NUMER NUMER IČ IČ KA ANALIZA KA ANALIZA dr Rade Lazović Nebojša Nikolić
NUMERNUMERIČIČKA KA ANALIZAANALIZA
dr Rade Lazović Nebojša Nikolić
Literatura:
Đurica S. Jovanov
Numerička analizaTEORIJA•ALGORITMI•PRIMERI
Rade P. Lazović
Numerička analizaPREGLED TEORIJE, PRIMERI, ZADACI
Web adresa
mata.fon.bg.ac.yumata.fon.bg.ac.yu
Link: Numerička analiza
PRIBLIPRIBLIŽNI BROJEVI I ŽNI BROJEVI I GREŠKEGREŠKE
APSOLUTNA I RELATIVNA GREŠKA PRIBLIŽNOG BROJA
Definicija 2. Greška približnog brojaGreška približnog broja , kojim se zamenjuje tačan broj
je razlika
x x
xxex
Apsolutna greškaApsolutna greška je, xx
x
a granica apsolutne greškegranica apsolutne greške je broj za koji jexA
. xAxx
Definicija 1. PribliPribližan brojžan broj realnog broja je broj koji se “neznatno”
razlikuje od i koristi se u izračunavanjima umesto .
x
x x
x
Primer 1. Odrediti granicu apsolutne greške broja kao aproksimacije
broja
142.3
. ...1415926553.3
313.1415926553 . . . 3.142 0.000407344... 0.0005 10
2 xA
Napomena:Napomena:
Granica apsolutne greške približnog broja se najčešće piše u obliku
ili
j102
1
).(,101 jj
Definicija 3: Relativna greška približnog broja Relativna greška približnog broja je količnikx
.x
r xx
Granica relativne greškeGranica relativne greške je broj za koji važi xR .
xxRr
Granica procentualne greškeGranica procentualne greške: Granica promilne greške:Granica promilne greške:.100 xR .1000 x
R
Primer 2: Neka je približna vrednost za a
približna vrednost za Koja od ove dve aproksimacije je bolja?
00005.0x ,00004.0x 100500y
.100000y
Rešenje:
500
00001.0
yy
xx
y
x
.048.0100500
500
2.000005.0
00001.0
yr
xr
y
y
xx
).,( },9,...,1,0{ ,0 je gde
...),10...1010(
1
1121
kn
x
i
knk
nn
Definicija 4: Cifra približnog broja je značajna cifra značajna cifra ako je različita od nule. Nula je značajna cifra ako se nalazi između cifara različitih od nule ili je desno u odnosu na sve značajne cifre.
i x
Primer 3:
1.253 0.3678 0.0004567 0.004030500
Primer 4:
65432 100107105100103030570.0
Zapis približnog broja:
Neka je:
).10...10...1010( 11121
mnm
knk
nnx
Definicija 5: Značajna cifra približnog broja je sigurna cifrasigurna cifra ako je k x
1).(0,10 1 kn
xA
k :2
1 je sigurna u užemužem smislu.
k :1 je sigurna u širemširem smislu.
Primer 5: .4257.6,4281.6 xx
2102
1005.00024.0 xx
Cifre 6,4 i 2 su sigurne u užem ( i širem ) smislu.
Napomena:
Veza između broja sigurnih cifara i granice relativne greške data je Teoremom 1.3.1 na strani 16.
ZAOKRUGLJIVANJE BROJEVAZAOKRUGLJIVANJE BROJEVA
Definicija 6: Postupak zamene broja brojem sa menjim brojem značajnih cifara naziva se zaokrugljivanjezaokrugljivanje broja .
Neka je dat tačan broj:
...).10...1010( 1121 mn
mnnx x x
x
Pravila za zaokrugljivanje:Pravila za zaokrugljivanje:
1. Ako je
,102
1...1010 11
21
mnmnm
mnm
tada je
.)10...1010( 1121
mnm
nnx
Ako se broj zamenjuje brojem koji ima cifara, to se čini na sledeći način:
x mx
2. Ako je
,102
1...1010 11
21
mnmnm
mnm
tada je
.)10)1(...10( 11
mnm
nx
3. Ako je11
21 102
1...1010
mnmnm
mnm
i ako je parna cifra primenjuje se prvo, a ako je neparna cifra drugo pravilo (pravilo papravilo parrne cifrene cifre).
m m
Teorema: Greška zaokrugljivanja broja nije veća od .102
1 1 mn
Dokaz:
1. Nije došlo do povećanja. Tada je ),10...10( 11
mnm
nx pa je
.102
110510104
101
1109104...)10101(109104
...109109104...1010
1
11211
21121
mnmnmnmn
mnmnmnmn
mnmnmnmnm
mnmxx
2. Došlo je do povećanja. Tada je ),10)1(...10( 11
mnm
nx pa je
.102
110510461010
...)10(1010...)1010(10
...)10....10(1010....10
1
121
121
1
11
111
mnmnmnmn
mmmnmn
mmn
mmn
mnm
nmnmnm
nxx
3. 110
2
1 mnxx (trivijalno). ■
Greške približne vrednosti Greške približne vrednosti funkcijefunkcije
1
1
( ,..., )
( ,..., ),
n
n
y f x x
y f x x
1, ( ,..., ) : ,1 .i k
i i n k kx xx x A G x x x x A k n
1 1 1 1 11
1 1 1
( ,..., ) ( ,..., ) ,...,
supk k
n
n n n n n k kk k
n n n
k k x xx Gk k kk k k
fy y f x x f x x x x x x x x x x
x
f f fM x x M A A
x x x
Neka je
Tada je:
U praksi se obično koristi linearna aproksimacija greške:
11
,..., .k
n
ny xk k
fA x x A
x
Greška zbira:
yxzAAA
y
f
x
f
yxyxfz
:1
),(
Greška razlike:
yxzAAA
y
f
x
f
yxyxfz
:1,1
),(
Greška proizvoda:( , )
, :
z x y
z f x y xy
f fy x
x y
A y A x A
yx
yxzz
RRyx
AxAy
z
AR
2
2
( , )
1, :
x y
z
xz f x y
y
f f x
x y y y
y A x AA
y
Greška količnika
yx
yx
zRR
yx
y
AxAy
R
2
Obratan problem ocene greškeObratan problem ocene greške
kx
n
k ky
n
Ax
fA
xxfy
1
1 ),...,(
),...,1(, nkAkx
Odrediti granice apsolutnih grešaka tako da granica apsolutne greške približne vrednosti funkcije bude manja od unapred zadate vrednosti :
k
x
n
k k
Ax
f
1
Principi jednakih uticaja:
1
, 2,..., :k kx x
k
f fA A k n
x x
),...,1(, nk
xf
n
A
k
xk
Princip jednakih apsolutnih grešaka:
),...,1(,
:),...,2(,
1
1
nk
xf
A
nkAA
n
i i
x
xx
k
k
Principi jednakih relativnih grešaka:
).,...,1(,
,
),...,2(,
1
1
111
1
nk
xf
x
xA
xf
x
R
xx
fRRx
x
fA
x
fA
nkRR
n
i ii
k
x
n
i ii
x
i
n
i ixxi
n
i ix
n
i iy
xx
k
k
kii
k