En el rectángulo GFA : ....(2) Igualando (1) y (2):
Por el teorema de Pitágoras en el mismo triángulo :
Por tanto: 15) De la figura:
Hallar:
Solución: Considerando la figura siguiente, por D y B trazamos perpendiculares a la prolongación De AC en M y N respectivamente.
rectángulo DMC : DMC y BCN : por semejanza
Luego : ....(1)
rectángulo AMD : ....(2)
rectángulo ANB : ....(3)
De la figura : ....(4)
Por tanto : sustituyendo (1), (2) y (3) en (4):
Luego:
Entonces:
Por consiguiente:
....(5)
De otro lado de M se desprende que:
...(6)
Reemplazando (5) en (6):
Huaral (Perú) , 10 de marzo de 2002 Julio A. Miranda Ubaldo Profesor de matemáticas Email: [email protected]