-
Prcticas de Fiabilidad
Prctica 2: Objetivo: El objetivo de esta prctica es conocer y
aprender a manejar las herramientas que nos van a permitir decidir
si nuestros datos de supervivencia se comportan de acuerdo a algn
modelo estadstico conocido. El hecho de tener un modelo para los
datos ofrece ventajas frente a la estimacin emprica en que se bas
la prctica 1. Podremos conocer de forma ms precisa cul es la tasa
de fallos y la funcin de supervivencia en cualquier momento, ya que
dispondremos de funciones NO escalonadas, al contrario de lo que
suceda en los anlisis de la prctica 1. Una vez obtenidos los
modelos ms adecuados para nuestros datos, se realizarn simulaciones
para continuar con el problema de fiabilidad de sistemas que se
propuso en la primera prctica. Conceptos bsicos: Como en la prctica
anterior se parte de una muestra de tiempos de vida de un
determinado componente: x1, x2, ..., xn. sta es una muestra
aleatoria procedente de un determinado modelo de probabilidad, es
decir, posee una funcin de distribucin F(x) y, por consiguiente,
una funcin de densidad f(x). Existen numerosos modelos
probabilsticos que se emplean para modelizar tiempos de duracin de
componentes. Entre ellos se podran destacar los siguientes:
1. Modelo Exponencial: Depende de un solo parmetro: . Se
caracteriza por tener una tasa de fallo constante (igual a ). En la
figura 1 se encuentran las funciones de densidad de modelos
exponenciales para distintos valores del parmetro (que est
representado por la media 1/) y en la figura 2 sus respectivas
tasas de fallo.
2. Modelo Weibull: Depende de dos parmetros: (escala o scale) y
(forma o shape). Dependiendo del valor del parmetro de forma el
modelo puede tener tasa de fallo decreciente (1). En la figura 3 se
encuentra la funcin de densidad Weibull para distintos valores de
los parmetros y en la figura 4 sus respectivas tasas de fallo.
3. Modelo Gamma: Depende de dos parmetros: (escala o scale) y
(forma o shape). Puede modelizar variables con tasas de fallo
cambiantes (crecientes y decrecientes). En la figura 5 se encuentra
la funcin de densidad Gamma para distintos valores de los parmetros
y en la figura 6 sus respectivas tasas de fallo.
4. Modelo Lognormal: Depende de dos parmetros: (media o mean) y
(desviacin tpica o standard deviation). Puede modelizar variables
con tasas de fallo cambiantes (crecientes y decrecientes). El
ejemplo para distintos
1
-
valores de los parmetros aparece en la figura 7 y en la figura 8
sus respectivas tasas de fallo.
Mean10152025
Exponential Distribution
x
dens
ity
0 30 60 90 120 1500
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
Figura 1. Funcin de densidad exponencial.
Mean10152025
Exponential Distribution
x
haza
rd
0 30 60 90 120 1500
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
Figura 2. Tasa de fallos de la funcin de densidad
exponencial.
Shape,Scale1,10,8,22,15,3
Weibull Distribution
x
dens
ity
0 3 6 9 12 15 180
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Figura 3. Funcin de densidad Weibull.
2
-
Shape,Scale1,10,8,22,15,3
Weibull Distribution
x
haza
rd
0 1 2 3 4 50
5
10
15
Figura 4. Tasa de fallos de la funcin de densidad Weibull.
Shape,Scale1,12,10,5,14,0,5
Gamma Distribution
x
dens
ity
0 5 10 15 20 25 300
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
Figura 5. Funcin de densidad Gamma.
Shape,Scale1,12,10,5,14,0,5
Gamma Distribution
x
haza
rd
0 5 10 15 20 25 300
0,4
0,8
1,2
1,6
2
2,4
Figura 6. Tasa de fallos de la funcin de densidad Gamma.
3
-
Mean,Std. dev1,12,25,110,2
Lognormal Distribution
x
dens
ity
0 4 8 12 16 200
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Figura 7. Funcin de densidad Lognormal.
Mean,Std. dev1,12,25,110,2
Lognormal Distribution
x
haza
rd
0 4 8 12 16 200
0,4
0,8
1,2
1,6
2
Figura 8. Tasa de fallos de la funcin de densidad Lognormal.
Estos son slo algunos ejemplos de funciones de densidad
conocidas. Pero, qu herramientas estadsticas hay para saber qu
modelos pueden ser adecuados para mi variable? Qu herramientas
estadsticas ayudan a decidir si un modelo es o no adecuado? Para
hacer un primer anlisis de la variable se debe hacer uso de tcnicas
descriptivas, es decir, se emplea el histograma para ver cmo se
distribuye la muestra por intervalos y se realizan estimaciones de
la funcin de densidad para obtener algo semejante al histograma
pero de forma suave y continua (no por intervalos). En cuanto a las
herramientas para determinar si un modelo es adecuado a una muestra
se pueden clasificar en procedimientos grficos y numricos.
Grficamente se puede comprobar si la funcin de densidad del modelo
propuesto es aproximadamente igual que el histograma de los datos.
Aunque es mucho ms fiable el grfico cuantil-cuantil o
quantil-quantil plot (QQ-plot) que consiste en hacer un grfico de
dispersin entre los valores de la muestra ordenados y los cuantiles
del modelo propuesto. El modelo podr ser adecuado si los puntos del
grfico estn alineados.
4
-
NOTA: Se dice que es el cuantil de probabilidad p si pX pXF p
=)( . Ejemplo: Supongamos que tenemos la siguiente muestra de
tiempos: 6.2, 1.5, 2.1, 3.5 y 0.7. Que tenemos un modelo
representado por la funcin de distribucin F(x) y cuya inversa es
F-1(p), con p entre cero y uno. Lo que hace el QQ-plot es hacer el
diagrama de dispersin de las columnas 2 y 3 de la siguiente tabla.
La primera columna representa la funcin de distribucin emprica de
la muestra. La segunda los datos de la muestra ordenada y la
tercera la inversa de la funcin de distribucin del modelo evaluada
en los puntos de la columna 1. En la tabla se disponen los datos de
forma ordenada.
Fn (xi) xi F-1(Fn (xi))1/5 0.7 F-1(1/5) 2/5 1.5 F-1(2/5) 3/5 2.1
F-1(3/5) 4/5 3.5 F-1(4/5) 1 6.2 F-1(1)
As pues, si los datos se distribuyen segn F(x) se tiene que
F-1(1/5) ser prximo a 0.7, F-1(2/5) ser prximo a 1.5 y as
sucesivamente, es decir, en el grfico los puntos aparecen alineados
segn la recta y=x. Los procedimientos numricos consisten en
realizar contrastes de hiptesis sobre los datos. Por tanto
atenderemos al p-valor de los mismos para determinar si existe la
posibilidad de que la muestra se comporte segn un determinado
modelo o no. Las hiptesis de este tipo de contrastes son: ( )
( )
,...,, de densidad la es no :,...,, de densidad laser puede
:
211
210
n
n
xxxxfHxxxxfH
Como en todo contraste de hiptesis si se obtienen p-valores
bajos existe evidencia en los datos a favor de la hiptesis
alternativa (en este en particular, evidencias que indican que los
datos no tienen esa funcin de densidad). Dos ejemplos clsicos de
contrastes que trabajan estas hiptesis son el de Chi-cuadrado
(Chi-square) y Kolmogorov-Smirnof. NOTA MUY IMPORTANTE: Si se
rechaza la hiptesis nula (los datos ofrecen evidencia a favor de la
alternativa) significa que se tiene una confianza importante en que
los datos no siguen el modelo propuesto. Pero si no se rechaza la
hiptesis nula, no quiere decir que el modelo propuesto sea el que
siguen los datos. Es decir, si no se rechaza la nula quiere decir
que el modelo propuesto resulta compatible con los datos, pero no
se puede afirmar con rotundidad que sea se. En STATGRAPHICS, el
resultado del test Chi-cuadrado puede ser diferente segn la versin
instalada del programa. Por tanto, utilizaremos el test de
Kolmogorov para realizar estos contrastes. Datos: Los datos que se
van a analizar se encuentran en el fichero practica 1
fiabilidad.sf.
5
-
Nota: Recordar que las cuatro primeras columnas del fichero
recogen la duracin de los cuatro componentes para los que se estudi
varios sistemas. Qu hay que hacer: No se va a realizar ningn
anlisis descriptivo previo ya que con el anlisis de ajuste de
distribucin (distribution fitting) de Statgraphics se obtiene
directamente el histograma y existe la posibilidad de obtener la
estimacin de la densidad. Nota: Antes de realizar el anlisis de
ajuste de distribucin conviene mencionar que por defecto el
programa Statgraphics compara con la distribucin normal, para la
que estima los parmetros correspondientes. Se abre el fichero
practica 1 fiabilidad.sf. Se va a:
DESCRIBE Distributions Distribution Fitting (Uncensored data)
(Ajuste de distribucin, datos sin censura)
En Data ponemos el nombre de la variable que queremos analizar.
En la prctica se
empezar con V1 y se continuar hasta V4 (el resto se dejan como
tarea para la prctica del alumno).
Por defecto, el programa proporciona un resumen numrico
(Analysis Summary) y el grfico de la estimacin de la funcin de
densidad (Density Trace).
Se va a obtener tambin el resto de herramientas comentadas
anteriormente. Para obtener los tests o contrastes de bondad de
ajuste, se presiona el botn de opciones de tabla (tabular options)
y se selecciona la opcin de test de bondad de ajuste
(Goodness-of-fit tests). Tambin se van a obtener dos grficos ms. Se
presiona el botn de opciones grficas (graphical options) y se
seleccionan el histograma y el QQ-plot.
A continuacin se estudian todos los anlisis para determinar el
(los) modelo(s) ms adecuados para esta variable. La figura 9 recoge
el resumen del anlisis (Analysis Summary). ste nos indica que la
variable V1 es una muestra de 100 observaciones, con un mnimo de
3.68535 y un mximo de 3215.24. Nos informa que se le ha ajustado
una distribucin normal y que los valores estimados de los parmetros
son de 801.838 para la media y de 742.109 para la desviacin
tpica.
6
-
Analysis Summary
Data variable: V1
100 values ranging from 3,68535 to 3215,24
Fitted normal distribution: mean = 801,838 standard deviation =
742,109
Figura 9. Resumen del anlisis.
El histograma de los datos se encuentra en la figura 10. Se
observa una curva superpuesta a ste. Esa curva es la funcin de
densidad correspondiente a una distribucin normal con los parmetros
que aparecen en la figura 9.
Histogram for V1
-200 800 1800 2800 3800
V1
0
10
20
30
40
freq
uenc
y
Figura 10. Histograma de V1 con densidad normal.
Tambin se puede observar una incongruencia con la naturaleza de
los datos. El lmite inferior del primer intervalo es 200!! Dado que
se dispone de datos de tiempos de vida, hay que corregir esto en el
grfico, hay que cambiar el lmite inferior del grfico. Esto se hace
con el cursor sobre el grfico, presionando el botn derecho y
seleccionando opciones de panel (pane options). Aparece la ventana
de la figura 11. La primera casilla nos muestra el nmero de clases
o intervalos del histograma (debe variarse su valor para ver cmo va
cambiando el histograma). La segunda y tercera casilla nos indica
el lmite inferior y superior del grfico. En el lmite inferior
ponemos un cero, para conseguir un grfico ms consistente con los
datos.
Figura 11. Opciones de panel del histograma.
7
-
El nuevo grfico es el correspondiente a la figura 12. Se observa
claramente que la funcin de densidad normal no es adecuada para
estos datos que, aparentemente, poseen una distribucin
exponencial.
Histogram for V1
V1
freq
uenc
y
0 1 2 3 4(X 1000)
0
10
20
30
40
50
Figura 12. Histograma de V1 corregido.
La figura 13 contiene el grfico de la funcin de densidad
estimada (density trace). Este grfico se interpreta como un
histograma pero tiene la ventaja de tener un comportamiento suave y
continuo.
Density Trace for V1
0 1 2 3 4(X 1000)V1
0
1
2
3
4
5
6(X 0,0001)
dens
ity
Figura 13. Funcin de densidad estimada de V1
La curva obtenida sale por defecto muy suavizada. Para que se
vea mejor la distribucin de los datos hay que cambiar el parmetro
Interval width (por defecto del 60%) que se encuentra en Pane
options. Si modificamos este valor a 10% obtenemos la densidad de
la figura 14. Ambas densidades nos muestran de nuevo la falta de
ajuste de V1 con la distribucin normal ya que los datos presentan
una clara asimetra (hacia la derecha positiva) y la distribucin
normal es simtrica.
8
-
Density Trace for V1
V1
dens
ity
0 1 2 3 4(X 1000)
0
2
4
6
8
10(X 0,0001)
Figura 14. Funcin de densidad estimada de V2 con ancho de banda
del 10%.
Por ltimo el grfico QQ-plot (figura 15) muestra una vez ms que
la distribucin normal no es adecuada. Los puntos no estn alineados
sobre la recta y=x, por lo tanto debemos cambiar a otra
distribucin.
Quantile-Quantile Plot
0 1 2 3 4(X 1000)Normal distribution
0
1
2
3
4(X 1000)
V1
Figura 15. QQ-plot de V1 frente a distribucin normal.
Por ltimo debemos confirmar mediante los contrastes de hiptesis
lo que se ha venido concluyendo con los anlisis grficos: que la
normal no es un buen modelo para estos datos. Antes de pasar a
analizar la tabla de dichos contrastes hay que mencionar que cuando
el nmero de observaciones es pequeo (menos de 30 datos) no es
conveniente hacer uso de los contrastes. Los contrastes son tiles
para conjuntos de datos de tamao mayor que 30. En caso contrario la
decisin de si nuestros datos pueden seguir un modelo determinado
hay que tomarla de forma grfica empleando en mayor medida el ltimo
grfico mencionado, el QQ-plot. La siguiente figura (figura 16)
muestra la tabla correspondiente al apartado Goodness-of-fit tests
o tests de bondad de ajuste. Como se dijo en la parte de conceptos
bsicos hay que analizar los p-valores de los contrastes (valores
sombreados en la figura 16).
9
-
Para el test de Chi-cuadrado se tiene un valor de 9.84e-10a,
para Kolmogorov 0.0149 y para los otros dos contrastes p-valores
menores que 0.01. Por lo tanto, dados estos valores existen
evidencias suficientes para decir con una elevada confianza que la
variable V1 no sigue una distribucin normal. Goodness-of-Fit Tests
for V1
Chi-Square
Test----------------------------------------------------------------------------
Lower Upper Observed Expected Limit Limit Frequency Frequency
Chi-Square
----------------------------------------------------------------------------
at or below -256,468 0 7,69 7,69 -256,468 44,829 5 7,69 0,94 44,829
255,41 19 7,69 16,62 255,41 429,0 16 7,69 8,97 429,0 584,116 11
7,69 1,42 584,116 730,18 9 7,69 0,22 730,18 873,496 6 7,69 0,37
873,496 1019,56 8 7,69 0,01 1019,56 1174,68 2 7,69 4,21 1174,68
1348,27 3 7,69 2,86 1348,27 1558,85 4 7,69 1,77 1558,85 1860,14 6
7,69 0,37 above 1860,14 11 7,69 1,42
----------------------------------------------------------------------------
Chi-Square = 46,9006 with 10 d.f. P-Value = 9,84404E-7
Estimated Kolmogorov statistic DPLUS = 0,156492Estimated
Kolmogorov statistic DMINUS = 0,14107Estimated overall statistic DN
= 0,156492Approximate P-Value = 0,0149233
EDF Statistic Value Modified Form
P-Value---------------------------------------------------------------------Kolmogorov-Smirnov
D 0,156492 1,57666
-
QQ-plot para V1 y estas tres distribuciones (exponencial: figura
18, Weibull: figura 19 y Gamma: figura 20) as como el p-valor para
el contraste de Kolmogorov (tabla de la figura 21).
Figura 17. Posibles modelos para ajustar.
Quantile-Quantile Plot
exponential distribution
V1
0 1 2 3 4(X 1000)
0
1
2
3
4(X 1000)
Quantile-Quantile Plot
Weibull distribution
V1
0 1 2 3 4(X 1000)
0
1
2
3
4(X 1000)
Figura 18. Exponencial-V1. Figura 19. Weibull-V1.
Quantile-Quantile Plot
gamma distribution
V1
0 1 2 3 4(X 1000)
0
1
2
3
4(X 1000)
Figura 21. Gamma-V1.
Distribucin Parmetros Estimados p-valor Kolmogorov Exponencial
Mean: 801.838 0.91884
Weibull Shape: 1.045 Scale: 815.878
0.98327
Gamma Shape: 1.058 Scale: 0.0013
0.98560
Figura 22. Tabla con los parmetros y p-valores de los tests para
V1. Grficamente se observan pocas diferencias entre los tres
grficos. A pesar de eso si se observa un mejor comportamiento en el
correspondiente a la distribucin exponencial,
11
-
ya que en los otros dos el punto de ms valor est sensiblemente
ms alejado que en ste. El comportamiento para el resto de puntos es
prcticamente igual. En cuanto a la tabla que contiene las
estimaciones de los parmetros y los p-valores se observa que los
tres modelos se ajustan muy bien. Para la variable V2 tenemos los
siguientes resultados para el ajuste a las densidades exponencial,
Weibull, Gamma y lognormal (figuras 23 a 26 respectivamente).
Quantile-Quantile Plot
exponential distribution
V2
0 2 4 6 8 10 12(X 1000)
0
2
4
6
8
10
12(X 1000)
Quantile-Quantile Plot
Weibull distributionV
2
0 2 4 6 8 10 12(X 1000)
0
2
4
6
8
10
12(X 1000)
Figura 23. Exponencial-V2. Figura 24. Weibull-V2.
Quantile-Quantile Plot
gamma distribution
V2
0 2 4 6 8 10 12(X 1000)
0
2
4
6
8
10
12(X 1000)
Quantile-Quantile Plot
lognormal distribution
V2
0 2 4 6 8 10 12(X 1000)
0
2
4
6
8
10
12(X 1000)
Figura 25. Gamma-V2. Figura 26. Lognormal-V2.
Distribucin Parmetros Estimados p-valor Kolmogorov Exponencial
Mean: 1315.63 0.00544
Weibull Shape: 0.6669 Scale: 997.268
0.4486
Gamma Shape: 0.542 Scale: 0.0004
0.1234
Lognormal Mean: 3157.64 Std. Dev.: 23882.6
0.1446
Figura 27. Tabla con los parmetros y p-valores de los tests para
V2.
Grficamente se tienen dos opciones por encima del resto, que son
el modelo Weibull y el modelo Gamma. De entre los dos el mejor es
el del modelo Weibull, ya que en el modelo Gamma el punto de mayor
valor est ms alejado y el comportamiento del resto de los puntos es
prcticamente idntico. En cuanto a los p-valores recogidos en la
figura 27 el modelo que ofrece mayor p-valor es el Weibull, por lo
tanto si debemos decir qu modelo es ms parecido a estos datos
elegiramos sin duda a ste.
12
-
Para la variable V3 se tienen dos posibles modelos de nuevo: el
Weibull y el Gamma. Las figuras 28 y 29 respectivamente contienen
sus QQ-plot. Y la tabla de la figura 30 contiene los p-valores y
los parmetros estimados para estos modelos.
Quantile-Quantile Plot
Weibull distribution
V3
0 1 2 3 4 5(X 10000)
0
1
2
3
4
5(X 10000)
Quantile-Quantile Plot
gamma distribution
V3
0 1 2 3 4 5(X 10000)
0
1
2
3
4
5(X 10000)
Figura 28. Weibull-V3. Figura 29. Gamma-V3.
Distribucin Parmetros Estimados p-valor Kolmogorov Weibull
Shape: 0.62
Scale: 1756.52 0.95
Gamma Shape: 0.49 Scale: 0.00019
0.83
Figura 30. Tabla con los parmetros y p-valores de los tests para
V3. Para V4 se tienen esencialmente dos posibilidades: Erlang y
Weibull. A continuacin se muestran los grficos y la tabla que
confirman dicha posibilidad.
Quantile-Quantile Plot
Weibull distribution
V4
0 300 600 900 1200 1500 18000
300
600
900
1200
1500
1800
Quantile-Quantile Plot
Erlang distribution
V4
0 300 600 900 1200 1500 18000
300
600
900
1200
1500
1800
Figura 31. Weibull-V4. Figura 32. Erlang-V4.
Distribucin Parmetros Estimados p-valor Kolmogorov
Weibull Shape: 1.5546 Scale: 707.938
0.94
Erlang Shape: 2 Scale: 0.0031
0.86
Figura 32. Tabla con los parmetros y p-valores de los tests para
V4. Supongamos el modelo exponencial para la variable V1:
DESCRIBE Distributions Distribution Fitting (Uncensored data)
(En data poner V1)
13
-
Presionar el botn derecho y seleccionar Analysis Options. Elegir
la distribucin exponencial. Cmo se puede saber cual es la
supervivencia segn este modelo estimado para la variable V1? Cmo se
puede obtener un valor crtico? (La definicin de valor crtico es la
misma que la de cuantil). Para obtener estos valores hay que
presionar el botn de opciones de tabla y seleccionar las opciones
tail areas y critical values (figura 33).
Figura 33. Opciones de tabla.
La opcin de tail areas da como resultado el valor de la funcin
de distribucin en un determinado punto. As pues si se desea conocer
la supervivencia de la variable V1 segn un modelo exponencial
(ajustado a esos datos) para el instante 100, es decir, S(100),
debemos obtener la funcin de distribucin en dicho valor, ya que
S(100)=1-F(100). Para hacer esto hay que situar el cursor encima
del panel de tail areas, presionar el boton derecho y elegir la
opcin pane options. Aparecer una ventana con cinco casillas. En
cada casilla se puede introducir un tiempo de inters. En este caso
se pondr 100 en una de ellas (figura 34) y se presionar el boton
OK.
Figura 34. Pane options de tail areas.
El programa proporciona: area below 100.0 =0.11725, es decir,
probabilidad de que el tiempo de vida del componente V1 sea menor
que 100 (esto es P(T
-
obtenidos por medio de tail areas se pueden rehacer los clculos
de fiabilidad de los sistemas de la prctica 1. En cuanto a los
valores crticos, la forma de obtenerlos es anloga. Cul es el valor
de la variable para el que la supervivencia vale 0.45? Se pide el
tiempo de fallo para el que S(x)=0.45, es decir, para que
1-F(x)=0.45, o lo que es lo mismo, para que F(x)=0.55. Para el
panel de critical values se obtienen sus pane options y se
introduce 0.55 en una de las casillas (figura 35). Obtenindose que
F-1(0.55)=640.274.
Figura 35. Pane options de critical values.
Simulacin de variables aleatorias: En esta seccin se va a
aprender a simular muestras de variables aleatorias con el objetivo
de realizar simulaciones de sistemas de componentes. Supongamos que
se tienen cuatro componentes cuyas duraciones se distribuyen de la
siguiente manera:
C1: Weibull(2,750) C2: Weibull(0.7, 1500) C3: Exponencial(1000)
C4: Exponencial(1300)
Se van a generar para cada componente una muestra de 5000
observaciones que ser empleada para simular los tiempos de fallo
del primer sistema de la prctica anterior (figura 36).
Figura 36. Sistema descompuesto en subsistemas.
Se comenzar generando las muestras de los componentes C1 y
C2:
15
-
DESCRIBE Distributions Probability Distributions
Aparece una ventana de seleccin de modelo (figura 37). En sta
seleccionamos la opcin Weibull.
Figura 37. Seleccin de distribucin.
Por defecto el anlisis muestra informacin para una Weibull(1,1).
As pues, lo primero que se debe hacer es poner los parmetros de las
distribuciones de los componentes C1 y C2. Lo hacemos presionando
el botn derecho y seleccionando las opciones de anlisis (Analysis
Options). Se pueden introducir hasta cinco pares de parmetros
distintos. Se rellena la tabla como muestra la figura 38.
Figura 38. Parmetros componentes C1 y C2.
En el grfico de la funcin de densidad aparecen ahora dos curvas,
una para cada componente. En este anlisis podemos obtener la tasa
de fallos, la funcin de supervivencia y la de distribucin (en la
parte grfica). Si se hace ha de obtenerse una curva creciente para
la tasa de fallos del componente C1 y otra decreciente para el
componente C2 (ver los valores del parmetro de forma).
16
-
Para generar nmeros aleatorios se trabaja con las opciones
numricas, , seleccionando random numbers o nmeros aleatorios. Las
otras opciones son tail areas y critical values para esta
distribucin con estos parmetros (figura 39).
Figura 39. Opciones de tabla de probability distributions.
En el nuevo panel del anlisis se informa que se han generado 100
nmeros aleatorios de las distribuciones que se estn analizando.
Pero hay que cambiar el tamao de la muestra. Eso se hace en pane
options (botn derecho). Se introduce 5000 en la nueva ventana
(figura 40).
Figura 40. Tamao muestral nmeros aleatorios.
Tan slo falta guardar estas muestras en nuevas variables, cuyos
nombres sern C1 y C2. Esto se hace presionando el botn . Se rellena
la nueva ventana como se indica en la figura 41.
Figura 41. Guardar aleatorios con nombre.
El proceso se repite para los componentes C3 y C4. Los
aleatorios los guardamos con esos mismos nombres. NOTA IMPORTANTE:
Se estn generando nmeros aleatorios. Cada vez que se repita el
proceso los nmeros cambian y, por lo tanto, los clculos de
fiabilidad
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-
tambin lo harn. Pero, al trabajar con muestras de un tamao tan
grande, si los clculos son correctos, las variaciones sern muy
pequeas. Igual ocurre con los siguientes grficos, de forma
aproximada han de ser as, pero habr detalles que varen un poco. Una
vez que se tienen la cuatro nuevas variables (de C1 a C4). Podemos
obtener como se hizo en la prctica 1 los tiempos de fallo de esta
muestra de 5000 sistemas que se ha obtenido. Entonces se puede
obtener la tasa de fallos acumulada y saber si el sistema tiene
tasa de fallos creciente, decreciente o constante. Nota: Recordar
que haba que generar nuevas columnas, de nombres: S12, S123 y
S1234; con los siguientes textos:
Para S12: C1*(C1
-
otras simulaciones se obtendrn otros resultados pero cercanos a
este). Debido a que esta probabilidad es menor que la que se obtuvo
en la prctica 1, que fue de 0.92 (con el primer mtodo, el que se ha
usado aqu) y 0.905 (con el segundo mtodo) se concluira que para
montar este sistema, los componentes usados en la prctica anterior
se comportan prcticamente de la misma manera que los simulados aqu.
Autoevaluacin de la prctica: Se puede dar por superada esta prctica
cuando tras su realizacin el alumno sea capaz de: Encontrar el/los
modelo/s ms adecuado/s a un conjunto de observaciones Identificar
cuando un modelo no es adecuado para un conjunto de observaciones
Calcular supervivencias en cualquier instante para un modelo
ajustado a unos datos
y lo mismo para los valores crticos (probability distributions)
Calcular supervivencias en cualquier instante para un modelo
ajustado a unos datos
y lo mismo para los valores crticos (distribution fitting)
Generar nmeros aleatorios y combinarlos para obtener simulaciones
de sistemas de
varios componentes
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F-1(Fn (xi)) Por ltimo debemos confirmar mediante los contrastes
de hiptesis lo que se ha venido concluyendo con los anlisis
grficos: que la normal no es un buen modelo para estos datos. Antes
de pasar a analizar la tabla de dichos contrastes hay que mencionar
que cuando el nmero de observaciones es pequeo (menos de 30 datos)
no es conveniente hacer uso de los contrastes. Los contrastes son
tiles para conjuntos de datos de tamao mayor que 30. En caso
contrario la decisin de si nuestros datos pueden seguir un modelo
determinado hay que tomarla de forma grfica empleando en mayor
medida el ltimo grfico mencionado, el QQ-plot.