-
MATRIČNA ANALIZAOpšteMetoda sila i metoda deformacije su dvije
osnovne metode i u klasičnoj i u matričnoj formulaciji. U klasičnoj
formulaciji dati statički sistem se posmatra kao cjelina (system
approache). U proračunu se usvaja ona metoda koja je pogodnija za
analizu datog sistema. Izbor metode zavisi od statičke ili
deformacijske neodređenost nosača. Ako je statička neodređenost
manja bira se metoda sila ili obrnuto.
1) Uslovi kompatibilnosti čvorova 2) Uslovi ravnoteže čvorova 3)
Uslovi oslanjanja sistema
U matričnoj formulaciji metode sila i metode deformacija osnovu
čini štap kao element sistema (element approache). Sistem je
diskretan, sastavljen od pojedinih štapova – elemenata sistema koji
su međusobno vezani u diskretnim tačkama čvorovima sistema.
Analiza diskretnog sistema se sastoji od sljedeća dva dijela:1)
Analiza elementa (štapa)2) Analiza strukture (sistema
elemenata-štapova)
U analizi elementa polazi se od osnovnih jednačina teorije štapa
i uspostavlja veza između generalisanih sila i generalisanih
pomjeranja u čvorovima na krajevima elemenata. U analizi strukture,
odnosno, sistema štapova kao cjeline polazi se od veza između sila
i pomjeranja koje važe za pojedine elemente. Na osnovu tih relacija
formiraju se odgovarajuće jednačine za strukturu štapova uz vođenje
računa o vezama u čvorovima, uslovima ravnoteže i načinu
oslanjanja.
. U tu svrhu koriste se:
-
Nepoznate u metodi deformacije su komponente pomjeranja u i v i
obrtanja čvorova .
K* - matrica krutosti sistema elemenata
q* - vektor nepoznatih parametara pomjeranja
S* - vektor čvornog opterećenja sistema
U dobijenom sistemu jednačina nepoznate su parametri u
čvorovima.
To mogu biti generalisane sile (sile i momenti) i/ili
generalisana pomjeranja (komponentalna pomjeranja i
obrtanja)
U zavisnosti od izbora nepoznatih u analizi postoje tri
metode:
Metoda deformacije
Metoda sila
Mješovita ili hibridna metoda.
Zbog svoje opštosti i jednostavnosti najviše je u primjeni
metoda deformacije, pa je ona predmet naših razmatranja.
Uvodimo pojmove:R – vektor sila
q – vektor pomjeranja
k – matrica krutostiZa svaki štap može se napisati sljedeća veza
ove tri veličine: R=k qNa osnovu analize strukture (sistema
štapova) i formiranih matrica krutosti pojedinih štapova formira se
matrica krutosti sistema štapova K*:
K* q* = S*
gdje su:
-
Na osnovu principa superpozicije uticaja, uticaji u sistemu se
računaju na način koji je dat na slici kao zbir uticaja
ekvivalentnog sistema koji je deformacijski određen i uticaja usled
ekvivalentnog opterećenja:
Ovo opterećenje se naziva ekvivalentno čvorno opterećenje.
Na slici (a) štapovi su opterećeni opterećenjem usled kojeg se
određuju reaktivne sile i momenti uz pretpostavku da su ui, vi, i
=0. Odnosno, reaktivne sile i momenti su određeni u sistemu u kojem
se čvorovi ne pomjeranju i presjeci ne obrću (deformacijski određen
sistem).
Sistem na slici (b) opterećen je u čvorovima i to opterećenjem
koje je po intenzitetu jednako opterećenju u čvorovima sistema
štapova ali sa promijenjenim znakom.
dati sistem (a) ekvivalentni sistem (b) ekvivalentno
opterećenje
ui, vi, i =0 ui, vi, i
Iz navedenog sistema jednačina određuju se nepoznati parametri
pomjeranja q*, a zatim se iz relacije određuju sile na krajevima
štapova, odnosno čvorovima elemenata.
= +
-
Znači u analizi, na nivou elementa, pored veze generalisanih
sila i generalisanih pomjeranja u čvorovima elementa koja se
uspostavlja preko matrice krutosti elementa, određuje se i vektor
ekvivalentnog opterećenja elementa.
U čvoru sa kruto vezanim štapovima, prema definiciji krute veze,
svi kruto vezani štapovi obrću se za isti ugao tako da je ukupan
broj nepoznatih uglova obrtanja jednak broju grupa kruto vezanih
štapova u sistemu, m:
Ovaj stav predstavlja osnovu koncepta matrične analize metodom
deformacije.
On praktično znači da se pri određivanju pomjeranja i obrtanja
čvorova sistema spoljašnji uticaji duž pojedinih štapova zamjenjuju
ekvivalentnim opterećenjem na njegovim krajevima, odnosno, u
čvorovima sistema što je znatno pogodnije za analizu od stvarno
zadatog opterećenja.
Ekvivalentno opterećenje se određuje u kinematički određenom
sistemu i jednako je negativnim vrijednostima reakcija oslonaca
totalno uklještenih štapova.
Kinematička (deformacijska) neodređenost sistemaUkupan broj
nepoznatih, međusobno nezavisnih parametara pomjeranja, predstavlja
kinematički ilideformacijsku neodređenost sistema.
U slučaju ravnih sistema svaki čvor ima dvije komponente
pomjeranja, stoga će k čvorova u sistemuimati 2k nepoznatih
komponentalnih pomjeranja.
i’ ii
-
2 53 6
1 4
Ukupan broj nezavisnih parametara pomjeranja sistema umanjuje se
za broj spriječenih ili zadatih pomjeranja u osloncima.
Ukupan broj deformacijski nepoznatih određuje se pomoću
izraza:
nt = (2k – zo) + mOvim izrazom definisan je broj deformacijski
nepoznatih za slučaj kada se ne zanemaruje uticaj normalnih sila na
deformaciju sistema.
U približnoj metodi deformacija uticaj normalnih sila na
deformaciju nosača se zanemaruje, iz tog razloga broj deformacijski
nepoznatih se određuje primjenom izraza:
np= [2k – (zo+zs)] + m Na slici je prikazan je način određivanja
deformacijski neodređenih veličina za oba navedena slučaja:
2 31 1
tačna metoda deformacije
nt = (2k – zo) + m =(2x4-4)+2=6
nepoznate: 1, 2, 3, 4, 5 i 6
približna metoda deformacije
np= (2k – zo – zs) + m =(2x4-4-3)+2=3
nepoznate: 1, 2 i 3
-
P1 P2
1 2 2
Veze između sila i pomjeranjaZa elastično tijelo definišu se dva
osnovna pojma matrične analize linijskih nosača:
Matrica fleksibilnosti
Matrica krutostiPosmatraćemo prostu gredu opterećenu silom P1 u
tački 1 i momentom P2 u tački 2, kako je to prikazano na
slici.Nosač je idealno elastičan, a pomjeranja 1 i 2 su male
veličine.
P1=1
1 2f f21
P2=1
1 2f f22
2
1
2221
1211
2
1
PP
ffff
01
2221
1211
2
1
ffff
21
11
2
1
ff
Primjenom superpozicije uticaja pomjeranja napadnih
tačakageneralisanih sila P1 i P2 , mogu se sračunati na sljedeći
način:
sijedi
10
2221
1211
2
1
ffff
22
12
2
1
ff
P1=1 i P2=0
P1=0 i P2=1
sijedi
Koeficijenti f11 i f21 predstavljaju vertikalno pomjeranje tačke
1 i obrtanje tačke 2, usleddejstva sile P1=1, dok koeficijenti f12
i f22 predstavljaju vertikalno pomjeranje u tački 1 iobrtanje u
tački 2, usled dejstva momenta P2=1.
-
k11 k21
1 2 2
k12 k22
1 2 2
fij , i,j=1,2 su koeficijenti gipkosti ili koeficijenti
fleksibilnosti nosača koji odgovaraju silama Pi(i=1,2).
Veze između sila i pomjeranja date su u sljedećem obliku:
2
1
2221
1211
2
1
kkkk
PP
01
2221
1211
2
1
kkkk
PP
10
2221
1211
2
1
kkkk
PP
Koeficijenti k11 i k21 predstavljaju silu u tački 1 i moment u
tački 2 usled kojihnastaju pomjeranja 1=1 i 2=0, dok koeficijenti
k12 i k22 predstavljaju silu u tački 1 i moment u tački 2 kada je
obrtanje 2=1 i 1=0.
i
21
11
2
1
kk
PP
i
22
12
2
1
kk
PP
kij , i,j=1,2 su koeficijenti krutosti nosača koji odgovaraju
pomjeranjima 1 i 2.
-
n
j
nnnjn
iniji
nj
n
i
R
R
R
fff
fff
fff
q
q
q
...
...
.....................
.....................
......
...
...1
1
1
11111
RFq
Veze pomjeranja i sila mogu da se uopšte za proizvoljan nosač na
koji djeluje proizvoljansistem sila Ri u tačkama i =1,2,...,n i
odgovarajućim generalisanim pomjeranjima qi utačkama i=1,...,n:
Skraćeni matrični oblik:
Elementi j-te kolone matrice fleksibilnosti F predstavljaju
generalisana pomjeranja
qi, i=1,...,n usled dejstva jedinične sile Rj=1, dok su sve
ostale sile jednake nuli.
F - matrica fleksibilnosti
-
n
j
nnnjn
iniji
nj
n
i
q
q
q
kkk
kkk
kkk
R
R
R
...
...
.....................
.....................
......
...
...1
1
1
11111
qkR
jiij ff
Na sličan način, zavisnost sila i pomjeranja uopšte za
proizvoljan nosač može se prikazati u sljedećem obliku:
ili u skraćnom matričnom obliku
Na osnovu Maxwell-ovog stava o uzajamnosti pomjeranja slijedi da
je matrica fleksibilnosti simetrična, slijedi:
Iz navedene relacije vidi se da je F=K-1 pa se zaključuje da je
i matrica krutosti, takođe,simetrična.
Elementi j-te kolone matrice k predstavljaju generalisane sile
Ri u tačkama i=1,...,n usled jediničnog generalisanog pomjeranja
qj=1 dok su sva ostala generalisana pomjeranja jednaka nuli.
F = FTodnosno:
-
Formiranje matrica krutosti svih elemenata-štapova zadatog
nosača
Određivanje vektora ekvivalentnog čvornog opterećenja za sve
štapove koji su
opterećeni, Q
Formiranje matrica krutosti štapova u globalnom koordinatnom
sistemu
Formiranje matrice krutosti sistema štapova K* i vektora
slobodnih članova S*
Određivanje vektora nepoznatih pomjeranja sistema štapova q*
Određivanje nepoznatih sila na krajevima štapova R
Algoritam za proračun uticaja u nosaču, primjenom matrične
analize, ima sljedeće korake:
Prikazaćemo matričnu analizu za:
Ravne linijske nosače (puni i rešetkasti nosači)
Prostorne nosače (puni i rešetkasti nosači)
Roštilje.
-
Osnovne nepoznate, konvencija i oznake
Matrična analiza štapa U matričnoj analizi štap je osnovni
element. Najjednostavniji je model pravog prizmatičnog štapa sa
čvorovima na njegovimkrajevima koji se razmatra u dekartovom
koordinatnom sistemu.Složeno naponsko stanje štapa u ravni može se
razdvojiti na: aksijalno naprezanje,savijanje i torziju.Za
aksijalno naprezanje i savijanje prikazaće se postupak izvođenja
matrice krutostidirektnim i varijacionim postupkom, dok će matrica
krutosti torzije biti izvedena direktnimpostupkom.
Na slici je prikazan prav prizmatičan štap proizvoljnog
poprečnog presjeka dužine l, krajevi štapasu označeni sa i i
k.Postavljen je Descartes-ov pravougli koordinatni sistem x,y,z
tako da se osa x poklapa sa osomštapa a ose y i z sa pravcima
glavnih osa inercije. Sistem (x,y,z) naziva se lokalni
koordinatnisistem.
Sistem (x,y,z) naziva se lokalni koordinatni sistem.
xk
y
iz
vk, Tyk uk, Nk
vi, Tyi wk,Tzk
ui, Ni +konvencija
wi, Tzi
yk,Myk xk,Mxk zk,Mzk
yi, Myi zi,Mzi
xi,Mxi
-
nTkTiT qqqqqq ...21
Broj stepeni slobode čvora jednak je broju generalisanih
pomjeranja čvorova, dok je broj stepeni slobode štapa jednak zbiru
stepeni slobode u čvorovima.
Vektor pomjeranja štapa:
n-broj stepeni slobode štapa
Osnovne kinematičke veličine u čvorovima su generalisana
pomjeranja u, v, w u pravcima x, y, z i obrtanja x, y, z oko osa
x,y,z, respektivno.
Za generalisana pomjeranja u čvorovima upotrebljavaju se i
nazivi parametripomjeranja ili stepeni slobode.
Vektori pomjeranja krajeva štapa i i k je:
zkykxkkkkziyixiiiiT wvuwvuq
][ zkykxkkkkTk wvuq
][ ziyixiiiiTi wvuq
-
][ ziyixiziyiiTi MMMTTNR
][ zkykxkzkykkTk MMMTTNR
zkykxkzkykkziyixiziyiiT MMMTTNMMMTTNR
nTkTiT RRRRRR ...21
Osnovne statičke veličine u čvorovima prostornog štapa su
generalisane sile Nx, Ty, Tz, Mx, My, Mz.
Generalisane sile u čvorovima i i k prikazuju se kao komponente
vektora sila Ri i Rk:
Vektor generalisanih sila štapa može se napisati u sljedećem
obliku:
-
TkTiT qqq iiiTi vuq
kkkTk vuq
kkkiiiTkTiT vuvuqqqqqqqqq 654321
Za štap u ravni, lokalni koordinatni sistem je xoy, pri čemu se
osa x poklapa saosom štapa
Slijedi da su komponente vektora pomjeranja za štap u ravni:
Subvektori vektora pomjeranja su qiT i qkT:
vk ukk x
k y
vii
ui i
+
Tk NkMk
Ti ikMi
Ni
xk
y ik
i lik
-
i
i
i
i
MTN
R
k
k
k
k
MTN
R
6
5
4
3
2
1
RRRRRR
MTNMTN
RR
R
k
k
k
i
i
i
k
i
qkR
n
j
nnnjn
iniji
nj
n
i
q
q
q
kkk
kkk
kkk
R
R
R
...
...
.....................
.....................
......
...
...1
1
1
11111
Vektor sila na krajevima štapova je:
Veze između vektora generalisanih sila R i vektora generalisanih
pomjeranja q dat je sa:
razvijeni matrični oblik:
Vektor sila štapa sastoji od subvektora sila u čvorovima
štapa:
Matrica krutosti štapa
-
TnjijjTni kkkRRR 11
Ako je qj=1 a qi=0 za i≠j tada slijedi:
Element kij matrice krutosti štapa jednak je generalisanoj sili
Ri koja nastaje usledgeneralisanog pomjeranja qj=1, pri čemu su sva
ostala pomjeranja jednaka nuli.
nj
ij
j
nnnjn
iniji
nj
n
i
k
k
k
kkk
kkk
kkk
R
R
R
...
...
0...1...0
.....................
.....................
......
...
...1
1
1
11111
Matrica kojom se uspostavlja neposredna veza između
generalisanih sila igeneralisanih pomjeranja na krajevima štapa
naziva se MATRICA KRUTOSTIŠTAPA.
Matrica krutosti štapa je simetrična u odnosu na glavnu
dijagonalu kij=kji što je posledica Maxwell-ovog stava o
uzajamnosti pomjeranja.
Ovo predstavlja geometrijsko-statičko tumačenje elementa matrice
krutosti štapa i putkojim se definiše postupak za određivanje
elemenata matrice krutosti.
Ovaj način određivanja matrice krutosti štapa naziva se direktan
postupak ili direktnametoda.
-
62
52
42
32
22
12
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
6
5
4
3
2
1
000010
kkkkkk
kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
RRRRRR
Matrica k je simetrična matrica za koju ne postoji inverzna
matrica, izrazloga što su tri komponente sila na krajevima štapa
međusobno nezavisnea druge tri se mogu odrediti iz uslova ravnoteže
(linearno zavisne) štapa.
01
65431
2
qqqqqqk32
k62k42
k12k22 k52
Primjer određivanja članova matrice krutosti štapa u ravni:
Reakcije obostrano uklještenogštapa predstavljaju članove
drugekolone matrice krutosti štapa i-k.
stanje q2=1
q22 q5 5q3 3 q6 6
q11 q4 4
q2=1
Matrica krutosti štapa je kvadratna matrica reda nxn, gdje je n
broj stepeni slobodepomjeranja elementa/štapa.
-
k
k
k
i
i
i
QQQQQQ
MTNMTN
6
5
4
3
2
1
Vektor ekvivalentnog opterećenja
Vektor ekvivalentnog opterećenja čine negativne vrijednosti
reakcija krajeva totalnouklještenog štapa usled zadatog opterećenja
koje djeluje na štap.
Zadato opterećenje može biti raspodijeljeno opterećenje p i m,
koncentrisane sile imomenti P, M, temperaturna promjena t i
temperaturna razlika t.
Koncentrisano opterećenje na krajevima štapa kojim se zamjenjuju
spoljašnji uticaji koji djeluju duž ose štapa naziva se
EKVIVALENTNO OPTEREĆENJE.
Za komponente ekvivalentnog opterećenja (sile i momenti) u
čvorovima štapa važi istakonvencija kao i za generalisane sile.
+
Ti TkMi p Mk
Ni t, t Nk
ekvivalentno čvorno opt.
Ti TkMi Mk
Ni Nk
Q3 Q6Q1 Q4
Q2 Q5
-
k
i
NN
R
k
i
uu
q
k
i
k
i
uu
kkkk
NN
2221
1211
Štap koji je u stanju aksijalnog naprezanja prikazan je na
slici, geometrijske i materijalnekarakteristike štapa su dužina
štapa l, površina poprečnog presjeka F i modul elastičnosti E.
ui, Ni E,F uk, Nkl
Direktan postupak određivanja matrice krutosti i vektora
ekvivalentnog opterećenjaNaponsko stanje u ravni razdvajamo na:
Ukupno naprezanje dobijamo superpozicijom ova dva
naprezanja.
Aksijalno naprezanje štapa
aksijalno naprezanje
i savijanje silama u ravni xoy
Parametri pomjeranja u čvorovima i i k su pomjeranja u pravcu
ose štapa ui i uk pa element ima dva stepena slobode pomjeranja, po
jedan u svakom čvoru. Generalisane sile u čvorovima su aksijalne
sile Ni i Nk.
-
11 12 11
21 22 21
10
i
k
N k k kN k k k
lll 1
lEE l
EFFEFN
11
21
i
k
EFN k lN k EF
l
a) za slučaj kada je q1=1 i q2=0 slijedi da je:
l =ui=1
Kada se vrijednost normalne sile ubaci u veze sila i pomjeranja,
vodeći računa o pozitivnoj konvenciji za sile:
Na osnovu geometrijsko-statičkog tumačenja
k11 k21E,F,l
q1=ui=1
+R1 R2
-
lEFFEFN
22
12
2221
1211
10
kk
kkkk
NN
k
i
1111
2221
1211
lEF
kkkk
k
b) za slučaj kada je q1=0 i q2=1 slijedi da je:
Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa je:
lEF
lEF
kk
NN
k
i
22
12
k12 k22E,F,l
q2=uk=1
-
tk
i
ok
i
NN
NN
QQ
2
1
Nosač sa slike je jedan put statički neodređen i za određivanje
reakcija Noi i Nok može se primijeniti metoda sila:
Vektor ekvivalentnog opterećenja može nastati od opterećenja duž
ose štapa i uticaja temperature.
Vektor ekvivalentnog opterećenja je :
Q1o=Noi Q2o = Nokp(x)
tl
Q1o ekvivalentno čvorno opterećenje Q2o
X1=1- N1
010111 X
11101 /X
ldxNEFl
0
2111
EF=const
l
dxNNEF0
0110
-
ok
i
NN
QQ
2
1
11
221 lp
QQ
o
Za slučaj kada je opterećenje ravnomjerno raspoređeno
p(x)=po=const:
Vektor ekvivalentnog opterećenja je :
Q1o=Noi Q2o = Nokp(x)=p0
l
X1=1- N1
010111 X
11101 /X
popol
+ Nopol
ldxNEFl
0
2111
EF=const
2/200
0110 lpdxNNEFl
2// 011101 lpX
p0l/2 ekvivalentno čvorno opterećenje X1= p0l/2
p0l-X1 X1
-
Za slučaj kada je t=const:
Vektor ekvivalentnog opterećenja je :
Q1t=Nti Q2t = Ntkt
l
X1=1- N1
01111 tX
1111 / tX
ldxNEFl
0
2111
EF=const
lEFtdxtNEFEF tl
tt 0
11
tEFtX 11101 /X1 ekvivalentno čvorno opterećenje X1
X1 t X1
11
2
1 tEFQQ
t
+R1 R4
-
k
k
i
i
MTMT
RRRR
R
4
3
2
1
k
k
i
i
v
v
qqqq
q
4
3
2
1
Štap dužine l, momenta inercije presjeka je I i modula
eleastičnosti materijala E izložen je savijanju u ravni xoy.
yi, Mi E,I k, Mk
i k xvi, Ti vk, Tk
Vektor generalisanih pomjeranja:
Savijanje u ravni
Generalisana pomjeranja su poprečna pomjeranja vi i vk i
obrtanja krajeva štapa i i kšto znači da element ima četiri stepena
slobode pomjeranja, po dva u svakom čvoru. Konvencija o pozitivnom
znaku za sile i pomjeranja:
Vektor generalisanih sila:
-
Matrica krutosti štapa je reda nxn, za savijanje je reda 4x4
zbog čega je vezageneralisanih sila i generalisanih pomjeranja data
sa:
4
3
2
1
44434241
34333231
24232221
14131211
4
3
2
1
qqqq
kkkkkkkkkkkkkkkk
RRRR Zbog simetrije matrice krutosti
kij=kji
Pokazano je da se koeficijenti kij, i,j=1,2,3,4 mogu odrediti
kao reakcije obostranouklještenog štapa usled jediničnih pomjeranja
i obrtanja njegovih krajeva.S obzirom da se radi o savijanju u
ravni obostrano uklješten štap je dva puta statičkineodređen, i
može se jednostavno riješiti primjenom metode sila.
01212111 cXX
02222112 cXX
l
ik
kiik dxEI
MM
0
j
jijic cC
Uslovne jednačine metode sila u tom slučaju su:
koeficijenti i slobodni članovi ovih jednačina definisani
sa:
Mi, Mk, Cji su momenti i reakcije oslonca od nepoznatih Xi=1 a
cj zadatapomjeranja ili obrtanja oslonaca.
-
STATIČKO-GEOMETRIJSKO ZNAČENJE
k21 k41 q1=1 N1(x)
k11 k31
Stanje q1=1
Stanje q2=1k22 N2(x) k42
q2=1
k12 k32
Stanje q3=1
k23 k43 N3(x) q3=1
k13 k33
Stanje q4=1k24 k44
q4=1k14 N3(x) k34
-
01212111 cXX
02222112 cXX
l
ik
kiik dxEI
MM
0
j
jijic cC
41
31
21
11
44434241
34333231
24232221
14131211
4
3
2
1
0001
kkkk
kkkkkkkkkkkkkkkk
RRRR
k21 k41 q1=1 N1(x)
k11 k31
Stanje q1=1
Određivanje Ri (i=1,2,3,4) primjenom metode sila:
EI=const
E,I
l
Osnovni sistem, n=2:
X1 X2
Dijagrami u osnovnom sistemu:
1/l 1/l
M1X1 =1,0
X2 =1,0
M21/l
1/l
302
2
0
12
2211lMdxMEIEI
ll
60212112
ldxMMEIEIl
lEIEIEI cc
121 21
6l
EIX
226l
EIX
32112l
EITT
Iz ravnoteže štapa
l
llEI
kkkk
MTMT
RRRR
k
k
i
i
612612
3
41
31
21
11
4
3
2
1
-
01212111 cXX
02222112 cXX
l
ik
kiik dxEI
MM
0
j
jijic cC
42
32
22
12
44434241
34333231
24232221
14131211
4
3
2
1
0010
kkkk
kkkkkkkkkkkkkkkk
RRRR
Određivanje Ri (i=1,2,3,4) primjenom metode sila:
EI=const
E,I
l
Osnovni sistem, n=2:
X1 X2
Dijagrami u osnovnom sistemu:
1/l 1/l
M1X1 =1,0
X2 =1,0
M21/l
1/l
302
2
0
12
2211lMdxMEIEI
ll
60212112
ldxMMEIEIl
EIEI c 1
lEIX 41 l
EIX 22
221
6l
EITT Iz ravnoteže štapa
2
2
3
42
32
22
12
4
3
2
1
26
46
ll
ll
lEI
kkkk
MTMT
RRRR
k
k
i
i
Stanje q2=1
k22 N2(x) k42 q2=1
k12 k32
02 cEI
-
01212111 cXX
02222112 cXX
l
ik
kiik dxEI
MM
0
j
jijic cC
43
33
23
13
44434241
34333231
24232221
14131211
4
3
2
1
0100
kkkk
kkkkkkkkkkkkkkkk
RRRRStanje q3=1
Određivanje Ri (i=1,2,3,4) primjenom metode sila:
EI=const
E,I
l
Osnovni sistem, n=2:
X1 X2
Dijagrami u osnovnom sistemu:
1/l 1/l
M1X1 =1,0
X2 =1,0
M21/l
1/l
302
2
0
12
2211lMdxMEIEI
ll
60212112
ldxMMEIEIl
lEIEIEI cc
121
21
6l
EIX 22
6l
EIX
321
12l
EITT Iz ravnoteže štapa
l
llEI
kkkk
MTMT
RRRR
k
k
i
i
612612
3
43
33
23
13
4
3
2
1
k23 k43 N3(x) q3=1
k13 k33
-
01212111 cXX
02222112 cXX
l
ik
kiik dxEI
MM
0
j
jijic cC
44
34
24
14
44434241
34333231
24232221
14131211
4
3
2
1
1000
kkkk
kkkkkkkkkkkkkkkk
RRRR
Određivanje Ri (i=1,2,3,4) primjenom metode sila:
EI=const
E,I
l
Osnovni sistem, n=2:
X1 X2
Dijagrami u osnovnom sistemu:
1/l 1/l
M1X1 =1,0
X2 =1,0
M21/l
1/l
302
2
0
12
2211lMdxMEIEI
ll
60212112
ldxMMEIEIl
01 cEI
lEIX 21 l
EIX 42
221
6l
EITT Iz ravnoteže štapa
2
2
3
44
34
24
14
4
3
2
1
46
26
ll
ll
lEI
kkkk
MTMT
RRRR
k
k
i
i
Stanje q4=1
EIEI c 2
k24 k44
q4=1k14 N3(x) k34
-
22
22
3
4626612612
2646612612
llllll
llllll
lEIk
Matrica krutosti štapa opterećenog na čisto savijanje ima
sljedeći oblik
Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja štapa opterećenog na
čisto savijanje ima sljedeći oblik
4
3
2
1
QQQQ
Q
tk
k
i
i
ok
k
i
i
MTMT
MTMT
Q1 p(x) Q3
Q2 t Q4
Komponente vektora ekvivalentnog opterećenja jednake su
negativnimvrijednostima reakcija totalno uklještenog štapa usled
zadatih spoljašnjihuticaja koji mogu biti opterećenje upravno na
osu štapa i temperaturnarazlika t .
-
p(x)=po=const
E,I
lOsnovni sistem, n=2:X1 X2
010212111 XX
020222112 XX
Metoda sila:
l
ik
kiik dxEI
MM
0
l
ik
oiio dxEI
MM
0
X2 =1,0
M2 X1 =1,0
M1 30
22
0
12
2211lMdxMEIEI
ll
60212112
ldxMMEIEIl
M0
Mk =pol2/12
MMi =pol2/12
Ti =pol/2 Tk =pol/2
Ekvivalentno čvorno opterećenjeQ2=pol2/12
Q1=pol/2
Q4=pol2/12
Q3=pol/2
24
3
011
lpdxMMEI ol
oo
24
3
022
lpdxMMEI ol
oo
02463
3
21 lpXlXl o
02436
3
21 lpXlXl o
12
2
1lpX o
12
2
2lpX o
221lpTT o
-
p(x)=po=const
E,I
l
Mk =pol2/12
MMi =pol2/12
Ti =pol/2 Tk =pol/2
Ekvivalentno čvorno opterećenjeQ2=pol2/12
Q1=pol/2
Q4=pol2/12
Q3=pol/2
12
2
1lpX o
12
2
2lpX o
221lpTT o
12
2
12
2
2
2
4
3
2
1
lp
lp
lp
lp
QQQQ
Q
o
o
o
o
+Q2 Q4
Q1 Q3
-
l
tiit dxhtM
0
htlEIEIEI ttt 221
0263 21
htlEIXlXl t
0236 21
htlEIXlXl t h
tEIXX t
21
021 TT
1010
4
3
2
1
htEI
QQQQ
Q t
t
t Vodeći računa o pozitivnojkonvenciji za sile
vektorekvivalentnog opterećenja je:
Za slučaj kada na štap djeluje temperaturna razlika t
tE,I
l
mijenjaju se slobodni članovi
Za EI=const
Uslovne jednačine i rješenja jednačina
-
Ravni štap može da primi i prenese spoljašnje uticaje koji
djeluju u pravcu ose štapa px kao iopterećenje upravno na osu štapa
py, temperaturnu promjenu u osi štapa t i temperaturnurazliku t duž
ose štapa:
Pošto spoljašnji uticaji predstavljaju zbir uticaja koji se
javljaju u slučaju
aksijalnog naprezanja i u slučaju savijanja slijedi da se
matrica krutosti i
vektor ekvivalentnog opterećenja ravnog štapa mogu dobiti
superpozicijom
matrica krutosti i vektora ekvivalentnog opterećenja za
aksijalno naprezanje
štapa i savijanje.
Matrica krutosti i vektor ekvivalentnog opterećenja ravnog
prizmatičnog štapa
ypy
i, Mi vi, Ti k, Mk vk, Tkx
ui, Ni px, t, t uk, Nklik
-
Štap u ravni ima šest stepeni slobode, po tri u svakom čvoru,
što je jednako zbiru stepenislobode aksijalnog naprezanja i
savijanja:
Vodeći računa o oznakama generalisanih sila i generalisanih
pomjeranja 1,…,6 postavljajući u matrici krutosti 6x6 svaki od
članova na odgovarajuće mjesto dobija se matrica krutosti
štapa:
3 25 6
1 4
22
22
3
4626612612
2646612612
llllll
llllll
lEIksav
2 3 5 6 2356
1111
lEFkaks
1 4 14
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEF
lEF
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEF
lEF
kkk savaks
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
22
2323
22
2323
1 2 3 4 5 61
2
3
4
5
6
-
1
2 2
3 31
5 44
6 5
6
aks sav
o,t
QQ QQ QQ
Q Q QQ QQQ Q
Q
tok
k
k
i
i
i
MTNMTN
,
Superpozicijom vektor ekvivalentnog opterećenja štapa i-k u
ravni definisan je sa :