Predmet: MEHANIKA 2 - e-ucenje.gfmo.bae-ucenje.gfmo.ba/predmeti/attachments/article/2048/20.12.2013..pdf · Rješenje: Lagrange – ove jednadžbe II. vrste: dE E KK q Q dt qq P q

GRAĐEVINSKI FAKULTETSVEUČILIŠTA U MOSTARU

Predmet: MEHANIKA 2Vježbe br. 10

Profesor: doc dr sc Mladen KožulProfesor: doc. dr. sc. Mladen KožulAsistent: Ante Džolan, mag. ing. građ.

1Mostar, 20. prosinca 2013.

Lagrange – ove jednadžbe II. vrste

ZADATAK 1.Teret težine P, pomoću nerastegljivog užeta prebačenog preko homogenogdiska A težine izaziva gibanje kalema B težine i2 PG Q 2 P diska A, težine , izaziva gibanje kalema B, težine ipolumjera inercije mase . Odrediti ubrzanje tereta B.

2 PG 3 Q 2 P

0

5i r 3 R 3 r.

2

Rješenje:

Lagrange – ove jednadžbe II. vrste:

d E E K K

q

d E EQ

dt qq

P

q

EQ

q

3

K K Pd E E E

0dt q qq

2

K ,B B 2

1E I ( )

2

2

2 2 2 2 2

B 0

Q Q 5 32 QI i R r r r

g g 3 3 g g g 3 3 g

2 2

z zz R r

R 4

2 R r 4 r

2 2 2 2

K B

1 32 Q z Q 2 PE r ( ) (z) (z)

2 3 4 3 3

4

K ,B( ) ( ) ( )

2 3 g 4 r 3 g 3 g

2

K ,A A 1

1E I ( )

2

2

2 2 2

A A

1 1 G PI m r r r

2 2 g 3 g

g 3 g

1 1

zz r

1 r

2 2 2

K A

1 P z PE r ( ) (z)

2 3 6

5

K ,A( ) ( )

2 3 g r 6 g

2 2

K ,P P

1 PE m (z) (z)

2 2 g

2 2 g

P ,P P

PE m g h g ( z) P z

g

g

K ,ukupna K ,A K ,B K ,PE E E E

Pa je ukupna kinetička energija sustava:

2 2 2

K ,ukupna

P 2 P PE (z) (z) (z)

6 g 3 g 2 g

62 2 2

K ,ukupna

4 P P 3 P 8 P 4 PE (z) (z) (z)

6 g 6 g 3 g

K K Pd E E E

0dt z zz

2KE 4 P 8 P

(z) z3 g 3 g

3 g 3 gz z

Kd E d 8 P 8 P

z z

z zdt dt 3 g 3 gz

E 4 P 2KE 4 P

(z) 0z z 3 g

PE

P z Pz z

8 P 8z P 0 z 1

3 g 3 g

7

3z g

8

ZADATAK 2.Valjak A kotrljajući se bez klizanja niz kosu ravninu podiže, pomoćuj j j j p , pnerastezljivog užeta, teret C. Uže je prebačeno preko kotura B. Valjak A i koturB su homogeni kružni diskovi jednake težine Q i jednakog polumjera r, a P jet ži t t C Od diti b j ljk Atežina tereta C. Odrediti ubrzanje valjka A.

8

Rješenje:

2 21 1E m (x) I ( )

K ,A A CM AE m (x) I ( )

2 2

2 2

A A

1 1 QI m r r

A A2 2 g2

2

A A

(x)(x) r

2 2 2

K ,A

1 Q 1 1 Q xE (x) r ( )

2 g 2 2 g r

A r

2 g 2 2 g r

23 QE (x)

9

K ,AE (x)

4 g

QE m g h g ( x) sin Q x sin

P ,A AE m g h g ( x) sin Q x sin

g

1 2

K ,B B B

1E I ( )

2

1 1 Q2 2

B B

1 1 QI m r r

2 2 g

2( )

2

2

B B

(x)(x) r

r

1 1 Q Q

10

2 2 2

K ,A

1 1 Q x QE r ( ) (x)

2 2 g r 4 g

1 P 2 2

K ,C C

1 PE m (x) (x)

2 2 g

P

E h ( ) PP ,C C

E m g h g (x) P xg

K ,ukupna K ,A K ,B K ,CE E E E

2 2 2

K ,ukupna

3 Q Q PE (x) (x) (x)

4 g 4 g 2 g

2

K ,ukupna

Q PE (x)

g 2 g

P ,ukupno P ,A P ,B P ,CE E E E

g g

11P ,ukupnaE (P Q sin ) x

K K Pd E E E

0dt x xx

2KE Q P 2 Q P

(x) xg 2 g g g

g 2 g g gx x

Kd E d 2 Q P 2 Q P

x x

x xdt dt g g g gx

E Q P 2KE Q P

(x) 0x x g 2 g

PE

(P Q sin ) x P Q sinx x

2 Q P 2 Q Px P Q sin 0 x Q sin P

g g g g

12

g (Q sin P)x

2 Q P

ZADATAK 3.Homogeni kružni cilindar polumjera R leži na glatkoj kosoj ravnini, koja jenagnuta pod kutom u odnosu na vodoravni položaj. U točki B je vezanaopruga krutosti c, čiji je drugi kraj vezan za nepomičnu točku K. Podpretpostavkom da je opruga paralelna s kosom ravninom odrediti diferencijalnu

pretpostavkom da je opruga paralelna s kosom ravninom odrediti diferencijalnujednadžbu kretanja valjka.

13

Rješenje:

2

K P

1E I

2

22

P CMI I m d

2 2 2

P

1 3I m R m R m R

2 2

2

2 2 21 1E m x I

2

2

K

1 3 xE m R

2 2 R

k CME m x I

2 2

21I m R 2 x

x R

CMI m R

2 x R

R

2

2 2 21 1 1 x 3E m x m R m x

14

kE m x m R m x

2 2 2 R 4

E E EP P ,m P ,op .

E E E

P mE m g h m g x sin

P mE m g h

P ,mg g

2

P ,op .

1E c

2

P ,mg

15

2

22

P ,op . st . st .

1 1E c x f c f

2 2

2 2 21 1 1E f f f 2 2 2

P ,op . st st . st .E c x c x f c f c f

2 2 2

21E c x c x f

P ,op . stE c x c x f

2

21E i f

16

2

P stE m g x sin c x c x f

2

21E m g x sin c x c x f

P stg

2

opX 0 m g sin F 0

st .m g sin c f

21E m g x sin c x m g x sin

17

PE m g x sin c x m g x sin

2

2

P

1E c x

2

K K Pd E E E

0dt x xx

2KE 3 3

m x m x4 2x x

4 2x x

Kd E d 3 3

m x m x

m x m xdt dt 2 2x

E 3 2KE 3

m x 0x x 4

2PE 1

( c x ) c xx x 2

3 2 cm x c x 0 x 0

2 3 m

18

19