1 Teoremi http://www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica/mfo1_16.htm
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1
Teoremi
http://www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica/mfo1_16.htm
Teorema di Tellegen
Dato un insieme di tensioni e di correnti che soddisfano rispettivamente le
LKT e le LKC per una data rete (Vj, Ij) e per un’altra rete (Vj’, Ij’) che ha in
comune con la precedente solo la topologia, si definisce potenza virtuale
1
2 3
4 0
0
0
324
21
531
III
II
III
3 nodo
- 2 nodo
1 nodoLKT
0
0
354
321
VVV
VVV
LKC2
5
341
'
jjv IVP ovvero .'
jjv IVP
01
'
1
'
l
jjj
l
jjjv IVIVP
La sommatoria delle potenze virtuali è nulla.
Esempio
3
Nel caso particolare in cui V e I siano proprio le tensioni e le correnti di un
circuito, il terema di Tellegen si riduce al principio di conservazione delle
potenze.
2'2'3'1'1'
3'4'1'1'2'
54321
54321
IIIII
VVVVV
V e I scelte arbitrariamente con la stessa convenzione, purché soddisfino
le LK
;0''';0''';0'''';0''5:15:15:15:1
i
ii
i
ii
i
ii
i
ii IVIVIVIV
1''1''3''2''2''
2''1''3''1''2''
54321
54321
IIIII
VVVVV
4
Sovrapposizione degli effetti
Per un sistema fisico lineare, per il quale cioè causa ed
effetto sono in relazione lineare, si può affermare che l’effetto
complessivo dovuto a più cause è uguale alla somma degli
effetti che ciascuna causa determina singolarmente.
La corrente in un lato della rete dovuta all’azione di n
elementi attivi è la somma algebrica delle correnti circolanti
nello stesso lato dovute agli elementi attivi agenti
separatamente.
La differenza di potenziale tra due punti delle rete è la
somma algebrica delle differenza di potenziale tra gli stessi
punti dovute agli elementi attivi agenti separatamente.
5
N.B.Quando si considera agente nella rete un solo generatore,
i generatori di tensione devono essere in cortocircuito (E=0)
i generatori di corrente devono essere aperti (I=0)
8 W6V 3A
8 W3A
8 W6V
V
V1V2
4 W
4 W4 W
VV 884
8431
VV 2
84
462
VVVV 1021
NON VALE PER LE POTENZE
6
Principio di sostituzione
I
VA BInteressa studiare solo la parte A
Sostituendo B con un
generatore di tensione V
tutte le tensioni e le
correnti in A (compresa I)
rimangono costanti
I
VA V
Sostituendo B con un
generatore di corrente I tutte
le correnti e le tensioni in A
(compresa V) rimangono
costanti
VA I
7
I
0A
Esempio
I
0A B
0
VA
0
VA B
8
Teorema di Thevenin
Data una rete accessibile da 2 morsetti, formata da generatori e
resistori lineari, ai fini della corrente che circola in un suo
tronco e della tensione ai suoi capi, è sempre possibile
schematizzare la restante rete con un solo generatore ideale di
tensione VTh con in serie una resistenza RTh
tronco
tronco
VTh
RTh
Rete attiva
lineare
RTh Resistenza relativa alla
stessa rete disattivata
Vth tensione a vuoto ai
morsetti A e B
+ A
- B
A
B
I
V
9
IRete attiva
lineare
A
B
Per il principio di sostituzione
sostituisco la rete B con un gen. di
corrente di valore pari alla corrente
effettiva,
Per il principio di sovrapp. degli effetti
VAB= V’AB+ V’’AB
V’AB tensione misurata quando A=0
V’’AB tensione misurata quando i
generatori interni sono disattivati
V’’AB =RABI
Rete attiva
A
B
IRete
Disattivata
Req= RAB
A
B
V’AB= VAB(0)
Tensione a vuoto
V’’AB
Dimostrazione
I
A
B
RAB
+
-
10
VTh=VAB(0)
RTh= RAB
VAB= VTh +RThI
VTh
RTh
A
B
I
VAB= V’AB+ V’’AB= VAB(0)+RABI
1111
Trasformazione di generatori indipendenti
I
VVg
R
VIg
I
Un generatore di tensione con un resistore in serie è
equivalente ad un generatore di corrente con una resistenza in
parallelo.
LKT Vg+RI –V = 0
V = Vg +RI
LKC Ig –V/R + I = 0
V = RIg + RI
R
Le relazioni coincidono se Vg =RIg
In tal caso i 2 bipoli sono equivalenti dal punto di vista esterno
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Teorema di Norton
Data una rete accessibile da 2 morsetti, formata da generatori e
resistori lineari, ai fini della corrente che circola in un suo
tronco o della tensione ai suoi capi, è sempre possibile
schematizzare la restante rete con un solo generatore ideale di
corrente IN con in parallelo una conduttanza GN
tronco
troncoIN
GN
Rete attiva
lineare
GN Conduttanza relativa
alla stessa rete disattivata
IN corrente di cortocircuito
tra i morsetti A e B
A
B
A
B
13
ERete attiva
lineare
A
B
Per il principio di sovrapp. degli
effetti
I= I’+ I’’
I’ corrente misurata quando E=0
I’’corrente misurata quando i
generatori interni sono disattivati
I’’=-GABE
Rete attiva
A
B
ERete
Disattivata
GAB
A
B
I’= ICC
Corrente di cortocircuito
I’’
Dimostrazione (non in programma)
E
AI’’
B
GAB
I
I’
14
INGN
I = ICC – GAB Etronco
IN
GN
I
I = IN – GN VAB
A
B
I= I’+ I’’=ICC - GABE
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Osservazioni
Un generatore reale di energia può essere
schematizzato indifferentemente come generatore di
tensione (Thevenin) o di corrente (Norton).
VTh
RTh
INGN R
R
I
V
I
VIN =VTh/ RTh
GN=1/ RTh
Equivalente di Norton
A
A
B
B
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Teorema di Millmann
E1E2 E3 Ei En
R1 R2 R3Ri Rn
A
B
i
i
i
ii
ABG
EG
V
Caso limite di rete con due soli nodi
Il valore della d.d.p esistente tra i 2 nodi di una rete binodale è
quello espresso dal baricentro delle conduttanze
caratterizzanti ciascun lato esistente tra i 2 nodi, considerando
le conduttanze in posizione diversa per effetto delle tensioni
dei generatori ideali in serie alle conduttanze stesse.
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E1 E2 E3 Ei En
R1 R2 R3Ri Rn
A
B
i
i
i
ii
ABG
EG
V
G1E1G1 Gn
EnGn i
iG i
iiGE
A
B
A
B
Equivalente di Norton
per ciascun ramo
Dimostrazione
18
TEOREMA DEL MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA
R
a
b
THEVENIN a
b
RTh RVTh
I
2
2
RR
VRRIP
TH
TH
ppmax
RTh R
Si ha la massima potenza trasferita al carico quando la resistenza del
carico è uguale alla resistenza di Thevenin vista dal carico: R = Rth
Dimostrazione:
THTh
Th
ThThTh RRRRR
RR
RRRRRV
dR
dp
020
24
2
2
Th
Th
R
Vp
4
2
max
19
maxp
p
1
ThRR
1
Rendimento in potenza:
generatore
carico
p
p
Se R = RTh allora:
2
1
2
4
2
2
max
Th
Th
Th
ThThThgeneratore
Th
Thcarico
R
V
RR
VVIVp
R
Vpp
IN CONDIZIONI DI MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA SI HA
UN RENDIMENTO PARI AL 50%
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