UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA AREA DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE INGENIERIA QUÍMICA OPERACIONES UNITARIAS III PRINCIPIOS DE TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR I. Transporte de Masa. Introducción El transporte de masa ocurre cuando un constituyente (de un sistema de varios componentes) viaja desde una región de alta concentración a otra de baja concentración. La mayoría de los problemas típicos de Ingeniería Química caen en el campo del transporte de masa, por consiguiente, la característica que distingue a un ingeniero químico es su habilidad para diseñar y operar equipo en el cual se preparan reactivos, o donde se da lugar a reacciones químicas y son realizadas separaciones de los productos resultantes. El proceso fundamental de transferencia, esto es, transferencia de masa , interviene en los procesos de destilación, absorción, secado, extracción líquido- líquido, adsorción y procesos de membrana. Cuando se transfiere masa de una fase a otra o a través de una sola fase el mecanismo básico es el mismo, ya sea que se trate de gases, líquidos o sólidos. Esto también se demostró para la transferencia de calor en la cual el transporte de calor por conducción obedece la ley de Fourier en gases, líquidos y sólidos. La ecuación general de transporte molecular como La transferencia de calor, momento lineal y de masa se caracteriza o fundamenta por el mismo tipo general de ecuación Velocidad de un Proceso de Transferencia = a resistenci impulsora fuerza Esta ecuación puede escribirse como sigue: Para la difusión molecular de las propiedades de momento lineal de calor y de masa: ING. CARMEN BROCK Página 1 de 35
35
Embed
Principios de Transferencia de Masa (Difusion Molecular)
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA AREA DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE INGENIERIA QUÍMICA OPERACIONES UNITARIAS III
PRINCIPIOS DE TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
I. Transporte de Masa. Introducción El transporte de masa ocurre cuando un constituyente (de un sistema de varios
componentes) viaja desde una región de alta concentración a otra de baja
concentración.
La mayoría de los problemas típicos de Ingeniería Química caen en el campo
del transporte de masa, por consiguiente, la característica que distingue a un
ingeniero químico es su habilidad para diseñar y operar equipo en el cual se
preparan reactivos, o donde se da lugar a reacciones químicas y son realizadas
separaciones de los productos resultantes.
El proceso fundamental de transferencia, esto es, transferencia de masa ,
interviene en los procesos de destilación, absorción, secado, extracción líquido-
líquido, adsorción y procesos de membrana. Cuando se transfiere masa de una
fase a otra o a través de una sola fase el mecanismo básico es el mismo, ya sea
que se trate de gases, líquidos o sólidos. Esto también se demostró para la
transferencia de calor en la cual el transporte de calor por conducción obedece la
ley de Fourier en gases, líquidos y sólidos.
La ecuación general de transporte molecular como La transferencia de calor,
momento lineal y de masa se caracteriza o fundamenta por el mismo tipo general
de ecuación
Velocidad de un Proceso de Transferencia = aresistenci
impulsorafuerza
Esta ecuación puede escribirse como sigue: Para la difusión molecular de las
propiedades de momento lineal de calor y de masa:
ING. CARMEN BROCK Página 1 de 35
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
dzdτδψ −=
Ejemplo: • El humo que sale de una chimenea que difunde a través de la atmósfera.
• Colocar un pequeño cristal de permanganato potásico en agua. El KMNO4
comienza a disolverse en el agua, y en las cercanías del cristal se va
formando un intenso color violeta correspondiente a la solución
concentrada de KMNO4.
• Si se piensa en el terrón de azúcar puesto dentro de la taza de café negro,
la experiencia nos enseña que el intervalo de tiempo que se requiere para
distribuir el azúcar depende de si el líquido está en reposo o se le agita
mecánicamente por medio de una cucharita.
• El mecanismo de transferencia de masa, tal como se ha observado en el
proceso de transferencia de calor, depende de la dinámica del sistema en
el que se lleve a cabo.
• Considérese otro ejemplo, en el que se añade una gota de tinta azul a una
taza de agua. Las moléculas de la tinta se difundirán con lentitud en todas
las partes del agua por difusión molecular. Para incrementar esta velocidad
de mezclado de la tinta, se puede agitar el líquido por medios mecánicos,
como una cuchara, con lo cual se verifica una transferencia convectiva de
masa. Los dos mecanismos de transferencia de calor, esto es, la
conducción y la convección, son análogos a la difusión molecular y a la
transferencia convectiva de masa.
I. 1 La Ecuación de Rapidez de Fick. Para la Difusión Molecular Las leyes de transferencia de masa ponen de manifiesto la relación entre el
flujo de la sustancias que se están difundiendo y el gradiente de concentración
responsable de esta transferencia de masa
Como la transferencia de masa o difusión como se le llama también, ocurre
solamente en mezclas, su evaluación debe incluir un examen del efecto de
todos los componentes.
ING. CARMEN BROCK Página 2 de 35
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
La difusión molecular (o transporte de molecular) puede definirse como la
transferencia ( o desplazamiento) de moléculas individuales a través de un
fluido por medio de los desplazamiento individuales y desordenados de las
moléculas. Podemos imaginar a las moléculas desplazándose en línea recta y
cambiando su dirección al rebotar otras moléculas cuando chocan. Puesto que
las moléculas se desplazan en trayectorias al azar, la difusión molecular a
veces se llama también proceso con trayectoria aleatoria.
B B
B B
A
B
B
B B
B
B
B
A
(2)
(1)
Figura No 1 Diagrama Esquemático Del Proceso De Difusión Molecular
En la figura No 1 se muestra esquemáticamente el proceso de difusión
molecular. Donde se ilustra la trayectoria desordenada que las moléculas de A
donde puede seguir difundiéndose del punto (1) al (2) a través de las moléculas
de B. Si hay un número mayor de moléculas cerca del punto (1) con respecto al
punto (2) , entonces, y puesto que las moléculas se difunden de manera
desordenada en ambas direcciones, habrá más moléculas de A difundiéndose
de (1) a (2) que de (2) a (1) . La difusión neta de A va de una región de alta concentración a otra de baja concentración
I.2.- Unidades de Transporte de Masa Para poder establecer una base común para los estudios de transferencia de
masa es importante estudiar primero las definiciones y relaciones que se utilizan a
menudo para explicar el papel de los componentes de las mezclas.
ING. CARMEN BROCK Página 3 de 35
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
Unidades de Concentraciones: En una mezcla de multicomponentes Concentración Molar (Ci)
Esta es el número de moles del componente “i” presentes en un volumen “V”
del sistema. Matemáticamente:
Ci = Ni / V
Concentración Másica (ρi)
Representa la masa del componente “ i ” en el volumen “V” del sistema
ρi = Ci x Mi = mi / v
La concentración total de masa o densidad, ρ, es la masa total de la mezcla
contenida en la unidad de volumen, esto es:
n ρ= Σ ρi
i=1
Mi = Peso molecular del componente i.
n = Número de componente presente en la mezcla.
Concentración de Mezcla (c) Es el número de moles del sistema en el volumen del sistema V
∑ ∑==== =
m
j
m
Ji
jt
Vn
VnC
1 1ρ
m= número de componentes presentes en el sistema
Densidad de Mezcla (ρ )
Es la masa total del sistema en el volumen “V”
∑ ∑==== =
m
i
m
ii
jt
Vm
Vm
1 1ρρ
Fracción Másica (ωi)
Representa la masa del componente “ i ” en la masa total
ρρ
ϖ i
t
ii
mm == Además 1
1=∑
=
m
jiϖ
ING. CARMEN BROCK Página 4 de 35
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
• Fracción Molar (yi ,xi)
Son los moles del componente “ i ” en los moles totales del sistema.
ccX i
i = ( Líquidos y Sólidos)
En el caso de gases se establece:
CC
nny i
t
ii ==
Para un gas ideal :
pp
yt
ii = Pi = Presión parcial del componente
PT = Presión Total
En el caso de líquidos no electrolitos (Solución como moléculas) se representa
por:
ccx i
i =
Pero para líquidos electrolitos se establece la fracción iónica equivalente de
las siguiente manera:
z C
z CxA
i
A
ii
∗
∗=
Zi = Valencia del Catión
ZA = Valencia del Anión
Unidades de Velocidad
En un sistema de componentes múltiples, las diferentes especies se moverán
de manera normal a diferentes velocidades; por lo tanto, para evaluar la
velocidad de la mezcla de gases, se necesitan promediar la velocidad de cada
una de las especies presente.
ING. CARMEN BROCK Página 5 de 35
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
Velocidad Másica Promedio ( v ).
∑=∑
∑==
=
=
m
i
iim
ii
im
ii
vvv1
1
1
*ρ
ρ
ρρ
Donde, Vi = Velocidad absoluta de la especie i con relación a ejes
estacionarios de coordenadas.
Velocidad molar Promedio (V) Se definen en función da las concentraciones molares de todas loas
componentes por medios de la expresión
. ∑ ∑=∑
== =
=
m
i
m
iim
ii
iy c
C
c vVi
i
1 1*
1
*
Para un Gas
∑==
n
i
ii
CycV
1
*
La velocidad de una especie particular con relación a la masa promedio o
velocidad molar media se llama velocidad de difusión.
Se puede definir dos velocidades diferentes de difusión:
νi -ν = Velocidad de difusión de la especie i con relación a la velocidad media
de la masa.
vi – V = Velocidad de difusión de la especie i con relación a la velocidad molar
media
De acuerdo a la ley de Fick, una especie puede tener una velocidad relativa a
la masa o una velocidad molar media, solamente si existen los gradientes en
la concentración.
ING. CARMEN BROCK Página 6 de 35
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
Unidades de Flujos El flujo de masa ( o molar) de una especie dada es una cantidad Vectorial que
denota la cantidad de la especie particular, ya sea en unidad de masa o
molares, que pasa en un incremento dado de tiempo a través de un área
unitaria normal al vector.
El flujo se puede definir refiriéndose a las coordenadas que permanece fijas en
el espacio a las coordenadas que se están con la velocidad promedio de la
masa o con la velocidad molar promedio.
Flujo Molar El flujo molar indica la variación del gradiente de concentración a través de
una línea de camino como resultado de la transferencia de la fase I a la fase II,
en ausencia de campos electro-magnéticos. La relación básica
correspondiente a la difusión molecular define el flujo molar relativo a la
velocidad molar media (Ja) o (Ji).
Fick fue quien primero postuló una relación empírica para este flujo molar y,
por lo tanto, se le llama Primera Ley de Fick. Esta define el componente A de
difusión en un sistema isotérmico e isobárico. Si la difusión se lleva a cabo
únicamente en la dirección z, la ecuación de Fick de la rapidez es :
dzcd
DJ AABAB *−=
El signo negativo representa el sentido de flujos.
ING. CARMEN BROCK Página 7 de 35
JA,Z = Es el flujo molar en la dirección de z relativa a la velocidad molar
promedio (Kg mol de A/ seg m2) ó (Lbmol de A/seg pie2)
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
dZcd A = Es el gradiente de concentración en la dirección de z
CA = (Kgmol / m3) ó (Lbmol / pie3)
Z = (m) ó (pie)
DAB = El factor de proporcionalidad, es la difusividad de la masa o coeficiente
de difusión correspondiente a un componente A que se difunde a través
del componente B.
(m2 / seg) ó (pie2 / hr)
R. De Groot, propuso una relación más general de flujo que no está restringida
a sistemas isotérmicos como isobáricos.
Flujo = (Densidad Total )* (Coeficiente de Difusión)* (Gradiente de Concentración)
dzdy
DCJ AABAZ −= (*2)
Como c (concentración total) es constante bajo condiciones isotérmicas e
isobáricas, la ecuación (*1), es una forma especial de la relación (*2), que es
más general.
JA = representa la cantidad de moles transportados por el componente
velocidad νi a través de la velocidad de mezcla (V). Esto se puede definir
como:
JA = Ci (νi – V)
Válido a cualquier posición x, y, z y tiempo “ t ”, luego igualando las
ecuaciones y definiendo el flujo molar convectivo Ni de la siguiente forma:
)( VvcN iii −=
Resulta ∑−==
m
j
jjii C
vCmNJ1
= ∑−=
m
jjii NYN
1
ING. CARMEN BROCK Página 8 de 35
• Flujo Másico
Una expresión equivalente, que corresponde a , que es el flujo de
masa en la dirección z, relativo a la velocidad promedio de la masa, es: jAZ
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
dzd
Dj AABAZ
ϖρ−= (*3)
dZd Aϖ = Es el gradiente de concentración en
función de la fracción de masa
Cuando la densidad es constante esta relación se simplifica, quedando así:
dzd
Dj AABAZ
ϖ−= (*4)
En un sistema binario con una velocidad media constante en la dirección de z, el flujo en la dirección de z, relativo a la velocidad molar media también se puede definir de esta manera:
( )VvcJ ZAZAAz −= (*5) Si se igualan las ecuaciones (*2) y (*4), se obtiene:
( )dzdy
cDVvcJ AABzAzAAZ −=−=
después de reordenar esta ecuación, queda:
Vcdzdy
cDvc zAA
ABAzA +−=
Se puede evaluar Vz para este sistema binario, por medio de la ecuación de
la velocidad molar promedio o media., para este sistema binario:
( )vcvcc
V BzBAzAz +=1
ó ( )vcvcyVc BzBAzAAzA +=
Al sustituir esta ecuación en la expresión anterior, se obtiene una nueva
ecuación;
( vcvcydzdy
cDvc BzBAzAAA
ABAzA ++= ) (*6)
como las velocidades componentes son velocidades relativa al eje
fijo z, la cantidades son flujos de los componentes A y B con
vv BzAz ,
vcVc BzBAzA ,,,
ING. CARMEN BROCK Página 9 de 35
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
relación al eje fijo de coordenadas, z. Así se simboliza este tipo de flujo,
relativo a un conjunto de ejes estacionarios, por medio :
vcN AAA ⋅=
vcN BBB ⋅=
al sustituir esta dos ultima ecuaciones en la ecuación (*6), se obtienen una
relación que corresponde al flujo del componente A , relativa al eje, z
. ( )NNydzdy
cDN BzAzAA
AbAz ++=
Esta relación se pueden generalizar y escribir en forma vectorial de la manera
siguiente
( )NNyycDN BAAAABA ++∇−= (*7)
Es importante notar que el flujo molar NA es la resultante de las dos
cantidades vectoriales:
ycD AAB ∇*
El flujo molar JA , que resulta del
gradiente de la concentración. Este
término se llama contribución del gradiente de la concentración
( ) VcNNy ABAA =+
El flujo molar que resulta cuando el
componente molar A circula con el flujo
global . Este término del flujo se le
llama contribución del movimiento global
Cualquiera de estas cantidades puede ser una parte importante del fluido
molar total , NA .Cuando la ecuación (*7) se usa para describir una difusión
molar, la naturaleza vectorial de los flujos individuales NA y NB , se debe
analizar y después evaluarse la dirección de cada una de las dos cantidades
vectoriales.
Si la especie A se estuviera difundiendo en una mezcla de componentes
múltiples, la expresión equivalente a la ecuación (*7) ,sería:
ING. CARMEN BROCK Página 10 de 35
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
∑+∇==
n
iiAAAMA NyycDN
1
donde DAM es el coeficiente de difusión de A de la mezcla.
El flujo de masa, nA, relativo a un sistema fijo de coordenadas espaciales, se
define, para un sistema binario, en función de la densidad de la masa y de la
fracción de masa, por medio de:
( )nnwwDn BAAAABA ++∇−= ρ
donde: vn AAA ρ=
vn BBB ρ=
En condiciones isotérmica e isobáricas, esta relación se reduce a: ( )nnwDn BAAAABA ++∇−= ρ
3- Relaciones de los flujos para transferencia en una fase.
Las cuatros ecuaciones que definen los flujos JA, jA, NA y nA son enunciados
equivalentes de la ecuación de Fick de la rapidez o difusión.
El coeficiente de difusión DAB es idéntico en todas las ecuaciones, cualquiera
de los cuales es adecuada para describir la difusión molecular; sin embargo,
ciertos flujos son más fáciles de utilizar en casos específicos, los flujos de
masa nA ( ni) y jA ( ji) se usan cuando también requiere que las ecuaciones de
Navier Stokes describan el proceso. Ya que las reacciones químicas, se
describen en función de los moles de los reactivos que participan, los flujos
molares, JA (Ji) y NA (Ni) se usan para describir operaciones de transferencia
de masa en las que hay reacciones químicas. Los flujos relativos a
coordenadas fijas en el espacio ; nA, (ni), NA, (Ni); son usados generalmente
para describir operaciones de ingeniería dentro de equipos de procesos. Los
flujos JA y jA son usados para describir la transferencia de masa en celdas de
difusión, usadas para medir el coeficiente de difusión.
ING. CARMEN BROCK Página 11 de 35
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
Formas Equivalente De La Ec. De Flujo De Masa Correspondiente al Sistema A y B
Flujo Gradiente Ecuación de Rapidez de Fick Restricciones
nA
wA∇
ρ∇ A
( )nnwwn BAAAAA ++∇−= ρ
( )nnwwDn BAAAABA ++∇−= Constante ρ
NA
yA∇
cA∇
( )NNyycDN BAAAABA ++∇−=
( )NNycDN BAAAABA ++∇−= Constante c
jAwA∇
ρ∇ A
wDj AABA ∇−= ρ
ρ∇−= AABA cDj Constante ρ
JA
yA∇
cA∇
ycDJ AABA ∇−=
cDJ AABA ∇−= Constante c
La tabla ante indicada presenta un resumen de las formas equivalentes de la
ecuación de Fick de la rapidez.
4- Aplicación Ley de Fick para la difusión molecular. Para arrancar aplicando la ley de Fick tómese primero en cuenta la difusión
molecular cuando la totalidad del fluido esta inmóvil, es decir, estacionario. La
difusión de las moléculas se debe a un gradiente de concentración.
Recordemos
que la ecuación general de la ley de Fick puede escribirse como sigue para
una mezcla binaria de A y B
dzdXcDJ A
ABAz = (1),
donde: c= Es la concentración total de A y B en ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
mBAKgmol
3
XA = Es la fracción molar de A en la mezcla de A y B.
c es constante, entonces, puesto que cA = c XA,,
( ) dccxdcdx AAA ==
ING. CARMEN BROCK Página 12 de 35 Sustituyendo en la ecuación (1) se obtiene la ecuación:
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
dzdcDJ A
ABAz −=
Resultando la ecuación de más uso en muchos procesos de difusión
molecular. Cuando C varía un poco se aplica un valor promedio en la ecuación
ante obtenida
Ejemplo No 1:
Una tubería contiene una mezcla de He y N2 gaseoso a 298 ° K y 1 atm. de presión
total constante en toda la extensión del tubo. En uno de los extremos de éste punto
1, la presión parcial pA1 del He es 0.60 atm. y en otro extremo, a 20cm. (0.2 m.) ,
pA2 =0.2 atm. Calcule en unidades SI y CGS el flujo específico de He en estado
estacionario cuando el valor de DAB de la mezcla He – N2 es 0.687 cm2/seg.
Solución: Puesto que la presión total P es constante, entonces c también lo es, y es como
sigue para un gas que cumpla la Ley de los gases ideales
P.V. =n.R.T (1)
n = Kgmol de A + B
V = m3
T = ° K
cRTP
Vn
== (2) R = 8314.3 m3.Pa / Kgmol ° K
R= 82,057 x 10-3m3atm / Kgmol ° K
C = Kgmol A + B / m3.
En estado estacionario, el flujo Jaz de la ecuación dz
dcDJ AABAz −= es constante.
Además, el valor de DAB de un gas también es constante. Reordenando y
integrando la ecuación anterior tenemos:
∫−=∫2
1
2
1AzJ
cA
cAAAB
z
zdcDdz
( )zz
ccDJ AAABAz
12
21
−−
= (3)
con base en la Ley de los gases ideales, pAV = nART, y
ING. CARMEN BROCK Página 13 de 35
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
Vn
RTPc AA
A == 11 (4)
Sustituyendo la ecuación (4) en la ecuación (3)
( )( )ZZRT
PPDJ AAABAz
12
21
−−
= (5)
Esta es la ecuación final que debe aplicarse y es una fórmula definida para un gas.
Las presiones parciales son pA1 =0.6 atm. = 0.6 x 1.01325 x 105 = 6.08 x 104 Pa
PA2= 0.2 atm = 0.2 x 1.01325 x 105= 2.027 x 104 Pa
Sustituyendo: Sistema internacional
( )( )( )( )( ) mseg
KgmolAxxxxJ Az 2
6444
.1063.5
020.0298831410027.21008.610687.0 −
−
=−
−=
Para unidades cgs. Sustituyendo en la ecuación (5)
( )( )( )( )( ) cmseg
molAgrxJ AZ
..
1063.502.029806.82
20.060.0687.02
7−=−
−=
5 - Coeficiente de Difusión La proporcionalidad de la ecuación de Fick, DAB, se conoce con el nombre de
coeficiente de difusión. Sus dimensiones fundamentales, que pueden
obtenerse a partir de la siguiente ecuación:
tL
LLMtL
M
dzdcJ
DA
zAAB
2
3
2,
1*
1=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
son idénticas a las dimensiones fundamentales de las otras propiedades de
transferencia : la viscosidad cinemática, v y la difusividad térmica ,∝ o su
razón equivalente ,K / ρ cp. La difusividad de la masa se ha dado en cm2/seg,
las unidades SI son m2/seg; o sea un factor 10-4 veces menor. En el sistema
inglés, pie2/hr, son las unidades utilizadas. Para hacer convecciones de uno
a otro de estos sistemas se utilizan las siguientes relaciones:
DAB (Cm2/seg) = 104 , DAB (Pie2/hr) = 3.87
DAB (m2/seg) DAB (cm2/seg)
ING. CARMEN BROCK Página 14 de 35
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
ING. CARMEN BROCK Página 15 de 35
El coeficiente de difusión depende de la presión de la temperatura y de la
composición del sistema. En las tablas J1, J2, J3,(ver anexo) se pueden
observar los valores experimentales correspondientes a las difusividades de
los gases líquidos y sólidos respectivamente. Como es de esperar, de acuerdo
con la movilidad de las moléculas, los coeficientes de difusión son
generalmente mayores en relación con los gases (entre los valores de 5x106 y
1x10-5 m2/seg), que en relación con los líquidos ( entre los valores 10-10 y 10-9
m2/seg) que son mayores a los valores obtenidos en relación con los sólidos (
entre 10-14 y 10-10 m2/seg).
En ausencia de datos experimentales, se han obtenido expresiones
semiteóricas que aportan aproximaciones cuya validez es tan buena como la
de los valores experimentales debido a las dificultades que existen para la
medición de estas últimas.
6- Coeficiente de transferencia de masa por convección
Cuando un fluido fluye por el exterior de una superficie sólida en movimiento
de convección forzada, podemos expresar la tasa de transferencia de masa
convectiva desde la superficie hasta el fluido o viceversa, mediante la
siguiente ecuación:
NA = Kc (CL1 – CLi)
Donde Kc es el coeficiente de transferencia de masa en m/seg (pie/seg), CL1
es la concentración del fluido general en KgmolA/m3 (Lbmol de A/pie3), de la
superficie del sólido. Este coeficiente de transferencia de masa es muy
parecido al coeficiente de transferencia de calor h y es función de la
geometría del sistema, de las propiedades del fluido y de su velocidad.
.
-
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
I.6- DIFUSIÓN MOLECULAR EN GASES • Contradifusión Equimolar En Gases En la figura.1. se muestra un diagrama para dos gases, A y B, a presión total
constante P, en dos cámaras grandes, conectadas por un tubo que sirve para que
se verifique la difusión molecular en estado estacionario. Una agitación en ambas
cámaras mantiene uniformes sus concentraciones. La presión parcial PA1> PA2 y
PB2>PB1. Las moléculas de A se difunden hacia la derecha y las de B hacia la
izquierda. Puesto que la presión total P es constante en todo el sistema, los moles
netos de A que se difunden hacia la derecha deben ser iguales a los moles netos de
B, que lo hacen hacia la izquierda. Si no fuera así, la presión total no se mantendría
constante. Esto significa que,
JAZ = - JBZ
ING. CARMEN BROCK Página 16 de 35
pA1 pA2
1 2
pB1/ P JA* pB2/ P
JB*
Z
P
PB2
PA2
PB1
PA1
PB, ó P
FIGURA.1..- Contradifusión Equimolar de Gases A y B
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
El subíndice z se puede omitir cuando la dirección es obvia. Escribiendo la
ley de Fick para B cuando c es constante.
dzdcDJ B
ABB −= (1)
Ahora bien, puesto que P= pA + pB = constante, se tiene: c = cA+ cB (2)
Diferenciando ambos lados: d cA = - d cB (3)
Igualando la ecuación 3 con la 2,
( )dzdcDJdz
dcDJ BBAB
AABA −−=−=−= (4)
Sustituyendo la ecuación 4 en la 5 y cancelando los términos iguales, DAB=DBA
Esto demuestra que para una mezcla gaseosa binaria de A y B, el coeficiente
de difusividad DAB para la difusión de A en B es igual a DAB para la difusión de
B en A
. Ejemplo 2 En un tubo uniforme de 0.10 m de largo se difunde amoníaco gaseoso (A) en N2
gaseoso (B) a 1.032x105 Pa de presión y 298 K. (El diagrama es similar al de la
figura..1). en el punto 1, pA1= 1.013 X 10 4 Pa y en el punto 2, pA2= 0.507 x 10 4
Pa. La difusividad DAB es 0.230 x 10 –4 m2/s.
a.- Calcule el flujo específico JA* en estado estacionario
b.- Repita para JB*.
Solución: Puede usarse la ecuación ( )( )zzRT
PPDJ AAABA
12
21
−−
= (*)
, donde P=1.0132 x 10 5 Pa, z2-z1= 0.10m y T=298 °K. Sustituyendo en la ecuación
(*) para la pregunta a),
( )( )
( )( )( )( )010.02988314
1057.010013.11023.0 444
12
21
−−
=−−
=− xxx
zzRTppD
J AAABA
JA = -4.70x10-7 Kg mol a / seg. m2
ING. CARMEN BROCK Página 17 de 35
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
En la otra versión de la ecuación (*) para el componente B en la pregunta b) y
observando que pB1 = P- pA1 = 1.0132 x 105 – 1.013 x 104 = 9.119 x 104 Pa y pB2 =
P – pA2 = 1.0132 x 10 5 - 0.507 x 104 = 9.625 x 104 Pa,
( )( )
( )( )( )( ) ms
BKgmolxxxx
zzRTppD
J BBABB 2
7444
12
21
..
1070.4010.02988314
10625.910119.91023.0−=
−−
=−−
= −−
El valor negativo de JB* significa que el flujo va del punto 2 al 1.
• .- Caso General para la difusión de los gases A y B más convección
Hasta ahora se ha considerado la ley de Fick para la difusión en un fluido
estacionario; es decir, sin movimiento neto (o flujo convectivo) de la totalidad de la fase de la mezcla binaria de A y B. El flujo específico de difusión JA
* se
debe en este caso al gradiente de concentraciones. La velocidad a la cual los
moles de A pasan por un punto fijo hacia la derecha, lo cual se tomará como
flujo positivo, es JA* kg mol A / s.m2. Este flujo puede transformarse en una
velocidad de difusión de A hacia la derecha por medio de la expresión
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
mAmolkg
segm
cvmseg
AmolKgJ AAdA 32
.....
.. (7)
donde vAd es la velocidad de difusión de A en m/s.
Considérese ahora lo que sucede cuando la totalidad del fluido se mueve con
un flujo general o convectivo hacia la derecha. la velocidad molar promedio de
la totalidad del fluido con respecto a un punto estacionario es vM ( m/s).el
componente A sigue difundiéndose hacia la derecha, pero ahora, su velocidad
de difusión vAd se mide con respecto al fluido en movimiento. Para un
observador estacionario, A se desplaza con mayor rapidez que la fase total,
pues su velocidad de difusión vAd se añade a la fase total vM. Expresada
matemáticamente, la velocidad de A con respecto al punto estacionario es la
suma de la velocidad de difusión y de la velocidad convectiva o promedio.
ING. CARMEN BROCK Página 18 de 35
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
vA = vAd + vM (8)
donde vA es la velocidad de A con respecto al punto estacionario.
Expresándolo esquemáticamente,
vA
vAd vM
multiplicando la ecuación 8 por cA. cAvA = cAvAd + cAvM (9)
Cada uno de estos componentes es un flujo específico. El primer término, cAvA
puede representarse por el flujo específico NA kg mol A / s.m2. Este es el flujo
específico total de A con respecto al punto estacionario. El segundo término
es JA, esto es, el flujo específico de difusión con respecto al fluido en
movimiento. El tercer término es el flujo convectivo específico de A con
respecto al punto estacionario.
Por consiguiente, la ecuación (9) se transforma en
NA= JA* + cAvM (10)
Sea N el flujo convectivo total de la corriente general con respecto al punto
estacionario. Entonces,
N = cvM= NA+ NB (11) o, despejando vM
cNNv BA
M+
= (12)
Sustituyendo la ecuación (12) en la (10)
( NNCcJN BA
AAA ++= ) (13)
Puesto que JA
* es la ley de Fick, ecuación (7)
( NNcc
dzdxcDN BA
AAABA ++−= ) (14)
ING. CARMEN BROCK Página 19 de 35
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
La ecuación 14 es la expresión general final para difusión más convección,
que debe usarse cuando se emplea NA y se refiere a un punto estacionario.
Puede escribirse una ecuación similar para NB.
( NNcc
dzdxcDN BA
BBABB ++−= ) (15)
Para resolver la ecuación (14) o la (15) debe conocerse la relación entre el
flujo específico NA y NB. Las ecuaciones (14) y (15) son válidas para la difusión
en gases, líquidos y sólidos. Para contradifusión equimolar, NA= -NB y el
término convectivo en la ecuación (14) se vuelve cero. Entonces, NA = JA* = -
NB = JB*
• .Caso Especial de A que se difunde a través de B no difusivo y en reposo El caso de la difusión de A a través de B, que está estacionario y no se
difunde, es una situación de estado estacionario bastante frecuente. En este
caso, algún límite de la trayectoria de difusión es impermeable al
componente B, por lo que éste no puede atravesarlo. Un ejemplo es cuando
la evaporación de un líquido puro como benceno (A) en el fondo de un tubo
estrecho, por cuyo extremo superior se hace pasar una gran cantidad de aire
(B) inerte o que se difunde. El vapor de benceno (A) se difunde a través del
aire (B) en el tubo. El límite en la superficie líquida en el punto 1 es
impermeable al aire, pues éste es insoluble en el benceno líquido. Por
consiguiente, el aire (B) no puede difundirse en la superficie o por debajo de
ella. En el punto 2, la presión parcial pA2= 0, pues pasa un gran volumen de
aire.
Otro ejemplo es la absorción de vapor de NH3 (A) del aire (B) en agua, tal
como se muestra en la figura 2. la superficie del agua es impermeable al aire
pues éste es muy poco soluble en agua. De esta forma, y puesto que B no
puede difundirse, NB = 0.
Para deducir el caso de A que se difunde en B estacionario, en la ecuación
general (14) se sustituye NB = 0
NA= -c DAB dxA + cA (NA + 0) (16) dz c
ING. CARMEN BROCK Página 20 de 35
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
Si se mantiene constante la presión total P, se sustituye c = P/RT, pA= xAP y
cA/c=pA/P en la ecuación (16),
NPp
dzdp
RTDN A
AAABA +−= (17)
Reordenando e integrando,
cc
dzdP
RTD
Pp
N AAABAA +−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−1 (18)
∫−
−=∫p
pPp
dpRTDz
zdzN
A
AA
AABA
2
1
2
1 1 (19)
( ) PPPPLn
zzRTDN
A
AABA
2
1
12 −−
−= (20)
La ecuación (20) es la expresión final adecuada para calcular el flujo de A.
Sin embargo, con frecuencia se escribe también de otra forma. Primero se
define la media logarítmica de B inerte. Puesto que:
P= pA1+ pB1 = pA2 + pB2, pB1= P – pA1
pB2= P - pA2,
(( )
)⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=
PPpP
Ln
pp
pp
Ln
ppp
A
A
AA
B
B
BBBM
1
2
21
1
2
22 (21)
Sustituyendo la ecuación (21) en la (20)
( ) ( pppzzRT
PDN AABM
ABA 21
12
−−
= ) (22)
Ejemplo 3. Difusión de Agua a través de aire en reposo que no se difunde
ING. CARMEN BROCK Página 21 de 35
El agua en el fondo de un tubo metálico estrecho se mantiene a temperatura
constante de 293 ° K. La presión total del aire (que se supone seco) es 1.01325x
105 Pa (1.0 atm) y la temperatura es 293° K (20°C). El agua se evapora y se difunde
a través del aire en el tubo y la trayectoria de difusión z2-z1 tiene 0.1542 m (0.5 pie)
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
de longitud. Calcule la velocidad de evaporación en estado estacionario en lbmol /
h.pie2 y en kgmol / s.m2. La difusividad del vapor de agua a 293 °K y 1atm de
presión es 0.250x10-4 m2/s. Suponga que el sistema es isotérmico. Utilice unidades
SI y del sistema inglés.
ING. CARMEN BROCK Página 22 de 35
Solución: La difusividad se convierte a pie2/h usando el factor de conversión.
DAB = 0.250 x 10-4 (3.875x10-4) = 0.969 pie2/h
AIRE(B)
z1 – z2
z
PA1
PA2
zf
AGUA (A)
La presión de vapor del agua a 20°C es 17.54 mm o pA1 = 17.54 / 760 = 0.0231
atm = 0.023 (1.01325x105) = 2.341 x 103 Pa, pA2= 0 (aire puro). Puesto que la
temperatura es 20 °C (68°F), T=460+68=528 °R =293 K. La constante del gas
R= 0.730 pie3.atm / lbmol.°R. Para calcular el valor de pBM a partir de la ecuación
(21),
pB1 = P – pA1 = 1.00 – 0.0231 = 0.9769 atm.
PB2 = P – pA2 = 1.00 – 0 = 1 atm.
pxatmLn
pp
Ln
ppp a
B
B
BBBm 10001.1988.0
9769.000.19769.0100 5
1
2
12 ==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=
Puesto que pB1 es cercano a pB2 puede emplearse la media lineal (pB1+pB2)/2 para
un valor muy similar a pBM.
Sustituyendo en la ecuación (22) con z2-z1 = 0.5 pie (0.1524m)
Ejemplo 4. Difusión en un tubo con cambio en la longitud de la trayectoria. La difusión de vapor de agua en un tubo estrecho ocurre como en el ejemplo 3
en las mismas condiciones. en un tiempo dado t, el nivel es z m desde la parte
superior. Conforme avanza la difusión, el nivel va disminuyendo lentamente.
Deduzca la ecuación para el tiempo tF que tarda el nivel en bajar desde un
punto de partida z0 m en t =0 a zf en t = tFs, como se muestra.
Solución: como el nivel disminuye muy lentamente, se supone una condición
de estado seudoestacionario. Conforme pasa el tiempo, la longitud de la
trayectoria z aumenta. En cualquier tiempo t se cumple la ecuación (22) se
transforma como se indica, donde NA y z ahora son variables.
( PpRTzp
PDN AA
BM
ABA 21 −= ) (23)
Si se supone un área de corte transversal de 1 m2, el nivel desciende dz m en
dt s y ρ (dz.1)/MA son los kg mol de A que quedan y se difunden. Entonces,
( )dtM
dN
A
zAA
11.
−=ρ
(24)
Si se iguala la ecuación (24) a la (23), se reordena y se integra entre los
límites de z=z0 cuando t=0 y z=zF cuando t=tF ,
( )
∫−
=∫t
dtRTp
ppPDz
zzdz
M
FF
BM
AAAB
A
A
021
0
ρ (25)
Al despejar tF,
ING. CARMEN BROCK Página 23 de 35
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
( )( )ppPDM
RTpzzt
AAABA
BMFAF
21
20
2
2 −−
=ρ
(26)
El método que se muestra en el ejemplo 4 se ha usado para determinar
experimentalmente la difusividad DAB. En este experimento, la longitud de
trayectoria inicial z0 se mide en t=0 y también la final zF en tF. Así, la ecuación
(26) se usa para calcular DAB.
• .- Difusión a través de un área de corte transversal variable.
En los casos de estado estacionario analizados hasta ahora se han
considerado a NA y JA* como constantes en las integraciones. En dichos
ejemplos, el área de corte transversal A m2 a través del cual se verifica la
difusión, es invariable y la distancia z cambia. En algunas situaciones, el área
A puede cambiar. Entonces, resulta conveniente definir NA como
ANN A
A = (27)
Donde N A es kg mol de A que se difunde por segundo o kgmol / s. En
estado estacionario, N A será constante pero A no para un área variable.
1.- Difusión de una esfera. Para ilustrar la aplicación de la ecuación (27), se
considerará el caso importante de la difusión de un gas hacia o desde una
esfera. Esta situación es frecuente en casos de evaporación de una gota de
líquido, la evaporación de una bola de naftaleno y en la difusión de
nutrimentos a un microorganismo de forma esférica en un líquido. En la figura
(3) se muestra una esfera de radio fijo r1 m en un medio gaseoso infinito. El
componente (A) a presión parcial pA1 en la superficie, se difunde en el medio
estacionario circundante (B), donde el valor de pA2 a una distancia grande es
igual a cero. Se supondrá una difusión en estado estacionario.
ING. CARMEN BROCK Página 24 de 35
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
El flujo especifico NA puede representarse mediante la ecuación (27), donde A
es el área de corte transversal 4πr2 en el punto a una distancia r desde el
centro de la esfera. Además, NA es constante en estado estacionario
rNN A
Aπ4 2
= (28)
dr r1 r N A r2
pA2
pA1 NA
ING. CARMEN BROCK Página 25 de 35
z
r1
1 2 (a) (b)
Figura 3. Difusión a través de un área de corte transversal variable:
Puesto que en este caso A se difunde a través de B que no se difunde y está
en reposo, se usa la ecuación (18) en su forma diferencial, igualando NA con la
ecuación (28) para obtener
drPpdp
RTD
rNN
A
AABAA
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−==14 2π
(29)
Nótese que ∂r ha reemplazado a dz. Reordenando e integrando entre r1 y un
punto r2 a gran distancia,
∫⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
∫ −=p
pP
pdpr
r RTD
rdrN A
AA
AABA 2
1
2
1 12
14π (30)
pPpPLn
RTPD
rrN
A
AABA
1
2
21
114 −
−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
π (31)
Puesto que r2 >> r1/r2 ≅ 0. Sustituyendo la ecuación (21) en la ecuación (31),
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −==
ppp
RTrPD
NNBM
AAABA
A 21
1124π
(32)
TRANSFERENCIA DE MASA DIFUSIÓN MOLECULAR
Esta expresión se puede simplificar aún más. Si pA1 es pequeña en
comparación con P (una fase de gas diluido), pBM ≅ P. Además, estableciendo
que 2r1=D1, esto es, el diámetro, y cA1 = pA1/RT, se obtiene
( )ccDDN AA
I
ABA 211
2 −= (33)
Esta ecuación también se puede usar par líquidos, donde DAB es la difusividad
de A en el líquido.
Ejemplo 5. Evaporación de una esfera de naftaleno
Una esfera de naftaleno con radio de 2.0 mm está suspendida en gran
volumen de aire estacionario a 318 °K y 1.01325 x 105 Pa (1atm). Se puede
suponer que la temperatura superficial del naftaleno es 318 °K y su presión de
vapor a esta temperatura es 0.555 mm de Hg. El valor de DAB del naftaleno en
aire a 318 °K es 6.92 x 10-6 m2/s. Calcule la rapidez de evaporación del
naftaleno en la superficie.
Solución: El diagrama de flujo es similar al de la figura 3 (a) . DAB=6.92X10-6