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Autores:-Franco Cantarutti-Mauro Fras-Tomas RamrezDocente
encargado:-Orlando Torrescrditos Osorno, chile 13 / mayo / 2005
Mdulo de auto aprendizaje: Comenzar
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CrditosAcerca de los autores.Franco Cantarutti (tercero medio
A)Mauro Fras (tercero medio B)Toms Ramrez (tercero medio B)Plan
diferenciado: MatemticoAlumnos del colegio San mateo de
OsornoPrimero a nivel nacional en colegios
subvencionados.seguir
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Edicin y produccin:Departamento matemtico .Inc.Actualmente
compuesto por:Direccin general:Franco Cantarutti.Correccin de
estilo:Mauro Fras.Direccin grafica:Toms RamrezDiseo y
diagramacin:Todo el equipoParticipacin externa:Orlando Torres
(Docente)Volver
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PrologoEl mdulo de autoaprendizaje para 1medio que tienes en tus
manos, esta orientado para que adquieras un aprendizaje en
potencias, races y logaritmos desde una perspectiva matemtica,
propicindote una base para la comprensin de fenmenos matemticos,
destacando el trabajo individual, la constancia de trabajo, la
idealizacin de un mtodo de trabajo y una discusin que te permitir
obtener conclusiones validas en el mbito de esta ciencia.Esta obra
se destaca por ofrecer una interesante red de actividades que
realizaras tu. El objetivo es que logres realizar un estudio
comprensivo e interactivo, basado en tu propia experiencia, que te
impulse a comprometerte con las metas u objetivos a lo largo de
este trabajo.El trabajo aqu entregado esta estructurado segn los
siguientes temas.
Capitulo 1 potencias.Capitulo 2 races.Capitulo 3
logaritmos.Seguir
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contenidos1. Potencias1.1 potencias1.2 propiedades de las
potencias1.3 ecuaciones exponenciales2. Radicacin2.1 races2.2
propiedades de las races2.3 racionalizacin2.4 ecuaciones
irracionales3. Logaritmos3.1 logaritmos3.2 propiedades
Seguir
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Representacin grafica de la obra
SeguirHola yo soy Ahome y al igual que tu, estoy empezando en
esto de las races, potencias y logaritmos.Te pido un ratito de tu
tiempo para que conozcas a mis amigos a quienes les ped que me
ayudaran en este modulo para que podamos aprender.
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Bueno estos son mis amigos que nos ayudaran durante este modulo.
Yo soy Inuyasha, genio en potencias, yo les ayudare con los
difciles exponentesYo soy Miroku, el mejor en Races yo con mi
sabidura y tus ganas de aprender lograre ensearles el mundo de las
races. Seguir
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Yo soy el ultimo de los amigos de ahome, soy el mas sabio de los
3 y les voy a ensear sobre los difciles logaritmos.Ahora que te
presente a mis amigos podemos ir donde Inuyasha a ver que son las
potenciasSeguir
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Seguir
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El inventor del ajedrez, le presento su novedosa creacin al rey
de Dirham, en la india, este quedo tan fascinado por el juego que
le ofreci cualquier cosa que el deseara como recompensa. Ante este
ofrecimiento el ingenioso inventor le propuso al rey que le diera
simplemente, un grano de trigo por el primer casillero del tablero,
dos por el segundo, cuatro por el tercero, ocho por el cuarto y as
sucesivamente duplicando la cantidad del casillero anterior hasta
llegar al ultimo. El rey se extrao por la modesta peticin del
sbdito y mando a que se cumpliera su peticin. Horas mas tarde llego
el encargado de los graneros afligido diciendo que no se poda
cumplir con la peticin del inventor... - Adivinas que paso?El
encargado le explico a el rey, y le dijo que no haba suficiente
trigo en los graneros del reino, ni siquiera en los de todo el
mundo! El rey quedo atnito y no lo pudo creer, Seguir
Y como es posible esto?
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SeguirBueno ahome, esto es muy sencillo, En el primer casillero
el numero de granos es igual a uno, en el segundo cuadro es dos, en
el tercero cuatro, en el cuarto ocho, y as hasta el 64, este es un
procedimiento muy lento si.Y que haramos para simplificar este
procedimiento?Para sacar el valor tendramos que hacer lo siguiente:
el primer cuadrado 1x1 en el siguiente 2x1 luego 2x2 , de hay 2x2x2
y as sucesivamente. Con potencias el primer numero quedara como 20
, el segundo como 21, el tercero como 22 y el cuarto como 23 Por
que en potencias la base que en este caso es 2 se multiplica tantas
veces como el numero de exponente tenga.
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Seguirsea que tendramos que sumar 20+21+22+23..........hasta
263?Si ahome como veras es un numero muy grande, solo como ejemplo
el 263 es igual a 2x2x2x2.x2 63 veces y ese numero me dio
9.223.372.036.854.775.808, lo que no es el total ya que nos falta
sumar todos los nmeros anteriores y como veras no es un numero para
nada pequeo.
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SeguirDefinicin de potenciaUna potencia es un numero que
llamaremos a que arriba de este se encuentra otro numero que
llamaremos nde esta forma: Al n se le llama exponente de la
potencia Al a se le llama base de la potencia Las potencias sirven
para expresar la multiplicacin de un dato que se repite una cierta
cantidad de vecesa es el nmero en cuestin,n es la cantidad de veces
que se multiplica por si mismo.Se define de esta forma: an=aaaa a
(n veces)Bueno, entendieron lo que es realmente una potencia?Yo si,
pero parece que mi amigo no muchoBueno, lo explicare mas
detenidamente. Tomen atencin.
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Aplicando la definicin tenemos:(-2)3 = (-2) (-2) (-2) =
-8Calculemos el valor de -34Observamos que la base de la potencia
es 3 ( y no -3) expresndola en forma de producto nos queda:-34 = -3
3 3 3 = -81SeguirAhora veamos si entendisteCalculemos el valor de
(-2)3
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SeguirSoluciones:-1616
Como conclusin se puede decir que cuando un trmino que es
antecedido por un signo negativo se eleva a un exponente impar el
trmino siempre ser el mismo que al inicio, en cambio elevado a un
nmero par se lograr el signo contrario al inicial.Ahora resuelve
t
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Potencias con exponente 1Es igual a la base de la potencia, es
decir:
a1=a ejemplos: 101=10; 31=3Ejercita:71=221=41=61=
Soluciones:1)72)223)44)6
En todo caso, sea cual sea, la base ser igual a si misma si el
exponente es 1.Seguir
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Potencias con exponente -1es igual al inverso multiplicativo de
la base, es decir:a-1=1/a ejemplos: 5-1=1/a ;
(1/2)-1=2Ejercita:Soluciones:210/231/83/10
Seguir
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Para multiplicar potencias de igual base mantenemos la base y
sumamos los exponentes, es decir:an am = an+mal revs cuando tenemos
una base con una suma en el exponente la podemos descomponer, es
decir:an+m = an am SeguirMultiplicacin de potencias de igual
base
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Ejercicio resueltoExpresemos en forma de potencias: aqu tenemos
el producto del trmino (-1/2) cinco veces (el trmino se repite 5
veces).En este caso lo que se hace es sumar los exponentes de todos
los trminos, dejando solo un trmino. Seguir
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Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta
propiedadSeguir
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Soluciones:Ac tenemos las soluciones de los ejercicios
anteriores, espero que te haya ido bien.1)a82)b113)
554)a3x+2ySeguirSi acertaste a 3 por lo menos significa que ya
tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o
tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la
consulta bibliografa de este mdulo y encontrars algunos links para
reforzarte.
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Divisin de potencias de igual baseEn este caso, mantenemos la
base y restamos los exponentes, es decir:
an : am = an-mal revs cuando tenemos una base con una resta en
el exponente la podemos descomponer, es decir:an-m = an : am
Seguir
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Ejercicio resuelto
SeguirEn el primer caso, se aplica la propiedad que si se tiene
una misma base, se pueden restar los exponentes. Lo que se
demuestra paso a paso.
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Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta
propiedadSeguir
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Soluciones:Ac tenemos las soluciones de los ejercicios
anteriores, espero que te haya ido bien.1)m102)x23) 2/54)m2Si
acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de
esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve
los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografa
de este mdulo y encontrars algunos links para reforzarte.
Seguir
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Potencia con exponente 0Es igual a 1:
a0=1, 00= no existe
Ejemplos: 50=1-40=-1
Ejercita:
30=___ 3)-20=___(1/2)0=___ 4) 10=___
Soluciones:1)1 3)-12)1 4)1Seguir
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Potencia con exponente negativoEs la misma propiedad que con
exponente a -1,solo que ahora, cuando se da vuelta al ser negativo
el exponente, no queda en 1, sino que en n.a-n=1/an ; a0 ejemplo:
3-2=(1/3)2=1/32=1/9Ejercitemos:1)-2-2=___ 3)(1/3)-2=___2)(-2)-2=___
4) (22/23)-4=___Soluciones:1)-1/4 3)92)1/4 4)16Seguir
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Potencia de una potenciaAqu debemos elevar la base a la
multiplicacin de los exponentes.(am)n = an mEn el caso contrario si
tenemos una base con exponentes multiplicndose se pueden
distribuir.an m = (am)nSeguir
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Ejercicio resueltoDesarrollemos (a2 :a6)2Primero tenemos que
aplicar la propiedad, multiplicando los exponentes, luego aplicando
las propiedades ya conocidas deberamos poder llegar a un
trmino.Seguir
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Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta
propiedad
Seguir
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Soluciones:Ac tenemos las soluciones de los ejercicios
anteriores, espero que te haya ido bien.1) (a4b8)/x122) 72a2b19c93)
3x3y2z4) a3/16Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes
las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes
dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la
consulta bibliografa de este mdulo y encontrars algunos links para
reforzarte. Seguir
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Potencia de un productoElevamos el producto de las bases al
exponente comn.an bn = (ab)n Por el contrario si tenemos 2 un
parntesis elevado a un numero, los componentes del parntesis se
pueden separar. (ab)n = an bn Seguir
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Ejercicio resuelto
SeguirPrimero se aplica la propiedad de mantener el exponente y
multiplicar las bases, luego solo resolvemos la potencia
resultante.
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Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta
propiedad
Seguir
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Soluciones:Ac tenemos las soluciones de los ejercicios
anteriores, espero que te haya ido bien.1) (2ax)32) [2q(a+b)]23)
(ab)4p-14) 63Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes
las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes
dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la
consulta bibliografa de este mdulo y encontrars algunos links para
reforzarte. Seguir
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Potencias de 10
100 = 1104 = 10000101 = 10105 = 100000102 = 100106 = 1000000103
= 1000107 = 10000000Se muestra cuando tenemos 10 elevado a un nmero
cualquiera:
Seguir
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Notacin cientficaSe utiliza para expresar grandes cantidades en
nmeros mas pequeos.Para poder expresar un numero como notacin
cientfica se debe elegir un numero entre 1 y 10 y luego hacer el
producto entre este y una potencia de 10.Ej.:
La velocidad de la luz: 300.000 Km/s = 3105 Km./sEl tamao de una
clula: 0,000008 metros = 810-6 metrosSeguir
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Ejercitemos juntos, para aprender esta propiedadPrimero se tiene
que dejar lo mas reducido el nmero que multiplica al 10, no puede
ser decimal, ni menos pasarse de 10 unidades, se cuentan los 0, por
cada cero ser un digito ms.Si es decimal, o sea un nmero minsculo,
el exponente es negativo y si el nmero es muy grande, es positivo
el exponente. Seguir
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Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta
propiedad
0,0000000065 3)0,00000000000121123.000.000 4)
567.000.000.000
Soluciones: 1) 6,5 10-9 3) 1,21 10-122) 1,23 108 4)5,67
1011Seguir
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Potencia con exponente fraccionarioEsta potencia consta del
exponente fraccionario, que se trabaja de la siguiente forma, se
eleva la base a el numerador de la fraccin y luego se hace la raz
de esta, y cuyo ndice corresponde a el denominador de la
fraccin.
Y por otro lado se puede trabajar inversamente, es decir al ver
una raz la podemos transformar en potencia poniendo el ndice como
denominador y el exponente que tenga el radicando como numerador en
la potencia que se formara
Seguir
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Soluciones:
1)52)173)-14)10Resuelve estos ejercicios para ver como vas
manejando esta propiedad
Seguir
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Ecuaciones exponencialesAqu se trabaja con los exponentes como
los elementos de la ecuacinLo mas difcil de estas ecuaciones es
igualar las basesUna ves igualada las bases se aplica la siguiente
propiedades y se igualamos exponentes:
Seguir
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Ejemplos:
a)32x-5=3x-3 2x-5=x-3x=2b)4x+3=82x+9b)(22)x+3=(23)2x+9x+3=2x+9
-4x=21x= -4/21SeguirEn el ejemplo b, se igualo para poder hacer la
ecuacin, cuando ya se igualo esta, se trabaja deforma normal como
una ecuacin de primer grado.
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Soluciones:1) x=7/2 3)x=-12) x=4 4) x=0/1= no solucin en los
realesResuelve estos ejercicios para ver tu aprendizaje, ya queda
poco, para terminar potenciasSeguir
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Reforzamientos varios:Seguir
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Problema de profundizacin:
Alfredo recibe una carta pidindole que participe en una cadena,
envindole copia de la misma carta a 3 otras personas, cada una de
las cuales debe enviarle un cheque por $1000 a vuelta del correo.
l, a su vez, debe enviar $1000 al remitente de la carta que recibi.
Si cada persona que recibe una carta de esta cadena procede como
indicado, todos harn beneficios. dnde esta la trampa?Descbrelo a
travs de tus conocimientos adquiridos.Seguir
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Seguir
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Racesndice de la raz Operante Cantidad subradical o
radicando
Las races tienen sus comienzos en las potencias y por ello se
puede hacer el proceso inverso que en el caso de las potencias, por
lo tanto:En este nuevo capitulo encontramos lo contrario de la
potencias, las races, es decir las potencias se simplifican
(eliminan) con las races y viceversaPero con que trminos
trabajaremos ahora en este capitulo de races, si en potencias
a=base, y n=exponente, ahora como es esto?Bueno tenemos 3 terminos
con los que trabajaremos los cuales son:Seguir
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Propiedades de las racesRaz de una potencia con exponente igual
al ndice.Si se tiene un ndice igual a el exponente que tiene el
radicando, que esta dentro de la raz se puede dejar el radicando
como potencia, una base elevado a una fraccin de la siguiente
forma:
Bueno apliquemos lo anterior aprendiendo las propiedades de las
races, veamos la primera:Al elevar a n la raz n-esima de a estamos
simplificando el proceso anterior por lo cual el numero quedara el
numero Seguir
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Veamos unos ejemplos:
SeguirAplicando la propiedad, vemos que el ndice y el exponente
del radicando se deja en forma de potencia, por lo tanto igual
numerador y denominador dan como resultado 1, as se dice que se
simplifico o elimino la raz y se convierte en una simple base
elevado a 1 lo que da como resultado la misma base, como vemos en
los ejemplos.
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Ahora te toca a ti trabajar:Seguir
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Raz de un producto:Ahora si se tiene una raz de 2 o ms trminos
que se estn multiplicando, se pueden separar en otras dos races
(las cuales tienen el mismo ndice que la primera raz) que se
multipliquen, como se muestra a continuacin.As tambin podemos hacer
el proceso inverso, donde el producto de dos races de igual ndice
que puede agrupar en una sola razSeguir
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Resolvamos juntos estos ejercicios, separando cada raz en dos
productos de races y resolvindolas por separado, luego se
multiplica y se obtiene el resultado correspondiente:Seguir
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Trabaja tu:Seguir
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Soluciones:Ac tenemos las soluciones de los ejercicios
anteriores, espero que te haya ido bien.1) 62) 6a3) 4x4) 5p4Si
acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de
esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve
los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografa
de este mdulo y encontrars algunos links para reforzarte.
Seguir
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De la raz de una fraccin o divisin se puede separar en 2 races
pero que poseen el mismo ndice que la anterior y esas dos nuevas
races se dividen ahora.
* Ahora se puede invierte la situacin donde se une el numerador
con raz y el denominador con raz siempre y cuando tengan el mismo
ndice, como se muestra a continuacin:* Pasemos a Raz de un
cuociente:** Ahh!!!!!! pero entonces es muy similar a raz de un
productoSeguir
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Resolvamos algunos ejemplos para aprender mejor:Pero parta poder
resolver algunos ejercicios no solo debemos dividir, sino tambin
aplicar propiedades de las potencias como es la resta de
exponentesSeguir
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Vamos te toca ahora
Si tienes alguna duda no vaciles en repasar la
materia.!!!!Seguir
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Soluciones:Ac tenemos las soluciones de los ejercicios
anteriores, espero que te haya ido bien.1) 22) 33) 24) 10Si
acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de
esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta
bibliografca de este mdulo y encontrars algunos links para
reforzarte. Seguir
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*SeguirBueno aqu simplemente se multiplican los ndices y se deja
al final una sola raz con ndice igual al producto de los ndices.
Como se puede ver:Y que pasa ahora con Raz de una raz?
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Bueno ya que vamos tan avanzados estos ejemplos, los pasaremos
volando, o no?:Seguir
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SeguirSigue multiplicando tu los ndices y resuelve los
siguiente:
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Soluciones:Ac tenemos las soluciones de los ejercicios
anteriores, espero que te haya ido bien.1) 22) 13) 34) 13Si
acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de
esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta
bibliografca de este mdulo y encontrars algunos links para
reforzarte. Seguir
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Para esto se amplifica o simplifica tanto el ndice como el
exponente de la cantidad subradical, por un termino o numero en
particular, ejemplo:SeguirPasemos a amplificacin y simplificacin
del ndice de una raz:
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Resolvamos estos ejercicios:* En el primer ejercicio hay que
reducir la raz para resolver mas fcilmente, as queda como resultado
5 En el segundo se debe amplificar para igualar denominadores, ya
que no se puede multiplicar races de distinto ndice, luego se puede
resolver como cualquier otro problema.
Seguir
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Comprobemos si aprendiste bien de que se trata la amplificacin y
simplificacin de races.
Seguir
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Soluciones:Ac tenemos las soluciones de los ejercicios
anteriores, espero que te haya ido bien.
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las
nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes
dudas, consulta bibliografca de este mdulo y encontrars algunos
links para reforzarte. Seguir
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Factor de una raz como factor: * En palabras simples es pasar un
nmero que multiplique toda la raz dentro de ella, para esto se debe
elevar el termino al ndice de la raz y ponerlo dentro
multiplicndolo por los otros trminos dentro de ella, as se pueden
aplicar otras operaciones como la suma de races de igual ndice.Se
da de la siguiente forma:** Entonces se utiliza para simplificar
una raz que pareciera ser no entera a un termino mas fcil de
comprender y trabajar:Seguir
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Vamos resolvamos:Seguir* Se puede ver dos posibilidades:
simplificar una raz, dejndola mas simple O realizar una raz,
juntando trminos, pero de esta forma queda una raz muy
compleja.
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Racionalizacin de denominadores: La idea es dejar los
denominadores sin expresiones con races para poder trabajar mas
fcilmente. Consiste en eliminar los radicales de los
denominadores.
En el segundo caso debemos amplificar por una cifra, para que el
radicando quede, al multiplicarse, elevado al mismo ndice, para as
poder eliminarse con la raz, y en el denominador queda sin trminos
con races.Seguir
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En el caso de tener una sustraccin o adicin de races cuadradas,
se aplica la suma por diferencia con la cual las races en los
denominadores se eliminan, multiplicando el numerador denominador
por su diferencia (positiva o negativa), as se eliminan las races
en el denominador. Se presentan los siguiente casos de
expresiones:
Seguir
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Luego tenemos un caso complejo de races cbicas, y para ello se
debe amplificar usando la formula dada de potencias cbicas:Hay
otros tipos mas de nacionalizacin que son mucho mas especficos pero
evoqumonos en lo esencial, y vamos resolvamos ejercicios.Seguir
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Cuando tenemos una adicin en trinomios se agrupan dos trminos
para dejarlos como suma por diferencia a la hora de multiplicar, as
luego de resolver queda una suma por diferencia simple:SeguirLuego
de resolver el trinomio, se resolvemos el binomio resultante igual
que si fuera suma por diferencia, y as se elimina trminos con races
en el denominador, y en este caso nos queda con denominador 4.
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Te invitamos a resolver los siguientes ejercicios: Seguir
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solucionesAc tenemos las soluciones de los ejercicios
anteriores, espero que te haya ido bien.
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las
nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes
dudas, consulta bibliografca de este mdulo y encontrars algunos
links para reforzarte. Seguir
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son aquellas en que la incgnita est como cantidad subradical,
para poder resolvers necesitas elevar la ecuacin al ndice de la
raz, para eliminarla: Ejemplos:
Ecuaciones irracionales:Seguir
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Practiquemos un poco
Seguir
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Soluciones:Ac tenemos las soluciones de los ejercicios
anteriores, espero que te haya ido bien.
Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las
nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes
dudas, consulta bibliografca de este mdulo y encontrars algunos
links para reforzarte. Seguir
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Cotrol: veamos si aprendisteSeguir
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Seguir
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SeguirLa definicin de logaritmo es la siguiente:El logaritmo en
base a de un nmero n, es otro nmero b, tal que cumple esta ecuacin:
ab = n. Dicho matemticamente loga n = b ==> ab = n.No contines
mientras no te grabes esta definicin en tu cabeza de tal manera que
no se te olvide nunca.Si lo comprendes puedes continuar. Supongamos
que el logaritmo en base a de un numero n1 sea b1 (loga n1 = b1).
Entonces ab1 = n1.Supongamos que el logaritmo en base a de un
numero n2 sea b2 (loga n2 = b2). Entonces ab2 = n2.Supongamos que
nos piden que calculemos el logartmo del producto n1.n2, y digamos
que es b. Si tenemos en cuenta las igualdades anteriores nos queda:
loga n1.n2 = loga ab1.ab2 = b ab = ab1.ab2 = ab1+b2
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Para que esta igualdad se cumpla b = b1 + b2, por lo tanto el
logartmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los
factores.De igual manera se demostrara que el logartmo de un
cociente es la diferencia de los logaritmos del numerador y
denominador, y con un poco ms de trabajo que el logartmo de una
exponenciacin es igual al exponente por el logartmo de la base.Ya
podemos responder a la pregunta de para qu sirven los logaritmos:
Hace no muchos aos, no haba ordenadores, ni calculadoras, y por lo
tanto multiplicar y dividir (y muchisimo mas la exponenciacin)
cuando los nmeros implicados eran grandes, era una tarea rdua (y
casi seguro que se cometan errores). Con los logartmos las
multiplicaciones se convierten en sumas, las divisiones en restas y
la exponenciacin en multiplicaciones, con lo que se facilitaban
mucho las operaciones. Una vez obtenido el resultado se calculaba
el antilogartmo para obtener el numero real.Seguir
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Vamos a hacer algunos ejercicios
Seguir
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Seguir
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Seguir
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Seguir
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Ejercicios para resolver:
Seguir
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Gratificaciones:Haz pasado todo el modulo, espero que te haya
servido de mucho, ya que a mi si, consltalo cada vez que quieras
repazar algn concepto o algn dato especifico.A continuacin estn los
links y la bibliografa mas exhaustiva para tu comodidad, para poder
profundizar mas aun los temas propuestos en este programa.
Seguir
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Bibliografa:Libros:
- algebra arrayn. potencias pginas 295 a 307Races pginas 307 a
329 logaritmos pginas 329 a 353Mare nostrum primero medio Potencias
pginas 26 a 35Mare nostrum tercero medioPotencias y races pginas 14
a 41Mare nostrum cuarto medio potencias, exponenciales, funciones
pginas 10 a 38- Libro san mateo tercero medio matemtico 2005
potencias pginas 15 a 24 Races pginas 24 a 31Seguir
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Recurso software e Internet
Encarta 2004 software definiciones.-www.areamatematica.clApuntes
y
talleres.-http://soko.com.ar/matem/matematica/logaritmos.htmlConsultas
habladas a:Sra. Paola Cantarutti (ingeniera electrnica)Sr. lvaro
Orellana (ingeniero civil electrnico)
Gracias a:Docente a cargo del proyecto, Orlando torre.Web master
de la pagina del colegio, JC Palma.
Seguir
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Fin!!!!!!