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BLOQUE III EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS CERO, UNO Y DOS
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Bloque 3 (Funciones Polinomiales de Grados Cero, Uno y Dos

Apr 08, 2016

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BLOQUE III

EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE

GRADOS CERO, UNO Y DOS

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DESEMPEÑOS A DEMOSTRAR:

Compara el modelo general de las funciones polinominales con los de funciones particulares y determina si corresponden a dicha clase de funciones.

Identifica la forma polinominal de las funciones constante, lineal y cuadrática, así como sus gráficas respectivas.

Determina si la situación corresponde a un modelo lineal o cuadrático empleando los criterios de comportamiento de datos en tablas, descripción de enunciados, tipos de gráficas y regularidades particulares observadas.

Emplea los modelos lineales y cuadráticos para describir situaciones teóricas o prácticas que implican, o no, razones de crecimiento o decrecimiento constante que se asocian con dichos modelos.

Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta que contenía 10% de proteína. La proteína consistía en levadura y harina de maíz. Variando el porcentaje P de levadura en la mezcla de proteína se estimó que el peso promedio ganado w (en gramos) de una rata en cierto período fue de

w =

150

P 2 2P 20.

Construye la gráfica de esta función. Según la gráfica, encuentra el máximo peso ganado, ¿cuál es la cantidad de levadura que debe darse a las ratas para obtener el peso máximo?

Sugerencia: Toma valores entre 0 y 100, para P, usando el % sin convertirlo a decimal.

Situación didáctica

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Funciones polinomiales Generalmente las funciones polinomiales tienen la siguiente notación: p(x)= anxn + an-1xn-1 + …. + a2x2 + a1x1 + a0x0 donde a= coeficiente, n= potencia o grado y cumple con las siguientes características:

an, an-1, an-2, y a0 son valores constantes, denominados coeficientes de la función.

El coeficiente principal es an, porque acompaña a la potencia mayor del polinomio y

cumple con la característica a 0.

n es un número entero no negativo que representa el grado del polinomio.

Nota: cualquier número elevado a una potencia CERO es igual a UNO.

Características de las funciones polinomiales Es importante recordar que el grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de la variable en el polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos, como se muestra en las siguientes funciones: 1. f(x)= 7 , es de grado cero, se le conoce como función constante. 2. f(x)= 4x- 5, es de grado uno, también conocida como función lineal. 3. f(x)= 5x2 - 2x + 1 es de grado dos, se le conoce como función cuadrática. 4. f(x)= -x3 + 3x2 - 1 es de grado tres y se le conoce como función cúbica. 5. f(x)= 2x4-x3-7x es de grado cuatro y se le conoce como función cuártica. Las 3 funciones particulares de un polinomio más importantes son: la función lineal, cuadrática, cúbica. De cada una de ellas se analizará su comportamiento gráfico, su dominio y su rango, al igual que las aplicaciones que pueden tener. Ejemplo: f(x)= 3x3+4x-5 f(x)= 7x2-√5 x -1 f(x)= 9x+6

Función constante o grado cero

Está definida por f(x)=C, donde la C es un número real cualquiera. Su gráfica es una línea recta horizontal paralela al eje de las X, si dominio son todos los números reales y sus imágenes el valor constante.

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El grado del polinomio es igual a CERO y se representa por: f(x)= a0 o y= c

y= 2

y= -3

Función lineal o de grado uno

Se presenta la ecuación del tipo y= mx + b, que está en su forma pendiente-ordenada en el origen. Analizando los parámetros, se tiene que:

“m” es la pendiente de la recta, la cual está relacionada con su inclinación en el plano, además es el coeficiente de la variable.

“b” es llamada ordenada al origen y es la constante que indica el lugar por donde la recta cruza el eje Y, además se le denomina término independiente.

“x” es la variable independiente.

Todas aquellas gráficas que representen un lugar geométrico con líneas rectas, su grado máximo de potencia será UNO. Además toda función lineal tiene la característica de que su dominio y rango son intervalos abiertos, por tanto se pueden construir gráficas con sólo asignarle 2 valores a una función.

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Existen varios métodos para graficar funciones lineales, tal como:

Sustituir valores en tablas.

Usando los parámetros de m y b

Haciendo la intersección en los ejes.

Los parámetros en el comportamiento gráfico de la función dicen mucho, como es el caso de la pendiente, cuando el ángulo de inclinación es mayor que 0º y menor que 45º, la pendiente es mayor que cero y menor que uno; cuando el valor de la pendiente es mayor que uno su ángulo de inclinación es mayor que 45º y menor que 90º; y en el caso de tener pendiente negativa, el ángulo de inclinación es mayor de 90º y menor que 180º. Vamos analizando las siguientes funciones: y= 2x + 2

y= x + 2

y= x + 2

y= x + 2

y= x + 2

Como las pendientes son positivas, las gráficas son crecientes; la velocidad de crecimiento está determinada por la inclinación de la pendiente, esto es entre menor sea ésta, el crecimiento será más lento y la recta estará más cerca del eje X, por tanto entre más grande sea la pendiente, la velocidad de crecimiento será más rápida, es decir, la recta estará más cerca del eje Y. Ahora se analiza el caso en el que la pendiente es negativa.

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Ejemplo 1. Graficar las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano: 1.- y= -x + 2

2.- y=- x + 2

3.- y= -2x + 2

4.- y=- x + 1

5.- y=- x + 1

6.- y= -4x + 1

¿Cómo se comportan las gráficas?, ¿son crecientes o decrecientes? ¿Cuando las pendientes negativas son grandes, siguen cumpliendo con la misma condición de las pendientes positivas, es decir, se acercan al eje de la Y? ¿Hacia qué eje se acercan las pendientes negativas pequeñas? El comportamiento que tienen las funciones lineales ayuda a visualizar rápidamente la gráfica, y con ello, visualizar la solución de problemas que se describen mediante funciones, en este caso, lineales. El uso principal de las funciones lineales es la variación directa, la cual es una relación directa entre dos variables, esto significa que al aumentar una, aumenta la otra; la variación que sufre una variable con respecto a la otra se puede observar mejor en una tabla o en la regla de

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correspondencia. Esto es la razón de cambio entre 2 magnitudes que tengan una variación directa entre ellas. A través de las funciones se pueden modelar fenómenos de la vida cotidiana, con el propósito de poder analizar y describir hechos sin necesidad de realizar cálculos complicados de cada evento del fenómeno por separado. m= y2 - y1

x2 - x1

es igual a:

풎 = 횫풚횫풙

Ejemplo 1:

Un tanque tiene una capacidad de 1500 litros. Si se sabe que diariamente se consumen 150 litros, considerando que el tanque no se está rellenando sino vaciando. ¿Cuál será el modelo matemático y la gráfica que representa el consumo total del tanque de agua?

La razón de cambio de la función está dada por:

Cantidad de litros del tanque Consumo diario de agua

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En relación con esto podemos deducir que el tinaco se vaciaría en: 1500 litros = 10 días. 150 litros/día Considerando los días como la variable independiente y la cantidad de litros del tanque como la variable dependiente, podemos definir el par ordenado (días, litros del tanque). Al principio tendremos (0,1500) y al término (10,0). Entonces el valor de la pendiente es: m= 0 - 1500 = -150 10 - 0 De manera física, esto explica que cada día se consume esa cantidad de litros de agua. Ahora encontraremos la ecuación del modelo lineal que explica cómo se vacía el tanque. Consideremos el punto (0,1500) y la pendiente m= -150, la ecuación queda así:

y - y1= m(x - x1)

y - 1500= -150(x - 0)

y - 1500= -150x

y= - 150x + 1500

f(x)= - 150x + 1500

X y 0 1500 1 1350 2 1200 3 1050 4 900 5 750 6 600 7 450 8 300 9 150

10 0

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Secuencia didáctica 1: La polución del aire se compone de muchos tipos de gases, gotitas y partículas que reducen la calidad el aire. El aire puede estar contaminado, tanto en la ciudad como en el campo. En la ciudad, la polución del aire puede ser causada por automóviles, camiones y aviones, al igual que por la industria y la construcción. La polución del aire en el campo puede ser causada por el polvo de los tractores que están arando los campos, camiones y automóviles que están manejando por carreteras destapadas o con gravilla, por canteras de donde extraen piedras, por humo de fuego de madera y de fuego de cultivos. Se mide el nivel de polución del aire en una ciudad durante un día, desde las 8 horas hasta las 18 horas. Sea “p” el nivel de polución, medido en partes por millón, y “t” el tiempo en horas, después de 8 horas. Sabiendo que a las 10 horas el nivel de polución era de 50 partes por millón (ppm), y que crece uniformemente a razón de 15 partes por millón por hora. a) Identificar la pendiente y un punto de la función: b) Escribir la función que modela la polución en función del tiempo transcurrido: c) Graficar la polución como función del tiempo transcurrido:

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En los siguientes ejercicios encuentra lo que se te pide. 1. Por el alquiler de un auto cobran $500 diarios más $20 por kilómetro. Encuentra la ecuación

de la recta que relaciona el costo diario con el número de kilómetros. Si en un día se ha hecho un total de 300 km.

a) ¿Cuál es el valor de la pendiente?

b) ¿Cuál es el valor de la ordenada al origen?

c) ¿Cuánto hay que pagar de importe por el uso del auto?

d) ¿Traza la gráfica que describe el comportamiento?

2. Se ha observado que el crecimiento de una planta es directamente proporcional al tiempo, en su primer medición el resultado fue de 2.0 cm, después de la primera semana ésta mide 2.5 cm.

a) ¿Cuál es la función a fin que da la altura de la planta en función del tiempo?

b) Si han pasado 10 semanas, ¿cuánto mide la planta?

c) Traza la gráfica que describe el crecimiento de la planta:

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3. Una compañía refresquera sabe que producir 1,200 refrescos tiene un costo de $6,000 y que si se producen 3,200 el costo es de $4,700. Si se sabe que el costo varía de manera lineal con respecto a la cantidad producida.

a) ¿Cuál es el valor de la pendiente?

b) ¿Cuál es la función que describe el comportamiento de la producción?

c) ¿Cuánto costará producir 7,000 refrescos?

d) Traza la gráfica que represente el problema:

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Función cuadrática o grado dos Este tipo de función representa a una polinomial, cuya característica principal es que su grado máximo es 2. Su expresión analítica es f(x)= a2x2 + ax + a0, de tal forma que a2= a, a1= b y a0= c queda expresada de la siguiente manera f(x)= ax2 + bx + c, más bien conocida como forma general, con la condición de que su coeficiente principal debe ser diferente de cero. Sus componentes son: ax2 Término cuadrático bx Término lineal C Término independiente La clasificación de las ecuaciones cuadráticas depende de los términos que aparezcan en ellas. Se les llama completas cuando poseen todos los términos, e incompletas cuando carecen de alguno. Si no tiene el término lineal se denominan puras, y si no aparece el término independiente se conocen como mixtas. En el siguiente esquema observarás su estructura: Funciones completas: f(x)= ax2 + bx + c Clasificación de las funciones cuadráticas Funciones puras: f(x)= ax2 + c Funciones incompletas Funciones mixtas: f(x)= ax2 + bx Cuando se completan los cuadrados perfectos se puede representar en su forma estándar: y= a(x-h)2 + k, donde h y k serán las coordenadas del vértice de la parábola. El análisis de la forma general es el siguiente: 1.- Si el coeficiente de a 0, la función es creciente y cóncava hacia arriba.

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2.- Si el coeficiente de a 0, la función es decreciente y cóncava hacia abajo:

m Nota: Este tipo de funciones presentan un máximo o un mínimo, el cual está dado por el valor del término a, donde a0.

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3.- Este tipo de función presenta 2 raíces y dependen del discriminante:

Si b2 - 4ac 0, tendrá 2 raíces diferentes.

Si b2 - 4ac = 0, presentará 2 raíces reales iguales.

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Si b2 - 4ac 0, poseerá 2 raíces imaginarias.

. Las gráficas de una función cuadrática presentan simetría con respecto a una recta paralela al eje y, la cual divide exactamente la parábola en 2 partes iguales. Recuerda que el punto donde la recta corta a la parábola de manera simétrica se le llama vértice, que es también el punto donde una parábola cambia, es decir, decrece o crece, abre hacia arriba o hacia abajo .

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Las coordenadas del vértice se obtienen mediante la siguiente relación:

V -b, 4ac - b2 2a 4a Por ejemplo:

1. Un jugador de beisbol batea una pelota que describe la trayectoria parabólica, definida por h= -3t2 + 6t + 9. ¿Cuál es la altura máxima y en qué tiempo lo logra?

Las coordenadas del vértice serán V( t, h ), al aplicar la fórmula queda así:

V -(6), 4(-3)(9) - (6)2 2(3) 4(-3) V -6, -108 - 36 6 -12 V 1, -144 -12 V ( 1,12)

Como el vértice está dado en el punto (1,12), representa el lugar donde se presenta el máximo cuya concavidad es hacia abajo. Al compararlo con V( t, h) se tiene que la pelota alcanzará su altura máxima de 12 metros durante el primer minuto.

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Secuencia didáctica 2

Lanzamos un proyectil. La altura alcanzada y (en km) y los kilómetros recorridos x están relacionados por la ecuación y = -2x2 + 4x. A 1 km del lugar de lanzamiento se encuentra una montaña cuya ladera oeste sigue la recta de ecuación y = 6x - 6. Hallar el punto de la montaña donde se producirá el impacto.

Realiza lo que se te pide en los siguientes ejercicios, así como la gráfica correspondiente

1. El dueño de un terreno quiere cercar un terreno rectangular, sólo cuenta con 120 metros de tela ciclónica, si de un extremo existe un río.

a) ¿Cuál es la ecuación?

b) ¿Cuánto mide de ancho y cuánto de longitud?

c) ¿Cuál es el área máxima a cercar?

2. Juan está parado en el techo de un edificio, arroja una pelota hacia arriba desde una altura de 30 metros con una velocidad inicial de 5 m/s. Si la altura máxima se encuentra

determinada por h= at + v t + h

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a) ¿Cuánto tiempo ha transcurrido después de que se lanzó la pelota, si se encuentra a 10 metros del piso?

b) ¿Cuánto tiempo tardará en caer al piso?

c) ¿Cuál será la altura máxima alcanzada por la pelota?

Actividad 1 Dadas las siguientes funciones, determina qué tipo de función son, grafícalas y anota las características que tiene cada gráfica.

Función Nombre Características

y = 2x - 1

y = 4

y = x2 - 4

y = x + 2

y = x2 – 3x + 2

y= -x +1

y= -2

y= x2 + 2x + 3

y= -3x - 2

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A partir de las siguientes gráficas determina Dominio, rango, el tipo de función de que se trata y escribe la ecuación asociada, según las intersecciones con los ejes.

Gráfica Función y características

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Actividad 2

Resuelve los siguientes problemas:

1. Una empresa de refrigeradores estima que el costo de producción de 50 unidades es igual a $200,000 y $240,000 si se fabrican 130 unidades. Esta empresa sabe que el costo unitario de los refrigeradores tienen una relación directa con la cantidad total de unidades producidas, así que a mayor producción menor costo. Encuentra la ecuación que representa el costo de producir un refrigerador y cuánto costaría producir 150 refrigeradores:

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2. Una casa fue comprada en 1990 en $1'200,000 y en 2005 fue vendida en $5'600,000. Suponiendo que el valor de la casa se incrementa de manera lineal, encuentra la ecuación que relaciona:

a) El valor de la casa con el tiempo. b) El valor de la casa en 1996. c) Cuánto costará para 2020

3. Una máquina se compra a un precio de $4'000,000. Se sabe que al pasar 4 años se

deprecia y su valor será de $3'120,200. Si la depreciación se comporta de manera lineal con respecto al tiempo. Encuentra:

a) La función que describe el comportamiento. b) El valor de la máquina dentro de 6 años.

4. Una empresa vende computadoras netbook en 300 dlls. cada una. Si se fabrican X

cantidades de unidades al día y si el costo se representa por la ecuación C(x)= -x2 + 98x -720. ¿Cuál es la cantidad de unidades a producir para obtener la máxima utilidad?

5. La dosis en mg de antibiótico que se suministra a niños menores de 10 años, depende en forma lineal del peso del niño. Para un niño de 3 kg se suministra 40 mg y para un niño de 4 kg se suministra 65 kg.

a) Calcular la función que da la dosis del medicamento, dependiendo del peso. b) ¿Cuánto debe recetarse a un niño que pesa 7.5 kg?

6. Chirrido de grillos. Los biólogos han encontrado que el número de chirridos por minuto

hechos por los grillos de cierta especie están relacionados con la temperatura. La relación es casi lineal. Los grillos chirrían todo el verano a 68 º F, los chirridos de los grillos son 124 por minuto. A 80º F son alrededor de 172 por minuto.

a) Determina una ecuación que dé la temperatura Fahrenheit, t en términos del número de chirridos, c por minuto.

7. La utilidad diaria de la venta de árboles para el departamento de jardinería de un almacén está dada por p x x 2 18x 144 , en donde x es el número de árboles vendidos.

a) Determina el vértice.

b) Las intersecciones con los ejes de la función y traza la gráfica de la función.

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8. Arquería. Un muchacho que está parado en una colina, dispara una flecha directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies por segundo. La altura h, de la flecha en pies, t segundos de que se soltó se describe por la función h t 16t 2 80 t 32 .

a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la flecha?

b) ¿Cuántos segundos después de que se suelta, alcanza esta altura?

9. Arquería. Un muchacho que está parado en una colina, dispara una flecha directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies por segundo. La altura h, de la flecha en pies, t segundos de que se soltó se describe por la función h t 16t 2 80 t 32 .

a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la flecha?

b) ¿Cuántos segundos después de que se suelta, alcanza esta altura?

Material a utilizar: Graficador de funciones online. http://fooplot.com/index.php Páginas para descarga de programas para graficar funciones. http://www.programas-gratis.net/b/programa-para-graficar-funciones-matematicas

Programa winplot para graficar funciones. Se puede elegir la versión en español.

http://math.exeter.edu/rparris/

- Excel - Proyector. - Laboratorio de cómputo (en donde sea posible). - Material para hacer gráficas en papel (lápiz, regla, borrador)