Poligoane Inscrise in Cerc

Patrulatere înscrise în cercPoligoane regulateDefiniţiiAplicaţiiConstrucţiiFormule

Eleva cl.XII-a A Balan Oxana

Un poligon este înscris într-un cerc dacă toate vârfurile poligonului se află pe circumferinţa cercului.

A

B

C

D

E M

N

P

Q

A, B, C, D, E puncte conciclice

Un poligon se numeşte inscriptibil într-un cerc, dacă există un cerc care trece prin fiecare vârf al său.

Orice triunghi este inscriptibil, centrul cercului circumscris fiind punctul de intersecţie al mediatoarelor.

Nu orice patrulater este inscriptibil !

Teoreme

Fie ABCD un patrulater oarecare înscris într-un cerc.

A

B

C

D

A, B, C, D vârfuri, puncte conciclice

AB, BC, CD, DA laturi, coarde ale cercului

Unghiurile patrulaterului sunt unghiuri înscrise în cerc, deci au ca măsură jumătate din măsura arcului subîntins.

ABCmDm

ADCmBm

2121

180360 DmBmABCmADCmTeoremă: Unghiurile opuse ale unui patrulater inscriptibil sunt suplementare.

Fie ABCD un patrulater oarecare înscris într-un cerc.

A

B

C

D Fie AC şi BD diagonalele patrulaterului.

DBCmDCmDACm 21

La fel se demonstrează următoarele congruenţe:

ACDABDACBADBBDCCAB

Teoremă: Într-un patrulater inscriptibil unghiul format de o latură şi o diagonală este congruent cu unghiul format de latura opusă şi cealaltă diagonală.

Teoreme reciproce

PATRULATERE PARTICULARE INSCRIPTIBILE ÎN CERC:

DreptunghiPătratTrapez isoscel

Paralelogramul, rombul, trapezul oarecare şi trapezul dreptunghic NU sunt inscriptibile!!

•Definiţii•Formule

Poligonul cu toate laturile şi toate unghiurile congruente se numeşte poligon regulat.

Triunghi regulat = triunghi echilateral

Patrulater regulat = pătrat

Poligon regulat cu şase laturi = hexagon regulat

Centrul poligonului regulat coincide cu centrul cercului circumscris/înscris

Triunghi echilateral: intersecţia mediatoarelor

Pătrat şi hexagon regulat: intersecţia diagonalelor

!!Dreptunghiul şi rombul NU sunt poligoane regulate!!

Distanţa de la centrul cercului de la laturile poligonului regulat se numeşte apotema poligonului.

Într-un poligon regulat cu „n” laturi avem relaţiile:

n

nun

1802

Perimetrul: lnlaturiuneilungimeanP

Aria: 2PApA

Măsura unghiurilor: