Principal components analysis(pca)fulledited

Two popular lossy dimensionality

reduction method ( เทคนิ�คในิการลดร�ปข้�อมู�ลแบบ

lossy)

Principle components analysis(PCA)

การวิ�เคราะห์�ส่�วินิประกอบส่�าค�ญ

2

Principle components analysis(PCA)

ค�อการวิ�เคราะห์ส่�วินประกอบส่�าค�ญเป�นการย่�อเมตร�กซ์

ส่ห์ส่�มพั�นธ์ ที่��ม�ควิามซ์�บซ์�อนให์�ง่�าย่ต�อการอธ์�บาย่ และเป�นวิ�ธ์�

ห์น#�ง่ของ่การวิ�เคราะห์อง่คประกอบ จุ�ดมู��งห์มูายข้องการวิ�เคราะห์�องค�ประกอบ

ท�"งห์มูด ค�อการอธิ�บายเมูตร�กซ์�ส่ห์

ส่�มูพั�นิธิ�(Correlation matrix) ให์�ง�ายข้'"นิ โดยการอธิ�บายในิร�ปข้องต�วิแปรท)*ลด

ลง

04/12/2023 copyright www.brainybetty.com 2006 All Rights Reserved

3

ประโยชนิ�ข้องการท�า1. เพั%�อลดจำ�านวินต�วิแปรโดย่การรวิมต�วิแปรห์ลาย่ ๆ

ต�วิให์�อย่+�ในป,จำจำ�ย่เด�ย่วิก�น ป,จำจำ�ย่ที่��ได� ถื%อวิ�าเป�นต�วิแปรให์ม�ที่��ส่ามารถืห์าค�าข�อม+ลของ่ป,จำจำ�ย่ที่��ส่ร�าง่ข#/นได� เร�ย่กวิ�า Factor Score เราส่ามารถืน�าป,จำจำ�ย่ด�ง่กล�าวิไปเป�นต�วิแปรส่�าาห์ร�บการวิ�เคราะห์ที่าง่ส่ถื�ต�ต�อไป เช่�น - การวิ�เคราะห์ควิามถืดถือย่ และส่ห์ส่�มพั�นธ์ (Regression and Correlation Analysis) - การวิ�เคราะห์ควิามแปรปรวิน (ANOVA) - การที่ดส่อบส่มมต�ฐาน t-test , Z-test - การวิ�เคราะห์จำ�าแนกกล2�ม ( Discriminant Analysis) เป�นต�น

4

2.ใช่�ในการแก�ป,ญห์าการที่��ต�วิแปรอ�ส่ระของ่เที่คน�คการวิ�เคราะห์ควิามถืดถือย่ม�ควิามส่�มพั�นธ์ (Multicolinearity)

3. ที่�าให์�เห์3นโครง่ส่ร�าง่ควิามส่�มพั�นธ์ของ่ต�วิแปรที่��ศึ#กษา เน%�อง่จำากเที่คน�ค Factor Analysis จำะห์าค�าส่�มประส่�ที่ธ์�6ส่ห์ส่�มพั�นธ์ (Correlation) ของ่ต�วิแปรที่�ละค+�แล�วิรวิมต�วิแปรที่��ส่�มพั�นธ์ก�นมาไวิ�ในป,จำจำ�ย่เด�ย่วิก�น จำ#ง่ส่ามารถืวิ�เคราะห์ถื#ง่โครง่ส่ร�าง่ที่��แส่ดง่ควิามส่�มพั�นธ์ของ่ต�วิแปรต�าง่ ๆ ที่��อย่+�ในป,จำจำ�ย่เด�ย่วิก�นได�

4. ที่�าให์�อธ์�บาย่ควิามห์มาย่ของ่แต�ละป,จำจำ�ย่ได� ตามควิามห์มาย่ของ่ต�วิแปรต�าง่ๆที่��อย่+�ในป,จำจำ�ย่น�/น ที่�าให์�ส่ามารถืน�าไปใช่�ในด�านการวิาง่แผนได�

5

วิ�ตถุ�ประส่งค�ข้องเทคนิ�ค Factor Analysis มู) 2 จุ�ดมู��งห์มูายค�อ

1.) เพั%�อศึ#กษาวิ�าอง่คประกอบร�วิมที่��จำะส่ามารถือธ์�บาย่ควิามส่�มพั�นธ์ร�วิมก�นระห์วิ�าง่ต�วิแปรต�าง่ ๆ โดย่ที่��จำ�านวินอง่คประกอบร�วิมที่��ห์าได�จำะม�จำ�านวินน�อย่กวิ�าจำ�านวินต�วิแปรน�/น จำ#ง่ที่�าให์�ที่ราบวิ�าม�อง่คประกอบร�วิมอะไรบ�าง่ โมเดลน�/ เร�ย่กวิ�า Exploratory Factor Analysis Model : EFA เร�ย่กวิ�า การวิ�เคราะห์อง่คประกอบเช่�ง่ส่�ารวิจำ

2) เพั%�อต�อง่การที่ดส่อบส่มม2ต�ฐานเก��ย่วิก�บโครง่ส่ร�าง่ของ่อง่คประกอบวิ�า อง่คประกอบแต�ละอง่คประกอบด�วิย่ต�วิแปรอะไรบ�าง่ และต�วิแปรแต�ละต�วิควิรม�น�/าห์น�กห์ร%ออ�ตราควิามส่�มพั�นธ์ก�บอง่คประกอบมากน�อย่เพั�ย่ง่ใด ตรง่ก�บที่��คาดคะเนไวิ�ห์ร%อไม� ห์ร%อส่ร2ปได�วิ�าเพั%�อต�อง่การที่ดส่อบวิ�าอง่คประกอบน�/ตรง่ก�บโมเดลห์ร%อตรง่ก�บที่ฤษฎี�ที่��ม�อย่+�ห์ร%อไม� โมเดลน�/เร�ย่กวิ�า Confirmatory Factor Analysis Model: CFA เร�ย่กวิ�า การวิ�เคราะห์อง่คประกอบเช่�ง่ย่%นย่�น

6

ร�ปแบบการวิ�เคราะห์�ต�วิประกอบ

7

จำากแผนผ�ง่เราก3จำะเห์3นวิ�า Principal components analysis(PCA) น�/นอย่+�ในส่�วิน

Exploratory Factor Analysis Model

การวิ�เคราะห์�องค�ประกอบเช�งส่�าารวิจุ (Exploratory Factor Analysis Model)

การวิ�เคราะห์อง่คประกอบเช่�ง่ส่�ารวิจำจำะใช่�ในการส่�ารวิจำข�อม+ล ก�าห์นดจำ�านวิน

อง่คประกอบ อธ์�บาย่ควิามแปรปรวินร�วิมระห์วิ�าง่ต�วิแปร เม%�อผ+�วิ�จำ�ย่ไม�ม�

ห์ล�กฐานอ�าง่อ�ง่เพั�ย่ง่พัอ ส่�าห์ร�บเป�นกรอบของ่ส่มมต�ฐานเก��ย่วิก�บจำ�านวินของ่

อง่คประกอบภาย่ใต�ข�อม+ลที่��วิ�ดได�

8

ส่มูการล�กษณะเมูตร�กซ์�ส่ห์ส่�มูพั�นิธิ� (The characteristic equation of

the matrix) 2 กล��มูค�า(Sets of values) ค�อ

1. ไอเกนิเวิคเตอร� (The characteristic vactors of the matrix: Latent vactors :

Eigenvactors) ใช่�ส่�ญล�กษณ์ V a , V b … ตามูล�าด�บ ซ์#�ง่เป�นคอล�มนห์ร%อแถืวิของ่

น�/าห์น�กของ่แต�ละต�วิแปรในเมตร�กซ์ค�าน�/าห์น�กอง่คประกอบ(Factor loading)

ที่��ส่อดคล�อง่(Corresponding)ก�บอง่คประกอบต�าง่ๆ ค%อ Fa , Fb … ซ์#�ง่ห์ามาจำาก

แต�ละค�าของ่เวิคเตอรค+ณ์ด�วิย่รากที่��ส่อง่ของ่ค�าไอเกน (Eigenvalue)ของ่

อง่คประกอบน�/น

9

2. ค�าไอเกนิ( The characteristic roots : Latent roots : Eigenvalues) ใช่�ส่�ญล�กษณ์

la ค%อ ผลรวิมก�าล�ง่ส่อง่ของ่ค�าน�/าห์น�กอง่คประกอบแต�ละอง่คประกอบ

ซ์#�ง่ถื�าน�ามาห์าค�าเฉล��ย่จำะบอกส่�ดส่�วินของ่ควิามแปรปรวินที่��อธ์�บาย่โดย่

อง่คประกอบน�/น ผลรวิมเฉล��ย่ด�ง่กล�าวิในอง่คประกอบใดม�ค�าส่+ง่อง่คประกอบน�/น

ก3อธ์�บาย่ได�มาก อง่คประกอบแรกที่��ถื+กส่ก�ดออกมาจำะม�ค�าน�/ส่+ง่ที่��ส่2ด

10

เมู�*อ ค.ศ. 1933 Hotelling. ได�อธิ�บายวิ�ธิ)การวิ�เคราะห์�ไวิ� โดยการค�านิวิณค�าส่องค�านิ)"ตามูวิ�ธิ)การข้�"นิตอนิด�งนิ)"1. ห์าเมตร�กซ์ส่ห์ส่�มพั�นธ์ และรวิมค�าส่�มประส่�ที่ธ์ในเม

ตร�กซ์(Elements) ของ่แต�ละคอล�มน จำาก ตาราง่ 1

11

จำากตาราง่ 1 รวิมค�าได� 4 ค�า เป�นเวิคเตอร ค%อUa1

ด�งนิ�"นิ Ua1 = ( 1.9, 1.7, 1.8, 1.6)2. ปร�บค�า Ua1 ( Normalize Ua1 ) โดย่การย่ก

ก�าล�ง่ส่อง่ แต�ละค�าใน Ua1 แล�วิน�ามารวิมก�น ได�ผลล�พัที่เที่�าไห์�รแล�วิจำ#ง่ถือดรากที่��ส่อง่

ของ่ค�าน�/น จำากน�/นน�าค�าที่��ได�ไปห์ารค�าแต�ละค�าใน Ua1 จำะได�ค�าในเวิคเตอรแรก ค%อ

V a1 ด�งนิ)"

12

3. ห์าเวิคเตอรที่�� 2 ค%อ V a2 โดยนิ�าค�าแต�ละค�าในิ V a1

ค�ณก�บค�าในิแต�ละคอล�มูนิ�ในิเมูตร�กซ์�ส่ห์ส่�มูพั�นิธิ� แล�วินิ�ามูารวิมูก�นิจุะได�ค�าแต�ละค�า

ในิเวิคเตอร� U a2

ค�าแรก (First element) = (0.54×1)+(0.48×0.4)+(0.51×0.3)+(0.46×0.2) = 0.97

ค�าที่��ส่อง่ (Second element)= (0.54×0.4)+(0.48×1)+(0.51×0.2)+(0.46×0.1) = 0.85

ค�าที่��ส่าม (Third element) = (0.54×0.3)+(0.48×0.2)+(0.51×1)+(0.46×0.3) = 0.90

ค�าที่��ส่�� (Fourth element) = (0.54×0.2)+(0.48×0.1)+(0.51×0.3)+(0.46×1) = 0.77

ด�ง่น�/น U a2 = ( 0.97, 0.85, 0.90, 0.77)

13

4. ปร�บค�า U a2 โดยค�านิวิณตามูวิ�ธิ)ในิข้�อ 2 ได�ค�า V

a2 ด�งนิ)"

14

5. เปร�ย่บเที่�ย่บค�าแต�ละค�าของ่ V a1 ก�บ V a2 ในต�าแห์น�ง่เด�ย่วิก�นน�ามาเปร�ย่บเข�า

ค+�ก�น ค%อ 0.54 ก�บ 0.55, 0.48 ก�บ 0.49, 0.51 ก�บ 0.51, 0.46 ก�บ 0.44 จำะเห์3นได�วิ�า

ค�าคล�าย่ก�นมากแต�ไม�เห์ม%อนก�น ห์มาย่ควิามวิ�าการเปร�ย่บเที่�ย่บน�/ถื%อเอาควิาม

ส่อดคล�อง่ก�น (Convergence) เป�นเกณ์ฑ์ ค%อ ควิามส่อดคล�อง่น�/พั�จำารณ์าจำากค�า

ผลรวิมก�าล�ง่ส่อง่ของ่ควิามแตกต�าง่ระห์วิ�าง่ค�าแต�ละค+� ของ่ส่อง่เวิคเตอรน�/ให์�ค�า

เข�าใกล� 0 มากที่��ส่2ด ที่�/ง่น�/ต�อง่น�อย่กวิ�า 0.00001 ถื�าไม�ส่อดคล�อง่ต�อง่ห์า U a3

ต�อไป

15

6. ห์าเวิคเตอร�ท)* 3 ค�อ V a3 ตามูวิ�ธิ)ในิข้�อ 3ค�าแรก (First element) =

(0.55×1)+(0.49×0.4)+(0.51×0.3)+(0.44×0.2) = 0.98

ค�าที่��ส่อง่ (Second element) = (0.55×0.4)+(0.49×1)+(0.51×0.2)+(0.44×0.1) = 0.85

ค�าที่��ส่าม (Third element) = (0.55×0.3)+(0.49×0.2)+(0.51×1)+(0.44×0.3) = 0.90

ค�าที่��ส่�� (Fourth element) = (0.55×0.2)+(0.49×0.1)+(0.51×0.3)+(0.44×1) = 0.75

ด�ง่น�/น U a3 = (0.98, 0.85, 0.90, 0.75)

16

7. ปร�บค�า U a3 โดย่ค�านวิณ์เห์ม%อนก�บข�อ 2 ห์ร%อ ข�อ 4

17

8. เปร�ย่บเที่�ย่บค�าแต�ละค�าของ่ V a2 ก�บ V a3 ตามวิ�ธ์�ในข�อ 5 อย่�าง่ไรก3ตาม

ต�วิอย่�าง่การอธ์�บาย่น�/จำะส่มมต�วิ�า V a2 ก�บ V a3 ม�ควิามส่อดคล�อง่ก�นแล�วิ

ในการค�านวิณ์จำร�ง่จำะต�อง่เปร�ย่บเที่�ย่บเวิคเตอรก�นอย่�าง่น�/ไปจำนกวิ�าจำะม�ควิาม

ส่อดคล�อง่ก�น การที่�าอย่�าง่น�/เร�ย่กวิ�า Iterative approach characteristic vectors

ห์ร%อ Iterative solution9. เม%�อพับควิามส่อดคล�อง่ก�นระห์วิ�าง่ V a2 ก�บ V a3

แล�วิ V a3 จำะเป�นเวิคเตอรแรก ส่�วิน V a1 ก�บ V a2 เร�ย่กวิ�า Trial

vectors ม%�อค�านวิณ์รากที่��ส่อง่ของ่ผลรวิมก�าล�ง่ส่อง่ของ่ค�าใน U a3 ค�าที่��ได�น�/นค%อ ค�า

ไอเกนิ ค�าไอเกนน�/จำะม�ค�าต�/ง่แต� 0 ข#/นไป

18

และจำะค�านวิณ์ค�าน�/าห์น�กอง่คประกอบ(Factor loading values)ได�โดย่การน�า

ค�าใน V a3 ค+ณ์ก�บรากที่��ส่อง่ของ่ค�าไอเกน ด�ง่น�/นส่�วินประกอบส่�าค�ญส่�วินแรก

(The firstprincipal component) จำะถื+กส่ก�ดออกมา ด�ง่ตาราง่ 2 โดย่ที่��วิไปเม%�อ

ส่ก�ดอง่คประกอบส่�าค�ญจำนครบแล�วิจำะเร�ย่กตาราง่ 2 น�/วิ�าตาราง่เมตร�กซ์

อง่คประกอบด�/ง่เด�ม(Original factor matrix) ห์ร%อ เมตร�กซ์อง่คประกอบที่��ย่�ง่ไม�ได�

ที่�าการห์ม2นแกน (Unrotated factor matrix)

19

20

10. การห์าส่�วินประกอบส่�าค�ญที่�� 2 (The second principal component)

ด�าเน�นการเห์ม%อน ข�อ1-9 ค%อการห์าไอเกนเวิคเตอร ค�าไอเกน และค�าน�/าห์น�ก

อง่คประกอบ ที่�าให์� Vb ม�ควิามส่อดคล�อง่ก�นในที่��ส่2ดค�าไอเกนเวิคเตอร และค�าไอเกนส่ก�ดมาจำากเมตร�กซ์เศึษเห์ล%อ

(Residual matrix)จำากการส่ก�ดอง่คประกอบแรกแล�วิ น��นค%อส่��ง่ที่��แส่ดง่ให์�เห์3น

ควิามห์มาย่ของ่อง่คประกอบที่��ส่ามารถือธ์�บาย่ควิามแปรปรวินต�าง่ๆใน

เมตร�กซ์ส่ห์ส่�มพั�นธ์11. การห์าเมตร�กซ์เศึษเห์ล%อน�/นค�าส่�มประส่�ที่ธ์�6ที่��เป�น

เศึษเห์ล%อ จำะม�ควิามส่อดคล�อง่ก�บค�าในเมตร�กซ์เด�ม กล�าวิค%อ เม%�อเราน�า

ค�าน�/าห์น�กอง่คประกอบของ่ต�วิแปรแต�ละค+�เที่�าที่��เป�นไปได�ที่�/ง่ห์มดค+ณ์ก�น

21

จำะได�ค�าที่�/ง่ห์มด 16 ค�า ค%อเมตร�กซ์ค%นร+ป (Matrix of cross products:

ตาราง่ 4) เม%�อได�ค�าในเมตร�กซ์ค%นร+ปแล�วิให์�น�าเอาค�าที่��ได�ไปลบออกจำากค�าใน

เมตร�กซ์ส่ห์ส่�มพั�นธ์เด�ม จำากน�/นน�าผลที่��ได�ส่ร�าง่เมตร�กซ์เศึษเห์ล%อ(ตาราง่ 5) แส่ดง่

การค�านวิณ์ด�ง่น�/

22

แต�ละค�าในแนวิที่แย่ง่เป�นควิามแปรปรวิน(Variance)ที่��เห์ล%อจำากที่��อง่คประกอบแรกแบ�ง่ออกไป ด�ง่น�/นถื�าเราตรวิจำส่อบเมตร�กซ์เศึษเห์ล%อจำะพับวิ�า อง่คประกอบแรกถื+กอธ์�บาย่ได�ด�วิย่ควิามแปรปรวินของ่ IQ=55%, V=43%, M=45%, S=32%

23

ล�กษณ์ะด�ง่กล�าวิแส่ดง่ให์�เห์3นควิามห์มาย่ของ่อง่คประกอบอธ์�บาย่ควิาม

แปรปรวินในเมตร�กซ์ส่ห์ส่�มพั�นธ์ อง่คประกอบแรกน�/เร�ย่กวิ�า ควิามส่ามารถืที่��วิไป

(General ability or Intelligence Factor) ซ์#�ง่อธ์�บาย่ควิามแปรปรวินได�มากที่��ส่2ด

ด�ง่น�/นอง่คประกอบที่��เห์ล%อจำ#ง่อธ์�บาย่ควิามแปรปรวินได�น�อย่ลง่ไปเพัราะจำะ

อธ์�บาย่ในส่�วินที่��เป�นค�าเศึษเห์ล%อจำากอง่คประกอบแรกเที่�าน�/นส่�วินค�าอ%�นๆ ในเมตร�กซ์เศึษเห์ล%อน�/นเป�นส่�วินแบ�ง่ของ่ควิามแปรปรวินร�วิม

(Covariance)ระห์วิ�าง่ต�วิแปร ห์ร%อเป�นควิามแปรปรวินร�วิมที่��อง่คประกอบแรก

แบ�ง่ออกไป และแต�ละอง่คประกอบก3จำะแบ�ง่ค�าส่�มประส่�ที่ธ์�6ในเมตร�กซ์เศึษเห์ล%อ

น�/ไปตามล�าด�บ และเห์ล%อน�อย่ลง่ๆ จำนส่ก�ดอง่คประกอบได�ที่2กอง่คประกอบ

24

เมูตร�กซ์�เศษเห์ล�อจุะต�องกล�บเคร�*องห์มูายค�าส่�มูประส่�ทธิ�2ก�อนิ(Reflection) มู)

วิ�ธิ)การด�งนิ)"1) รวิมค�าที่2กค�าย่กเวิ�นค�าในแนวิที่แย่ง่ของ่แต�ละ

คอล�มน แล�วิพั�จำารณ์ากล�บเคร%�อง่ห์มาย่ในคอล�มนที่��ให์� ค�าผลรวิมที่��เป�นค�าลบส่+ง่ส่2ด

ถื�าค�าใดซ์�/าก�นในคอล�มนอ%�นต�อง่เปล��ย่นเคร%�อง่ห์มาย่ตามด�วิย่ จำากน�/นจำ#ง่รวิมค�า

ที่2กค�าในแต�ละคอล�มนอ�กคร�/ง่ห์น#�ง่ย่กเวิ�นค�าในแนวิที่แย่ง่เช่�นเด�ย่วิก�น2) พั�จำารณ์ากล�บเคร%�อง่ห์มาย่ในค�าผลรวิมที่��เป�นค�าลบ

ส่+ง่ส่2ดอ�ก ถื�าค�าใดซ์�/าก�นในคอล�มนอ%�นต�อง่เปล��ย่นเคร%�อง่ห์มาย่ตามด�วิย่เช่�นเด�ย่วิก�น

พั�จำารณ์าอย่�าง่น�/จำนค�าผลรวิมแต�ละคอล�มนม�ค�าเป�นบวิกที่�/ง่ห์มด

25

จำากตาราง่ 5 ค�าผลรวิมของ่ต�วิแปรในคอล�มน IQ, V, M,และ S เป�น –0.05, -0.59,-0.36, -0.57 ตามล�าด�บ คอล�มนที่��ต�อง่กล�บเคร%�อง่ห์มาย่ค%อคอล�มนของ่ต�วิแปร V

26

27

จำากตาราง่ 7 จำะเห์3นวิ�าค�าผลรวิมไม�ม�ค�าใดเป�นลบ จำ#ง่ย่2ต�การกล�บเคร%�อง่ห์มาย่ และ

ตาราง่ 7 น�/จำะใช่�ในการค�านวิณ์ห์าอง่คประกอบที่�� 2 ต�อไป

12. ห์าเวิคเตอร U b1 จำากตาราง่ 8 เพั%�อห์าส่�วินประกอบ ห์ร%ออง่คประกอบที่�� 2 ได� U b1 = (0.79,1.00, 0.91, 1.09)

28

13. ปร�บค�า U b1 (Normalize U b1 ) โดย่การย่กก�าล�ง่ส่อง่ของ่แต�ละค�าใน U b1 แล�วิ

น�ามารวิมก�นได�ผลล�พัที่เที่�าไรแล�วิจำ#ง่ถือดรากที่��ส่อง่ของ่ค�าน�/น จำากน�/นน�าค�าที่��ได�

ไปห์ารแต�ละค�าใน U b1 จำะได�ค�าในเวิคเตอร Vb1 ด�ง่น�/

29

จำากข�/นตอนน�/ที่�าการค�านวิณ์ตามข�อที่��3-9 จำนกระที่��ง่ได�อง่คประกอบที่�� 2

จำากน�/นจำ#ง่ห์าอง่คประกอบที่�� 3 และ 4 เป�นอง่คประกอบส่2ดที่�าย่ ตาม

กระบวินการเด�มเป�นอ�นเส่ร3จำส่�/นการส่ก�ดอง่คประกอบโดย่การวิ�เคราะห์

ส่�วินประกอบส่�าค�ญ และควิามแปรปรวินในเมตร�กซ์ส่ห์ส่�มพั�นธ์ที่�/ง่ห์มดจำะ

อธ์�บาย่ได�ด�วิย่ผลรวิมค�าเฉล��ย่ของ่ค�าน�/าห์น�กอง่คประกอบก�าล�ง่ส่อง่ในแต�ละ

ส่�วินประกอบ

30

ส่ร�ปในที่าง่ปฏิ�บ�ต�แล�วิการวิ�เคราะห์อง่คประกอบจำะใช่�

โปรแกรมคอมพั�วิเตอรช่�วิย่ในการค�านวิณ์ เพัราะห์ากต�วิแปรม�จำ�านวินมาก เช่�น 20

ห์ร%อ 30 ต�วิแปร และอ�กที่�/ง่การวิ�เคราะห์อง่คประกอบต�อง่อาศึ�ย่กล2�มต�วิอย่�าง่เป�น

จำ�านวินมากเที่�าที่��จำะเป�นไปได� อย่�าง่น�อย่ 10 เที่�าของ่ต�วิแปรย่�อมที่�าให์�การค�านวิณ์

โดย่ไม�ใช่�โปรแกรมคอมพั�วิเตอรเป�นไปได�ย่าก

31

รายช�*อส่มูาช�กในิกล��มูนาง่ส่าวิกนกวิรรณ์ พัระส่วิ�าง่

53160001 กล2�ม 1 นาย่ณ์ฐกร ธ์นเศึรษฐ

53160047 กล2�ม 1 นาง่ส่าวิเจำนจำ�รา คง่มาก

53160065 กล2�ม 1Mr. RIGUEN UCH

53160084 กล2�ม 1