problem 111) s=-1 - eng.harran.edu.treng.harran.edu.tr/~rtasaltin/dersler/elektrik/kontrol/ders_notu1/rlocus_nyquist/00_231...problem 111) s+1=0 koku nedir → s=-1 s+5=0 koku nedir

problem 111) s+1=0 koku nedir → s=-1 s+5=0 koku nedir → s=-5 s-15=0 koku nedir → s=+15 -------------------------- -------------------------- problem 121) s+K=0, K sifirdan sonsuza kadar degisirse kok nasil degisir.

Cevap: K sifirdan sonsuza degisirse kok sifirdan eksi sonsuza kadar degisir.

 s+K=0 denkleminin koklerinin geometrik yeri   --------------------- ----------------------------------------- problem 131) s2+2s+K=0 , K sifirdan sonsuza kadar degisirse kokler nasil degisir. K=0, s2+2s=0 koku nedir → s1=-2, s2=0 K=0.1 s2+2s+0.1=0 koku nedir → s1=-1.94, s2=-0.05

--------------------------- ---------------------------- -

K s2+2s+K=0 rin kokleri 0 s1=-2, s2=0 0.1 s1=-1.94, s2=-0.05 0.5 s1=-1.70, s2=-0.29 0.9 s1=-1.31, s2=-0.68 1 s1=-1, s2=-1 1.1 s1=-1-0.31j, s2=-1+0.31j 1.5 s1=-1-0.707j , s2=-1+0.707j 2 s1=-1-1j, s2=-1+1j 5 s1=-1-2j, s2=-1+2j 10 s1=-1-3j , s2=-1+3j 100 s1=-1-9.95j , s2=-1+9.95j 10000 s1=-1-99.9j , s2=-1+99.9j ∞ s1=-1-∞j , s2=-1+∞j

Imag 

Reel  

‐2  ‐1

s2+2s+K=0 denkleminin koklerinin geometrik yer  

K=0K=0 

K=∞

K=∞

Imag 

Reel

A 

K s+K=0 kokleri

0 0 1 -1 2 -2 10 -10 ∞ -∞

141) G(s)=1s

1+

 Y=KG(X-Y) Y+KGY=KGx Y/X=KG/(1+KG)

K1sK

1s1K11s

1K

KG(s)1KG(s)

X(s)Y(s)

++=

++

+=+

=  

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 

151) G(s)=2ss

12 +

K2sK

2s1K12s

1K

KG(s)1KG(s)

X(s)Y(s)

2

2

2

++=

++

+=+

=s

s

s  

--------------------------------------------- ---------- -

X(s)    G(s) 

Y(s)   K 

X(s)    G(s) 

Y(s)   K 

241)

    G(s)= 2s32s +           

3)K(2ss3)K(2s

s32sK1

s32sK

KG(s)1KG(s)

X(s)Y(s)

2

2

2

+++

=+

+

+

=+

=

s2+K(2s+3)=0  denkleminin koklerinin geometrik yeri  

 242) 

     G(s)= 2s32s + ,  H(s)=

1ss+ ,    

Y=KG(X-HY) Y+KGHY=KGx Y/X=KG/(1+KGH)  

3)sK(2s1)(ss1)3)(sK(2s

1ss

s32sK1

s32sK

KG(s)1KG(s)

X(s)Y(s)

2

2

2

+++++

=

++

+

+

=+

=  

X(s)    G(s) 

Y(s)   K 

   H(s) 

X(s)    G(s) 

Y(s)   K 

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

K=0

K=0.5

17)

Y=KGE, E=X-C, C=HY Y=KG(X-HY)=KGX-KGHY Y+KGHY=KGX Y(1+KGH)=KGX Y/X=KG/(1+KGH)

B(s)A(s)

bb......sbsaa......sasaG(s)01

1-M1-M

N01

1-N1-N

NN =

++++++++

=ss

)()(

dd......sdscc......scscH(s)01

1-K1-M

K01

1-M1-N

MN

sDsC

ss

=++++++++

=

seklinde polinomlar oldugundan.

KA(s)C(s)B(s)D(s)KA(s)D(s)

D(s)C(s)

B(s)A(s)K1

B(s)A(s)K

KG(s)H(s)1KG(s)

X(s)Y(s)

+=

+=

+=

seklinde yazilabilir. Burada

Q(s)P(s)

C(s)D(s)A(s)C(s)G(s)H(s) ==

seklinde gosterilirse. Y(s)/X(s) ifadesinin paydasi

Q(s)P(s)K1+ veya Q(s)+KP(s) seklinde gosterilir.

Paydayi sifir yapandegerler.

0Q(s)P(s)K1 =+ veya Q(s)+KP(s) =0 denklemini saglayan degerlerdir.

tekrar inceleyecek olursak.

Q(s)P(s)G(s)H(s) = ifadesinin sifirlari ve kutuplarina sistemin acik cevrim transfer

fonksiyonunun sifirlari ve kutuplari denir.

0Q(s)P(s)K1 =+ veya Q(s)+KP(s) =0 sartini saglayan s degerlerine de sistemin kapali cevrim kutuplari denir.

s komplex oldugundan yukaridaki denklemler de koplex olarak dusunulmelidir. Kompleks sayilar: 1) a+bi= c+di ise a=c ve b=d olmalidir. 2) a+bi= c+di ise | a+bi |=| c+di |, < (a+bi ) = < ( c+di)+2kπ sartlari saglanmalidir. ( 3700=100 ), ( 4000=400 ), Burada |..|, genlik anlamidadir. < aci anlaminda kullanilmistir.

X(s)    G(s) 

Y(s)   K 

   H(s) C(s) 

E(s) 

X(s)    G(s) 

Y(s)   K 

   H(s) C(s) 

E(s) 

Ornek 61: z=1+i  sayisini complex duzlemde gosterin ve kutupsal formda ifade edin.  

Cozum: r= 41.1211 22 ==+  

      θ= tan‐1 

11= tan‐1  1 =450 

 kutupsal form:   z=1.41 ∠  450 Ornek  51: Asagidaki sayilari  complex duzlemde gosterin genlik ve acilarini bulun a) z1=3+4i  b) z2=‐3+4i   c)1    d)‐1   e)i     f)‐i  

Cozum:  a) r= 543 22 =+ ,          θ= tan‐1 

34= tan‐1  1.3 =53.10 

   c)|1|=1, <1=00, d)|-1|=1, <-1=1800 e)|0+i|= 110 22 =+ ,  <i=900        f)|‐i|=1,  <‐i=‐900 -------------------------------------------------------- ------

Kapali cevrim esitliklerine donersek.

0Q(s)P(s)K1 =+ ==>

K1

Q(s)P(s)

−=

Buradan

K1

Q(s)P(s)

−= ve πm2K1

Q(s)P(s)

±−=<<

bagintilari elde edilir. Burada K1

Q(s)P(s)

−= ifadesine genlik kosulu,

πm2K1

Q(s)P(s)

±−=<< ifadesine aci kosulu denir. – ifadenin mutlak degeri pozitif tir. negatif reel sayinin acisi 1800

dir. 0180K1=−<

Koklerin yer egrisi bu iki sarta dayali olarak cizilir.

K1

Q(s)P(s)

= , )12(180360180Q(s)P(s) 0 +=±=< km burada k=0,1,2,3,4,.. tamsayidir.

Ornek problem

23ss1

)()()()( 2 ++==

sQsPsHsG olduguna gore. Bu sistem icin genlik ve aci kosulunu uygulayin.

3 

4

x 

3+4i 

‐3

4

x 

iy ‐3+4i 

a)  b) 

x 1 

1 iy 

450 

z=1+i 

iy 

K1

2)1)(s(s1

=++

, ==> (s+1)(s+2)=K, ==> Kss =++ )4( )1( 22

m3601802)1)(s(s

1 0 +=++

< ==> - <(s+1) - <(s+2) =180 (540, 900,1260,...),

s nin komplex oldugunu varsayalim. - <(a+bi+1) - <(a+bi+2) =180 (540, 900,1260,...),

maa

3601802

btanarg1

btanarg 0 +=+

−+

−

Esitligin her iki tarafinin tanjanti alinirsa ve tan(180)=0, oldugu dusunulurse.

02

btanarg1

btanargtan =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

+ aa

y tanx tan y tanx tan)tan(

++

=+ yx oldugu dikkate alinirsa

02

btanarg1

btanargtan =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

+ aa tan x +tan y=0  ve buradan   tan x = ‐tan y       

2b

1b

+−=

+ aa a=-1.5 bulunur. Yani eger s komplex ise (oyle varsaydik ) K degistikce s nin reel kismi devamli olarak -1.5 olacaktir. s komplex olmadigi durumda (b=0) a'nin degeri icin bu sart bize bir sey soylemez.

23ss1

)()()()( 2 ++==

sQsPsHsG

Q(s)+KP(s) = s2+3s+1+K

K s2+3s+1+K=0 kokleri

0 -1 -2 1 -1.5+0.86i, -1.5-0.86i, 2 -1.5+1.32i, -1.5-1.32i, 10 -1.5+3.12i, -1.5-3.12i, 100 -1.5+9.98i, -1.5-9.98i, 0.1 -1,11, -1.88 0.2 -1.27, -1.72 0.25 -1.5, -1.5

Aci kosulu grafik olarak da incelenebilir

K1

)()()()( −==

sQsPsHsG ifadesinde aci ko sulu, )12(180

Q(s)P(s)

+=< k seklindedir. Bunu inceleyelim

)12(180))........()(())........()((

)()(

21

21 +=++++++

=< kzspspszszszs

sQsP

m

n ,  

       a=3+4i,   b=‐2+5i,      c=a+b = 3+4i ‐2+5i =‐1+9i,   <a=53.10,    <b=111.80,       <c=96     

      a=3+4i,   b=‐2+5i,      d=a‐b = 3+4i – (–2+5i) =5‐i,   <a=53.10,    <b=111.80,       <d=‐110,       ACI KOSULUNUN UYGULAMASI (Reel eksendeki bir yer geometrik yere ait mi)  (s+5) in acisi  nedir. s genelde bir komplex sayi 

            (s+5) in acisi θ5  olacaktir 

  s reel bir sayi olsa (s+5)in acisi nedir.  Cevap basittir. Eger s>‐5 ise (s+5) devamli artidir. Aci sifirdir. (+0.001 rin acisi sifirdir, +10000 nin acisi sifirdir )   Eger s<‐5 ise (s+5) devamli eksidir. Aci 1800 dir.    

)12(180))........()(())........()((

)()(

21

21 +=++++++

=< kzspspszszszs

sQsP

m

n   kosuluna bakalim. s reel eksende bir nokta olsun. 

 (s+z1) eger s>‐z1 ise aci sifir,   eger s<‐z1 ise aci 1800, (s+z2) eger s>‐z2 ise aci sifir,   eger s<‐z2 ise aci 1800, .... (s+p1) eger s>‐p1 ise aci sifir,   eger s<‐p1 ise aci 1800, (s+p2) eger s>‐p2 ise aci sifir,   eger s<‐p2 ise aci 1800, ....  

θ5

s 

θa 

s 

5 

θd

a‐b

d=a‐b 

θa 

a 

‐bθa 

a b 

θb 

θb

ab

θc

c=a+bθb

ab 

θa 

a b 

θb 

  s  P noktasinda olsun.  <s+z2=180.  <s+p1=180,   <s+z1=180,  <s+p2=0,  <s+p3=0,   <s+z3=0    Sonuc  

)12(180))........()(())........()((

)()(

21

21 +=++++++

=< kzspspszszszs

sQsP

m

n    sartini saglayan bir noktanin saginda kalan (kutup sayisi ve sifir 

sayisi toplami) tek sayi olmalidir.  Solunda kalan kutup ve sifirlarin acisi sifirdir.    

  s  P noktasinda olsun.  <s+z2=180.  <s+p1=180,   <s+z1=180,  <s+p2=0,  <s+p3=0,   <s+z3=0    

0000000

000

321

321 180180180180)0)(0)(180()0)(180)(180(

))()(())()((

=−+==++++++

pspspszszszs

 s  Q noktasinda olsun.  <s+z1=180,  <s+z2=0.  <s+p1=0,   <s+p2=0,  <s+p3=0,   <s+z3=0    

0000000000

000

321

321 00018000180)0)(0)(180()0)(0)(180(

))()(())()((

=−−−++==++++++

pspspszszszs

 SONUC: Bir noktanin sagindaki kutupsayisi+sifirsayisi tek sayi ise o nokta geometrik yere aittir.  

‐z1‐z2  ‐p1 ‐p2 ‐p3 

Q 

‐z3 

‐z1‐z2  ‐p1 ‐p2 ‐p3 

P 

‐z3 

‐z1‐z2  ‐p1 ‐p2 ‐p3 

P 

‐z3 

 Komplex kok varsa eslenik olmak zorundair. 

=+++

++))()((

))((

311

21

pspspszszs

 Bu durumda   0)()( 11 =+<++< psps  olacaktir.  komplex koklerin reel eksendeki geometrik yere etkisi yoktur.  

‐p1 

S 

1p

‐z1‐z2  ‐p1 ‐p2 ‐p3 ‐z3