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Capacitancia y materiales dieléctricos
Cuando preparamos una ratonera antigua de resorte o tensamos la
cuerda de un arco, almacenamos energía mecánica en forma de energía
potencial elástica. Un capacitor es un dispositivo que almacena
energía potencial eléctrica y carga eléctrica. Para hacer un
capacitor, basta aislar dos conductores uno del otro. Para
almacenar energía en este dispositivo hay que transferir carga de
un conductor al otro, de manera que uno tenga carga negativa y en
el otro haya una cantidad igual de carga positiva. Debe realizarse
trabajo para trasladar las cargas a través de la diferencia de
potencial resultante entre los conductores, y el trabajo efectuado
se almacena como energía potencial eléctrica.
Los capacitores tienen un gran número de aplicaciones prácticas
en dispositivos tales como unidades de flash electrónicas para
fotografía, láseres de pulso, sensores de bolsas de aire para
automóviles y receptores de radio y televisión. Para un capacitor
en particular, la razón entre la carga de cada conductor y la
diferencia de potencial entre los conductores es una constante
llamada capacitancia. La capacitancia depende de las dimensiones y
las formas de los conductores y del material aislante (si lo hay)
entre ellos. En comparación con el caso en que sólo hay vacío entre
los conductores, la capacitancia aumenta cuando está presente un
material aislante (un dieléctrico). Esto sucede porque en el
interior del material aislante ocurre una redistribución de la
carga, llamada polarización. El estudio de la polarización ampliará
nuestra perspectiva de las propiedades eléctricas de la
materia.
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Los capacitores también ofrecen una forma nueva de pensar acerca
de la energía potencial eléctrica. La energía almacenada en un
capacitor con carga, guarda relación con el campo eléctrico en el
espacio entre los conductores. Veremos que la energía potencial
eléctrica puede considerarse almacenada en el mismo campo. La idea
de que el campo eléctrico es en sí un almacén de energía está en el
corazón de la teoría de las ondas electromagnéticas y de nuestra
concepción moderna de la naturaleza de la luz
Capacitores y capacitancia
Dos conductores separados por un aislante (o vacío) constituyen
un capacitor (figura 24.1). En la mayoría de las aplicaciones
prácticas, cada conductor tiene inicialmente una carga neta cero, y
los electrones son transferidos de un conductor al otro; a esta
acción se le denomina cargar el capacitor. Entonces, los dos
conductores tienen cargas de igual magnitud y signo contrario, y la
carga neta en el capacitor en su conjunto permanece igual a cero.
En este capítulo se supondrá que éste es el caso. Cuando se dice
que un capacitor tiene carga Q, o que una carga Q está almacenada
en el capacitor, significa que el conductor con el potencial más
elevado tiene carga +Q y el conductor con el potencial más bajo
tiene carga -Q (si se supone que Q es positiva). En los diagramas
de circuito, un capacitor se representa con cualquiera de estos
símbolos:
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El campo eléctrico en cualquier punto de la región entre los
conductores es proporcional a la magnitud Q de carga en cada
conductor. Por lo tanto, la diferencia de potencial Vab entre los
conductores también es proporcional a Q. Si se duplica la magnitud
de la carga en cada conductor, también se duplican la densidad de
carga en cada conductor y el campo eléctrico en cada punto, al
igual que la diferencia de potencial entre los conductores; sin
embargo, la razón entre la carga y la diferencia de potencial no
cambia. Esta razón se llama capacitancia C del capacitor:
La capacitancia C de un capacitor se define como la relación de
la magnitud de la carga en cualquiera de los conductores a la
magnitud de la diferencia de potencial entre dichos
conductores:
La unidad del SI para la capacitancia es el farad (1 F), en
honor del físico inglés del siglo XIX, Michael Faraday. De acuerdo
con la ecuación (24.1), un farad es igual a un coulomb por volt (
C/V):
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Cálculo de la capacitancia
1.Capacitor de placas paralelas con carga
Cuando la separación de las placas es pequeña en comparación con
su tamaño , el campo eléctrico de los bordes es despreciable.
Entonces
Es decir, la capacitancia de un capacitor de placas paralelas es
proporcional al área de sus placas e inversamente proporcional a la
separación de las placas.
El campo es uniforme y la distancia entre las placas es d, por
lo que la diferencia de potencial (voltaje) entre las dos placas
es
A partir de esto se observa que la capacitancia C de un
capacitor de placas paralelas con vacío es
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Dos corazas conductoras esféricas y concéntricas están separadas
por vacío. La coraza interior tiene una carga total Q y exterior
ra, y la coraza exterior tiene carga -Q y radio interior rb (figura
24.5). (La coraza interior está unida a la coraza mediante delgadas
varillas aislantes que tienen un efecto despreciable sobre la
capacitancia.) Determine la capacitancia del capacitor
esférico.
2.Capacitor Esférico
Solución: Aplicando la ley de Gauss tenemos
La expresión anterior para E es la misma que la correspondiente
a una carga puntual Q, por lo que la expresión para el potencial
también puede tomarse como la misma que la correspondiente a una
carga puntual. De ahí que el potencial del conductor interior
(positivo) en r = ra con respecto al del conductor exterior
(negativo) en r = rb es
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Otra forma(condensador esférico)
En este caso, como
si
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3.Capacitor cilíndrico
Un conductor cilíndrico sólido, de radio a y carga Q, es coaxial
con una cubierta cilíndrica de grosor despreciable, radio b > a
y carga –Q (figura 26.4a). Encuentre la capacitancia de este
capacitor cilíndrico si su longitud es l .
SOLUCIÓN
Como
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Combinaciones de capacitores
Combinación en paralelo
Dos capacitores conectados como se muestra en la figura 26.7a
(página 728) se conocen como combinación en paralelo de
capacitores. La figura 26.7b muestra un diagrama de circuito para
esta combinación de capacitores. Las placas izquierdas de los
capacitores se conectan a la terminal positiva de la batería
mediante un alambre conductor y debido a eso están con el mismo
potencial eléctrico que la terminal positiva. Del mismo modo, las
placas derechas se conectan a la terminal negativa y por tanto
están con el mismo potencial que la terminal negativa. En
consecuencia, las diferencias de potencial individuales a través de
capacitores conectados en paralelo son las mismas e iguales a la
diferencia de potencial aplicada a través de la combinación. Es
decir,
donde es el voltaje de terminal de la batería. V
1 2V V V
Fig26.7 8
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Después de que la batería se une al circuito, los capacitores
rápidamente alcanzan su carga máxima. Sean las cargas máximas en
los dos capacitores Q 1 y Q 2. La carga total Q tot almacenada por
los dos capacitores es
Es decir, la carga total en capacitores conectados en paralelo
es la suma de las cargas en los capacitores individuales. Suponga
que quiere sustituir estos dos capacitores por un capacitor
equivalente que tenga una capacitancia Ceq, como en la fi gura
26.7c. El efecto que este capacitor equivalente tiene sobre el
circuito debe ser exactamente el mismo que el efecto de la
combinación de los dos capacitores individuales. Es decir: el
capacitor equivalente debe almacenar carga Q tot cuando se conecte
a la batería. La fi gura 26.7c muestra que el voltaje a través del
capacitor equivalente es ∆V porque el capacitor equivalente se
conecta directamente a través de las terminales de la batería. Por
lo tanto, para el capacitor equivalente,
Al sustituir para las cargas en la ecuación 26.7 se obtiene
En consecuencia, la capacitancia equivalente de una combinación
de capacitores en paralelo es 1) la suma algebraica de las
capacitancias individuales y 2) mayor que cualquiera de las
capacitancias individuales.
1 2 (26.7)totQ Q Q
tot eqQ C V
1 1 2 2eqC V C V C V
1 2eqC C C
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Combinación en serie
Dos capacitores conectados como se muestra en la figura 26.8a,
así como el diagrama de circuito equivalente de la figura 26.8b, se
conocen como combinación en serie de capacitores. Al conectar la
batería, se transfieren electrones que salen de la placa izquierda
de C1 y entran en la placa derecha de C2. Conforme se acumula esta
carga negativa en la placa derecha de C2, una cantidad equivalente
de carga negativa es expulsada de la placa izquierda de C2 y esta
placa izquierda resulta con un exceso de carga positiva. La carga
negativa que sale de la placa izquierda de C2 hace que se acumulen
cargas negativas en la placa derecha de C1. Como resultado, todas
las placas derechas terminan con una carga Q y las izquierdas con
una carga Q. Por lo tanto, las cargas de los capacitores conectados
en serie son iguales.
donde Q es la carga que se movió entre un alambre y la placa
exterior conectada de uno de los capacitores. La fi gura 26.8a
muestra que el voltaje total ∆Vtot a través de la combinación se
divide entre los dos capacitores:
1 2Q Q Q
1 2V V V Fig26.8
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donde ∆V1 y ∆V2 son las diferencias de potencial presentes en
los capacitores C1 y C2, respectivamente. En general, la diferencia
de potencial total aplicada a cualquier cantidad de capacitores
conectados en serie es la suma de las diferencias de potencial
presentes entre cada uno de los capacitores individuales.
Suponga que el simple capacitor individual equivalente de la fi
gura 26.8c ejerce un efecto idéntico sobre el circuito que la
combinación en serie cuando está conectado a la batería. Una vez
que está totalmente cargado, el capacitor equivalente deberá tener
una carga igual a Q en su placa derecha y una carga de Q en su
placa izquierda. Al aplicar la definición de capacitancia al
circuito de la fi gura 26.8c, se tiene
Al sustituir por el voltaje en la ecuación 26.9 se tiene
tot
eq
QV
C
1 2eq
Q Q Q
C C C
1 2
1 1 1
eqC C C
Esto demuestra que 1) el inverso de la capacitancia equivalente
es igual a la suma algebraica de los inversos de las capacitancias
individuales y 2) la capacitancia equivalente de una combinación en
serie siempre es menor que cualquiera de las capacitancias
individuales incluidas en la combinación.
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Energía almacenada en un capacitor con carga
Ya que las cargas positiva y negativa están separadas en el
sistema de dos conductores en un capacitor, en el sistema se
almacena energía potencial eléctrica.
Suponga que q es la carga del capacitor en un determinado
instante durante el proceso de carga. En ese mismo momento, la
diferencia de potencial a través del capacitor es ∆V=q/C. Se sabe
que el trabajo necesario para transferir un incremento de carga dq
de la placa que tiene una carga -q a la placa que tiene una carga q
(que está con el potencial eléctrico más elevado) es
Fig26.10
qdW Vdq dq
c
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Esto se ilustra en la fi gura 26.11. El trabajo total requerido
para cargar el capacitor desde q = 0 hasta una carga final q = Q
es
El trabajo invertido al cargar el capacitor se presenta como una
energía potencial eléctrica U almacenada en el mismo. Es posible
expresar la energía potencial almacenada en el capacitor con carga
como:
Fig26.11
2
2
Q
q
C
o
QW dq
C
2
21 1
2 2 2
QU Q V C V
C
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Considere la energía almacenada en un capacitor como si
estuviera almacenada en el campo eléctrico producido entre las
placas al cargar el capacitor. Esta descripción es aceptable porque
el campo eléctrico es proporcional a la carga del capacitor. En el
caso de un capacitor de placas paralelas, la diferencia de
potencial está relacionada con el campo eléctrico mediante la
correspondencia ∆V =Ed. Además, su capacitancia es C = e0A/d . Si
sustituye estas expresiones en la ecuación 26.11, obtiene
En vista de que el volumen ocupado por el campo eléctrico es Ad,
la energía por cada unidad de volumen uE =U/Ad, conocida como
densidad de energía, es
Es decir, la densidad de energía en cualquier campo eléctrico en
un punto dado es proporcional al cuadrado de la magnitud del campo
eléctrico.
2102E
u E
2 2 201 1 02 2A
U E d Ad Ed
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Dieléctricos
Un material no conductor como por ejemplo el vidrio, el papel o
la madera, se denomina dieléctrico. Faraday descubrió que cuando el
espacio entre los dos conductores de un condensador se ve ocupado
por un dieléctrico, la capacidad aumenta en un factor k que es
característico del dieléctrico y que se denomina constante
dieléctrica. La razón de este incremento es que el campo eléctrico
entre las placas de un conductor se debilita por causa del
dieléctrico. Así, para una carga determinada sobre las placas, la
diferencia de potencial se reduce y la relación Q/V se
incrementa.
La figura 24.14a ilustra un electrómetro conectado a través de
un capacitor con carga, con magnitud de carga Q en cada placa y
diferencia de potencial V0. Cuando entre las placas se inserta una
lámina sin carga de material dieléctrico, como vidrio, parafina o
poliestireno, los experimentos muestran que la diferencia de
potencial disminuye a un valor pequeño V (figura 24.14b). Al
retirar el dieléctrico, la diferencia de potencial vuelve a su
valor original V0, lo que demuestra que las cargas originales en
las placas no han cambiado.
Fig24.14 Efecto de un dieléctrico entre las placas paralelas de
un capacitor. a) Con una carga dada, la diferencia de potencial es
V0. b) Con la misma carga pero con un dieléctrico entre las placas,
la diferencia de potencial V es menor que V0. 15
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La capacitancia original C0 está dada por C0 = Q/V0, y la
capacitancia C con el dieléctrico presente es C = Q/V. La carga Q
es la misma en ambos casos, y V es menor que V0, de donde se
concluye que la capacitancia C con el dieléctrico presente es mayor
que C0. Cuando el espacio entre las placas está lleno por completo
por el dieléctrico, la razón de C a C0 (igual a la razón de V0 a V)
se denomina constante dieléctrica del material, K:
0
Ck
C
Cuando la carga es constante, Q = C0V0 = CV y C/C0 =V0/V. En
este caso, la ecuación anterior se puede expresar de la forma
0V
V Q ctek
Con el dieléctrico presente, la diferencia de potencial para una
carga Q dada se reduce en un factor de K. La constante dieléctrica
K es un número puro. Como C siempre es mayor que C0, K siempre es
mayor que la unidad. Entonces, un dieléctrico tiene las siguientes
ventajas: • Incrementa la capacitancia. • Incrementa el voltaje
máximo de operación. • Proporciona un posible soporte mecánico
entre las placas, lo que permite que estén cerca una de la otra sin
tocarse, así reduce d y aumenta C.
TABLA 26.1 Constantes dieléctricas y resistencias dieléctricas
aproximadas de diversos materiales a temperatura ambiente
Intensidad dieléctrica Material Constante dieléctrica k (106 V/m)
Aceite de silicón 2.5 15 Agua 80 — Aire (seco) 1.000 59 3 Baquelita
4.9 24 Cloruro de polivinilo 3.4 40 Cuarzo fundido 3.7 8 8 Hule de
neopreno 6.7 12 Mylar 3.2 7 Nylon 3.4 14 Papel 3.7 16 Papel
impregnado en 3.5 11 parafina Poliestireno 2.56 24 Porcelana 6 12
Teflón 2.1 60 Titanato de estroncio 233 8 Vacío 1.000 00 — Vidrio
pirex 5.6 14
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Carga inducida(o Ligada) y polarización Cuando se inserta un
material dieléctrico entre las placas de un capacitor al mismo
tiempo que la carga se mantiene constante, la diferencia de
potencial entre aquéllas disminuye en un factor K. Por lo tanto, el
campo eléctrico entre las placas debe reducirse en el mismo factor.
Si E0 es el valor con vacío y E es el valor con dieléctrico,
entonces
0E
E Q ctek
Como la magnitud del campo eléctrico es menor cuando el
dieléctrico está presente, la densidad superficial de carga (que
crea el campo) también debe ser menor. La carga superficial en las
placas conductoras no cambia, pero en cada superficie del
dieléctrico aparece una carga inducida de signo contrario (figura
24.15). Originalmente, el dieléctrico era neutro y todavía lo es;
las cargas superficiales inducidas surgen como resultado de la
redistribución de la carga positiva y negativa dentro del material
dieléctrico. Este fenómeno se llama polarización.
Se supondrá que la carga superficial inducida es directamente
proporcional a la magnitud del campo eléctrico E en el material; de
hecho, éste es el caso de muchos dieléctricos comunes.
Fig24.15 Líneas de campo eléctrico cuando entre las placas hay
a) vacío y b) un dieléctrico.
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Es posible obtener una relación entre esta carga superficial
inducida y la carga en las placas. Se denotará como σi la magnitud
de la carga inducida por unidad de área en las superficies del
dieléctrico (la densidad superficial de carga inducida).
El campo entre las placas se relaciona con la densidad
superficial de carga de acuerdo con E = σneta/ɛ0. Sin el
dieléctrico y con éste, respectivamente, se tiene
Al usar estas expresiones y reordenar el resultado, se encuentra
que
0
0 0
iE y E
11i
k
El producto Kɛ0 se llama permitividad del dieléctrico, y se
denota con ɛ : 0k
En términos de ɛ, el campo eléctrico dentro del dieléctrico se
expresa como E
La capacitancia cuando hay un dieléctrico presente está dada
por
0 0
A AC C k k
d d Capacitor de placas paralelas
con dieléctrico
Y la densidad de energía en presencia de dieléctrico es:
2 2
0
1 1
2 2u k E E
La energía almacenada en el capacitor con dieléctrico es
2
0 0
02
Q UU
kC k Disminuye
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Los Dieléctricos y la Ley de Gauss
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20
1. La integral de flujo ahora comprende , no sólo .( El vector
se llama a
veces desplazamiento eléctrico , de modo que la Ec. 38 se puede
escribir en la
forma .)
2. La carga q encerrada por la superficie de Gauss es ahora
considerada sólo carga
libre . La carga superficial inducida se desprecia
deliberadamente en el lado derecho
de la Ec. 38, habiendo sido tomada por completo en cuenta al
introducir la constante
dieléctrica en el lado izquierdo.
3. La ec. 38 difiere de la original ley de Gauss, sólo en que en
la última ecuación ha
sido sustituida por . Se mantiene dentro de la integral de la Ec
38 para
considerar los casos en los que no es constante sobre toda la
superficie de Gauss.
k E
E
0k E
D
D d A q
0
0k k
k
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EJEMPLO 26.7 Efecto de una lámina metálica Un capacitor de
placas paralelas tiene una separación de placas d y área de placa
A. Una lámina metálica sin carga, de grosor a, se inserta a medio
camino entre las placas. A) Encuentre la capacitancia del
dispositivo. SOLUCIÓN
En este caso podemos considerar el sistema como dos
condensadores conectados en serie, entonces
Si 0a
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EJEMPLO 26.8 Capacitor parcialmente lleno Un capacitor de placas
paralelas, con una separación de placa d, tiene una capacitancia C0
en ausencia de un dieléctrico. ¿Cuál es la capacitancia cuando
entre las placas se inserta una lámina de material dieléctrico con
constante dieléctrica k y grosor fd (figura 26.25a), donde f es una
fracción entre 0 y 1? SOLUCIÓN
En este caso también ,podemos considerar el sistema como dos
capacitores conectados en series, entonces
Fig 26.25