PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPada makalah ini dibahas empat contoh konstruksi fraktal klasik, yaitu himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, segitiga Pascal, dan kurva salju

KONSTRUKSI FRAKTAL DALAM MATEMATIKA KLASIK

Makalah

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Oleh:

Faida Fitria Fatma

NIM: 093114002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

2015

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii


iii


iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

Tuhan akan menyelesaikan bagiku! Ya Tuhan, kasih setia-Mu untuk selama-

lamanya; janganlah Kau tinggalkan perbuatan tangan-Mu. (Mazmur 138:8)

Percayakan pada Tuhan semua rencanamu, maka kau akan berhasil melaksanakannya.

(Amsal 16:3)

Karya ini saya persembahkan untuk:

Orang-orang terkasih: bapak Triyono, ibuk Fitantina, Rian dan Tiva

Orang-orang tersayang: Matematika 2009

Orang-orang terhebat: Keluarga besar Pakayumba


v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa makalah yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 21 Januari 2015

Penulis

Faida Fitria Fatma


vi

ABSTRAK

Topik yang dibahas pada makalah ini adalah konstruksi fraktal pada matematika klasik. Fraktal adalah bangun geometri yang terdiri dari banyak bagian, dan tiap bagian merupakan tiruan dalam ukuran yang sama besar atau lebih kecil dari bentuk asli keseluruhannya. Jadi fraktal dapat dikatakan sebagai bangun geometri yang serupa dengan dirinya sendiri pada semua ukuran skala pembesarannya. Sebelum istilah fraktal ini dicetuskan oleh Benoit Mandelbrot, bangun seperti ini disebut kurva monster. Sifat bangun fraktal yang membedakannya dengan bangun yang lain adalah kesebangunan diri, detail tak hingga, dan konstruksinya diperoleh dengan proses rekursif. Pada makalah ini dibahas empat contoh konstruksi fraktal klasik, yaitu himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, segitiga Pascal, dan kurva salju von Koch.

Himpunan Cantor, Segitiga Sierpinski, dan kurva salju von Koch merupakan contoh fraktal klasik yang setiap bagiannya merupakan pengulangan dari bangun semula. Konstruksinya mengulang proses sebelumnya. Sedangkan pada segitiga Pascal, fraktal akan nampak ketika diberikan warna pada sel-selnya sehingga akan terlihat keteraturan dan kesebangunan diri pada segitiga tersebut.


vii

ABSTRACT

The topic covered in this paper is the construction of fractals in classical mathematics. Fractal is a geometry object consisting of many parts and each part is a copy of the same or smaller size than the origin. Fractal is a geometry object which is similar to itself at all scales. Before the term fractal was coined by Benoit Mandelbrot, these objects were called monster curves. The properties that make it different from other geometry objects are self-similarity, infinitely detail structure, and recursive construction process. This paper discusses four examples of classical fractal construction, namely Cantor set, Sierpinski triangle, Pascal triangle, and Koch snowflake curve.

Cantor set, Sierpinski triangle and Koch curve are some examples of classical fractals whose parts are repetition of the origin. The construction repeats the previous process. On Pascal triangle, the fractal will be seen when every cell is colored such that the regularity and self-similarity of the triangle emerge.


viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Faida Fitria Fatma

NIM : 093114002

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah yang berjudul:

Konstruksi Fraktal dalam Matematika Klasik

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalihkan ke

dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data,

mendistribusikan secara terbatas, dan memublikasikan di internet atau media lain

untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan

royalti kepada saya selama tetap menyantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal : 21 Januari 2015

Yang menyatakan

Faida Fitria Fatma


ix

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang selalu

memberikan hikmat dan selalu menyertai penulis sehingga mampu menyelesaikan

Tugas Akhir ini dengan lancar. Tugas Akhir ini dimaksudkan untuk memenuhi salah

satu syarat dalam menyelesaikan pendidikan strata 1 (S1) dan memperoleh gelar

Sarjana Matematika pada Program Studi Matematika di Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta.

Penulis menyadari bahwa proses penulisan Tugas Akhir ini melibatkan

banyak pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan

terima kasih kepada:

1. Bapak Hartono, Ph.D, selaku Ketua Program Studi Matematika atas

dukungannya.

2. Ibu Lusia Krismiyati B., S.Si., M.Si., selaku Ketua Program Studi

Matematika dan Dosen Pembimbing Akademik tahun 2009 atas nasihat

dan dukungannya.

3. Prof. Dr. Frans Susilo, SJ, selaku dosen pembimbing yang telah sabar

dalam membimbing, memberikan pengetahuan dan saran kepada penulis

selama proses penulisan tugas akhir ini.

4. Bapak, Ibu, dan dosen-dosen yang telah memberikan pengetahuan,

didikan, bimbingan dan pendampingan selama proses perkuliahan.


x

5. Kedua orang tua dan adik-adikku yang senantiasa memberikan doa dan

dukungan.

6. Keluarga kedua di Sleman, Uti, Pakde Mardi, Bude Susil, Mas Ade, Mas

Aming yang selalu memberikan dukungan. Terima kasih.

7. Sahabat kesayangan (Matematika) : Nana, Ochie, Etik, Jojo, Sekar, Er,

Dimas, Dwik, terima kasih untuk kebersamaannya. Kalian luar biasa.

8. Claudius Hans sebagai sahabat, teman, motivator penulis dalam

menyelesaikan tugas akhir ini.

9. Sahabat terhebat (Pakayumba): Romo Fajar, Mas Hans, Winda, Mas

Deny, Intan, Ratih, Dimas, Mas Anggo, Hanna, Nico.

10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah terlibat

dalam proses penulisan tugas akhir ini.

Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dalam penulisan tugas akhir

ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran demi penyempurnaan

tugas akhir ini. Akhirnya, penulis berharap semoga tugas akhir ini dapat

bermanfaat bagi para pembaca.

Yogyakarata, 21 Januari 2015

Penulis


xi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ........................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN ....................................................................... iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ....................................................... v

ABSTRAK .................................................................................................... vi

ABSTRACT .................................................................................................. vii

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH........... viii

KATA PENGANTAR .................................................................................. ix

DAFTAR ISI ................................................................................................. xi

DAFTAR GAMBAR .................................................................................... xiii

BAB 1 PENDAHULUAN ............................................................................ 1

A. Latar Belakang Masalah ................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ............................................................................. 4

C. Batasan Masalah ............................................................................... 4

D. Tujuan Penulisan ............................................................................... 5

E. Manfaat Penulisan ............................................................................ 5

F. Metode Penulisan .............................................................................. 5

G. Sistematika Penulisan ....................................................................... 5

BAB II GEOMETRI FRAKTAL .................................................................. 7

A. Sejarah Geometri Fraktal .................................................................. 7


xii

B. Kongruensi dan Segitiga ................................................................... 10

C. Kesebangunan Diri ............................................................................ 21

BAB III FRAKTAL DALAM MATEMATIKA KLASIK .......................... 22

A. Himpunan Cantor .............................................................................. 22

1. Georg Cantor ............................................................................... 22

2. Konstruksi Himpunan Cantor ..................................................... 24

B. Segitiga Sierpinski ............................................................................ 28

1. Waclaw Sierpinski ...................................................................... 28

2. Konstruksi Segitiga Sierpinski .................................................... 29

C. Segitiga Pascal .................................................................................. 37

1. Blaise Pascal ............................................................................... 37

2. Segitiga Pascal ............................................................................ 38

D. Kurva Salju Koch .............................................................................. 43

1. Helge von Koch .......................................................................... 43

2. Konstruksi Kurva Koch .............................................................. 43

BAB IV KESIMPULAN .............................................................................. 47

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... 49


xiii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Daun Pakis ................................................................................ 9

Gambar 2.2 Dua segitiga kongruen (SAS) .................................................... 11

Gambar 2.3 Dua segitiga kongruen (ASA) ................................................... 12

Gambar 2.4 Dua segitiga kongruen (AAS) ................................................... 13

Gambar 2.5 Segitiga samakaki dengan sudut-sudut alas yang kongruen ..... 14

Gambar 2.6 Garis memotong segitiga (1) ..................................................... 15



Gambar 2.9 Kesebangunan dua segitiga (AAA) ........................................... 19

Gambar 2.10 Kesebangunan dua segitiga (SAS) .......................................... 20

Gambar 3.1 Georg Cantor ............................................................................. 22

Gambar 3.2 Interval [0,1] .............................................................................. 24

Gambar 3.3 Langkah kedua konstruksi himpunan Cantor ............................ 24

Gambar 3.4 Langkah ketiga konstruksi himpunan Cantor ............................ 25

Gambar 3.5 Konstruksi himpunan Cantor .................................................... 25

Gambar 3.6 Waclaw Sierpinski .................................................................... 28

Gambar 3.7 Segitiga Samasisi sebagai dasar ................................................ 30

Gambar 3.8 Langkah pertama konstruksi segitiga Sierpinski ....................... 30

Gambar 3.9 Langkah kedua konstruksi segitiga Sierpinski .......................... 32

Gambar 3.10 Langkah ketiga konstruksi segitiga Sierpinski ........................ 33


xiv

Gambar 3.11 Segitiga Sierpinski................................................................... 33

Gambar 3.12 Blaise Pascal ............................................................................ 37

Gambar 3.13 Segitiga Pascal ........................................................................ 39

Gambar 3.14 Segitiga Pascal dengan pewarnaan .......................................... 40

Gambar 3.15 Segitiga Pascal 32 baris dengan pewarnaan ............................ 40

Gambar 3.16 Segitiga Pascal dengan warna hitam untuk sel bilangan yang

habis dibagi 3 .......................................................................... 41

Gambar 3.17 Segitiga Pascal dengan warna hitam untuk sel bilangan yang

habis dibagi 9 .......................................................................... 42

Gambar 3.18 Helge von Koch ....................................................................... 43

Gambar 3.19 Initiator .................................................................................... 43

Gambar 3.20 Generator ................................................................................. 44

Gambar 3.21 Langkah ketiga konstruksi kurva Koch ................................... 44

Gambar 3.22 Kurva Koch ............................................................................. 45


BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Fraktal merupakan seni dalam dunia matematika. Konsep-konsep

umum fraktal terdiri atas kesebangunan diri (self-similar) dan dimensi tak

bulat. Konsep tersebut terdapat di alam, galaksi, pemandangan, gempa bumi,

polimer, dan molekul. Fraktal nampak juga pada tubuh manusia, seperti

jantung dan sistem pembuluh darah.

Fraktal dapat dihasilkan dengan pengulangan pola. Pengulangan pola-

pola tersebut menyebabkan fraktal memiliki detail yang tak hingga. Geometri

fraktal mampu mendefinisikan pola-pola yang tak hingga banyaknya. Secara

geometri fraktal juga dapat digunakan untuk menganalisa fenomena ritmik

pada melodi musik, detak jantung dan rangkaian DNA.

Bentuk-bentuk yang bersifat fraktal dalam dunia matematika telah

lama ditemukan sebelum istilah fraktal dicetuskan oleh Benoit Mandelbrot

dalam bukunya berjudul The Fractal Geometry of Nature. Sebelumnya benda-

benda yang tidak utuh atau bersifat fraktal disebut kurva monster. Istilah

fraktal berasal dari kata fractus yang berarti tidak utuh. Benoit Mandelbrot

disebut juga bapak geometri fraktal.


2

Georg Cantor (1872), Giuseppe Peano (1890), David Hilbert (1891),

Helge Von Koch (1904), Waclaw Sierpinski (1916), Gaston Julia (1918), dan

Felix Hausdorff (1919) adalah para matematikawan yang berjasa

memperkenalkan himpunan-himpunan yang bersifat fraktal. Merekalah yang

lebih dahulu meneliti himpunan-himpunan yang bersifat fraktal tersebut

sebelum Benoit Mandelbrot.

Himpunan Cantor diperkenalkan oleh matematikawan Jerman

bernama Georg Cantor (1845-1919) pada tahun 1872. Dia dianggap sebagai

bapak teori himpunan, karena dialah yang pertama kali mengembangkan

cabang matematika ini dan menjadikan teori himpunan sebagai teori yang

fundamental dalam matematika. Himpunan Cantor dikonstruksikan sebagai

bentuk di mana selang terbuka yang pendek dan semakin pendek tersebar

pada selang [0,1], menyisakan himpunan yang mungkin serupa dengan

dirinya dan mungkin mempunyai suatu dimensi s yang memenuhi 0 1. Untuk mendeskripsikan himpunan Cantor dimulai dengan interval

[0,1]. Kemudian bagi interval menjadi 3 bagian yang sama panjang yaitu 13,

dan diambil bagian tengahnya. Diperoleh interval 0, 13 dan , 1 . Ulangi

langkah tersebut hingga diperoleh interval 29 ,13 ,

23 ,

79 ,

89 , 1 ,….

Segitiga Sierpinski adalah fraktal klasik yang lebih muda 40 tahun dari

himpunan Cantor. Segitiga Sierpinski diperkenalkan oleh Waclaw Sierpinski

(1882-1969) pada tahun 1916. Konstruksi geometri yang mendasar dari


3

segitiga Sierpinski dimulai dengan membuat segitiga samasisi. Membagi

segitiga samasisi tersebut menjadi empat segitiga yang sebangun dengan

segitiga awalnya. Bagian tengah segitiga yang sebangun tersebut diambil.

Demikian langkah tersebut diulangi untuk segitiga sebangun yang lainnya.

Dengan satu segitiga samasisi sebagai dasar, kita dapat membuat 3, 9,

27, 81,… segitiga samasisi yang sebangun dengan skala yang semakin kecil.

Jika mengamati hasil segitiga di atas, maka diperoleh 31, 32, 33, 34,… . Jadi seandainya kita membuat segitiga sierpinski dengan n langkah maka jumlah

segitiga yang diperoleh adalah 3 ,dengan 1,2,3,4,… . Segtiga Pascal dikenalkan oleh Blaise Pascal (1623-1662). Dia adalah

matematikawan dan ilmuwan berasal dari Perancis. Segitiga Pascal dimulai

dengan bilangan 1. Kemudian untuk membangun baris selanjutnya, jumlahkan

bilangan di atas kiri dengan bilangan di atas kanan untuk menemukan

bilangan baru. Jika bilangan di atas kanan atau kiri tidak ada, maka bilangan

tersebut dijumlahkan dengan nol.

Aturan seperti ini dapat dinyatakan sebagai berikut :

,!

! !

dengan , adalah koefisien suku ke- 1 dari binomial (k berjalan dari 0 sampai n) dan n adalah baris dari segitiga Pascal.


4

Kurva salju von Koch diperkenalkan oleh Helge von Koch. Dia

seorang matematikawan dari Swedia. Kurva salju Koch dibentuk dengan

membuat penambahan secara terus menerus bentuk yang sama sebuah segitiga

samasisi. Penambahan dilakukan dengan membagi sisi segitiga menjadi tiga

sama panjang dan membuat segitiga samasisi baru pada tengah-tengah setiap

sisi. Kemudian langkah tersebut diulangi untuk setiap penggal sisi pada kurva

tersebut.

Setiap segitiga baru yang terbentuk terlihat persis dengan segitiga

sama yang awal. Secara teoritis proses tersebut akan menghasilkan sebuah

gambar yang luasnya berhingga, yang terdiri atas tak berhingga titik.

B. Rumusan Masalah

1. Apa ciri-ciri bangun fraktal?

2. Bagaimana konstruksi bangun fraktal?

C. Batasan Masalah

Dalam penulisan ini hanya akan dibahas mengenai konstruksi empat

bangun fraktal dalam matematika klasik, yaitu himpunan Cantor, segitiga

Sierpinski, segitiga Pascal dan kurva salju Koch.


5

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan ini yaitu mempelajari fraktal khususnya fraktal

dalam matematika klasik.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah

memperoleh pengetahuan tentang fraktal dalam matematika klasik.

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu

dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan fraktal dalam

matematika klasik.

G. SISTEMATIKA PENULISAN

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan


6

BAB II GEOMETRI FRAKTAL

A. Sejarah Geometri Fraktal

B. Kongruensi dan Kesebangunan Segitiga

C. Kesebangunan Diri

BAB III FRAKTAL DALAM MATEMATIKA KLASIK

A. Himpunan Cantor

B. Segitiga Sierpinski

C. Segitiga Pascal

D. Kurva Salju Koch

BAB IV KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA


7

BAB II

GEOMETRI FRAKTAL

A. Sejarah Geometri Fraktal

Geometri Euclides atau sering disebut geometri klasik sampai saat ini

masih kita pelajari. Dalam berbagai hal, geometri masih digunakan sebagai

dasar yang penting, misalnya di bidang rancang bangun seperti mesin,

gedung-gedung, dan sebagainya. Ilmu geometri didasarkan pada keteraturan

garis-garis yang geometris. Hal inilah yang mengakibatkan orang-orang

menganggap geometri sebagai ilmu yang kaku, kurang berandil besar dalam

dalam menciptakan seni yang indah.

Dalam geometri kita mengenal garis, segitiga, kerucut, bola, lingkaran

dan masih banyak bangun yang lainnya. Dari hal tersebut kita dapat melihat

keterbatasan geometri klasik dalam menggambarkan sebuah bangun alam.

Gunung tidak bisa digambarkan dengan sebuah kerucut, garis pantai dengan

sebuah garis lurus dan awan sebagai garis lengkung. Meskipun ada banyak

keterbatasan, namun geometri klasik mempunyai peranan yang penting dalam

menyajikan objek alam meskipun dapat dikatakan kurang sempurna.

Salah satu cabang ilmu geometri yang dapat kita pelajari saat ini

adalah geometri fraktal. Fraktal berasal dari kata Latin, yaitu kata sifat fractus

dan kata kerja frangere. Frangere berarti memecah, fraktus berati pecah.


8

Menurut Mandelbrot, fraktal adalah bangun geometri yang terdiri dari

banyak bagian, dan tiap bagian merupakan tiruan dalam ukuran yang sama

besar atau lebih kecil dari bentuk asli keseluruhannya. Jadi fraktal dapat

dikatakan sebagai bangun geometri yang serupa dengan dirinya sendiri pada

semua ukuran skala pembesarannya.

Sebelum Mandelbrot menciptakan istilah fraktal tersebut, beberapa

matematikawan seperti Sierpinski, Koch, dan matematikawan yang lainnya

telah melakukan penelitian tentang fraktal ini. Mandelbrot mempublikasikan

penemuan-penemuan tersebut, dalam bukunya yang berjudul "The Fractal

Geometri of Nature". Mandelbrot mengungkapkan: “Clouds are not spheres,

mountains are not cones, coastlines are not circle and bark is not smooth, nor

does lightning travel in a straight line” (Mandelbrot, 1983: 1). Dari kutipan di

atas Mandelbrot bermaksud mempertegas bahwa geometri klasik kurang

sempurna untuk menyajikan objek-objek alam.

Bangun fraktal mempunyai sifat-sifat dasar yang membedakannya

dengan bangun geometri pada umumnya yaitu:

Kesebangunan diri (self-similarity), yaitu suatu bangun fraktal terdiri

dari banyak tiruan yang sama dengan bangun itu sendiri, dengan

ukuran lebih kecil dari bentuk aslinya.

Detail takhingga (infinite detail), yaitu semakin bangun fraktal

diperbesar akan didapatkan bangun yang lebih mendetail. Detail dari


9

bangun itu tidak terlihat langsung tetapi akan muncul secara bertahap

ketika bangun fraktal itu dilihat semakin dekat dengan pembesaran.

Fraktal juga diperoleh dengan proses rekursif, yaitu konstruksi yang

terdiri dari pengulangan proses sebelumnya.

Gambar 2.1 Daun Pakis

Daun pakis merupakan contoh fraktal klasik yang tersedia di alam.

Pada Gambar 2.1 dengan pembesaran terlihat detail-detail tambahan yang

bentuknya serupa dengan bentuk bangun pada gambar. Jika gambar semakin

diperbesar, maka detail-detail baru akan muncul.


10

B. Kongruensi dan Kesebangunan Segitiga

Definisi 2.1. Dua buah ruas garis dikatakan kongruen jika keduanya

mempunyai panjang yang sama.

Definisi 2.2. Dua buah sudut dikatakan kongruen jika kedua sudut itu

mempunyai ukuran besar sudut yang sama.

Definisi 2.3. Dua segitiga dikatakan kongruen jika terdapat suatu cara untuk

memasangkan titik-titik sudut segitiga yang satu ke titik-titik sudut segitiga

yang lain sedemikian sehingga sisi-sisi yang bersesuaian kongruen.

Jika segitiga kongruen terhadap segitiga , maka digunakan

notasi Δ ≅ Δ . Kita juga menggunakan simbol ≅ untuk menotasikan kongruensi secara umum untuk ruas garis, sudut, dan segitiga. Jadi Δ ≅ΔXYZ jika dan hanya jika ≅ , ≅ , ≅ dan akibatnya ∠ ≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ . Panjang ruas garis ditulis , dan besar ∠ ditulis ∠ . Teorema 2.1. (SAS: Side-Angle-Side) Jika antara dua segitiga terdapat

korespondensi sedemikian sehingga dua sisi dan sudut antara kedua sisi

tersebut dari segitiga yang satu kongruen dengan dua sisi dan sudut antara

kedua sisi dari segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen.


11

Bukti :

Gambar 2.2 Dua segitiga kongruen (SAS)

Misal diberikan dua buah segitiga, yaitu ∆ dan∆ . Dan diketahui bahwa , dan sudut antara dua sisi tersebut, yaitu ∠ dan∠ besarnya sama. Karena sisi-sisi segitiga tersebut merupakan ruas garis, maka sisi yang terletak di depan sudut ∠ dan∠ , yaitu

dan mempunyai panjang yang sama. Karena , , dan , maka menurut definisi kedua segitiga tersebut kongruen.∎

Teorema 2.2. (ASA: Angle-Side-Angle) Jika antara dua segitiga terdapat

korespondensi dimana dua sudut dan sisi antara kedua sudut itu dari satu

segitiga kongruen dengan dua sudut dan sisi antara kedua sudut dari segitiga

yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen.


12

Bukti :

Gambar 2.3 Dua segitiga kongruen (ASA)

Misalkan diberikan dua segitiga yaitu ∆ dan∆ , dan diketahui ∠ ≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ dan ≅ . Karena sisi-sisi tersebut merupakan ruas garis, maka sisi yang terletak di depan sudut

∠ dan∠ , yaitu dan mempunyai panjang yang sama. Dengan menggunakan Teorema 2.1 maka kedua segitiga tersebut kongruen.∎ Teorema 2.3. (AAS: Angle-Angle-Side) Jika antara dua segitiga terdapat

korespondensi dimana dua sudut dan satu sisi yang terletak di depan salah

satu sudut itu adalah kongruen dengan dua sudut dan sisi yang berada di

depan salah satu sudut itu dari segitiga yang lain, maka kedua segitiga

tersebut kongruen.


13

Bukti :

Gambar 2.4 Dua segitiga kongruen (AAS)

Misalkan diberikan dua segitiga yaitu ∆ dan ∆ dan diketahui ∠ ≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ ,dan ≅ . Karena ∠ ≅∠ , ∠ ≅ ∠ maka ∠ 180° ∠ ∠ ,180°∠ ∠ ∠ . Dengan menggunakan Teorema 2.2 maka

kedua segitga tersebut kongruen. ∎

Definisi 2.4. Segitiga samakaki adalah segitiga yang mempunyai dua sisi yang

kongruen.

Dua sisi yang kongruen itu disebut kaki dari segitiga dan sisi yang

ketiga disebut alas. Sudut-sudut alas dari segitiga samakaki adalah sudut-

sudut yang mempunyai alas sebagai sisi yang sama.

Teorema 2.4. Dalam segitiga samakaki, kedua sudut alas adalah kongruen.


14

Bukti :

A

B

CD

Gambar 2.5 Segitiga samakaki dengan sudut-sudut alas yang kongruen

Misalkan segitiga mempunyai dua sisi, yaitu dan yang kongruen, dan misalkan adalah garis bagi ∠ . Maka ≅ karena ≅ , ≅ dan ∠ ≅ ∠ . Jadi ∠ ≅ ∠ .∎ Definisi 2.5. Dua segitiga dikatakan sebangun jika terdapat suatu cara untuk

memasangkan titik-titik sudut segitiga yang satu dengan titik-titik sudut

segitiga yang lain sedemikian sehingga sisi-sisi yang bersesuaian sebanding

dan sudut-sudut yang bersesuaian kongruen.

Jika Δ sebangun dengan Δ , kita notasikan dengan Δ ∼

Δ . Maka Δ ∼ Δ jika dan hanya jika = = dan ∠ ≅ ,∠ ≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ .


15

Teorema 2.5. Misalkan terdapat sebuah garis yang sejajar dengan salah satu

sisi suatu segitiga dan memotong dua sisi yang lain pada dua titik yang

berbeda. Maka garis tersebut membagi sisi-sisi yang dipotongnya menjadi

ruas-ruas garis yang sebanding.

Bukti :

Gambar 2.6 Garis memotong segitiga (1)

Misalkan garis sejajar dengan pada ∆ , dan andaikan memotong sisi dan berturut-turut di titik dan . Garis tegak lurus

dari titik ke memotong di titik . Maka

∆ ∆

1212

.

Garis tegak lurus dari ke memotong di titik . Maka

∆ ∆

1212

.


16

Segitiga dan Segitiga mempunyai alas berserikat dan tinggi

yang sama, sehingga kedua segitiga tersebut mempunyai luas yang sama,

sehingga

∆ ∆

∆ ∆


Maka

.∎

Korolari 2.6. Diberikan asumsi dari Teorema 2.5 maka

Bukti :

Karena dan , maka kita mempunyai


17

1 1 .∎

Aksioma Playfair: Jika diberikan sebuah garis dan suatu titik yang tidak

terletak pada garis itu, maka terdapat tepat satu garis yang melalui titik itu dan

sejajar dengan garis tersebut.

Teorema 2.7. Jika sebuah garis memotong dua sisi sebuah segitiga

sedemikian sehingga ruas garis yang terpotong oleh garis itu sebanding

dengan sisi yang asli dari segitiga tersebut, maka garis itu sejajar dengan sisi

yang ketiga dari segitiga tersebut.

Bukti :

Misalkan garis memotong sisi dan dari ∆ berturut-turut di titik dan , dan

.



18

Dengan aksioma Playfair terdapat tunggal garis yang melalui dan

sejajar dengan . Karena sejajar dengan dan memotong di sisi , maka garis tersebut juga memotong sisi , misalnya di titik . Dengan

Korolari 2.6 maka

Maka

sehingga . Hal ini berarti bahwa titik dan berimpit dangaris dan juga berimpit. Jadi sejajar dengan . ∎

Teorema 2.8. (Syarat Kesebangunan AAA). Jika antara dua segitiga terdapat

korespondensi sedemikian sehingga ketiga sudut dari segitiga yang satu

kongruen dengan ketiga sudut segitiga yang lainnya, maka kedua segitiga

tersebut sebangun.


19

Bukti :

A

B C

D

E F

G H

Gambar 2.9 Kesebangunan dua segitiga (AAA)

Misalkan ∆ dan∆ adalah dua segitiga dengan sudut , ,dan berturut-turut kongruen dengan dengan sudut , , dan . Jika sisi dan kongruen, maka kedua segitiga itu kongruen dan juga sebangun.

Jika dan tidak kongruen, misalkan lebih panjang dari . Terdapat titik diantara dan sedemikian sehingga ≅ , dan titik di antara D dan F sedemikian sehingga ≅ . Karena ∠ ≅ ∠ ,

maka dengan SAS ∆ ≅ ∆ , sehingga ∠ ≅ ∠ . Karena ∠ ≅ ∠ , maka ∠ ≅ ∠ , sehingga sejajar . Dengan

Korolari 2.6 kita mendapatkan = . Karena ≅ dan ≅ ,


20

kita mendapatkan = . Dengan cara yang sama dapat diperoleh =

. Jadi kedua segitiga itu sebangun. ∎ Teorema 2.9. (Syarat Kesebangunan SAS) Jika antara dua segitiga terdapat

korespondensi sedemikian sehingga dua sisi dari satu segitiga sebanding

dengan dua sisi segitiga yang lain dan sudut antara dua sisi tersebut kongruen,

maka kedua segitiga tersebut sebangun.

Bukti :

Gambar 2.10 Kesebangunan dua segitiga (SAS)

Misalkan ∆ dan ∆ adalah dua segitiga dengan = dan

∠ ≅ ∠ . Jika dan kongruen dengan dua sisi yang bersesuaian

dari ∆ , maka kedua segitiga tersebut kongruen, jadi juga sebangun. Misalkan dan lebih panjang daripada dua sisi yang bersesuaian dari


21

∆ . Pada dan terdapat titik dan sedemikian sehingga dan . Karena , dan ∠ ≅ ∠ , maka

∆ ≅ ∆ . Karena , , dan diketahui =

maka = , jadi menurut teorema 2.7 dan sejajar. Jadi ∠ ≅

∠ dan∠ ≅ ∠ , sehingga ∠ ≅ ∠ , ∠ ≅ ∠ dan diketahui ∠ ≅ ∠ . Dengan menggunakan Teorema 2.8, ∆ dan ∆ tersebut sebangun. ∎

C. Kesebangunan Diri

Suatu bangun disebut sebangun diri (self-similar) jika suatu bagian

dari bangun itu, apabila diperbesar dengan suatu faktor 0, adalah identik dengan bangun itu sendiri.

Definisi 2.6. Transformasi kesebangunan , dengan faktor 0, adalah pemetaan bijektif dari ke sedemikian sehingga

| | | | untuk setiap , ∈ , dengan |. | adalah norma Euclides pada .


22

BAB III

FRAKTAL DALAM MATEMATIKA KLASIK

A. Himpunan Cantor

1. Georg Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philipp

Cantor lahir pada tahun 1845 dan

merupakan anak tertua dari enam

besaudara. Keluarganya bertempat

tinggal di Saint Petersburg, Rusia. Pada

tahun 1856, ketika Georg Cantor berusia

11 tahun, ayahnya sakit dan

keluarganya pindah ke Wiesbaden,

Jerman.

Kemudian ia belajar di Realschule di Darmstadt (dekat

Frankfurt), Jerman. Dia lulus pada tahun 1860 dengan ketrampilan

khusus dalam matematika yaitu trigonometri.

Dengan persetujuan ayahnya, ia masuk Politeknik Zurich pada

tahun 1862. Karena kematian ayahnya pada bulan Juni tahun 1863,

Georg Cantor pindah ke Universitas Berlin. Ketika di sana, Georg

Gambar 3.1 Georg Cantor


23

Cantor memiliki beberapa dosen terkenal seperti Kronecker dan Karl

Weierstrass. Georg Cantor bukanlah seorang yang pendiam, selama

belajar di Berlin ia banyak bergaul dengan matematikawan lainnya.

Georg menghabiskan musim panas tahun 1866 di Universitas

Göttingen, pusat matematika Eropa. Pada tahun 1867, ia menerima

gelar Doktor dari Universitas Berlin dengan disertasi tentang Teori

Himpunan.

Georg Cantor memplubikasikan artikel tentang teori bilangan

antara tahun 1867 sampai dengan tahun 1871. Pada tahun 1868, dia

bergabung dengan Seminar Schellbach sebagai guru matematika. Dan

pada tahun 1869, dia diangkat sebagai pengajar di Universitas Halle.

Pada tahun itu juga Georg Cantor mendapatkan penghargaan untuk

disertasinya tentang Teori Himpunan.

Pada tahun 1915, Philip Jourdain menerbitkan terjemahan

makalah Georg Cantor dalam bahasa Inggris. Georg Cantor meninggal

dunia pada tanggal 6 Januari 1918 di sanatorium dimana ia

menghabiskan masa hidupnya.


24

2. Konstruksi Himpunan Cantor

Konstruksi himpunan Cantor dimulai dengan interval 0,1 . Interval tersebut dibagi menjadi tiga bagian yang sama panjang

sehingga setiap bagian mempunyai panjang 13.

Gambar 3.2 Interval 0,1

Hilangkan bagian tengah dari ketiga interval pada 0,1 itu,

sehingga tinggal interval 0, dan , 1 dengan panjang 13 untuk

setiap interval.

31

32

Gambar 3.3 Langkah kedua konstruksi himpunan Cantor

Ulangi langkah di atas untuk interval yang tersisa, yaitu 0, dan

, 1 . Interval-interval tersebut dibagi menjadi tiga bagian yang sama

panjang. Dengan menghilangkan bagian tengah dari dua interval yang

tersisa, maka interval-interval yang tersisa masing-masing mempunyai

panjang 19.


25

091

92

93

96

97

98 1

Gambar 3.4 Langkah ketiga konstruksi himpunan Cantor

Lanjutkan langkah tersebut, sehingga diperoleh himpunan Cantor

seperti ini

s0

s 1

s j

S 2

Gambar 3.5 Konstruksi Himpunan Cantor

. HimpunanCantoradalahhimpunan .

Teorema 3.1. Himpunan Cantor mempunyai panjang nol.


26

Bukti :

Dalam konstruksi 1, kita mengambil dari satu satuan interval

dengan panjang 3 1. Dalam konstruksi 2, kita mengambil dua interval dengan panjang 3 2. Dan dalam konstruksi , kita

mengambil 2 1 interval dengan panjang 3 . Maka total panjang interval yang diambil dari unit interval adalah

2 1. 3∞

1.

22 .

13

12 .23

12 .

23

12

23

1223

23

1323

13

23


27

13

11 23

13

113

1.

Jadi panjang himpunan Cantor yang adalah 1 1 0.∎

Konstruksi himpunan Cantor dimulai dari interval

tertutup 0 0,1 , yang dibagi menjadi tiga bagian yang sama

panjang. Kemudian sepertiga-tengah 13 ,23 dihapus, sehingga

diperoleh 1 0, 13 ∪23 , 1 . Setiap interval pada 1dibagi menjadi

tiga bagian yang sama panjang dan dihilangkan bagian tengahnya,

sehingga diperoleh 2 0, 19 ∪29 ,

39 ∪

69 ,

79 ∪

89 ,

99 . Himpunan yang

berikutnya diperoleh dengan membagi tiga interval yang tersisa dan

menghilangkan ruas garis yang berada di tengah. Proses tersebut

diulang terus sehingga menghasilkan proses rekursif dan himpunan

Cantor adalah himpunan titik titik yang tersisa pada interval [0,1]

setelah dilakukan tak hingga banyak proses.


28

B. Segitiga Sierpinski

1. Waclaw Sierpinski

Waclaw Sierpinski Franciszek

lahir pada tanggal 14 Maret 1882 di

Warsawa, Polandia. Pada saat dia

bersekolah, bakat matematikanya sudah

dilihat oleh gurunya. Masa ini adalah

masa-masa yang sulit untuk Waclaw

Sierpinski karena pada waktu itu sedang

terjadi pendudukan Rusia di Polandia.

Meskipun berada dalam kesulitan, Waclaw Sierpinski mampu

menyelesaikan studinya.

Waclaw Sierpinski kemudian masuk ke jurusan Matematika dan

Fisika di Universitas Warsawa. Pada saat belajar di Universitas

Warsawa tersebut, dia berhasil mendapatkan medali emas karena

memenangkan lomba karya tulis yang diadakan Universitas tersebut.

Selesai belajar di Universitas Warsawa, ia menjadi dosen di

almamaternya itu dan mengampu mata kuliah dalam bidang matematika

dan fisika. Kemudian ia mengejar gelar doktor dari Universitas

Gambar 3.6 Waclaw Sierpinski


29

Jagiellonian di Krakow sambil belajar astronomi dan filsafat. Ia

menerima gelar doktor pada tahun 1908.

Setelah Perang Dunia I, Waclaw Sierpinski kembali ke

Universitas Warsawa dan menghabiskan sisa karirnya di sana. Waclaw

Sierpinski belajar Teori Himpunan dan tahun 1909 dia memberikan

kuliah pertama tentang teori itu.

Waclaw Sierpinski memiliki sejumlah prestasi dalam karirnya.

Dia menerima gelar doktor Honoris Causa dari sepuluh universitas,

terpilih sebagai wakil presiden Akademi Ilmu Pengetahuan Polandia. Ia

berhasil menerbitkan lebih dari 700 makalah dan 50 buku. Dia pensiun

dari Universitas Warsawa pada tahun 1960 dan meninggal dunia pada

tanggal 14 Mei 1969.

2. Konstruksi Segitiga Sierpinski

Langkah yang paling umum untuk membuat segitiga Sierpinski

diawali dengan membuat suatu segitiga sama sisi, misalkan ∆ .


30

Gambar 3.7 Segitiga samasisi sebagai dasar

Misalkan , ,dan adalah titik-titik tengah dari sisi ,dan berturut-turut. Ketiga titik tersebut dihubungkan sehingga

diperoleh ∆ dan segitiga tersebut kita hilangkan.

A B

C

L N

M

Gambar 3.8 Langkah pertama konstruksi segitiga Sierpinski


31

Akan dibuktikan bahwa ∆ ≅ ∆ ≅ ∆ ≅∆ ~∆ .

Untuk ∆ ≅ ∆ . Diketahui bahwa ≅ karena adalah titik tengah . Karena ∆ merupakan segitiga samasisi, maka ∠ ∠ dan ≅ karena dan merupakan titik tengah dan . Dengan menggunakan maka terbukti bahwa ∆ ≅ ∆ .

Untuk ∆ ≅ ∆ . Diketahui ≅ karena merupakan titik tengah . Karena ∆ merupakan segitiga samasisi maka ∠ ∠ dan ≅ karena dan titik tengah dan .

Dengan menggunakan , terbukti bahwa ∆ ≅ ∆ . Akan dibuktikan bahwa ∆ ≅ ∆ . Sisi ≅ karena

berimpit. Titik dan merupakan titik tengah dan , sehingga sejajar . Karena sejajar , maka ∠ ≅ ∠ .

Titik dan merupakan titik tengah dan sehingga sejajar . Karena sejajar , maka ∠ ≅ ∠ .

Dengan menggunakan terbukti bahwa kedua segitiga tersebut

kongruen.


32

Akan dibuktikan ∆ ~∆ . Diketahui bahwa ∠

∠ dan sejajar . Karena sejajar , maka .

Jadi terbukti kedua segitiga tersebut sebangun.

Gambar 3.9 Langkah kedua konstruksi segitiga Sierpinski

Kita ulangi proses tersebut untuk ketiga sub-segitiga yang

tersisa, sehingga masing-masing memiliki lubang di tengah.


33

Gambar 3.10 Langkah ketiga konstruksi segitiga Sierpinski

Kita dapat membuat gambar kesebangunan diri dari segitiga

tersebut dengan melanjutkan proses pengambilan segitiga yang berada

di tengah untuk sub-segitiga yang selanjutnya.

Gambar 3.11 Segitiga Sierpinski


34

Kita akan menghitung luas daerah bangun terakhir.

Teorema 3.2 Segitiga Sierpinski mempunyai luas daerah nol.

Bukti :

Pada langkah ke nol kita memiliki sebuah segitiga, yaitu ∆ . Pada langkah pertama kita mengambil bagian tengah dari segitiga itu

sehingga tersisa tiga segitiga. Pada langkah kedua kita mengambil

bagian tengah segitiga-segitiga yang tersisa pada bagian pertama, dan

langkah tersebut kita ulangi terus sehingga diperoleh bangun terakhir

dari segitiga Sierpinski.

Kita asumsikan luas ∆ adalah 1. Pada langkah yang pertama luas daerah bangun yang tersisa adalah

1 1 14

karena keempat sub-segitiga adalah kongruen sehingga luas masing-

masing sub-segitiga adalah 14luas segitiga semula.

Pada langkah kedua kita mengambil tiga segitiga yang berada di

tengah sub-segitiga-sub-segitiga pada langkah pertama dan setiap sub-

segitiga pada langkah ini mempunyai luas daerah 116. Jadi


35

2 1 14316.

Pada langkah ketiga kita menghilangkan sembilan sub-segitiga

dan setiap sub-segitiga pada langkah ini mempunyai luas daerah 164.

Maka

3 1 14316

964.

Dengan melihat pola di atas kita dapat menghitung luas daerah

pada langkah ke- ,

1 1434

jika → ∞maka 34 akanmenjadisebuahderetgeometri

sukuawal 1dan rasio , sehingga

lim→∞ 114

11 34

0.∎

Dengan satu segitiga samasisi sebagai dasar, kita dapat membuat

3, 9, 27, 81,… segitiga samasisi yang sebangun dengan skala yang

semakin kecil. Jika mengamati hasil segitiga di atas, maka diperoleh


36

31, 32, 33, 34,… buah segitiga. Jadi seandainya kita membuat segitiga Sierpinski dengan n langkah maka jumlah segitiga yang diperoleh

adalah 3 ,dengan n 1,2,3,4, … . Konstruksi segitiga Sierpinski dimulai dengan membuat segitiga

samasisi. Tiap sisi segitiga dicari titik tengahnya dan tiap titik tengah

dihubungkan, sehingga empat segitiga samasisi yang kongruen

kemudian segitiga tengah dihilangkan. Tersisa tiga segitiga samasisi

yang sebangun dengan segitiga semula. Segitiga-segitiga ini merupakan

contoh kesebangunan diri dari segitiga Sierpinski. Proses ini diulang-

ulang untuk setiap segitiga yang tersisa. Dari proses tersebut akan

terbentuk sebuah proses rekursif.


37

C. Segitiga Pascal

1. Blaise Pascal

Blaise Pascal adalah penemu

kalkulator. Dia berhasil membuat

kalkulator numerik yang merupakan

cikalbakal kalkulator modern yang kita

gunakan. Blaise Pascal lahir di Clermont-

Ferrand, Perancis, pada tanggal 19 Juni

1623, dan meninggal dunia pada tanggal

19 Agustus 1662. Ia adalah putera dari

Etienne Pascal dan Antoinette Begon.

Pada usia 3 tahun ibunya meninggal dunia, meninggalkan Blaise Pascal

dan dua saudaranya, Gilberte dan Jacqueline.

Blaise Pascal adalah seorang penemu, penulis, filsuf,

matematikawan, dan fisikawan. Ia adalah seorang child prodigy yaitu

anak yang mempunyai kemampuan berpikir atau kepandaian yang setara

dengan orang dewasa. Karena Etiene Pascal melihat kecenderungan

anaknya tersebut, maka beliau bermaksud mendidik anaknya sendiri

dibantu dengan seorang guru pribadi.

Blaise Pascal tidak pernah belajar di sekolah, namun ia mampu

menguasai ilmu-ilmu tersebut. Sejak Blaise Pascal berusia 12 tahun,

Gambar 3.12 Blaise Pascal


38

ayahnya sering mengajaknya untuk mengikuti acara diskusi matematika.

Dan pada usia 13 tahun ia menemukan rumus segitiga Pascal. Ayahnya

sering mengikutkan Pascal pada diskusi matematika di Paris bersama

dengan matematikawan dan ilmuwan besar seperti Descartes, Fermat,

Desargues, Mydorge, Gassendi dan Roberval. Tokoh-tokoh tersebut

biasanya berkumpul di biara Pere Mersenne, seorang teolog, filsuf,

matematikawan dan ahli musik.

Karya pertama Blaise Pascal tentang matematika ia kirimkan

kepada Pere Mersenne di Paris. Sampai saat ini teorema tersebut kita

kenal dengan Teorema Pascal. Teorema tersebut menyatakan bahwa bila

ada segi enam berada dalam lingkaran atau kerucut, maka titik potong

tiga sisi yang berlawanan akan terletak pada satu garis, yang disebut garis

Pascal.

Ketika disampaikan di forum diskusi, Descartes tidak percaya

bahwa teorema tersebut ditulis oleh Blaise Pascal yang saat itu berusia 16

tahun. Dan Pere Mersenne menyakinkan bahwa karya tersebut memang

karya Blaise Pascal.

2. Segitiga Pascal

Segitiga Pascal dimulai dengan bilangan 1. Kemudian untuk

membangun baris selanjutnya, jumlahkan bilangan di atas kiri dengan

bilangan di atas kanan untuk menemukan bilangan baru. Jika bilangan di


39

atas kanan atau kiri tidak ada, maka bilangan tersebut dijumlahkan dengan

nol.

Aturan seperti ini dapat dinyatakan sebagai berikut :

, !

! !

dengan , adalah koefisien suku ke- 1 dari binomial (k berjalan dari 0 sampai n) dan n adalah baris dari segitiga Pascal.

Gambar 3.13 Segitiga Pascal

Untuk memperlihatkan bahwa segitiga Pascal merupakan salah

satu contoh fraktal klasik, dilakukan pewarnaan pada segitiga Pascal

tersebut. Misalkan sel bilangan ganjil diberi warna hitam dan sel bilangan

genap diberi warna putih, seperti terlihat pada gambar 3.11.


40

Gambar 3.14 Segitiga Pascal dengan pewarnaan

Gambar 3.15 Segitiga Pascal 32 baris dengan pewarnaan


41

Gambar 3.16 Segitiga Pascal dengan warna hitam untuk sel bilangan yang habis dibagi 3


42

Gambar 3.17 Segitiga Pascal dengan warna hitam untuk sel bilangan yang habis dibagi 9

Pada gambar 3.12 nampak bahwa segitiga Pascal dengan warna

hitam untuk sel bilangan ganjil dan warna putih untuk sel bilangan genap

menyerupai segitiga Sierpinski. Pola-pola yang lain juga memiliki

keindahan, keteraturan dan kesebangunan diri yang menggambarkan

syarat bangun fraktal.


43

D. Kurva Salju Koch

1. Helge von Koch

Niels Fabian Helge von Koch

merupakan matematikawan Swedia

yang lahir pada 25 Januari 1870. Helge

von Koch pernah belajar di Universitas

Stockholm pada tahun 1887 dan di

Universitas Uppsala. Dia menerima

gelar Doktor di universitas tersebut

pada tahun 1892. Ia diangkat menjadi

guru besar matematika di Royal Institute of Technology.

2. Konstruksi Kurva Koch

Konstruksi sederhana dari kurva Koch dimulai dengan sebuah

ruas garis yang disebut initiator.

Gambar 3.19 Initiator

Gambar 3.18 Helge von Koch


44

Bagian initiator dibagi menjadi 3 bagian. Kemudian pada bagian

yang terletak di tengah kita ganti dengan segitiga samasisi. Langkah

tersebut merupakan konstruksi yang paling mendasar.

Gambar 3.20 Generator

Potongan empat bagian tersebut akan digunakan kembali untuk

langkah selanjutnya. Ini disebut generator.

Kemudian kita ulangi langkah-langkah di atas untuk setiap ruas

garis. Ruas garis-ruas garis tersebut kita jadikan tiga bagian dan

dilanjutkan dengan menambahkan segitiga samasisi di bagian tengah.

Gambar 3.21 Langkah ketiga konstruksi kurva Koch


45

Jika langkah tersebut kita ulangi, maka akan terbentuk

Gambar 3.22 Kurva Koch

Pada langkah pertama kita memiliki 4 ruas garis yang sama

panjang. Pada langkah selanjutnya kita akan memiliki 4 4 4 ruas garis yang sama panjang. Jika panjang ruas garis awal kita notasikan

dengan , maka panjang garis pada langkah pertama adalah , pada

langkah kedua memiliki panjang dan seterusnya. Karena setiap

langkah menghasilkan kurva dari ruas garis, maka tidak ada masalah

untuk menghitung panjangnya.

Pada langkah pertama panjangnya 4 , kemudian

langkah kedua 42 132 dan seterusnya. Maka pada langkah ke-

panjangnya .

Langkah pertama konstruksi adalah membuat sebuah ruas

garis. Kemudian pada langkah kedua, empat ruas garis diperoleh dengan


46

menghapus sepertiga-tengah dari ruas garis semula dan menggantinya

dengan dua sisi segitiga samasisi yang alasnya terletak pada ruas garis

yang telah dihapus. Demikian jika proses tersebut diulang secara terus

menerus untuk setiap ruas garis yang tersisa, maka akan didapatkan

sebuah pola.


47

BAB IV

KESIMPULAN

Fraktal merupakan seni dalam dunia matematika. Konsep-konsep dasar fraktal

adalah kesebangunan diri (self-similarity) dan dimensi tak bulat. Bangun fraktal

mempunyai sifat-sifat dasar yang membedakannya dengan bangun geometri pada

umumnya, yaitu:

Kesebangunan diri (self-similarity), yaitu suatu bangun fraktal terdiri

dari banyak tiruan yang sama dengan bangun itu sendiri, dengan

ukuran lebih kecil dari bentuk aslinya.

Detail takhingga (infinite detail), yaitu semakin bangun fraktal

diperbesar akan didapatkan bangun yang lebih mendetail. Detail dari

bangun itu tidak terlihat langsung tetapi akan muncul secara bertahap

ketika bangun fraktal itu dilihat semakin dekat dengan pembesaran.

Fraktal diperoleh dengan proses rekursif, yaitu konstruksi yang terdiri

dari pengulangan proses sebelumnya.

Fraktal klasik adalah fraktal yang diciptakan pada abad 19 dan 20. Fraktal

tersebut merupakan fraktal yang diturunkan dari geometri dasar dengan

menggunakan transformasi iterasi pada bentuk-bentuk dasar seperti garis lurus

(Cantor) dan segitiga (segitiga Sierpinski).

Himpunan Cantor, Segitiga Sierpinski, dan kurva salju Koch merupakan

contoh fraktal klasik yang setiap bagiannya merupakan pengulangan dari bangun


48

semula. Proses konstruksinya juga mengulang proses sebelumnya. Sedangkan pada

segitiga Pascal, fraktal akan nampak ketika diberikan warna pada sel-selnya

sehingga akan terlihat keteraturan dan kesebangunan diri pada segitiga tersebut.


49

DAFTAR PUSTAKA

Edgar, Gerald A. (2004). Classics on Fractals. Colorado: Westview Press.

Falconer, Kenneth. (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. New York: John Wiley and Sons Ltd. Hvidsten, Michael. (2005). Geometry with Geometry Explorer. New York: McGraw-Hill. Mandelbrot, Benoit B. (1983). The Fractal Geometry of Nature. New York: W.H. Freeman and Company. Peitgen, H-O, et al. (2004). Chaos and Fractal New Frontiers of Science. New York: Springer-Verlag. Susilo, Frans. (1996). Himpunan Julia dan Klasifikasinya dalam Himpunan

Mandelbrot. Dalam: F. Susilo dan St. Susento (Ed). Percikan Matematika: Sebuah Bunga Rampai (hlm 82-102). Yogyakarta: Penerbitan Universitas Sanata Dharma.


PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPada makalah ini dibahas empat contoh konstruksi fraktal klasik, yaitu himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, segitiga Pascal, dan kurva salju

Documents