Predavanje prvo: Brojevi. - prelog.chem.pmf.hrprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat1-tjedan1.pdf · brojeva i mjernih jedinica. Ponekad se pojavljuju i " cisti" brojevi, poput logaritama

Brojevi i jedinice Kompleksni brojevi Kartezijev koordinatni sustav Pojam funkcije Transformacije grafova

Predavanje prvo: Brojevi.

Franka Miriam Bruckler


Brojevi, jedinice, konstante, varijable

Iznosi mjerljivih, skalarnih, fizikalnih velicina su umnoscibrojeva i mjernih jedinica.

Ponekad se pojavljuju i”cisti” brojevi, poput logaritama

kvocijenata nekih velicina, no ako se dogovorimo da je njimajedinica jednaka 1, onda i njih mozemo shvatiti kao umnozakbroja i jedinice.

Razlika izmedu varijable i konstante ovisi o kontekstu.

Dvije varijable (ili konstante) ne mogu biti jednake ako se nepodudaraju u fizikalnoj dimenziji (ako se ne mogu izraziti uistoj jedinici).

Osnovne podjele varijabli: nezavisne vs. zavisne, diskretne vs.kontinuirane


































Skupovi brojeva

N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Zadatak. Odaberite tocan odgovor:

1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.

2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.

3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .

4 −22 = (a) 4; (b) −4.

5 xy + y

x = (a) 1; (b) x2 + y2/xy ; (c) (x2 + y2)/xy ; (d)

(x2 + y2)/(xy).

6 1 + Bx + 14B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2

4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.

7 3√

27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.

8 −4−3−2−1

= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1

4096 ; (d) − 1

41/√3.


Skupovi brojeva

N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C


1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.

2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.

3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .

4 −22 = (a) 4; (b) −4.

5 xy + y

x = (a) 1; (b) x2 + y2/xy ; (c) (x2 + y2)/xy ; (d)

(x2 + y2)/(xy).

6 1 + Bx + 14B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2

4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.

7 3√

27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.

8 −4−3−2−1

= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1

4096 ; (d) − 1

41/√3.


Skupovi brojeva

N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C


1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.

2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.

3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .

4 −22 = (a) 4; (b) −4.

5 xy + y

x = (a) 1; (b) x2 + y2/xy ; (c) (x2 + y2)/xy ; (d)

(x2 + y2)/(xy).

6 1 + Bx + 14B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2

4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.

7 3√

27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.

8 −4−3−2−1

= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1

4096 ; (d) − 1

41/√

3.


Skupovi brojeva

N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C


1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.

2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.

3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .

4 −22 = (a) 4; (b) −4.

5 xy + y

x = (a) 1; (b) x2 + y2/xy ; (c) (x2 + y2)/xy ; (d)

(x2 + y2)/(xy).

6 1 + Bx + 14B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2

4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.

7 3√

27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.

8 −4−3−2−1

= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1

4096 ; (d) − 1

41/√3.


Skupovi brojeva

N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C


1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.

2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.

3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .

4 −22 = (a) 4; (b) −4.

5 xy + y

x = (a) 1; (b) x2 + y2/xy ; (c) (x2 + y2)/xy ; (d)

(x2 + y2)/(xy).

6 1 + Bx + 14B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2

4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.

7 3√

27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.

8 −4−3−2−1

= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1

4096 ; (d) − 1

41/√

3.


Skupovi brojeva

N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C


1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.

2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.

3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .

4 −22 = (a) 4; (b) −4.

5 xy + y

x = (a) 1; (b) x2 + y2/xy ; (c) (x2 + y2)/xy ; (d)

(x2 + y2)/(xy).

6 1 + Bx + 14B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2

4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.

7 3√

27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.

8 −4−3−2−1

= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1

4096 ; (d) − 1

41/√3.


Skupovi brojeva

N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C


1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.

2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.

3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .

4 −22 = (a) 4; (b) −4.

5 xy + y

x = (a) 1; (b) x2 + y2/xy ; (c) (x2 + y2)/xy ; (d)

(x2 + y2)/(xy).

6 1 + Bx + 14B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2

4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.

7 3√

27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.

8 −4−3−2−1

= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1

4096 ; (d) − 1

41/√3.


Skupovi brojeva

N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C


1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.

2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.

3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .

4 −22 = (a) 4; (b) −4.

5 xy + y

x = (a) 1; (b) x2 + y2/xy ; (c) (x2 + y2)/xy ; (d)

(x2 + y2)/(xy).

6 1 + Bx + 14B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2

4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.

7 3√

27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.

8 −4−3−2−1

= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1

4096 ; (d) − 1

41/√3.


Skupovi brojeva

N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C


1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.

2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.

3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .

4 −22 = (a) 4; (b) −4.

5 xy + y

x = (a) 1; (b) x2 + y2/xy ; (c) (x2 + y2)/xy ; (d)

(x2 + y2)/(xy).

6 1 + Bx + 14B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2

4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.

7 3√

27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.

8 −4−3−2−1

= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1

4096 ; (d) − 1

41/√

3.


Decimalni zapis

Brojevi se zapisuju brojkama, a u nas je uobicajeno koristiti brojkedecimalnog pozicijskog sustava:

725 = 7 · 102 + 2 · 101 + 5 · 100,

2,14 = 2 + 1 · 1

10+ 4 · 1

100= 2 · 100 + 1 · 10−1 + 4 · 10−2.

Neki realni brojevi, poput 116 , imaju konacan decimalni zapis

(0,0625) te je on potpuno egzaktan. Drugi brojevi, poput 13 ili√

2,nemaju konacan decimalan zapis te svaki njihov zapis s konacnomnogo znamenki nuzno sadrzi i gresku: 1

3 6= 0,3333,√

2 6= 1,41.Greska u takvom zapisu je reda velicine 10−m−1 (odgovarajucemjerne jedinice) gdje je m broj znamenki iza decimalnog zareza uodabranoj aproksimaciji. Tako je greska zapisa 1

3 mm kao 0,3333

mm reda velicine 10−5 mm, a greska zapisa√

2 m s−1 kao 1,41 ms−1 je reda velicine 10−3 m s−1.


Decimalni zapis


725 = 7 · 102 + 2 · 101 + 5 · 100,

2,14 = 2 + 1 · 1

10+ 4 · 1

100= 2 · 100 + 1 · 10−1 + 4 · 10−2.


(0,0625) te je on potpuno egzaktan.

Drugi brojevi, poput 13 ili√


3 6= 0,3333,√


3 mm kao 0,3333




Decimalni zapis


725 = 7 · 102 + 2 · 101 + 5 · 100,

2,14 = 2 + 1 · 1

10+ 4 · 1

100= 2 · 100 + 1 · 10−1 + 4 · 10−2.


(0,0625) te je on potpuno egzaktan. Drugi brojevi, poput 13 ili√


3 6= 0,3333,√


3 mm kao 0,3333




Zadatak. Je li broj 2,52525252 . . . racionalan ili nije? Ako jest,kojem je razlomku jednak?

x = 2,52525252 . . .⇒ 100x = 252,52525252 . . . = 250+x ⇒ x =250

99

Zaokruzivanje brojeva se moze provoditi na vise nacina. Standardninacin je sljedeci: ako zelimo odbaciti nekoliko zadnjih znamenki ione pocinju s 5,6,7,8 ili 9, zaokruzujemo na gore (zadnja znamenkaispred njih se pri odbacivanju poveca za 1: 3,7898 na tri decimalezaokruzeno je 3,790), a ako pocinju s drugim znamenkama nadolje.Ako pak odbacujemo niz znamenaka 500 . . . 0, ponekad se koristisljedece pravilo: parna znamenka ispred se ne mijenja, neparna idenagore (7,85 na 7,8, a 7,15 na 7,2).



x = 2,52525252 . . .⇒ 100x = 252,52525252 . . . = 250+x ⇒ x =250

99




x = 2,52525252 . . .⇒ 100x = 252,52525252 . . . = 250+x ⇒ x =250

99



Znanstvena notacija

Kako bi se izbjegle nedoumice, pogotovu oko znacajnih znamenki,uobicajeno je koristiti znanstvenu notaciju:

x = m · 10n

gdje je broj m ∈ [1, 10〉 tzv. mantisa (zapisana sa svim znacajnimznamenkama), a n ∈ Z je eksponent. Broj znacajnih znamenkibroja x jednak je broju znacajnih znamenki mantise. Zahtjev damantisa bude broj izmedu 1 i 10 cini takav zapis jedinstvenim.

Primjer

Naboj elektrona zaokruzen na sest znacajnih znamenki iznosi0,000000000000000000160217 C, sto je

e = 1,60217 · 10−19C.


Nadite cijeli broj koji zadovoljava kubnu jednadzbu

x3 + 3x2 = 12x + 18

x = 3.

Supstitucijom t = x − A/3, gdje je A koeficijent uz kvadratni clanu kubnoj jednadzbi1 moze se iz svake kubne jednadzbe maknutikvadratni clan. Koju jednadzbu takvom supstitucijom dobijemo izgornje?

t3 = 15t + 4

t = u + v

3u2v + 3uv2 + u3 + v3 = 15u + 15v + 4

(u3 + v3) + (u + v)(3uv − 15) = 4

Pretpostavimo sada da je 3uv = 15 i u3 + v3 = 4:

u3v3 = 125, u3 + v3 = 4

1Normiranoj, tj. svedenoj na oblik x3 + Ax2 + Bx + C = 0.



x3 + 3x2 = 12x + 18 x = 3.


t3 = 15t + 4

t = u + v

3u2v + 3uv2 + u3 + v3 = 15u + 15v + 4

(u3 + v3) + (u + v)(3uv − 15) = 4


u3v3 = 125, u3 + v3 = 4




x3 + 3x2 = 12x + 18 x = 3.


t3 = 15t + 4

t = u + v

3u2v + 3uv2 + u3 + v3 = 15u + 15v + 4

(u3 + v3) + (u + v)(3uv − 15) = 4


u3v3 = 125, u3 + v3 = 4




x3 + 3x2 = 12x + 18 x = 3.


t3 = 15t + 4

t = u + v

3u2v + 3uv2 + u3 + v3 = 15u + 15v + 4

(u3 + v3) + (u + v)(3uv − 15) = 4


u3v3 = 125, u3 + v3 = 4




x3 + 3x2 = 12x + 18 x = 3.


t3 = 15t + 4

t = u + v

3u2v + 3uv2 + u3 + v3 = 15u + 15v + 4

(u3 + v3) + (u + v)(3uv − 15) = 4


u3v3 = 125, u3 + v3 = 4




x3 + 3x2 = 12x + 18 x = 3.


t3 = 15t + 4

t = u + v

3u2v + 3uv2 + u3 + v3 = 15u + 15v + 4

(u3 + v3) + (u + v)(3uv − 15) = 4


u3v3 = 125, u3 + v3 = 4



Bez koristenja formule za kvadratnu jednadzbu i imaginarnihbrojeva nadite x :

u3+125

u3= 4, (u3)2−4u3+125 = 0, (u3−2)2 = −121, u3 = 2±

√−121

t =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121

x =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121− 1?!

Pokazite da je x = 3!

2±√−121 = 2± 11

√−1 = 8− 6± (12

√−1−

√−1) =

= ±(√−1)3 + 3 · 2 · (

√−1

2)± 3 · 22 ·

√−1 + 23 = (2±

√−1)3

t = 2 +√−1 + 2−

√−1 = 4, x = t − 1 = 3.



u3+125

u3= 4, (u3)2−4u3+125 = 0, (u3−2)2 = −121, u3 = 2±

√−121

t =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121

x =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121− 1?!


2±√−121 = 2± 11

√−1 = 8− 6± (12

√−1−

√−1) =

= ±(√−1)3 + 3 · 2 · (

√−1

2)± 3 · 22 ·

√−1 + 23 = (2±

√−1)3

t = 2 +√−1 + 2−

√−1 = 4, x = t − 1 = 3.



u3+125

u3= 4, (u3)2−4u3+125 = 0, (u3−2)2 = −121, u3 = 2±

√−121

t =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121

x =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121− 1?!


2±√−121 = 2± 11

√−1 = 8− 6± (12

√−1−

√−1) =

= ±(√−1)3 + 3 · 2 · (

√−1

2)± 3 · 22 ·

√−1 + 23 = (2±

√−1)3

t = 2 +√−1 + 2−

√−1 = 4, x = t − 1 = 3.



u3+125

u3= 4, (u3)2−4u3+125 = 0, (u3−2)2 = −121, u3 = 2±

√−121

t =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121

x =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121− 1?!


2±√−121 = 2± 11

√−1 = 8− 6± (12

√−1−

√−1) =

= ±(√−1)3 + 3 · 2 · (

√−1

2)± 3 · 22 ·

√−1 + 23 = (2±

√−1)3

t = 2 +√−1 + 2−

√−1 = 4, x = t − 1 = 3.


Imaginarna jedinica2 i se definira kao jedno od dva rjesenjakvadratne jednadzbe

x2 + 1 = 0.

Koje je drugo rjesenje?

i2 = (−i)2 = −1

Kompleksni brojevi se definiraju kao brojevi koji se mogu zapisati uobliku

z = x + yi

s x , y ∈ R. Broj x se zove realni dio, a broj y imaginarni diokompleksnog broja z (dakle: i realni i imaginarni dio kompleksnogbroja su realni brojevi). Kako vidimo da je R podskup od C?Brojeve kojima je realni dio nula zovemo cisto imaginarnima.

2Oznaku i za imaginarnu uveo je L. Euler u 18. st.



x2 + 1 = 0.


i2 = (−i)2 = −1


z = x + yi

s x , y ∈ R. Broj x se zove realni dio, a broj y imaginarni diokompleksnog broja z (dakle: i realni i imaginarni dio kompleksnogbroja su realni brojevi). Kako vidimo da je R podskup od C?

Brojeve kojima je realni dio nula zovemo cisto imaginarnima.




x2 + 1 = 0.


i2 = (−i)2 = −1


z = x + yi

s x , y ∈ R. Broj x se zove realni dio, a broj y imaginarni diokompleksnog broja z (dakle: i realni i imaginarni dio kompleksnogbroja su realni brojevi). Kako vidimo da je R podskup od C?Brojeve kojima je realni dio nula zovemo cisto imaginarnima.



Zadatak

Odredite sva rjesenja kvadratne jednadzbe x2 − 4x + 5 = 0.

z = x + iy ↔ z = (x , y) ∈ R2


Zadatak

Odredite sva rjesenja kvadratne jednadzbe x2 − 4x + 5 = 0.

z = x + iy ↔ z = (x , y) ∈ R2


Skicirajte 3 + i i 2i − 1 te njihov zbroj u kompleksnoj ravnini tezakljucite kako se racunski i geometrijski zbrajaju kompleksnibrojevi!

(3 + i) + (2i − 1) = 2 + 3i .

(x + yi)± (x ′ + y ′i) = (x ± x ′) + (y ± y ′)i .



(3 + i) + (2i − 1) =

2 + 3i .

(x + yi)± (x ′ + y ′i) = (x ± x ′) + (y ± y ′)i .



(3 + i) + (2i − 1) = 2 + 3i .

(x + yi)± (x ′ + y ′i) = (x ± x ′) + (y ± y ′)i .



(3 + i) + (2i − 1) = 2 + 3i .

(x + yi)± (x ′ + y ′i) = (x ± x ′) + (y ± y ′)i .


Suprotni broj od x + yi je −x − yi . Nacrtajte nekoliko kompleksnihbrojeva u kompleksnoj ravnini i njihove suprotne brojeve tezakljucite koji je efekt kompleksne funkcije zadane s

f (z) = −z?


Suprotni broj od x + yi je −x − yi . Nacrtajte nekoliko kompleksnihbrojeva u kompleksnoj ravnini i njihove suprotne brojeve tezakljucite koji je efekt kompleksne funkcije zadane s

f (z) = −z?


Nacrtajte tocke koje u kompleksnoj ravnini predstavljaju cetiriproizvoljno odabrana kompleksna broja. Zatim nacrtajte rezultatpribrajanja broja 1 tim brojevima.

Sad nacrtajte rezultatpribrajanja broja −i tim brojevima. Na kraju nacrtajte rezultatpribrajanja broja 3 + 2i tim brojevima. Mozete li zakljuciti koji jeefekt kompleksne funkcije zadane s

f (z) = z + z0,

za fiksan z0?


Nacrtajte tocke koje u kompleksnoj ravnini predstavljaju cetiriproizvoljno odabrana kompleksna broja. Zatim nacrtajte rezultatpribrajanja broja 1 tim brojevima. Sad nacrtajte rezultatpribrajanja broja −i tim brojevima.

Na kraju nacrtajte rezultatpribrajanja broja 3 + 2i tim brojevima. Mozete li zakljuciti koji jeefekt kompleksne funkcije zadane s

f (z) = z + z0,

za fiksan z0?


Nacrtajte tocke koje u kompleksnoj ravnini predstavljaju cetiriproizvoljno odabrana kompleksna broja. Zatim nacrtajte rezultatpribrajanja broja 1 tim brojevima. Sad nacrtajte rezultatpribrajanja broja −i tim brojevima. Na kraju nacrtajte rezultatpribrajanja broja 3 + 2i tim brojevima. Mozete li zakljuciti koji jeefekt kompleksne funkcije zadane s

f (z) = z + z0,

za fiksan z0?


Nacrtajte tocke koje u kompleksnoj ravnini predstavljaju cetiriproizvoljno odabrana kompleksna broja. Zatim nacrtajte rezultatpribrajanja broja 1 tim brojevima. Sad nacrtajte rezultatpribrajanja broja −i tim brojevima. Na kraju nacrtajte rezultatpribrajanja broja 3 + 2i tim brojevima. Mozete li zakljuciti koji jeefekt kompleksne funkcije zadane s

f (z) = z + z0,

za fiksan z0?


Apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + iy definira se kao|z | =

√x2 + y2 (biramo pozitivni kvadratni korijen).

Sto ta vrijednost geometrijski predstavlja?

Gdje se nalaze kompleksni brojevi apsolutne vrijednosti 1? Stopredstavlja jednadzba |z − 1− i | = 5? Dokazite da za zbrajanjekompleksnih brojeva vrijedi nejednakost trokuta|z + w | ≤ |z |+ |w |!





Gdje se nalaze kompleksni brojevi apsolutne vrijednosti 1?

Stopredstavlja jednadzba |z − 1− i | = 5? Dokazite da za zbrajanjekompleksnih brojeva vrijedi nejednakost trokuta|z + w | ≤ |z |+ |w |!





Gdje se nalaze kompleksni brojevi apsolutne vrijednosti 1? Stopredstavlja jednadzba |z − 1− i | = 5?

Dokazite da za zbrajanjekompleksnih brojeva vrijedi nejednakost trokuta|z + w | ≤ |z |+ |w |!





Gdje se nalaze kompleksni brojevi apsolutne vrijednosti 1? Stopredstavlja jednadzba |z − 1− i | = 5? Dokazite da za zbrajanjekompleksnih brojeva vrijedi nejednakost trokuta|z + w | ≤ |z |+ |w |!


Svakom kompleksnom broju z = x + iy pridruzen je njegovkompleksno konjugirani broj z = x − iy . Nacrtajte nekolikokompleksnih brojeva u kompleksnoj ravnini i njihove kompleksnokonjugirane brojeve te zakljucite koji je efekt kompleksne funkcijezadane s f (z) = z?

Kakva je veza para rjesenja kvadratne jednadzbe? Koliko iznosi z?Ako je dana funkcija ψ : D→C, onda se s ψ∗ oznacava kompleksnafunkcija definirana s ψ∗(z) = ψ(z). Odredite ψ∗ zaψ(z) = z + 2− 5i !


Svakom kompleksnom broju z = x + iy pridruzen je njegovkompleksno konjugirani broj z = x − iy . Nacrtajte nekolikokompleksnih brojeva u kompleksnoj ravnini i njihove kompleksnokonjugirane brojeve te zakljucite koji je efekt kompleksne funkcijezadane s f (z) = z?Kakva je veza para rjesenja kvadratne jednadzbe?

Koliko iznosi z?Ako je dana funkcija ψ : D→C, onda se s ψ∗ oznacava kompleksnafunkcija definirana s ψ∗(z) = ψ(z). Odredite ψ∗ zaψ(z) = z + 2− 5i !


Svakom kompleksnom broju z = x + iy pridruzen je njegovkompleksno konjugirani broj z = x − iy . Nacrtajte nekolikokompleksnih brojeva u kompleksnoj ravnini i njihove kompleksnokonjugirane brojeve te zakljucite koji je efekt kompleksne funkcijezadane s f (z) = z?Kakva je veza para rjesenja kvadratne jednadzbe? Koliko iznosi z?

Ako je dana funkcija ψ : D→C, onda se s ψ∗ oznacava kompleksnafunkcija definirana s ψ∗(z) = ψ(z). Odredite ψ∗ zaψ(z) = z + 2− 5i !


Svakom kompleksnom broju z = x + iy pridruzen je njegovkompleksno konjugirani broj z = x − iy . Nacrtajte nekolikokompleksnih brojeva u kompleksnoj ravnini i njihove kompleksnokonjugirane brojeve te zakljucite koji je efekt kompleksne funkcijezadane s f (z) = z?Kakva je veza para rjesenja kvadratne jednadzbe? Koliko iznosi z?Ako je dana funkcija ψ : D→C, onda se s ψ∗ oznacava kompleksnafunkcija definirana s ψ∗(z) = ψ(z). Odredite ψ∗ zaψ(z) = z + 2− 5i !


(x + yi) · (x ′ + y ′i) = (xx ′ − yy ′) + (xy ′ + yx ′)i .

Koliko iznosi z · z?

Bez formule za dijeljenje kompleksnih brojeva

odredite1

i.

1

z=

z

|z |2,

z

z ′= z · 1

z ′=

z · z ′|z ′|2



Koliko iznosi z · z? Bez formule za dijeljenje kompleksnih brojeva

odredite1

i.

1

z=

z

|z |2,

z

z ′= z · 1

z ′=

z · z ′|z ′|2



Koliko iznosi z · z? Bez formule za dijeljenje kompleksnih brojeva

odredite1

i.

1

z=

z

|z |2,

z

z ′= z · 1

z ′=

z · z ′|z ′|2


Nacrtajte nekoliko kompleksnih brojeva u kompleksnoj ravnini injihove umnoske s i te zakljucite koji je efekt kompleksne funkcijezadane s

f (z) = iz?


Nacrtajte nekoliko kompleksnih brojeva u kompleksnoj ravnini injihove umnoske s i te zakljucite koji je efekt kompleksne funkcijezadane s

f (z) = iz?


Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja

Argument kompleksnog broja z je kut arg(z) = θ kojeg radij-vektorod z zatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim iimaginarnim dijelom broja z?

Koliko iznosi argument od 5? Od i?Od −e? Od −πi? Od |z |?Sto je skup svih kompleksnih brojevakojima je argument 0? Argument cisto imaginarnog broja iznosikoliko? Kakav je argument od 1/z u odnosu na argument od z? Aod z? A od |z |?Vidimo: prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz

z = |z |(cos θ + i sin θ).

Taj se prikaz zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja.



Argument kompleksnog broja z je kut arg(z) = θ kojeg radij-vektorod z zatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim iimaginarnim dijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5?

Od i?Od −e? Od −πi? Od |z |?Sto je skup svih kompleksnih brojevakojima je argument 0? Argument cisto imaginarnog broja iznosikoliko? Kakav je argument od 1/z u odnosu na argument od z? Aod z? A od |z |?Vidimo: prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz





Argument kompleksnog broja z je kut arg(z) = θ kojeg radij-vektorod z zatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim iimaginarnim dijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i?

Od −e? Od −πi? Od |z |?Sto je skup svih kompleksnih brojevakojima je argument 0? Argument cisto imaginarnog broja iznosikoliko? Kakav je argument od 1/z u odnosu na argument od z? Aod z? A od |z |?Vidimo: prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz





Argument kompleksnog broja z je kut arg(z) = θ kojeg radij-vektorod z zatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim iimaginarnim dijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i?Od −e?

Od −πi? Od |z |?Sto je skup svih kompleksnih brojevakojima je argument 0? Argument cisto imaginarnog broja iznosikoliko? Kakav je argument od 1/z u odnosu na argument od z? Aod z? A od |z |?Vidimo: prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz





Argument kompleksnog broja z je kut arg(z) = θ kojeg radij-vektorod z zatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim iimaginarnim dijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i?Od −e? Od −πi?

Od |z |?Sto je skup svih kompleksnih brojevakojima je argument 0? Argument cisto imaginarnog broja iznosikoliko? Kakav je argument od 1/z u odnosu na argument od z? Aod z? A od |z |?Vidimo: prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz





Argument kompleksnog broja z je kut arg(z) = θ kojeg radij-vektorod z zatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim iimaginarnim dijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i?Od −e? Od −πi? Od |z |?

Sto je skup svih kompleksnih brojevakojima je argument 0? Argument cisto imaginarnog broja iznosikoliko? Kakav je argument od 1/z u odnosu na argument od z? Aod z? A od |z |?Vidimo: prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz





Argument kompleksnog broja z je kut arg(z) = θ kojeg radij-vektorod z zatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim iimaginarnim dijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i?Od −e? Od −πi? Od |z |?Sto je skup svih kompleksnih brojevakojima je argument 0?

Argument cisto imaginarnog broja iznosikoliko? Kakav je argument od 1/z u odnosu na argument od z? Aod z? A od |z |?Vidimo: prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz





Argument kompleksnog broja z je kut arg(z) = θ kojeg radij-vektorod z zatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim iimaginarnim dijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i?Od −e? Od −πi? Od |z |?Sto je skup svih kompleksnih brojevakojima je argument 0? Argument cisto imaginarnog broja iznosikoliko?

Kakav je argument od 1/z u odnosu na argument od z? Aod z? A od |z |?Vidimo: prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz





Argument kompleksnog broja z je kut arg(z) = θ kojeg radij-vektorod z zatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim iimaginarnim dijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i?Od −e? Od −πi? Od |z |?Sto je skup svih kompleksnih brojevakojima je argument 0? Argument cisto imaginarnog broja iznosikoliko? Kakav je argument od 1/z u odnosu na argument od z?

Aod z? A od |z |?Vidimo: prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz





Argument kompleksnog broja z je kut arg(z) = θ kojeg radij-vektorod z zatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim iimaginarnim dijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i?Od −e? Od −πi? Od |z |?Sto je skup svih kompleksnih brojevakojima je argument 0? Argument cisto imaginarnog broja iznosikoliko? Kakav je argument od 1/z u odnosu na argument od z? Aod z?

A od |z |?Vidimo: prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz





Argument kompleksnog broja z je kut arg(z) = θ kojeg radij-vektorod z zatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim iimaginarnim dijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i?Od −e? Od −πi? Od |z |?Sto je skup svih kompleksnih brojevakojima je argument 0? Argument cisto imaginarnog broja iznosikoliko? Kakav je argument od 1/z u odnosu na argument od z? Aod z? A od |z |?

Vidimo: prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz





Argument kompleksnog broja z je kut arg(z) = θ kojeg radij-vektorod z zatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim iimaginarnim dijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i?Od −e? Od −πi? Od |z |?Sto je skup svih kompleksnih brojevakojima je argument 0? Argument cisto imaginarnog broja iznosikoliko? Kakav je argument od 1/z u odnosu na argument od z? Aod z? A od |z |?Vidimo: prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz




Izracunajte (cos θ + i sin θ) · (cosφ+ i sinφ).

Zakljucite kako semnoze dva kompleksna broja dana u trigonometrijskom obliku!Koja je veza argumenta umnoska s argumentima faktora? Aapsolutne vrijednosti umnoska s apsolutnim vrijednostima faktora?Za z = |z |(cos θ + i sin θ) i w = |w |(cosφ+ i sinφ) vrijedi

zw = |z ||w |(cos(θ+φ)+i sin(θ+φ)),z

w=|z ||w |

(cos(θ−φ)+i sin(θ−φ)).

Sto radi funkcija f : C→ C, f (z) = z · z0 gdje je z0 fiksankompleksan broj apsolutne vrijednosti 1 i argumenta φ?


Izracunajte (cos θ + i sin θ) · (cosφ+ i sinφ). Zakljucite kako semnoze dva kompleksna broja dana u trigonometrijskom obliku!Koja je veza argumenta umnoska s argumentima faktora? Aapsolutne vrijednosti umnoska s apsolutnim vrijednostima faktora?

Za z = |z |(cos θ + i sin θ) i w = |w |(cosφ+ i sinφ) vrijedi


w=|z ||w |




Izracunajte (cos θ + i sin θ) · (cosφ+ i sinφ). Zakljucite kako semnoze dva kompleksna broja dana u trigonometrijskom obliku!Koja je veza argumenta umnoska s argumentima faktora? Aapsolutne vrijednosti umnoska s apsolutnim vrijednostima faktora?Za z = |z |(cos θ + i sin θ) i w = |w |(cosφ+ i sinφ) vrijedi


w=|z ||w |




Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva

Koliko iznosi in za prirodan broj n?

Gdje se nalaze (prirodne)potencije broja i? Izvedite formule za kvadriranje i kubiranjekompleksnog broja zapisanog trigonometrijski! Opcenito, za nprirodan broj vrijedi de Moivre-ova formula

zn = |z |n(cos(nθ) + i sin(nθ)).

Vrijedi li ta formula i za negativne cijele brojeve n?



Koliko iznosi in za prirodan broj n? Gdje se nalaze (prirodne)potencije broja i?

Izvedite formule za kvadriranje i kubiranjekompleksnog broja zapisanog trigonometrijski! Opcenito, za nprirodan broj vrijedi de Moivre-ova formula





Koliko iznosi in za prirodan broj n? Gdje se nalaze (prirodne)potencije broja i? Izvedite formule za kvadriranje i kubiranjekompleksnog broja zapisanog trigonometrijski!

Opcenito, za nprirodan broj vrijedi de Moivre-ova formula





Koliko iznosi in za prirodan broj n? Gdje se nalaze (prirodne)potencije broja i? Izvedite formule za kvadriranje i kubiranjekompleksnog broja zapisanog trigonometrijski! Opcenito, za nprirodan broj vrijedi de Moivre-ova formula





Koliko iznosi in za prirodan broj n? Gdje se nalaze (prirodne)potencije broja i? Izvedite formule za kvadriranje i kubiranjekompleksnog broja zapisanog trigonometrijski! Opcenito, za nprirodan broj vrijedi de Moivre-ova formula




Kako biste definirali sto je to n-ti korijen (kompleksnog) broja?

Jeli 1 cetvrti korijen od 1? A −1? i? −i? Koliko kubnih korijena urealnim brojevima ima 8? A u kompleksnim?Ako je w kubni korijen od z = 8

(cos π4 + i sin π

4

), koja je njihova

veza?

|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(

cosπ

4+ i sin

π

4

).

Kolike su apsolutne vrijednosti kompleksnih brojeva u zagradama?Mozete li zakljuciti koliko iznosi |w |? Je li ta vrijednostjednoznacna? Nadite jedan kut ϕ koji zadovoljavacos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = cos π4 + i sin π

4 . Je li to jedini takav kut?Zasto? Koji su svi kutovi ϕ koji to zadovoljavaju?


Kako biste definirali sto je to n-ti korijen (kompleksnog) broja? Jeli 1 cetvrti korijen od 1? A −1? i? −i?

Koliko kubnih korijena urealnim brojevima ima 8? A u kompleksnim?Ako je w kubni korijen od z = 8

(cos π4 + i sin π

4

), koja je njihova

veza?

|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(

cosπ

4+ i sin

π

4

).




Kako biste definirali sto je to n-ti korijen (kompleksnog) broja? Jeli 1 cetvrti korijen od 1? A −1? i? −i? Koliko kubnih korijena urealnim brojevima ima 8? A u kompleksnim?

Ako je w kubni korijen od z = 8(cos π4 + i sin π

4

), koja je njihova

veza?

|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(

cosπ

4+ i sin

π

4

).




Kako biste definirali sto je to n-ti korijen (kompleksnog) broja? Jeli 1 cetvrti korijen od 1? A −1? i? −i? Koliko kubnih korijena urealnim brojevima ima 8? A u kompleksnim?Ako je w kubni korijen od z = 8

(cos π4 + i sin π

4

), koja je njihova

veza?

|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(

cosπ

4+ i sin

π

4

).





(cos π4 + i sin π

4

), koja je njihova

veza?

|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(

cosπ

4+ i sin

π

4

).

Kolike su apsolutne vrijednosti kompleksnih brojeva u zagradama?

Mozete li zakljuciti koliko iznosi |w |? Je li ta vrijednostjednoznacna? Nadite jedan kut ϕ koji zadovoljavacos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = cos π4 + i sin π




(cos π4 + i sin π

4

), koja je njihova

veza?

|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(

cosπ

4+ i sin

π

4

).

Kolike su apsolutne vrijednosti kompleksnih brojeva u zagradama?Mozete li zakljuciti koliko iznosi |w |? Je li ta vrijednostjednoznacna?

Nadite jedan kut ϕ koji zadovoljavacos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = cos π4 + i sin π




(cos π4 + i sin π

4

), koja je njihova

veza?

|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(

cosπ

4+ i sin

π

4

).


4 .

Je li to jedini takav kut?Zasto? Koji su svi kutovi ϕ koji to zadovoljavaju?



(cos π4 + i sin π

4

), koja je njihova

veza?

|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(

cosπ

4+ i sin

π

4

).


4 . Je li to jedini takav kut?Zasto?

Koji su svi kutovi ϕ koji to zadovoljavaju?



(cos π4 + i sin π

4

), koja je njihova

veza?

|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(

cosπ

4+ i sin

π

4

).




ϕk = π12 + 2

3kπ, k ∈ Z. Jesu li svi kompleksni brojevi apsolutnevrijednosti 2 i argumenta ϕk razliciti?

Koliko ih ima razlicitih? zima tri kompleksna treca korijena:

w0 = 2(

cos( π

12

)+ i sin

( π12

)),

w1 = 2

(cos

(9π

12π

)+ i sin

(9π

12

)),

w2 = 2

(cos

(17π

12π

)+ i sin

(17π

12

)).

Kolika je razlika argumenata w1 i w0? w2 i w1? w0 i w2? Kako sudakle u kompleksnoj ravnini rasporedeni w0, w1 i w2?


ϕk = π12 + 2

3kπ, k ∈ Z. Jesu li svi kompleksni brojevi apsolutnevrijednosti 2 i argumenta ϕk razliciti? Koliko ih ima razlicitih?

zima tri kompleksna treca korijena:

w0 = 2(

cos( π

12

)+ i sin

( π12

)),

w1 = 2

(cos

(9π

12π

)+ i sin

(9π

12

)),

w2 = 2

(cos

(17π

12π

)+ i sin

(17π

12

)).



ϕk = π12 + 2

3kπ, k ∈ Z. Jesu li svi kompleksni brojevi apsolutnevrijednosti 2 i argumenta ϕk razliciti? Koliko ih ima razlicitih? zima tri kompleksna treca korijena:

w0 = 2(

cos( π

12

)+ i sin

( π12

)),

w1 = 2

(cos

(9π

12π

)+ i sin

(9π

12

)),

w2 = 2

(cos

(17π

12π

)+ i sin

(17π

12

)).

Kolika je razlika argumenata w1 i w0? w2 i w1? w0 i w2?

Kako sudakle u kompleksnoj ravnini rasporedeni w0, w1 i w2?


ϕk = π12 + 2

3kπ, k ∈ Z. Jesu li svi kompleksni brojevi apsolutnevrijednosti 2 i argumenta ϕk razliciti? Koliko ih ima razlicitih? zima tri kompleksna treca korijena:

w0 = 2(

cos( π

12

)+ i sin

( π12

)),

w1 = 2

(cos

(9π

12π

)+ i sin

(9π

12

)),

w2 = 2

(cos

(17π

12π

)+ i sin

(17π

12

)).



Svaki kompleksan broj z ima n kompleksnih n-tih korijenaodredenih formulom

n√|z |(

cosθ + 2kπ

n+ i sin

θ + 2kπ

n

),

za k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Geometrijski, ti se korijeni nalaze uvrhovima pravilnog n-terokuta na kruznici radijusa n

√|z | (tu

gledamo korijen u smislu njegovog znacenja u realnim brojevima)kojoj je srediste u ishodistu, s tim da prvi od njih ima argument θ

n ,a svaki sljedeci za 2π/n veci (sve dok se ne prijede jedan punikrug).Odredite sve kubne korijene od i !


Eulerova formula

Eulerova formula daje jednostavniji oblik trigonometrijskog prikazakompleksnih brojeva:

e iθ = cos θ + i sin θ.

Stoga jez = |z |e iθ

tzv. eskponencijalni oblik kompleksnog broja z .Koliko iznosi e iπ?

e iπ/2? Koji je eksponencijalni oblik broja 10?−e? −2i? Ako je |z |e iθ, koji je eksponencijalni oblik od z? Od1/z?

zw = |z ||w |e i(θ+φ),z

w=|z ||w |

e i(θ−φ),

zn = |z |ne inθ.


Eulerova formula




tzv. eskponencijalni oblik kompleksnog broja z .Koliko iznosi e iπ? e iπ/2?

Koji je eksponencijalni oblik broja 10?−e? −2i? Ako je |z |e iθ, koji je eksponencijalni oblik od z? Od1/z?

zw = |z ||w |e i(θ+φ),z

w=|z ||w |

e i(θ−φ),

zn = |z |ne inθ.


Eulerova formula




tzv. eskponencijalni oblik kompleksnog broja z .Koliko iznosi e iπ? e iπ/2? Koji je eksponencijalni oblik broja 10?−e? −2i?

Ako je |z |e iθ, koji je eksponencijalni oblik od z? Od1/z?

zw = |z ||w |e i(θ+φ),z

w=|z ||w |

e i(θ−φ),

zn = |z |ne inθ.


Eulerova formula




tzv. eskponencijalni oblik kompleksnog broja z .Koliko iznosi e iπ? e iπ/2? Koji je eksponencijalni oblik broja 10?−e? −2i? Ako je |z |e iθ, koji je eksponencijalni oblik od z?

Od1/z?

zw = |z ||w |e i(θ+φ),z

w=|z ||w |

e i(θ−φ),

zn = |z |ne inθ.


Eulerova formula




tzv. eskponencijalni oblik kompleksnog broja z .Koliko iznosi e iπ? e iπ/2? Koji je eksponencijalni oblik broja 10?−e? −2i? Ako je |z |e iθ, koji je eksponencijalni oblik od z? Od1/z?

zw = |z ||w |e i(θ+φ),z

w=|z ||w |

e i(θ−φ),

zn = |z |ne inθ.


Eulerova formula




tzv. eskponencijalni oblik kompleksnog broja z .Koliko iznosi e iπ? e iπ/2? Koji je eksponencijalni oblik broja 10?−e? −2i? Ako je |z |e iθ, koji je eksponencijalni oblik od z? Od1/z?

zw = |z ||w |e i(θ+φ),z

w=|z ||w |

e i(θ−φ),

zn = |z |ne inθ.


Zbrojimo li i oduzmemo e iϕ i e−iϕ dobijemo

Re(e iϕ) = cosϕ =e iϕ + e−iϕ

2,

Im(e iϕ) = sinϕ =e iϕ − e−iϕ

2i.

Na sto vas podsjecaju te formule?

Koliko iznosi i i? Kako biste definirali ln i? Je li funkcijaf : C→ C, f (z) = ez bijekcija? Lnz = ln |z |+ iθ, −π < θ ≤ π




2,


2i.

Na sto vas podsjecaju te formule?Koliko iznosi i i?

Kako biste definirali ln i? Je li funkcijaf : C→ C, f (z) = ez bijekcija? Lnz = ln |z |+ iθ, −π < θ ≤ π




2,


2i.

Na sto vas podsjecaju te formule?Koliko iznosi i i? Kako biste definirali ln i?

Je li funkcijaf : C→ C, f (z) = ez bijekcija? Lnz = ln |z |+ iθ, −π < θ ≤ π




2,


2i.

Na sto vas podsjecaju te formule?Koliko iznosi i i? Kako biste definirali ln i? Je li funkcijaf : C→ C, f (z) = ez bijekcija?

Lnz = ln |z |+ iθ, −π < θ ≤ π




2,


2i.

Na sto vas podsjecaju te formule?Koliko iznosi i i? Kako biste definirali ln i? Je li funkcijaf : C→ C, f (z) = ez bijekcija? Lnz = ln |z |+ iθ, −π < θ ≤ π


Brojevni pravac

realni brojevi mogu se poistovjetiti s tockama pravca, uz uvjetda su na pravcu odabrane tocke koje predstavljaju brojeve 0 i1 (ili neki drugi par razlicitih brojeva kojim je odredena duljinakoja odgovara broju 1)

ako zelimo nanositi brojeve u rasponu od a do b u pravilubrojevni pravac crtamo tako da je broj a pri njegovom lijevomkraju, a broj b pri desnom;

neutralna oznaka za realne brojeve: x (ili y)

ako su nasi brojevi vrijednosti neke fizikalne velicine, primjericekoncentracije c mjerene u mol/L, onda je ta velicinapodijeljena s odabranom jedinicom realni broj i imamopoistovjecenje (koje koristimo pri oznaci osi):

x =fizikalna vel.

jed.


Kartezijev koordinatni sustav


U praksi . . .


Zadatak

Zadatak

Pri nekom eksperimentu dobivene su sljedece vrijednosti tlaka paraetanola pri razlicitim temperaturama:

t/◦C p/torr

25 55,90030 70,00035 93,80040 117,5045 154,1050 190,7055 241,9060 304,1565 377,90

Skicirajte podatke u pravokutnom koordinatnom sustavu tako dana apscisi budu temperature u kelvinima, a na ordinati tlak utorrima.


Sto je to funkcija, a sto njen graf?

U ducanu gumenih patkica Kvaaak! naplacuju patkice po njihovojmasi: svakih 20 grama kosta po 15 kuna.(a) Ako ste si odabrali jednu vecu patkicu od 100 g i jednu maluod 30 g, koliko cete platiti?

A koliko ce platiti vasa profesoricamatematike koja hoce kupiti pet velikih patkica mase po 120 g,dvije srednje po 80 g i cetiri male po 25 g? Koliko kosta 1 kggumenih patkica? A koliko vas asistent iz opceg praktikuma kojihoce kupiti samo jednu, ali veliku, od 130 g?(b) Sto ovisi o cemu u ovom primjeru? Oznacimo s x masupatkica u gramima (x = m/g), a s y cijenu patkica u kunama(y = P/kn). Tada y ovisi o x . Moze li y biti bilo kakav broj?Moze li x biti bilo kakav broj? Moze li se dogoditi da dvije osobekupe iste mase patkica, ali plate razlicite iznose?



U ducanu gumenih patkica Kvaaak! naplacuju patkice po njihovojmasi: svakih 20 grama kosta po 15 kuna.(a) Ako ste si odabrali jednu vecu patkicu od 100 g i jednu maluod 30 g, koliko cete platiti? A koliko ce platiti vasa profesoricamatematike koja hoce kupiti pet velikih patkica mase po 120 g,dvije srednje po 80 g i cetiri male po 25 g?

Koliko kosta 1 kggumenih patkica? A koliko vas asistent iz opceg praktikuma kojihoce kupiti samo jednu, ali veliku, od 130 g?(b) Sto ovisi o cemu u ovom primjeru? Oznacimo s x masupatkica u gramima (x = m/g), a s y cijenu patkica u kunama(y = P/kn). Tada y ovisi o x . Moze li y biti bilo kakav broj?Moze li x biti bilo kakav broj? Moze li se dogoditi da dvije osobekupe iste mase patkica, ali plate razlicite iznose?



U ducanu gumenih patkica Kvaaak! naplacuju patkice po njihovojmasi: svakih 20 grama kosta po 15 kuna.(a) Ako ste si odabrali jednu vecu patkicu od 100 g i jednu maluod 30 g, koliko cete platiti? A koliko ce platiti vasa profesoricamatematike koja hoce kupiti pet velikih patkica mase po 120 g,dvije srednje po 80 g i cetiri male po 25 g? Koliko kosta 1 kggumenih patkica?

A koliko vas asistent iz opceg praktikuma kojihoce kupiti samo jednu, ali veliku, od 130 g?(b) Sto ovisi o cemu u ovom primjeru? Oznacimo s x masupatkica u gramima (x = m/g), a s y cijenu patkica u kunama(y = P/kn). Tada y ovisi o x . Moze li y biti bilo kakav broj?Moze li x biti bilo kakav broj? Moze li se dogoditi da dvije osobekupe iste mase patkica, ali plate razlicite iznose?



U ducanu gumenih patkica Kvaaak! naplacuju patkice po njihovojmasi: svakih 20 grama kosta po 15 kuna.(a) Ako ste si odabrali jednu vecu patkicu od 100 g i jednu maluod 30 g, koliko cete platiti? A koliko ce platiti vasa profesoricamatematike koja hoce kupiti pet velikih patkica mase po 120 g,dvije srednje po 80 g i cetiri male po 25 g? Koliko kosta 1 kggumenih patkica? A koliko vas asistent iz opceg praktikuma kojihoce kupiti samo jednu, ali veliku, od 130 g?

(b) Sto ovisi o cemu u ovom primjeru? Oznacimo s x masupatkica u gramima (x = m/g), a s y cijenu patkica u kunama(y = P/kn). Tada y ovisi o x . Moze li y biti bilo kakav broj?Moze li x biti bilo kakav broj? Moze li se dogoditi da dvije osobekupe iste mase patkica, ali plate razlicite iznose?



U ducanu gumenih patkica Kvaaak! naplacuju patkice po njihovojmasi: svakih 20 grama kosta po 15 kuna.(a) Ako ste si odabrali jednu vecu patkicu od 100 g i jednu maluod 30 g, koliko cete platiti? A koliko ce platiti vasa profesoricamatematike koja hoce kupiti pet velikih patkica mase po 120 g,dvije srednje po 80 g i cetiri male po 25 g? Koliko kosta 1 kggumenih patkica? A koliko vas asistent iz opceg praktikuma kojihoce kupiti samo jednu, ali veliku, od 130 g?(b) Sto ovisi o cemu u ovom primjeru?

Oznacimo s x masupatkica u gramima (x = m/g), a s y cijenu patkica u kunama(y = P/kn). Tada y ovisi o x . Moze li y biti bilo kakav broj?Moze li x biti bilo kakav broj? Moze li se dogoditi da dvije osobekupe iste mase patkica, ali plate razlicite iznose?



U ducanu gumenih patkica Kvaaak! naplacuju patkice po njihovojmasi: svakih 20 grama kosta po 15 kuna.(a) Ako ste si odabrali jednu vecu patkicu od 100 g i jednu maluod 30 g, koliko cete platiti? A koliko ce platiti vasa profesoricamatematike koja hoce kupiti pet velikih patkica mase po 120 g,dvije srednje po 80 g i cetiri male po 25 g? Koliko kosta 1 kggumenih patkica? A koliko vas asistent iz opceg praktikuma kojihoce kupiti samo jednu, ali veliku, od 130 g?(b) Sto ovisi o cemu u ovom primjeru? Oznacimo s x masupatkica u gramima (x = m/g), a s y cijenu patkica u kunama(y = P/kn). Tada y ovisi o x . Moze li y biti bilo kakav broj?

Moze li x biti bilo kakav broj? Moze li se dogoditi da dvije osobekupe iste mase patkica, ali plate razlicite iznose?



U ducanu gumenih patkica Kvaaak! naplacuju patkice po njihovojmasi: svakih 20 grama kosta po 15 kuna.(a) Ako ste si odabrali jednu vecu patkicu od 100 g i jednu maluod 30 g, koliko cete platiti? A koliko ce platiti vasa profesoricamatematike koja hoce kupiti pet velikih patkica mase po 120 g,dvije srednje po 80 g i cetiri male po 25 g? Koliko kosta 1 kggumenih patkica? A koliko vas asistent iz opceg praktikuma kojihoce kupiti samo jednu, ali veliku, od 130 g?(b) Sto ovisi o cemu u ovom primjeru? Oznacimo s x masupatkica u gramima (x = m/g), a s y cijenu patkica u kunama(y = P/kn). Tada y ovisi o x . Moze li y biti bilo kakav broj?Moze li x biti bilo kakav broj?

Moze li se dogoditi da dvije osobekupe iste mase patkica, ali plate razlicite iznose?



U ducanu gumenih patkica Kvaaak! naplacuju patkice po njihovojmasi: svakih 20 grama kosta po 15 kuna.(a) Ako ste si odabrali jednu vecu patkicu od 100 g i jednu maluod 30 g, koliko cete platiti? A koliko ce platiti vasa profesoricamatematike koja hoce kupiti pet velikih patkica mase po 120 g,dvije srednje po 80 g i cetiri male po 25 g? Koliko kosta 1 kggumenih patkica? A koliko vas asistent iz opceg praktikuma kojihoce kupiti samo jednu, ali veliku, od 130 g?(b) Sto ovisi o cemu u ovom primjeru? Oznacimo s x masupatkica u gramima (x = m/g), a s y cijenu patkica u kunama(y = P/kn). Tada y ovisi o x . Moze li y biti bilo kakav broj?Moze li x biti bilo kakav broj? Moze li se dogoditi da dvije osobekupe iste mase patkica, ali plate razlicite iznose?


Funkcija f : D → K je jednoznacno pridruzivanje elemenatay = f (x) jednog skupa (kodomene K ) elementima x drugog skupa(domene D). Realne funkcije jedne varijable realnim brojevima

pridruzuju realne brojeve.U nasem primjeru, imamo funkciju koja masama pridruzuje njihovecijene, a cija domena i kodomena su skupovi nenegativnih realnihbrojeva.(c) Ovisi li omjer cijene i mase patkica o masi ili cijeni?

Koliko oniznosi?Par meduovisnih varijabilnih velicina zove se proporcionalnim akoje omjer (konstanta proporcionalnosti) njihovih vrijednostikonstantan, tj. jednak za svaki par odgovarajucih vrijednosti.

Ovisi li povrsina kruga proporcionalno o njegovu polumjeru? Aopseg? A omjer opsega i povrsine kruga o reciprocnoj vrijednostinjegova polumjera? Mozete li navesti jos neke primjereproporcionalnih ovisnosti?



pridruzuju realne brojeve.U nasem primjeru, imamo funkciju koja masama pridruzuje njihovecijene, a cija domena i kodomena su skupovi nenegativnih realnihbrojeva.(c) Ovisi li omjer cijene i mase patkica o masi ili cijeni? Koliko oniznosi?

Par meduovisnih varijabilnih velicina zove se proporcionalnim akoje omjer (konstanta proporcionalnosti) njihovih vrijednostikonstantan, tj. jednak za svaki par odgovarajucih vrijednosti.




pridruzuju realne brojeve.U nasem primjeru, imamo funkciju koja masama pridruzuje njihovecijene, a cija domena i kodomena su skupovi nenegativnih realnihbrojeva.(c) Ovisi li omjer cijene i mase patkica o masi ili cijeni? Koliko oniznosi?Par meduovisnih varijabilnih velicina zove se proporcionalnim akoje omjer (konstanta proporcionalnosti) njihovih vrijednostikonstantan, tj. jednak za svaki par odgovarajucih vrijednosti.





Ovisi li povrsina kruga proporcionalno o njegovu polumjeru?

Aopseg? A omjer opsega i povrsine kruga o reciprocnoj vrijednostinjegova polumjera? Mozete li navesti jos neke primjereproporcionalnih ovisnosti?




Ovisi li povrsina kruga proporcionalno o njegovu polumjeru? Aopseg?

A omjer opsega i povrsine kruga o reciprocnoj vrijednostinjegova polumjera? Mozete li navesti jos neke primjereproporcionalnih ovisnosti?




Ovisi li povrsina kruga proporcionalno o njegovu polumjeru? Aopseg? A omjer opsega i povrsine kruga o reciprocnoj vrijednostinjegova polumjera?

Mozete li navesti jos neke primjereproporcionalnih ovisnosti?






Rast i pad funkcije

Sto je volumen (idealnog) plina veci, to je tlak tog plina , asto je volumen manji, to je tlak .

S druge strane, sto je masa patkica veca, to je cijena tih patkica, a sto je masa patkica manja, to im je cijena .

Ako funkcija f ima svojstvo da sto je vrijednost nezavisne varijablex veca, to je i vrijednost zavisne varijable f (x) veca, kazemo da jefunkcija rastuca. Ako pak funkcija ima svojstvo da sto je vrijednostnezavisne varijable veca, to je vrijednost zavisne varijable manja,kazemo da je funkcija padajuca.Ako su dvije velicine proporcionalne, znaci li to da kad jedna raste,raste i druga? A obrnuto? Navedite neki primjer padajuceproporcionalne ovisnosti!


Rast i pad funkcije

Sto je volumen (idealnog) plina veci, to je tlak tog plina , asto je volumen manji, to je tlak .S druge strane, sto je masa patkica veca, to je cijena tih patkica

, a sto je masa patkica manja, to im je cijena .

Ako funkcija f ima svojstvo da sto je vrijednost nezavisne varijablex veca, to je i vrijednost zavisne varijable f (x) veca, kazemo da jefunkcija rastuca. Ako pak funkcija ima svojstvo da sto je vrijednostnezavisne varijable veca, to je vrijednost zavisne varijable manja,kazemo da je funkcija padajuca.Ako su dvije velicine proporcionalne, znaci li to da kad jedna raste,raste i druga? A obrnuto? Navedite neki primjer padajuceproporcionalne ovisnosti!


Rast i pad funkcije


, a sto je masa patkica manja, to im je cijena .Ako funkcija f ima svojstvo da sto je vrijednost nezavisne varijablex veca, to je i vrijednost zavisne varijable f (x) veca, kazemo da jefunkcija rastuca. Ako pak funkcija ima svojstvo da sto je vrijednostnezavisne varijable veca, to je vrijednost zavisne varijable manja,kazemo da je funkcija padajuca.

Ako su dvije velicine proporcionalne, znaci li to da kad jedna raste,raste i druga? A obrnuto? Navedite neki primjer padajuceproporcionalne ovisnosti!


Rast i pad funkcije


, a sto je masa patkica manja, to im je cijena .Ako funkcija f ima svojstvo da sto je vrijednost nezavisne varijablex veca, to je i vrijednost zavisne varijable f (x) veca, kazemo da jefunkcija rastuca. Ako pak funkcija ima svojstvo da sto je vrijednostnezavisne varijable veca, to je vrijednost zavisne varijable manja,kazemo da je funkcija padajuca.Ako su dvije velicine proporcionalne, znaci li to da kad jedna raste,raste i druga?

A obrnuto? Navedite neki primjer padajuceproporcionalne ovisnosti!


Rast i pad funkcije


, a sto je masa patkica manja, to im je cijena .Ako funkcija f ima svojstvo da sto je vrijednost nezavisne varijablex veca, to je i vrijednost zavisne varijable f (x) veca, kazemo da jefunkcija rastuca. Ako pak funkcija ima svojstvo da sto je vrijednostnezavisne varijable veca, to je vrijednost zavisne varijable manja,kazemo da je funkcija padajuca.Ako su dvije velicine proporcionalne, znaci li to da kad jedna raste,raste i druga? A obrnuto?

Navedite neki primjer padajuceproporcionalne ovisnosti!


Rast i pad funkcije


, a sto je masa patkica manja, to im je cijena .Ako funkcija f ima svojstvo da sto je vrijednost nezavisne varijablex veca, to je i vrijednost zavisne varijable f (x) veca, kazemo da jefunkcija rastuca. Ako pak funkcija ima svojstvo da sto je vrijednostnezavisne varijable veca, to je vrijednost zavisne varijable manja,kazemo da je funkcija padajuca.Ako su dvije velicine proporcionalne, znaci li to da kad jedna raste,raste i druga? A obrnuto? Navedite neki primjer padajuceproporcionalne ovisnosti!


Prikaz realne funkcije jedne varijable u Kartezijevom koordinatnomsustavu sastoji se od tocaka cije apscise su vrijednosti nezavisnevarijable, a ordinate pridruzene vrijednosti zavisne varijable.Opcenito, graf funkcije f : D → K je skup svih parova (x , f (x))gdje je x ∈ D, a prikaziv je u ravninskom Kartezijevomkoordinatnom sustavu samo ako se D i K mogu shvatiti kaopodskupovih realnih brojeva.

graf funkcije 6= slika funkcije


Skicirajte grafove koji bi opisivali sljedece procese:

1 Ovisnost prijedene udaljenosti o vremenu, pri voznji stalnombrzinom.

2 Ovisnost visine ventila na kotacu bicikla o pomaku bicikla.

3 Ovisnost temperature (u pocetku vruceg) caja o vremenu.

4 Ovisnost visine teniske loptice bacene uvis o vremenu.

5 Ovisnost duljina u incima i metrima.

6 Ovisnost udaljenosti koju je proletio padobranac koji je iskocioiz aviona o vremenu, do otvaranja padobrana.

7 Ovisnost promjera priblizno sferickog balona o broju upuhazraka kroz pumpicu.

8 Ovisnost preostalog volumena vode u velikoj posudi, kojunetko konstantnom brzinom pije kroz slamku, o vremenu.


Za svaki od sljedecih dijagrama utvrdite radi li se o prikazu grafaneke funkcije u Kartezijevom koordinatnom sustavu? Zasto? A akose zamijeni uloga apscise i ordinate kao nezavisne i zavisnevarijable?




















Za svaki od sljedecih prikaza grafova funkcija utvrdite pripadnudomenu.












Mora li graf funkcije sjeci os ordinata?

Sto govori o funkciji akograf ne sijece os ordinata? Ako graf sijece os ordinata, moze li bitivise sjecista? Ordinata tog jedinstvenog sjecista s osi ordinata, akotakvo postoji, predstavlja koji podatak o funkciji?Mora li graf funkcije sjeci os apscisa? Sto govori o funkciji ako grafne sijece os apscisa? Ako graf sijece os apscisa, moze li biti visesjecista? Apscisa svakog sjecista s osi apscisa predstavlja kojipodatak o funkciji?Kako biste pomocu grafickog prikaza utvrdili za koje vrijednostivarijable je funkcija pozitivna/negativna? A na kojim intervalimaraste/pada?


Mora li graf funkcije sjeci os ordinata? Sto govori o funkciji akograf ne sijece os ordinata?

Ako graf sijece os ordinata, moze li bitivise sjecista? Ordinata tog jedinstvenog sjecista s osi ordinata, akotakvo postoji, predstavlja koji podatak o funkciji?Mora li graf funkcije sjeci os apscisa? Sto govori o funkciji ako grafne sijece os apscisa? Ako graf sijece os apscisa, moze li biti visesjecista? Apscisa svakog sjecista s osi apscisa predstavlja kojipodatak o funkciji?Kako biste pomocu grafickog prikaza utvrdili za koje vrijednostivarijable je funkcija pozitivna/negativna? A na kojim intervalimaraste/pada?


Mora li graf funkcije sjeci os ordinata? Sto govori o funkciji akograf ne sijece os ordinata? Ako graf sijece os ordinata, moze li bitivise sjecista?

Ordinata tog jedinstvenog sjecista s osi ordinata, akotakvo postoji, predstavlja koji podatak o funkciji?Mora li graf funkcije sjeci os apscisa? Sto govori o funkciji ako grafne sijece os apscisa? Ako graf sijece os apscisa, moze li biti visesjecista? Apscisa svakog sjecista s osi apscisa predstavlja kojipodatak o funkciji?Kako biste pomocu grafickog prikaza utvrdili za koje vrijednostivarijable je funkcija pozitivna/negativna? A na kojim intervalimaraste/pada?


Mora li graf funkcije sjeci os ordinata? Sto govori o funkciji akograf ne sijece os ordinata? Ako graf sijece os ordinata, moze li bitivise sjecista? Ordinata tog jedinstvenog sjecista s osi ordinata, akotakvo postoji, predstavlja koji podatak o funkciji?

Mora li graf funkcije sjeci os apscisa? Sto govori o funkciji ako grafne sijece os apscisa? Ako graf sijece os apscisa, moze li biti visesjecista? Apscisa svakog sjecista s osi apscisa predstavlja kojipodatak o funkciji?Kako biste pomocu grafickog prikaza utvrdili za koje vrijednostivarijable je funkcija pozitivna/negativna? A na kojim intervalimaraste/pada?


Mora li graf funkcije sjeci os ordinata? Sto govori o funkciji akograf ne sijece os ordinata? Ako graf sijece os ordinata, moze li bitivise sjecista? Ordinata tog jedinstvenog sjecista s osi ordinata, akotakvo postoji, predstavlja koji podatak o funkciji?Mora li graf funkcije sjeci os apscisa?

Sto govori o funkciji ako grafne sijece os apscisa? Ako graf sijece os apscisa, moze li biti visesjecista? Apscisa svakog sjecista s osi apscisa predstavlja kojipodatak o funkciji?Kako biste pomocu grafickog prikaza utvrdili za koje vrijednostivarijable je funkcija pozitivna/negativna? A na kojim intervalimaraste/pada?


Mora li graf funkcije sjeci os ordinata? Sto govori o funkciji akograf ne sijece os ordinata? Ako graf sijece os ordinata, moze li bitivise sjecista? Ordinata tog jedinstvenog sjecista s osi ordinata, akotakvo postoji, predstavlja koji podatak o funkciji?Mora li graf funkcije sjeci os apscisa? Sto govori o funkciji ako grafne sijece os apscisa?

Ako graf sijece os apscisa, moze li biti visesjecista? Apscisa svakog sjecista s osi apscisa predstavlja kojipodatak o funkciji?Kako biste pomocu grafickog prikaza utvrdili za koje vrijednostivarijable je funkcija pozitivna/negativna? A na kojim intervalimaraste/pada?


Mora li graf funkcije sjeci os ordinata? Sto govori o funkciji akograf ne sijece os ordinata? Ako graf sijece os ordinata, moze li bitivise sjecista? Ordinata tog jedinstvenog sjecista s osi ordinata, akotakvo postoji, predstavlja koji podatak o funkciji?Mora li graf funkcije sjeci os apscisa? Sto govori o funkciji ako grafne sijece os apscisa? Ako graf sijece os apscisa, moze li biti visesjecista?

Apscisa svakog sjecista s osi apscisa predstavlja kojipodatak o funkciji?Kako biste pomocu grafickog prikaza utvrdili za koje vrijednostivarijable je funkcija pozitivna/negativna? A na kojim intervalimaraste/pada?


Mora li graf funkcije sjeci os ordinata? Sto govori o funkciji akograf ne sijece os ordinata? Ako graf sijece os ordinata, moze li bitivise sjecista? Ordinata tog jedinstvenog sjecista s osi ordinata, akotakvo postoji, predstavlja koji podatak o funkciji?Mora li graf funkcije sjeci os apscisa? Sto govori o funkciji ako grafne sijece os apscisa? Ako graf sijece os apscisa, moze li biti visesjecista? Apscisa svakog sjecista s osi apscisa predstavlja kojipodatak o funkciji?

Kako biste pomocu grafickog prikaza utvrdili za koje vrijednostivarijable je funkcija pozitivna/negativna? A na kojim intervalimaraste/pada?


Mora li graf funkcije sjeci os ordinata? Sto govori o funkciji akograf ne sijece os ordinata? Ako graf sijece os ordinata, moze li bitivise sjecista? Ordinata tog jedinstvenog sjecista s osi ordinata, akotakvo postoji, predstavlja koji podatak o funkciji?Mora li graf funkcije sjeci os apscisa? Sto govori o funkciji ako grafne sijece os apscisa? Ako graf sijece os apscisa, moze li biti visesjecista? Apscisa svakog sjecista s osi apscisa predstavlja kojipodatak o funkciji?Kako biste pomocu grafickog prikaza utvrdili za koje vrijednostivarijable je funkcija pozitivna/negativna?

A na kojim intervalimaraste/pada?


Mora li graf funkcije sjeci os ordinata? Sto govori o funkciji akograf ne sijece os ordinata? Ako graf sijece os ordinata, moze li bitivise sjecista? Ordinata tog jedinstvenog sjecista s osi ordinata, akotakvo postoji, predstavlja koji podatak o funkciji?Mora li graf funkcije sjeci os apscisa? Sto govori o funkciji ako grafne sijece os apscisa? Ako graf sijece os apscisa, moze li biti visesjecista? Apscisa svakog sjecista s osi apscisa predstavlja kojipodatak o funkciji?Kako biste pomocu grafickog prikaza utvrdili za koje vrijednostivarijable je funkcija pozitivna/negativna? A na kojim intervalimaraste/pada?


Za svaki od sljedecih prikaza grafova funkcija odredite vrijednostfunkcije u 0, nultocke, intervale pozitivnosti funkcije te intervalepada.










Sto je zajednicko skupu R, intervalima [−1, 1], 〈−π, π〉 te skupu. . . ∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1] ∪ 〈2, 3] ∪ 〈4, 5] ∪ . . ., a nije imzajednicko s intervalima [−2, 2〉 i 〈0, 3〉?

Ako u funkciju ne postojielement domene takav da njegov suprotni element nije u domeni,kazemo da je domena simetricna.Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo da je zasvaki element domene svejedno uvrstimo li njega ili njemu suprotniu funkciju, kako ce izgledati graf funkcije u Kartezijevomkoordinatnom sustavu? Kako biste formulom izrazili navedenosvojstvo (parnost funkcije)?Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo dauvrstavanjem bilo kojeg elementa domene i njemu suprotnog ufunkciju uvijek dobivamo par suprotnih brojeva, kako ce izgledatigraf funkcije u Kartezijevom koordinatnom sustavu? Kako bisteformulom izrazili navedeno svojstvo (neparnost funkcije)?Skicirajte primjer grafa neparne funkcije s domenom [−2, 2] i parnes domenom . . .∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1]∪ 〈2, 3]∪ 〈4, 5]∪ . . .te intervalima [−1, 1].


Sto je zajednicko skupu R, intervalima [−1, 1], 〈−π, π〉 te skupu. . . ∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1] ∪ 〈2, 3] ∪ 〈4, 5] ∪ . . ., a nije imzajednicko s intervalima [−2, 2〉 i 〈0, 3〉? Ako u funkciju ne postojielement domene takav da njegov suprotni element nije u domeni,kazemo da je domena simetricna.Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo da je zasvaki element domene svejedno uvrstimo li njega ili njemu suprotniu funkciju, kako ce izgledati graf funkcije u Kartezijevomkoordinatnom sustavu?

Kako biste formulom izrazili navedenosvojstvo (parnost funkcije)?Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo dauvrstavanjem bilo kojeg elementa domene i njemu suprotnog ufunkciju uvijek dobivamo par suprotnih brojeva, kako ce izgledatigraf funkcije u Kartezijevom koordinatnom sustavu? Kako bisteformulom izrazili navedeno svojstvo (neparnost funkcije)?Skicirajte primjer grafa neparne funkcije s domenom [−2, 2] i parnes domenom . . .∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1]∪ 〈2, 3]∪ 〈4, 5]∪ . . .te intervalima [−1, 1].


Sto je zajednicko skupu R, intervalima [−1, 1], 〈−π, π〉 te skupu. . . ∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1] ∪ 〈2, 3] ∪ 〈4, 5] ∪ . . ., a nije imzajednicko s intervalima [−2, 2〉 i 〈0, 3〉? Ako u funkciju ne postojielement domene takav da njegov suprotni element nije u domeni,kazemo da je domena simetricna.Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo da je zasvaki element domene svejedno uvrstimo li njega ili njemu suprotniu funkciju, kako ce izgledati graf funkcije u Kartezijevomkoordinatnom sustavu? Kako biste formulom izrazili navedenosvojstvo (parnost funkcije)?

Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo dauvrstavanjem bilo kojeg elementa domene i njemu suprotnog ufunkciju uvijek dobivamo par suprotnih brojeva, kako ce izgledatigraf funkcije u Kartezijevom koordinatnom sustavu? Kako bisteformulom izrazili navedeno svojstvo (neparnost funkcije)?Skicirajte primjer grafa neparne funkcije s domenom [−2, 2] i parnes domenom . . .∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1]∪ 〈2, 3]∪ 〈4, 5]∪ . . .te intervalima [−1, 1].


Sto je zajednicko skupu R, intervalima [−1, 1], 〈−π, π〉 te skupu. . . ∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1] ∪ 〈2, 3] ∪ 〈4, 5] ∪ . . ., a nije imzajednicko s intervalima [−2, 2〉 i 〈0, 3〉? Ako u funkciju ne postojielement domene takav da njegov suprotni element nije u domeni,kazemo da je domena simetricna.Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo da je zasvaki element domene svejedno uvrstimo li njega ili njemu suprotniu funkciju, kako ce izgledati graf funkcije u Kartezijevomkoordinatnom sustavu? Kako biste formulom izrazili navedenosvojstvo (parnost funkcije)?Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo dauvrstavanjem bilo kojeg elementa domene i njemu suprotnog ufunkciju uvijek dobivamo par suprotnih brojeva, kako ce izgledatigraf funkcije u Kartezijevom koordinatnom sustavu?

Kako bisteformulom izrazili navedeno svojstvo (neparnost funkcije)?Skicirajte primjer grafa neparne funkcije s domenom [−2, 2] i parnes domenom . . .∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1]∪ 〈2, 3]∪ 〈4, 5]∪ . . .te intervalima [−1, 1].


Sto je zajednicko skupu R, intervalima [−1, 1], 〈−π, π〉 te skupu. . . ∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1] ∪ 〈2, 3] ∪ 〈4, 5] ∪ . . ., a nije imzajednicko s intervalima [−2, 2〉 i 〈0, 3〉? Ako u funkciju ne postojielement domene takav da njegov suprotni element nije u domeni,kazemo da je domena simetricna.Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo da je zasvaki element domene svejedno uvrstimo li njega ili njemu suprotniu funkciju, kako ce izgledati graf funkcije u Kartezijevomkoordinatnom sustavu? Kako biste formulom izrazili navedenosvojstvo (parnost funkcije)?Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo dauvrstavanjem bilo kojeg elementa domene i njemu suprotnog ufunkciju uvijek dobivamo par suprotnih brojeva, kako ce izgledatigraf funkcije u Kartezijevom koordinatnom sustavu? Kako bisteformulom izrazili navedeno svojstvo (neparnost funkcije)?

Skicirajte primjer grafa neparne funkcije s domenom [−2, 2] i parnes domenom . . .∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1]∪ 〈2, 3]∪ 〈4, 5]∪ . . .te intervalima [−1, 1].


Sto je zajednicko skupu R, intervalima [−1, 1], 〈−π, π〉 te skupu. . . ∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1] ∪ 〈2, 3] ∪ 〈4, 5] ∪ . . ., a nije imzajednicko s intervalima [−2, 2〉 i 〈0, 3〉? Ako u funkciju ne postojielement domene takav da njegov suprotni element nije u domeni,kazemo da je domena simetricna.Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo da je zasvaki element domene svejedno uvrstimo li njega ili njemu suprotniu funkciju, kako ce izgledati graf funkcije u Kartezijevomkoordinatnom sustavu? Kako biste formulom izrazili navedenosvojstvo (parnost funkcije)?Ako funkcija ima simetricnu domenu i dodatno svojstvo dauvrstavanjem bilo kojeg elementa domene i njemu suprotnog ufunkciju uvijek dobivamo par suprotnih brojeva, kako ce izgledatigraf funkcije u Kartezijevom koordinatnom sustavu? Kako bisteformulom izrazili navedeno svojstvo (neparnost funkcije)?Skicirajte primjer grafa neparne funkcije s domenom [−2, 2] i parnes domenom . . .∪ [−5,−4〉 ∪ [−3,−2〉 ∪ [−1, 1]∪ 〈2, 3]∪ 〈4, 5]∪ . . .te intervalima [−1, 1].


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = f (x) + 3.

Kako ceizgledati graf od g? A kako ce izgledati graf funkcije zadane sh(x) = f (x)− 10? Mozete li ustanoviti opce pravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = f (x) + 3. Kako ceizgledati graf od g?

A kako ce izgledati graf funkcije zadane sh(x) = f (x)− 10? Mozete li ustanoviti opce pravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = f (x) + 3. Kako ceizgledati graf od g? A kako ce izgledati graf funkcije zadane sh(x) = f (x)− 10? Mozete li ustanoviti opce pravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = f (x − 1).

Kako ceizgledati graf od g? A kako ce izgledati graf funkcije zadane sh(x) = f (x + 2)? Mozete li ustanoviti opce pravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = f (x − 1). Kako ceizgledati graf od g?

A kako ce izgledati graf funkcije zadane sh(x) = f (x + 2)? Mozete li ustanoviti opce pravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = f (x − 1). Kako ceizgledati graf od g? A kako ce izgledati graf funkcije zadane sh(x) = f (x + 2)? Mozete li ustanoviti opce pravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = −f (x).

Kako ce izgledatigraf od g? Mozete li ustanoviti opce pravilo? A kako ce izgledatigraf funkcije zadane s h(x) = f (−x)? Mozete li ustanoviti opcepravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = −f (x). Kako ce izgledatigraf od g? Mozete li ustanoviti opce pravilo?

A kako ce izgledatigraf funkcije zadane s h(x) = f (−x)? Mozete li ustanoviti opcepravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = −f (x). Kako ce izgledatigraf od g? Mozete li ustanoviti opce pravilo?

A kako ce izgledatigraf funkcije zadane s h(x) = f (−x)? Mozete li ustanoviti opcepravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = −f (x). Kako ce izgledatigraf od g? Mozete li ustanoviti opce pravilo? A kako ce izgledatigraf funkcije zadane s h(x) = f (−x)? Mozete li ustanoviti opcepravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = −f (x). Kako ce izgledatigraf od g? Mozete li ustanoviti opce pravilo? A kako ce izgledatigraf funkcije zadane s h(x) = f (−x)? Mozete li ustanoviti opcepravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = 2f (x).

Kako ce izgledatigraf od g? A kako ce izgledati graf funkcije zadane sh(x) = f (x)/2? Mozete li ustanoviti opce pravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = 2f (x). Kako ce izgledatigraf od g?

A kako ce izgledati graf funkcije zadane sh(x) = f (x)/2? Mozete li ustanoviti opce pravilo?


Na slici je prikazan graf neke funkcije f . Odredite i skicirajte tritocke na grafu funkcije zadane s g(x) = 2f (x). Kako ce izgledatigraf od g? A kako ce izgledati graf funkcije zadane sh(x) = f (x)/2? Mozete li ustanoviti opce pravilo?

Predavanje prvo: Brojevi. - prelog.chem.pmf.hrprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat1-tjedan1.pdf · brojeva i mjernih jedinica. Ponekad se pojavljuju i " cisti" brojevi, poput logaritama

Documents