primera edición ebook 2014 - Grupo Editorial Patria · 3 .4 Características de las funciones polinomiales de grados cero, uno y dos ... Empleas funciones polinomiales de grados

primera edición ebook 2014

Francisco José Ortiz CamposFrancisco Javier Ortiz CerecedoFernando José Ortiz Cerecedo

Grupo Editorial Patria®División Bachillerato, Universitario y Profesional

Matemáticas 4.

Serie integral por competencias

Derechos reservados:

©2014, Francisco José Ortiz CamposFrancisco Javier Ortiz CerecedoFernando José Ortiz Cerecedo

©2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.

ISBN ebook: 978-607-744-002-4

Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca,Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro núm. 43

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en

cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en México / Printed in Mexico

Primera edición ebook: 2014

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Dirección editorial: Javier Enrique CallejasCoordinación editorial: Alma Sámano CastilloDiseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado SolísSupervisor de preprensa: Miguel Ángel Morales VerdugoDiagramación: Juan Castro SalgadoIlustraciones: Gustavo Vargas Martínez y Jorge Antonio Martínez JiménezFotografías: Thinkstock

Grupo Editorial Patria®

Contenido

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIICompetencias genéricas del Bachillerato General . . . . . . . . . . . . XCompetencias disciplinares básicas del campode las matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Las secciones de tu libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII

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1 1 .1 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 .2 Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 .3 Regla de correspondencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

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2 2 .1 Función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2 .2 Función escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2 .3 Función valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2 .4 Función identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 .5 Función constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas

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3 3 .1 Modelo general de las funciones polinomiales . . . . . . . . . 58 3 .2 Forma polinomial de funciones de grados

cero uno y dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3 .3 Representación gráfica de funciones de grados

cero, uno y dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3 .4 Características de las funciones polinomiales

de grados cero, uno y dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3 .5 Parámetros de las funciones de grados cero, uno y dos . 63

Empleas funciones polinomiales de

grados cero, uno y dos

BLO

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E

4

4 .1 Modelo matemático de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4 .2 Propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4 .3 Métodos de solución de las ecuaciones factorizables asociadas a una función polinomial de grados tres y cuatro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4 .4 Comportamiento de la gráfica de una función polinomial en función de los valores que toman sus parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4 .5 Representación gráfica de funciones polinomiales de grados tres y cuatro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Utilizas funciones polinomiales de

grados tres y cuatro

V

XI

VI

ContenidoB

LOQ

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6 6 .1 Función racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6 .2 Dominio de definición de una función racional . . . . . . . 127

6 .3 Asíntotas horizontales y verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6 .4 Criterios de existencias de las asíntotas horizontales y oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Aplicas funciones racionales

BLO

QU

E

7

7 .1 Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7 .2 Función logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7 .3 Gráfica de la función exponencial y logarítmica . . . . . . . 151

7 .4 Propiedades de los exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

7 .5 Cambio de una expresión exponencial a una logarítmica y viceversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

7 .6 Propiedades de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7 .7 Ecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7 .8 Ecuaciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Utilizas funciones exponenciales y

logarítmicas

BLO

QU

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8 8 .1 Funciones trigonométricas (seno y coseno) . . . . . . . . . . . . . 167

8 .2 Formas senoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8 .3 Funciones circulares: seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

8 .4 Características de las funciones periódicas: amplitud, frecuencia y periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8 .5 Representación gráfica de funciones trigonométricas . . 171

Aplicas funciones periódicas

Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Vínculos en Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

BLO

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5 5 .1 Ceros y raíces de la función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5 .2 Teoremas del factor y del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5 .3 División sintética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5 .4 Teorema fundamental del álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5 .5 Teorema de factorización lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5 .6 Gráficas de funciones polinomiales factorizables . . . . . 115

Utilizas funciones factorizables en

la resolución de problemas


Introducción a la asignatura y a tu libro

El contenido temático de esta segunda edición de Matemáticas 4 para bachillerato general se ha modificado para adecuarlo al programa vigente de la asignatura .

Esta obra se desarrolla en ocho bloques que son:

Bloque 1Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

En este bloque se inicia con algunos conceptos preliminares que son necesarios para establecer una adecuada co-municación . Las nociones de función y de relación se introducen a partir de ejemplos . Estos conceptos se amplían gradualmente .

Las funciones se presentan como una ecuación, como un conjunto de pares ordenados, y se les representa en tablas o gráficas .

Se clasifica a las funciones por sus características y se estudian sus propiedades, tales como inyectiva, suprayectiva y biyectiva .

Aunque no está en el programa, se incluyó el concepto de “intervalo” que se utiliza a lo largo del curso .

Bloque 2Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas

A partir del reconocimiento de las características de la función inversa de una función dada se procede a sus repre-sentaciones geométrica y algebraica con respecto a la función identidad .

Al valor absoluto, constante, idéntica y escalonada, se les define y representa por medio de tablas y gráficas, se determina la imagen de su dominio y se analizan sus propiedades .

Con las gráficas de funciones se realizan transformaciones, tales como traslaciones verticales y horizontales o reflexiones sobre los ejes o sobre la recta y = x .

Bloque 3Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos

Se establece la relación entre el ángulo de inclinación de una recta y su pendiente . Se aplica el concepto de pen-diente para establecer las condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas . Se identifica la ecua-

VII

Francisco José Ortiz Cerecedo Francisco Javier Ortiz CerecedoFernando José Ortiz Cerecedo

VIII

Introducción a la asignatura y a tu libro

ción de la recta en su forma pendiente ordenada al origen con sus respectivos elementos . También, se identifica la ecuación de la recta que pasa por dos puntos .

Bloque 4Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro

En este bloque se introducen los conceptos de función par y función impar como antecedente para el bosquejo de la gráfica de funciones de grados tres y cuatro .

Bloque 5Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

Para determinar ceros reales o complejos de una función polinomial, así como para predecir su trazo, se recurre a conceptos y teoremas .

Se explica el procedimiento para obtener la regla de la división sintética y se aplica para resolver ecuaciones poli-nomiales factorizables

Bloque 6Empleas funciones racionales

A partir del concepto de función racional se procede a su caracterización . Se identifican las posibles asíntotas horizontales, verticales y oblicuas . Los intervalos se utilizan para identificar las regiones del plano en las que está o no la gráfica de la función racional . Se hace una introducción a la variación inversa .

Bloque 7Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

Este bloque inicia con una revisión del concepto de exponente y de sus respectivas leyes para tratar lo relacionado con la función exponencial . Incluye la función exponencial natural . Se hace una interpretación algebraica y gráfica de la función logarítmica como inversa de la función exponencial .

Las propiedades de los logaritmos son utilizadas para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas .

Bloque 8Aplicas funciones periódicas

En este bloque se estudian las funciones periódicas senoidales . Se les representa gráficamente . Se determinan sus características y elementos principales y se aplican en algunos fenómenos de la vida cotidiana .

Cada bloque inicia con su nombre e incluye la o las competencias, una introducción, una propuesta de trabajo, un conjunto de ejercicios y problemas como propuestas para el diseño de situaciones didácticas . Además tiene las siguientes secciones:

¿Qué sabes hacer ahora? (evaluación diagnóstica).

Para tu reflexión.

Actividades de aprendizaje.

Aplicas lo que sabes.

Instrumentos de evaluación.

La evaluación diagnóstica nos permitirá saber el nivel de conocimientos con los que cuenta el estudiante . La ac-tividad de aprendizaje posibilita conocer el grado de avance en el proceso de enseñanza–aprendizaje para hacer los ajustes necesarios . Los instrumentos de evaluación, establecen una comparación entre el inicio y el final del estudio de cada bloque .


En esta obra se dan a conocer algunos lineamientos de carácter general sobre la metodología de trabajo, de acuer-do con el enfoque por competencias . Para ello, se parte de ejemplos concretos en los que se explica cada una de las partes que integran la propuesta . A continuación, se presentan problemas que se pueden considerar como situa-ciones didácticas para efectos del diseño de propuestas de trabajo con los alumnos . El enfoque por competencias considera la aplicación del conocimiento para resolver situaciones específicas .

La experiencia adquirida en la práctica educativa nos ha enseñado que debemos partir de lo que el alumno sabe para consolidar y aplicar su conocimiento . La propuesta de trabajo en esta obra consiste en presentar problemas concretos a resolver por el alumno . En el caso de que el estudiante no pueda efectuar el problema planteado, se le apoyará con teoría y ejemplos resueltos . Hecho lo anterior, podrá regresar a resolver el problema planteado .

Persiste el propósito de apoyar a docentes y estudiantes en sus respectivas actividades .

Para el o la docente esta obra ofrece una metodología de trabajo acorde con el enfoque por competencias . Al ini-cio de cada bloque se presentan propuestas de actividades que incluyen los siguientes puntos:

1. Competencia. Es la competencia a desarrollar de acuerdo con el programa de estudios vigente .

2. Situación didáctica. Constituye la dificultad a resolver por el alumno, de manera que éste ponga en juego sus aptitudes, capacidades, habilidades, destrezas, valores, etcétera .

3. Secuencia. Se refiere a las acciones a realizar por el alumno tanto en forma individual como por equipo .

Las preguntas que se incluyen para realizar la investigación pueden orientar al alumno sobre las acciones a desarrollar, a fin de resolver la dificultad que se plantea en la situación didáctica .

En el trabajo a realizar por el alumno, individual y por equipo, se describen las acciones a efectuar . Estas ac-ciones tendrán un peso en la evaluación .

4. Evaluación por producto. Aunque se pueden utilizar diferentes formas de evaluación, ésta evidencia el grado de avance del alumno en el desarrollo de una competencia .

5. Rúbrica de evaluación. Incluye los elementos considerados para la evaluación . Se trata de hacer transpa-rentes los criterios de evaluación de manera que el alumno sepa cómo se le asignó una calificación .

Los grupos de ejercicios y problemas que se proponen como situaciones didácticas son de dificultad creciente, debidamente seleccionados y jerarquizados para favorecer el avance en el proceso de aprendizaje y facilitar en el y la estudiante la autoevaluación .

Esta obra proporciona la información teórica en un lenguaje accesible que induce al autoaprendizaje a través de la comprensión de los conceptos y su respectiva aplicación en la resolución de situaciones problemáticas concre-tas . Con ello se pretende que el y la estudiante adquieran la seguridad y confianza necesarias para enfrentar con éxito los retos que representan las situaciones didácticas propuestas, éstas tienen cierta analogía con los ejemplos resueltos . Una vez que el y la estudiante puedan establecer relaciones entre el conocimiento que poseen y el nuevo que se les plantea, por ejemplo en un problema, estarán en condiciones de proponer el modelo matemático cuya solución resuelve el problema y, además, podrán analizar la estructura básica de los problemas que se les formulen, así como transitar el camino que conduce de una situación conocida a una nueva .

A través de la obra se revisan y afirman conceptos del nivel medio básico los cuales son antecedentes necesarios para introducir y desarrollar los conceptos que corresponden al nivel medio superior .

Esperamos que esta obra sea un apoyo y una herramienta para el proceso de enseñanza-aprendizaje, por lo mismo recibiremos con agrado todas las sugerencias que permitan mejorarla y enriquecerla .

Francisco José Ortiz CamposFrancisco Javier Ortiz Cerecedo

Fernando José Ortiz Cerecedo

IX

X

Competencias genéricas del Bachillerato General

Competencias genéricas del Bachillerato General

Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar; éstas les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una

convivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etcétera . Por lo anterior, estas competencias construyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato . A continuación se enlistan las competencias genéricas:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue .

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros .

3. Elige y practica estilos de vida saludables .

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apro-piados .

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos .

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva .

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida .

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos .

9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo .

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales .

11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables .


Competencias disciplinares básicas del campo de las matemáticas

Competencias disciplinares básicasBloques de aprendizaje

1 2 3 4 5 6 7 8

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

X X X X X X X X

2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. X X X X X X

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

X X X X X X X

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y comunicación.

X X X X X X

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

X X X X X X X X

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

X X X X

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

X X

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

X X X X X X X

XI

X

Conoce tu libro

¿Qué sabes hacer ahora?

Desempeños por alcanzar

Se trata de una conjunción de competencias disciplinares a lograr en cada bloque, que te permiten demostrar la capacidad que tienes para aplicar tus conocimientos en situaciones de la vida personal o social, ya que al mismo tiempo pondrás en práctica tus destrezas, habilidades y actitudes.

Estos desempeños son los que se espera que logres al �nalizar cada bloque, te posi-bilitan poner en práctica tus conocimientos, habilidades y actitudes al realizar cada una de las actividades propuestas en este libro.

Objetos de aprendizaje

En los objetos de aprendizaje encontrarás los contenidos estructurados, integrados y contextualizados con una secuencia lógica y disciplinar, y que son de gran relevancia y pertinencia al nivel educativo en el que te encuentras.

Esta sección constituye una propuesta de evaluación diagnóstica que te permitirá establecer las competencias y conocimientos con los que cuentas, para así iniciar la obtención de conocimientos y capacidades nuevas.

¿Cómo lo resolverías?

En cada bloque iniciamos con una situación didáctica que bien puede ser resolver un problema, realizar un experimento, un proyecto, una investigación o una presentación, o bien elaborar un ensayo, un video, un producto, una campaña o alguna otra actividad que permita que adquieras un conocimiento y competencias personales o grupales, a través de un reto.

¿Qué tienes que hacer?

La secuencia didáctica es una guía para que puedas adquirir los conocimientos y desarrollar habilidades a través de una metodología que facilite y dirija tus pasos. Son además descriptores de procesos que por el análisis detallado que hacen, facilitan tu actividad y tus resultados.

¿Cómo sabes quelo hiciste bien?

Las rúbricas son métodos prácticos y concretos que te permiten autoevaluarte y así poder emprender un mejor desempeño. Puedes encontrar tanto actitudinales como de conocimientos.

SeccionesdeLasInicio de bloque

Tu libro

Tu libro cuenta también con glosario, bibliografía, vínculos en Internet, líneas de tiempo, diagramas, mapas conceptuales además de atractivas imágenes y otras muchas secciones y herramientas que te resultarán muy útiles y complementarán tu aprendizaje.

Rúbrica

Situación didáctica

Secuencia didáctica

Otras herramientas

Competencias a desarrollar

Ejemplos

Es importante mencionar que a lo largo de los bloques encontrarás diferentes ejemplos y ejercicios que tienen la finalidad de propiciar y facilitar tu aprendizaje.

Taller y actividad experimental

La experiencia que logres a través de los talleres, actividades experimentales y de laboratorio te ofrece la posibilidad de desarro-llar tus competencias y habilidades en la solución de problemas en situaciones cotidianas, además de estimular y fomentar tu aprendi-zaje cooperativo durante el trabajo en equipo.

Ejercicios

Los ejercicios propuestos en este libro te ayudarán a movilizar y consolidar los conocimientos adquiridos en situaciones reales o hipotéticas, mismas que te llevarán a un proceso de interacción, seguridad y soltura durante tu aprendizaje.

Aplica lo que sabes

Está diseñada para que puedas aplicar tus conocimientos a situaciones de tu vida diaria así como al análisis de problemáticas en tu comunidad y en el mundo en general, que te servirán para hacer propuestas de mejoras en todos los ámbitos.

Para tu reflexión

Tiene el propósito de enriquecer el conocimiento que estás adqui-riendo con lecturas adicionales, notas informativas e información relevante para el tema que estás considerando. Esta información además de ser útil, te permite contextualizar diferentes perspec-tivas para la misma información.

Actividad de aprendizaje

A lo largo del libro encontrarás diferentes actividades de aprendiza-je, que de forma breve te permitirán reforzar los conocimientos y competencias adquiridas a través de preguntas puntuales al desarrollo del bloque.

En el libro encontrarás diferentes sugerencias y actividades que, una vez realizadas, te permi-tirán construir un gran número de evidencias, algunas escritas, otras a través de la exposición de temas o presentación de productos. Es importante que recuerdes que además de presentar la información, la manera en que lo hagas determinará el nivel de calidad con la que se perciba tu trabajo. Por ello se te invita siempre a realizar tu mejor esfuerzo.

Estas te ayudan a verificar el desempeño logrado al realizar algún trabajo, producto o evidencia solicitados en cada bloque del libro. En general, es un listado de criterios o aspectos que te permiten valorar el nivel de aprendizaje, los conocimientos, habilidades, actitudes y/o desempeños alcanzados sobre un trabajo en particular. Puedes realizarlas de manera personal o como coevaluación.

Es una poderosa herramienta de análisis que te po-sibilitará verificar si has logrado algún desempeño, asimilar contenidos o si eres capaz de aplicar tus conocimientos, si has conseguido realizar un proce-dimiento de manera adecuada o si has obtenido soluciones correctas a un problema planteado.

Son un conjunto de acciones y propuestas que te permitirán hacer una recolección, siste-matización y un análisis de los desempeños y logros obtenidos a través del trabajo que realizaste durante cada bloque, éstos junto con el portafolio de evidencias, te ayudarán a obtener mejores resultados en las prácticas de evaluación que realice tu profesor/a.

nuestro sitio web, donde encontrarás material extra como videos, animaciones, audios y documentos que tienen el objetivo de ampliar tus conocimientos, dejar más claros algunos procesos complejos y actualizar de forma rápida y dinámica la información de todos los temas del plan de estudios de la DGB.

Instrumentos de evaluación

Portafolio de evidencias Rúbrica

Lista de cotejo

www.recursosacademicosenlinea-gep.com.mx

Al haber elegido este libro tienes acceso a

C

M

Y

CM

MY

CY

CMY

K

XI



Desempeños por alcanzar

Se trata de una conjunción de competencias disciplinares a lograr en cada bloque, que te permiten demostrar la capacidad que tienes para aplicar tus conocimientos en situaciones de la vida personal o social, ya que al mismo tiempo pondrás en práctica tus destrezas, habilidades y actitudes.

Estos desempeños son los que se espera que logres al �nalizar cada bloque, te posi-bilitan poner en práctica tus conocimientos, habilidades y actitudes al realizar cada una de las actividades propuestas en este libro.


En los objetos de aprendizaje encontrarás los contenidos estructurados, integrados y contextualizados con una secuencia lógica y disciplinar, y que son de gran relevancia y pertinencia al nivel educativo en el que te encuentras.

Esta sección constituye una propuesta de evaluación diagnóstica que te permitirá establecer las competencias y conocimientos con los que cuentas, para así iniciar la obtención de conocimientos y capacidades nuevas.

¿Cómo lo resolverías?

En cada bloque iniciamos con una situación didáctica que bien puede ser resolver un problema, realizar un experimento, un proyecto, una investigación o una presentación, o bien elaborar un ensayo, un video, un producto, una campaña o alguna otra actividad que permita que adquieras un conocimiento y competencias personales o grupales, a través de un reto.

¿Qué tienes que hacer?

La secuencia didáctica es una guía para que puedas adquirir los conocimientos y desarrollar habilidades a través de una metodología que facilite y dirija tus pasos. Son además descriptores de procesos que por el análisis detallado que hacen, facilitan tu actividad y tus resultados.

¿Cómo sabes quelo hiciste bien?

Las rúbricas son métodos prácticos y concretos que te permiten autoevaluarte y así poder emprender un mejor desempeño. Puedes encontrar tanto actitudinales como de conocimientos.

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Tu libro

Tu libro cuenta también con glosario, bibliografía, vínculos en Internet, líneas de tiempo, diagramas, mapas conceptuales además de atractivas imágenes y otras muchas secciones y herramientas que te resultarán muy útiles y complementarán tu aprendizaje.

Rúbrica

Situación didáctica

Secuencia didáctica

Otras herramientas


Ejemplos

Es importante mencionar que a lo largo de los bloques encontrarás diferentes ejemplos y ejercicios que tienen la finalidad de propiciar y facilitar tu aprendizaje.

Taller y actividad experimental

La experiencia que logres a través de los talleres, actividades experimentales y de laboratorio te ofrece la posibilidad de desarro-llar tus competencias y habilidades en la solución de problemas en situaciones cotidianas, además de estimular y fomentar tu aprendi-zaje cooperativo durante el trabajo en equipo.

Ejercicios

Los ejercicios propuestos en este libro te ayudarán a movilizar y consolidar los conocimientos adquiridos en situaciones reales o hipotéticas, mismas que te llevarán a un proceso de interacción, seguridad y soltura durante tu aprendizaje.

Aplica lo que sabes

Está diseñada para que puedas aplicar tus conocimientos a situaciones de tu vida diaria así como al análisis de problemáticas en tu comunidad y en el mundo en general, que te servirán para hacer propuestas de mejoras en todos los ámbitos.

Para tu reflexión

Tiene el propósito de enriquecer el conocimiento que estás adqui-riendo con lecturas adicionales, notas informativas e información relevante para el tema que estás considerando. Esta información además de ser útil, te permite contextualizar diferentes perspec-tivas para la misma información.


A lo largo del libro encontrarás diferentes actividades de aprendiza-je, que de forma breve te permitirán reforzar los conocimientos y competencias adquiridas a través de preguntas puntuales al desarrollo del bloque.

En el libro encontrarás diferentes sugerencias y actividades que, una vez realizadas, te permi-tirán construir un gran número de evidencias, algunas escritas, otras a través de la exposición de temas o presentación de productos. Es importante que recuerdes que además de presentar la información, la manera en que lo hagas determinará el nivel de calidad con la que se perciba tu trabajo. Por ello se te invita siempre a realizar tu mejor esfuerzo.

Estas te ayudan a verificar el desempeño logrado al realizar algún trabajo, producto o evidencia solicitados en cada bloque del libro. En general, es un listado de criterios o aspectos que te permiten valorar el nivel de aprendizaje, los conocimientos, habilidades, actitudes y/o desempeños alcanzados sobre un trabajo en particular. Puedes realizarlas de manera personal o como coevaluación.

Es una poderosa herramienta de análisis que te po-sibilitará verificar si has logrado algún desempeño, asimilar contenidos o si eres capaz de aplicar tus conocimientos, si has conseguido realizar un proce-dimiento de manera adecuada o si has obtenido soluciones correctas a un problema planteado.

Son un conjunto de acciones y propuestas que te permitirán hacer una recolección, siste-matización y un análisis de los desempeños y logros obtenidos a través del trabajo que realizaste durante cada bloque, éstos junto con el portafolio de evidencias, te ayudarán a obtener mejores resultados en las prácticas de evaluación que realice tu profesor/a.

nuestro sitio web, donde encontrarás material extra como videos, animaciones, audios y documentos que tienen el objetivo de ampliar tus conocimientos, dejar más claros algunos procesos complejos y actualizar de forma rápida y dinámica la información de todos los temas del plan de estudios de la DGB.

Instrumentos de evaluación

Portafolio de evidencias Rúbrica

Lista de cotejo

www.recursosacademicosenlinea-gep.com.mx

Al haber elegido este libro tienes acceso a

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n Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

n Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

n Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

n Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

n Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales.

n Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

1.1 Funciones

1.2 Relaciones

1.3 Regla de correspondencia

1B LO Q U E


Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

w

1. ¿Qué es una relación?

2. ¿Qué es una función?

3. ¿Cuándo una función es creciente?

4. ¿Cuándo una función es biyectiva?

5.

Identifica la variable independiente, la variable dependiente y la constante

(o constantes) en la expresión: ° °C F5 159

32( ), donde °F es la temperatura

Fahreheit y °C la temperatura Celsius (centígrada).

6. Halla el costo total C de n artículos iguales que tienen un precio de 50 unida-des de dinero cada uno.

7.

Aplica el concepto de función como regla de correspondencia para determinar si las relaciones f y G son o no son funciones. En cada caso fundamenta tu respuesta.

a) Sea f la relación que asocia a cada entidad federativa de la República Mexicana con su respectiva capital.

b) Sea G la relación que asocia a cada habitante que tiene teléfono en una ciudad con los números telefónicos de esa misma ciudad.

8.

De los siguientes conjuntos de pares ordenados identifica cuál es y cuál no es función. Fundamenta tu respuesta. En caso de que sea función, determina su dominio y su imagen.

a) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

b) {(1, a), (2, b), (2, c), (1, d)}


n Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

n Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

n Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

n Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Competencias por desarrollar Desempeños por alcanzar

Utiliza los criterios que definen a una función para establecer si una relación dada es funcional o no.Describe una función empleando diferentes tipos de registros y refiere su dominio y rango.Emplea la regla de correspondencia de una función y los valores del dominio implícito o explicito, para obtener las imágenes correspondientes.Aplica diferentes tipos de funciones en el análisis de situaciones.Utiliza operaciones entre funciones para simplificar procesos a través de nuevas relaciones.Aplica las nociones de relación y función para describir situaciones de su entorno.

4

BLOQUE 1 Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías?

Situación didáctica ¿Cómo lo resolverías?

Presenta un ejemplo de una relación que no sea función y fundamenta el por qué.

Presenta ejemplos de una función que sea:

a) Inyectiva pero no suprayectiva.

b) Suprayectiva pero no inyectiva.

c) Biyectiva.

Secuencia didáctica ¿Qué tienes que hacer?

Formen equipos para resolver el problema.

Que cada equipo represente las condiciones del problema.

Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resol-ver el problema.

Cada equipo debe investigar:¿Qué es una relación?

¿Qué es una función?

¿Cuáles formas se pueden utilizar para representar una relación?

¿Cuáles formas se pueden utilizar para representar una función?

¿Cómo se puede distinguir una relación que es función de una re-lación que no es función?

Trabajo individualCada participante debe hacer un registro de lo investigado y reali-zar los cálculos necesarios.

Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, regis-trado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las ac-tividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

Evaluación por productoA fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera clara.

En este ejemplo:

Producto a elaborarPresentar un ejemplo de una relación que no sea función y argu-mentar el por qué.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?

Para dar un ejemplo de una relación que no es función, se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califican con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedi-

miento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.

Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la eva-luación del mes.

5


Secuencia didáctica ¿Qué tienes que hacer?

Formen equipos para resolver el problema.

Que cada equipo represente las condiciones del problema.

Presenten los resultados en plenaria y analizen las formas de resol-ver el problema.

Cada equipo debe investigar:¿Qué es una función inyectiva?

¿Qué es una función suprayectiva?

¿Qué es una función biyectiva?

¿Cómo se distingue una función inyectiva que no es suprayectiva?

¿Cómo se distingue una función suprayectiva que no es inyectiva?

¿Cómo se distingue una función que es biyectiva?

Trabajo individualCada participante debe hacer un registro de lo investigado y pre-sentar ejemplos.

Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, regis-trado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las ac-tividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

Evaluación por productoA fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera clara:

Producto a elaborarPresentar los ejemplos solicitados con su respectiva fundamenta-ción.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?

Para presentar los ejemplos solicitados, se deben anexar los con-ceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la origina-lidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tie-

ne un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.

Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la eva-luación del mes.

6


Propuestas de diseño para situaciones didácticas

Ejercicios matemáticos 1 1. Determina las coordenadas de cada uno de los puntos marcados.

2. Localiza los siguientes puntos en un plano.

Ejercicios matemáticos 2A. Identifica la variable independiente, la variable depen-

diente y la constante, en cada uno de los casos siguientes:

1. Si un examen tiene 20 preguntas, halla la calificación C cuan-do el número de aciertos n es n 5 1, 2, 3,..., 20.

2. Un móvil se desplaza a una velo-cidad de 60 kilómetros por hora. ¿Qué distancia recorre en 1, 2, 3, 4 y 5 horas?

3. Una fuente luminosa tiene una potencia de 250 watts. Halla la intensidad de iluminación a una distancia de 1, 5, 10, 15 y 25 me-tros de la fuente.

A B

D

C

E

0

F

H

I

G

J

y

y’

xx’

4. Halla el costo total C de n artículos iguales que tienen un pre-cio de 50 unidades de dinero cada uno.

5. Determina el perímetro P de un polígono regular de n lados cuando su lado mide 3, 5, 7 y 11 metros.

6. Para una misma distancia (d), determina: la velocidad (v) de un móvil y el tiempo (t) que emplea en recorrerla.

7. ¿Cuál es el interés que produce un capital C cuando se invierte durante un tiempo t de 1, 2, 3, 4, 5 y 6 meses?

Figura 1.1

A(5, 4) B(–4, 6) C(–6, –2) D(5, –3)

E(4, 0) F(0, 5) G(–5, 0) H(0, 6)

I(–4, –6) J(0, 0)

3. Localiza en el plano coordenado a los puntos P (x, y) tales que:

a) x • y . 0 b) x • y , 0 c) x • y 5 0

7


8. Determina el importe t del consumo de electricidad de k kilova-tios hora que cuestan P unidades de dinero por kilovatio-hora.

9. Un automóvil tiene un tanque de combustible con capacidad de 40 litros. Si el rendimiento es de 10 kilómetros por litro, ha-lla la cantidad de combustible que queda en el tanque cuando se ha recorrido una distancia d de 0, 10, 100 y 200 kilómetros.

10. La población P de una ciudad se duplica cada n años, halla P cuando han transcurrido 2n, 3n y 4n años.

B. Identifica la variable independiente, la variable depen-diente y la constante (o constantes) en cada una de las ex-presiones siguientes:

1. A at 56 donde At es área total, a es arista del cubo.

2. V r543

3π donde V es el volumen de una esfera de radio r.

3. ° °C F5 159

32( ) donde °F es la temperatura Fahrenheit y °C

la temperatura Celsius (centígrada).

4. ° °F C5 295

32

5. S n5 2180 2( ) donde s es la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados.

6. y 5 x3, donde x y y son números reales.

7. A r54 2π donde A es el área total de una esfera de radio r.

8. V a5 3 donde V es el volumen de un cubo de arista a.

9. hgt

52

2 donde h es la altura de un cuerpo que cae libremente,

g es la constante de gravedad y t es el tiempo.

10. A 5 2πrh, donde A es el área lateral de un cilindro de radio r y altura h.

Ejercicios matemáticos 3A. Aplica el concepto de función como regla de correspon-

dencia para determinar cuáles son funciones y cuáles no. En cada caso, fundamenta tu respuesta:

1. Sea f la relación que asocia a cada entidad federativa de la Re-pública Mexicana con su respectiva capital.

2. Sea g la relación que asocia a los alumnos regulares de una es-cuela secundaria con el grado que cursan.

8


3. Sea h la relación que asocia a cada mujer que es madre con sus respectivos hijos.

4. Sea F la relación que asocia a cada habitante de una población con su respectivo tipo de sangre.

5. Sea G la relación que asocia a cada habitante que tiene teléfono en una ciudad con los números telefónicos de esa misma ciudad.

6. Sea H la relación que asocia a los autores literarios latinoameri-canos con sus respectivas obras.

7. Sea f la relación que asocia a cada número real no negativo con su respectivo cuadrado.

8. Sea g la relación que asocia a cada planeta de nuestro Sistema Solar con su respectiva distancia media al Sol.

9. Sea h la relación que asocia a cada persona con sus respectivas huellas digitales.

10. Sea F la relación que asocia los pasaportes con las personas que tienen pasaporte.

B. De los siguientes conjuntos de pares ordenados identifica cuáles son funciones y cuáles no. Fundamenta tu respues-ta. En el caso de los que son funciones, determina su domi-nio y su imagen:

1. {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

2. {(1, a), (2, b), (2, c), (1, d)}

3. {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)}

4. {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 2)}

5. {(4, a), (3, b), (2, c), (3, d)}

6. {(1, 4), (2, 8), (3, 12), (4, 16)}

7. {(2, 3), (3, 7), (5, 15), (2, 5), (10, 35)}

8. {(1, 7), (2, 7), (3, 7), (4, 7) (5, 7), (6, 7)}

9. {(1, 0), (2, 4), (3, 5), (2, 4) (3, 6), (4, 3)}

10. {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}

Ejercicios matemáticos 4 1. 5 7 4 2 3( ) ( )x x2 2#

2. 8 2 3 7 2 8( ) ( )x x2 2#

3. 2 3 7 2 5 2( ) ( )x x2 2$

4. 9 7 3 2 12 3( ) ( )x x2 2.

5. 7 3 4 2 12 3( ) ( )x x2 2.

6. 5 2 7 8 3 2( ) ( )x x2 2#

7. 5 2 3 2 3 6( ) ( )x x2 2.

8. 2 4 1 5 3 4( ) ( )x x2 2$

9. 5 4 4 3 2 1( ) ( )x x2 2 2.

10. 7 2 3 2 9 5( ) ( )x x2 2$

9


“E pur si muove” Y sin embargo (la Tierra) se mueve (alrededor del Sol).

Galileo

IntroducciónEste bloque inicia con algunos conceptos preliminares que son ne-cesarios para establecer una comunicación adecuada.

Las nociones de función y de relación se introducen a partir de ejemplos. Estos conceptos se amplían gradualmente.

Las funciones se presentan como una ecuación, como un conjunto de pares ordenados y se les representa por tablas o gráficas.

Se clasifica a las funciones por sus características y se les estudia por sus propiedades como inyectivas, suprayectivas y biyectivas.

Aunque no están en el programa, se consideró conveniente incluir el concepto de intervalo que se utiliza en diversas partes del curso.

Conceptos preliminaresCon el propósito de comprender la diferencia entre una relación y una función, es conveniente revisar algunos conceptos prelimina-res como los siguientes.

Los números reales. En el desarrollo de esta obra se utilizan los nú-meros reales. Algunos de sus subconjuntos más importantes son:

El conjunto de los números naturales que se denotan por � y se define así:

�5 1 2 3, , ,...{ }Donde los puntos suspensivos significan “y así sucesivamente”.

El conjunto de los números enteros que se denota por ¢ y se define así:

�5 2 2..., , , , , , , ,...3 2 1 0 1 2 3−{ }Que se puede expresar como:

�5 2 2 2..., , , , , ,...3 2 1 0 1 2 3{ }∪{ }∪{ }

O bien: � �5 2 2 2..., , ,3 2 1 0{ }∪{ }∪

En donde se observa que todo número natural es un número entero, por lo que utilizando la notación de subconjunto, se tiene que: � �⊂

El conjunto de los números racionales se denota por � y se define así:

� � �5aba b b∈ ∈ ≠{ }, , 0

Que se lee: “� el conjunto de números de la forma a entre b tales que a y b son números enteros y b es diferente de cero”.

Todo número entero se puede expresar como el cociente de dos enteros, la manera más simple de hacerlo consiste en dividirlo en-tre la unidad, como en:

551

331

001

5 5 5, ,

Por lo tanto: � �⊂Por definición, un número racional es el cociente de dos números enteros. Al efectuar la división se puede obtener un cociente exacto o aproximado de sus términos.

Tal es el caso de 14

que al efectuar la división da como resultado

0.25, o bien, 23

cuyo cociente es 0.666... A este tipo de expresiones

numéricas se les da el nombre de fracciones periódicas.

En teoría de conjuntos se establece y demuestra que los conjuntos A y B son iguales cuando A es subconjunto de B y B es subconjunto de A, es decir:

A 5 B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A

Que se lee: “conjunto A es igual a conjunto B si y sólo si el con-junto A es subconjunto del conjunto B y el conjunto B es sub-conjunto del conjunto A”.

Por otra parte, también se puede demostrar que a todo número racional le corresponde una expresión decimal periódica y toda expresión decimal periódica es igual a un número racional.

En consecuencia, � {números racionales} 5 {números decima-les periódicos}

El conjunto de los números irracionales se denota por �9 y está formado por todos los números decimales no periódicos como en el caso de π que es aproximadamente igual a 3.1415926535..., el

2 1 41425 . ... el e52 71828. ... sus simétricos y todos los demás decimales no periódicos.

De lo anterior se concluye que:

{Decimales periódicos} ∩ {Decimales no periódicos} 5 [

{Decimales periódicos} ∪ {Decimales no periódicos} 5 {deci-males} 5 {reales}

Lo cual se puede representar así:

10


Reales

Irracionales

Racionales

Enteros

Naturales

Figura 1.2

Sistema coordenado rectangularConsiste en dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto 0 al que se llama origen del sistema.

y

y’

xx’

Q(–3, 4)

R(–4, –3)

S(4, –5)

P(x, y)

III

III IV

Figura 1.3

Dichas rectas se llaman ejes coordenados. Al eje horizontal se le llama eje x x’, eje x o eje de las abscisas. Al vertical se le llama y y’, eje y o eje de las ordenadas; los puntos del eje x a la derecha del origen están asociados con números positivos y los puntos que están a la izquierda del origen se asocian con números negativos. De manera semejante, en el eje y los puntos que están arriba del origen se aso-cian con números positivos y los que están abajo del origen con números negativos.

Los ejes pertenecen a un plano que se divide en cuatro regiones llamadas cuadrantes, que se numeran como se indica en la figura anterior.

Generalmente, se elige la misma unidad de medida en ambos ejes a partir del origen y se trazan las marcas que se asocian con números enteros, de manera que a cada punto del plano se le asocia un par de números, e inversamente, a cada par ordenado de números le corresponde un punto del plano.

Un punto P del plano se localiza trazando desde él perpendiculares a los ejes x y y. Los valores de x y y de los puntos de in-tersección de estas perpendiculares con los ejes son respectivamente la abscisa (coordenada x) y la ordenada (coordena-da y) del punto P que se simboliza como P x y( , ) y se lee: “punto P de coordenadas

equis, ye”. En la figura anterior, el punto P tiene como coordenadas (5, 3), y el pun-to Q tiene como coordenadas (–3, 4).

Cuando se dan las coordenadas de un punto para representarlo en el plano se procede a la inversa, es decir, si un punto R tiene como coordenadas (–4, –3), pri-mero se localizan el –4 en el eje x y el –3 en el eje y, a partir de estos puntos se tra-zan perpendiculares a los ejes y en el pun-to donde se cortan esas perpendiculares está el punto que se quiere representar.

De esta manera se han representado los puntos R (–4, –3) y S (4, –5).

Reales

Racionales

Racionales positivosEnteros positivos (naturales)Fracciones comunes y decimales positivos

Cero (entero)

Racionales negativosEnteros negativosFracciones comunes y decimales negativos

IrracionalesPositivosNegativos

11


1.1 FuncionesA partir de los conceptos revisados se introduce la noción de fun-ción. Este concepto es muy importante dentro de las matemáticas. Los dos problemas que se estudian a continuación nos permitirán comprenderlo para después formalizarlo y estudiarlo con mayor amplitud.

Si un vehículo se mueve a una velocidad constante de 80 kilómetros por hora, halla la distancia que recorre en 1, 2, 3, 4, 5 y 6 horas.

Solución:

Sabemos que la velocidad uniforme es aquella que no varía con el tiempo. También que la velocidad es el cociente que resulta de dividir

Ejemplo

la distancia recorrida entre el tiempo empleado en recorrerla, es decir:

velocidaddistancia

tiempo5

o bien: v 5 d

t

de donde: 80 5 d

1 , por tanto d 5 80

80 5 d


80 5 d


80 5 d

4 , por tanto d 5320

80 5 d


80 5 d


Con los valores dados y los obtenidos puedes construir una tabla.

t 1 2 3 4 5 6

d 80 160 240 320 400 480

En ella puedes observar que la velocidad es una constante, es decir:

vdt

5 5 5 5 5 5 5 5801

1602

2403

3204

4005

4806

80

También puedes observar que los valores que toma la distancia de-penden de los valores que toma el tiempo, de manera que a menor tiempo corresponde menor distancia y a mayor tiempo corresponde mayor distancia. Por tanto, la distancia y el tiempo son variables.

La variable a la que se asignan valores, en este caso el tiempo, se de-nomina variable independiente; la variable cuyo valor se determina por el que toma aquélla, la distancia en este caso, se llama variable dependiente o función.

En este problema, en consecuencia, la distancia es una función del tiempo.

Galileo

Cuando Galileo estudiaba en Pisa observó, en una catedral, que una lámpara oscilaba regularmente. Una vez en casa experimentó con bo-litas de plomo atadas a hilos de diferentes longitudes y encontró que, sin importar la magnitud de la oscilación o el peso del plomo, la bolita tardaba el mismo tiempo en recorrer la ida que la vuelta. Sólo el cam-bio de la longitud afectaba el tiempo de la oscilación. Esta observación condujo al invento del péndulo, utilizado en instrumentos de precisión para medir el tiempo, como los relojes.

Desde lo alto de la torre de Pisa dejó caer dos bolas de plomo, una de una libra y otra de 10 libras y éstas llegaron al suelo aproximadamente al mismo tiempo. De esta manera comprobó que era falsa la afirmación de Aristóteles: la velocidad de los objetos es proporcional a su peso.

Construyó un plano inclinado con el que formuló sus teorías sobre las relaciones que guardan entre sí, la velocidad, la distancia y el tiempo.

La obra de Galileo sirvió de base para la formulación de las leyes del movimiento de Newton. Su método de experimentación y observación directa ha sido fundamental para el desarrollo de la ciencia moderna.

Para tu reflexión

12


Los valores de la tabla se pueden representar en el plano coordena-do para trazar la gráfica correspondiente. Dichos valores también se pueden disponer en una tabla en forma vertical.

Los valores de la tabla se colocan de manera que queden en el pri-mer renglón (o primera columna) los que corresponden a la varia-ble independiente y en el segundo renglón (o segunda columna), los que corresponden a la variable dependiente o función.

t d Distancia

1 80

2 160

3 240

4 320

5 400

6 480

Distancia

Tiempo1 2 3 4 5 60

80

160

240

320

400

480

Figura 1.4

En el plano coordenado, los valores de la variable independiente se localizan en el eje x o eje de las abscisas, mientras que los de la variable dependiente (o función) se localizan en el eje de las y o eje de las ordenadas.

Se desea delimitar un terreno que tiene forma de cuadrado. Calcula el número de metros lineales de cerca que se necesitan si la longitud del lado mide 10, 12, 14, 16, 18 y 20 metros.

Solución:

Por la geometría sabemos que el perímetro del cuadrado se obtiene sumando las longitudes de sus lados, que tienen la misma medida, por lo que si designamos el perímetro con P y la longitud del lado igual con a, entonces:

Ejemplo

P a a a a5 1 1 1

O bien: P 5 4a

De donde: P 5 4(10) por tanto, P 5 40

P 5 4(12) por tanto, P 5 48

P 5 4(14) por tanto, P 5 56

P 5 4(16) por tanto, P 5 64

P 5 4(18) por tanto, P 5 72

P 5 4(20) por tanto, P 5 80

Con los valores obtenidos se puede construir la tabla:

a 10 12 14 16 18 20

P 40 48 56 64 72 80

En esta tabla puedes observar que si se divide el perímetro entre la longitud de lado correspondiente se obtiene como constante 4, que es el número de lados de la figura.

Pa

5 5 5 5 5 5 54010

4812

5614

6416

7218

8020

4

También puedes observar que los valores que toma el perímetro de-penden de los valores que toma la longitud del lado de manera que a menor longitud del lado corresponde menor perímetro y a mayor longitud del lado corresponde mayor perímetro. Por tanto, el perí-metro y la longitud del lado son las variables, a es la variable inde-pendiente y P es la variable dependiente o función. Dicho en otras palabras, el perímetro P es una función de la longitud del lado a.

Si se representan los valores de la tabla en el plano coordenado, se puede trazar la gráfica correspondiente en la siguiente figura.

13


Da tres ejemplos en los que se aplique el concepto de variable e iden-tifícala.

Expresa un ejemplo de una función como una ecuación, como una tabla o por medio de una gráfica.


Perímetro

Longitud del lado

20

40

60

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Figura 1.5

Este tipo de relaciones también se establece entre las variables que intervienen en el estudio de un determinado fenómeno de la natu-raleza, social, etc., ya sea para calcular un valor preciso, o bien, para hacer una estimación de los valores entre los cuales se espera un resultado.

1.2 Relaciones

Dominio, contradominio e imagenCon los ejemplos anteriores se ha tenido una aproximación a los conceptos de función y de relación que es necesario ampliar gra-dualmente.

Una relación es una regla de correspondencia que se establece entre los elementos de un primer conjunto que se llama dominio con los elementos de un segundo conjunto que se llama contra-dominio (codominio), de tal manera que a cada elemento del dominio corresponde uno o más elementos en el contradominio.

Una función es una relación en la que a cada elemento del domi-nio corresponde uno y sólo un elemento del contradominio.

Cada elemento del contradominio que está relacionado con algún elemento del dominio recibe el nombre de imagen de éste. Al con-junto de imágenes se le llama rango o dominio de imágenes. El rango es un subconjunto, propio o impropio, del contradominio.

Los ejemplos que se presentan a continuación son para introducir la noción de relación. Una relación establece la correspondencia o asociación entre los elementos de dos conjuntos de objetos.

1. A cada persona se le asocia:Una edad, Una estatura, Un peso, Etcétera.

2. A cada automóvil se le asocia:Un modelo, Un número de motor, Un número de placas (matrícula), Etcétera.

3. En un almacén a cada artículo se le asocia:

Un precio, Un número de inventario, Un volumen, Etcétera.

4. A cada país se le asocia:

Un régimen socioeconómico, Una superficie, Una altura sobre el nivel del mar, Un clima, Etcétera.

Ejemplos

14


1.3 Regla de correspondenciaEn consecuencia, toda función es una relación, pero algunas re-laciones no son funciones.

Para distinguir entre unas y otras veamos los ejemplos siguientes:

1. Dominio Contradominio

País Capital

Canadá

Estados Unidos

Francia

Inglaterra

Ottawa

Washington

París

Londres

En esta relación, la regla de correspondencia se establece entre cada país y su respectiva capital. Como a cada elemento del do-minio corresponde uno y sólo uno del contradominio entonces la relación es una función.


Marca de automóvil País

Fiat

Renault

Citröen

Toyota

Italia

Francia

Japón

En esta relación, la regla de correspondencia se establece entre una marca de automóvil y el país al cual pertenece su patente. Observa que dos elementos del dominio están relacionados con un mismo elemento del contradominio; sin embargo, a cada elemento del do-minio corresponde uno y sólo uno del contradominio, por tanto, esta relación es una función.


País Idioma oficial

Francia

Canadá

Inglaterra

Francés

Inglés

La regla de correspondencia de esta relación se establece entre cada país y el idioma oficial que se habla en él. Puedes observar que un elemento del dominio (Canadá) está relacionado con dos ele-mentos del contradominio (francés e inglés). Esta relación no es una función porque no cumple el criterio de que a cada elemento del dominio corresponde uno y sólo uno del contradominio.


x x2

2

1

0

–1

–2

0

1

4

En esta relación, la regla de correspondencia se establece entre un número y su respectivo cuadrado. Observa que los elementos del dominio (2 y 22) están relacionados con un mismo elemento del contradominio (4), lo mismo ocurre con el 1 y 21 que están relacionados con el 1; sin embargo, se cumple con el criterio de que a cada elemento del dominio corresponde uno y sólo uno del contradominio y, por tanto, esta relación es una función.

La mayoría de los dominios y contradominios a que haremos refe-rencia son conjuntos de números cuyos elementos estarán asocia-dos mediante una regla de correspondencia que se expresa como una ecuación con dos variables.

Describe un ejemplo de relación e identifica su dominio y contrado-minio.


Funciones de formas distintas y equivalentesPara representar una función se utiliza la notación siguiente: si en una función al dominio se le llama conjunto A y al contradominio conjunto B, entonces la función se simboliza: f : A → Bf .

O bien: A → B.

Que en ambos casos se lee: “función de A en B”.

Un elemento cualquiera del dominio se representa con la letra x (variable independiente). Un elemento cualquiera del contrado-minio se representa con la letra y (variable dependiente o función). El elemento y de B correspondiente a un elemento x de A recibe el nombre de imagen de éste.

15


Una función es una relación en la que no hay dos pares ordenados diferentes con el mismo primer elemento.

En los dos problemas, referidos a la velocidad constante y al pe-rímetro de un cuadrado, la función se ha representado por una ecuación con dos variables, por una tabla de valores que satisfacen la ecuación y por una gráfica en el plano coordenado. La ecuación nos da información completa y precisa en general, pero cuando se desea conocer un caso particular, unos cuantos valores expre-sados en una tabla nos da información sobre su comportamiento y si esos valores se representan con puntos en el plano se puede obtener el bosquejo de una gráfica del problema que se quiere re-solver.

Gradualmente se irán incorporando más elementos en el estudio de la ecuación, la función y sus respectivas gráficas.

Una variable es un símbolo que representa un elemento cualquie-ra de un conjunto específico de números. Una constante es un símbolo al que sólo se le puede asignar un valo

El elemento y de B que es imagen de un elemento x de A se simbo-liza de esta manera: y 5 f (x) que se lee “y es imagen de x según la función f ” o simplemente “y igual a f de x”. Como y 5 f (x) , el par ordenado (x, y) se puede expresar de la siguiente forma: (x, y) 5 (x, f (x)).

En un ejemplo anterior se establece la relación entre un número y su respectivo cuadrado. La regla de correspondencia se puede expresar así:

y 5 x 2

O bien: f (x ) 5 x 2

El dominio de esta función es A 5 {2, 1, 0, –1, –2} , de manera que las imágenes de los elementos de A se obtienen o expresan como sigue:

f ( )2 2 425 5 “4 es la imagen de 2”

f ( )1 1 125 5 “1 es la imagen de 1”

f ( )0 0 025 5 “0 es la imagen de 0”

f ( ) ( )2 5 2 51 1 12 “1 es la imagen de –1”

f ( ) ( )2 2 52 2 42= “4 es la imagen de –2”

Con estos valores se obtienen los pares ordenados (2, 4), (1, 1), (0, 0), (–1, 1) y (–2, 4), por lo que la función f también se puede expre-sar como un conjunto de pares ordenados así:

f 5 2 2{( , ),( , ),( , ),( , ),( , )}2 4 1 1 0 0 1 1 2 4

Ejemplos

Como puedes observar, la primera componente de cada par or-denado es un elemento del dominio y la segunda componente o imagen es un elemento de contradominio. Sin embargo, no todo conjunto de pares ordenados representa una función en la cual, por definición, a cada elemento del dominio corresponde una y sólo una imagen.

Si al aplicar este criterio en un conjunto de pares ordenados se observa que no existen dos pares diferentes con el mismo primer elemento entonces es una función. En caso de que dentro del con-junto de pares ordenados existan dos diferentes con el mismo pri-mer elemento, significará que un elemento del dominio tiene dos imágenes y por tanto no es una función.

Anteriormente se dieron los conceptos de relación y de función como una regla de correspondencia. Con base en la información adicional podemos definir cada una de ellas de manera equivalente como un conjunto.

Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados de ele-mentos.

1. La longitud C de una circunferencia de radio r se puede determi-nar con la C 5 2pr donde 2 y π son constantes mientras que C y r son variables y como el valor de C depende del valor que toma r, se dice que la longitud de una circunferencia es una función de su radio.

2. El área A de un cuadrado de lado l se puede obtener con la fórmula A 5 l 2 en la que 2 es una constante, A y l son las variables y como el valor de A depende del valor que tome l se dice que el área de un cuadrado es una función de su lado.

Ejemplos

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¿A qué se le llama imagen?

En una función expresada como un conjunto de pares ordenados:

¿Qué nombre se da al conjunto formado por el primer componente de cada pareja?

¿Qué nombre se da al conjunto formado por el segundo componente de cada pareja?

Explica por qué toda función es una relación pero no toda relación es una función.


Clasificación de las funciones como: algebraicas y trascendentes, continuas y discontinuas y uno a uno, sobre y biunívocasEl estudio de las funciones se facilita si las clasificamos por sus ca-racterísticas.

Algebraicas y trascendentesDe manera general, es posible clasificar las funciones en algebrai-cas y trascendentes.

Una función algebraica es aquella cuyo valor puede ser obtenido mediante un número finito de operaciones algebraicas.

f xx

( )51

Una función irracional es aquella que contiene variables con exponen-tes fraccionarios.

Ejemplo

y x5sen

f xx

( )

5

12

y x5log 2

Ejemplo

Continuas y discontinuasDe manera intuitiva se dice que una función es continua cuando su gráfica se puede hacer de un solo trazo sin despegar el lápiz del pa-

f x x x( )5 1 22 2 3

Las funciones algebraicas pueden ser racionales o irracionales.

Una función racional es aquella en la que las variables no figuran con exponentes fraccionarios.

Ejemplo

En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Nosotros formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo.

Investiga cuál es el proceso de producción del papel.

Investiga qué cantidad de papel se produce en nuestro país al año.

Investiga qué cantidad de ese papel se utiliza para impresión.

Elabora una expresión algebraica que relacione las dos cantidades anteriores.

¿Qué se puede hacer para reducir al mínimo el consumo de papel?

Investiga y elabora propuestas concretas sobre lo que podemos hacer para cuidar nuestro medio.

Aplica lo que sabes

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Cuando la gráfica de una función no tiene interrupciones ni saltos, se dice que es

Presenta una gráfica que ilustre una función continua o una función dis-continua.


Crecientes y decrecientesFunción creciente. Si los puntos x1, x2 son tales que x1 , x2, como se ilustra en la figura, y se obtienen sus respectivas imágenes que mantienen la siguiente relación f x f x1 2( ) ( ), , entonces la repre-sentación geométrica corresponde a una función creciente, es de-cir, cuando x x f x f x1 2 1 2, ,⇒ ( ) ( ) .

f(x)

f(x3)

x3

f(x2)

x2

f(x1)

x1x

Figura 1.6

En la figura 1.6 también puedes observar que el ángulo de inclina-ción de la recta es agudo, en consecuencia la pendiente es positiva, m . 0. Por tanto, decir que una función lineal es creciente sig-nifica que tiene pendiente positiva y viceversa. Función decreciente. Cuando los puntos x1, x2 son tales que x x1 2, y sus respectivas imágenes guardan entre sí la relación f x f x1 2( ) ( ). de manera que x x f x f x1 2 1 2, ⇒ ( ) ( ). enton-

ces se trata de una función decreciente. Dicho de otra manera, cuan-do al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de sus respec-tivas imágenes se trata de una función creciente; pero si al aumentar el valor de x disminuye el de sus respectivas imágenes, entonces la función es decreciente.

f(x)

f(x3)

x3

f(x2)

x2

f(x3)

x1x

Figura 1.7

En la figura 1.7 el ángulo de inclinación de la recta es obtuso, en consecuencia la pendiente es negativa , m , 0. Por tanto, decir que una función lineal es decreciente significa que tiene pendien-te negativa y viceversa.

Cuando la recta es paralela al eje x, su ángulo de inclinación es 0º, por ello su pendiente es cero. Esto significa que la función corres-pondiente no es creciente ni decreciente.

Lo ya expuesto nos permite, mediante una simple inspección de la expresión algebraica de la función lineal, identificar cuándo es creciente (m . 0) o decreciente (m , 0).

pel. En caso contrario se dice que la función es discontinua. Esto lo puedes observar, por ejemplo, en las gráficas de las funciones seno y tangente, respectivamente.

Si una función es creciente, entonces su pendiente es:

Si una función es decreciente, entonces su pendiente es:


primera edición ebook 2014 - Grupo Editorial Patria · 3 .4 Características de las funciones polinomiales de grados cero, uno y dos ... Empleas funciones polinomiales de grados

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