-
Universidad Politecnica de CartagenaDpto. Matematica Aplicada y
EstadsticaMetodos estadsticos de la ingeniera, Estadstica
Problemas de examenes:
Metodos estadsticos de la ingenieraIngeniera Tecnica
Industrial,
todas especialidades
EstadsticaIngeniera Tecnica Telecomunicaciones,
TelematicaProblemas de examenes
-
Estadstica descriptiva 1
Universidad Politecnica de CartagenaDpto. Matematica Aplicada y
EstadsticaMetodos estadsticos de la ingeniera, Estadstica
Problemas de examenes: Estadstica descriptiva
Problema 1
I.1 Un ingeniero estudia la relacion entre dos variables X e Y .
Dispone de los valores de Ypara 15 valores de X, y sabe que la
media y la varianza de los valores de X valen x = 20,s2x = 4.
Decide ajustar una recta de regresion y encuentra la ecuacion
siguiente:
y = 32 x
1. Cual es el signo de la correlacion entre X e Y ? Justifica tu
respuesta.
2. Calcular la covarianza de X e Y.
3. Cuanto vale y?
I.2 La siguiente tabla muestra la puntuacion de los 20 equipos
de segunda division B (despuesde 25 partidos jugados). Construir un
diagrama de caja y bigotes para las puntuacionesde los equipos y
comentar sus aspectos mas relevantes:
16 23 24 24 27 28 28 29 30 31
31 34 39 40 42 43 45 45 48 49
Problema 2
I.1 El Instituto Nacional de Estadstica proporciona los datos
siguientes sobre el crecimientovegetativo, es decir la diferencia
entre el numero de nacimientos y defunciones, en lascomunidades
autonomas:
Comunidad crecimiento Comunidad crecimientoGalicia -9865 Ceuta
455Castilla y Leon -8825 Valencia 543Asturias -5915 Melilla
599Aragon -3853 Cataluna 779Pas Vasco -2040 Baleares 1230Cantabria
-1332 Murcia 3730Cast.-La Mancha -837 Canarias 5668Extremadura -553
Madrid 11152La Rioja -384 Andaluca 15489Navarra 136
1. Calcular la mediana y los cuartiles de estos datos.
-
2 Estadstica descriptiva
2. Realizar el diagrama de cajas y bigotes para estos datos.
Para que sirve estediagrama? Hay datos atpicos? Que representan
estos ultimos?
I.2 Se ha comprobado que las aleaciones amorfas tienen una
excelente resistencia a la corrosion.En un estudio se recocieron
cinco especmenes de la aleacion a 7000 cada uno durante unintervalo
de tiempo distinto (x, en minutos). Despuees se midio el potencial
de pasivacion(y, en mV)- una medida de resistividad de la aleacion
cristalizada- para cada especimen.Los datos experimentales son los
siguientes:
x 10 20 45 90 120y -408 -400 -392 -379 -385
1. Suponiendo que la mejor forma de describir la relacion entre
las variables es lineal,ajustar una recta de regresion a los datos.
Calcular r2 e interpretar el resultado.
2. Cual es el potencial de pasivacion cuando el tiempo de
recocido es de 30 minutos?
Problema 3
1. Con el fin de determinar la profundidad de un lago
subterraneo, se midio el contenidode oxgeno, en miligramos/litro, a
distintas profundidades, en metros, obteniendose lossiguientes
resultados:
profundidad ( m ) 15 20 30 40 50 60 70oxgeno ( mg/l ) 6.5 5.6
5.4 6.0 4.6 1.4 0.1
Se pide:
(a) Ajustar una recta a los datos obtenidos por el metodo de los
mnimos cuadrados.
(b) Estudiar la bondad del ajuste.
(c) A que profundidad es previsible que nos encontremos si el
contenido en oxgenomedido es de 3.2 mg/l?.
Problema 4
I.1 En la direccion http://dataservice.eea.eu.int/dataservice/,
se pueden encontrar los datosde emision de CO2 por fuentes fosiles
para los distintos paises europeos entre los anos1985 y 1997. Se
indican a continuacion los datos de emision total de este
contaminantepara Espana entre los anos 1990 y 1997.
Ano (X) 90 91 92 93 94 95 96 97Emision total (Y ) 203.8 215.5
225.1 211.5 222.8 237.5 226.6 242.8( Megatoneladas)
Se pueden utilizar las cantidades numericas siguientes:xi =
748;
x2i = 69980;
yi = 1785.6;
y2i = 399722;
xiyi = 167142
1. Realizar el ajuste lineal de la emision total en funcion del
ano. Calcular el valor deR2 y comentar la bondad del ajuste.
-
Estadstica descriptiva 3
2. Segun nuestro modelo, se esta produciendo un aumento o un
descenso de la emisionde CO2?
3. Segun nuestro modelo, cual sera la cantidad de CO2 emitida en
1998 por Espana?
I.2 A continuacion se presentan los diagramas de caja-bigotes
para la emision total de cu-atro paises de la Union europea entre
1990 y 1997. ( ES=Espana, FR=Francia,GB=Gran Bretana, y
IT=Italia).
1. Como se construye un diagrama de caja-bigotes?
2. Como clasificara estos cuatro paises en cuanto a
contaminacion por CO2?
3. Cual es el pas que presenta mayor dispersion entre sus datos
de contaminacion?Que quiere decir?
4. Si se realiza un ajuste lineal de la emision de CO2 en
funcion del ano para cada unode los paises, obtenemos las rectas
siguientes:
Espana Emision= 196.4 + 4.48 anoFrancia Emision= 403.2 0.51
anoGran Bretana Emision= 1126.2 6.15 anoItalia Emision= 192.9 +
2.143 ano
Que paises han ido reduciendo sus emisiones entre 1990 y 1997?
Que paises lashan incrementado? Cual es el pas que mas ha reducido
sus emisiones de CO2?Cual es el pas que mas las han
incrementado?
Problema 5
-
4 Estadstica descriptiva
I.1 En la siguiente tabla estan representados los datos
referidos al alquiler pagado mensual-mente por 45 familias que
habitan pisos de alquiler en una determinada ciudad:
Alquiler en miles de ptas. Numero de familias(0 15] 5(15 30]
12(30 60] 16(60 90] 10(90 120] 2
Se pide:
1. Representar graficamente la variable mediante un histograma.
Cuales son las car-actersticas de dicho histograma? Que medidas de
centralizacion y dispersion sonmas adecuadas para resumir los
datos? Razonar la respuesta.
2. Calcular el alquiler medio pagado por las familias
analizadas. En que intervalo sesitua la mediana? Cual es el
intervalo modal?
3. Cual es la proporcion de familias que pagan un alquiler menor
o igual a sesenta milptas.?
I.2. Los siguientes datos se refieren al crecimiento de una
colonia de bacterias en un medio decultivo:
x 3 6 9 12 15 18y 115000 147000 239000 356000 579000 864000
siendo x los das desde la inoculacion e y el numero de
bacterias.
1. Representar y en funcion de x para verificar que es razonable
ajustar una curvaexponencial.
2. Ajustar una curva exponencial a los datos.
3. Estimar, usando el modelo ajustado en el apartado anterior,
el numero de bacteriasal termino de 20 das.
Problema 6
I.1- Segun el principio de la termodinamica, la presion P y el
volumen V de una determinadamasa de gas estan relacionados por la
siguiente formula :
PV = C
donde y C son dos constantes. Supongamos que disponemos de n
mediciones de lapresion y del volumen, (p1, v1), . . . , (pn, vn)
cual es la manera de obtener valores de lasdos constantes y C?
(pensar en una transformacion de los datos).
-
Estadstica descriptiva 5
I.2- La comision de comercio federal americana midio el numero
de miligramos de tar (X) ymonoxido de carbono (C0) (Y ) por
cigarrillo en las distintas marcas comerciales disponibles.Se tomo
una muestra de 12 marcas, obteniendo para cada una:
X 9 4 14 12 10 5 3 17 6 7 8 15Y 6 6 14 12 12 7 4 18 8 8 13
13
a) Calcula el porcentaje de marcas con un nivel de C0 inferior a
8. Calcula los cuartilesde la distribucion de X.
b) Ajusta una recta de regresion de Y sobre X y discute la
bondad del ajuste.
(Ayuda:
x = 110;
y = 121;
xy = 1294
x2 = 1234;
y2 = 1411)
I.3- Se realizaron investigaciones con el fin de estudiar la
relacion entre la elevacion de latemperatura de las celdas solares
en Co por encima de la temperatura ambiente (y) yla cantidad de
aislamiento en megawatts por centimetro cuadrado (x), obteniendose
lossiguientes datos:
x 9 25 20 12 15 22 14 16 24 25 15 12 10y 25 70 50 30 45 60 28 50
68 68 20 21 20
1. Se quiere desarrollar un modelo que explique la evolucion de
y en funcion de lavariable x. LLevar a cabo el ajuste
correspondiente y comentar su bondad.
2. Para un aislamiento de 62 que temperatura cabe esperar?
Problema 7
I.1.- Describir las caractersticas globales del histograma
siguiente. En tu opinion, para eseconjunto de datos, cuales son las
medidas de centralizacion y de dispersion mas repre-sentativas?
Justifica tu respuesta.
-
6 Estadstica descriptiva
I.2- Una fabrica de refrescos ha tomado aleatoriamente 6 semanas
del ano observando la Tem-peratura media correspondiente a cada una
de ellas, y la Cantidad de refrescos pedidosdurante cada una de
estas semanas. Los datos obtenidos son los siguientes:
Temperatura media (oC ) 28 12 30 24 5 15Cantidad de refrescos
pedidos (miles de litros) 65 19 75 67 11 24
(a) Calcular la media y la varianza de cada variable.
(b) Realizar un ajuste por mnimos cuadrados de la Cantidad de
refrescos pedidos re-specto de la Temperatura media. Comentar la
bondad del ajuste.
(c) Si el modelo lineal es correcto, cual sera la cantidad de
refrescos pedidos para unasemana donde la temperatura media sea
igual a 20oC?
Problema 8
I.2.- En un estudio sobre la rapidez de combustion del grafito
artificial en un flujo de airehumedo, se llevo a cabo un
experimento para investigar la difusividad del Oxgeno atraves de
una mezcla de vapor de agua. Para ello se prepararon muestras de
Nitrogeno yOxgeno con una fraccion molar de agua de 0.017 a 9
temperaturas distintas, midiendosela difusividad del Oxgeno en cada
una, obteniendose:
Temperatura 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8DifusividadO2 1.69
1.99 2.31 2.65 3.01 3.39 3.79 4.21 4.64
(a) Realice el diagrama de dispersion correspondiente. Es
posible el ajuste de un mod-elo de regresion lineal simple, que
relacione la difusividad del O2 en funcion de latemperatura? Como
debe salir el coeficiente de correlacion? (positivo, negativo,cerca
de 0?).
(b) En caso afirmativo, obtener la correspondiente recta de
regresion utilizando la tecnicade los mnimos cuadrados.
(c) Hallar el coeficiente de determinacion r2 e interpretar su
valor.
(d) Cual sera la prediccion sobre la difusividad del O2, para
una temperatura de 3o a
partir del modelo construido?.
Problema 9
I.3 La tabla siguiente representa los datos correspondientes a 9
pruebas donde se ha estudiadoel volumen de desgaste de una pieza (Y
) dependiendo de la viscosidad del aceite (X)
X(aceite) 1.6 9.4 15.5 20.0 22.0 35.5 43.0 40.5 33.0Y (desg.)
240 181 193 155 172 110 113 75 94
(a) Construye un grafico de dispersion ( es decir nube de
puntos) de los datos. Pareceplausible el uso de un modelo de
regresion lineal simple? Como debe salir el coefi-ciente de
correlacion?.
-
Estadstica descriptiva 7
(b) Ajusta una recta de regresion utilizando la tecnica de los
mnimos cuadrados. Co-mentar la bondad del ajuste.
(c) Cual sera la prediccion sobre el desgaste para una
viscosidad de 45?. Obtener elvalor ajustado de y para x = 22 y
calcular el residuo correspondiente.
Problema 10
I.3.- Con el fin de estudiar la relacion existente entre la
densidad de trafico, representada ennumero de automoviles por
kilometro, y la velocidad a la que se circula en una deter-minada
avenida de una ciudad, el ayuntamiento decide tomar una muestra
durante unmes seleccionando aleatoriamente 10 das laborables del
mismo. Los resultados que seobtuvieron vienen reflejados en la
siguiente tabla:
Densidad de trafico 69 56 62 119 84 74 73 90 38 22V elocidad
25.4 32.5 28.6 11.3 21.3 22.1 22.3 18.56 37.2 44.6
(a) Calcular la media y varianza asociada a cada una de las
variables.
(b) Calcular la covarianza existente entre ambas variables as
como el coeficiente de cor-relacion.
(c) Realizar un ajuste por mnimos cuadrados de la Densidad de
trafico respeto a laV elocidad.
(d) Deducir, suponiendo que la relacion proporcionada por las
rectas de regresion esvalida,
(d.1) A que velocidad se estima que se circulara, si la densidad
de trafico es de 85automoviles/km?.
(d.2) Si se desea regular la velocidad modificando los semaforos
que dan acceso a laavenida, calcular a partir de la recta de
regresion correspondiente, cual debe deser la densidad de trafico
para que la velocidad sea de 30 Km/h.
Problema 11
1. Una empresa encarga a su departamento de recursos humanos un
estudio con el fin dedeterminar si existe relacion entre el tiempo
que llevan en la empresa sus empleados y elabsentismo laboral
(faltas al trabajo). Con el fin de realizar dicho estudio se
seleccionanal azar 10 empleados obteniendose los siguientes
resultados:
Antiguedad en la empresa 25 13 19 12 6 33 4 40 16 20Das perdidos
(ano) 1 6 6 9 12 4 4 2 5 3
(a) Puede afirmarse que los empleados de mayor antiguedad faltan
con mas frecuenciaal trabajo?. Razona tu respuesta utilizando el
coeficiente de correlacion.
(b) Que podemos afirmar de un empleado con una antiguedad de 15
anos?
-
8 Estadstica descriptiva
Problema 12
1. En un lago, se ha medido, para diversos valores de la
profundidad, el contenido en oxgeno,en miligramos/litro,
obteniendose los siguientes datos .
Profundidad 15 20 30 40 50 60 70Contenido. O 6.5 5.6 5.4 6.0 4.6
1.4 0.1
(a) Calcular la media y la varianza asociada a cada
variable.
(b) Calcular la covarianza de las dos variables as como el
coeficiente de correlacion.Interpretar los resultados
obtenidos.
(c) Realizar el ajuste de mnimos cuadrados del contenido
respecto de la Profundidad ascomo el ajuste de la profundidad
respecto del contenido. Si la relacion proporcionadapor las rectas
de regresion es valida, cual sera el valor del contenido de oxgeno
auna profundidad de 45m.
Problema 13
I.3.- Con el fin de determinar si existe relacion entre la
cantidad de polmeros de latex incluidadurante el proceso de
mezclado de cemento Portland y su resistencia adhesiva a
tension,una empresa encargada de realizar certificaciones de obras
toma una muestra de tamano10, obteniendo los siguientes
resultados:
Polmeros latex (mgr/kg) 13.5 11.0 13.0 11.2 12.0 13.2 12.0 13.5
11.2 13.0Resistencia (kgf/cm2) 17.5 16.6 17.2 16.6 17.0 17.3 16.9
17.3 16.8 17.1
(a) Calcular la media y varianza asociada a cada una de las
variables.
(b) Calcular la covarianza existente entre ambas variables as
como el coeficiente de cor-relacion.
(c) Realizar un ajuste por mnimos cuadrados de la resistencia
respeto a la cantidad depolmeros anadida en la mezcla.
(d) Deducir, suponiendo que la relacion proporcionada por las
rectas de regresion esvalida,
(d.1) El valor estimado para la resistencia si la cantidad de
polmero agregado es de11.5mgr/kg.
(d.2) Si un determinado constructor desea que la argamasa tenga
una resistencia de16.5kgf/cm2, calcular a partir de la recta de
regresion correspondiente, cualdebe de ser la cantidad de polmero
de latex que se debe anadir.
Problema 14
-
Estadstica descriptiva 9
1. Se quiere estudiar la relacion entre la proliferacion de una
cierta especie de planta silvestrey la cantidad de lluvia cada.
Para ello, se define en varias comunidades autonomas uncoto de
prueba de 1 hectarea y se realiza el recuento de ejemplares en el
coto. En latabla siguiente se han recogido los resultados obtenidos
junto con la precipitacion acuosaregistrada ese ano.
Comunidad Madrid Extremadura Andaluca Castilla-Leon
MurciaPrecipitacion (mm) 429.8 628.6 224.7 484.9 320.5No de
ejemplares: 1250 1702 720 1301 830
(a) Calcular, para esos datos, la media, la varianza as como el
coeficiente de variacionasociada a cada variable.
(b) Calcular la covarianza existente entre ambas variables as
como el coeficiente decorrelacion. Interpretar los resultados
obtenidos.
(c) Realizar un ajuste por mnimos cuadrados del numero de
ejemplares respecto a laprecipitacion, y de la precipitacion
respecto al numero de ejemplares. Comentar lacalidad del ajuste. Si
las relaciones proporcionadas por las rectas de regresion
sonvalidas, que numero de ejemplares se asociara a una
precipitacion de 500mm?
Problema 151. Con el fin de estudiar la relacion existente entre
la fuerza de torsion aplicada a un tipo
de acero (en miles de libras) y su alargamiento medido en
milesimas de pulgadas, seseleccionaron aleatoriamente 6 probetas de
prueba de longitud dada y se sometieron adistintas cargas. Los
resultados que se obtuvieron vienen reflejados en la siguiente
tabla:
Torsion aplicada 1 2 3 4 5 6Alargamiento 14 33 40 63 76 85
(a) A la vista de los resultados, resulta evidente que una mayor
Fuerza de Torsionproduce un mayor alargamiento de la probeta. Desde
un punto de vista estadstico,en que se traduce esta
informacion?
(b) Realizar un ajuste por mnimos cuadrados que nos permita
predecir el alargamientode la probeta para distintas Fuerzas de
Torsion aplicables.
(c) Deducir, a partir del ajuste que nos proporciona el criterio
de mnimos correspondi-ente, el alargamiento que debe producirse al
aplicar una fuerza de torsion de 3500libras. Podramos predecir el
alargamiento si aplicamos 10000 libras?. Razona turespuesta.
Problema 161. Con el fin de estudiar la congestion de trafico
que se produce en una determinada va, se
decide tomar una muestra seleccionando 10 das laborables en una
determinada hora y seanotan tanto el numero de vehculos que se
encuentran en la va en ese momento comola velocidad promedio de los
vehculos que se encuentran en ese momento en la va. Losresultados
que se obtuvieron vienen reflejados en la siguiente tabla:
Num vehculos 69 56 62 119 84 74 73 90 38 22Velocidad (km/h) 25.4
32.5 26.8 11.3 21.3 22.1 22.3 18.6 37.2 44.6
-
10 Estadstica descriptiva
(a) Deducir, en funcion de los valores que se presentan, el
signo de la covarianza entreestas caractersticas.Como podemos
interpretar esta informacion?
(b) Si llamamos X=Num. de vehculos y Y=Velocidad promedio,
sabiendo que:xi = 687
x2i = 53791
yi = 262.1
y2i = 7705.7
xiyi = 15700
realizar un ajuste por mnimos cuadrados de la Velocidad promedio
en funcion delNumero de vehculos y comentar la bondad del
ajuste.
(c) Deducir, a partir del ajuste que nos proporciona el criterio
de mnimos correspondi-ente:
i. Cual sera la velocidad promedio estimada si nos encontramos
con 80 vehculosen la avenida?
ii. Si deseamos regular la velocidad promedio modificando la
secuencia de lossemaforos, cuantos vehculos deben encontrarse en la
avenida para que la ve-locidad promedio sea de 30 km/h.?
Problema 17
1. Con el fin de analizar el tiempo de respuesta de una base de
datos de consulta se tomaron15 datos correspondientes a 3 semanas
consecutivas obteniendose los siguientes resultados:
Lun Mart Mierc Juev ViernSemana 1 4.32 7.14 9.21 9.71
15.39Semana 2 5.2 8.37 9.34 10.46 18.9Semana 3 6.39 8.97 9.51 10.53
21.25
(a) Calcular la media, mediana, cuartiles y desviacion tpica
correspondiente a estosdatos.
(b) En funcion de los valores observados, entre que valores
podemos decir que se en-cuentran los datos no atpicos?, existen
datos que puedan considerarse atpicos?
(c) Que medida de dispersion utilizaras? Razona tu
respuesta.
(d) Con el fin de determinar la relacion entre el tiempo de
respuesta de la basede datos y el numero de usuarios se midieron
simultaneamente a la obtenciondel tiempo de respuesta, el numero de
usuarios activos en ese instante, obteniendoseun conjunto de 15
datos cuyo valor medio era 30.73 y cuya varianza era 79.40.
Elestudio concluyo con la siguiente relacion lineal entre ambas
caractersticas:
Tiempo = 0.51 Usuarios 5.42i. Determinar el coeficiente de
determinacion asociado al ajuste.
ii. Determinar el numero de usuarios activos, si el tiempo de
respuesta de servidores de 32.
Problema 18
-
Estadstica descriptiva 11
I.1 Sea x1, x2, ......, xn una realizacion muestral de una
M.A.S. de tamano n. Justifica comoqueda afectada la media y la
varianza muestral en los siguientes casos:
(a) A todas las observaciones se les suma una constante k.
(b) Todas las observaciones se multiplican por una constante
k.
Problema 19
1. Despues de la jornada 22 en la liga 02/03, los puntos de la
clasificacion quedan comosigue:
Puntos 44 42 42 39 36 36 32 29 28 28 27 27 27 27 27 26 26 22 22
15
(a) Calcular la mediana y los dos cuartiles asociados a este
conjunto de datos.
(b) Realizar un diagrama de caja-bigotes de los datos. Aparecen
datos atpicos?
(c) Como interpreta el hecho de que el primer cuartil esta muy
proximo a la mediana?Quien va a ganar la liga?
2. Un ingeniero estudia la relacion entre una variable Y y otra
variable X. Para ello disponede los valores de Y para 15 valores de
X y sabe que la varianza de X vale 3.4. Decideajustar una recta de
regresion y encuentra la ecuacion siguiente:
y = 2.3x+ 5.
(a) Cual es el signo de la correlacion entre X e Y ? Justifica
tu respuesta.
(b) Cuanto vale la covarianza de X y de Y ?
(c) Si x = 5.3, cuanto vale y?
(d) Que medida debe el ingeniero calcular para cuantificar la
bondad del ajuste? Cuandose considera que el ajuste es bueno?
Problema 20
Se mide el tiempo que tienen que esperar los usuarios para que
llegue el ascensor B en laplanta baja del hospital de Marina.
Despues de varios das de recogida de datos, los resultadosobtenidos
(en segundos) se presentan en la tabla siguiente:
Tiempos de espera No de usuarios
[0, 125] 66
[125, 250] 21
[250, 375] 10
[375, 500] 3
I.1 1. De cuantos datos disponemos? Representar graficamente la
variable mediante unhistograma.
-
12 Estadstica descriptiva
2. De los modelos de variables aleatorias vistos en clase,
escoge uno que pueda de-scribir aproximadamente la distribucion de
los valores de esta tabla. Justificar larespuesta.
3. Utilizando las marcas de clases (es decir el punto medio de
cada intervalo en la tablade frecuencias) calcula la media y la
varianza del conjunto de datos.
Problema 21
I.1 Para tener una buena imagen de la pantalla del ordenador es
necesario que la tension de larejilla metalica situada detras de la
pantalla no sea ni demasiado alta ni demasiado baja.Por este
motivo, durante la produccion el fabricante controla la tension de
dicha rejilla.Los siguientes resultados corresponden a estas
mediciones sobre 20 rejillas:
Mediciones de la tension N o de rejillas257 X < 277 2277 X
< 297 7297 X < 317 5317 X < 337 3337 X < 357 2357 X
< 377 1
Se pide:
I.1 1. Representar graficamente la variable mediante un
histograma. Comentar las carac-tersticas mas relevantes de dicho
histograma. Que medidas de centralizacion ydispersion son mas
adecuadas para resumir los datos? Razonar la respuesta.
2. Calcular la tension media de las rejillas analizadas. En que
intervalo se situa lamediana? Cual es el intervalo modal?
3. Para que una rejilla sea apta para su ensamblaje en la
pantalla de un ordenador sutension media debe de situarse en el
intervalo [306,328]. Debe el fabricante iniciaruna investigacion
del proceso productivo? Razonar la respuesta.
I.2 Con el fin de determinar la relacion existente entre la
resistencia de una determinada piezade plastico y uno de sus
componentes (componente A) se fabrican 10 piezas de prueba,cada una
con una concentracion distinta y se obtienen los siguientes
resultados:
Pieza 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X (% A) 1.5 1.2 1.1 1.0 4.5 5.2 8.7
9.0 9.2 9.5Y (Rotura) 3.04 2.96 2.66 3.17 9.82 9.68 17.71 18.18
18.32 19.30
donde la variable rotura indica la fuerza empleada a traccion en
el instante de su rotura.
A partir de los datos anteriores se obtienen las siguientes
cantidades:xi = 50.9;
x2i = 384.77;
yi = 104.84;
y2i = 1577.53;
xiyi = 778.33
1. Realizar un ajuste lineal de la rotura en funcion del
contenido en el componente A.Calcular el valor de r2 y comentar la
bondad del ajuste.
-
Estadstica descriptiva 13
2. Segun nuestro modelo, cual sera la resistencia para un 3% de
contenido de compo-nente A?
3. Un determinado comprador nos pide que le fabriquemos piezas
con un 6% de com-ponente A y nos exige que tengan una resistencia
de 10 Nwt a traccion. Podemosafirmar que somos capaces de cumplir
las especificaciones? Razonar la respuesta.
Problema 22
I.1 Que densidad de siembra de maz debe utilizar un agricultor
para obtener el maximorendimiento? Si crecen pocas plantas obtendra
un rendimiento bajo. Por otro lado,si hay demasiadas plantas, estas
competiran entre s por el agua y los nutrientes, yen consecuencia
el rendimiento bajara. Para averiguar cual es la mejor densidad
desiembra, se planta maz con distintas densidades de siembra en 32
parcelas de identicascaractersticas y se obtienen los siguientes
datos:
Y [130, 218) [218, 306) [306, 394)X
1 3 3 02 2 5 03 0 7 44 0 5 3
X: No de plantas por hectarea (104), Y : Rendimiento (Tm. por
Ha.).
1. Cual es el numero de plantas por hectarea mas habitual? Y el
numero medio deplantas por Ha.?
2. Obtener el rendimiento medio por Ha.. Determinar el
porcentaje de parcelas cuyorendimiento es mayor o igual que el
rendimiento medio.
3. Calcular el porcentaje de parcelas, en las que se plantaron
mas de 20000 plantas,cuyo rendimiento por Ha es mayor a 262
Tm/Ha.
4. Con el fin de determinar la relacion entre la rentabilidad
por Ha. y el numero deplantas de maz plantadas por Ha., un
ingeniero agronomo analiza los anterioresdatos y decide ajustar el
siguiente modelo lineal entre las caractersticas X e Y :
Y = 186.56 + 33.2X con r2 = 0.83
4.1. Cual es el signo del coeficiente de correlacion entreX e Y
? Razona tu respuesta.
4.2. Para una densidad de siembra de 35000 plantas por Ha., cual
sera la rentabil-idad por Ha. estimada con el modelo? Es fiable
esta estimacion? Razona turespuesta.
5. Cual sera tu conclusion sobre la densidad de siembra para
obtener el maximorendimiento?
Problema 23
-
14 Estadstica descriptiva
I.1 Los datos que a continuacion se detallan corresponden a la
produccion (en miles de toneladas)de hortalizas y frutales en
Espana durante una campana agrcola:
Hortalizas 103 Tm. Hortalizas 103 Tm. Frutales 103 Tm.
Esparrago 62.8 Sanda 815.9 Avellana 16.2Guisantes verdes 63.2
Pimiento 882.8 Cereza 54.4Habas verdes 69.5 Cebolla 981.2 Ciruela
136.1
Ajos 160 Melon 993.1 Albaricoque 149.8Judas verdes 261.3 Lechuga
1041.8 Almendra 202.6Alcachofa 283.7 Tomate 3560.4 Platano
385.2
Fresa y Freson 317.3 Pera 599.8Col repollo 332.8 Manzana
719Coliflor 353 Melocoton 896.8
El diagrama de caja y bigotes realizado con Statistix es el
siguiente:
1. Colocar en cada lnea del grafico su valor numerico.
2. Comentar las caractersticas mas relevantes del grafico. En
ambos diagramas lascajas aparecen divididas en dos partes
desiguales, como interpretas esta situacion?
3. Existen datos atpicos en algunas de las producciones? Que
representan?
I.2 En una determinada region se sabe que las precipitaciones
cadas dependen de la cantidadde vegetacion en la zona. Se dispone
de los siguientes datos:
X 50 100 150 200 300Y 20 70 100 150 200
X: numero de arboles por Ha., Y : numero de litros cados por
m2.
1. Realizar un ajuste por mnimos cuadrados del volumen de agua
cada por m2 enfuncion del numero de arboles por Ha. Calcular una
medida de la bondad del ajusterealizado.
2. Utilizando la recta ajustada en el apartado anterior,
predecir el volumen de aguacado cuando el numero de arboles por Ha.
en la zona es 175. Es fiable estaprediccion? Razona tu
respuesta.
Problema 24
I.1 La edad de un arbol se estudia atendiendo al numero de
anillos en la seccion transversal deltronco. Con el fin de analizar
la edad de los arboles de un determinado bosque, medianteun proceso
de simulacion por ordenador se determina el numero aproximado de
anillosen la seccion transversal del tronco segun el diametro de
este. Para una muestra de 40arboles se obtienen los siguientes
resultados:
No de anillos (0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50]No de
arboles 3 10 18 8 1
-
Estadstica descriptiva 15
1. Calcular la media y la desviacion tpica correspondiente al
numero de anillos en laseccion transversal del tronco. Que tipo de
informacion proporcionan acerca delconjunto de datos?
2. Representar graficamente la variable mediante un histograma.
De los modelos devariables aleatorias que hemos visto, escoge uno
que pueda describir aproximada-mente el numero de anillos en la
seccion transversal de un arbol. Razona tu res-puesta.
3. Un arbol se considera anciano si el numero de anillos en su
seccion transversal essuperior a 30. Determinar la proporcion de
arboles no ancianos obtenidos en lamuestra.
4. El estudio concluyo con la siguiente relacion entre la edad,
en anos, de un arboly el numero de anillos en la seccion
transversal de su tronco:
Edad = 0.51N o de anillos + 5.8(a) Determinar razonadamente el
signo de la covarianza entre la edad de un arbol
y el numero de anillos de su tronco. Podras dar un valor
numerico para ella?
(b) Determinar la edad aproximada para un arbol que se le han
contado 24 anillosen su tronco?
Problema 25
I.2 Se quiere estudiar la relacion entre la rentabilidad del
trigo respecto del nivel de nitrogeno(N). Para ello, se planto
trigo en 7 parcelas de tierra de identicas caractersticas y seles
suministraron diferentes niveles de nitrogeno. Los resultados
aparecen en la tablasiguiente:
Unidades (N/acre) (x) 40 60 80 100 120 140 160Rentabilidad
(Tm/acre) (y) 15.9 18.8 21.6 25.2 28.7 30.4 30.7
Se pueden utilizar las cantidades numericas siguientes:xi =
700
yi = 171.3
x2i = 81200
y2i = 4398.2
xi yi = 18624
1. Ajustar una recta para predecir la rentabilidad del trigo en
funcion del nivel denitrogeno. Calcular r2 e interpretar su
valor.
2. Estimar, utilizando el modelo ajustado en el apartado
anterior, la rentabilidad deltrigo cuando el nivel de nitrogeno es
de 60 unidades. Es fiable esta prediccion?Razona tu respuesta.
Problema 26
I.1 Describir las caractersticas globales del siguiente
histograma. Indicar de manera razonadacuales seran las medidas de
centralizacion y dispersion mas adecuadas para resumir
dichoconjunto de datos:
-
16 Estadstica descriptiva
I.2 En julio, las cepas producen racimos de pequenas bayas, y se
quiere utilizar un recuentode esos racimos para predecir la
cantidad de uva que se recogera. En la tabla siguienteaparece, para
varios anos, la cosecha de uva en toneladas por acre y la cantidad
de racimoscontabilizados en julio:
Ano 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982No racimos (x) 116 80 125
116 117 93 107Produccion (y) 4.9 3.9 4.8 4.6 4.7 4.1 4.4
Se pueden utilizar las cantidades numericas siguientes:xi =
754
yi = 31.4
x2i = 82724
y2i = 141.68
xi yi = 3416
1. Se quiere desarrollar un modelo que explique la produccion de
uva respecto delnumero de racimos contabilizados en julio. Llevar a
cabo el ajuste correspondientey comentar su bondad.
2. Si en julio se contabilizaron 122 racimos, cual sera el
ingreso esperado de la pro-duccion de uva si en dicho ano el precio
de venta del kilo de la uva es de 1.40 euros?
Problema 27I.1 Una empresa vitivincola desea realizar un estudio
sobre la influencia de las campanas
publicitarias en sus cifras de ventas. Para ello dispone del
gasto destinado a publicidad ysus ventas en los ultimos cinco
anos.
ANOS GASTOS EN PUBLICIDAD() V ENTAS()1996 2.5 2001997 2.8
2211998 2.9 2301999 3.1 2392000 3.5 248
() Los gastos en publicidad y las ventas vienen en millones de
pesetas.Se pide:
1. Se quiere desarrollar un modelo que explique la evolucion de
las ventas en funcionde los gastos en publicidad. Llevar a cabo el
ajuste correspondiente y comentar subondad.
2. Predecir las ventas para este ano 2001, si se tiene previsto
invertir en publicidad 4millones de pesetas.
I.2 Se ha aplicado un test sobre capacitacion laboral a 90
empleados de una industria, obteniendoselos siguientes
resultados:
PUNTUACIONES N o de EMPLEADOS[38, 44) 7[44, 50) 8[50, 56) 15[56,
62) 27[62, 68) 18[68, 74) 9[74, 80] 6
-
Estadstica descriptiva 17
Se pide:
1. Representar graficamente la variable mediante un histograma.
Comentar las caractersticasmas relevantes de dicho histograma. Que
medidas de centralizacion y dispersion son masadecuadas para
resumir los datos? Razona tu respuesta.
2. Calcular la puntuacion media obtenida en el test. En que
intervalo se situa la mediana?Cual es el intervalo modal?
3. Que proporcion de empleados tiene una puntuacion mayor o
igual a 62?
Problema 28I.1 Una empresa productora de ctricos constata que
las producciones de dos fincas son de
calidad distinta aunque utilizan la misma especie de arboles.
Despues de notar que losdos tipos de suelo son distintos (la finca
A esta constituida de suelo fino y homogeneomientras que la finca B
tiene una mezcla de suelo fino y suelo mas grueso) decide
hacermediciones de la densidad del suelo en las dos fincas:
FINCA A FINCA B85.9 88.2 90.4 91.1 92.7 92.893.8 94.1 94.3 96.5
98.5 103.8
86.8 87.5 90.3 91.4 92.4 92.693.5 93.9 94.8 94.9 95.0 97.5
1. Realiza en un mismo grafico un diagrama de caja y bigotes de
la densidad de la fincaA y la finca B. Comentar las caractersticas
mas relevantes.
2. Te parece que la densidad se distribuye sensiblemente de la
misma manera para lasdos fincas?
I.2 Una empresa de productos lacteos quiere estudiar la relacion
entre el contenido en materiagrasa de la leche de vaca y la
cantidad de lluvia caida (a mayor precipitacion acuosamejor sera el
forraje para la alimentacion del ganado). Los siguientes datos se
refieren alporcentaje de contenido en grasa junto con la
precipitacion acuosa registrada durante elprimer semestre del
ano:
contenido de grasa % 4.2 4.13 4.14 4.08 3.98 3.92precipitacion
(l/m2) 524 502 464 484 310 320
1. Realizar el diagrama de dispersion correspondiente. Cual es
el tipo de relacion entrelas dos va-riables? Se trata de una
relacion positiva o negativa?
2. Realizar un ajuste por mnimos cuadrados del contenido de
materia grasa respectode la precipitacion. Hallar el coeficiente de
correlacion e interpretar su valor.
3. Estimar, usando el modelo ajustado en el apartado anterior,
el contenido de materiagrasa para un mes con una precipitacion de
450 l/m2.
Problema 29La mejora de la tecnologa (mecanizacion,
fertilizantes, nuevas variedades de plantones, etc,)
ha dado lugar que la productividad (P ) y el tiempo (t) esten
relacionados por la formula P = et donde y son dos constantes.
Supongamos que tenemos n datos de la productividady el tiempo, que
transformacion de los datos nos lleva a obtener las constantes y ?
Realizadicha transformacion y propon las formulas para obtener las
citadas constantes. (1 pto)
-
18 Estadstica descriptiva
-
Probabilidad 19
Universidad Politecnica de CartagenaDpto. Matematica Aplicada y
EstadsticaMetodos estadsticos de la ingeniera, Estadstica
Problemas de examenes: Probabilidad
Problema 1
La elaboracion de un determinado tipo de piezas puede realizarse
con dos maquinas, siendola produccion de piezas diaria de ambas
maquinas la misma. Las proporciones de piezas defec-tuosas
fabricadas por las dos maquinas M1 y M2 son 0.04 y 0.01,
respectivamente.
a) Si se selecciona al azar una pieza de la produccion total y
resulta detectuosa Cual es laprobabilidad de que provenga de
M2?
b) Si se toman independientemente dos piezas al azar y resultan
aceptables Cual es laprobabilidad de que ambas piezas provengan de
M1?
Nota: Indicar claramente los sucesos que intervienen as como las
probabilidades asociadas.
Problema 2
Una empresa fabrica chips con un porcentaje de defectuosos del
5%, poniendolos a la ventaen paquetes de 5 unidades. Una empresa
ilegal vende imitaciones indistinguibles del mismo chipcon un
porcentaje de defectuosos del 50% y los comercializa en el mismo
envase de 5 unidades.
a) Cual es la probabilidad de que un paquete legal contenga
exactamente dos chips defectu-osos? Y si el paquete es ilegal?
Teniendo en cuenta que el 10% de los paquetes vendidos en el
mercado son ilegales, respondera las siguientes cuestiones:
b) Si adquirimos un paquete de chips, cual es la probabilidad de
que contenga exactamentedos chips defectuosos?
c) Cual es la probabilidad de que un paquete que contiene dos
defectuosos sea ilegal?
Nota: Indicar claramente los sucesos que intervienen as como las
probabilidades asociadas.
Problema 3
Una avioneta cayo en una region que se puede clasificar como: el
50% de montana, el 30%de prado y el 20% de mar. Dependiendo de
donde haya cado, su localizacion para el equipode rescate es mas o
menos facil, de forma que la probabilidad de que no se localice si
ha cadoen la zona de montana es de 0.3 y si ha cado en los prados
de 0.2, pero si ha cado en el marla probabilidad de no localizarla
es de 0.9.
-
20 Probabilidad
Como el piloto no llevaba equipo para sobrevivir en la montana,
inicialmente el rescate se hizoen esta zona y no se encontro. Cual
es la probabilidad de que realmente la avioneta hayacado en la
montana?
Al no encontrarla en las montanas, se continuo buscando en las
otras dos zonas y tampoco seencontro. Cual es la probabilidad de
que realmente la avioneta haya cado en la montana?Comparar este
valor con el del apartado anterior. Por que no son los mismos?
Problema 4
II.1 En la construccion de unas determinadas obras pueden
aparecer anomalas debidas a doscausas que son independientes:
fallos de cimentacion y mala calidad de los materiales.La primera
ocurre con probabilidad del 4% y la segunda con probabilidad del
3%.
1. Calcular la probabilidad de que en una determinada obra no
aparezca ningunaanomala.
2. Calcular la probabilidad de que aparezcan fallos de
cimentacion y no mala calidadde los materiales.
3. Si se detecta la presencia de anomalas, la construccion puede
verse afectada con undesplome en un plazo de tiempo determinado con
las siguientes probabilidades:
0.1, cuando no aparece ninguna de las anomalas.
0.8, cuando aparece alguna de las anomalas.
Interpretar esta informacion adicional en terminos de sucesos y
probabilidades. Cal-cular la probabilidad de que el edificio se
desplome. Si el edificio se ha desplomado,cual es la probabilidad
de que se haya producido alguna de las anomalas?.
4. Una determinada empresa realiza 5 obras cada ano. Cual es la
probabilidad de queen 5 anos al menos tres obras sufran
anomalas?
5. Y la de que en 20 anos mas del 90% de las obras realizadas no
tengan anomalas?
Problema 5
1. En la produccion de un artculo se aplica soldadura y para eso
se usan tres diferentesrobots. La probabilidad de que la soldadura
sea defectuosa vara para cada uno de losrobots, as como la
proporcion de artculos que cada uno procesa, de acuerdo a la
siguientetabla:
robot % art. procesados Probabilidad soldadura defectuosaA 18 %
0.002B 42 % 0.005C 40 % 0.001
(a) Definir de manara adecuada los sucesos que intervienen as
como las probabilidadesasociadas a cada uno de ellos.
(b) Determinar cual es la proporcion global de defectos
producida por las tres maquinas.
-
Probabilidad 21
(c) Si tomamos un artculo al azar y resulta con soldadura
defectuosa, determinar laprobabilidad de que haya sido soldado por
el robot C.
Problema 6
Una empresa consta de tres factoras dedicadas a la elaboracion
de ladrillos para la con-struccion, produccion que se reparte de la
siguiente manera: la factora A elabora un 25% y laB un 40%. Ademas,
la factora A elabora un 5% de ladrillos defectuosos, la B un 2% y
la C un3%.
a) Indicar el experimento aleatorio y los sucesos que
intervienen, as como las probabilidadesasociadas a dichos
sucesos.
b) Si seleccionamos un ladrillo elaborado en la factora C, cual
es la probabilidad de que seadefectuoso?
c) Si seleccionamos un ladrillo de la produccion total, cual es
la probabilidad de que seadefectuoso?
d) Si el ladrillo seleccionado de la produccion total resulta
defectuoso, cual es la probabilidadde que no se fabricara en C?
Problema 7
II.1 Sean dos sucesos A y B que cumplen P(B|A) = 0.3,P(B|AC) =
0.7, y P(B) = 0.6. Indicarsi es verdadera o falsa cada una de las
afirmaciones siguientes, razonando la respuesta,
a) A y B son independientes. b) P(A) = 0.25.c) A y AC son
independientes d) A y B son incompatibles.
II.2 Una empresa de materiales de construccion esta probando un
nuevo pavimento. Para ello,instala muestras del material en tres
zonas donde las condiciones climaticas son diferentes,repartidas de
la siguiente forma: 45% en la zona A, 30% en la zona B y 25% en la
zonaC.
Con una lluvia abundante el pavimento se derrumba totalmente. La
probabilidad de quehaya tormenta en la zona A es P[|X| < 2],
siendoX una variable aleatoria con distribucionnormal de media = 1
y varianza 2 = 4), en la zona B es P[Y 6], donde Y tiene
unadistribucion binomial de parametros n = 8 y p = 0.8 y en la zona
C es P[U = 3], con Uuna variable con distribucion de Poisson de
parametro = 1.
1. Calcular la probabilidad de que el pavimento se derrumbe en
cada una de las zonasdonde se instalaron muestras de material.
2. Si el pavimento no sufre ningun derrumbamiento, cual es la
probabilidad de que sehaya construido en la zona A?
3. Cual es la probabilidad de que no se produzca derrumbamiento
si el pavimento nose construyo en la zona B?
Problema 8
-
22 Probabilidad
II.1- Cierto artculo se manufactura en tres fabricas, digamos 1,
2 y 3. Se sabe que la primeraproduce el doble de artculos que la
segunda y que esta y la tercera producen el mismonumero de artculos
(durante el periodo de produccion especificado). Se sabe tambienque
el 2% de artculos producidos por las dos primeras es defectuosos,
mientras que el4% de los manufacturados por la tercera es
defectuoso. Todos los artculos producidos secolocan en una fila y
se escoge uno al azar.
a) Traducir los datos del enunciado, introduciendo los sucesos
convenientes
b)Cual es la probabilidad de que este artculo sea
defectuoso?
Problema 9
I.2- Sean A,B y C tres sucesos, tales que P (A) = 0.2, P (B) =
0.8 y P (A|B) = 0.5. Entrelas siguientes afirmaciones, indica
cuales son corresctas.(puede haber mas de unarespuesta correcta).
Razona tu respuesta.
a) P (AB) = 0.4 b) P (A
B) = 0.16 c) P (A
B) = 0.1 d) P (A
B) = 0.6
e) P (AB) = 1
II.2- En un laboratorio, se disena un test para detectar la
presencia de una bacteria en el agua.Para probar el test, se
considera un gran numero de probetas con agua que pueden, o
no,contener la bacteria. La probabilidad de que una probeta
escogida al azar contenga labacteria es de 0.2. Por otra parte, si
una probeta contiene la bacteria, el test da positivoen el 90% de
los casos. En cambio, si una probeta no contiene la bacteria, el
test dapositivo en el 5% de los casos.
(a) Traducir los datos del enunciado, introduciendo los sucesos
convenientes.
(b) Al escoger al azar una probeta, cual es la probabilidad de
que de positivo en el test?
(c) Si una probeta ha dado positivo en el test, cual es la
probabilidad de que contengala bacteria?
(d) Entre las probetas que han dado negativo en el test, cual es
la proporcion deprobetas que contienen la bacteria?
Problema 10
II.1- Sean A y B dos sucesos cualesquiera tales que
p(A) =1
3, p(B) =
1
5, p(A/B) + p(B/A) =
2
3
Calcular:
(a) p(A B)(b) p(A B)(c) p(AC BC), siendo AC el conjunto
complementario de A.
-
Probabilidad 23
II.2- Las mujeres de una universidad constituyen el 60% de los
estudiantes de primer curso, el40% de los de segundo y el 40% de
los de tercero. Los estudiantes de dicha universidadson en un 40%
de primero, en un 30% de segundo y en un 30% de tercero.
(a) Introducir los sucesos convenientes y traducir los datos del
enunciado.
(b) Si se escoge un estudiante de dicha universidad al azar,
hallar la probabilidad de quesea mujer.
(c) Si el estudiante escogido es mujer Cual es la probabilidad
de que sea de segundocurso?
Problema 11
I.2.- El 10% de los chips informaticos vendidos en el mercado
son producidos por una empresapirata. Para un chip pirata la
probabilidad de que sea defectuosos es del 50% mientrasque si el
chip no es pirata la probabilidad de que sea defectuoso desciende
al 5%.
(a) Definir los sucesos convenientes, junto con sus
probabilidades.
(b) Determinar el porcentaje total de chips defectuosos que
salen al mercado.
(c) Compras un chip y resulta ser defectuoso. Calcular la
probabilidad de que procedade la empresa pirata.
Problema 12
1. Un avion realiza diariamente el mismo servicio. En un ano
hubo 50 das con niebla y315 das sin niebla. Consideramos el
experimento aleatoria se escoge un da al azar enel ano. Se ha
comprobado que si el da es con niebla, la probabilidad de que
ocurra unaccidente ese da es de 0.04 mientras que si el da es sin
niebla, la probabilidad de unaccidente es de 0.003. Calcular la
probabilidad de que:
(a) al escoger al azar un da en el ano, haya ocurrido un
accidente.
(b) Si un da ha ocurrido un accidente, el da haya sido sin
niebla.
Problema 13
I.2.- Una pieza producida en una empresa puede tener dos tipos
de defectos. El 8% de laproduccion presenta el defecto de tipo A,
el 5% de la produccion presenta el defecto detipo B, y se supone
que no hay piezas que tengan los dos tipos de defectos. Despues
deser producida cada pieza es sometida de manera automatica a un
test de ruptura, con lassiguientes posibilidades: Si la pieza tiene
el defecto de tipo A, tiene una probabilidad de0.9 de romperse. Si
la pieza tiene el defecto de tipo B, tiene una probabilidad de 0.95
deromperse. Finalmente, si la pieza no tiene ningun tipo de
defecto, tiene una probabilidadde 0.01 de romperse.
(a) Si el experimento aleatorio consiste en escoger al azar un
pieza de la produccion,traducir los datos del enunciado, despues de
haber introducido los sucesos conve-nientes.
-
24 Probabilidad
(b) Cual es la probabilidad de que una pieza escogida al azar en
la produccion se vayaa romper durante el test?
(c) Si una pieza escogida al azar se ha roto durante el test,
cual es la probabilidad deque no fuese defectuosa?
Problema 14
1. En una empresa conservera, se dispone de dos maquinas que
envasan en botes el mismoproducto. La maquina A es la mas antigua,
y produce el 30% de la produccion total,mientras que la maquina B,
de adquisicion mas reciente, produce el 70% de la producciontotal.
Si un bote ha sido producido por A, la probabilidad de que sea
defectuoso es de0.08, mientras que, si ha sido producido por B, la
probabilidad de que sea defectuoso esde 0.04.
(a) Si el experimento aleatorio consiste en escoger un bote al
azar de la produccion,traducir los datos del enunciado,
introduciendo los sucesos convenientes.
(b) Cual es la probabilidad de que, al escoger un bote al azar,
sea defectuoso?
(c) Cual es la probabilidad de que, si un bote escogido al azar
es defectuoso, haya sidoproducido por la maquina A?
Problema 15
1. En una determinada ciudad se pueden sintonizar de manera
gratuita 4 canales de TV, elCanal 1, Canal 2, Canal 3 y Canal 5 (el
Canal 4 es de pago). Segun un estudio realizado,la probabilidad de
que a las 22:00 la programacion emitida merezca la pena es del
025,030, 015 y 010 para cada uno de los canales respectivamente.
Supongamos que a las22:00 encendemos un televisor de esa ciudad y
se sintoniza un canal de manera aleatoria.Se pide:
(a) Definir de manera adecuada los sucesos que intervienen as
como sus probabilidadesasociadas.
(b) Determinar la probabilidad de que merezca la pena el
programa obtenido al encen-der un televisor de esa ciudad a las
22:00 y sintonizar un canal de manera aleatoria.
(c) Supongamos que la programacion obtenida no merece la pena,
determinar la pro-babilidad de que estemos sintonizando el Canal
5.
Problema 16
1. Un determinado prefabricado de hormigon puede presentar dos
tipos de defectos de man-era independiente, que lo hacen
inutilizable. El primero de ellos es no cumplir con lanorma en lo
referente a las dimensiones del objeto y otro no cumplir la norma
en relaciona la resistencia del mismo, pudiendo presentarse ambos
defectos en una misma pieza. Sesabe que el 10% de los prefabricados
tienen unas dimensiones incorrectas, mientras quesolo el 5% no
cumple las exigencias en cuanto a resistencia. A partir de esta
informacion,determinar:
(a) El porcentaje de prefabricados que son correctos, es decir,
no presentan defectoalguno.
-
Probabilidad 25
(b) El porcentaje de prefabricados que tendran que ser
eliminados por presentar alguntipo de defecto.
(c) Determinar, dentro del conjunto de las piezas defectuosas,
el porcentaje de piezasque cumplen la norma de resistencia.
Problema 17
1. Con el fin de verificar un determinado procedimiento no
destructivo para testar la cal-idad de una componente electronica
se probo con 50 piezas correctas y 50 defectuosasobteniendose los
siguientes resultados:
PiezaCorrecta Incorrecta
Defectuosa 1 48Test
No Defectuosa 49 2
(a) Calcular el error asociado al test, esto es, calcular la
probabilidad de que el test denegativo sabiendo que la pieza es
correcta y la probabilidad de que el test de positivosobre una
pieza defectuosa.
(b) Sabiendo que el porcentaje de piezas defectuosas del proceso
de fabricacion es del5% determinar la probabilidad de que realmente
sea defectuosa una pieza que diodefectuosa al aplicar el test.
Problema 18
I.2 Una multinacional realiza operaciones comerciales en tres
mercados A, B y C. El 20% delas operaciones de la multinacional
corresponden al mercado A y en los mercados B y Crealiza
exactamente el mismo numero de operaciones. El porcentaje de
operaciones enlos que se producen retrasos en el pago es del 10%,
15% y 5% en los mercados A, B y C,respectivamente. Se pide:
(a) Describir los sucesos correspondientes y sus probabilidades
asociadas.
(b) En que porcentaje de operaciones de la multinacional no se
producen retrasos en elpago?.
(c) Que porcentaje de las operaciones en las que se ha retrasado
el pago han sidorealizadas en el mercado B?.
(d) Elegida una operacion al azar, que probabilidad hay de que
no tenga retraso en elpago y corresponda al mercado A o C?
(e) Entre las operaciones que no han sufrido retraso en el pago,
cual es el porcentajede las que corresponden a los mercados A o
C?
Problema 19
Una empresa fabrica bombillas en tres factoras A, B y C. En A se
producen el 20% deltotal de bombillas, en B el 40% y en C el resto.
El 2% de las bombillas fabricadas en A sondefectuosas, mientras que
el porcentaje de defectuosas en B y C es del 3% y 4%,
respectivamente.
-
26 Probabilidad
I.1 Se decide escoger al azar una bombilla de la produccion
total:
1. Despues de introducir los sucesos convenientes, traducir los
datos del enunciado.
2. Calcular la probabilidad de que la bombilla seleccionada sea
defectuosa.
3. Si se sabe que la bombilla seleccionada funciona
correctamente, determinar dondees mas probable que se fabricara y
con que probabilidad.
I.2 Ahora se decide elegir una factora al azar entre las tres, y
una vez escogida la factora,escoger al azar una bombilla entre su
produccion.
1. Reasignar las probabilidades a los sucesos introducidos
anteriormente teniendo encuenta esta nueva situacion.
2. Calcular la probabilidad de que la bombilla seleccionada no
sea defectuosa.
3. Si la bombilla seleccionada es defectuosa, cual es la
probabilidad de que se fabricaraen B?
4. Que diferencia esencial existe entre las dos situaciones
descritas en I.1 y en I.2respectivamente?
Problema 20
1. Un metodo empleado para distinguir entre rocas granticas y
basalticas consiste en ex-aminar desde el aire una porcion del
espectro infrarrojo de la energa solar reflejada porla roca. Los
resultados de estas observaciones los podemos catalogar en tres
clases quedenotaremos por C1, C2 C3. El grado de deteccion del
procedimiento viene reflejado enla siguiente tabla:
Observacion C1 C2 C3Granito 60% 25% 15%Basalto 20% 50% 45%
es decir, la probabilidad de que la superficie sea grantica
cuando se recibe la senal C1 esde 0.6, etc. Entonces, sabiendo que
en una determinada region se han detectado senalesC1 en el 45% de
las pruebas, C2 en el 20% y C3 en el resto:
(a) Definir de manera adecuada los sucesos que intervienen as
como las probabilidadesasociadas a cada uno de ellos.
(b) Determinar la proporcion de granito y basalto de la
zona.
(c) Si la piedra observada no es basaltica ni grantica,
determinar la probabilidad deque la senal recibida sea C1.
Problema 21
1. El 15% de los tomates recolectados en cierta region presenta
en la piel una sustanciatoxica A, el 10% la sustancia toxica B y el
2% las sustancias toxicas A y B. Se seleccionauna muestra al
azar.
(a) Calcular la probabilidad de que la muestra presente la
sustancia toxica A si presentala sustancia toxica B.
-
Probabilidad 27
(b) Calcular la probabilidad de que la muestra presente la
sustancia toxica A si nopresenta la sustancia toxica B.
(c) Se sabe que el 20% de las muestras presentan en su piel una
sustancia C, incompatiblecon B y el 5% de las muestras las
sustancias A y C. Calcular la probabilidad de quela muestra
presente la sustancia B o C si presenta la sustancia A.
Problema 22
1. Un proceso de fabricacion puede estar ajustado o desajustado.
Cuando esta ajustadoproduce un 1% de piezas defectuosas y cuando
esta desajustado un 10%. La probabilidadde desajuste es 0.3.
(a) Traducir los datos del enunciado indicando claramente el
experimento aleatorio, lossucesos que intervienen y sus
probabilidades asociadas.
(b) Se toma una pieza de la produccion total y resulta ser
aceptable. Calcular la proba-bilidad de que el proceso este
desajustado.
(c) Se toman 5 piezas de manera indepedientes y todas son
buenas. Calcular la proba-bilidad de que el proceso este
desajustado.
Problema 23
IV Sabeis que hay dos ascensores (A y B) en cada ala del
hospital de Marina, supongamosque, al llamar un usuario en la
planta baja a los dos ascensores de manera simultanea,
laprobabilidad de que llegue primero el ascensor A es de 0.75.
Ademas la probabilidad deque el ascensor se quede bloqueado, con el
usuario dentro, es de 0.005 para el ascensor A,y de 0.01 para el
ascensor B,
1. Cual es la probabilidad de que el usuario que ha llamado a
los dos ascensores desdela planta baja se quede bloqueado?
2. Si un usuario se ha quedado bloqueado, cual es la
probabilidad de que sea en elascensor A?
Problema 24
I.2 Una cooperativa contrata a 3 ingenieros agronomos, A, B y C,
para realizar diferentestrabajos. El 25% de los trabajos son
realizados por el ingeniero A, el 35% por el ingenieroB y el resto
por el ingeniero C. La probabilidad de que el trabajo se entregue
en la fechaimpuesta por la cooperativa es de 0.97 si lo ha
realizado A, de 0.89 si lo ha realizado By de 0.92 si lo ha
realizado C. Si el experimento aleatorio consiste en seleccionar al
azaruno de los trabajos contratados, se pide:
1. Si se sabe que el trabajo seleccionado ha sido presentado en
la fecha convenida, cualde los tres ingenieros es mas probable que
haya sido contratado para realizar dichotrabajo?
2. Calcular la probabilidad de que el trabajo no se entregue en
la fecha impuesta porla cooperativa y no haya sido realizado por el
ingeniero C.
-
28 Probabilidad
Problema 25
II.1 En una granja avcola se utilizan 2 tipos de pienso, A y B,
para alimentar a las aves. El25% de las aves son alimentadas
exclusivamente con el pienso A, el 35% son
alimentadasexclusivamente con el pienso B y el resto de las aves
son alimentadas con una mezclade ambos tipos de pienso. Se sabe que
la probabilidad de que el engorde de las avessea superior a 1 Kg.
cuando se utiliza solamente el tipo A es de 0.86, cuando se
utilizasolamente el pienso B es de 0.58 y cuando se utilizan ambos
tipos de pienso es del 0.92.Se decide escoger al azar una de las
aves de la granja:
1. Despues de introducir los sucesos convenientes, traducir los
datos del enunciado.
2. Determinar la probabilidad de que el engorde del ave sea
superior a 1 Kg.
3. Si se comprueba que el engorde del ave ha superado 1 Kg.,
determinar que tipo dealimentacion es mas probable que haya seguido
y con que probabilidad.
Problema 26
II.1 Dos cazadores A y B disparan a la misma pieza. La precision
de ambos no es la misma,pues la probabilidad de que A acierte es
9/10 y la de B es 7/10. Sabiendo que ambosdisparan a la pieza una
unica vez, hallar la probabilidad de que:
1. el cazador A no acierte.
2. ambos alcancen la pieza.
3. exactamente uno de ellos alcance la pieza.
4. ninguno de ellos alcance la pieza.
Problema 27
Un dado tiene dos caras con el numero UNO, dos caras con el
numero TRES, una caracon el numero DOS y una cara con el numero
CUATRO. Consideremos el siguiente juego: unjugador lanza el dado,
si sale un numero PAR, el jugador recibe tantas pesetas como
puntosindica el resultado; si sale un numero IMPAR, el jugador paga
tantas pesetas como puntosindica el dado. Calcular:
(a) El rango y la funcion puntual de probabilidad de la ganancia
obtenida en cada lanza-miento.
(b) Que ganancia espera obtener el jugador en cada
lanzamiento?
(c) La desviacion tpica de la ganancia obtenida.
-
Variables Aleatorias. 29
Universidad Politecnica de CartagenaDpto. Matematica Aplicada y
EstadsticaMetodos estadsticos de la ingeniera, Estadstica
Problemas de examenes: Variables Aleatorias.
Problema 1
Consideremos una variable aleatoria bidimensional (X, Y ) con
funcion de densidad conjunta:
f(X,Y )(x, y) =
{k x (1 y2) si 1 x 1 y si 0 < y < 10 en otro caso.
a) Determinar el valor de la constante k para que f(X,Y )(x, y)
sea una funcion de densidad.
b) Calcular la funcion de densidad marginal de X y de Y. Son X e
Y independientes?
c) Calcular la siguiente probabilidad condicionada Pr(0 < Y
< 1|X 0.8).
Problema 2
II.3. La longitud, en metros, de los radios que fabrica una
maquina es una variable aleatoriaX cuya funcion de densidad viene
dada por
f(x) =
{1/3 si 1/2 x < 2kx si 2 x 60 resto
Se pide:
1. Obtener el valor de la constante k.
2. Calcular la longitud media de los radios que fabrica dicha
maquina.
3. Cual es la probabilidad de que los radios midan menos de 3
metros?
Problema 3
II.2- Consideramos un dado de tal manera que, con el experimento
aleatorio tirar el dado,la funcion puntual de probabilidad de la
variable aleatoria X = numero obtenido, es
fX(x) = k 138
(x 3)2, para x = 1, 2, 3, 4, 5, 6y 0 en otro caso.
a) Calcular el valor de k.
b) Esta el dado trucado?
c) Represente graficamente fX . Si tienes que apostar por un
numero, cual elegiras?
d) Se propone el juego siguiente: se apuesta 500 pts, se tira el
dado y si sale par, se recu-pera la apuesta mas 100 pts, mientras
que si sale impar, se pierde la cantidad apostada.Merece la pena
jugar?
-
30 Variables Aleatorias.
Problema 4
II.1- Con objeto de establecer un plan de produccion, una
empresa ha estimado que la demandasemanal es una variable aleatoria
X cuya funcion de densidad viene dada por:
f(x) =
{k(4x 2x2) si 0 x 2
0 en otro caso
donde x viene expresada en millones de unidades. Calcular:
(a) El valor de la constante k.
(b) La demanda esperada en una semana.
(c) El coste de producir x millones de unidades viene dada por C
= 5X + 40 unidadesmonetarias, cual sera el coste semanal
esperado?
(d) La probabilidad de que la demanda semanal supere el millon y
medio de unidades.
Problema 5
II.2.- La distribucion de estudiantes de secundaria en una
comunidad autonoma es la siguiente:
sexo \ estudios Opcion B Opcion C Opcion A Opcion Dalumnos 12%
8% 21% 9%alumnas 19% 9% 15% 7%
(a) Cual es la proporcion de alumnas entre los estudiantes de
secundaria?
(b) Se escoge al azar un estudiante de secundaria en la
comunidad y resulta ser alumna,Cual es la probabilidad de que
estudie la opcion C?.
(c) Introducimos las variables : X = sexo e Y = opcion escogida.
Determinar lasdistribuciones marginales de X y de Y. Son
independientes las dos variables ?.
Problema 6
II.1.- La funcion de densidad de una variable aleatoria X, viene
dada por la siguiente expresion:
fx(x) =
{kx 0 < x < 6
0 en caso contrario
(a) Para que valor de k es fx(x) una funcion de densidad?.
Hallar E[X]
(b) Calcular la funcion de densidad de la v. a. Y = 1/X,as como
E[Y ].
II.2.- Sea (X, Y ) una variable aleatoria bidimensional
discreta, cuya funcion puntual de proba-bilidad conjunta, viene
dada por la tabla siguiente:
X = 1 X = 0 X = 1Y = 1 1/8 1/8 1/8Y = 0 1/8 0 1/8Y = 1 1/8 1/8
1/8
-
Variables Aleatorias. 31
(a) Hallar las funciones puntuales de probabilidad marginal de X
y de Y.
(b) Calcular el coeficiente de correlacion lineal entre X e Y.
Se puede afirmar que sonindependientes?. Justifica la
respuesta.
(c) Determinar P (Y > 1/X > 1).
Problema 7
1. Una determinada empresa qumica esta interesada en comprar un
dispositivo que midala concentracion de sosa en el producto y su
PH. Los errores asociados a las medicionesde dicho dispositivo
pueden ser consideradas como dos variables aleatorias X e Y
(X=Error al medir la concentracion de sosa e Y=Error en la
determinacion del PH)cuya distribucion conjunta viene dada por:
f(x, y) =
k[1 + xy(x2 y2)] si y [1, 1]
si x [1, 1]
0 en caso contrario
(a) Calcular el valor de la constante k.
(b) Calcular las distribuciones marginales de ambas
variables.
(c) Se pueden considerar independientes ambas variables?
(d) Sabiendo que en un determinado producto el error que se
comete al medir la con-centracion de sosa es inferior a 0.5,
calcular la probabilidad de que el error cometidoal medir su PH sea
inferior a 0.5 (0.5).
Problema 8
II.2.- La funcion puntual de probabilidad de una variable
aleatoria bidimensional discreta(X, Y ) viene dado por:
YX
2 3
1 1/9 02 0 6/93 2/9 0
Obtener:
(a) Las funciones puntuales de probabilidad marginal de la X y
la Y .
(b) Pr(X = 1/X + Y 4) y Pr(Y > 2/X > 1).(c) E(X) y V
ar(X).
Problema 9
1. Sea X una variable aleatoria continua con funcion de
distribucion:
F (x) =
{1 ex si x > 0
0 si x 0
-
32 Variables Aleatorias.
(a) Calcular, la funcion de densidad asociada a dicha variable,
su media y Pr(X > 2).
(b) Consideremos una nueva variable aleatoria Y de manera que la
funcion de densidadconjunta de ambas variables es:
fX,Y (x, y) =
{y e(x+y) si x > 0, y > 0
0 en otro caso.
Indicar de forma razonada si se puede considerar que ambas
variables son indepen-dientes. En cualquier caso, calcular Pr(Y
< 1|X > 2).
Problema 10
I.1.- Supongase que X e Y son variables aleatorias para las
que:
E(X2) = 5 V ar(X) = 4 V ar(X + Y ) = 10 Cov(X, Y ) = 2(a)
Calcular E(X) y V ar(Y ).
(b) Sea Z = 5X 3. Calcular E(Z) y V ar(Z).
Problema 11
1. La resistencia de un tornillo en gr/mm2 es una variable
aleatoria con densidad:
f(x) =
{1 kx 0 x 20 en otro caso
(a) Determinar el valor de la constante k as como la resistencia
esperada.
(b) Calcular y representar su funcion de distribucion.
(c) Determinar la probabilidad de que un tornillo aguante mas de
1.5 gr/mm2 si para1.0 gr/mm2 aun resiste.
Problema 12
II.2 El porcentaje de contaminante presente en una muestra de
aire es una variable aleatoriacon funcion de densidad dada por
f(x) =
{a+ bx2 0 < x < 10 en otro caso
1. Si E(X) = 3/5. Calcular el valor de a y b para que f sea
funcion de densidad.
2. Calcular la probabilidad de que el porcentaje de contaminante
en una muestra deaire sea superior a 0.6.
Problema 13
-
Variables Aleatorias. 33
La resistencia de ciertos componentes electricos tiene una
distribucion de probabilidad de-sconocida de media 200 Ohmios y
desviacion tpica 1 Ohmio. Un tipo de circuitos esta formadopor tres
de estos componentes independientes, de manera que la resistencia
del circuito vienedada por la suma de las resistencias de los
componentes.
a) Cual sera la media y desviacion tpica de la resistencia del
circuito?
b) Se consideran validos aquellos circuitos cuya resistencia se
encuentre en el intervalo (590,610).Que porcentaje maximo de
circuitos defectuosos se fabrica?
Problema 14
La funcion de densidad de la variable aleatoria bidimensional
(X, Y ) viene dada por:
f(x, y) =
{kxy si 0 < x < y < 10 resto
a) Calcular el valor de k.
b) Calcular la probabilidad P (X < 0.5|Y = 0.5).c) Son
independientes X e Y ? Razona tu respuesta.
Problema 15
II.2 El tiempo de espera, en horas, entre corredores sucesivos
detectados por un radar es unavariable aleatoria con funcion de
distribucion:
F (x) =
{0 x 01 ex/8 x > 0
1. Calcular la probabilidad de esperar menos de 12minutos entre
corredores sucesivos.
2. Calcular la funcion de densidad.
3. Un canal de television local se conecta en directo cada vez
que un corredor pasa porel puesto de control. Si el tiempo entre
corredores sucesivos se rellena con publicidady supone una ganancia
para el canal de 100000 ptas el minuto. Cual es la gananciaque
espera el canal entre las llegadas de dos corredores sucesivos?
Problema 16
II.1 Consideremos un dado que tiene dos caras con el numero uno,
dos caras con el numerodos y dos caras con el numero tres, de
manera que, con el experimento aleatorio tirarel dado, la funcion
puntual de probabilidad de la variable aleatoria X =Numeroobtenido,
es
fX(x) =
{k 1
8(x 1)2, para x = 1, 2, 3
0, resto
1. Calcular el valor de k.
-
34 Variables Aleatorias.
2. Esta el dado trucado?
3. Si tienes que apostar por un numero, cual elegiras?
4. Se propone el juego siguiente: se apuesta 3 euros, se tira el
dado y si sale impar,se recupera la apuesta mas 2 euros, mientras
que si sale par, se pierde la cantidadapostada. Merece la pena
jugar?
Problema 17II.2 El rendimiento de un sistema informatico es una
variable aleatoria X con funcion de
densidad
f(x) =
{ax2 + b si 0 < x < 2
0 resto
1. Calcular el valor de las constantes a y b para que f(x) sea
verdaderamente una
funcion de densidad sabiendo que la Pr(1/2 < X < 1) =1
24.
2. Calcular el rendimiento esperado del sistema informatico.
Problema 18II.2 Sea X una variable aleatoria cuya funcion de
densidad viene dada por X
f(x) =
kx+
1
6si 0 < x < 2
0 resto
Se pide:
1. El valor de la constante k para que f(x) sea una funcion de
densidad.
2. La funcion de distribucion de la variable aleatoria X.
3. El valor esperado de la variable aleatoria X.
Problema 19II.2 La produccion de trigo por parte de una
determinada region es una variable aleatoria X
cuya funcion de densidad viene dada por
f(x) =
{k(x+ 3)(2 x) si 0 < x < 2
0 resto
donde x se expresa en miles de toneladas. Se pide:
1. El valor de la constante k.
2. La probabilidad de que la produccion de trigo sea mayor de
mil toneladas.
3. Si el beneficio B por cada mil toneladas producidas se
obtiene como funcion de lacantidad producida: B = 1000 + 5000X,
cual sera el beneficio esperado?
-
Algunos modelos discretos y continuos. 35
Universidad Politecnica de CartagenaDpto. Matematica Aplicada y
EstadsticaMetodos estadsticos de la ingeniera, Estadstica
Problemas de examenes: Algunos modelos discretos y
continuos.
Problema 1
II.3 Despues de ser producida una senal s, con distribucion
normal de media 12 y desviaciontpica 0.5, entra en un dispositivo
que la transforma en una senal saliente con solo tresestados: 1, 0,
y 1. La senal saliente sout toma el valor 1 si la senal entrante es
menorque 11.5, toma el valor 0 si la senal entrante esta
comprendida entre 11.5 y 12.5, y tomael valor 1 si la senal
entrante es mayor que 12.5.
(a) Calcular la funcion puntual de probabilidad de la variable
sout y su funcion de dis-tribucion acumulada.
(b) Si se observan 1124 valores de la variable sout, cual es la
probabilidad de que hayamas de 800 ceros?
(c) Cual es en promedio el numero de valores no nulos en 1124
valores de sout?
Problema 2
Una maquina consta de 3 componentes y el tiempo de vida de cada
componente sigue unadistribucion exponencial de media 500 horas. La
maquina funciona solo si funcionan sus 3 com-ponentes (sistema en
serie) y se supone que las componentes funcionan
independientemente.La poltica de mantenimiento consiste en
sustituir todos los componentes simultaneamente cada700 horas.
a) Cual es la probabilidad de que la maquina se avere en el
intervalo comprendido entre dosrenovaciones?
b) Si han transcurrido 500 horas desde la ultima sustitucion de
todos los componentes y lamaquina sigue funcionando, cual es la
probabilidad de que la maquina se avere antesde la siguiente
renovacion?
La maquina de la que hablamos, fabrica piezas cuyas longitudes
se distribuyen segun unaNormal de media 32 y desviacion tpica 0.3
milmetros, considerandose aceptables aquellas cuyamedida se
encuentra dentro del intervalo (31.1, 32.6).
c) Cuantas unidades hay que inspeccionar por termino medio hasta
encontrar 5 defectuosas?
d) Calcular la probabilidad de que un lote de 500 piezas
contenga mas de 15 defectuosas.
-
36 Algunos modelos discretos y continuos.
Problema 3
1. La operatividad (en das) de un determinado tipo de explosivos
tiene la siguiente funcionde densidad:
f(x) =
0.3 ex
k si x > 0
0 en caso contrario
(a) Calcular el valor de k para que f(x) sea funcion de
densidad.
(b) Calcular la probabilidad de que un explosivo deje de ser
operativo antes de unasemana.
2. La capacidad de unos determinados envases sigue una
distribucion Normal de media 100cl y desviacion tpica 0.4 cl. Segun
una norma de calidad, se consideran aceptables todasaquellos
envases cuya capacidad este comprendida dentro del intervalo (99,
101).
(a) Determinar el porcentaje de envases que cumplen la
norma.
(b) Supongamos que los envases se empaquetan en lotes de 12
unidades, y un lote serechaza si contiene mas de 2 envases
defectuosos. Determinar la proporcion de lotesque se
rechazaran.
(c) Un comprador decide comprar los envases a granel en cajas de
1000 unidades, pero noaceptara aquellas cajas con mas de 50 envases
defectuosos. Obtener la probabilidadde que el comprador acepte una
determinada caja.
Problema 4
El tiempo de operatividad (en das) de un determinado tipo de
explosivos tiene la siguientefuncion de densidad:
f(x) = 3 k ex
7 si x > 0
a) Definir la variable aleatoria en estudio. Por la forma de su
funcion de densidad, quemodelo de distribucion sigue?
b) Calcular el valor de k para que f(x) sea funcion de
densidad.
c) Determinar la funcion de distribucion de la variable en
estudio.
d) Calcular la probabilidad de que un explosivo deje de ser
operativo antes de una semana.
e) Si han transcurrido 5 das desde su elaboracion y el explosivo
esta operativo, cual es laprobabilidad de que el explosivo llegue
operativo al da 12?
La empresa encargada de fabricar dichos explosivos tiene una
produccion mensual de 1000unidades, proporcionando un 5% de
explosivos defectuosos.
f) Cual es el numero medio de explosivos defectuosos fabricados
en un mes?
-
Algunos modelos discretos y continuos. 37
g) Determinar la probabilidad de que en un mes se fabriquen mas
de 30 unidades defectuosas.
Problema 5
III.1 La resistencia de ciertos componenetes electricos
fabricados en un proceso es una v.a.que sigue una distribucion
Normal de media 36 ohmios y varianza 0.64 ohmios2. Dichocomponente
es defectuoso para montarlo en cualquier sistema cuando su
resistencia esmenor de 35 ohmios. Se pide:
(a) Proporcion de componentes defectuosos.
(b) Se toma una muestra aleatoria de 400 de dichos componentes,
probabilidad de quehayan al menos 350 componentes no
defectuosos?
(c) Un sistema acopla 2 componentes en serie, calcular la
probabilidad de que el sistemafuncione. Y si se acoplan en
paralelo?
Problema 6
III.1- Una empresa dispone de una envasadora automatica para su
producto estrella : el zumode tomate. En la etiqueta del bote, el
volumen especificado es 375ml. Si X denota elvolumen real de zumo
contenido de un bote escogido al azar, lo deseable es (escoger
demanera razonada la opcion correcta)
a) X = 375, y 2X lo mas grande posible
b) X = 375, y 2X lo mas pequeno posible.
c)X = 375, y 2X negativo.
d) Da igual el valor de 2X , lo importante es X = 375
III.2- En la elaboracion de un determinado medicamento en forma
de comprimido intervienen1 producto qumico cuya cantidad sigue
aproximadamente una distribucion Normal demedia 3 grs. de
desviacion tpica 0.05 grs.
(a) Calcular la probabilidad de que un comprimido pese mas de
3.025 grs.
(b) Un comprimido se considera defectuoso cuando su peso difiere
de la media en masde 0.075 grs. Calcular la proporcion de
comprimidos defectuosos que se fabrican.
(c) Estos comprimidos se envasan en cajas de 10 unidades. Si un
envase contiene 2 omas comprimidos defectuosos se elimina del
mercado. Determinar el porcentaje decajas que se retiran del
mercado.
(d) Una farmacia hace un pedido de 100 cajas de dicho
medicamento. Calcular la pro-babilidad de que en el pedido haya mas
de 40 cajas no aptas para la venta.
Problema 7
III.- Estamos considerando interruptores electricos fabricados
por dos marcas A y B.
-
38 Algunos modelos discretos y continuos.
(a) El tiempo de vida de un interruptor electrico de la marca A
sigue una distribucionexponencial de vida media 2 anos. Calcular la
probabilidad de que falle a lo largodel primer ano.
(b) La probabilidad de que falle durante el primer ano un
interruptor de la marca Bes 0.25. Si se instalan 10 interruptores
de esta marca en diferentes sistemas (noconectados), calcula la
probabilidad de que a lo sumo 2 de ellos fallen a lo largo elprimer
ano.
(c) Si instalamos ahora 100 interruptores de la marca B en
diferentes sistemas (no conec-tados), calcula la probabilidad de
que a lo sumo 30 de ellos fallen durante el primerano.
Problema 8
III.1.- Una maquina A fabrica teclas cuadradas estandar de
teclados de PCs, siguiendo la lon-gitud de los lados una
distribucion con media 12.5 mm y desviacion tpica 0.0025 mm.Si
alguna de las piezas difiere en mas de 0.005 mm de la media es
rechazada, ya queprovocara un fallo en la cadena de montaje del
teclado.
(a) Cual es, como maximo, el porcentaje de piezas defectuosas
que fabrica la maquinaA.?
(b) Suponemos ahora que la distribucion de la longitud de los
lados sigue una dis-tribucion normal, hallar la probabilidad de que
elegida una tecla al azar, fabricadapor la maquina A, esta sea
defectuosa.
En la empresa, hay otra maquina B que tambien fabrica teclas
similares, pero para estamaquina, la proporcion de teclas
defectuosas es igual a 1%. Cada maquina produce lamitad de la
produccion total.
(c) Cual es la probabilidad de que, escogiendo una tecla al azar
entre la produccion,resulte defectuosa?
(d) Se elige una tecla de cualquiera de las dos maquinas y
resulta ser defectuosa Queprobabilidad tiene de haber sido
producida por la maquina A?.
(e) Se sabe que los teclados contienen 100 de estas piezas que
se escogen al azar entrela produccion total. Son rechazados cuando
alguna tecla es defectuosa, que
probabilidad tiene un teclado de ser rechazado?.
Problema 9
II.1.- La resistencia de ciertos componentes electronicos tienen
una distribucion de probabilidaddesconocida, con = 200 y = 2 .Por
motivos tecnicos se consideran validos soloaquellos circuitos cuya
resistencia se encuentre en el intervalo [195, 205] .
(a) Que porcentaje maximo de componentes defectuosos se
fabrica?.
(b) Si suponemos ahora que la resistencia de dichos componentes
sigue una distribucionNormal de media 200 y desviacion tpica 2 ,
determinar el porcentaje de com-ponentes defectuosos que se
fabrica. Comparar el resultado obtenido con el delapartado (a).
-
Algunos modelos discretos y continuos. 39
(c) Un determinado tipo de circuitos contiene 2000 de dichos
componentes. Determinarla probabilidad de que haya mas de 30
defectuosos.
Problema 10
1. Una pieza esta formada por la union de cuatro partes
cilndricas Las longitudes de cadauna de las partes se denotan por
L1, L2, L3, L4. Suponemos que cada una de las variablesL1, L2, L3,
L4 sigue una distribucion normal de misma media 100mm y misma
desviaciontpica 1. Suponemos ademas que las cuatro variables son
independientes. La pieza esrechazada, si su longitud total difiere
en mas de 4 mm de la media. Sabiendo que launion de las cuatro
partes que componen dichas piezas no admite superposiciones:
(a) Definir la variable aleatoria adecuada, as como su
distribucion de probabilidad ydeterminar el porcentaje de piezas
que sera aceptado.
(b) Si las piezas se empaquetan en lotes de 100 u. Queremos
garantizar al cliente que el90% de los lotes no contiene mas de m
piezas defectuosas. Determinar dicho numerom. (Definir previamente
la v.a. adecuada y su distribucion).
Problema 11
1. El contenido en calcio de la leche de un tetrabrik escogido
al azar entre la produccion deuna empresa lactea sigue una
distribucion desconocida de media = 1200mg y desviaciontpica =
50mg.
Se considera que el tetrabrik cumple con las especificaciones
del producto si su contenidoen calcio esta comprendido entre 1075mg
y 1325mg.
(a) dar una cota para el porcentaje de tetrabriks en la
produccion de la empresa que nocumplen con las
especificaciones.
Se supone ahora que la distribucion del contenido en calcio
sigue una dis-tribucion Normal de media = 1200 y desviacion tpica =
50mg.
b) Calcular el porcentage de tetrabriks en la produccion que no
cumplen con las especi-ficaciones.
c) Un supermercado compro 2000 tetrabriks a la empresa, cual es
la probabilidad deque haya mas de 30 tetrabriks en el lote que no
cumplen con las especificaciones?
Problema 12
II.1.- La cantidad de almendra que contiene una nueva barra de
helado se distribuye segun unanormal de media 60gr. y de desviacion
tpica 2gr.. Se pide:
(a) Las barras de helado se ponen a la venta cuando su cantidad
de almendra no difiereen mas de 4 gr. de la cantidad media. Que
porcentaje de ellas se ponen a la venta?
-
40 Algunos modelos discretos y continuos.
(b) Obtener la cantidad x para la cual el 33% de las barras
tienen una cantidad dealmendra superior al valor x.
(c) Si las barras de helado se meten en cajas de 150 unidades,
Cual es la probabilidadde que en una caja contenga por lo menos 140
barras aptas para la venta?
(d) Encontrar una cota para la proporcion de defectuosos en el
caso de que no conociesemosla distribucion de probabilidad que
sigue la cantidad de almendra por barra.
Problema 13
1. En una estacion agronomica se ha obtenido un tipo de semilla
de maz de calidad extraque germina en el 98% de los casos. Sabiendo
que las semillas se distribuyen en bolsas,
(a) Defina la posible variable aleatoria asociada al estudio e
indique su distribucion.
(b) Si las bolsas contienen 10 granos y cierta empresa las
somete a un control de calidad,en el que son desechadas si
presentan mas de dos granos que no germinan. Definala variable de
interes, y indique la probabilidad de que al escoger una bolsa al
azarno supere dicho control de calidad.
(c) Si las semillas se distribuyen en bolsas de 500 granos y se
garantiza al cliente lagerminacion de un 96% de las semillas como
mnimo. Cual es la probabilidad deque una bolsa no cumpla la
garanta?.
(d) Si en una caja introducimos 5000 granos. Cual es la
probabilidad de que germinenexactamente 4905 granos?.
Problema 14
1. La dimension de ciertas piezas sigue una distribucion normal
de media 150 y desviaciontpica 0.4. Sabiendo que se consideran
aceptables todas aquellas piezas cuya longitud seencuentre dentro
del intervalo (1492 , 1504). Determinar:
(a) El porcentaje de piezas defectuosas.
(b) Supongamos que se empaquetan en paquetes de 12 unidades, y
un lote se rechaza sicontiene mas de 3 defectuosas. Determinar la
proporcion de lotes que se rechazaran.
(c) Un determinado comprador decide comprarlas a granel en cajas
de 360 unidades,pero no aceptara aquellas cajas con mas de 90
defectuosas. Que probabilidadtenemos de que nos acepte las cajas?.
Comentar los resultados obtenidos en los dosultimos apartados.
Problema 15
1. Una determinada empresa dedicada a la fabricacion de
cemento-cola ha adquirido unamaquina de envasado. Segun los datos
que le suministra el fabricante de la envasadora,la cantidad que
proporciona por bolsa es una variable aleatoria normal cuyo
promedioes de 2000 gramos y su desviacion tpica es de 50 gr. Por
otro lado, el fabricante de lasbolsas en las que se que se
empaqueta el producto le garantiza que el peso de las bolsas
sedistribuye segun un modelo Normal de media 50 gr. y desviacion
tpica de 5 gr. Sabiendoque un saco de cemento-cola se considera
defectuoso si su peso final es inferior a 1950 gr.,
-
Algunos modelos discretos y continuos. 41
(a) Determinar la proporcion de sacos defectuosos que producira
con esta envasadora.
(b) Si los sacos se almacenan en pales de 500 unidades,
determinar la probabilidad deque un pale contenga mas de 20 sacos
defectuosos. Cual es el numero de sacosdefectuosos esperado en cada
pale?.
(c) Determinar un intervalo que contenga el 95% de los valores
del la variable peso delpale.
Problema 16
El valor de una determinada a senal s producida por un aparato
sufre pequenas perturba-ciones que consideramos aleatorias.II.1 (a)
Que queremos decir con la expresion las perturbaciones son
aleatorias? Introduce
la variable aleatoria conveniente.
(b) Decidimos modelizar la distribucion de los valores de la
senal por una distribucionNormal. Cual es, en tu opinion, el
procedimiento que nos ha llevado a escoger estemodelo de
distribucion para nuestra variable aleatoria? Que representan la
mediay la desviacion tpica de esta variable aleatoria?
(c) Supongamos que la distribucion de los valores de s se puede
aproximar por una dis-tribucion normal con media 12 y desviacion
tpica igual a 0.5. Cual es la proporcionde los valores de la senal
que estan comprendidos entre 11.75 y 12.25? y mayoresde 13? y
mayores de 11?
(d) Entre los valores de la senal que son mayores que 12.5, cual
es la proporcion devalores que son mayores que 13?
Problema 17
II.1 El tiempo de vida (en horas) de un componente electronico
viene determinado por lasiguiente funcion de densidad:
f(x) =
2ke15x si x > 0
0 resto
1. Calcular k y la funcion de distribucion acumulada
asociada.
2. Que porcentaje de componentes de este tipo duran entre 2 y 10
horas?. Y masde un da?. Determinar la probabilidad de que un
componente dure exactamente 1hora.
3. Si se consideran 40 componentes del tipo anterior, obtener
razonadamente la proba-bilidad de que la vida media de los 40
componentes este comprendida entre 2 y 10horas.
4. El consumo electrico de cada componente es de 0.2 euros por
hora de funcionamiento.Un determinado sistema trabaja cada da con
40 componentes simultaneamente, sinque exista reposicion tras el
fallo. Si nos proponen una tarifa plana para el consumoelectrico de
50 euros al da, aceptara la oferta?
-
42 Algunos modelos discretos y continuos.
Problema 18
1. El tiempo de duracion de un ensamble mecanico en una prueba
de vibracion sigue unadistribucion exponencial de media 400 horas.
Entonces:
(a) Determinar la probabilidad de que el ensamble falle durante
la prueba antes de 100horas. Cual es la probabilidad de se produzca
el fallo despues de 500 horas?.
(b) Si el ensamble se ha probado durante 400 horas sin fallo,
determinar la probabilidadde que falle antes de las 500 horas.
(c) Si durante el ensayo se han probado 10 ensambles de manera
independiente, deter-minar la probabilidad de que falle al menos
uno de ellos antes de 500 horas. Cualsera la probabilidad de que
fallasen todos transcurridas 800 horas?.
2. El diametro del punto producido por una impresora sigue una
distribucion normal demedia 2 milipulgadas y desviacion tpica de
0.4 milipulgadas.
(a) Determinar entre que valores se encontraran el 95% de los
diametros de los puntosque produce la impresora. Podemos acotar
dicha probabilidad, utilizando algunadesigualdad, si no suponemos
que su distribucion es normal?. Razona tu respuesta
(b) Determinar la probabilidad de que el diametro del punto este
entre 1.4 y 2.6 milip-ulgadas.
(c) Si deseamos que el 95% de los puntos tengan un diametro
comprendido entre 1.4y 2.6 milipulgadas, determinar la desviacion
tpica a la que deberamos ajustar laimpresora.
Problema 19
Se esta probando un nuevo conservante en un determinado producto
alimenticio que secomercializa por piezas. En el 75% de los casos
se consiguio aumentar su duracion, en el 20%no vario y en el 5%
restante su duracion disminuyo.
1. Si se utiliza el nuevo conservante en 12 piezas, calcular la
probabilidad de que i) 7 de ellostengan una duracion superior a la
usual, ii) al menos 3 mejoren , iii) como maximo 3 delas piezas
tengan una duracion inferior a la usual .
2. Si se utiliza en 150 unidades, calcular la probabilidad de
que mejoren su duracion i) entreel 70 y el 75% de las piezas, ii)
mas del 80%.
Se esta probando un nuevo pienso con determinados animales. En
el 70% de los casos losanimales mejoran en peso, en el 20% no varan
de peso y en el 10% pierden peso.
1. Si se administra el nuevo pienso a 10 animales, calcular las
probabiliades de que i) 7mejoren en peso, ii) al menos 3 mejoren en
peso, iii) 4 sigan igual, iv) como maximo 3pierdan peso.
2. Si se administra a 100 animales, calcular las probabilidades
de que mejoren en peso i)entre el 60 y el 65% de los animales, ii)
mas del 80%.
-
Algunos modelos discretos y continuos. 43
Problema 20
1. En un proceso de fabricacion se elaboran dispositivos
electronicos cuyos tiempos de vidavienen determinados por una
exponencial de media 1 hora. Los dispositivos se inspeccio-nan
antes de ser exportados, considerandose defectuosos aquellos cuyo
tiempo de vidano supere los 12 minutos. Para ello, el responsable
de control de calidad pone en fun-cionamiento cada uno de los
dispositivos fabricados durante 12 minutos.
(a) Que porcentaje de dispositivos defectuosos se elaboran
diariamente?
(b) Si un usuario adquiere un dispositivo que ha superado el
control de calidad, cuales la probabilidad de que falle antes de 12
minutos?
(c) Los dispositivos se comercializan en cajas de 300 unidades.
Determinar la probabi-lidad de que en una caja se encuentren mas de
20 dispositivos con tiempo de vidainferior a 12 minutos.
Problema 21
II Consideramos el experimento aleatorio: escogemos al azar un
usuario del ascensor B y lavariable aleatoria T= Tiempo de espera
en segundos. Decidimos que vamos a modelizarla distribucion de los
valores de T por una exponencial de parametro .
1. Basandonos en los valores del apartado I.1, cual debera ser
apro