Probabilitas

1

Probabilitas adalah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak.

Dalam mempelajari probabilitas, ada 3 kata kunci :

1. Eksperimen

2. Hasil

3. Kejadian atau peristiwa (event)

Nilai Probabilitas berkisar antara 0 dan 1.

PROBABILITAS

2

Perhitungan probabilitas secara klasik didasarkan pada asumsi bahwa seluruh hasil dari suatu eksperimen mempunyai kemungkinan (peluang) yang sama.

Ada 2 pendekatan dalam penghitungan probabilitas :

• Pendeketan yang bersifat objektif

2. Pendekatan yang bersifat subjektif

Pendekatan klasik

Pendekatan frek. relatif

PENDEKATAN KLASIK

n

xAP

n = banyaknya eksperimen atau observasi

x = banyaknya nilai yang diharapkan muncul

A sukses

3

Contoh :

Sebuah kotak berisi 4 bola merah, 6 bola putih,7 bola hijau,3 bola biru. Semua bola sama bentuk, besar dan bobotnya. Apabila Sebuah bola diambil secara random berapa probabilitasnya bahwa

a. bola itu merah b. bola itu hijau

Penyelesaian :

n

xAP 1 A gagal

a. P(M) = 4/20 = 2/10 = 0,2 b. P(H) = 7/20 = 0,35

Penyelesaian :

Kepala pabrik mengatakan bahwa dari 100 barang produksinya, ada 75 yang bagus. Kalau barang dibungkus rapi, kemudian seorang pembeli mengambil satu barang secara acak. Berapakah probabilitasnya bahwa barang tersebut bagus.

%75atau 75,0100

75AP75 100 xn

Contoh :

4

Pendekatan frekuensi relatif

e (hasil) peristiwa dari n

e relatif Frekuensi i

i

Frekuensi relatif tidak mungkin lebih dari 1 (satu), jadi

10 n

ei

Pada suatu penelitian terhadap 65 karyawan yang bekerja di perusahaan swasta, salah satu karakteristik yang ditanyakan ialah besarnya gaji / upah bulanan, yang digambarkan sebagai berikut :

Contoh :

X 55 65 75 85 95 105 115f 8 10 16 14 10 5 2

Kalau di jalan kita bertemu dengan salah seorang karyawan tersebut, berapakah besarnya prabilitas bahwa upahnya Rp 65 ribu dan Rp Rp.105 ribu

Penyelesaian: 15%atau 15,065

10)65( 2

n

fXP

% 7,69atau 076,065

5105)p(X 6

n

f

Hukum Probabilitas

Hukum Penjumlahan

Hukum Perkalian

6

• Peristiwa Mutually Exclusive

Mutually Exlusive (disjoint) apabila kedua peristiwa tersebut tidak terjadi bersama-sama

Artinya : peristiwa yang satu muncul sekaligus menghilangkan kemungkinan terjadinya peristiwa yang lain

BABABatauA PrPrPr) Pr(

1. Suatu perusahaan memerlukan ban mobil untuk kendaraan operasional perusahaan tersebut. Probabilitas bahwa perusahaan akan membeli ban merk Uniroyal adalah 0.17, merk Goodyear 0.22, merk General 0.03, merk Continental 0.29, merk Bridgestone 0.21 dan merk Amstrong 0.08. Hitunglah probabilitasnya bahwa perusahaan tersebut akan membeli :

a. Ban mobil merk Goodyear atau Bridgestone

b. Ban mobil merk Uniroyal atau merk Continental atau merk General

43.021.022.0 BPGOPBGOP

49.003.029.017.0

GEPCPUPGECUP

2. Dari 100 personil suatu pabrik diketahui : 57 orang merupakan karyawan bagian produksi, 40 orang pengawas, 2 orang sekretaris dan 1 orang adalah top manajer. Jika seorang karyawan dipilih secara random berapa probabilitasnya orang tersebut dari bagian produksi atau pengawas atau sekretaris .

SPPEPPRPSPEPRP

99.0100

99

100

2

100

40

100

57

8

Probabilitas bahwa pabrik batik ‘Damar Kencana’ akan berlokasi disurakarta adalah 0,7, Probabilitas akan berlokasi di yogyakarta adalah 0,4, dan probabilitas akan berlokasi di surakarta dan Yogyakarta atau dikedua kota itu adalah 0,8. Berapa probabilitasnya bahwa pabrik batik itu akan berlokasi di kedua kota itu ?

3,08,01,18,04,07,0

)()()()(

YSPYPSPYSP

Non Exclusive (joint) apabila kedua peristiwa tersebut terjadi bersama-sama

BABABatauA PrPrPr) Pr(

Suatu lembaga pendidikan komputeryang mempunyai 100 siswa, diketahui bahwa 54 siswa belajar multimedia, 69 siswa belajar pemrograman, dan 35 siswa belajar baik multimedia maupun pemrograman. Bila seorang siswa dipilih secara random, hitunglah probabilitasnya bahwa :

a. Siswa tersebut mengambil multimedia dan pemrograman

b. Siswa tersebut tidak mengambil multimedia dan pemrograman

c. siswa tersebut mengambil multimedia tetapi tidak mengambil pemrograman

PMPPPMPPMP

88.0100

88

100

35

100

69

100

54

'' PMP 12.0100

12

100

881

' PMPMPPMP 34.0100

34

100

35

100

69

10

Peristiwa Tak bebas (bersyarat)Peristiwa tak bebas Probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat

bahwa B sudah terjadi atau akan terjadi

APBAP

ABP

BP

BAPBAP

/

/

Didalam sebuah kolam terdapat 5 ikan mas, 8 ikan mujahir, 7 ikan gurame. Dua orang anak kecil sedang memacing kolam tersebut. Hitung probabiltas anak kedua mendapatkan ikan mujahir jika anak yang pertama telah mendapatkan 2 ikan mas

Contoh :

17.018

3| 12 AAP

11

Contoh

Sebuah mesin bola karet berisi 50 bola hijau, 150 bola putih, 100 bola merah, dan 100 bola kuning. Bila kita memasukkan koin, mesin tersebut akan mengeluarkan sebuah bola karet. 3 orang anak bermain-main dengan mesin tersebut:

a. Berapa probabilitas anak yang kedua akan memperoleh bola merah juga, bila anak pertama memasukkan koin dan mendapatkan bola

merah

25,0399

99)|( 12 AAP

b. Berapa probabilitas anak yang ketiga akan memperoleh bola kuning, jika anak kedua sudah memasukkan koin sebanyak 3 kali dan mendapat 1 bola merah & 2 bola kuning

25,0396

98)|( 23 AAP

12

Peristiwa bebas

Dua kejadian atau lebih dikatakan kejadian bebas apabila terjadinya kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi.

)Pr( . )Pr()Pr( BABA

Contoh :

Satu mata uang logam Rp. 50 dilemparkan ke atas sebanyak dua kali. Jika A1 adalah lemparan 1 yang mendapat gambar burung (A), dan A2 adalah lemparan kedua yang mendapatkan rumah (B), berapa P(A1 A2)

4

1

2

1 .

2

1

)( . )()(

2

1)()(dan

2

1)()(

21

21

APAPBAP

BPAPAPAP

Dari 50 lembar undian dengan nomor 1, 2,3,……,50, terdapat 3 nomor undian yang berisi hadiah. Apabila kita diberi kesempatan mengambil lembar undian dua kali berturut-turut, berapa probabilitas kita akan mendapatkan lembar undian yang berisi hadiah kedua-duanya ?

21 HHP 0024.049

2

50

3

Sebuah kota kecil memiliki satu unit pemadam kebakaran dan satu ambulance yang tersedia dalam keadaan darurat. Probabilitas bahwa unit pemadam kebakaran akan siap bila diperlukan 0.98 dan probabilitas bahwa ambulance siap bila dipanggill adalah 0.92. Dalam peristiwa terbakarnya suatu gedung di kota itu berapa probabilitasnya keduanya akan siap beroperasi

BPAPBAP

0.90160.920.98

14

PERMUTASI

Permutasi Suatu pengaturan atau urutan beberapa elemen atau obyek dimana urutan itu penting (AB BA)

Banyaknya permutasi dari m elemen adalah jumlah maksimum cara-cara yang berbeda dalam mengatur atau membuat urutan dari m elemen tersebut.

mPm = m !

Permutasi m obyek diambil m setiap kali

! x-m! m

Pxm

Permutasi m obyek diambil x setiap kali

15

Contoh :

1. Banyaknya permutasi dari satu set huruf (a,b,c) yang diambil dua huruf diantaranya adalah :

62 . 31

1 . 2 . ! 2-3

!

3323 P

2. Misalnya suatu daftar memuat 10 rencana investasi yang dikemukakan Oleh direksi perusahaan kepada suatu dewan komisaris, dimana setiap anggota dewan komisaris diminta memberikan rank atau penilaian terhadap 5 rencana investasi tersebut yang dianggap feasible. Ada berapa cara ranking dari 10 rencana investasi kalau diambil 5 setiap kali.

30.240

678910 5!

5!678910

!

!

!

!

5

10

510

10510PDari soal diketahui m = 10 dan x = 5

Terdapat 4 buku kalkulus yang berbeda pengarangnya, 6 buku statistik yang berbeda pengarangnya, dan 2 buku sistem informasi yang juga berbeda pengarangnya. Ada berapa cara penyusunan yang mungkin, bila

a. Masing – masing kelompok ilmu harus disusun bersama (menjadi satu)

34560!2 !6 !4

!2 !6 !4 226644

PPP

17

KOMBINASIKombinasi Susunan dari beberapa elemen dimana urutan tidak

diperhatikan (AB = BA)

! x-m !x ! m

xm C

Kombinasi m obyek diambil x setiap kali

• Suatu kotak berisi 8 bola merah, 3 putih, dan 9 biru. Apabila 3 bola dipilih secara acak, ada berapa cara kemungkinan yg dapat terpilih :

a. Ketiga-tiganya merah

b. Dua merah, satu putih

c. Masing-masing warna diwakili

56123

678

! 38! 3

! 8)M M P(M 38321

Ca.

84! 1-3! 1

! 3

! 2-8! 2

! 8 . putih) 1 dan merah P(2 1328 CCb.

216! 1-9! 1

! 9

! 1-3! 1

! 3

! 1-8! 1

! 8. . 191318 CCCc.

• Dari 5 orang matematisi dan 7 orang ahli fisika akan dibentuk sebuah panitia yang terdiri dari 2 orang matematisi dan 3 orang ahli fisika. Berapa cara hal ini bisa dilakukan apabila :a. Orang matematisi dan orang ahli fisika dapat masuk

37 25 CC

• Dalam berapa banyak cara suatu panitia yang terdiri dari 5 orang harus dipilih dari 9 orang

126120

15120

1.2.3.4.5

5.6.7.8.9

!4 !5

!9

!59!5

!959

C

35035.103.2.1

7.6.5

1.2

4.5

!3-73!

7!

!25!2

!5

LATIHAN

1. Pada sebuah program pelatihan manajemen, 80% dari peserta adalah perempuan dan 20% laki-laki. 90 % dari peserta perempuan lulus universitas, dan 78 % dari peserta laki-laki lulus universitas. Seorang peserta dipilih secara acak.a. Berapa probabilitas bahwa orang tersebut perempuan yang tidak

lulus universitasb. Berapa probabilitas bahwa orang tersebut laki-laki yang tidak

lulus universitasc. Apakah total seluruh probabilitas = 1 ? mengapa ?

2. Suatu turnamen pertandingan catur diikuti oleh 20 orang peserta. Setiap peserta harus bertanding dengan peserta lainnya. Seorang yang memenangkan pertandingan paling banyak itulah yang dianggap sebagai juara. Berapa banyak pasangan yang mungkin dijadwalkan ?

3. Dari 900 orang pria dan wanita yang diwawancarai apakah mereka bekerja atau tidak bekerja diperoleh data sebagai berikut :

bekerja tidak bekerja jumlahPria 460 40 500Wanita 140 260 400

Seandainya kemudian secara random dipilih satu orang, ditanyakan :a. Berapa probabilitasnya bahwa dari kelompok pria akan didapatkan

orang yang tidak bekerjab. Berapa probabilitasnya bahwa dari kelompok wanita akan

didapatkan orang yang bekerjac. Berapa probabilitasnya bahwa dari kelompok yang bekerja

didapatkan wanitad. Berapa probabilitasnya bahwa dari kelompok yang tidak bekerja

didapatkan pria

4. Seorang mahasiswa mempunyai peluang untuk lulus dalam mata kuliah A, B, C dan D masing – masing adalah 0.5, 0.7, 0.3 dan 0.5. Jika kelulusan dalam suatu mata kuliah tidak tergantung dari kelulusan mata kuliah lainnya, hitunglah probabilitasnya bahwa mahasiswa tersebut :

a. Lulus dalam keempat mata kuliah

b. Tidak lulus dalam keempat mata kuliah

c. Lulus hanya mata kuliah B dan D

5. Sebuah panitia yang terdiri ketua, 2 wakil dan 3 anggota dibentuk dari 5 karyawan, 3 manajer, dan 4 orang dari luar perusahaan. Jabatan panitia ketua tersebut harus dari seorang manajer, jabatan wakil dari karyawan dan anggota dari luar perusahaan . Ada berapa banyak cara panitia tersebut dapat dibentuk bersama-sama.

6. Jika diketahui probabilitas bahwa Amir masih hidup 20 tahun lagi adalah 0,7 dan probabilitas bahwa badu masih hidup 20 tahun lagi adalah 0,9. Berapa probabilitasnya bahwa keduanya tidak hidup lagi dalam 20 tahun lagi ?