-
DERIVACION E INTEGRACION
1. Evalu la integral siguiente: / 2
06 3cos x dx
a) En forma analtica; b) con una sola aplicacin de la regla del
trapecio; c) con aplicacin
mltiple de la regla del trapecio, con n=2 y 4 d) con una sola
aplicacin de la regla de
Simpson 1/3 ; e) con aplicacin mltiple de la regla de Simpson
1/3, con n=4; f) con una
sola aplicacin de la regla de Simpson 3/8; y g) con aplicacin
mltiple de la regla de
Simpson, con n=5. Para cada una de las estimaciones numricas de
los incisos b) a g),
determinar el error relativo porcentual con base en el inciso
a)
2. Evalu la integral siguiente: 4
3 5
21-x-4x 2x dx
a) En forma analtica b) con una sola aplicacin de la regla del
trapecio c) con la regla del
trapecio compuesta, con n=2 y 4 d) con una sola aplicacin de la
regla de Simpson 1/3;
e) con la regla de Simpson 3/8; y f) con la regla de Boole. Para
cada una de las
estimaciones numricas de los incisos b) a f) , determine el
error relativo porcentual con
base en el inciso a).
3. Integre la funcin siguiente en forma analtica y con el empleo
de la regla del trapecio,
con n= 1,2,3 y 4: 2 2
1x+2/x dx
Use la solucin analtica para calcular los errores relativos
porcentuales verdaderos para
evaluar la exactitud de las aproximaciones de la regla del
trapecio.
4. Integre la funcin siguiente en forma tanto analtica como con
la regla de Simpson , con
n=4 y 5. Analice los resultados: 5 3
34x-3 dx
5. Integre la funcin 3
2
0
xx e dx ,tanto en forma analtica como numrica. Emplee las
reglas del trapecio y de Simpson 1/3 para integrar numricamente
la funcin. Para ambos
casos, utilice la versin de aplicacin mltiple, con n=4. Calcule
los errores relativos
porcentuales para los resultados numricos.
6. Integre la funcin1.5
2
0.514 xdx , tanto analtica como numricamente. Para las
evaluaciones numricas use a) una sola aplicacin de la regla del
trapecio, b) la regla
de Simpson 1/3 c) la regla de Simpson 3/8, d) la regla de Boole.
Calcule los errores
relativos porcentuales de los resultados numricos.
7. Integre: 3
05+3 cos x dx , tanto en forma analtica como numrica. Para
las
evaluaciones numricas utilice: a) una sola aplicacin de la regla
del trapecio; b) la regla
de Simpson 1/3;c) la regla de Simpson 3/8; d) aplicacin mltiple
de reglas de Simpson
con n= 5; e) la regla de Boole f) la frmula de integracin
abierta de 3 segmentos y 2
puntos y g) la frmula de integracin abierta de 4 segmentos y 3
puntos
-
Calcule los errores relativos porcentuales para los resultados
numricos.
8. Suponga que la fuerza hacia arriba de la resistencia del aire
sobre un objeto que cae es
proporcional al cuadrado de la velocidad. Para este caso, la
velocidad se calcula con:
( ) tanh d
d
gcgmv t t
c m
Donde cd =coeficiente de arrastre de segundo orden a) si g=9.8
m/s2 , m=68.1kg y cd
=0.25 kg/m, use integracin analtica para determinar qu tan lejos
cae el objeto en 10
segundos b) haga lo mismo pero evalu la integral con la regla
del trapecio de
segmento mltiple . Use una n suficientemente grande para obtener
tres dgitos
significativos de exactitud.
9. Evalu la integral de los datos que se tabula en seguida con
a) la regla del trapecio y b)
las reglas de Simpson
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
F(x) 1 8 4 3.5 5 1
10. Evalu la integral de los datos que se tabula en seguida, con
a) la regla del trapecio, y
b) las reglas de Simpson:
x -2 2 4 6 8 10
F(x) 35 5 -10 2 3 20
11. Determine el valor medio de la funcin:
2 3 4( ) 46 45 14 2 0.075f x x x x x
Entre x=2 y 10, por medio de a) graficar la funcin y estimar
visualmente el valor medio,
b) con la ecuacin
( )
( )
b
a
f x dx
Mediab a
y la evaluacin analtica de la integral, y c)
con la ecuacin anterior y una versin de cinco segmentos de la
regla de Simpson para
estimar la integral. Calcule el error porcentual relativo.
12. La funcin 1.5( ) 2 xf x e se puede utilizar para generar la
tabla siguiente de datos
espaciados en forma desigual:
x 0 0.05 0.15 0.25 0.35 0.475 0.6
F(x) 2 1.8555 1.5970 1.3746 1.1831 0.9808 0.8131
Evalu la integral de a=0 a b= 0.6, con el uso de a) medios
analticos b) la regla del
trapecio y c) una combinacin de las reglas del trapecio y de
Simpson, emplee las
reglas de Simpson siempre que sea posible a fin de obtener la
exactitud ms alta. Para
los incisos b) y c) calcule el error relativo porcentual
-
13. Investigue como evaluar la integral doble siguiente: 1 2
2 2 3
1 02x y xy dxdy
a) En forma analtica; b) con una aplicacin mltiple de la regla
del trapecio con n=2 y
c) con aplicaciones nicas de la regla de Simpson 1/3.Para los
incisos b) y c); calcule el
error relativo porcentual . Cree las mallas con los valores
correspondientes de la
funcin.
14. Investigue como evaluar 2 2 1
3
2 0 33x yz dxdydz
, a) en forma analtica y b) con
el uso de aplicaciones nicas de la regla de Simpson 1/3. Para el
inciso b) calcule el
error relativo porcentual ,. Cree la malla con los valores
correspondientes.
15. Una viga de 11 metros est sujeta a una carga, y la fuerza
cortante sigue la ecuacin
25 0.25V x x
Donde V es la fuerza cortante y x es la distancia a lo largo de
la viga. Se sabe que
/V dM dx y M es el momento flexionante. La integracin conduce a
la relacin:
00
x
M M Vdx
Si M0 es cero y x=11 con el empleo de a) integracin analtica b)
aplicacin mltiple de
la regla del trapecio y c) aplicacin mltiple de las reglas de
Simpson. Para los incisos
b) y c) use incrementos de 1 m.
16. El trabajo producido por un proceso termodinmico a
temperatura, presin y volumen
constante se calcula por medio de: pdV
Donde W es el trabajo, p la presin, y V el volumen. Con el
empleo de una combinacin
de la regla del trapecio, la de Simpson 1/3 y la de Simpson 3/8,
utilice los datos
siguientes para calcular el trabajo en kJ (kJ=kN.m):
Presion (kPa) 336 294.4 266.4 260.8 260.5 249.6 193.6 165.6
Volumen (m3) 0.5 2 3 4 6 8 10 11
17. Determine la distancia recorrida para los datos
siguientes:
t min 1 2 3.25 4.5 6 7 8 9 9.5 10
v m/s 5 6 5.5 7 8.5 8 6 7 7 5
a) Use la regla del trapecio, b) la mejor combinacin de las
reglas del trapecio y de
Simpson, y c) la integracin analtica de polinomios de segundo y
tercer orden,
determinados por regresin.
18. La masa total de una barra de densidad variable es: 0
L
cm x A x dx
Donde m=masa, (x) =densidad, Ac(x) =rea de la seccin
transversal, x= distancia a
lo largo de la barra y L =longitud total de la barra. Se
midieron los datos siguientes
para una barra de 10 m de longitud. Determine la masa en
kilogramos con la exactitud
mejor posible.
-
x, m 0 2 3 4 6 8 10
, g/cm3 4 3.95 3.89 3.80 3.60 3.41 3.30
Ac, cm2 100 103 106 110 120 133 150
19. Un estudio de ingeniera de transporte requiere que usted
determine el nmero de autos
que pasan por una interseccin cuando viajan durante la hora pico
de la maana. Usted
se para al lado de la carretera y cuenta el nmero de autos que
pasan cada cuatro
minutos a varias horas, como se muestra en la tabla a
continuacin. Utilice el mejor
mtodo numrico para determinar a) el nmero total de autos que
pasan entre las 7.30
y las 9.15, y b) la tasa de autos que cruzan la interseccin por
minuto (recomendacin:
tenga cuidado con las unidades)
Tiempo (h) 7.30 7.45 8.00 8.15 8.45 9.15
Tasa (autos por 4 min) 18 24 14 24 21 9
20. Determine el valor promedio para los datos de la figura
mostrada:
Realice la integral que se necesita para el promedio en el orden
que muestra la
ecuacin siguiente: 0 0
,n nx y
x yI f x y dy dx
.
Recuerde que para calcular el valor promedio de una funcin
bidimensional se usa:
,, [ , ] , [ , ]
( )( )
d b
c af x y dx dy
I x a b y c dd c b a
. (Primero calcule las
integrales por cada fila, luego una integral usando los
resultados anteriores por
columna).
21. Determine numricamente el valor de: (considere diferentes
valores cada vez ms
grandes en los extremos para determinar si la integral
converge)
a) 2 2dx
x x
b)
2
0
ye sen y dy
c) 2 201
1 1 / 2dy
y y
d) 2
yye dy
e) 2
2
0
1
2
x
e dx
Observe que la integral del inciso e) es la distribucin
normal.
22. La cantidad de masa transportada por un tubo durante cierto
periodo de tiempo se
calcula con: 2
1
t
tM Q t c t dt
-
Donde M=masa (mg), t1=tiempo final (min), Q(t)=tasa de flujo
(m3/min), y
c(t)=concentracin (mg/m3). Las representaciones funcionales
siguientes definen las
variaciones temporales en el flujo y la concentracin:
2
0.5 0.15
9 4cos 0.4
5 2t t
Q t t
c t e e
Determine la masa transportada entre t1=2min y t2= 8 min, con
integracin de Trapecio
compuesto para una tolerancia de 0.1%
23. Las profundidades de un rio H se miden a distancias
espaciadas iguales a travs de un
canal como se muestra en la tabla siguiente. El rea de la seccin
transversal del rio se
determina por integracin con: 0
x
cA H x dx
Emplee integracin de Romberg para llevar a cabo la integracin
con una tolerancia de
1%
x, m 0 2 4 6 8 10 12 14 16
H, m 0 1.9 2 2 2.4 2.6 2.25 1.12 0
24. Determine la cantidad de calor requerido para elevar la
temperatura de 1200 g del
material de -150 a 100 C, usando la el valor promedio de
c(T):
2
1
2 1
( )
T
Tc T dT
c TT T
.
Genere una tabla usando la funcin 4 7 2( ) 0.132 1.56*10
2.64*10c T T T , luego
aplique la regla de Simpson para hacer su clculo, con valores de
T en incrementos de
50C.
25. Repita el problema anterior pero utilice la integracin de
Romberg con 0.01%s
26. La integracin proporciona un medio de calcular cuanta masa
entra o sale de un reactor
durante un periodo especfico de tiempo, as: 2
1
t
tM Qcdt
Donde t1 y t2 =tiempos inicial y final, respectivamente. Esta
frmula es de sentido comn
si se recuerda la analoga entre la integracin y la suma. Es
decir, la integral representa
la suma del producto del flujo por la concentracin, lo que da la
masa total que entra o
sale de t1 a t2. Si la tasa de flujo es constante, Q se puede
sacar de la integral.
2
1
t
tM Q cdt
Utilice la integracin numrica para evaluar esta ecuacin para los
datos que se enlistan
a continuacin. Observe que Q=4 m3 .min
t, min 0 10 20 30 35 40 45 50
c, mg/m3 10 35 55 52 40 37 32 34
27. Se mide la concentracin qumica de la salida de un reactor
mezclado por completo
t, min 0 1 4 6 8 12 16 20
c, mg/m3 12 22 32 45 58 75 70 48
-
Para un flujo de salida de Q=0.3 m3/s, calcule la masa del
producto qumico, en gramos,
que sale del reactor entre 0 20mint y t
28. La primera ley de la difusin de Fick establece que
dcFlujodemasa D
dx (P24.6)
Donde el flujo de masa =cantidad de masa que pasa a travs de una
unidad de rea por
unidad de tiempo (g/cm2/s), D=coeficiente de difusin (cm2/s),
c=concentracin, y
x=distancia (cm). Un ingeniero ambiental mide la concentracin,
que se presenta a
continuacin, de un contaminante en los sedimentos en el fondo de
un lago (x=0 en la
interfase sedimento agua y aumenta hacia abajo)
x, cm 0 1 3
c, 10-6g/cm3 0.06 0.32 0.6
Utilice la mejor tcnica numrica de diferenciacin disponible para
estimar la derivada
en x=0. Emplee esta estimacin junto con la ecuacin (P24.6) para
calcular el flujo de
masa del contaminante que se desprende de los sedimentos hacia
las aguas superiores
(D=1.52x10-6 cm2/s). Para un lago con 3.6 x 106 m2 de
sedimentos, Cunto
contaminante ser transportado hacia el lago durante un ao?
29. Los siguientes datos se obtuvieron al cargar un gran buque
petrolero:
t, min 0 10 20 30 45 60 75
V, 106 barriles 0.4 0.7 0.77 0.88 1.05 1.17 1.35
Calcule la tasa de flujo Q (es decir, dV/dt) para cada tiempo en
un orden de h2
30. Usted est interesado en medir la velocidad de un fluido a
travs de un canal
rectangular angosto abierto que condujera desperdicios de
petrleo entre distintos
lugares de una refinera. Usted sabe que, debido a la friccin con
el fondo, la velocidad
varia con la profundidad del canal. Si los tcnicos solo disponen
de tiempo para hacer
dos mediciones de la velocidad, a qu profundidades las hara para
obtener la mejor
estimacin de la velocidad promedio? Elabore recomendaciones en
trminos del
porcentaje total de profundidad d medida a partir de la
superficie del fluido. Por ejemplo,
si se midiera en la superficie se tendra 0% d, mientras que en
el fondo sera 100%d.
31. El tejido suave sigue una deformacin de comportamiento
exponencial ante la tensin
uniaxial, mientras se encuentre en el rango fisiolgico o normal
de elongacin. Esto se
expresara as: 0 1atE
ea
Donde esfuerzo tensin, y 0E y a son constantes materiales que
se
determinan en forma experimental. Para evaluar las dos
constantes materiales se deriva
la ecuacin anterior con respecto a , la cual es una relacin
fundamental para el tejido
suave: 0
dE a
d
-
Para evaluar E0 y a, se emplean datos de esfuerzo tensin para
graficar d
d
versus
, y la pendiente e interseccin de esta grafica con las dos
constantes del material
respectivamente. La tabla siguiente contiene datos de esfuerzo
tensin para los
tendones cordados del corazn (tendones pequeos que durante la
contraccin del
musculo cardiaco mantienen cerradas sus vlvulas) estos son los
datos tomados
durante la carga del tejido, se obtendran curvas distintas
durante la descarga.
a) Calcule la derivada de /d d por medio de diferencias finitas
con exactitud de
segundo orden. Grafique los datos y elimine aquellos puntos
cerca de cero que que
parezcan no seguir la relacin de lnea recta. El error en dichos
datos proviene de la
incapacidad de los instrumentos para medir los valores pequeos
en dicha regin. Lleve
a cabo un anlisis de regresin de los dems puntos para determinar
los valores de oE y
a. Grafique los datos de esfuerzo versus tensin junto con la
curva analtica expresada
por la primera ecuacin. Esto indicara que tan bien se ajustan
los datos a curva
analtica.
b) Es frecuente que el anlisis anterior no funciona bien debido
a que es difcil evaluar el
valor de 0E . Para resolver este problema, no se utiliza 0E . Se
selecciona un punto
, de los datos que este a la mitad del rango empleado para el
anlisis de regresin.
Estos valores se sustituyen en la primera ecuacin y se determina
un valor 0E la que se
remplaza en la primera ecuacin: 11
a
ae
e
Con este enfoque, los datos experimentales que estn bien
definidos producirn un
buen ajuste entre los datos y la curva analtica. Emplee esta
nueva relacin y grafique
otra vez los datos del esfuerzo versus la tensin y tambin la
nueva curva analtica.
32. La tcnica estndar para determinar la salida cardiaca es el
mtodo de dilucin de un
colorante, desarrollado por Hamilton. Se inserta el extremo de
un catter pequeo en la
arteria radial y el otro se conecta a un denstometro, que
registra en forma automtica la
concentracin del colorante en la sangre, se inyecto con rapidez
una cantidad conocida,
5.6 mg, de colorante y se obtuvieron los datos siguientes:
Tiempo, s Concentracin, mg/L Tiempo, s Concentracin, mg/L
5 0 21 2.3
7 0.1 23 1.1
9 0.11 25 0.9
11 0.4 27 1.75
13 4.1 29 2.06
3 210 /x N m 87.8 96.6 176 263 350 569 833 1227 1623 2105 2677
3378 4257
310 /x m m 153 198 270 320 355 410 460 512 562 614 664 716
766
-
15 9.1 31 2.25
17 8 33 2.32
19 4.2 35 2.43
Al graficarse los datos anteriores se obtienen la curva de
dilucin del colorante que se
muestra en la figura de arriba. La concentracin alcanza un valor
mximo alrededor de
15 segundos despus, luego hay una disminucin seguida de un
aumento ocasionado
por la recirculacin del colorante. En la figura b), se muestra
la curva graficada en
papel semilogartmico. Observe que la rama descendente de la
curva de dilucin se
aproxima a una lnea recta. A fin de separar el efecto de
recirculacin, los analistas
extienden la porcin de la lnea recta. Entonces, la salida
cardiaca se calcula por
medio de la ecuacin siguiente.
60 / minM
C x sA
Donde C= salida cardiaca (L/min), M=cantidad de colorante
inyectado (mg), y A=rea
bajo la curva con la correlacin lineal. Calcule la salida
cardiaca de este paciente con
el empleo de la regla del trapecio con un trapecio con un tamao
de paso de 2 s.
33. En todo el mundo, el glaucoma es la segunda causa principal
de perdida de la vista.
La presin intraocular alta (presin dentro del ojo) casi siempre
acompaa la perdida
de la visin. Existe la hiptesis de que la presin elevada daa un
subconjunto de
clulas en el ojo responsables de la vista. Un investigador
postula que la relacin entre
la perdida de la visin y la presin esta descrita por la
ecuacin.
25exp 13t
VL A k P dt
Donde VL es el porcentaje de prdida de visin, P es la presin
intraocular (mm de
mercurio (mm Hg), t es el tiempo (aos), y k y A son constantes.
Con el uso de los
datos siguientes procedentes de tres pacientes, estime los
valores de las constantes k
y A.
-
Paciente A B C
Edad al emitir el
diagnostico
65
60
43
40
80
30
Edad, aos P, mm Hg Edad, aos P, mm Hg Edad, aos P, mm Mg
25 13 25 11 25 13
40 15 40 30 40 14
50 22 41 32 50 15
60 23 42 33 60 17
65 24 43 35 80 19
34. Una de sus colegas diseo una parche transdermico nuevo para
aplicar insulina a
travs de la piel de los pacientes diabticos en forma controlada,
con lo que se elimina
la necesidad de inyecciones dolorosas. Recabo los datos
siguientes acerca del flujo de
masa de la insulina que se aplica a travs del parche (y piel)
como funcin del tiempo:
Flujo
Mg/cm2/h
Tiempo,
h
Flujo,
mg/cm2/h
Tiempo,
h
15 0 8 5
14 1 5 10
12 2 2.5 15
11 3 2 20
9 4 1 24
Recuerde que el flujo de masa es la tasa de flujo a travs de un
rea, o (1/A)dm/dt.
Proporcione su mejor estimacin posible de la cantidad de
medicina distribuida a
travs de la piel en 24 horas de uso de un parche de 12 cm2.
35. Se emplea la video angiografa para medir el flujo sanguneo y
determinar el estado de
la funcin circulatoria. A fin de cuantificar los video
angiogramas se necesita conocer
el dimetro del vaso sanguneo y la velocidad de la sangre, de
modo que se determine
el flujo total de la sangre. A continuacin se presenta el perfil
densiomtrico tomado de
un video angiograma de cierto vaso sanguneo: Una forma de
determinar de modo
consistente a que distancia del angiograma se localiza el borde
del vaso sanguneo, es
determinar la primera derivada del perfil en un valor extremo.
Con los datos que se
proporciona, encuentre las fronteras del vaso sanguneo y estime
el dimetro de este.
Emplee frmulas de diferencias centradas tanto O(h2) como de
O(h4) y compare los
resultados.
Distancia Densidad Distancia Densidad Distancia Densidad
Distancia Densidad
0 26.013 28 38.273 56 39.124 84 37.331
4 26.995 32 39.103 60 38.813 88 35.980
8 26.351 36 39.025 64 38.925 92 31.936
12 28.343 40 39.432 68 38.804 96 28.843
16 31.100 44 39.163 72 38.806 100 26.309
-
20 34.667 48 38.920 76 38.666 104 26.146
24 37.251 52 38.631 80 38.658
36. Las fuerzas del viento (f) , ejercidas por pie de mstil de
las velas (de un bote de vela
de carreras) varian en funcin de la distancia sobre la cubierta
del bote (z) . Calcule la
fuerza de tensin T en el cable de soporte izquierdo del mstil,
suponiendo que el
cable de soporte derecho est totalmente flojo y que el mstil se
une a la cubierta de
modo que transmite fuerzas horizontales o verticales, pero no
momentos. Suponga
que el mstil permanece vertical.
Considere que la fuerza distribuida f se convierta en una fuerza
total equivalente F y
que se calcula su localizacin d sobre la cubierta. Este clculo
se complica por el
hecho de que la fuerza ejercida por pie de mstil varia con la
distancia sobre la
cubierta. La fuerza total ejercida sobre el mstil se expresa
como la integral de una
funcin continua: 30
/10
0
250
6
zzF e dzz
, calcule el valor F con el uso de la regla del
trapecio y las de Simpson 1/3 y 3/8. Divida el mstil en
intervalos de cinco pies.
Calcule tambin la fuerza efectiva d sobre la lnea de accin,
mediante la integral:
30
0
30
0
. ( )
( )
z f z dzd
f z dz
37. Las reas (A) de la seccin transversal de una corriente se
requieren para varias
tareas de la ingeniera de recursos hidrulicos, como el pronstico
del escurrimiento y
el diseo de presas. A menos que se disponga de dispositivos
electrnicos muy
avanzados para obtener perfiles continuos del fondo del canal,
el ingeniero debe
basarse en mediciones discretas de la profundidad para calcular
A. En la figura inferior
se representa un ejemplo de seccin transversal comn de una
corriente. Los puntos
de los datos representan ubicaciones en las que ancl un barco y
se hicieron
mediciones de la profundidad. Utilice aplicaciones (h=4 y 2 m)
de la regla del trapecio
y de la de Simpson 1/3 (h=2m) para estimar el rea de la seccin
transversal
representada por esos datos.
-
38. De acuerdo al problema anterior, el rea de la seccin
transversal de un canal se
calcula con: 0
B
cA H y dy
Donde B=ancho total del canal (m), H=profundidad (m), y
y=distancia desde uno de los
mrgenes (m). En forma similar, el flujo promedio Q (m3/s) se
calcula por medio de:
0
B
Q U y H y dy
Donde U=velocidad del agua (m/s). Use estas relaciones y algn
mtodo numrico
para determinar Ac y Q, para os datos siguientes:
y, m 0 2 4 5 6 9
H, m 0.5 1.3 1.25 1.7 1 0.25
U, m/s 0.03 0.06 0.05 0.12 0.11 0.02
39. Durante un levantamiento, se le pide que calcule el rea del
terreno que se muestra en
la figura inferior. Emplee reglas de Simpson para determinar el
rea (limitada por 2
caminos y un cauce)
40. Un estudio de ingeniera del transporte requiere que se
calcule el nmero total de autos
que cruzan por una interseccin en un periodo de 24 horas. Un
individuo la visita en
diferentes momentos durante el curso de un da y cuenta durante
un minuto los autos
que pasan por la interseccin. Utilice los datos que se resumen
en la tabla inferior para
estimar el nmero total de autos que cruzan por da (tenga cuidado
con las unidades)
Tabla : Tasa de flujo de trfico (autos/min) en una interseccin
medida en diferentes
momentos durante un periodo de 24 horas.
Hora Tasa Hora Tasa Hora Tasa
12:00
medianoche 2 9:00 AM 11 6:00 PM 20
2:00 AM 2 10:30 AM 4 7:00 PM 10
4:00 AM 0 11:30 AM 11 8:00 PM 8
5:00 AM 2 12:30 PM 12 9:00 PM 10
6:00 AM 6 2:00 PM 8 10:00 PM 8
7:00 AM 7 4:00 PM 7 11:00 PM 7
8:00 AM 23 5:00 PM 26 12:00
medianoche 3
-
41. Se midi la fuerza del viento distribuida contra el costado
de un rascacielos, as:
Altura, l, m 0 30 60 90 120 150 180 210 240
Fuerza, F(l), N/m 0 340 1200 1600 2700 3100 3200 3500 3800
Calcule la fuerza neta y fuerza efectiva sobre la lnea de accin
debida a este viento
distribuido (vase ejercicio 36)
42. El agua ejerce presin sobre la cara aguas arriba de una
presa, como se ilustra en la
figura inferior :
La presin se describe con la ecuacin: p z g D z
Donde p(z) es la presin en pascales (o N/m2) que se ejerce a z
metros de elevacin
sobre el fondo de la presa; = densidad del agua; que para este
problema se supone
ser constante de 103 kg/m3; g=aceleracin de la gravedad
(9,8m/s2); y D=elevacin (en
m) que hay del fondo de la presa a la superficie del agua. De
acuerdo con la ecuacin
p z g D z , la presin se incrementa en forma lineal con la
profundidad, como
se ilustra en la figura (a). Si se omite la presin atmosfrica
(porque opera contra ambos
lados de la cara de la presa y en esencia se cancela), la fuerza
total f se determina con
la multiplicacin de la presin por el rea de la cara de la presa
(como se muestra en la
figura (b). Como tanto la presin como el rea varan con la
elevacin, la fuerza total se
obtiene con la evaluacin de: 0
D
tf gw z D z dz
Donde w(z)= ancho de la cara de la presa (m) en la elevacin z
(vase la figura b). La
lnea de accin tambin puede obtenerse con la evaluacin de:
0
0
0
D
gzw z D z dzd
gw z D z dz
Use la regla de Simpson para calcular ft y d. Compruebe los
resultados con un
programa de cmputo para la regla del trapecio.
43. Para estimar el tamao de una presa nueva, usted tiene que
determinar el volumen total
de agua (m3) que fluye por un rio por un ao. Usted dispone de
los datos histricos
promedio para el rio:
-
Fecha Med
Ene
Med
Feb
Med
Mar
Med
Abr
Med
Jun
Med
Sep
Med
Oct
Med
Nov
Med
Dic
Flujo, m3/s 30 38 82 125 95 20 22 24 35
Determine el volumen. Tenga cuidado con las unidades y al hacer
una estimacin
apropiada del flujo en los puntos extremos.
44. Los datos que se enlistan en la tabla siguiente proporcionan
mediciones por hora del
flujo de calor q (cal/cm2/h) en la superficie de un colector
solar. Como ingeniero , usted
debe estimar el calor total absorbido por un panel colector de
150000 cm2 durante un
periodo de 14 horas. El panel tiene una eficiencia de absorcin
abe de 45 %. El calor
total absorbido est dada por: 0
t
abh e qAdt , donde A es el rea y q el flujo de calor.
t 0 2 4 6 8 10 12 14
q 0.10 5.32 7.80 8.00 8.03 6.27 3.54 0.20
45. El flujo de calor q es la cantidad de calor que fluye a
travs de una unidad de rea de
cierto material por unidad de tiempo. Se calcula con la ley de
Fourier: dT
J kdx
Donde J est en unidades de J/m2/s, y k es un coeficiente de
conductividad trmica que
parametriza las propiedades conductoras de calor del material y
se expresa en
unidades de W/(C.m). T= temperatura (C); y x=distancia (m) a lo
largo de la trayectoria
del flujo de calor. La ley de Fourier la emplean en forma
rutinaria los ingenieros para
determinar el flujo de calor a travs de las paredes. Se midieron
las temperaturas
siguientes a partir de la superficie (x=0) de una pared de
piedra:
x, m 0 0.08 0.16
T, C 20 17 15
Si el flujo en x= 0 es de 60 W/m2, calcule el valor de k.
46. El rea de la superficie horizontal As(m2) de un lago, a
cierta profundidad, se calcula a
partir del volumen por medio de diferenciacin: dV
As z zdz
Donde V=volumen (m3) y z=profundidad (m), se mide a partir de la
superficie en
direccin del fondo. La concentracin promedio de una sustancia
que vara con la
profundidad c(g/m3) se obtiene por integracin:
0
0
z
s
z
s
c z A z dzc
A z dz
Donde z= profundidad total (m). Determine la concentracin
promedio con base en los
datos siguientes:
z, m 0 4 8 12 16
V, 106 m3 9.8175 5.1051 1.9635 0.3927 0.0000
C, g/m3 10.2 8.5 7.4 5.2 4.1
-
47. El valor promedio de la corriente elctrica oscilante en un
periodo puede ser cero . Por
ejemplo , suponga que la corriente se describe por una senoide
simple:
( ) (2 / )i t sen T , donde T es el periodo. El valor promedio
de esta funcin se
determina mediante la siguiente ecuacin:
0
2
cos(2 ) cos00
0
T tsen dt
Ti
T T
. A pesar del hecho de que el resultado
total es cero, dicha corriente es capaz de realizar trabajo y
generar calor. Por
consiguiente, los ingenieros a menudo caracterizan esta
corriente por:
20
1 TRMCI i t dt
T , donde i(t) es la corriente instantnea. Calcule la raz
media
cuadrtica para la corriente segn las especificaciones
siguientes:
1.255 2 0 / 2
0 / 2
ti t e sen t para t T
i t paraT t T
Donde T=1 s. Use la regla del trapecio y Simpson 1/3 y romberg
con 1%s para
estimar la integral
48. Repita el problema anterior, pero emplee la regla de Simpson
1/3 de cinco
segmentos.
49. La ley de Faraday caracteriza la cada de voltaje a travs de
un inductor, as:
L
diV L
dt
Donde VL =cada de voltaje (V), L= inductancia (en henrios;
H=1V.s/A), i=corriente
(A) y t= tiempo (s). Determine la cada de voltaje como funcin
del tiempo, con los
datos siguientes para una inductancia de 4H
t 0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7
i 0 0.16 0.32 0.56 0.84 2.0
50. Con base en la ley de Faraday (vase el problema anterior)
use los datos siguientes
de voltaje para estimar la inductancia en henrios si se pasa
durante 400
milisegundos una corriente de 2 A por el inductor.
t, ms 0 10 20 40 60 80 120 180 280 400
V, volts 0 18 29 44 49 46 35 26 15 7
51. Suponga que la corriente a travs de una resistencia esta
descrita por la funcin:
260 60i t t t sen t , y que la resistencia es funcin de la
corriente:
2/312 2R i i . Calcule el voltaje promedio desde t=0 hasta 60
con el uso de la
regla de Simpson 1/3 de segmentos mltiples.
52. Si inicialmente un capacitor no tiene carga, el voltaje a
travs de l como funcin
del tiempo se calcula por medio de: 0
1 tV t i t dt
C
-
Si C=105 faradios, use los datos de corriente que siguen para
elaborar una grfica
del voltaje versus el tiempo:
t, s 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
I, 10-3A 0.2 0.3683 0.3819 0.2282 0.0486 0.0082 0.1441
53. En ingeniera muchos problemas implican el clculo del
trabajo. La formula general
es : Trabajo =fuerza x distancia. Si la fuerza varia durante el
clculo, la ecuacin
para el trabajo se define como:
0
( )nx
x
W F x dx
Donde: W=trabajo (lb.ft), donde x0,xn: posiciones inicial y
final respectivamente, y
F(x) fuerza que varia con la posicin. Si F(x) es fcil de
integrar, la ecuacin anterior
se puede calcular analticamente. En la solucin de un problema
real, quiz la
fuerza no se exprese de esta manera. De hecho, cuando se
analizan los datos
obtenidos de las mediciones, la fuerza podra estar disponible
solo en forma
tabular. En tal sentido, la integracin numrica es la nica opcin
viable para la
evaluacin. Se obtiene mayor complejidad si el ngulo de entre la
fuerza y la
direccin del movimiento tambin vara en funcin de la posicin. La
ecuacin del
trabajo llega a dificultarse aun ms al tomar en cuenta este
efecto, entonces:
0
( ) cos[ ( )]nx
x
W F x x dx
De nuevo, si F(x) y ( )x son funciones sencillas, la ecuacin
anterior se podra
resolver analticamente, pero es mas comn que la relacin
funcional sea
complicada. En tal situacin, los mtodos numricos ofrecen la nica
alternativa
para determinar la integral. De acuerdo a las restricciones
experimentales usted
cuenta con mediciones discretas a intervalos de x=5 ft (ver
tabla anexa). Use
versiones de una y mltiples aplicaciones de la regla del
trapecio y las reglas de
Simpson 1/3 y 3/8 para calcular el trabajo con estos datos.
x, ft F(x), lb ,rad ( ) cosF x
0 0.0 0.50 0.0000
5 9.0 1.40 1.5297
10 13.0 0.75 9.5120
15 14.0 0.90 8.7025
20 10.5 1.30 2.8087
25 12.0 1.48 1.0881
30 5.0 1.50 0.3537
54. Ejecute el mismo clculo que en el problema anterior, pero
use la ecuacin siguiente:
21.6 0.045f x x x .Emplee los valores de de la tabla
anterior.
55. Efectu el mismo clculo que en problema 53 pero emplee la
ecuacin que sigue:
-
2 30.8 0.125 0.009 0.0002x x x x
Utilice la funcin f(x) del problema anterior. Use reglas del
trapecio con 4,8 y 16
segmentos para calcular la integral.
56. Repita el problema anterior, pero emplee la regla de Simpson
1/3.
57. Resuelva el problema 55 , pero utilice integracin de Romberg
con 0.5%s
58. El trabajo que realiza un objeto es igual a la fuerza por la
distancia que se desplaza
en la direccin de la fuerza. La velocidad de un objeto en la
direccin de una fuerza
est dada por:
2
4 0 4
16 4 4 14
v t t
v t t
Donde v=m/s. Emplee la aplicacin mltiple de la regla de Simpson
para determinar
el trabajo si se aplica una fuerza constante de 200 N para toda
t.
59. La tasa de enfriamiento de un cuerpo (ver figura inferior)
se expresa como:
0dT
k T Tdt
Donde T=temperatura del cuerpo (C), To=temperatura del medio
circundante (C) y
k=constante de proporcionalidad (por minuto) . Asi esta ecuacin
(denominada ley
de Newton para el enfriamiento) especifica que la tasa de
enfriamiento proporcional
a la diferencia de temperaturas del cuerpo y del medio
circundante. Si una bola de
metal calentada a 80C se sumerge en agua que se mantiene a
T0=20C constante,
la temperatura de la bola cambia as.
Tiempo, min 0 5 10 15 20 25
T, C 80 44.5 30 24.1 21.7 20.7
Utilice diferenciacin numrica para determinar dT/dt en cada
valor del tiempo.
Grafique dT/dt versus T-T0 y emplee regresin lineal para evaluar
k.
60. Una barra sujeta una carga axial (vase la figura a) se
deformar como se ilustra en
la curva esfuerzo tensin que aparece en la figura b) El rea bajo
la curva desde
el esfuerzo cero hasta el punto de ruptura se denomina mdulo de
rigidez del
material. Proporciona una medida de la energa por unidad de
volumen que se
requiere para hacer que el material se rompa. Por ello, es
representativo de la
capacidad del material para superar una carga de impacto. Use
integracin
numrica para calcular el mdulo de rigidez para la curva
esfuerzo-tensin que se
aprecia en la figura b)
-
61. Si se conoce la distribucin de la velocidad de un fluido a
travs de un tubo (vase
la figura), la tasa de flujo Q(es decir, el volumen de agua que
pasa por el tubo por
unidad de tiempo) se calcula por medio de Q vdA , donde v es la
velocidad y A
es el rea de la seccin transversal del tubo. (Para entender el
significado fsico de
esta relacin, recuerde la estrecha conexin que hay entre la suma
y la integracin)
Para un tubo circular, A=r2 y dA=rdr. Por lo tanto, 0
2r
Q v r dr donde r es la
distancia radial medida hacia fuera del centro del tubo. Si la
distribucin de la
velocidad est dada por
176
0
2 1r
vr
donde r0 es el radio total (en este caso
3cm), calcule Q con el empleo de la regla del trapecio de
aplicacin mltiple.
Analice los resultados.
62. Con los datos siguientes, calcule el trabajo realizado con
la compresin hasta
x=0.35 m, de un resorte cuya constante es de k=300 N/m:
F, 103N 0 0.01 0.028 0.046 0.063 0.082 0.11 0.13
x, m 0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
63. Se midi la posicin de un avin de combate durante su
aterrizaje en la cubierta de
un portaviones:
t, s 0 0.52 1.04 1.75 2.37 3.25 3.83
x, m 153 185 210 249 261 271 273
Donde x es la distancia desde el extremo del portaviones. Estime
a) la velocidad
(dx/dt) y b) la aceleracin (dv/dt), por medio de diferencia
numrica.
64. Emplee la regla de Simpson de aplicacin mltiple para evaluar
la distancia vertical
que recorre un cohete si su velocidad vertical est dada por:
-
2
2
11 5 0 10
1100 5 10 20
50 2 20 20 30
v t t t
v t t
v t t t
65. La velocidad hacia arriba de un cohete se calcula con la
frmula que sigue:
0
0
lnm
v u gtm qt
Donde v=velocidad hacia arriba, u = velocidad a que se expele el
combustible en
relacin con el cohete, m0=masa inicial del cohete en el tiempo
t=0, q=tasa de
consumo de combustible y g=aceleracin de la gravedad hacia abajo
(se supone
constante=9.8m/s2). U=1800m/s, m0=160000 kg, y q=2500 kg/s,
utilice la regla del
trapecio de seis segmentos y de Simpson 1/3 y los mtodos de
Romberg o(h8) para
determinar que altura alcanzara el cohete en un vuelo de 30
s.
66. Un flujo desarrollado por completo que pasa a travs de un
tubo de 40 cm de
dimetro tiene el perfil de velocidad siguiente:
Radio, r, cm 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 20.0
Velocidad,v, m/s 0.914 0.890 0.847 0.795 0.719 0.543 0.427 0.204
0
Encuentre, la tasa de flujo volumtrico, Q, con la relacin 0
2k
Q rvdr , donde r es
el eje radial del tubo, R es el radio del tubo, y v es la
velocidad. Resuelve el
problema con dos enfoques diferentes.
a) Ajuste una curva polinomial a los datos de velocidad e
intgrela en forma
analtica
b) Para la integracin utilice una aplicacin mltiple de la regla
de Simpson 1/3.
c) Encuentre el error porcentual con el uso de la integral de
ajuste polinomial como
el valor ms correcto.
67. Un fluido desarrollado por completo de un plstico de Bingham
que se mueve por
un tubo de 12 pulgadas de dimetro, tiene el perfil de
velocidades que sigue. El flujo
de un fluido de Bingham no corta el fluido central, lo que
produce un flujo tapn
alrededor de la lnea central.
Radio, r, pulg 0 1 2 3 4 5 6
Velocidad, v, pie/s 5.00 5.00 4.62 4.01 3.42 1.69 0.00
Encuentre la tasa de flujo volumtrico total, Q, con el uso de la
relacin
2
1
2r
c cr
Q rvdr v A donde r es el eje radial del tubo, R es el radio del
tubo, v es la
velocidad, vc es la velocidad en el ncleo, y Ac es el rea de la
seccin transversal
del tapn. Resuelva el problema con dos enfoques distintos.
a) Ajuste una curva polinomial a los datos fuera del ncleo e
intgrela
b) Para la integracin emplee la regla de Simpson de aplicaciones
mltiples.
-
c) Encuentre el error porcentual con el uso de la integral del
ajuste polinomial como
el valor ms correcto.
68. La entalpa de un gas real es funcin de la presin como se
describe a
continuacin. Los datos se tomaron para un fluido real. Estime la
entalpia del fluido
a 400K y 50 atm (evalu la integral de 0.1 atm a 50 atm).
0
P
p
VH V T dP
T
P, atm V, L
T=350K T=400K T=450K
0.1 220 250 282.5
5 4.1 4.7 5.23
10 2.2 2.5 2.7
20 1.35 1.49 1.55
25 1.1 1.2 1.24
30 0.90 0.99 1.03
40 0.68 0.75 0.78
45 0.61 0.675 0.7
50 0.54 0.6 0.62
69. Dados los datos siguientes, encuentre el trabajo isotrmico
realizado sobre el gas
cuando se comprime de 23 L a 3 L (recuerde que 2
1
v
vW Pdv ).
V, L 3 8 13 18 23
P, atm 12.5 3.5 1.8 1.4 1.2
a) Encuentre en forma numrica el trabajo realizado sobre el gas,
con la regla del
trapecio de 1,2 y 4 segmentos.
b) Calcule las razones de los errores en estas estimaciones y
relacinelas con el
anlisis del error de la regla del trapecio.
70. La ecuacin de Rosin Rammler Bennet (RRB) se emplea para
describir la
distribucin de los tamaos de polvo fino. F(x) representa la masa
acumulada de las
partculas de polvo de dimetro x y ms pequeas x y n son
constantes iguales a
30um y 1.44 respectivamente. La distribucin de la densidad de
masa f(x) o masa
de las partculas de polvo de un dimetro x, se encuentra con la
derivada de la
distribucin acumulada.
/
1n
x x dF xF x e f x
dx
a) Calcule en forma numrica la distribucin de la densidad de
masa f(x) y grafique
tanto f(x) como la distribucin acumulada F(x).
-
b) Con sus resultados del inciso a), calcule la moda del tamao
de la distribucin de
la densidad de masa es decir, el tamao en que la derivada de
f(x) es igual a
cero.
c) Encuentre el rea superficial por masa de polvo Sm (cm2/g),
por medio de:
min
6m
d
f xS dx
x
La ecuacin es vlida solo para partculas esfricas. Suponga una
densidad
31 .g cm y un dimetro mnimo dmin, de polvo incluido en la
distribucin, de 1 m .
71. Para el flujo de un fluido sobre una superficie, el flujo de
calor hacia la superficie se
calcula con:
dTJ k
dy
Donde J=flujo de calor (W/m2). K=conductividad trmica (W/m.K),
T=temperatura
(K) y y=distancia normal a la superficie (m). Se hicieron las
mediciones siguientes
para el flujo de aire sobre una placa plana que mide 200 cm de
largo y 50 cm de
ancho.
y, cm 0 1 3 5
T, k 900 480 270 200
Si k= 0.028 J/s.m.K, a) determine el flujo a la superficie, y b)
la transferencia de
calor en watts. Observe que 1J=1W.s
72. El gradiente de presin para un flujo laminar a travs de un
tubo de radio constante,
est dado por: 4
8dp uQ
dx r
Donde = presin (N/m2), x =distancia a lo largo de la lnea
central del tubo (m) ,
u=viscosidad dinmica (N.s/m2), Q=flujo (m3/s), y r=radio
(m).
a) Determine la cada de presin para un tubo de 10 cm de longitud
para un lquido
viscoso (u=0.005 N. s/m2, densidad = =1x103kg/m3) con un flujo
de 10x10-6m3/s, y
las variaciones del radio con la longitud que siguen,
x, cm 0 2 4 5 6 7
r, mm 2 1.35 1.34 1.6 1.58 2
b) Compare su resultado con la cada de presin que tendra que
ocurrir si el tubo
tuviera un radio constante igual al radio promedio.
c) Determine el nmero de Reynolds promedio para el tubo a fin de
comprobar que
el flujo es de verdad laminar (Re= / 2100,vD u donde v
=velocidad).
73. Se recabaron datos de la velocidad del aire en radios
diferentes desde la lnea
central de un tubo circular de 16cm de dimetro, como se muestra
a continuacin:
r, cm 0 1.6 3.2 4.8 6.4 7.47 7.87 7.95 8
v, m/s 10 9.69 9.30 8.77 7.95 6.79 5.57 4.89 0
-
Utilice integracin numrica para determinar la tasa de flujo de
masa, que se
calcula como: 0
2R
v r d r . Donde =densidad (=1.2kg/m3). Exprese sus
resultados en kg/s.
74. El fondo de un cilindro circular tiene un radio de 0.5 m y
es perpendicular al eje,
pero la tapa tiene una inclinacin de 45 grados respecto al eje,
como se muestra en
la figura obtenga el volumen mediante la regla trapezoidal con
20 intervalos.
75. Con la tabla de funcin que se da ms abajo, evalu: 0.8
0f x dx
Por la regla trapezoidal extendida con h=0.4, h=0.2, y h=0.1
x f(x)
0.0 0
0.1 2.1220
0.2 3.0244
0.3 3.2568
0.4 3.1399
0.5 2.8579
0.6 2.5140
0.7 2.1639
0.8 1.8358
76. Aplicando la integral de Romberg a los resultados de la
regla trapezoidal con h=0.1
y h=0.2 del problema anterior estime una integral ms exacta.
77. A continuacin se da una tabla de funcin:
i xi f(xi)
1 0 0.9162
2 0.25 0.8109
3 0.5 0.6931
4 0.75 0.5596
5 1.0 0.4055
a) Calcule 1
0I f x dx , por la regla trapezoidal extendida con h=0.25 y h=
0.5
b) mediante la integracin de Romberg de los resultados de la
pregunta (a), estime
un valor ms exacto de I.
-
78. Considere tres puntos de datos, (-1, f1), (0, f2), (1,f3).
Ajuste el conjunto de datos por
la frmula de interpolacin de Lagrange. Integrando la frmula de
interpolacin de
Lagrange, demuestre que se obtiene la regla 1/3 de Simpson.
Sugerencia: Transforme las funciones de forma en series de
potencias con polyfit.
Una vez que obtenga los coeficientes de la potencias, integre el
polinomio con
poly_itg.
79. La regla 1/3 de Simpson es exacta si se integra un polinomio
de orden 3 o menor.
Verifique esto integrando: 3
3
0J x dx
Por la regla 1/3 de Simpson y analticamente. Repita utilizando
la regla 3/8 de
Simpson.
80. Evalu las siguientes integrales con la regla 1/3 de Simpson
extendida empleando
n=2, 4, 8, 16 y 32.
a) 0 2 cos
dx
x
b)
21
log 1 xdx
x
c)
220 1
dx
sen x
d) 1
0exp 2x x dx e)
1
0
xx dx f) 2
2
0exp 2 sinx x dx
81. Suponga que es un arquitecto y piensa utilizar un arco
grande cuya forma
parablica esta dado por: 0.1 30y x x metros , donde y es la
altura sobre el
suelo y x est en metros. Calcule la longitud total del arco por
la regla de Simpson
extendida. (Divida el dominio desde x = 0 hasta x=30 m en 10
intervalos igualmente
espaciados.)
230
01
dyL dx
dx
82. Un automvil de masa M=5400 kg viaja a una velocidad de
30m/s. La transmisin
se pone en neutral repentinamente en t=o s. Suponga que la
ecuacin de
desaceleracin despus de t=0 est dada por.
25400 8.276 2000dv
vdx
Donde v=v(t) es la velocidad (m/s) del automvil en t. El miembro
izquierdo
representa Mv(dv/dx). El primer trmino del miembro derecho es el
arrastre
aerodinmico y el segundo trmino es la resistencia al rodamiento
de los
neumticos. Calcule la distancia que recorre el automvil hasta
que la velocidad se
reduce a 15 m/s.
Sugerencia. La ecuacin del movimiento se puede integrar como
30
215 0
5400
8.276 2000
x
vdv dx xv
Evalu la ecuacin anterior utilizando la regla de 1/3 de
Simpson
-
83. (a) si f(x) es un polinomio de orden n o menor, la formula
cerrada de Newton
Cotes de orden n (empleando n+1 puntos) se hace exacta. Explique
la razn. b) La
frmula cerrada de Newton Cotes de orden par n se hace exacta si
f es de orden
n+1. Explique por qu.
84. La longitud de una curva definida por , ,x t y t a t b ,
esta dada por:
2 2
b
as t t dt
Investigar en que consiste el mtodo de la cuadratura de Gauss y
aplicarla con
n=2,4 y 6 para encontrar la longitud del cicloide definido
por.
3 , 2 2cos , 0 2x t sen t y t t
85. Evalue la siguiente integral impropia con exactitud de seis
posiciones decimales
mediante la regla del trapezoidal extendida: 2
2
exp
1
xdx
x
86. Calcule 2 1
0 0I sen x y dydx por la regla trapezoidal extendida por cada
eje:
(utilice solo dos intervalos para cada eje; la funcin seno est
en radianes)
87. Evalue la siguiente integral por la regla de Simpson:
1
0 0
x
I x ydydx
88. El rea de un crculo unitario es . La exactitud de un mtodo
numrico para la
doble integracin puede probarse con el problema:
DI dydx
Donde D significa que la integracin se extiende sobre el
interior de: 2 2 2x y x
Que es un crculo unitario. Realice la evaluacin numrica de la
doble integral
anterior por la regla de Simpson extendida en ambas direcciones
con 2x2, 4x4, 8x8,
16x16, 32x32 y 64x64 intervalos.
89. Por la regla de Simpson 1/3 con 10 intervalos en cada
direccin, evalu la integral
doble
a)
2 2
0 0exp
sen x
I x y dydx
b) 2 2 0.5
1 0
x
I x ydxdy
90. La distribucin de la velocidad de un fluido cerca de una
superficie plana es:
i yi, mm ui ,mm
0 0 0.0000
1 2 9.8853
2 4 15.4917
3 6 18.2075
4 8 19.0210
Evalu todas las derivadas de u(y) que pueda en y=0
-
91. Evalu la primera derivada de y(x) =sen(x) para x=1
utilizando los tres mtodos
distintos:
a) 1 1 1 /y y h y h b) 1 1 1 /y y y h h
c) 1 1 1 /y y h y h h
Evalue lo errores con h=0.1, 0.05, 0.01, 0.005, y 0.001
comparando con los valores
exactos.
92. Calcule df(x)/dx, donde f(x)= x , para x=1, utilizando las
aproximaciones de
diferencia hacia adelante, hacia atrs y central con h=0.1, 0.05,
y o.o25. Evalu el
error de cada resultado (i) por comparacin con el valor exacto y
(ii) utilizando el
termino de error es decir, 21/ 2 , 1/ 2 , 1/ 6 hf hf y h f ,
respectivamente.
93. Puede derivarse una frmula de aproximacin de diferencia
diferenciando una
frmula de interpolacin de Lagrange. Suponga que tenemos 2 1, 0,f
f f con un
intervalo equiespaciado h. Elabore un guion en Matlab que
encuentre los
coeficientes en la aproximacin de diferencia. Suponga que el
tamao de intervalo
entre dos puntos consecutivos es igual a h. (cada trmino de la
interpolacin de
Lagrange puede transformarse en una forma de potencias con el
comando polyfit.
Despus, encuentre los coeficientes de la derivada del
polinomio.)
94. Deduzca una aproximacin de diferencia y el trmino de error
para if en trminos
de (i) 1if y 2, 1 2 2 2, .i i i i i if ii f f y f y iii f y f
Suponga que los puntos de
retcula estn equiespaciados.
95. Deduzca una aproximacin de diferencia y el termino de error
para if en trminos
de 1 2,i i if f y f (aproximacin de diferencia hacia atrs de
tres puntos para if ).
96. Repita el problema 98) con las aproximaciones de diferencia
hacia adelante y hacia
atrs con exactitud de segundo orden:
a) 1 1 2 4 1 3 1 / 2f f h f h f h
b) 1 3 1 4 1 1 2 / 2f f f h f h h
y evalu los errores mediante una comparacin con el valor exacto
de 1f
97. Calcule la primera derivada 1f para f x sen x utilizando las
aproximaciones
de diferencia hacia adelante y hacia atrs con exactitud de
segundo orden
utilizadas en el problema anterior para h=0.1, 0.05, 0.025, y
0.001. Despus, evale
el error de cada aproximacin numrica comparndola con el valor
exacto. Grafique
el resultado. Si observa un incremento del error al reducirse,
h, explique la razn.
98. Se quiere deducir una aproximacin de diferencia para f en
trminos de
2 1 0 1 1 2, , , ,f f f f f y f diferenciando la frmula de
interpolacin de Lagrange.
-
Escriba un guion en Matlab que realice esta tarea. (Cada trmino
de la interpolacin
de Lagrange puede transformarse a una forma de potencias con
polyfit. Despus,
encuentre los coeficientes de la derivada del polinomio).
99. Evalu la segunda derivada de tan x en 1x con la frmula de
diferencia central
empleando h=0.1, 0.05, y 0.02. Evalu el error mediante
comparacin con el valor
exacto y demuestre que el error es proporcional a 2h
100. a) Conociendo el trmino de error de: 1 /i i if f f h
Estime el termino de error para : 2 / 2i i if f f h
b) La exactitud de una aproximacin de diferencia puede mejorarse
con una
combinacin lineal de dos aproximaciones de diferencia con objeto
de eliminar el
error de truncado de orden ms bajo de cada aproximacin.
Determine la siguiente
aproximacin tal que se optimice la exactitud.
1 2 / 1 / 2i i i i if f f h f f h
101. Determine el valor ptimo de para la siguiente ecuacin:
2
1 1 2 2 2 / 2 1 / 2i i i i i if f f F h f f h
Sugerencia: Elimine el error inicial tanto de : 21 12 /i i if f
f h
Como de 2
2 22 / 2i i if f f h
102. Deduzca las aproximaciones de diferencia ms exactas para i
if y f en trminos
de 2 1 1 2, , , ,i i i i if f f f y f . Suponga que los puntos
de datos estn equiespaciados.
103. Aplicando la expansin de Taylor, deduzca las aproximaciones
de diferencia para if
y if en trminos de 1 2 3, , ,i i i if f f y f con la mayor
exactitud posible cada una.
Suponga que el espaciado de la retcula es constante
104. Una tabla de funcin est dada por
x f
-0.1 4.157
0 4.020
0.2 4.441
a) Deduzca la mejor aproximacin de diferencia para calcular 0f
con los datos
dados aqu
b) Cual es el termino de error para la aproximacin de
diferencia?
c) Calcule 0f por la frmula que dedujo
105. Evale el error de truncado de la siguiente formula de
diferencia:
3 1 9 8 / 6i i if x f f f h
106. Dos aproximaciones de diferencia para la cuarta derivada
estn dados por
-
4 3 144 6
0i i i iif f f f
f hh
22 1 1 244 6 4
0i i i i iif f f f f
f hh
Utilice la expansin de Taylor para encontrar los trminos de
error
107. La distribucin de velocidades de un fluido cerca de una
superficie plana est dada
por:
i yi (m) ui (m/s)
0 0,0 0.0
1 0.001 0.4171
2 0.003 0.9080
3 0.006 1.6180
Donde y es la distancia desde la superficie y u es la velocidad.
Suponiendo que el
flujo es laminar y que u =0.001 Ns/m2, calcule el esfuerzo de
corte en y=0 utilizando
datos en los siguientes puntos:
0 1
0, 1 2
i i y
ii i y
108. A continuacin se da tabla de funcin de f(x,y):
y/x 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.0 0.0775 0.1573 0.2412 0.3309 0.4274
0.5 0.1528 0.3104 0.4767 0.6552 0.8478
1.0 0.2235 0.4547 0.7002 0.9653 1.2533
1.5 0.2866 0.5846 0.9040 1.2525 1.6348
i) Evalu /f y en x=1.0 y y=0 empleando la aproximacin de
diferencia hacia
adelante con un error de orden h2 donde h=0.5
ii) Evalu 2 2/f x en x=1.0 y y=1.0 empleando la aproximacin de
diferencia
central con un error de orden h2 donde h=0.5
iii) Evalu 2 /f x y en x=0 y y=0 empleando la aproximacin de
diferencia hacia
adelante con un error de orden h2 donde h=0.5