integracion numerica

Semestre 2-2011

José Luis Quintero Septiembre 2011

TEMA 5

DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN

NUMÉRICA

Cálculo Numérico (0258)

Semestre 2-2011

Diferenciación e

Integración Numérica

Prof. José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO NUMÉRICO (0258) - TEMA 5

Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al

estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de diferenciación e integración numérica.

La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de

repaso a los contenidos teóricos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y

propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores,

también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo

más didáctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseñanza del Cálculo Numérico en

Ingeniería.

Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora

del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo:

[email protected].

INDICE GENERAL Diferenciación e

Integración Numérica


5.1. Introducción

5.2. Diferenciación numérica

5.3. Diferenciación vía interpolación polinomial

5.4. Integración numérica basada en interpolación

5.5. Integración vía interpolación polinomial

5.6. Regla del trapecio

5.7. Método de los coeficientes indeterminados

5.8. Regla de Simpson

5.9. Cambio de intervalos

5.10. Ejercicios resueltos

5.11. Ejercicios propuestos

140

140

144

145

147

148

150

150

151

153

156

INTRODUCCIÓN Diferenciación e

Integración Numérica Pág.: 140 de 160


5.1. INTRODUCCIÓN

Si se proporcionan los valores de una función f en ciertos puntos, por ejemplo

0 1 nx , x , ..., x , ¿se puede usar esta información para obtener una estimación de cómo es su

derivada en un punto, f '(c) o una integral

b

a

f(x)dx?∫

La respuesta es un sí rotundo. Se empieza este análisis comentando que si se parte

exclusivamente de los valores 0 1 nf(x ), f(x ), ..., f(x ) es imposible decir mucho acerca de f, a

menos que también se sepa que f forma parte de una familia relativamente pequeña de

funciones.

Así, si se permite que f sea una más en la familia de todas las funciones continuas de

variable real, conocer los valores if(x ) resulta casi irrelevante. Por otra parte, si se sabe que f

es un polinomio de a lo más grado n, entonces los valores en n 1+ puntos determinan

completamente a f, según se vió en la teoría de interpolación presentada en el tema anterior.

En este caso se recupera f exactamente, y se puede entonces calcular con absoluta certeza f '(c) o

b

a

f(x)dx.∫

Sin embargo, en la mayor parte de las situaciones que se apegan a la realidad, la

información que se tiene disponible no determina completamente a f, y cualquier estimación

numérica de su derivada o de su integral deberá tomarse con escepticismo, a menos que

venga acompañada de alguna cota para los errores comprendidos.

5.2. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

Se ilustrará este apartado analizando una fórmula para la diferenciación numérica que surge de manera directa de la definición en términos de límite de f '(x):

f(x h) f(x)f '(x)

h

+ −≈ . (1)

DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA Diferenciación e



Para una función lineal, f(x) ax b,= + la aproximación que expresa la fórmula (1)

resulta exacta; esto es, proporciona el valor correcto de f '(x) para cualquier valor de h

distinto de cero. También en otros casos la fórmula puede ser exacta, pero esto ocurre sólo de

manera fortuita. Se procede por lo tanto a hacer una estimación del error asociado a esta

fórmula de diferenciación numérica. El punto de partida es el teorema de Taylor en la forma:

2h

f(x h) f(x) hf '(x) f ''( ).2

+ = + + ξ (2)

En este caso ξ es un punto en el intervalo abierto entre x y x h.+ Para que la ecuación

(2) sea válida, f y f’ deberían ser continuas en el intervalo cerrado entre x y x h.+ y f ''

debería existir en el intervalo abierto correspondiente. Un reacomodo de los términos de la

ecuación (2) lleva a:

f(x h) f(x) h

f '(x) f ''( ).h 2

+ −= − ξ (3)

La ecuación (3) es más útil que la ecuación (1), debido a que para una clase amplia de

funciones, se cuenta, además de la fórmula numérica básica, con un término que cuantifica el

error y que se conoce como término de error.

Dése cuenta de que el término de error consta de dos partes: una potencia de h y un

factor que contiene cierta derivada de orden superior de f. Este último constituye un indicador

de la clase de funciones para la cual la estimación del error resulta válida. La presencia de h

en el término de error hace que toda la expresión converja a cero conforme h tiende a cero.

Un vistazo a la ecuación (3) muestra que para calcular f '(x) con precisión, el tamaño

del paso h debe ser pequeño. Con esto en mente se puede llevar a cabo un experimento en el

que h converge a cero pasando por una sucesión de valores, y con dichos valores se calculan las aproximaciones correspondientes a f '(x) . Se presenta un pseudocódigo para estos

cálculos (ver algoritmo 1).

Las fórmulas de diferenciación numérica tienen su aplicación más importante en la

solución numérica de ecuaciones diferenciales. Una estrategia muy común consiste en

reemplazar las derivadas por aproximaciones semejantes a la que se expresa mediante la

ecuación (1). Con frecuencia la precisión de dichas fórmulas de diferenciación numérica se

juzga a partir de la potencia de h que aparece en el término de error. Cuanto mayor sea la

potencia de h mejor es la aproximación, ya que h siempre es un número pequeño. En esta

evaluación, y debido a la potencia de h, la fórmula (2) tiene un pobre desempeño. Una

fórmula más conveniente es:




←=

← +← −←

←

1

2

2 1

2 1

inicio

leer (M,h,c)

F f(c)

desde i 0 hasta M hacer

F f(c h)

d F F

r d h

escribir (i, h, F , F , d, r)

h h 2

= si h 0 entonces stop

fin_desde

fin

Algoritmo 1. Diferenciación numérica

f(x h) f(x h)

f '(x)2h

+ − −≈ . (4)

Esta se deduce de dos casos del teorema de Taylor, a saber:

2 3

1

h hf(x h) f(x) hf '(x) f ''(x) f '''( )

2 6+ = + + + ξ (5)

2 3

2

h hf(x h) f(x) hf '(x) f ''(x) f '''( )

2 6− = − + − ξ (6)

Restando una expresión de la otra, se obtiene:

2

1 2

f(x h) f(x h) hf '(x) [f '''( ) f '''( )]

2h 12

+ − −= − ξ + ξ . (7)

Debido al término 2h en el error, éste es un resultado más favorable. Sin embargo,

hay que considerar la presencia del término f ''' en el error. Este término de error se puede

usar si f ''' existe. El término de error en la ecuación (7) se puede simplificar si se hace la

suposición adicional de que la función f ''' es continua en [x h,x h]− + . Tome a M y a m como

los valores mayor y menor respectivamente de f ''' en [x h,x h]− + . Entonces 1 2f '''( ), f'''( )ξ ξ

y 1 2c [f '''( ) f '''( )] 2= ξ + ξ se encuentran en el intervalo [m, M]. Ya que f ''' es continua, toma

el valor c en algún punto ξ en [x h,x h].− + Por ende,

1

1 22f '''( ) [f '''( ) f '''( )].ξ = ξ + ξ




Cuando esta expresión se sustituye en la ecuación (7) el resultado es

2f(x h) f(x h) h

f '(x) f '''( ).2h 6

+ − −= − ξ

Una fórmula importante para calcular segundas derivadas se obtiene añadiendo un

término más a las ecuaciones (5) y (6) y sumando los resultados.

Después de un reacomodo de términos y de utilizar el método anterior, se obtiene

2

(4)

2

f(x h) 2f(x) f(x h) hf ''(x) f ( ),

12h

+ − + −= − ξ

para alguna (x h,x h).ξ ∈ − + Esta fórmula se utiliza con frecuencia en la solución numérica de

ecuaciones diferenciales de segundo orden.

A continuación se resumen una serie de fórmulas por diferencias divididas finitas.

Primera derivada:

f(x h) f(x) f(x 2h) 4f(x h) 3f(x)f '(x) , f'(x) ,

h 2h

+ − − + + + −≈ ≈

f(x) f(x h) 3f(x) 4f(x h) f(x 2h)

f '(x) , f'(x) ,h 2h

− − − − + −≈ ≈

f(x h) f(x h) f '(x) ,

2h

f(x 2h) 8f(x h) 8f(x h) f(x 2h)f'(x)

12h

+ − −≈

− + + + − − + −≈

Segunda derivada:

2

f(x 2h) 2f(x h) f(x)f ''(x) ,

h

+ − + +≈

2

f(x 3h) 4f(x 2h) 5f(x h) 2f(x)f ''(x) ,

h

− + + + − + +≈




2

f(x) 2f(x h) f(x 2h)f ''(x) ,

h

− − + −≈

2

2f(x) 5f(x h) 4f(x 2h) f(x 3h)f ''(x) ,

h

− − + − − −≈

2

f(x h) 2f(x) f(x h)f ''(x) ,

h

+ − + −≈

2

f(x 2h) 16f(x h) 30f(x) 16f(x h) f(x 2h)f ''(x)

12h

− + + + − + − − −≈

5.3. DIFERENCIACIÓN VÍA INTERPOLACIÓN POLINOMIAL

La interpolación polinomial puede utilizarse como punto de partida de un

procedimiento general para efectuar integraciones y diferenciaciones numéricas. Suponga que

se cuenta con n 1+ valores de una función f en los puntos 0 1 nx , x , ..., x . Un polinomio que

interpole a f en los nodos ix puede representarse en la forma de Lagrange. Al incluir el

término del error de interpolación se obtiene:

n

(n 1)i i x

i 0

1f(x) f(x )l (x) f ( )w(x).

(n 1)!+

=

= + ξ+∑ (8)

En este caso se ha tomado n

i

i 0

w(x) (x x ).

=

= −∏

Derivando los términos que aparecen en la ecuación (8) se llega a:

n

' (n 1) (n 1)i i x x

i 0

1 1 df '(x) f(x )l (x) f ( )w'(x) w(x) f ( )

(n 1)! (n 1) dx+ +

=

= + ξ + ξ+ +∑

DIFERENCIACIÓN VÍA INTERPOLACIÓN POLINOMIAL

Diferenciación e Integración Numérica

Pág.: 145 de 160


Si x es uno de los nodos, digamos x xα= , la expresión anterior se simplifica, dado que

w(x ) 0α = y el resultado es

n

' (n 1)i i x

i 0

1f '(x ) f(x )l (x ) f ( )w '(x )

(n 1)!+

α α α

=

= + ξ+∑ .

Si se calcula w'(x ),α puede a su vez ser objeto de una simplificación. Para probarlo

observe que

nn

j

i 0 j 0j i

w'(x) (x x )

= =≠

= −∑∏

así que n

j

j 0j

w'(x ) (x x )α α

=≠α

= −∏ .

La fórmula de diferenciación final, incluido el término de error, queda como:

nn

' (n 1)i i x i

i 0 j 0j

1f '(x ) f(x )l (x ) f ( ) (x x ).

(n 1)!+

α α αα

= =≠α

= + ξ −+∑ ∏

5.4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA BASADA EN INTERPOLACIÓN

La integración numérica es el proceso por medio del cual se genera un valor numérico

para la integración de una función sobre un conjunto. He aquí algunos ejemplos de integrales

que pueden calcularse mediante el diseño y puesta en marcha de rutinas computacionales

adecuadas:

22x

0

e dx−∫ ,

1 1

x

0 0

sen(xye )dxdy∫ ∫ ,

1 x

2

20 x

tg(xy )dydx∫ ∫

INTEGRACIÓN NUMÉRICA BASADA EN INTERPOLACIÓN


Pág.: 146 de 160


Estos problemas de integración no son tratables con las técnicas aprendidas en los

cursos básicos de cálculo. Estas técnicas dependen de encontrar la antiderivada. Por ello, para

encontrar mediante el cálculo elemental el valor de

b

a

f(x)dx,∫

se debe primero encontrar una función F con la propiedad de que F ' f.= Entonces resulta que

b

a

f(x)dx F(b) F(a).= −∫

Una estrategia muy poderosa para calcular el valor numérico de la integral

b

a

f(x)dx,∫

consiste en reemplazar f por otra función g que aproxima a f de manera adecuada y es fácil de integrar. En este caso simplemente se dice que a partir de que f g,≈ se deduce que

b b

a a

f(x)dx g(x)dx.≈∫ ∫

En este momento una buena ocurrencia sería que los polinomios son buenos

candidatos para el papel de g y, de hecho, g puede ser un polinomio que interpola a f en

cierto conjunto de nodos. Es evidente que hay otras formas de obtener una aproximación

polinomial de f, por ejemplo, truncando una serie de Taylor. Sin embargo, es deseable tener

procedimientos generales que sólo requieran evaluaciones del integrando.

Los métodos basados en interpolación satisfacen ese deseo. También se puede recurrir

a los splines para interpolar a f, y aprovechar que las integrales de éstos son fácilmente

calculables.

INTEGRACIÓN VÍA INTERPOLACIÓN POLINOMIAL


Pág.: 147 de 160


5.5. INTEGRACIÓN VÍA INTERPOLACIÓN POLINOMIAL

En esta sección se tratará la interpolación polinomial. Suponga que se desea calcular la

integral

b

a

f(x)dx.∫

Se pueden elegir nodos 0 1 nx , x , ..., x en [a,b] e iniciar un proceso de interpolación de

Lagrange. Se define

n

ji

i jj 0j i

x xl (x) (0 i n)

x x=≠

−= ≤ ≤

−∏

Estos son los polinomios fundamentales de interpolación. El polinomio de grado n≤

que interpola a f en los nodos es:

n

i i

i 0

p(x) f(x )l (x).

=

=∑

Ahora, como se mencionó con anterioridad, simplemente se escribe

nb b b

i i

a a ai 0

f(x)dx p(x)dx f(x ) l (x)dx.

=

≈ =∑∫ ∫ ∫

De esta manera se obtiene una fórmula que se puede utilizar para cualquier f y que

tiene la siguiente forma:

nb

i i

ai 0

f(x)dx A f(x ),

=

≈∑∫ (9)

donde

b

i i

a

A l (x)dx.= ∫

INTEGRACIÓN VÍA INTERPOLACIÓN POLINOMIAL


Pág.: 148 de 160


Si los nodos están uniformemente espaciados, una expresión como la que apareció en

(9) recibe el nombre de Fórmula de Newton-Cotes.

5.6. REGLA DEL TRAPECIO

El caso más sencillo ocurre cuando n 1= y los nodos son 0x a= y 1x b.= Entonces los

polinomios fundamentales para la interpolación son

0 i

b x x al (x) , l (x) .

b a b a

− −= =− −

Y como consecuencia de lo anterior,

b b

10 0 1 12

a a

A l (x)dx (b a) l (x)dx A .= = − = =∫ ∫

La fórmula de cuadratura correspondiente es

b

a

b af(x)dx [f(a) f(b)].

2

−≈ +∫

Esta expresión se conoce como regla del trapecio. Proporciona un resultado exacto

para todos los polinomios de grado a lo sumo 1. más aún, su término de error es

31(b a) f ''( ),

12− − ξ

donde (a,b).ξ ∈

Si en el intervalo [a,b] se hace una partición como la siguiente

0 1 na x x ... x b,= < < < =

entonces se puede aplicar la regla del trapecio a cada uno de los subintervalos. En este caso

los nodos no se encuentran necesariamente espaciados de manera uniforme. Es así como se

obtiene la regla del trapecio compuesta,

REGLA DEL TRAPECIO Diferenciación e



n nb xi

i i 1 i 1 i

a xi 1i 1 i 1

1f(x)dx f(x)dx (x x )[f(x ) f(x )].

2 − −

−= =

= ≈ − +∑ ∑∫ ∫

(Se genera una regla compuesta cuando se aplica una fórmula de integración sobre un

intervalo a cada uno de los subintervalos en que se ha dividido el intervalo.) También aparece

la regla del trapecio compuesta si se sustituye al integrando por un spline interpolante de

grado 1; es decir, por una línea quebrada.

Con el espaciamiento uniforme generado por h (b a) n= − y ix a ih,= + la regla del

trapecio compuesta adopta la forma:

n 1b

ai 1

hf(x)dx f(a) 2 f(a ih) f(b) .

2

−

=

≈ + + +

∑∫

El término de error para la regla del trapecio compuesta es:

21(b a)h f ''( ),

12− − ξ

donde (a,b).ξ ∈

Ejemplo 1. Si en el procedimiento de Newton-Cotes se toma n 2= y [a,b] [0,1]= , se obtiene

la fórmula

1

1 2 1 16 3 2 6

0

f(x)dx f(0) f( ) f(1).≈ + +∫

Esta fórmula se puede obtener calculando primero los tres polinomios fundamentales

para los nodos 12

0, , 1 . Estos son:

1 10 1 22 2l (x) 2(x )(x 1) , l (x) 4x(x 1) , l (x) 2x(x ).= − − = − − = −

Entonces

1

10 0 6

0

A l (x)dx= =∫ ,

y así sucesivamente.

MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS


Pág.: 150 de 160


5.7. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS

A partir de la manera como se dedujo la fórmula (9) se ve de inmediato que es exacta

para todos los polinomios de grado n.≤ Por otra parte, suponga que se proporciona la

fórmula (9) y se dice que es exacta para todos los polinomios de grado n.≤ ¿Es correcta la

siguiente ecuación?

b

i i

a

A l (x)dx.= ∫

La respuesta es sí, y se constata a partir del hecho de que la fórmula (9) debe integrar

correctamente a cualquier jl (x). Por ende,

nb

j i j i j

ai 0

l (x)dx A l (x ) A .

=

= =∑∫

Las observaciones precedentes permiten llegar a fórmulas como la (9), mediante el

llamado método de los coeficientes indeterminados.

5.8. REGLA DE SIMPSON

Cálculos similares a los hechos para deducir la regla del trapecio para un intervalo

arbitrario [a,b] conducen a la conocida regla de Simpson:

b

a

b a a bf(x)dx f(a) 4f f(b) .

6 2

− + ≈ + + ∫ (10)

A partir de la manera como se dedujo se sabe que la regla de Simpson es exacta para

todos los polinomios de grado 2≤ . También es, inesperadamente, exacta para todos los

polinomios de grado 3≤ . El término de error asociado a la regla de Simpson es

5 (4)1(b a) f ( ),

90− − ξ

donde (a,b).ξ ∈

MÉTODO DE SIMPSON Diferenciación e



Con frecuencia se utiliza una regla de Simpson compuesta usando un número par de

intervalos. Sea n un número y sean:

ix a ih h (b a) n (0 i n).= + = − ≤ ≤

Entonces,

n 2b x x x x2 4 n 2i

a x x x x0 2 n 2 2i-2i 1

f(x)dx f(x)dx f(x)dx ... f(x)dx f(x)dx

− =

= + + + =∑∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Al aplicar la regla de Simpson (10) en cada uno de los subintervalos se obtiene la

siguiente expresión:

n 2b

2i 2 2i 1 2i

ai 1

hf(x)dx [f(x ) 4f(x ) f(x )].

3 − −

=

≈ + +∑∫

Con el fin de evitar que los términos se repitan, se deben efectuar los cálculos

correspondientes al lado derecho de la ecuación, según se indica a continuación:

n 2 n 2

0 2i 2 2i 1 n

i 2 i 1

hf(x ) 2 f(x ) 4 f(x ) f(x ) .

3 − −

= =

+ + +

∑ ∑

El término de error para esta fórmula es

4 (4)1(b a)h f ( ),

180− − ξ

para algún (a,b).ξ ∈

5.9. CAMBIO DE INTERVALOS

A partir de una fórmula para la integración numérica en un intervalo se puede deducir

una expresión para cualquier otro intervalo mediante un cambio de variable lineal. Si la

primera fórmula es exacta para polinomios de un cierto grado, lo mismo será cierto para la

segunda. Se verá cómo se lleva esto a cabo.

CAMBIO DE INTERVALOS Diferenciación e



Suponga que se cuenta con una fórmula de integración numérica:

nd

i i

ci 0

f(t)dt A f(t )

=

≈∑∫ . (11)

No importa el origen de esta fórmula. Sin embargo, suponga que es exacta para todos

los polinomios de grado m≤ . Si se necesita una fórmula para algún otro intervalo, por

ejemplo [a,b] , se define primero una función lineal λ de t, tal que si t recorre [c,d] , entonces (t)λ recorrerá [a,b]. La expresión explícita de la función λ es

b a ad bc

(t) td c d c

− −λ = +− −

. (12)

Por otra parte, en la integral

b

a

f(x)dx∫ ,

se hace el cambio de variable x (t).= λ

Entonces 1dx '(t)dt (b a)(d c) dt−= λ = − − , y por lo tanto se tiene:

1 nb (b) d

i i1a (a) c

i 0

b a b af(x)dx f( (t))dt A f( (t )).

d c d c

−λ =

−λ = =

− −= λ ≈ λ− − ∑∫ ∫

Por ende,

nb

i i

ai 0

b a b a ad bcf(x)dx A f t .

d c d c d c=

− − − ≈ + − − − ∑∫ (13)

EJERCICIOS RESUELTOS Diferenciación e



5.10. EJERCICIOS RESUELTOS

1. Sea la fórmula de diferenciación numérica

2

f(x) 2f(x h) f(x 2h)f ''(x)

h

− + + +≈ .

a. Usando series de Taylor deduzca el término de error.

Solución. 3

2

2 3

2 3

h2f(x h) 2f(x) 2hf '(x) h .f ''(x) .f '''( )

3

4 f(x 2h) f(x) 2hf '(x) 2h .f ''(x) .h .f '''( )

3

_______________________________________

2f(x h) f(x 2h) f(x) h f ''(x) h f '''( )

f(x) 2f(x h) f(x 2h

− + = − − − − ξ

+ = + + + ξ

− + + + = − + + ξ

− + + + 2 3

2

) h f ''(x) h f '''( )

f(x) 2f(x h) f(x 2h) f ''(x) hf '''( )

h

= + ξ− + + += − ξ

Por lo tanto, el término de error es hf '''( )− ξ .

b. Utilice la fórmula para calcular la segunda derivada de f(x) cos(x)= en 4

x π= con

h 0.1.=

Solución.

4 4 44

f( ) 2f( 0.1) f( 0.2) 0.707107 2 0.632981 0.552531f ''( )

0.01 0.01

0.006324 0.6324

0.01

π π ππ − + + + − × +≈ ≈

≈ − = −

c. Estime el error cometido al utilizar la fórmula y compare con el error real.

Solución. Estimación 0.1= . Error 0.6324 0.707107 0.074707 0.1= − + = < .

2. Sea 2p (x) el polinomio de interpolación para f(x) en x 0, h, 2h.=

a. Utilice 2p (x) para deducir una fórmula de integración hI para

3h

0

f(x)dx∫ .

Solución.

Usando el método de los coeficientes indeterminados se tiene:




3h

1 2 3

0

3h29h

2 3 2 0

3h

2 2 2 32 3

0

dx A A A 3h

xdx hA 2hA

x dx h A 4h A 9h

= + + =

= + =

= + =

∫∫∫

De las dos últimas ecuaciones se obtiene 9h2 3 4

A 0 , A= = . Sustituyendo en la primera

ecuación se deduce que 3h1 4

A .= Por lo tanto la fórmula de integración queda como

3h

3h4

0

f(x)dx [f(0) 3f(2h)]≈ +∫ .

b. Aplique hI al caso

1

2 0

dx

1 x−∫ .

Solución. En este caso, = 1

3h y por lo tanto:

≈ +∫ 1

1 24 3

0

f(x)dx [f(0) 3f( )] .

Ahora:

+ +≈ + = = ≈ −∫

1

2 0

dx 1 3 1 9 5 9 5 51 3. . 1.256231

4 4 205 51 x

3. Determine 1 2 3 4k , k , k y k de forma tal que la aproximación

2

1 2 3 4

0

f(x)dx k f(0) k f(2) k f '(0) k f '(2)≈ + + +∫ ,

sea exacta para los polinomios de más alto grado posible. Solución.

Usando el método de los coeficientes indeterminados, se tiene: 2 2

1 2 2 3 4

0 0

2 2

2 382 4 2 43

0 0

dx k k 2, xdx 2k k k 2

x dx 4k 4k , x dx 8k 12k 4

= + = = + + =

= + = = + =

∫ ∫∫ ∫

.

De las últimas dos ecuaciones se tiene que 12 4 3k 1 y k .= = − De la primera ecuación se

tiene que 1k 1= y sustituyendo todos los valores conocidos en la segunda ecuación se

tiene que 13 3k .=




Con estos valores se asegura exactitud para todos los polinomios de grado ≤ 3 .

Construyendo otra ecuación y sustituyendo estos valores se tiene que 2

4 32 32 48 322 4 5 5 5 5

0

x dx 16k 32k 16= + = ⇒ − = ≠∫ .

De modo que el grado más alto posible es 3.

4. Halle 1 2A , A y ( 0)α α > de forma tal que

1

41 2

-1

x f(x)dx A f( ) A f( )≈ −α + α∫ ,

sea exacta para los polinomios de más alto grado posible.

Solución. Usando el método de los coeficientes indeterminados se tiene:

1

4 21 2 5

-1

1

42 1

-1

1

4 2 2 52 11 2 1 27 7 5

-1

1

4 3 32 1

-1

1

4 4 4 25 102 2 21 2 9 49 5 49 9

-1

x dx A A

x .xdx (A A ) 0

x .x dx (A A ) A A

x .x dx (A A ) 0 se satisface

x .x dx (A A ) . no se satisface

= + =

= α − =

= α + = ⇒ α = ⇒ = =

= α − =

= α + = ⇒ = ≠

∫∫∫∫∫

Mayor grado posible igual a 3.

EJERCICIOS PROPUESTOS Diferenciación e



5.11. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Utilice la fórmula

f(x h) f(x)f '(x)

h

+ −≈

para calcular la derivada de f(x) cos(x)= en 4

x π= y con h 0.01.= Estime el error

cometido al utilizar la fórmula.

2. Usando series de Taylor deduzca el término de error para la aproximación 3f(x) 4f(x h) f(x 2h)

f '(x) .2h

− + + − +≈

3. Usando los desarrollos de Taylor para f(x h)+ y f(x k)+ deduzca la siguiente

aproximación de f '(x):

2 2 2 2k f(x h) h f(x k) (h k )f(x)f '(x)

(k h)kh

+ − + + −≈−

.

4. Obtener una estimación de f ''(1) empleando un polinomio de tercer grado basado en los

puntos de la siguiente tabla:

x 1 1.1 1.2 1.3

f(x) 0.841 0.891 0.993 1

5. Se dan los puntos de coordenadas 1P ( 2,5)− y 2P (2,5). Obtener una estimación para

f '(0) y f ''(0) , sabiendo que f(0) 1.=

6. Siendo 23 xf(x) x e sen(x),= − aproximar f '(2.19) utilizando tres puntos y con h 0.1.=

7. Deduzca la fórmula de Newton-Cotes para 1

0

f(x)dx∫ ,

usando como nodos a 1 23 3

0, , ,1.

8. Compruebe que la siguiente fórmula es exacta para polinomios de grado 4≤ : 1

31 1 190 4 2 4

0

f(x)dx [7f(0) 32f( ) 12f( ) 32f( ) 7f(1)].≈ + + + +∫




9. A partir de la fórmula del ejercicio anterior, obtenga una expresión para

b

a

f(x)dx∫

que sea exacta para todos los polinomios de grado 4≤ .

10. Calcule un valor aproximado de ln(2) aplicando la fórmula del ejercicio anterior a 1

0

dx

x 1+∫ .

Compare su respuesta con el valor correcto y calcule el error.

11. Encuentre la fórmula 1

0 1

0

f(x)dx A f(0) A f(1)≈ +∫

que resulta exacta para todas las funciones de la forma xf(x) ae b cos( x 2)= + π .

12. Encuentre una expresión de la forma 2

0 1

0

f(x)dx A f(0) A f( )

π

≈ + π∫

que sea exacta para cualquier función que tenga la forma f(x) a bcos(x).= +

13. Demuestre que la fórmula resultante en el ejercicio anterior es exacta para cualquier

función de la forma n

k k

k 0

f(x) [a cos((2k 1)x) b sen(kx)]

=

= + +∑ .

14. Utilice la interpolación polinomial de Lagrange para deducir la expresión de la forma 1

1 23 3

0

f(x)dx Af( ) Bf( ).≈ +∫

Transforme la fórmula anterior en una que sirva para integrar sobre [a,b].

15. Usando el polinomio de grado mínimo que interpola a f(x) en 1x y 2x , deduzca una

fórmula de integración numérica para




x3

x0

f(x)dx∫ .

No suponga una distribución uniforme entre los elementos de la partición. En este caso

0 1 2 3x x x x< < < .

16. Deduzca una fórmula para aproximar 3

1

f(x)dx∫ ,

en términos de f(0), f(2), f(4). Esta expresión deberá proporcionar resultados exactos para

polinomios de grado 2.≤

17. Deduzca la fórmula de Newton-Cotes para 1

0

f(x)dx∫ ,

usando polinomios de interpolación de Lagrange con nodos en –2, –1 y 0. Use este resultado para evaluar la integral cuando f(x) sen( x).= π

18. Determine la regla de integración numérica compuesta que se apoya en la sencilla regla

del rectángulo del lado derecho 1

0

f(x)dx f(1).≈∫

Suponga un espaciamiento desigual dado por 0 1 na x x ... x b.= < < < =

19. Deduzca la regla compuesta para b

a

f(x)dx∫

que se apoya en la regla del punto medio: 1

1

f(x)dx 2f(0)

−

≈∫ .

Proporcione fórmulas tanto para un espaciamiento uniforme como para uno no uniforme

de los nodos.

20. ¿Existe una expresión de la forma 1

0 1

0

f(x)dx [f(x ) f(x )]≈ α +∫ ,




que integre correctamente todos los polinomios cuadráticos?

21. Encuentre una fórmula de cuadratura 2 1

i

1i 0

f(x)dx c f(x )

− =

≈ ∑∫ ,

que sea exacta para todos los polinomios cuadráticos. Considere distribución simétrica

respecto al origen.

22. Si la fórmula de integración 1

1

f(x)dx f( ) f( ),

−

≈ α + −α∫

va a ser exacta para todos los polinomios cuadráticos, ¿qué valor de α deberá utilizarse?. Responda la misma pregunta considerando el caso de los polinomios cúbicos.

23. ¿Para qué valores de α resulta exacta para polinomios cúbicos la siguiente fórmula 2

0

f(x)dx f( ) f(2 )≈ α + − α∫ ?

24. Determine los coeficientes 0 1 2A , A y A que hacen que la fórmula

2

0 1 2

0

f(x)dx A f(0) A f(1) A f(2),≈ + +∫

sea exacta para todos los polinomios de grado 3.

25. Usando solamente f(0), f '(-1), f ''(1), calcule una aproximación a

1

1

f(x)dx

−∫

que sea exacta para todos los polinomios cuadráticos. ¿Es exacta esta aproximación para

polinomios de grado 3?,¿por qué sí o por qué no?

26. Encuentre los valores de A, B y C usando el método de los coeficientes indeterminados en

la siguiente regla, la cual deberá proporcionar resultados exactos para polinomios de

grado 2: h

3h

f(x)dx h[Af(0) Bf( h) Cf( 2h)]

−

≈ + − + −∫ .




27. Determine en cada caso, el número de evaluaciones de f(x) que se requieren para hallar

una aproximación de

a. 5

2

1dx

x 4+∫ b. 2

1

x ln(x)dx∫ c. 2

2x

0

e sen(3x)dx∫

con un error que no exceda de 410− aplicando:

a. La regla del punto medio compuesta

b. La regla del rectángulo compuesta

c. La regla del trapecio compuesta

28. Encuentre una aproximación para el área de la región acotada por la curva normal 2(x/ ) /21

f(x) e2

− σ=σ π

y el eje x en el intervalo [ , ]−σ σ aplicando

a. La regla del punto medio compuesta con 5 nodos equiespaciados

b. La regla del rectángulo compuesta con 4 nodos equiespaciados

c. La regla del trapecio compuesta con 3 nodos equiespaciados

integracion numerica

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