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Potencias en la Geometra y en los Nmeros
1. Secuencia de actividades
a) Lugar de implementacin b) Actividades
2. Experiencia de la implementacin de la secuencia. 3.
Evidencias de la Experimentacin.
.
1. Secuencia de actividades
Diseo 1
a) Lugar de implementacin
Colegio San Ignacio, Via del Mar
b) Actividades
Actividad 1 - Actividad 2 - Actividad 3 - Actividad 4 -
Actividad 5 Evaluacin de la secuencia de actividades. Pauta de
correccin de la evaluacin.
Diseo 2
c) Lugar de implementacin
Colegio San Ignacio, Via del Mar
d) Actividades
Actividad 1 - Actividad 2 - Actividad 3 - Actividad 4 -
Actividad 5 Actividad 6 Evaluacin de la secuencia de
actividades.
-
ACTIVIDAD 1 Objetivo de la actividad:
Sortear el obstculo didctico que se crea en la diferencia
existente entre la suma iterada y la multiplicacin iterada
Modelo de tarjetas Contenido de tarjetas
1. En una distribuidora de huevos tienen que guardar un pedido
en 3 cajas de una docena de huevos cada una. Cuntos huevos son del
pedido? (Recuerda que una docena son 12 huevos) Desarrollo:
12+12+12 Respuesta: 36
2. Se quieren colocar en un saln 10 filas de 10 sillas cada una
Cuntas sillas se necesitarn? Desarrollo: 1010 Repuesta: 100
3. Ayud en una librera a empaquetar cuadernos para un pedido;
hice paquetes de 5 libros.
Cuntos libros caben en una caja si se alcanzan a colocar 3
paquetes de libros dentro de ella? Desarrollo: 5+5+5 Respuesta:
15
4. Doa Mara tiene un almacn y tiene que poner 3 bandejas de
huevos en una caja. Si cada
bandeja tiene 6 huevos Cuntos huevos hay dentro de la caja?
Desarrollo: 6+6+6 Respuesta: 18
Observaciones. La actividad est diseada para un trabajo
dual o de tres integrantes.
Se debe repartir 50 tarjetas las cuales se encuentran divididas
en tres grupos: las situaciones (10 tarjetas), el desarrollo (20
tarjetas) y la respuesta (20tarjetas).
Los alumnos deben encontrar el desarrollo y la respuesta para
cada una de las 10 situaciones planteadas en las respectivas
tarjetas.
El tiempo estimado para su implementacin flucta entre los 15 a
20 minutos.
Se debe considerar que par culminar la actividad se debe
realizar una puesta en comn (15 minutos) donde cada grupo exponga
sus resultados y la estrategia que ocuparon para resolver la
actividad.
Si en la puesta en comn existen
discusiones entre los grupos entonces la profesora puede
intervenir en cada una de las discusiones aclarando dudas, pero sin
entregar an la respuesta correcta.
Situacin Un condominio tiene 3 edificios. Cada edificio tiene 3
pisos y cada piso tiene 3 departamentos. Cuntos departamentos tiene
el condominio?
Respuesta
27
Desarrollo 333
-
5. Si tengo cuatro cajas, y dentro de cada una de ellas hay 4
paquetes de velas que contienen
4 velas cada uno Cuntas velas son? Desarrollo: 444 Respuesta:
64
6. Tengo 2 plantas con 2 flores cada una Cuntas flores hay en
total en la planta?
Desarrollo: 22 Respuesta: 4
7. Durante los 7 das de la semana mi entrenamiento consiste en
trotar 2 kilmetros diarios Cuntos kilmetros recorr en mi
entrenamiento semanal? Desarrollo: 2+2+2+2+2+2+2 Respuesta: 14
8. Un condominio tiene 3 edificios. Cada uno de 3 pisos. Si cada
edificio tiene 3
departamentos por edificio. Cuntos departamentos tiene el
condominio? Desarrollo: 333 Respuesta: 27
9. Una nia colecciona boletos de micro, cada da junta 2. Cuntos
boletos tiene al cabo de 2 das? Desarrollo: 2+2 Respuesta: 4
10. Andrea trajo de su viaje 2 paquetes con 2 cajas cada uno,
cada caja tiene 2 bolsas, cada bolsa tiene 2 estuches y en cada
estuche hay 2 lpices Cuntos lpices trajo Andrea de su viaje?
Desarrollo: 22222 Respuesta: 32
Es conveniente que la puesta en comn se realice por pregunta y
que cada grupo exponga sus argumentos.
Se debe considerar que a los alumnos se les debe explicar la
actividad utilizando los trminos sumando" y factor.
Si los alumnos comenten errores, es recomendable no tajarlos
(marcar una x), sino que enmarcarlos en un circulo.
Informacin: Rol de la profesora: Mediador o gua de la actividad.
Rol del alumno: Participante activo de su aprendizaje. Secuencia
temporal:
10-15 min. Recepcin de los alumnos
05-10 min. Instrucciones de la actividad y entrega del material
a utilizar. 15-20 min. Desarrollo grupal de la actividad por parte
de los alumnos. 15-20 min. Discusin y plenario sobre las respuestas
de cada grupo. 05-10 min. Resolucin de dudas por parte de la
profesora. 05-10 min. Explicacin y ejercicios sobre diferencia
entre multiplicacin iterada y suma iterada.
Materiales: Tarjetas (de preguntas, desarrollo y respuesta),
pizarra y plumones.
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ACTIVIDAD 2
Objetivos de la actividad: Los alumnos en base a la actividad
planteada puedan descubrir el concepto de Potencias. Adems de
conocer los elementos que la componen. El rey Arturo y Rupertn
Cierto da el rey Arturo, rey de Bangladesh, se encontraba muy
aburrido en su castillo y mand a sus sbditos a buscar plebeyos de
su reino que estuvieran dispuestos a entretenerlo. Si lograban
entretenerlo les dara un premio, el que ellos quisieran. Si no lo
lograban seran severamente castigados en el calabozo de su
castillo. Es as, como pasaron muchos plebeyos antes que Rupertn, un
nio de 8
aos, que hizo rer a carcajadas al rey Arturo y lo mantuvo
entretenido toda la tarde. Luego de esto el rey le dijo a Rupertn
que le pidiera lo que fuera, que l se lo dara, entonces Rupertn le
dijo: Deseo que a partir de maana (primer da) me regales dos
semillas, al segundo da me regales el doble de lo del primer da, al
tercer da me regales el doble de lo que me diste el segundo da y as
sucesivamente hasta completar todos los casilleros del tablero de
ajedrez. El rey acept muy confiado la propuesta de Rupertn.
Observaciones
Se recomienda entregar a los
alumnos la actividad impresa o fotocopiada.
La actividad est diseada para poder trabajarla en forma
grupal.
El tiempo para el trabajo de los alumnos (sin la puesta en comn)
es de 35 minutos, aproximadamente.
Es necesario realizar la puesta en comn, donde los grupos debern
exponer sus estrategias y resultados.
Se debe fomentar el debate de los alumnos realizando preguntas
en relacin a el resultado y estrategias utilizadas, como por
ejemplo, Cmo lo hicieron?, Porqu de esa manera?, etc.
-
Ahora responde las siguientes preguntas en relacin al
cuento:
1. Habr sido adecuado que el rey aceptara el trato de Rupertn?
Qu opinas? 2. Cuntos chocolates tendr Rupertn en el quinto da? Y en
el noveno da?
3. Cuntas semillas tendr en el da 25?
Para poder lograr concretamente el objetivo de la actividad, el
profesor deber realizar la contextualizacin del concepto, en base a
las estrategias que los alumnos desarrollan, u dar uno que otro
ejemplo de potencia.
Contextualizacin:
1. Cuando se realice la puesta en comn de los alumnos y stos se
equivoquen, el desarrollo del ejercicio no borrarlo de la pizarra,
ya que servir a modo de ejemplo para los dems compaeros que ese
camino est incorrecto. Lo ideal es encerrarlo en un crculo y que el
profesor argumente a los alumnos el porqu dicho procedimiento es
incorrecto.
2. Al momento de realizar la puesta en comn, lo ideal es
utilizar la siguiente estrategia:
Para posteriormente concluir con:
-
Informacin: Rol de la profesora: Mediador o gua de la actividad.
Rol del alumno: Participante activo de su aprendizaje. Secuencia
temporal: 05-10 min. Recepcin de los alumnos 05-10 min.
Instrucciones de la actividad y entrega del material a utilizar.
15-30 min. Desarrollo de la actividad grupal por parte de los
alumnos. 10-20 min. Discusin a nivel de curso sobre las
conclusiones de cada grupo, argumentando cada una de sus
respuestas. 10-20 min. Contextualizacin del concepto Potencia.
Dar definicin y algunos ejemplos.
Materiales: Un tablero de ajedrez (como el que se muestra en la
figura), semillas (pueden ser semillas de mote por ejemplo) y hoja
de preguntas.
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ACTIVIDAD 3 Objetivos de la actividad: Conjeturar mediante las
situaciones planteadas que en una potencia si la base y el
exponente se invierten , el resultado no es el mismo , es decir, ab
ba . Carola y Cristina conversan: Al da siguiente se encuentran
nuevamente
Observaciones. Esta actividad es recomendable
que sea entregada a los alumnos en formato impreso.
Est diseada para trabajarla en forma individual o dual.
El tiempo para el desarrollo de
la actividad (sin considerar la puesta en comn), incluyendo
ejercicios, vara entre los 50 y 60 minutos.
Cristina: Yo compr dos saquitos de dulces y cada saquito
contiene dos
cajitas y cada cajita tiene dos compartimientos con dos dulces
cada
Carola: Mi madre me compr cuatro cajas de dulces y cada caja
contena cuatro dulces.
Cristina: Yo compr 4 cajas con dulces y dentro de cada una de
ellas vienen 4 envases plsticos.
Y cada envase trae 4 dulces.
Carola: Compr 3 cajas con dulces que contienen 3 envases
plsticos cada una. Y cada
envase, a su vez, trae 3 bolsas con 3 dulces.
-
Y al tercer da se vuelven a encontrar. En cada situacin anterior
responde: 1. En cada situacin responde Cuntos dulces tiene cada
una? Tienen la misma cantidad? Qu sucede? 2. Podras expresarlo en
potencias? Cules son las potencias? Cul es el resultado de dichas
potencias? 3. En cada situacin puedes determinar semejanzas o
diferencias? 4. Tienen alguna relacin? Generaliza y ejemplifica tus
conjeturas.
Observaciones.
Tener en cuenta que cada una
de las preguntas se deben responder para las tres
situaciones.
El tiempo estimado para la puesta en comn de esta actividad es
de 20 a 30 minutos aproximadamente.
Para poder lograr obtener concretamente el objetivo planteado,
es recomendable seguir con algunos ejercicios (ver ejemplos ms
abajo).
Cristina: Yo compre tres cajitas y cada caja tenia tres
dulces.
Carola: Yo compr dos cajas y cada caja tena dos compartimientos
con dos dulces.
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Gua de ejercicios
I. Determina el valor de las siguientes potencias: a) 56 = 65 =
b) 32 = 23 = c) 42 = 24 = d) 35 = 53 =
Algn resultado te llama la atencin? Por qu?
II. Son verdaderas las siguientes igualdades?
a) b) c) Existira un par de nmeros diferentes para que una
igualdad de este tipo se cumpla? Comenta con tus compaeros y
compaeras. Puedes conjeturar al respecto? Justifica y
ejemplifica.
Observaciones.
Estos ejercicios pueden servir
como gua para ayudar a los alumnos a tener claro que la
conmutatividad entre la base y el exponente no se cumple para todos
lo nmeros, slo ocurre en este caso para el ejercicio I c.
El tiempo estimado para la resolucin de estos ejercicios vara
entre 10 y 15 minutos
Informacin: Rol de la profesora: Mediador o gua de la actividad
Rol del alumno: Participante activo de su aprendizaje Secuencia
temporal:
05-10 min. Recepcin de los alumnos
05-10 min. Instrucciones de la actividad y entrega del material
a utilizar. 15-20 min. Desarrollo individual de la actividad por
parte de los alumnos. 10-15 min. Discusin a nivel curso sobre las
respuestas de cada grupo, argumentando cada respuesta. 05-10 min.
Trabajo individual de los alumnos en la gua de ejercicios.
05-15 min. Se realiza una breve sntesis de la clase utilizando
como ejemplo los ejercicios de la gua, donde explicita que la
generalidad encontrada tambin tiene por lo menos una excepcin y se
muestra en la clase.
Materiales: Dos hojas, una con la situacin problema y la otra
con los ejercicios.
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ACTIVIDAD 4 Objetivos de la actividad: Los alumnos formulan
conjeturas a travs del razonamiento y de la utilizacin de recursos
geomtricos y numricos
Actividad
Sergio y Mara resuelven por separado la siguiente multiplicacin:
32 22
Fjate muy bien en ambas estrategias Sergio piensa en filas de
cubos:
Mara, en cambio, resuelve de la siguiente forma: Como y entonces
, pero 422 823 328422 32 y puedo escribir . 2222232 3225
Observaciones
Es recomendable que la entrega de la actividad sea impresa.
Se recomienda que la actividad sea trabajada de forma individual
o grupal pero a lo ms de tres personas por grupo.
Una vez entregada las impresiones, el docente las lee en voz
alta y aclara dudas de comprensin a los alumnos.
Se esperan que en la puesta en comn los alumnos logren el
objetivo.
Las preguntas propuestas tiene por fin orientar a los alumnos a
conseguir los objetivos.
4 6 24
-
Ahora lee con atencin y responde a las siguientes preguntas
Ambas estrategias son correctas? Argumenta Explica con tus
palabras la estrategia correcta Cul es la potencia asociada al
resultado de la siguiente multiplicacin 32 22 ? Qu igualdad surge
de la estrategia de mara? Apyate en la pregunta anterior. Esa
igualdad se cumple para cualquier multiplicacin de potencias? En qu
casos se cumple?
Prueba en las siguientes multiplicaciones la igualdad encontrada
en la estrategia de Mara.
32 33 a) = b) = 34 22 c) = 32 44
Se puede aplicar la igualdad descubierta en las siguientes
adiciones.
32a) 22 b) 24 33 c) 32 44 d) 34 22 e) 32 33
Qu aprendiste con esta actividad?
Se presentan ejercicios con el fin de los alumnos validen sus
conjeturas.
Posteriormente se les pregunta lo que han aprendido para
verificar la obtencin del aprendizaje.
Informacin: Rol de la profesora: Mediador o gua de la actividad
Rol del alumno: Participante activo de su aprendizaje Secuencia
temporal:
10-15 min. Recepcin de los alumnos, la profesora pasa la
lista.
05-10 min. Instrucciones de la actividad y entrega del material
a utilizar. 15-30 min. Desarrollo individual de la actividad por
parte de los alumnos. 15-30 min. Discusin y plenario sobre las
respuestas de cada alumno. 05-10 min. Resolucin de dudas por parte
de la profesora. 05-10 min. Explicacin del objetivo de la
actividad.
Materiales: Actividad impresa, pizarra y plumones.
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ACTIVIDAD 5 Objetivos de la actividad: Los alumnos validan la
propiedad de las potencias: con nmmn aaa /Nnma ,, Realizar
ejercicios para comprender los aprendizajes antes trabajados.
tem 1
Encuentre el resultado de las siguientes multiplicaciones y
djelo expresado como una potencia.
a. 577
b. 24 22
c. 23 101010
d. 243 555
Encuentra el exponente que falta en cada caso para que se cumpla
la igualdad:
a. 5__3 666
b. 1034__ 2222
c. 13__23 7777
d. 34444
e. __325 5555
f. __762 3333
Observaciones La implementacin de esta gua
esta dada para 90 minutos. Entregar la gua impresa
fotocopiada. Posteriormente realizar una lectura general de
ella. (15 minutos).
Modalidad de trabajo: en parejas. El tem nmero uno esta
diseado
para reforzar la propiedad de multiplicacin de potencia de igual
base.
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tem 2
1. A continuacin se presentan los desarrollos de Fernanda y
Camila de un mismo ejercicio:
Son correctos ambos procedimientos? Si hay un error Quin lo
cometi? Cul fue su error? Cmo lo resolveras t?
El tem nmero dos pregunta 1
tiene por objetivo el trabajo de operaciones combinadas de
potencias.
-
2. Completa el cuadro.
POTENCIA BASE EXPONENTE DESARROLLO VALOR 122 93 8 3 10 5 6 4
5555 33333 172 222222
3. Completa las igualdades y descubre alguna regularidad.
Qu puedes concluir?
En el enunciado dos se presenta
un cuadro resumen con la intencin de que los alumnos
identifiquen las partes de una potencia y apliquen la definicin de
esta misma.
En el tercer enunciado se enfoca a verificar las igualdades y
las sumas escribirlas como potencias cuadradas cbicas dependiendo
de la recurrencia.
975317531531
23111
2
2
2927252321191715131197
25311
3
3
-
4. Lee con atencin las siguientes situaciones y responde las
preguntas, desarrollando detalladamente el procedimiento
utilizado.
a. Juan Pablo baja desde Internet 4 canciones cada hora, l se
conecta 4 horas diarias, 4 das a la semana
y cada cancin dura 4 minutos. Si cada mes tiene 4 semanas.
Cuntos minutos de msica baja al mes? A cuntas horas
corresponden?
b. Paula compra para una fiesta 8 cajas con pasteles, cada caja
tiene bandejas y cada bandeja 8 pasteles.
Cada persona come 2 pasteles. Cuntas personas van a la
fiesta?
c. Carlos se propone reunir litros de aceite para donar a las
familias de escasos recursos. El primer da Carlos dona 1 litro de
aceite, al segundo da decide llamar a dos amigos para que cada uno
done 1 litro de aceite con el compromiso de que ellos llamen a dos
amigos ms al otro da y hagan su donacin y as sucesivamente hasta
completar 4 das. Cuntos amigos se llamaron para hacer la donacin?
Observacin: los amigos no se deben repetir.
5. Escribe la potencia asociada
Cinco elevado a siete = 39 = Dos elevado a seis = 52 = Veintids
elevado a ocho = Cuatro al cubo =
6. Observa las figuras y completa.
22= 22=
222= 23=
En el enunciado nmero cuatro
se presentan problemas de aplicacin del concepto de potencia en
donde se les solicita a los alumnos un cambio de registro, es
decir, pasar de un registro verbal a un registro aritmtico grfico,
presentndose as diversas estrategias para la resolucin de
estos.
El enunciado nmero cinco
fomenta al alumno a asimilar el cambio de registro, es decir,
del registro aritmtico al registro verbal.
El enunciado nmero seis ayuda a
comprender el concepto de potencia a partir de una representacin
grfica, adems fomenta la comprensin del volumen de la superposicin
de cubos.
-
33= 32=
333= 33=
44= 42=
444= 43=
Qu puedes concluir?
Informacin: Rol de la profesora: Mediador o gua de la actividad
Rol del alumno: Participante activo de su aprendizaje Secuencia
temporal: 10-15 min. Recepcin de los alumnos, la profesora pasa la
lista. 05-10 min. Instrucciones de la actividad y entrega del
material a utilizar. 15-20 min. Desarrollo individual de la
actividad por parte de los alumnos. 15-20 min. Discusin en grupos
sobre las respuestas de cada alumno. 05-20 min. Resolucin de dudas
por parte de la profesora en la pizarra para todo el curso.
ones. Materiales: Actividad impresa, pizarra y plum
-
EVALUACIN DE LA SECUENCIA
Prueba de Matemticas
Nombre:_________________________________________ Curso:_____
Fecha:_________________ Objetivos de la prueba:
I. Que los alumnos entiendan las potencias como una forma de
expresar cantidad y que implican una multiplicacin iterada.
II. Que los alumnos utilicen la escritura de potencias para
realizar operaciones aritmticas con grandes y/o pequeas cantidades
en el contexto de la resolucin de problemas.
Instrucciones: - Lea atentamente cada una de las siguientes
preguntas y responda adecuadamente.
- Dispone de 10 minutos para hacer preguntas sobre la comprensin
de los ejercicios.
I. Seleccin mltiple Lee atentamente y marca con una cruz la
alternativa correcta. (2 puntos cada una)
1. 22 + 32 es igual a:
a) 52 b) 13 c) 10 d) 12 e) 62
2. El resultado de 52 + 5 es: a) 125 b) 15 c) 20 d) 10 e) 30
3. La expresin siete al cubo se escribe como:
a) 37 b) 72 c) 27 d) 73 e) 74
4. 3+32+3 es igual a:
a) 27 b) 81 c) 15 d) 13 e) 12
5. La expresin tres al cuadrado se escribe como:
a) 34 b) 43 c) 23 d) 32 e) 33
6. El resultado de ,se lee como:
2323 a) tres elevado a dos. b) tres elevado a tres. c) dos
elevado a tres. d) tres elevado a cuatro. e) nueve elevado a
dos.
Observaciones.
La entrega de esta prueba debe ser fotocopiada o impresa.
Los primeros 10 minutos
despus de haber entregado la prueba, realizar una lectura
general y responder preguntas respecto a la comprensin de los
enunciados.
La prueba se basa
principalmente en evaluar los aprendizajes alcanzados por los
alumnos fundamentados en la presentacin de las secuencias
anteriores.
Cada pregunta se basa en un tema en especfico (que fue tratado
en clases), que posteriormente se realizar un estudio determinando
que aprendizajes fueron logrados o no, debiendo retomarlos si es
necesario.
El tiempo estimado para la resolucin de la prueba es para 40 a
60 minutos.
-
II. Completa el siguiente cuadro: (0,5 puntos cada una)
III. Observa los siguientes diagramas de rbol y encuentra la
potencia asociada a cada uno de ellos.
(2 puntos cada una) ________ ________ IV. Explica con tus
palabras que es una potencia y qu elementos tiene. ( 2,5
puntos)
V. Encuentra el exponente que falta en cada uno de los
siguientes casos. (1 punto cada una)
a) 51 4 44 b) 73 22 22 c) 107 77777
Potencia Base Exponente Desarrollo Valor 32 4 64 22222
-
VI. Lee atentamente y responde las preguntas. (4 puntos)
Benjamn est guardando un juego de bloques de su hermana pequea,
comienza a contarlos y cuenta 104 bloques. En ese instante aparece
su mam y le dice: te faltan bloques que guardar Benjamn!, Cuntos me
faltan? , dice Benjamn, su mam responde: Lee la caja donde vena el
juego all dice el total. Benjamn lee en voz alta a su madre: La
caja dice, el juego consta de bloques de 5 formas (crculos,
tringulos, cuadrados, rombos y rectngulos), cada bloque viene en 5
colores diferentes y cada color viene en 5 tamaos distintos. La mam
pregunta: Entonces Benjamn Cuntos bloques son en total? Cuntos te
faltan guardar?
Ayuda a Benjamn, para que d respuesta a su madre. Desarrolla
detalladamente cada procedimiento y no olvides dar respuesta.
VII. Observa Existe alguna regularidad? (3 puntos)
65455543444323332122
3
3
3
3
(a) Describe la regularidad dada.
(b) Escribe las 2 regularidades que siguen a continuacin.
(c) Ocupando la secuencia anterior, cunto es 103 10?
Procedimiento: Respuesta 1: Respuesta 2:
-
EVALUACIN DE LA SECUENCIA (PAUTA DE CORRECCIN)
I. Seleccin mltiple. (2 puntos cada una)
1. b 2. e 3. d 4. c 5. d 6. dII. Complete el siguiente cuadro.
(0,5 puntos cada una)
Potencia Base Exponente Desarrollo Valor 32 3 2 33 9 43 4 3 444
64 25 2 5 22222 32
III.
Observalossiguientesdiagramasderbolyencuentralapotenciaasociadaacadaunodeellos.(2puntoscadauna)
________________IV.
Explicacontuspalabrasqueesunapotenciayquelementostiene.(2,5puntos)
33 24
Una potencia es una multiplicacin iterada de un nmero por s
mismo, sus elementos son la base y el exponente.
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V.
Encuentraelexponentequefaltaencadaunodelossiguientescasos.(1puntocadauna)
a) 541 444 b) bien 7133 22 22 7223 22 22 c) bien bien
etc.1022222 777777 1011116 777777 1022321 777777
Observacin:Cadaunodelosejerciciosanterioressepodrndesarrollarbajolapropiedadmultiplicacindepotenciasdeigualbasequediceque:
mnmn aaa VI. Leeatentamenteyrespondelaspreguntas.(4puntos)
Benjamnestguardandounjuegodebloquesdesuhermanapequea,comienzaacontarlosycuenta104bloques.Eneseinstanteaparecesumamy
ledice:tefaltanbloquesqueguardarBenjamn!,Cuntosmefaltan?
,diceBenjamn, sumamresponde:Lee
lacajadondevenaeljuegoalldiceeltotal.Benjamnleeenvozaltaasumadre:Lacajadice,eljuegoconstadebloquesde5formas(crculos,tringulos,cuadrados,rombos
y rectngulos), cada bloque viene en 5 colores diferentes y cada
color viene en 5 tamaos distintos. Lamam pregunta:
EntoncesBenjamnCuntosbloquessonentotal?Cuntostefaltanguardar?AyudaaBenjamn,paraquedrespuestaasumadre.Desarrolladetalladamentecadaprocedimientoynoolvidesdarrespuesta.Estrategia1:Desarrollandocadapasodelasituacin
Sisonbloquesde5formasde5coloresdistintosy5tamaosdistintos,entoncesenformadepotenciaseescribe:
bloquesentotal.
1255555 3
SiBenjamnencontr104bloques,entonceshayquerestaresacantidadalacantidadtotal:
21104125
Porlotanto,aBenjamnlefaltan21bloquesparacompletareltotal.
-
Estrategia2:RealizandoeldiagramaderbolElalumnopodraconstruirunrbolcomoelquesemuestraacontinuacin,paracadaformadelbloque.Esdecir,unoparaloscrculos,otroparalostringulos,otroparaloscuadrados,otroparalosrombosyotroparalosrectngulos.
Yllegaralaconclusindequehay bloquesentotal.12555553
SiBenjamnencontr104bloques,entonceshayquerestaresacantidadalacantidadtotal:
21104125
Porlotanto,aBenjamnlefaltan21bloquesparacompletareltotal.
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VII. Observalasiguienteregularidad.(3puntos)
65455543444323332122
3
3
3
3
(a) Describelaregularidaddada.
Laregularidadconsisteenrestarleaunapotenciade ,unnmero iguala
labasedeesapotencia,esdecir,a leresto
.Luegoseigualaaunamultiplicaciniteradadetresnmerosconsecutivos,dondeelprimeroeselantecesordelabasedelapotencia;elsegundolabasedelapotenciayelterceroelsucesordelabasedelapotencia.
3 3a a
Enformageneral,laregularidadpuedeescribirsecomo: 11 aa3 aaa
.
(b) Escribelas2regularidadesquesiguenacontinuacin.
8767776566
3
3
(c) Ocupandolasecuenciaanterior,cuntoes10310?
1110910103
-
Sesin 1
Objetivo: Diferenciar entre suma y multiplicacin iterada a
partir del mtodo inductivo. Tiempos esperados: 1hora pedaggica (45
min.) Caractersticas: En esta clase desarrollamos ejercicios de
tipo deductivo, asociados al clculo de
sumas y productos iterados.
Descripcin de la clase Indicaciones para la clase: Cuando los
alumnos ya han completado la tabla, el profesor rellenara la tabla
de la siguiente forma:
Arista rea Basal
Altura Volumen
2
(22)
(2+2)
22(2+2)
Y les recomendara a sus alumnos que tambin se puede escribir
como 22(22) , para luego preguntarles: Ser siempre cierto que el
volumen se puede calcular de esta nueva manera? Si cambiamos la
medida de la arista a 3 resulta que 33(3+3) 33(33), ac nos damos
cuenta que (3+3) (33), porqu son distintos? Debido a que la primera
es (23), esperamos la respuesta que la multiplicacin y la suma son
operaciones distintas, en estos momentos se le agrega, pero estas
son operaciones distintas y se conserva la igualdad 33 = 3+3+3, Qu
podemos notar de estas expresiones, al compararla con las que son
distintas?, esperamos la respuesta: Que la suma y la multiplicacin
de un mismo nmero dan resultado distinto cuando tiene la misma
cantidad de veces, a excepcin del nmero 2 cuando se repite dos
veces.
-
Desarrollo de la clase
Actividades de la enseanza Recomendaciones al profesor 1)
Llenemos la siguiente tabla:
Arista 2
Altura rea Volumen
Se observa en clases la descripcin de la igualdad: 22 (22)= 22
(2+2) Ser siempre cierto que el volumen se puede calcular de esta
nueva manera? Posibles respuestas: 3 3 (3 +3 )=54 3 3 (3 3)= 81
2 2 (2 +2 +2)= 24 2 2 (2 2 2)= 32
2) Qu sucedi? Por qu no son iguales? Por ej.: 3+3 33 , 2+2+2 222
Respuestas de los alumnos: Que son diferentes ya que la suma y la
multiplicacin son distintas operaciones. 3) Llenen los siguientes
cuadrados con el nmero
que satisfaga esta igualdad. = + + = + + + + Qu podemos notar de
estas expresiones, al compararla con las que son distintas?
Respuesta esperada: Que la suma y la multiplicacin de un mismo
nmero son distintas cuando tiene la misma cantidad de veces, a
excepcin del nmero 2 cuando se repite dos veces.
Se plantea la tabla escrita en una
cartulina pegada a la pizarra. Indicar a los alumnos la forma
de
escribir los resultados por ej. volumen 22(2+2)
Se les pide que prueben es sus
cuadernos. Se pasea por la sala observando las
producciones de los alumnos. Se buscan tipos de ejemplos
para
escribir en la pizarra. Pedir a los alumnos seleccionados
que lo escriban en la pizarra. Los ejemplos dependen de las
producciones de los alumnos. Guiar a los alumnos hasta que
den
una respuesta parecida. Luego de esto se agrega: pero
fjense que este resultado, donde utilizamos una suma y una
multiplicacin, si son iguales 222=2+2+2+2.
Guiarlos para que se den cuenta que
la respuesta dada anteriormente, falta complementarla. Compare
mostrando en la pizarra las
igualdades y las que no lo son. Ej.: 3+3 33 con 3 3 = 3 + 3 +
3+3 Escribir en la pizarra las respuestas,
hasta encontrar o generar la buscada. Que escriban en sus
cuadernos lo
aprendido en la clase y lo escrito en la pizarra.
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Sesin 2
Objetivo: Que los alumnos generalicen la multiplicacin iterada
de las potencias de base dos en forma implcita.
Tiempos esperados: 60 min. Caractersticas: En esta clase se
busca a travs de la resolucin de un problema la
identificacin de un patrn que les permita resolver en forma
rpida el problema, utilizando la multiplicacin iterada.
Descripcin de la clase:
Se dar a los alumnos el siguiente problema Actividad El chiste
El da 1 de junio una persona A cuenta un chiste a otras dos
personas B y C, el da dos de junio B les cuenta el chiste a otras
dos personas, D y E, y C les cuenta el chiste a otras dos personas,
F y G. El da 3 de junio cada una de las personas D, E, F y G les
cuentas el chiste a otras dos personas.
Manteniendo la misma regularidad, donde cada persona cuenta el
chiste a otras dos personas. a) Cul ser el nmero de personas que
escuchan el chiste en el da 15? y en el da 16? b) Cuntos lo
escuchan en el da 40? c) Cul es la relacin que existe entre los das
y la cantidad de personas que escuchan el chiste?
Un alumno leer el problema al curso, y se preguntar ante de
empezar la actividad por el da 4 y 5, buscando una respuesta
intuitiva por partes de los alumnos, respondern que 16 y 32
respectivamente, algunos utilizando dibujo, otros multiplicando por
dos. Para responder la pregunta a) es posible que los alumnos
abandonen la estrategia del dibujo, utilizando la multiplicacin de
2. Luego respondern 222222222222222 calcularn el resultado, lo
mismo para el da 40, con esto se darn cuenta del crecimiento
vertiginoso involucrado al aumentar los das. Con la pregunta c)
buscamos que los alumnos sean capaces de concluir y fundamentar los
resultados obtenidos anteriormente. Lo ms importante es que quede
claro a nivel de curso, que la solucin se puede escribir como una
multiplicacin iterada de base 2. Todas las posibles respuestas es
recomendable escribirlas de ese modo. Esto no ayudar para las
siguientes sesiones.
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Desarrollo
Actividades de la enseanza Recomendaciones al profesor Resolver
el siguiente problema:
El da 1 de junio una persona A cuenta un chiste a otras dos
personas B y C, el da dos de junio B les cuenta el chiste a otras
dos personas, D y E, y C les cuenta el chiste a otras dos personas,
F y G. El da 3 de junio cada una de las
personas D, E, F y G les cuentas el chiste a otras dos personas.
Manteniendo la misma regularidad, donde cada persona cuenta el
chiste a otras dos personas. a) Cul ser el nmero de personas que
escuchan el chiste en el da 15? y en el da 16? Estrategias de los
alumnos: -Seguir ocupando el diagrama. - como en el primer da el
chiste fue contado a 2 personas, en el segundo a 4 personas, en el
tercero 8 personas, luego por da que avanza hay que multiplicar por
2. b) Cuntos lo escuchan en el da 40? Posibles respuestas: -Que hay
que multiplicar el 2, cuarenta veces. -calculen el resultado de
multiplicar 2, cuarenta veces. c) Cul es la relacin que existe
entre los das y la cantidad de personas que escuchan el chiste?
Respuesta esperada: Que al pasar un da, la cantidad de chiste
contados, crecen el doble.
Formar grupos de cuatro personas, dejar utilizar calculadoras.
Que el problema sea ledo por un
alumno Antes de iniciar la actividad
preguntar por los das 4 y 5. As nos aseguramos que el
problema
haya sido entendido. Se trabaja en grupo El profesor recorre los
puestos
viendo el trabajo de los alumnos y respondiendo sin dar
respuestas claras.
Fijarse que los alumnos sientan la necesidad de resolverlo en
forma ms rpida, que estar calculando a cada momento por 2 el
resultado que obtienen.
Mostrarles el crecimiento potencial, a travs de la cantidad que
se agranda el nmero de chistes contados al avanzar un da.
Incentivar a los alumnos que escriban slo la expresin como
multiplicacin.
Que los grupos al terminar la pregunta a) y b), un representante
explique su procedimiento y justifique las respuestas, anotando
todo en la pizarra.
Se responda a nivel de curso, anotando el resultado final en la
pizarra.
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Sesin 3
Objetivo: Construir la definicin de Potencia Tiempos esperados:
2 hora pedaggica (90 min.) Caractersticas: Se utiliza los
conocimientos previos de los alumnos para encontrar la
notacin de Potencias. La definicin es construida utilizando la
capacidad de sintetizar una idea matemtica en una frase.
Descripcin de la clase Se comienza la clase recordando
expresiones vistas anteriormente, como 2*2*2*2 este momento se
escribe en la pizarra y se trabaja en conjunto con los alumnos,
luego se escribe la lista de problemas del 2 al 5 y se pide que los
alumnos los trabajen individualmente, en el problema 4, deber ser
explicado por la profesora con anterioridad, esto debe suceder
cuando los alumnos ya hayan terminado el 2 y 3, es necesario que
tengan un tiempo donde lo trabajen individualmente luego
desarrollen sus ideas en la pizarra, cuando quede claro, la
profesora pedir que respondan Si tuvieras que describir todas las
expresiones antes vistas con tus palabras Cmo lo haras?, para esto
la profesora encierra en la pizarra tales expresiones, luego en la
puesta en comn se construye la definicin a partir de aquellas
respuestas, donde el profesor identificar la base y el
exponente.
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Desarrollo
Actividades de la enseanza Recomendaciones al profesor 1-.
Recordando la clase anterior, Se puede escribir estas
multiplicaciones en formas ms abreviadas sin resolverlo? a)2*2=
b)2*2*2= c)2*2*2*2= 2-.Escribe los siguientes nmeros como
multiplicacin de un mismo nmero.
a)16= b)8= c)27=
3-.Escribe en forma abreviada las siguientes multiplicaciones.
a)3*3*3*3= b)4*4*4*4*4= c)5*5*5*5*5*5= 4-. Recordando el problema
de los chistes, visto en la clase anterior, sabemos que en el da 15
se cuentan 215, para el da 40 sern 240, para el da 100 Cuntos
chistes sern? Y para el da n? 5-. Si tuvieras que describir todas
las expresiones antes vistas con tus palabras Cmo lo haras?
Se hace la pregunta al curso, para que los alumnos respondan en
conjunto.
Procurar que los alumnos, escriban en sus cuadernos.
En los problemas 2 y 3
cerciorarse del trabajo de sus alumnos por medio de paseos por
la sala, para que en la puesta en comn saque a la pizarra a alumnos
que encontraron la respuesta y los que no.
Es importante que recuerdan el
problema, haciendo preguntas al curso.
La profesora puede escribir en la pizarra 2*2*2*2*2*2*2 n veces,
y explicar que se trata de un nmero finito, es necesario que quede
claro lo que se refiere el da n. Si se menciona el concepto
infinito, mostrar la diferencia.
El profesor escribe en la pizarra 3n, y pregunta Qu nmero puede
representar la n?
Con esto buscamos darnos cuenta del entendimiento de los alumnos
con respecto a la n, que se entienda que puede ser tambin un nmero
pequeo.
Se deja tiempo para que respondan esta pregunta en sus
cuadernos, luego el profesor hace leer a 3 compaeros que note que
sus respuestas son diferentes con anterioridad.
Al momento de construir la definicin no se debe olvidar pedir a
los alumnos que la escriban en sus cuadernos dejando bien en claro
lo que es base y exponente.
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Sesin 4
Objetivo: Aplicar lo aprendido en las clases anteriores, para
desarrollar los ejercicios Tiempos esperados: 2 horas
Caractersticas: Ejercicios de aplicacin que se centran en lo visto
en las clases
anteriores.
Descripcin de la clase
En la clase bsicamente se va ejercitar lo que se ha visto en las
clases anteriores, los ejercicios del 1 al 3 son de bajo nivel
cognitivo, slo se basan en calcular y aplicar bien la idea de
potencia que se ha visto hasta ahora. En los ejercicios 4 y 5 se
pretende que los alumnos analicen, creen sus propias formas de
resolver los problemas. En el ejercicio 6 se requiere un mayor
nivel cognitivo, donde tienen que identificar el tipo de expresin
(como suma no como multiplicacin), calcular las potencias, sumar el
resultado, analizar si es que se puede escribir como potencias,
creando sus propias estrategias para encontrar el nmero.
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Desarrollo
Actividades de la enseanza Recomendaciones al profesor 1.
Escribe cada potencia como un producto de factores
iguales. a) 55 b) 23 c) 84
2. Escribe cada una de las siguientes multiplicaciones
como una potencia y calcula su valor.
a) 13 13 13 b) 7 7 7 77 c) 3 3 3 3 3 3 3 3. Escribe cada
potencia como una multiplicacin de factores iguales y escribe su
valor. a) 23 b) 72 c) 65
4. Completa con el nmero que falta para que cada igualdad sea
verdadera.
a) 2 = 32 b) 3 = 81 c) 3 = 243 d) 3 = 64
5. Encuentra la potencia escondida a) 1+8= b) 1+3+12= c) 18+7=
6. Puedes expresar alguno de estos resultados como una potencia?
Por qu?
a) b) c)
Observar el trabajo de los
alumnos Buscar si es que poseen alguna
deficiencia, para apoyarlos cuando sea oportuno.
Observar el procedimiento de
los alumnos. Pedir que los alumnos
comuniquen sus resultados del ejercicio 4 ,5 y 6 a nivel de
curso.
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Sesin 5
Objetivo: Formular la expresin aman = am+n a travs del
razonamiento inductivo Tiempos esperados: 60 minutos
Caractersticas: En esta clase hicimos actividades del tipo
deductivo, donde
secuencialmente el alumno va construyendo la propiedad
Descripcin de la clase
Al comienzo se escribirn las siguientes expresiones con ayuda de
los alumnos 33= 32 y 333= 33, luego se multiplicar 32 33, los
resultados y estrategias se escribirn en la pizarra, as vemos
distintos caminos para llegar a un mismo resultado, luego se
calcular 4346, escribiendo el desarrollo de los alumnos. Ahora ser
necesario que los alumnos puedan inventar ejercicios de esos tipos
con su resolucin, se escribirn en la pizarra de manera ordenada,
uno bajo del otro, y se les dar el siguiente desafo, resuelva lo
siguiente 527535. Cuando descubran la propiedad, se les pide que
expresen su procedimiento en palabras y lo escriban en sus
cuadernos.
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Desarrollo
Actividades de la enseanza Recomendaciones al profesor 1) Cmo
podemos escribir estos nmeros en potencias? 1) 33 = 2) 333= Calcule
en su cuaderno: Posible respuestas:
= (33) (333) = (33333) = 35
9 27 243
2)Calculen lo siguiente 4346= 3) Inventen un ejercicio parecido
al anterior, pero usando otra base. Posible respuesta: Ej. 2324=27
Resuelvan lo siguiente 527535 Respuesta esperada:
- 562 4) Resuelvan utilizando lo aprendido.
Se escriben en la pizarra. Se
pregunta Estn bien estos resultados?
Posibles argumentaciones: No, ya que son nmeros distintos. Si,
ya que si lo resolvemos da
243 lo que es lo mismo.
Que los alumnos anoten en sus cuadernos.
El profesor de vuelta observando el trabajo de los alumnos
Sacar a alumnos que presenten distintos procedimientos.
Incentivar a los alumnos a escribir como potencias.
Observar si se comete el error
usando distintas bases. Que lo escriban en sus cuadernos Sacar
distintos tipos de ejemplos No borrar de la pizarra ninguna
produccin de los alumnos. Incentivar a que encuentren
relaciones en las resoluciones escritas en la pizarra.
Observar que se utiliza la misma
base y se sumen los exponentes. Nos fijamos que utilicen lo
formulados por ellos, que sera de la forma
n m = m+n
Pedir que concluyan con sus
palabras lo que aprendieron, anotndolo en su cuaderno.
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Sesin 6
Objetivo: Dar hincapi en que la propiedad vista en la clase
anterior, solo se cumple cuando las bases son iguales.
Tiempos esperados: 45 minutos Caractersticas: A travs de la
resolucin de problemas buscamos que el alumno distinga
las situaciones donde se presentan productos de potencias de
igual y distintas bases Descripcin de la clase Se presentarn tres
problemas, en el primero los alumnos utilizaran la forma de
calcular el rea de un rectngulo, donde se busca que apliquen la
propiedad de la multiplicacin de potencias, resolviendo 57 = 511.
En el segundo problema se dan distintas bases, se preguntar Cul es
el rea de este nuevo rectngulo?, donde nos daremos cuenta que no se
puede utilizar la propiedad cuando la base es distinta, donde
estarn obligados a resolver calculando.
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Desarrollo
Actividades de la enseanza 1) A Ren le piden calcular el rea de
una parcela ya que decide cercarla esta tiene forma rectangular de
dimensiones 57 y siendo el ancho y el largo respectivamente.
Entonces Cul es rea de la parcela? 5754
2)Quesucedesison y
losladosdeunnuevorectngulosiendoelanchoyellargorespectivamente,entoncesCuleselreadeestenuevorectngulo?
Recomendaciones al profesor
Recordar la definicin de rea
yvolumen,atravsdepreguntasalosalumnos.
Entregar una gua a cada alumno que contenga esta actividad.
Observareltrabajodelosalumnos,dondeutilicencorrectamentelapropiedad.
Pedir que cada alumno realice el trabajo individualmente.
Buscar distintas estrategias de los alumnos.
Escribirlas en la pizarra. Analizar las metodologas. Buscar que
los alumnos se den
cuenta que la propiedad solo se puede utilizar cuando la base es
la misma.