-
BAB 5POTENSIAL LISTRIK
Dari bahasan Fisika Matematika diperoleh, bahwa jika: V x F = 0,
maka F Oapat dituliskansebagaisebuah gradien skalarF:
-V0 atau (V x V0 = 0).Bagaimana dengan elektrostatik ?
Analog dengan persamaan di atas maka dalam medan listrik dapat
dituliskan sebagai:v x d = 0, dimana f adalah gradien skalar F,:
-vv.Potensial listrik sering juga disebut sebagai potensial skalar,
sebagai konsekuensi dariperkalian sebuah operator nabla V dengan
besaran lain tanpa operasi dot (o) atau cros(x). Dengan kata lain
bahwa perkalian sebuah operator nabla V dengan besaran laintanpa
operasi dot (o) atau cros (x) memastikan bahwa besaran tersebut
adalah skalar.Tanda negatif dapat diterangkan dari pelajaran
mekanika yang menyatakan bahwaperubahan energi potensial (Al) yang
berkaitan dengan sebuah sistim adalah negatif dariusaha/kerja yang
dilakukan (A\.J--W1. Potensial gravitasi dapat dituliskan
sebagai:
LU- _(Us - Uis _AVs=Ve-Ve=;=ff= =-{:%m (Fn /*). dv : - [' a. ol
= G M (;- ;)
LVn adalah negatif kerja yang dilakukan oleh gravitasi per
satuan massa untukmemindahkan sebuah partikel bermassa m dari A ke
B.
PERUMUSAN POTENSIAL SKALAR LISTRIK
Analogi pembahasan potensial listrik dapat tinjau pada konsep
potensial gravitasi. Hal inididasarkan pada fakta bahwa gaya
listrik (Coulomb) dan gaya gravitasi sama-samabersifat konservatif
dan berbanding terbalik dengan kuadrat iarak.Perubahan energi
potensial
Lu : -LW = - J: F .aV = -eo tf E .ai. 5.1
tntegral dilakukan sepanjang jalur yang dilalui Qo saat bergerak
dari A ke B. Oleh karena-qoE bersifat konservatif, maka integral
garis initidak bergantung pada lintasan dariA keB, Jika terjadi
pemindahan muatan uji di antara dua posisi A dan B dalam medan
listrik,maka sistim medan muatan mengalami perubahan/perbedaan
energi potensial. Bedapotensial diantara dua titik A dan B dalam
medan listrik didefenisikan sebagai perubahanenergi potensial
sistim saat muatan uji dipindahkan diantara titik-titik dibagi
denganmuatan uji. Beda Potensial listrik antara titik A dan B
dituliskan dalam persamaan 5.2berikut:
-
LV = vs -vA -
^y =yo# = -X: - f' tr tq,).di = - fu t.ov 5.2
dimana qs adalah muatan uji. Perbedaan potensial listrik AZ
menyatakan kerja yangdilakukan per satuan muatan untuk memindahkan
muatan uji dari titik A ke titik B tanpamengubah energi potensial
listriknya. Energi potensial adalah besaran skalar
sehinggapotensial listrik juga merupakan besaran skalar (potensial
skalar).Satuan potensial listrik adalah Volt, dimana 1 Volt = 1
JoulelCoulomb (1V=1 J/C). Dalamsistim atom atau molekul biasanya
digunakan elektron volt (eV), dimana 1 eV = (1,6 x 10-1sC.V) = 1,6
x 10-1s J adalah energi sebuah elektron yang dibutuhkan (hilang)
ketika elektrontersebut bergerak melalui perbedaan potensial 1
volt.
Note:
Secara fisis harus difahami bahwa pendefenisian yang memiliki
arti hanyalah perbedaanpotensial, oleh karena itu sangat penting
pemilihan titik referensi sedemikian sehinggapotensial pada titik
tersebut - Q (yaitu pada jarak titik referensi di oo).AV = vB - ve
- - r:i.d7 = kqe - *) = kq (;- :) = e' atausecara integral
dituliskan bahwa potensial listrik pada titik tertentu adalah:
POTENSIAL LISTRIK OLEH MUATAN TITIKUntuk menentukan potensial
listrik pada sebuah titik (P) yang berjarak r dari muatan,maka akan
digunakan perumusan perbedaan potensial persamaan 5.2.
LV=va*vA:-['t.oi s.2Jg
dimana A dan B adalah titik sembarang yang ditunjukkan pada
Gambar 5.1 dan medanlistrik E :Yi yang disebabkan oleh muatan titik
pada seluruh ruang dan i adalah vektorsatuan dari muatan menuju
titik. Besaran E.aV dalam persamaan 5.2 dapatdisederhanakanmenjadi
:
ka kaE.dl : +i ' dl = ,---:dl cos0Dari Gambar 5.1b diperoleh
bahwa cosO: dr/dl, atau dlcos0: dr, dan persamaan 5.2ditulis
menjadi:
rf-%--fE.dt
J5.3
LM1 /Potensial Listrik/Togar Saragi Hal2
-
f B -
fra kaAV :Ve
-VA - - Jor.dl : J,, *11 1r o 11 1t
vs -ve = kqlrr- ,^l:
^""\e-al 5's
Beda potensial listrik AV diantara dua titik A an B dalam medan
yang dihasilkan olehmuatan titik hanya bergantung pada koordinat rs
dan rs (titik-titik ujung) dan bukanbergantung pada lintasan. Note:
ingat kembali bahwa medan listrik adalah medankonservatif yang
berkaitan dengan gaya konservatif.
(a) (b)Gambar 5.1 Muatan gyang bergantung pada koordinat awal
redan koordinat
akhir a (a), sudut 0 yang dibentuk elemen panjang di dan
dr.Biasanya dipilih acuan potensial listrik untuk muatan titik
adalah V = 0 pada 2 = o.Dengan pilihan acuan tersebut potensial
listrik yang dihasilkan oleh muatan titik denganjarak r dari muatan
adalah:
1.q4teo r
Jika muatan lebih dari satu, maka total potensial listrik pada
titik P adalah jumlah darimasing-masing potensial (prinsip
superposisi) dan dituliskan sebagai:
V, = k?: 5.4
5.5u. = uT+ 4fies/-t ri1 YqircrL ri
LM 1 lPotensial Listrik/Togar Saragi Hal 3
-
POTENSIAL LISTRIK OLEH DISTRIBUSI MUATAN KONTINUPotensial
listrik dV pada titik P yang disebabkan oleh elemen muatan dg
adalah
dv=,1 dQ4nto rmaka potensial listrik total pada titik P
adalah:
,:n;/+dimana r adalahjarak dari elemen muatan ke titik P.
5.6
Tentukanlah potensial listrik pada titik P dari distribusi
muatan kontinu seperti padagambar berikut:
Contohv
III
rapat muatan garis = A
dq= Adl =Adx'
,=(*n+yr)'/'
-------.x
1do 1.lrr -"' - 4Trro. - 4"t. e
A dx'
* y'')t/'Ardx'
v:4n%J @r;WDengan mengambilV: 0 diV-, maka
+t/2
-t/2(*'' + y'')
LMliPotensial Listrik/Togar Saragi Hal 4
-
Plot Vo vs Vq =1 Vo : ;| sebagai fungsi dari y/latLco
Dalam limit { >> y
,r _ A ,^[G/z)+Uu[TT@E1rrEr'tr 4neo.. L_gtzl + t1z,[t + av/Dr)^
^[,:_JTfIrriflvo : o*l [-r + Jt+ 1zy1t:z]
vo =# ^(#):# m(*p'z)u, = r*rn(s/y)
Densan menssunakan persamaan E = -w : - (*, * *i *
*fr)fftn1t1y1Dari diferensial tersebut maka diperoleh:
_dvht/2Er: - dy = zrtw
.IOEWPersamaan ini sama dengan medan listrik yang dihasilkan
dengan menggunakanpersamaan E = *t#i
Hal 5LM 1 /Potensial Listrik/Togar Saragi
-
POTENSIAL DIPOL LISTRIK
v- 1 $ q,' - 4o"s f=rlh - ,rl
u= , L 1 ,-, ,' ,l" - 4o,s Ll+ - a.l l+ - t-lj,,- q l1
-
1l'
= A*ollel-ETl'dimana i+ = xi + (y * a;j Oan f- = xi
l;&-
+(y+a)j
(*'*(,*rf)t''Berapa V(P) ?Untuk itu kita tinjau penyebut dalam
ekspansi binomial:
I'
Ii
L--
i
l
*s
trJ-r'nl
I*Iofrl
i{-{l
LMllPotensial Listrik/Togar Saragi Hal 6
-
(r*)-t'' = {*' * U x r91-t'' = 1*' * y' * a2 xzav)-1l2,,isalk
?t1 r :(*' *,')t'',= (r, * rr)-t'' *(rz trrn)-t' = r-1 *(az
xur)t''
dari gambar dapat diperoleh bahwa cos d - f,,* y = r cos 9, dan
persamaan diatasdapat ditulis menjadi:
(r*)-''' = r-1 *(a2 xrrr)-' =r-1 +(r'*2ar cos r)t'',
atau(r=)-t'' = r-1 +(u' ,2ar cos ,)-t'': r-'[,. [(:l - r[:) cos dL
\'kasus limit r >> a, dengan bantuan ekspansi binomial,
(t+ x)' =1+ mx.ryarz * m(m -!!m -2)x3 *... untuk m:
misarkan *=((g\' ,r(9\.o, ,l-"': maka[(r/ (r/ )dengan bantuan
ekspansi binomial
(t+x)m =1+ mx.ryarz *m(m -1)(m -2) x3 *,., untuk m: negatif
densan memisatka" * = [1e'1'* z[e] "o"
,l-"': maka diperoteh[\r/ \r) )fi + x\-1t2 =t - 1r *1r' -
11rt... . drn2816
(r, *(,l-rf)-1t2 =,-t, - ;[(:)' . , [:) .o, ,]-"' *
I,,,]negatif
;[(;)",[:) ".",)-''"
-tu(St\' r r1,9) "o=
,l-"" *1o[(r) \r) )
LM 1 /Potensial ListriklTogar Saragi HalT
-
Tinjauan 1:f _ \
-ltzl(r=)-t'' = r-1 +(r' *2ar cos r)'''-'-,,l', *{ ( g\' * r(
9)cos dl - |
L [(') -(r)---") ]untuk r >>> ,,(r*)-'''= .-' [,
,(rE).o, ,l-t"] = ,-' 3. i"os al, sehinssaL((ri ) ) ( r )It+ :)=(:
g"o" e -!- |.o")=4"o",V(P)=h!"osd, karen aF =Zaqi dan i = sind /" +
cos e i,makaV(P) =:--F . i, Momen dipol F = ldpdt4ttegr'Dari E -
-vv, dan daram koordinat bora v =fit.i*a.#&a,
AV pcos? -
1 AV psin4 ^Er=- ar=r;F,Eo=-V ar= 4o0r3,=Q=u
LM 1 /Potensial Listrik/Togar Saragi Hal 8
-
Tinjauan 2: (kontribusi monopol, dipol, quadrupol, oktopol,
dst...)
(rr)-t'' = r-1 + (r' *2ar cos ,)-t''= r-,,L. [[;)' .r(1).",
,]-"']pilih q saja:
, ;[(:)' -,(i) ".,,)-''' . ;[(:)' -,(1) "o",)-'' "(r*)-1t2 =
'-tH[tr' -,(l) "o",)-''" *
dalam polinomial Legendre dapat ditulis sebagai:
(r*\-t'' = !, ir(i )'r,,"* r,v (P) = Lo o*,1 i#) r'e, t.o, o) pd
t
tv(p)=*l llro, .)lacos ,pdr +ilu[i*,' , -:)ro,. )
-
I suku monopol suku"dipol suku quiadropol .]Perumusan potensial
dipol dan momen dipol dapatdituliskan sebagai
v(P)= .+0.i, dan p=!apdr4tegr'
Momen dipotditentukan berdasarkan geometri (ukuran, bentuk, dan
density),sehingga momen dipoldari sekumpulan muatan titik (secara
umum d -+i):
n
i = Zqi/ii=1
Hal 9
adalah Polinomial Legendre
LM1 lPotensial ListriUTogar Saragi
-
SYARAT BATAS ELEKTROSTATIK
Griffith hal89 ed. 2
%t", - Vba*ah =
IT _ I7vatas -
vbawah
Hubungan E dan Potensial V:
Dari persamaan di atas diperoleh bahwa : E lrrur- E
iba*rh=maka:
oV7"trr- VTrr*rh = -;-ffL6
)V^t^t 1Vb^*^h O ^
a, - a" :
-ron
AV o^;- =
--rldn toav
o__eo6n
Dengan menggunakan persaman ini maka diperoleh besaran potensial
listrik V, rapatmuatan o dan akhirnya dapat ditentukan medan
listrik E pada daerah tersebut denganbantuan E = -VV
bf--J E.dr
9ff,karenaE=-vv,
,iik-;?ai- o
LM 1 /Potensial ListriUTogar Saragi Hal 10
-
Kesimpulan:
1. Potensial listrik oleh muatan diskrit:
v-=,1 9t 4Ttto r2. Dalam bentuk integral persamaan diatas dapat
dituliskan sebagai:
i-v.--J E.dt3. Potensial listrik oleh beberapa muatan Oisl*
superposisi:
v*= 1 YQ'- 1 (9t*9*91*.*!)' 4rresL ri 4rrs \r1 t2 13 ri/
4. Potensial listrik oleh distribusi muatan:v=,1 l.dQ4reo J
r
langkah-langkah penyelesaian potensial listrik oleh distribusi
muatan ini padaprinsipnya samadengan kasus medan listrik oleh
muatan disk?tt.*rftffat{
5. Medan listrik E dapat ditentukan jika potensial skalar
listriknya diketahui denganmenggunakan persamaan :
E=-vv= rd d d^r- (a'* uni + azk)v
6. Jika E diketahui maka potensial listrik dapat dicari;-v(i):-
I E.drJ
referensi
Sebaliknya jika potensial listrik diketahui, makaE: _w
7.
LM 1 /Potensial ListriklTogar Saragi Hal 11
-
BAB 6ENERGI ELEKTROSTATIK
6.1. Kerja yang Dilakukan untuk Memindahkan MuatanEnergi
potensial listrik di titik / relatif terhadap acuan adalah:
i-u(i)=- lF(i').di 6.1,!,
6fi = q'LV 6'2Misalkan terdapat sekelompok muatan stasioner, dan
sebuah muatan uji Q akan dipindahkandari titik a ke titik b (
seperti gambar), berapakah kerja yang dilakukan?
o,a e
aaaa ta
aaqz t'4i
Gambar 6.1. Muatan stationer dan muatan uji yang akan
dipindahkan dari a ke b.Gaya listrik pada sembarang titik sepanjang
lintasan adalah i = QE, dan gaya yang harusdiberikan berlawanan
arah dengan gaya ini adalah
- QEt, maka total kerja yang harusdilakukan adalah:
\b
bbw : I F.dt = -, I E dt = +Qlv(b) -v(a)]
lntegral di atas tidak bergantung lintasan, sehingga F, adalah
gaya konservatif. Jikapersamaan di atas dibagi dengan Q, maka
diperoleh:
v(b) -v(o):Y 6.4u
Perbedaan potensial antara titik a dan b adalah usaha/kerja yang
dilakukan per satuanmuatan untuk memindahkan sebuah muatan dari
titik a dan b. Pada titik jauh tak terhinggadiperoleh 1,Y =
QV(P).
'sama seperti kasus mengangkat benda, grafitasi mengalami gaya
sebesar Fn=mg (ke bawah), dankita melakukan gaya sebesar F=mg (ke
atas).
6.3
-
6.2. Energi Oleh Distribusi Muatan TitikBerapakah kerja yang
dilakukan untuk mengumpulkan muatan-muatan titik? Kita mulai
daridua muatan titik q,1 dan q2 daritempat tak hingga ke titik P
adalah
tlt
Gambar 6.2. Muatan qz (yang ditempatkan pada titik P) berjarak
rp dari muatan qr .Wz: \zYt (tidak ada kerja yang dilakukan untuk
membawa q1 selama tidak ada medanuntuk melawannya, maka dalam hal
iniWr=0).Energi potensial listrik statik U dari suatu muatan titik
sangat terkait dengan potensial listrikstatik V pada posisi muatan
titik tadi.Jika potensial pada qr adalah:
u,=*# 65Maka Energi Potensial U12 dapat dirumuskan sebagai:
l\rz = w, : -1 q'qz = ezvr,sebab Qtvr =0 6.6' 4nes rnJika muatan
qr dan Qz sejenis maka kerja positif dilakukan untuk mengatasi gaya
tolakelektrostatik, sehingga energi potensial sistem adalah
positif, Ue > 0, tapi jika muatanberbeda jenis, maka U,,
-
Kerja pada muatan ketiga adalah:ws=Qz(vr+v2)=he.?)
Dengan demikian Energi Potensial konfigurasinya/kerja total
adalah:
u = wz * wz = *(T.W.T) = un I uB + rr23
NN
,=*ZET=j>L
Persamaan di atas menyatakan bahwa Energi Potensial Total adalah
penjumlahanpasangan-pasangan muatan yang berbeda.Jika
digeneralisasikan dalam sistem muatan N, akan diperoleh:
,,_ t *$q,q,t,
-
-
" - 4nEshh ,,tj>t
Dimana j > 1 menghindari perhitungan pasangan dua kali.Namun
cara di atas dapat juga dihitung dengan cara yangdua kalitapi
membaginya dengan 2, sehingga diperoleh:
lain, yaitu menghitung pasangan
6.8
6.9
67
6.10N1s^
2 Ln'i=L
N
=;>,qrv(rt)i=L
Jika muatan-muatan titik dihimpun dalam bahan dielektrik, maka
energinya sama denganpersamaan diatas, hanya dalam potensial es
diganti dengan e (permitivitas bahan dielektrik).
Lisfrik Magnet llEnergi Elektrostatik Hal3
-
Contoh:1. Tiga muatan ditempatkan pada sudut bujursangkar (sisi:
S) seperti gambar.
-qo 5
-o10, cl-1.l ItttJ =q'!+qs-q
a) Berapakah kerja yang dilakukan untuk membawa muatan yang lain
+q, dari suatutempat yang jauh dan menempatkannya pada sudut yangke
4?
b) Berapakah W,o,"'?Penyelesaian:a) Misalkan kerja yang
dilakukan = W+
MakaWo=qVoV*:Yr+V2+V3
31 s-91= 1 (3L*3u*!')ur = onrrA.,i = +".r\* * ,^' ,ro)31 s--Qr_
1 (Qt*9*(l1)u- : nn^!" : n* (;* fn' ,rol
u*=#(-:.#-:)rr- 1(-2q-a\'a-4neo\ s 'trl-z)u-:#:(-'.h)
b) Wtotal=WrfWr+%+W4Wr=0
wz=ezY,=#( {) -wz=#(*)w: = qs(v1 + v2) = :- eL* 9)4rreo \rr3
rzz)W,: Q, /aL*92\ -q/q 'q\- 4rrro \sVz ; ) : +"r" (r../z ";l
02 t I 1r s2 t't \*' = #r. (ro * ;J = 4"r, (.vz - tJ
Listrik Magnet l/Energi Elektrostatik Hal 4
-
Wn=q+(Vr+v2+v3)w+=*q(#*.h*-rh*)w-:#(+.#-:)*-=ffi(-'*#-,)
=*(-.#)Wr= Wr+Wz+W3+W4
*,=#r,(-r* #-r-r. #)*,=#i(-n* #)=# (-,.+)
Listrik Magnet 1/Energi Elektrostatik Hal 5
-
6.3 Energi oleh Distribusi Muatan KontinuJika p adalah rapat
muatan volum, maka energi/kerja yang dilakukan untuk
mengumpulkandistribusi muatan kontinu adalah:
w =+ [ ,uo, 6.11Persamaan dalam rapat muatan garis Oan OiOang
masing-masing adalah:
7 t 6.12w =ZJlvdt
lfw = 1) ovda 6.13
dimana V adalah potensial skalar listrik.
6.3.A Perumusan W dalam EAda bentuk lain perumusan W dalam medan
listrik. Untuk menurunkan persamaan ini dapatdilakukan melalui
penyederhanaan perumusan W (persamaan 6.11) dengan bantuan
hukumGauss, sebagai berikut:Dari hukum Gauss:
v.E=9,p:eov.E o.i4t6sehingga persamaan 6.11 dapat dituliskan
menjadi:
Lfw :1J ovdt7r
w=il'o(v.E)var2Jv. (Ev)=(v.E)v+E. 1vv1, karena W=-E, maka
v.(Ev) = (v.Ev) + E.(-E) = v.Ev + E2w =71[t, tnlo, + { r'a,l
Dariteorema Divergensi suku pertama pada ruas kanan dapat
dituliskan dengan:
/{o.r)o'= f v.dr 615vol permukaan
dan
*: ?(,",Jn,".vE dr. / "*) 6.16Listrik Magnet 1/Energi
Elektrostatik Hal6
- Jika V >> maka A
-
wtot = [ {rr' + Erz + zrr.er)drwtot = I G^rr' +|roer' +
EozEL.Er)a.
wtot = w1 + w, * r" f Er,E, d.Jika muatan dua kali lipat, maka
energi total menjadi empat kali lipat, namun perumusandi atas dapat
diuraikan sebagai:
wtot=?[r'd.=?U,r^**[)rt,o.l 618
Listrik Magnet llEnergi Elekrrostatik Hal B
-
Contoh:Tentukanlah energi dari muatan total uniform q pada
sebuah kulit bola dengan jari-jari RPenyelesaian:Cara 1
w =! [ ovdA2Jt,
-
q ,V :
=-'-'----=: konstanUtesR
w=;(#"-) ["ae:ffirn,W: Q,
BresR
Cara2. Menggunakan persaman 6.18
6.18
muatan hanya
/Ztr\\9
PR
Tentukan energi yang dibutuhkan untuk membentuk sebuah muatan
bola uniform denganjari-jari b dan rapat volume muatan pCara l.
41,Y : QdVCara ll. w =)[ pvarCara lil. w =+ IE2 dr
wtot=7lr'0.=?[1..dimana:
a. pada rR)_ q _q ^ ^1 qz 74Treo rir ' n' : ,nn^yV
sehingga
wtot = 7 [ r, o, :}U,._rro, * [,,_ri,oiw =!
t&i(rzsinodrdodQ)
*=7#l!#=T#*fy-!{=R
\I
I
1q'Brreo R
Listrik Magnet 1/Energi Elektrostatik Hal9