1 Веројатност 1. Вовед Проучувањето на веројатноста потекнува од анализата на одредени игри на можности, и има најдено примена во многу области од науката и инженерството. Ќе се запознаеме со основните концепти на теоријата на веројатност. 2. Множество на вредности – кодомен и настани А. Случајни експерименти: Во науката за веројатноста, секој процес на набљудување се нарекува екперимент. Резултатите од набљудувањето се наречени исходи на експериментот. Еден експеримент е наречен случаен експеримент ако неговиот исход не може да се предвиди. Типичен пример на експеримент е фрлање на коцка, фрлање на паричка и слично. Б. Множество на вредности: Множеството на сите можни исходи на еден случаен експеримент се нарекува множество на вредности (или универзално множество), и се означува со S. Елемент во S се нарекува елементарен настан. Секој исход на случаен експеримент кореспондира со точка од множеството на вредности. Пример 1. Да се најде множеството на вредности за експериментот фрлање на паричка: (а) еднаш (б) двапати. Решение: (а) Постојат два исходи, глава –H и петка ‐ T. Па така: ൌሼ ,ܪሽ. (б) Постојат 4 различни исходи. Тоа се парови на глава‐H и петка‐T ൌሼܪ ,ܪܪ, ,ܪሽ. Пример 2. Да се најде множеството на вредности (кодомен) за експериментот фрлање на паричка со повторување и броење на бројот на „петки“ се додека не се појави првата „глава“.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
Веројатност 1. Вовед
Проучувањето на веројатноста потекнува од анализата на одредени игри на можности, и има најдено примена во многу области од науката и инженерството. Ќе се запознаеме со основните концепти на теоријата на веројатност.
2. Множество на вредности – кодомен и настани А. Случајни експерименти:
Во науката за веројатноста, секој процес на набљудување се нарекува екперимент. Резултатите од набљудувањето се наречени исходи на експериментот. Еден експеримент е наречен случаен експеримент ако неговиот исход не може да се предвиди. Типичен пример на експеримент е фрлање на коцка, фрлање на паричка и слично.
Б. Множество на вредности:
Множеството на сите можни исходи на еден случаен експеримент се нарекува множество на вредности (или универзално множество), и се означува со S. Елемент во S се нарекува елементарен настан. Секој исход на случаен експеримент кореспондира со точка од множеството на вредности.
Пример 1. Да се најде множеството на вредности за експериментот фрлање на паричка:
(а) еднаш
(б) двапати.
Решение: (а) Постојат два исходи, глава – H и петка ‐ T. Па така:
, .
(б) Постојат 4 различни исходи. Тоа се парови на глава‐H и петка‐T
, , , .
Пример 2. Да се најде множеството на вредности (кодомен) за експериментот фрлање на паричка со повторување и броење на бројот на „петки“ се додека не се појави првата „глава“.
2
Решение: Јасно е дека сите можни исходи за овој експеримент се броевите од низата 1,2,3,... Па така:
1,2,3, … .
Забележуваме дека постојат бесконечен број на исходи.
Пример 3. Да се најде кодоменот за експериментот на мерење (во часови) на животниот век на транзистор.
Решение: Можните исходи се сите ненегативни реални броеви. Па така:
: 0 ∞
каде што е бројот на часови на животен век на транзисторот.
Секој експеримент може да има повеќе различни кодомени во зависност од интересот. За кодоменот S се вели дека е дискретен ако се состои од конечен број на елементи или преброиво бесконечен број на елементи. Едно множество е наречено преброиво ако неговите елементи може да се постават во кореспонденција со природните броеви.
В. Настани:
Бидејќи го дефиниравме множеството на вредности S како множество на сите можни исходи на случаен експеримент, ќе разгледаме некои нотации за множества:
Ако s е елемент на S, тогаш пишуваме:
Ако s не е елемент на S, тогаш пишуваме:
Множеството А е наречено подмножество на множеството B и се означува:
ако секој елемент од А е елемент на B. Секое подмножество на S се нарекува настан. Елементарен настан е точка од S. Множеството S се нарекува сигурен настан, бидејќи е множество од сите можни исходи.
Пример 4. Ако го разгледаме експериментот од примерот 2. Нека А е настанот, непарен број на „петки“ се додека не се падне „глава“ . Нека В е парен број на „петки“ се додека не се падне „глава“. Нека С е настанот, број на „петки“ потребен за да се падне „глава“ помал од 5. Да се изразат овие настани.
Решение: 2,4,6, … , 1,3,5, … и 1,2,3,4 .
3
3. Алгебра на множества А. Операции со множества:
1. Еднаквост:
Две множества А и В се еднакви, А = В, ако и само ако и .
2.Комплемент:
Нека . Комплемент на множеството А, се обележува со А , е множеството што ги содржи сите елементи од S што не се во А.
3. Унија:
Унија на множествата А и В, , е множеството што ги содржи елементите или од А, или од В, или од двете заедно.
: или
4. Пресек
Пресек на множествата А и В, , е множеството што ги содржи сите елементи од А и В.
: и
5. Празно множество
Множеството што не содржи ниту еден елемент се нарекува празно множество и се обележува со .
6. Дисјунктни множества
Две множества А и В се нарекуваат дисјунктивни или взаемно исклучиви ако не содржат ниту еден заеднички елемент, односно ако .
Дефинициите за унија и пресек на две множества можат да бидат проширени со било кој конечен број на множества:
…
…
Истотака можат да се прошират и на неограничен број на множества:
4
…
…
Во нашата дефиниција за настан, нагласивме дека секое подмножество од S е настан, вклучувајќи го и S и празното множество . Па така:
S = сигурен настан
= невозможен настан
Ако А и В се настани во S , тогаш
е спротивен настан на настанот А
e настан кај што се случил А или В
настан кај што се случиле и А и В
Слично на тоа, ако , , … , се низа на настани во S тогаш
е настан кај што барем еден од настаните се случил
е настан кај што сите настани се случиле истовремено
Б. Венов дијаграм
Претставува графичка репрезентација која што е многу корисна за илустрирање на операциите со множества.
В. Идентитети
Според погорните дефиниции на множествата, ги изведуваме следните идентитети:
5
Операциите унија и пресек, ги задоволуваат и следните закони:
Комутативен закон:
Асоцијативен закон:
Дистрибутивен закон:
Де Морганови закони:
Овие релации се потврдуваат со покажување дека секој елемент што е содржан во множеството на левата страна на равенката е истотака содржан во множеството на десната страна на равенката, и обратно. Еден начин за да се докаже ова е со Венов дијаграм. Дистрибутивниот закон може да биде проширен на следниот начин:
А
А
Истотака, де Моргановите закони можат да бидат проширени на следниот начин:
6
4. Нотации и аксиоми на веројатноста Доделувањето на реални броеви на настаните дефинирани во множество на вредности S е познато како мерка на веројатност. Да разгледаме случаен експеримент со множество на вредности S и нека A е некој настан дефиниран во S.
А. Класична дефиниција на веројатноста (релативна фреквенција)
Нека претпоставиме дека еден случаен експеримент е повторен n пати. Ако настанот А се случи n(A) пати, тогаш веројатноста на настанот А, означена со Р(А) е:
lim
каде што n(A)/n се нарекува релативна фреквенција на настанот А. Треба да се забележи дека овој лимес може и да не постои, и дека постојат многу ситуации каде што концептот на повторување на настаните може да не е валиден. Јасно е дека за било кој настан А , релативната фреквенција на А ќе ги има следниве особини:
1. 0 1, каде што 0 ако А не се појавува во ниеден од n‐ те обиди и 1 ако А се појавува во сите n обиди.
2. Ако А и В се взаемно исклучиви настани, тогаш
И
Б. Аксиоматска дефиниција
Нека S е конечно множество на вредности и А е настан во S. Тогаш, веројатноста P(A) на настанот А е реален број доделен на А којшто ги задоволува следниве три аксиоми:
Аксиома 1: 0
7
Аксиома 2: 1
Аксиома 3: ако .
Ако просторот на вредности не е конечен, тогаш аксиомата 3 мора да биде модифицирана вака:
Аксиома 3: Ако е , , … бесконечна низа на взаемно исклучиви настани во , тогаш
В. Елементарни особини на веројатноста:
Од горенаведените аксиоми можат да се изведат следните особини:
1. 1 2. 0 3. ако 4. 1 5. 6. Ако , , … , се n случајни настани во S, тогаш
… 1 …
7. Ако , , … , е конечна низа од взаемно исклучиви настани во , ,
тогаш:
Треба да се забележи дека особината 4 може лесно да се изведе од аксиомата 2 и особината 3. Бидејќи ,имаме
1
Така, во комбинација со аксиомата 1, имаме:
0 1
Особината 5 имплицира следно:
бидејќи 0 од аксиомата 1.
8
Низата настани , , … , , … е растечка низа ако , а опаѓачка ако . Ако 1, ≥nAn е растечка низа од настани, дефинираме нов настан со
lim .
Слично, ако 1, ≥nAn е опаѓачка низа од настани, тогаш
lim .
Теорема 4.1 (непрекинатост на веројатноста): Ако 1, ≥nAn е или растечка или опаѓачка низа од
настани, тогаш
lim .
5. Еднаквоверојатни настани
А. Конечно множество на вредности
Да разгледаме конечно множество на вредности S со конечен број на елементи
, , … ,
каде што се елементарни настани. Нека . Тогаш
1. 0 1 1,2, … , 2. ∑ 1 3. Ако , каде што I е индексно множество, тогаш
.
Б. Еднаквоверојатни настани
Кога сите елементарни настани 1,2, … , се еднакво можни, односно кога:
имаме:
9
1 1,2, … ,
и
кадешто е бројот на исходи што припаѓаат на настанот и n е бројот на точки во множеството .
6. Условна веројатност
А. Дефиниција 6.1: Условната веројатност на настанот ако се случил настан , означено како | , е дефинирано како:
| 0
каде што е веројатноста дека се случиле и . Слично:
| 0
е условната веројатност на настан В ако се случил А. Од равенките следува:
| | .
Оваа равенка доста често се користи за пресметување на взаемната веројатност на настаните.
Б. Баесово правило:
| |.
7. Тотална веројатност
Настаните , , … , претставуваат партиција на множеството ако
10
… и за .
Нека е било кој настан во . Тогаш
|
што е познато како тотална веројатност на настанот . Нека , тогаш
||
∑ | .
Веројатностите од десната страна на равенството се сите условени од настаните , додека веројатноста од левата страна е условена од . Оваа равенка се нарекува Баесова теорема.
8. Независни настани
Два настани и се (статистички) независни ако и само ако
.
Веднаш следува дека ако и се независни, тогаш
|
и
| .
Ако два настани и се независни, тогаш може да се покаже дека и и се независни:
.
Тогаш:
| .
Затоа, ако е независен од , тогаш веројатноста од појавувањето на е непроменето како информација за тоа дали се случил или не. Три настани , , се независни ако и само ако:
11
Можеме да ја прошириме дефиницијата за независност на повеќе од три настани. Настаните , , … , се независни ако и само ако за секое подмножество , , … , , (2 ) од
овие настани,
… … .
Конечно, дефинираме дека: конечно множество на настани може да биде независно ако и само ако секое конечно подмножество на овие настани е независно.
За да направиме дистинкција помеѓу взаемната исклучивост (дисјунктивноста) и независноста на фамилија од настани, сумираме:
1. Ако , 1,2, … , е низа од взаемно исклучиви настани, тогаш
.
2. Ако , 1,2, … , е низа од независни настани, тогаш
.
9. Случајна променлива
Дефиниција 9.1: Нека е дадено множеството од сите можни исходи на еден веројатносен
експеримент Ω и нека на секој елементарен настан Ω∈ω му доделиме точно еден реален број
( )ωX . Пресликувањето R→Ω:X се вика случајна променлива.
Нека Ω е множеството на елементарни настани, X е случајна променлива, а x е фиксен број. Тогаш ги користиме следниве ознаки за настаните:
( ) ( ) ,: xXxX =Ω∈== ωω
( ) ( ) xXxX ≤Ω∈=≤ ωω : ,
( ) ( ) xXxX >ωΩ∈ω=> : ,
12
( ) ( ) 2121 : xXxxXx <ω<Ω∈ω=<<
па веројатноста ќе биде ( ) ( ) xXPxXP =ωΩ∈ω== : за секој од нив соодветно.
9.1 Функција на распределба
Дефиниција 9.1.1: Нека е дадена случајна променлива X . Функцијата дефинирана со
( ) ( ) ( ) xXPxXPxFX <ωΩ∈ω=<= : , R∈x се вика функција на распределба на
веројатностите на случајната променлива Х.
Ако во текстот се спомнува само една случајна променлива, тогаш наместо ознаката
( )xFX се користи ознаката ( )xF .
Особини:
1. ( ) ( ) .0lim =∞−=−∞→
FxFx
2. ( ) ( ) .1lim =∞=∞→
FxFx
3. Функцијата не распределба е монотоно неопаѓачка функција, односно ако ,21 xx <
тогаш ( ) ( ),21 xFxF ≤
4. Функцијата на распределба е непрекината од лево:
( ) ( ).lim0
aFxFax
=−→
5. ( ) ( ) ( )aFbFbXaP −=<≤ , за секои R∈ba, , ba < .
Доказ:
1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .0limlim1
=∅=−<=−<=−=∞−∞
=∞→∞→PnXPnXPnFF
nnnI
13
2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .1limlim1
=Ω=<=<==∞∞
=∞→∞→PnXPnXPnFF
nnnU
3. Ако ,21 xx < и ако ( ) 1: xXA <ΩΩ∈ω= , ( ) 2: xXB <ΩΩ∈ω= , очигледно дека