Ley de Gauss
Fsica II
Capacitancia y dielctricosEjercicios
Capacitores y capacitancia1. Un capacitor de placas paralelas
con aire tiene una capacitancia de 500pF y una carga de 0,346C de
magnitud en cada placa. stas estn separadas una distancia de
0,453mm. a) Cul es la diferencia de potencial entre las placas? b)
Cul es el rea de cada placa? c) Cul es la magnitud del campo
elctrico entre las placas? d) Cul es la densidad de carga
superficial de cada placa?
Rta.: a) 692 V; b) 0,0256 m2; c) 1,53 106 V/m; d) 1,35 105 C/
m2.2. Las placas de un capacitor de placas paralelas estn separadas
4,79mm y cada una tiene una carga de 5,16108C. Las placas estn en
el vaco. El campo elctrico entre las placas tiene una magnitud de
4,77106V/m. a) Cul es la diferencia de potencial entre las placas?
b) Cul es el rea de cada placa? c) Cul es la capacitancia?
Rta.: a) 22848 V; b) 0,00122 m2; c) 2,25 pF.3. Un capacitor
tiene una capacitancia de 6,17F Cunta carga debe eliminarse para
bajar la diferencia de potencial entre las placas en 50V?
Rta.: 3,09 104 C.4. Un capacitor esfrico est formado por dos
cascarones conductores esfricos concntricos separados por el vaco.
La esfera interior tiene un radio de 20cm y la capacitancia es de
150pF. a) Cul es la distancia entre las superficies de las dos
esferas? b) Si la diferencia de potencial entre las dos esferas es
de 220V, cul es la magnitud de la carga en cada esfera?
Solucina)
Rta.: a) 34,8 mm; b) 3,3 108 C.5. Un capacitor esfrico est
formado por dos cascarones conductores esfricos concntricos
separados por el vaco. La esfera interior tiene un radio de 12 cm y
la exterior, de 15cm. Se aplica una diferencia de potencial de 140V
al capacitor. a) Cul es la capacitancia del capacitor? b) Cul es la
magnitud de E en r=12,1cm, justo fuera de la esfera interior? c)
Cul es la magnitud de E en r=14,9cm, justo dentro de la esfera
exterior? d) En un capacitor de placas paralelas E es uniforme en
la regin entre las placas, excepto en los bordes. Esto tambin es
cierto para un capacitor esfrico?
Solucina)
b)
Rta.: a) 66,7 pF; b) 5740 V/m; c) 3786 V/m;6. Un cable coaxial
utilizado para conectar un aparato de TV a una videocasetera es un
capacitor cilndrico de capacitancia por unidad de longitud de
69pF/m. a) Encuentre el cociente de los radios de los conductores
interior y exterior. b) Si la diferencia de potencial entre los
conductores interior y exterior es de 2V, cul es la magnitud de la
carga por unidad de longitud en los conductores?
Solucina)
b)
Rta.: a) 2,24; b) 1,38 1010 C.7. Un capacitor cilndrico tiene un
conductor interior de 2,5mm de radio y un conductor exterior de 4mm
de radio. El capacitor completo viene 3,5m de largo. a) El
potencial del conductor externo es 350mV mayor que el del conductor
interior. a) Encuentre las cargas (magnitud y signo) sobre los dos
conductores. b) Cul es la capacitancia por unidad de longitud?
Rta.: a) 1,45 1010 C; b) 1,18 1010 F/m.Capacitores en serie y en
paralelo8. Dos capacitores C1=4F y C2=6F estn conectados en serie a
una diferencia de potencial V=+67,5V. Calcule a) la carga en cada
capacitor; b) la diferencia de potencial a travs de cada
capacitor.
Rta.: a) 1,62 104 C; b) V1=40,5 V; V2=27 V.9. Dos capacitores
C1=4F y C2=6F estn conectados en paralelo a una diferencia de
potencial V=+67,5V. Calcule a) la carga en cada capacitor; b) la
diferencia de potencial a travs de cada capacitor.
Rta.: a) Q1=2,7 104 C; Q2=4,05 104 C; b) 67,5 V.10. En la
figura, C1=2F, C2=4F y C3=9F. El potencial aplicado es Vab=+61,5V.
Calcule a) la carga en cada capacitor; b) la diferencia de
potencial a travs de cada capacitor; c) la diferencia de potencial
entre los puntos a y d.
Rta.: a) Q1=7,38105C; Q2=1,476104C; Q3=2,214104C; b)V1=V2=36,9V;
V2=24,6V; c) Vad=V1.11. En la figura, cada capacitor tiene C=2F y
Vab=+40,4V. Calcule a) la carga en cada capacitor; b) la diferencia
de potencial a travs de cada capacitor; c) la diferencia de
potencial entre los puntos a y d.
Rta.: a) Q1=Q2=1,616105C; Q3=3,232105C; Q4=4,848105C
b)V1=V2=8,08V; V3=16,16V; V4=24,24V; c) Vad=V3.12. Para la situacin
descrita en la figura, suponga que Vab=+25V. Calcule a) la carga en
cada capacitor; b) la diferencia de potencial a travs de cada
capacitor. c) La carga en la red completa es igual a Q=CeqVab,
donde Ceq=6F. Explique por qu Q es igual a la carga en el capacitor
de 9F. Explique por qu Q tambin es igual a la suma de las cargas en
los capacitores de 3F, 11F y cualquiera de los capacitores de 12F o
de 6F.
Rta.: a) Q12=Q6=3,332105C; Q3=2,5105C; Q11=9,163105C;
Q9=1,5104C; b)V12=2,78V; V6=5,55V; V3=V11=8,33V; V9=16,67V.13.
Suponga que el capacitor de 3F de la figura anterior se sustituye
por uno distinto y que ste cambia la capacitancia equivalente entre
los puntos a y b a 8F Cul es la capacitancia del nuevo
capacitor?
Rta.: 57 F.14. Dos capacitores de placas paralelas con vaco
tienen una separacin entre placas d1 y d2 y la misma rea A para las
placas. Muestre que cuando los capacitores estn conectados en
serie, la capacitancia equivalente es igual que para un solo
capacitor con placas de rea A y separacin d1+d2.
Solucin
15. Dos capacitores de placas paralelas con vaco tienen placas
de rea Al y A2 e igual separacin entre placas, d. Muestre que
cuando los capacitores estn conectados en paralelo, la capacitancia
equivalente es igual que para un solo capacitor cuyas placas tienen
rea Al+A2 y una separacin d entre ellas.
Solucin
Almacenamiento de energa en capacitores y energa del campo
elctrico16. Un capacitor de aire est hecho con dos placas paralelas
separadas una distancia de 1,20mm. La magnitud de la carga en cada
placa es de 0,024C cuando la diferencia de potencial es de 200V a)
Cul es la capacitancia? b) Cul es el rea de cada placa? c) Cul es
el mximo voltaje que se puede aplicar sin que haya ruptura
dielctrica? (La ruptura dielctrica del aire se presenta cuando
E=3106V/m.) d) Cuando la carga es de 0,024C, cul es energa total
almacenada?
Solucind)
Rta.: a) 120 pF; b) 0,0163 m2; c) 3600 V; d) 2,4 106 J.17. Un
capacitor de 300F est cargado a 276V. Despus se conecta un cable
entre las placas. Cuntos joules de energa trmica se producen a
medida que el capacitor se descarga, si toda la energa almacenada
se utiliza para calentar el cable?
Solucin
Rta.: 11,4 J.
18. Un capacitor de aire que consiste en dos placas paralelas
muy juntas tiene una capacitancia de 1000pF. La carga en cada placa
es de 4,36C. a) Cul es la diferencia de potencial entre las placas?
b) Si la carga se mantiene constante, cul ser la diferencia de
potencial entre las placas si la separacin se duplica? c) Cunto
trabajo se requiere para duplicar la separacin?
Rta.: a) 4360 V; b) 8720 V; c) 9,5103J.19. Un capacitor de
placas paralelas tiene una separacin de placas de 4mm y est cargado
a una diferencia de potencial de 500V. Calcule la densidad de
energa en la regin comprendida entre las placas en unidades de
J/m3.
Solucin
Rta.: 0,069 J/m3.
20. a) Encuentre la densidad de energa del campo elctrico en un
punto situado a 25cm de una carga puntual aislada q=4nC. b) Si la
carga puntual del apartado (a) fuera q=4nC, qu efecto tendra en la
densidad de energa del campo elctrico? Explique.
Solucin
Rta.: 1,47106 J/m3.21. Un capacitor cilndrico de aire de 25m de
longitud almacena 5,4109J de energa cuando la diferencia de
potencial entre los dos conductores es de 3V. a) Calcule la
magnitud de la carga en cada conductor. b) Calcule el cociente de
los radios de los conductores exterior e interior.
Solucina)
b)
Rta.: a) 3,6 109 C; b) 3,18.22. Un capacitor esfrico est formado
con dos cascarones conductores esfricos concntricos separados por
el vaco. La esfera interior tiene un radio de 12cm y la separacin
entre las esferas es de 2cm. La magnitud de la carga en cada esfera
es de 5,30nC. a) Cul es la diferencia de potencial entre las dos
esferas? b) Cul es la energa del campo elctrico almacenada?
Solucina)
b)
Rta.: a) 56,8 V; b) 1,5 107 J.23. Considere el capacitor esfrico
del ejercicio 5. a) Cul es la densidad de energa u en r=12,1cm,
justo fuera de la esfera interior? b) Cul es u en r=14,9cm, justo
dentro de la esfera exterior? c) Para un capacitor de placas
paralelas, la densidad de energa es uniforme en la regin
comprendida entre las placas, excepto cerca del borde de las
placas. Esto tambin es cierto para un capacitor esfrico?
Solucin
Rta.: a) 1,45 104 J/m3; b) 6,34 105 J/m3.24. Un capacitor de
placas paralelas tiene una energa almacenada de 6,45J. La separacin
entre las placas es de 1,40mm. Si la separacin se disminuye a
0,70mm, diga cul es la energa almacenada si a) el capacitor se
desconecta de la fuente de potencial, de modo que las cargas sobre
las placas permanecen constantes; b) el capacitor permanece
conectado a la fuente de potencial, de modo que la diferencia de
potencial entre las placas permanece constante.
Solucin
a)
b)
Rta.: a) la mitad; b) el doble.25. Fuerza sobre una placa de
capacitor. Un capacitor de placas paralelas con rea de placa A y
separacin x tiene cargas +q y -q sobre sus placas. El capacitor se
desconecta de la fuente de carga, de modo que la carga sobre las
placas permanece constante. a) Cul es la energa total almacenada en
el capacitor? b) Las placas se separan una distancia adicional dx.
Cul es ahora la energa total? c) Si F es la fuerza con la que las
placas se atraen entre s, entonces la diferencia de las energas de
los apartados (a) y (b) debe ser igual al trabajo dW=Fdx realizado
al separar las placas. Muestre que F=q2/20A. d) Explique por qu F
no es igual a qE, siendo E el campo elctrico entre las placas.d)
Las cargas en la placa se ubican en una delgada capa del lado
interno del capacitor. El campo elctrico vale E entre las placas y
cero dentro de la placa, por lo que su valor medio es E/2. (ver
Feynman vol II pg. 8-6)Rta.: a) ; b) .
26. Un capacitor C1=20F est cargado a una diferencia de
potencial V0=900V. Los terminales del capacitor cargado se conectan
a los de un capacitor descargado C2=10F. Calcule a) la carga
original del sistema; b) la diferencia de potencial final a travs
de cada capacitor; c) la energa final del sistema; d) la disminucin
de energa cuando se conectan los capacitores. A dnde ha ido la
energa "perdida"?
Solucinb)
Rta: a) 0,018C; b) 600 V; c) 5,4 J; d) 2,7 J.Dielctricos27. El
dielctrico que se va a utilizar en un capacitor de placas paralelas
es una variedad de goma que tiene una constante dielctrica de 3,40
y un campo de ruptura de 2107V/m. El capacitor debe tener una
capacitancia de 1,37nF y debe soportar una diferencia de potencial
mxima de 6000V. Cul es el rea mnima que deben tener las placas?
Rta.: 0,0137 m2.28. Deduzca que la densidad de energa elctrica
para un capacitor de placas paralelas con un material dielctrico
entre las placas es
29. Dos placas paralelas tienen cargas de igual magnitud y signo
opuesto. Cuando se hace el vaco en el espacio comprendido entre las
placas, el campo elctrico es E=3,60105V/m. Si el espacio entre las
placas se llena con un dielctrico, E=1,8105V/m. a) Cul es la
densidad de carga en cada superficie del dielctrico? b) Cul es la
constante dielctrica?
Solucin
Rta.: a) 1,59103C/m2; b) 2.
30. Dos placas conductoras idnticas cargadas con carga de signo
opuesto estn separadas por un dielctrico de 1,60mm de espesor; el
dielctrico tiene una constante dielctrica de 4,50. El campo
elctrico resultante en el dielctrico es de 1,40106V/m Calcule a) la
carga por unidad de rea sobre cada placa conductora; b) la carga
por unidad de rea sobre las superficies del dielctrico.
Solucina)
b)
Rta.: a) 5,58105C/m2; b) 4,34105C/m2; c)
31. Cuando un capacitor de aire de 255nF se conecta a una
batera, la energa que almacena es de 1,99105J. Mientras el
capacitor se mantiene conectado a la batera, se introduce un trozo
de dielctrico que llena completamente el espacio entre las placas.
Esto aumenta la energa almacenada en 2,69105J. a) Cul es la
diferencia de potencial entre las placas? b) Cul la constante
dielctrica del bloque dielctrico?
Solucina)
b)
Rta.: a) 12,5 V; b) 2,35.
32. Dos placas paralelas, cada una de 40cm2 de rea, estn
cargadas con cargas de signo opuesto y magnitud 1,80107C. El
espacio entre las placas est ocupado por un dielctrico y el campo
elctrico dentro de ste es de 3,40105V/m. a) Cul es la constante
dielctrica? b) Cul es la carga total inducida en cualquiera de las
caras del dielctrico?
Solucinb)
a)
Rta.: a) 15; b) 1,68107C.33. Un capacitor tiene placas paralelas
de 12cm2 de rea separadas una distancia de 2mm. El espacio entre
las placas est lleno con polipropileno (Constante dielctrica K=2,2,
campo de ruptura 7107V/m). a) Encuentre la permitividad del
polipropileno. b) Encuentre el mximo voltaje permisible a travs del
capacitor para evitar la ruptura dielctrica. c) Cuando el voltaje
es igual al valor encontrado en el apartado (b), encuentre la
densidad de carga superficial en cada placa y la de densidad de
carga superficial inducida en la superficie del dielctrico.
Rta.: a) 1,9471011F/m; b) 140000V; c) 1,36103C/m2 y
7,43104C/m2.34. Se establece una diferencia de potencial constante
de 24V a travs de los terminales de un capacitor de aire de placas
paralelas de 0,25F. a) Se inserta entre las placas una hoja de
Mylar (Constante dielctrica K=3,1) que llena el espacio. Al
hacerlo, cunta carga adicional fluye hacia la placa positiva del
capacitor? b) Cul es la carga total inducida en cualquier cara de
la hoja de Mylar? c) Qu efecto tiene la hoja de Mylar sobre el
campo elctrico entre las placas? Explique cmo puede conciliar esto
con el aumento de carga sobre las placas que hace que aumente el
campo elctrico.
Solucina)
b) Como la diferencia de potencial se mantiene constante, el
campo elctrico entre las placas tambin permanece constante.
Llamando 0 y a las densidades de carga en las placas antes y
despus, respectivamente, de colocar el dielctrico y i a la densidad
de carga inducida en el dielctrico:
Multiplicando por el rea:
c) Mantiene constante E. Como el capacitor contina conectado a
la batera, la misma cantidad de carga que se induce sobre el
dielctrico tambin se agrega sobre las placas, para mantener la
diferencia de potencial constante. Como consecuencia, mayor
cantidad de carga sobre las placas provoca el mismo campo elctrico
que haba antes de colocar el dielctrico (o sea, tenemos un
dispositivo con mayor capacidad).
Rta.: a) 1,26 105 C; b) 1,26 105 C.Ley de gauss en
dielctricos35. El volumen entre las placas de un capacitor de
placas paralelas est lleno con un plstico de constante dielctrica
K. La magnitud de la carga sobre cada placa es Q. Cada placa tiene
rea A y la distancia entre las placas es d. a) Use la ley de Gauss
para calcular la magnitud del campo elctrico en el dielctrico. b)
Use el resultado obtenido en el apartado (a) para calcular la
diferencia de potencial entre las los placas. c) Utilice el
resultado obtenido en el apartado (b) para determinar la
capacitancia del capacitor. Compare el resultado con la K=C/C0.
Solucina)
b)
Rta: a) ; b)
36. Una carga puntual q se encuentra dentro de un material slido
de constante dielctrica K. a) Use la ley de Gauss para hallar la
magnitud del campo elctrico debido a la carga puntual, a una
distancia d de sta. b) Use el resultado obtenido en el apartado (a)
y la ley de Gauss en su forma original (), para determinar la carga
total (libre y ligada) dentro de una esfera de radio d centrada en
la carga puntual q. c) Encuentre la carga ligada total dentro de la
esfera descrita en el apartado (b).
Solucina)
b)
c)
Rta.: a) ; b) q/d; c)
Problemas
37. Los flashes electrnicos integrados en las cmaras contienen
un capacitor para almacenar la energa utilizada para producir el
destello. En uno de estos dispositivos, el destello dura t=1/100s
con una potencia media de salida de luz de P=600W. a) Si la
conversin de energa elctrica en luz tiene una eficiencia del 95%
(el resto se convierte en energa trmica), cunta energa debe
almacenarse en el capacitor para producir un destello? b) Si la
capacitancia del capacitor del dispositivo es de 0,754mF, cul es la
diferencia de potencial entre sus placas cuando el capacitor ha
almacenado la cantidad de energa calculada en el apartado (a)?
Solucina)
b)
Rta.: a) 6,32 J; b) 129 V.d38. Teclado de computadora. En cierto
tipo de teclado de computadora, cada tecla est conectada a una
pequea placa de metal que sirve como una de las placas de un
capacitor de aire de placas paralelas. Cuando se presiona una
tecla, la separacin entre las placas disminuye y aumenta la
capacitancia. Se utiliza un circuito electrnico para detectar el
cambio de capacitancia y determinar qu tecla se presion. En un
teclado determinado el rea de cada placa metlica es A=49mm2 y la
separacin entre las placas es d1=0,6mm antes de que se presione la
tecla. Si el circuito puede detectar un cambio de capacitancia
C=0,3pF, cunto debe presionarse la tecla antes de que el circuito
detecte la presin?
Solucin
Rta.: 0,176 mm
39. Un conductor cilndrico largo tiene radio ra y una densidad
lineal de carga +. Est rodeado por un cascarn coaxial cilndrico
conductor de radio interno rb y densidad de carga lineal . Suponga
que existe vaco en el espacio entre los cilindros. a) Demuestre que
la capacitancia por unidad de longitud es:
b) Sea d=rbra el espacio entre los conductores interior y
exterior. Sean los radios de los conductores ligeramente
diferentes, de modo que d