Ppt bab 2

PENDEKATAN EUCLID PADA GEOMETRI

Apa yang akan di bahas Aksioma Kesejajaran Aksioma Kongruen Luas dan Kesamaan Luas Jajaran Genjang dan Segitiga Teorema Pythagoras Bukti dari Teorema Thales Sudut dalam Lingkaran

Pada Gambar 1 di atas menunjukkan situasi yang dimaksud oleh aksioma kesejajaran Euclid ketika dua garis L dan M tidak sejajar

α

β

N

M

L

Aksioma Kesejajaran

Gambar 1. Ketika garis tidak sejajar

L dan M adalah sejajar, maka α dan β membentuk sudut lurus, dan sudut yang terbentuk oleh garis L, M dan N ditunjukkan oleh gambar 2 di atas.

α

N

M

Lπ – α

α π – α

Gambar 2. Ketika garis sejajar

Jumlah sudut segitigaJika α, β, dan γ adalah sudut segitiga sembarang, maka α + β + γ = π

α γ

βα γ

L

Gambar 3. Pembuktian jumlah sudut segitiga

Teorema segitiga sama kakiAksioma sas

Teorema sisi jajar genjang

Aksioma KONGRUEN

kuadrat dari jumlahSebagai contoh adalah persegi dan persegi panjang yang dinyatakan dengan rumus aljabar :

LUAS DAN KESAMAAN

Gambar 6. Bentuk jajar genjang dan persegi panjang dari potongan yang sama

Gambar 7. Kasus dimana lebih membutuhkan banyak pemotongan

LUAS JAJARAN GENJANG DAN SEGITIGA

Gambar 8. Persegi panjang dan jajar genjang dengan alas dan tinggi yang sama

Gambar 9. Segitiga sebagai setengah jajar genjang

Luas jajar genjang = alas x tinggi

Luas Segitiga = 1/2 alas x tinggi

Teorema Pythagoras. Untuk setiap segitiga siku-siku, jumlah kuadrat dua sisi pendek sama dengan kuadrat dari sisi miring

Gambar 10. Membagi persegi untuk pembuktian euclid

TEOREMA PYTHAGORAS

Perhatikan gambar-gambar berikut :

Luas segitiga CDF adalah setengah dari persegi CDEF.

Anggap CD sebagai alas segitiga dan CF adalah tingginya.

Perhatikan segitiga CDG, anggap CD sebagai alasnya dan CF sebagai tingginya.

Oleh karena itu segitiga CDG memiliki luas yang sama dengan segitiga CDF karena memiliki alas dan tinggi yang sama.

Perhatikan segitiga BCF dengan segitiga CDG di atas, |CF| = |DC| karena merupakan sisi-sisi dari persegi CDEF, |BC| = |CG| karena merupakan sisi-sisi dari persegi ABCG, dan memiliki besar sudut yang sama pada titik C.

Jadi segitiga BCF dan segitiga CDG merupakan segitiga yang kongruen berdasarkan aksioma SAS.

Anggap BC sebagai alas segitiga dan CH adalah tinggi segitiga.

Perhatikan segitiga BCH, anggap BC adalah alasnya dan CH sebagai tingginya.

Oleh karena itu luas segitiga BCH sama dengan luas segitiga BCF karena memiliki alas dan tinggi yang sama.

Berdasarkan langkah-langkah di atas, dapat

disimpulkan bahwa pada gambar 10 luas dari

setengah persegi abu-abu terang sama dengan luas

dari setengah persegi panjang abu-abu terang.

Yang mengakibatkan luas persegi abu-abu terang

sama dengan luas persegi panjang abu-abu terang.

Dengan cara yang sama akan diperoleh juga untuk

persegi dan persegi panjang abu-abu gelap.

Sehingga teorema phytagoras dapat terbukti.

Teorema Thales. Sebuah garis yang ditarik sejajar dengan salah satu sisi segitiga memotong dua sisi lainnya secara proporsional.

Gambar 12. Sisi segitiga dipotong dengan sejajar

BUKTI DARI TEOREMA THALES

Berdasarkan gambar 12 :

Demikian pula pada segitiga APQ dan PQC yang membentuk segitiga APC:

Karena luas PQB sama dengan Area PQC, sisi kanan kedua persamaan adalah sama, dan begitu juga sisi kirinya. Artinya,

Dengan kata lain, garis PQ memotong sisi AB dan AC secara proporsional

Invarian sudut dalam lingkaran. Jika A dan B adalah dua titik pada lingkaran, kemudian, untuk semua titik C pada salah satu busur yang menghubungkan mereka, ACB sudut konstan.

Teorema sudut dalam setengah lingkaran. Jika A dan B adalah ujung diameter lingkaran, dan C adalah titik lain pada lingkaran, maka sudut ACB adalah sudut siku-siku.

SUDUT DALAM LINGKARAN

Gambar 13. Sudut α + β dalam lingkaran

π – α

α

α

β

β

π – β

2(α + β)

TERIMA KASIH