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TOUT-EN UN
Physiquetout-en-un
MPSI | PTSISous la direction de Bernard Salamitodamien
JurineStphane Cardinimarie-nolle Sanz
Avec la collaboration de :emmanuel angotanne-emmanuelle
BadelFranoiS ClauSSet
P0I-IV-9782100600779.indd 3 29/07/2013 10:53:22
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Dunod, Paris, 2013ISBN 978-2-10-070310-4
Conception et cration de couverture : Atelier 3+
Les photos du chapitre 5 ont t ralises par Pierre Canaguier.
P0I-IV-9782100600779.indd 4 29/07/2013 10:53:22
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I Signaux physiques 21
1 Oscillateur harmonique 231 Un oscillateur harmonique mcanique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1 Systme tudi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 231.2 Obtention dune quation diffrentielle . . . . . . .
. . . . . . . . . 241.3 Dfinition dun oscillateur harmonique . . .
. . . . . . . . . . . . . 241.4 Rsolution de lquation diffrentielle
. . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5 Conservation de lnergie
mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6 Amplitude et
priode du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Signal sinusodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 302.1 Dfinition du signal sinusodal . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 302.2 Phase instantane, phase initiale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Priode, frquence . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Une
interprtation gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
322.5 Reprsentation de Fresnel (MPSI) . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 332.6 Dphasage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 34
2 Propagation dun signal 471 Signaux physiques, spectre . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.1 Ondes et signaux physiques . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 471.2 Notion de spectre . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 481.3 Cas dun signal priodique de forme
quelconque . . . . . . . . . . . 501.4 Cas dun signal non priodique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.5 Analyse harmonique
exprimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.6 Exemple :
analyse de signaux sonores . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
-
TABLE DES MATIRES
2 Phnomne de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 572.1 Observations exprimentales . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 572.2 Onde progressive . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.3 Onde progressive
sinusodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3 Superpositions de deux signaux sinusodaux 791 Interfrences
entre deux ondes de mme frquence . . . . . . . . . . . . . . 79
1.1 Somme de deux signaux sinusodaux de mme frquence . . . . . .
. 791.2 Phnomne dinterfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 83
2 Ondes stationnaires et modes propres . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 882.1 Superposition de deux ondes progressives de
mme amplitude . . . . 882.2 Onde stationnaire . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 882.3 Exprience de la corde de
Melde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.4 Modes propres .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4 Onde lumineuse 1191 Londe lumineuse . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
1.1 Existence et nature de londe lumineuse . . . . . . . . . . .
. . . . . 1191.2 Clrit de londe lumineuse . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1191.3 Longueurs donde et frquences optiques . .
. . . . . . . . . . . . . 120
2 Rcepteurs lumineux, clairement . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 1222.1 Comparaison avec les rcepteurs donde sonore .
. . . . . . . . . . . 1222.2 Exemples de rcepteurs donde lumineuse
. . . . . . . . . . . . . . . 1232.3 clairement . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.4 clairement
spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
3 Les sources lumineuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1253.1 Les sources de lumire blanche . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 1253.2 Les lampes spectrales . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.3 Faisceau laser . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4 Rayon lumineux et source ponctuelle . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1264.1 Exprience . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 1264.2 Dfinition dun rayon lumineux .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.3 Propagation rectiligne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.4 Modle de
la source ponctuelle et monochromatique . . . . . . . . . 128
5 La diffraction de la lumire . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 1295.1 Diffraction par une fente . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.2 Universalit du phnomne de
diffraction . . . . . . . . . . . . . . . 131
2
-
TABLE DES MATIRES
5 Optique gomtrique 1491 Approximation de loptique gomtrique . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1492 Lois de Descartes . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.1 Lois de Descartes pour la rflexion . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 1502.2 Lois de Descartes pour la rfraction . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 151
3 Miroir plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 1533.1 Image dun point objet par un miroir plan
. . . . . . . . . . . . . . . 1533.2 Image dun objet par un miroir
plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4 Systmes centrs et approximation de Gauss . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 1554.1 Systmes optiques centrs . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 1554.2 Approximation de Gauss . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.3 Proprits dun systme centr
dans les conditions de Gauss . . . . . 1564.4 Foyers objet, foyers
image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5 Lentilles minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 1595.1 Prsentation des lentilles . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.2 Constructions gomtriques .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.3 Relations de
conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.4
Complment : dmonstration des formules de conjugaison . . . . . .
168
6 Applications des lentilles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 1686.1 Projection dune image . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 1686.2 Le microscope . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.3 La lunette de
Galile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.4
La lunette astronomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 174
7 Lil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 1757.1 Description et modlisation . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 1757.2 Caractristiques optiques . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.3 Dfauts de lil . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8 Approche documentaire : influence des rglages sur limage
produite par unappareil photographique numrique . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 1778.1 Modlisation . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.2 Influence du diaphragme
douverture . . . . . . . . . . . . . . . . . 1788.3 Influence de la
distance focale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6 Introduction au monde quantique 2071 La dualit onde-particule
de la lumire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 2071.2 Historique de la dcouverte du photon . . . . .
. . . . . . . . . . . . 2081.3 Le photon . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
3
-
TABLE DES MATIRES
1.4 Une exprience avec des photons uniques . . . . . . . . . . .
. . . . 2121.5 Franges dinterfrences et photons . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 213
2 La dualit onde-particule de la matire . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 2152.1 La longueur donde de de Broglie . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 2152.2 Expriences dinterfrences de
particules . . . . . . . . . . . . . . . 219
3 Fonction donde et probabilits . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 2213.1 Analyse dune exprience dinterfrences
quantiques . . . . . . . . . 2213.2 Notion de fonction donde et
probabilit de dtection . . . . . . . . . 2233.3 Interprtation de
lexprience des fentes de Young . . . . . . . . . . 2233.4
Complmentarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 223
4 Lingalit de Heisenberg (PTSI) . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 2244.1 Indtermination quantique . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 2244.2 Exemple : diffraction dune
particule par une fente . . . . . . . . . . 2244.3 Lindtermination
position-quantit de mouvement . . . . . . . . . . 225
5 Quantification de lnergie dune particule confine . . . . . . .
. . . . . . . 2265.1 Notion de quantification . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 2265.2 Particule dans un puits infini 1
dimension . . . . . . . . . . . . . . 2265.3 Gnralisation : lien
entre confinement spatial et quantification . . . . 228
7 Circuits lectriques dans lARQS 2431 Intensit du courant
lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
1.1 Charge lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 2431.2 Porteurs de charges . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 2441.3 Le courant lectrique . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2451.4 Intensit du courant .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2461.5 Mesure
de lintensit dun courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2471.6 Loi des nuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 2481.7 Intensit constante, intensit variable . . . . . .
. . . . . . . . . . . 248
2 Tension lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 2482.1 Analogie hydraulique . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 2482.2 Notion de tension . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2492.3 Mesure dune
tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2502.4
Tension constante, tension variable . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 2502.5 Diffrence de potentiel et tension . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 2502.6 Rfrence de potentiel . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 2512.7 Additivit des tensions, loi des
mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . 2522.8 Notation simplifie
de la tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
3 Circuit lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 253
4
-
TABLE DES MATIRES
3.1 Circuit ferm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 2533.2 Schma lectrique simplifi . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 2543.3 La terre . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 2543.4 Convention gnrateur,
convention rcepteur . . . . . . . . . . . . . 2543.5 Lapproximation
des rgimes quasi-stationnaires . . . . . . . . . . . 255
4 Diples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 2564.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 2564.2 Diples passifs . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2564.3 Diples actifs .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5 Associations de diples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 2595.1 Association de rsistances . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 2595.2 Associations de gnrateurs . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2615.3 Diviseur de tension
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2615.4
Diviseur de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 262
6 Rsistances de sortie et dentre . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 2626.1 Rsistance dentre . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 2626.2 Rsistance de sortie . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
7 Point de fonctionnement dun circuit . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 2637.1 Caractristique dun diple . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 2637.2 Rsolution graphique . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2647.3 Rsolution algbrique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
8 Puissance et nergie lectriques . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 2658.1 Les units . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 2658.2 Puissance lectrique . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2658.3 Puissance Joule
dans une rsistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2668.4
nergie stocke dans un condensateur ou une bobine . . . . . . . . .
266
8 Circuit linaire du premier ordre 2851 Exemple exprimental . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
1.1 Montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 2851.2 Rgimes transitoire puis permanent . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 285
2 Modlisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 2862.1 Simplification du montage . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 2862.2 quation diffrentielle sur uC
(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2872.3 Units et
homognit de lquation diffrentielle . . . . . . . . . . . 2872.4
Rsolution de lquation diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . .
. 2882.5 Trac et identification de la constante de temps . . . . .
. . . . . . . 2892.6 Portrait de phase . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 291
5
-
TABLE DES MATIRES
2.7 Bilan de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 2912.8 Bilan dnergie . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 292
3 Ralisation concrte de lchelon . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 2923.1 Rponse un signal crneau . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 2923.2 Modlisation du rgime libre . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 293
4 tude de la tension uR (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 2944.1 Montage tudi et observations
exprimentales . . . . . . . . . . . . 2944.2 quation diffrentielle
sur uR (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2954.3 Portrait
de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2964.4 Solution de lquation diffrentielle . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 2964.5 Rgime libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 297
5 Exemple de circuit inductif . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 2985.1 Schma du montage . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 2985.2 quation diffrentielle sur i(t) .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2995.3 Homognit de lquation
diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . 2995.4 Solution de
lquation diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3005.5
Bilan de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 301
6 Gnralisation : systmes du premier ordre . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 3017 Rgime permanent (PTSI) . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 301
9 Circuit linaire du second ordre 3131 Exemple exprimental . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
1.1 Montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 3131.2 Rgimes transitoire puis permanent . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 3131.3 Portraits de phase . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
2 quation diffrentielle sur la tension aux bornes du
condensateur . . . . . . . 3162.1 Mise en quation . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3162.2 Forme canonique de
lquation diffrentielle . . . . . . . . . . . . . 3172.3 Conditions
initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
318
3 Solution de lquation diffrentielle . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 3193.1 Rgime permanent ou tabli . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 3193.2 Solutions homognes . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 3193.3 Solution complte . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
4 Dure du rgime transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 3224.1 Dfinition du temps de rponse TR . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 3224.2 Complment : modlisation . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
5 Rponse un signal crneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 3245.1 Observations exprimentales . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 324
6
-
TABLE DES MATIRES
5.2 Modlisation du rgime libre . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 3256 Bilan nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 3267 Analogies . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
10 Rgime sinusodal 3371 Rgimes transitoire et permanent
sinusodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3372 Rgime permament
ou tabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
338
2.1 Observation loscilloscope . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 3382.2 Mesure dun dphasage . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 339
3 Systmes du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 3403.1 Mthode des vecteurs de Fresnel (MPSI) . . .
. . . . . . . . . . . . 3403.2 Mthode complexe . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 341
4 Impdance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 3444.1 Impdance dun diple . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 3444.2 Diviseur de tension . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
5 Rsonance dans un systme du deuxime ordre . . . . . . . . . . .
. . . . . 3485.1 tude exprimentale de uR . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 3485.2 Interprtation . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 3505.3 Complment : interprtation
graphique du facteur de qualit . . . . . 3505.4 Remarque
exprimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3515.5
tude de uC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 3515.6 Interprtation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 3535.7 Mesures exprimentales . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 354
6 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 3556.1 Fonction de transfert harmonique . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 3556.2 Lien entre quation
diffrentielle et transmittance . . . . . . . . . . . 3556.3 Lien
avec la transmittance de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . .
356
7 Complment : dphasage et rapport des amplitudes dans un systme
du deuximeordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 3577.1 Position du problme . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3577.2 Mthode des vecteurs de
Fresnel (MPSI) . . . . . . . . . . . . . . . 3587.3 Mthode complexe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
11 Analyse frquentielle dun systme linaire 3771 Reprsentation
graphique de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . .
377
1.1 Le gain en dcibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 3771.2 La phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 3781.3 Relevs exprimentaux . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 378
7
-
TABLE DES MATIRES
1.4 Exemples de diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 3791.5 Trac la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 381
2 Diffrents types de fonction de transfert . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 3822.1 Filtres du premier ordre . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 3822.2 Filtres du deuxime ordre . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3892.3 Rcapitulatif . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
3 Gabarit (PTSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 3973.1 Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 3973.2 Phase . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3993.3 Exemple de
ralisation dun gabarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4003.4
Cahier des charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 401
12 Filtrage linaire 4091 Rponse dun systme linaire en rgime
permanent . . . . . . . . . . . . . . 409
1.1 Lgitimit de ltude harmonique . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 4091.2 Cadre de ltude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 4091.3 Entre sinusodale . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 4101.4 Entre combinaison linaire de
fonctions sinusodales . . . . . . . . 411
2 Contenu spectral dun signal . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 4122.1 Dcomposition de Fourier . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 4122.2 Complment : phnomne de Gibbs . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 416
3 Valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 4173.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4173.2 Cas dun signal sinusodal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4173.3 Cas dun signal
crneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4173.4
Comparaison avec un signal constant . . . . . . . . . . . . . . . .
. 418
4 Filtrage linaire dun signal non sinusodal . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 4194.1 Position du problme . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 4194.2 Filtrage passe-bas . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4194.3 Ralisation dun
moyenneur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4214.4
Filtrage passe-haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 4214.5 Filtrage passe-bande . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 423
5 Rponse indicielle et contenu spectral . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 4245.1 Possibilit de discontinuit, valeur moyenne
. . . . . . . . . . . . . . 4245.2 Complment : lien avec le thorme
de la valeur initiale . . . . . . . 427
6 Approche documentaire : acclromtre . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 427
8
-
TABLE DES MATIRES
II Mcanique 1 453
13 Cinmatique du point 4551 Notion de point en physique . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
1.1 Dfinition dun solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 4551.2 Dfinition dun point . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 4551.3 Quand peut-on assimiler un systme un
point ? . . . . . . . . . . . 456
2 Reprage dun point du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 4562.1 Intrt davoir plusieurs systmes de coordonnes
. . . . . . . . . . 4562.2 Reprage dun point sur une droite. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 4582.3 Reprage dun point dans le plan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
3 Reprage dun point dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 4623.1 Reprage cartsien . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 4623.2 Reprage cylindrique . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4633.3 Reprage sphrique . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
4 Cinmatique du point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 4664.1 Notion de rfrentiel . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 4664.2 Vecteurs position, dplacement,
vitesse et acclration . . . . . . . . 468
5 Utilisation des diffrents systmes de coordonnes . . . . . . .
. . . . . . . 4705.1 Coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 4705.2 Coordonnes cylindro-polaire . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 4725.3 Coordonnes sphriques . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
6 Exemples de mouvements tudis en coordonnes cartsiennes . . . .
. . . . 4796.1 Mouvements rectilignes . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 4796.2 Mouvements vecteur acclration constante .
. . . . . . . . . . . . 4826.3 Mouvement rectiligne sinusodal :
mouvement harmonique . . . . . . 484
7 Mouvements circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 4857.1 Mouvement circulaire et uniforme . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 4857.2 Gnralisation : mouvement
circulaire quelconque . . . . . . . . . . 486
8 Interprtation du vecteur acclration . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 4878.1 Le vecteur vitesse et sa norme . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 4878.2 Vecteur acclration et variation
de la norme de la vitesse . . . . . . . 4888.3 Vecteur acclration
et courbure de la trajectoire . . . . . . . . . . . 489
9 tude exprimentale de mouvements . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 4909.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 4909.2 tude exprimentale en coordonnes
cartsiennes . . . . . . . . . . . 4919.3 tude exprimentale en
coordonnes polaires . . . . . . . . . . . . . 495
9
-
TABLE DES MATIRES
14 Cinmatique du solide 5091 Reprage dun solide . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
1.1 Dfinition dun solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 5091.2 Reprage dun solide dans lespace . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 509
2 Mouvement de translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 5102.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 5102.2 Mouvement dun point dun solide
en translation . . . . . . . . . . . 5102.3 Consquences . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5112.4 Deux
mouvements de translations remarquables . . . . . . . . . . . .
511
3 Solides en rotation autour dun axe fixe . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 5123.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 5123.2 Mouvement dun point dun
solide en rotation . . . . . . . . . . . . . 5123.3 Consquences . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5133.4
Quelques exemples de rotation autour dun axe fixe . . . . . . . . .
. 514
15 Principes de la dynamique newtonienne 5211 lments cintiques
dun point matriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
1.1 Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 5211.2 Quantit de mouvement . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 522
2 Les trois lois de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 5232.1 Premire loi de Newton : Principe dinertie
. . . . . . . . . . . . . . 5232.2 Deuxime loi de Newton : Principe
fondamental de la dynamique . . 5242.3 Troisime loi de Newton :
principe des actions rciproques . . . . . . 526
3 Limite de validit de la mcanique classique . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 5273.1 Quest-ce quun principe ? . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 5273.2 Les hypothses de la mcanique
classique . . . . . . . . . . . . . . . 5273.3 Les limites de la
mcanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
4 Premires applications : dtermination dune loi de force . . . .
. . . . . . . 5284.1 Dtermination dynamique dune force : mesure de
g . . . . . . . . . 5284.2 Dtermination statique dune force . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 529
5 Classification des forces . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 5295.1 Les quatre interactions fondamentales .
. . . . . . . . . . . . . . . . 5305.2 Forces distance . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5305.3 Forces de
contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
534
6 Rsolution dun problme de mcanique du point . . . . . . . . . .
. . . . . 5387 Chute libre dans le champ de pesanteur . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 539
7.1 Mise en quation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 5397.2 Chute libre dans le vide . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 539
10
-
TABLE DES MATIRES
7.3 Chute libre avec frottements proportionnels la vitesse . . .
. . . . . 5417.4 Chute libre avec frottements proportionnels au
carr de la vitesse . . . 5437.5 Comparaison des deux modles de
frottements . . . . . . . . . . . . 545
8 Tir dun projectile dans le champ de pesanteur . . . . . . . .
. . . . . . . . . 5458.1 Mise en quation . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 5458.2 Tir dans le vide . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5468.3 Tir en tenant
compte de la rsistance de lair . . . . . . . . . . . . . . 549
9 Le pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 5519.1 Modlisation . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 5519.2 quation du mouvement . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5519.3 Rsolution numrique .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5539.4 Cas des
oscillations de faibles amplitudes . . . . . . . . . . . . . . .
553
16 Aspects nergtiques de la dynamique du point 5771 Travail et
puissance dune force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 577
1.1 Introduction et notations . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 5771.2 Puissance dune force . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 5781.3 Travail lmentaire dune force . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 5791.4 Travail dune force au cours
dun dplacement . . . . . . . . . . . . 579
2 Premiers exemples de calculs de travaux . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 5802.1 Travail dune force constamment
perpendiculaire au mouvement . . . 5802.2 Travail dune force
constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5802.3
Travail dune force de frottement de norme constante . . . . . . . .
. 580
3 Thorme de lnergie cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 5813.1 Dfinition de lnergie cintique . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 5813.2 Thorme de lnergie cintique en
rfrentiel galilen . . . . . . . . 5813.3 Utilisation du thorme de
lnergie cintique . . . . . . . . . . . . . 5833.4 Intrt dune
approche nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5833.5
tude dun problme laide du thorme de lnergie cintique . . . 583
4 nergie potentielle et forces conservatives . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 5854.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 5854.2 Exemples de forces
conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5864.3 Exemples
de forces non conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . .
589
5 nergie mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 5895.1 Dfinition de lnergie mcanique . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 5895.2 Conservation de lnergie mcanique . .
. . . . . . . . . . . . . . . 5895.3 Cas gnral : non conservation
de lnergie mcanique . . . . . . . . 590
6 tude qualitative des mouvements et des quilibres . . . . . . .
. . . . . . . 591
11
-
TABLE DES MATIRES
6.1 Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 5916.2 Position du problme . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 5916.3 Analyse du mouvement laide dun
graphe nergtique . . . . . . . 5926.4 Analyse des quilibres laide
dun graphe nergtique . . . . . . . . 593
7 Portraits de phase et lien avec le profil dnergie potentielle
. . . . . . . . . . 5967.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 5967.2 Exemple introductif . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5977.3 Caractristiques
principales des portraits de phase . . . . . . . . . . . 599
17 Mouvement dans un puits de potentiel 6151 Mouvement
conservatif dans un puits de potentiel . . . . . . . . . . . . . .
615
1.1 Mouvement dans un puits de potentiel harmonique . . . . . .
. . . . 6151.2 Mouvement dans un puits de potentiel quelconque . .
. . . . . . . . 618
2 Mouvements dans un puits de potentiel : influence des
frottements . . . . . . 6222.1 quation diffrentielle du mouvement .
. . . . . . . . . . . . . . . . 6222.2 quation caractristique et
observation . . . . . . . . . . . . . . . . 6232.3 Rsolution : les
trois rgimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6242.4
valuation rapide de la dure des diffrents rgimes . . . . . . . . .
6282.5 Aspects nergtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 629
18 Mouvement dune particule charge dans un champ lectrique ou
magntique 6511 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 651
1.1 Rappel de lexpression . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 6511.2 Diffrence fondamentale entre la composante
lectrique et la compo-
sante magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 6521.3 Ordre de grandeur et consquences . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 652
2 Mouvement dans un champ lectrique uniforme . . . . . . . . . .
. . . . . . 6532.1 quation du mouvement . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 6532.2 tude de la trajectoire . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 6542.3 Acclration dune particule
charge par un champ lectrique . . . . 656
3 Mouvement dans un champ magntique . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 6593.1 Le mouvement est uniforme . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 6593.2 tude de la trajectoire . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 660
4 Quelques applications de ces mouvements . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 6624.1 Exprience de Thomson . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 6624.2 Spectromtre de masse . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 6644.3 Cyclotron . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
5 Approche documentaire : limites relativistes en microscopie
lectronique . . 667
12
-
TABLE DES MATIRES
III Mcanique 2 683
19 Moment cintique et solide en rotation 6851 Observations
prliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
685
1.1 Exemples introductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 6851.2 Notion intuitive de bras de levier . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 686
2 Moment cintique dun point matriel . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 6862.1 Dfinition du moment cintique . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 686
3 Moment cintique dun solide ou dun systme de points . . . . . .
. . . . . 6893.1 Cas dun systme dformable . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 6893.2 Cas dun solide en rotation par rapport un
axe . . . . . . . . . . . . 690
4 Moment dune force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 6924.1 Moment dune force par rapport un point O . .
. . . . . . . . . . . 6924.2 Moment dune force par rapport un axe
orient . . . . . . . . . . 693
5 Loi du moment cintique pour un point matriel . . . . . . . . .
. . . . . . . 6955.1 Loi du moment cintique par rapport un point
fixe . . . . . . . . . . 6955.2 Cas de conservation du moment
cintique . . . . . . . . . . . . . . . 6965.3 Loi du moment
cintique par rapport un axe fixe . . . . . . . . . . 696
6 Loi du moment cintique pour un solide en rotation . . . . . .
. . . . . . . . 6976.1 Loi scalaire du moment cintique pour un
solide . . . . . . . . . . . 6976.2 Cas de conservation du moment
cintique . . . . . . . . . . . . . . . 6986.3 Couples . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698
7 Application aux dispositifs rotatifs . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 6997.1 Liaison pivot daxe (Oz) . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 7007.2 Notions sur les moteurs et
les freins dans les dispositifs rotatifs (PTSI) 701
8 Pendule pesant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 7028.1 Position du problme et quation du
mouvement . . . . . . . . . . . 7028.2 Oscillations de faible
amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7038.3 Intgrale
premire du mouvement et tude qualitative . . . . . . . . . 7038.4
Portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 7048.5 Rsolution numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 706
9 nergie dun solide en rotation autour dun axe fixe . . . . . .
. . . . . . . . 7069.1 nergie cintique dun solide en rotation . . .
. . . . . . . . . . . . 7079.2 Puissance dune force applique sur un
solide en rotation . . . . . . . 7079.3 Loi de lnergie cintique
pour un solide indformable . . . . . . . . 708
20 Mouvement dans un champ de force centrale. Champs newtoniens.
7171 Force centrale conservative . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 717
13
-
TABLE DES MATIRES
1.1 Quest-ce quune force centrale conservative ? . . . . . . . .
. . . . . 7171.2 Exemples de forces centrales conservatives . . . .
. . . . . . . . . . 7181.3 Observations de mouvements force
centrale conservative . . . . . . 720
2 Gnralits sur les forces centrales conservatives . . . . . . .
. . . . . . . . 7212.1 Consquence du caractre central de la force .
. . . . . . . . . . . . 7212.2 Consquence du caractre conservatif
de la force . . . . . . . . . . . 724
3 Cas particulier de lattraction gravitationnelle . . . . . . .
. . . . . . . . . . 7253.1 Position du problme . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 7253.2 tude qualitative du
mouvement radial . . . . . . . . . . . . . . . . 726
4 tude directe de la trajectoire circulaire . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 7274.1 Position du problme . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 7274.2 tude partir du principe
fondamental de la dynamique . . . . . . . 7284.3 Application aux
satellites gostationnaires . . . . . . . . . . . . . . . 7304.4
Vitesses cosmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 7334.5 Complment : autres trajectoires envisageables (MPSI) .
. . . . . . . 735
IV Thermodynamique 753
21 Systme thermodynamique lquilibre 7551 Descriptions
microscopique et macroscopique de la matire . . . . . . . . . .
755
1.1 Les phases solide, liquide et gaz . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 7551.2 Lagitation thermique . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 7561.3 chelles microscopique, msoscopique
et macroscopique . . . . . . . 7571.4 Le point de vue de la
thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . 757
2 Systme thermodynamique, variables dtat . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 7582.1 Systme thermodynamique . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 7582.2 Variables dtat . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 759
3 quilibre thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 7623.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 7623.2 quilibre thermodynamique local .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7623.3 Conditions dquilibre . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762
4 quation dtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 7644.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 7644.2 quation dtat dun gaz parfait .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7644.3 quation dtat dune
phase condense idale . . . . . . . . . . . . . 766
5 nergie interne, capacit thermique volume constant . . . . . .
. . . . . . 7675.1 Lnergie interne U . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 767
14
-
TABLE DES MATIRES
5.2 La capacit thermique volume constant CV . . . . . . . . . .
. . . 7685.3 Cas dun gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 7685.4 Cas dune phase condense incompressible . .
. . . . . . . . . . . . 769
6 Vitesse quadratique moyenne (PTSI) . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 7706.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 7706.2 Expression en fonction de la
temprature . . . . . . . . . . . . . . . 7716.3 Ordre de grandeur
de la vitesse quadratique moyenne . . . . . . . . . 771
7 Corps pur diphas en quilibre . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 7727.1 Changements dtat physique . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 7727.2 Diagramme de phases (P,T) . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 7727.3 Variables dtat dun systme
diphas . . . . . . . . . . . . . . . . . 775
8 tude de lquilibre liquide-gaz . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 7778.1 Pression de vapeur saturante . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 7778.2 Variation de Psat avec T . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7788.3 Temprature
dbullition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7788.4
Diagramme de Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 7798.5 Composition du mlange liquide-gaz . . . . . . . . . . . .
. . . . . 7808.6 Point critique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 7818.7 Le stockage des fluides . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782
22 nergie change par un systme au cours dune transformation 7951
Transformation thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 795
1.1 Transformation, tat initial, tat final . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 7951.2 Diffrents types de transformations . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 7961.3 Influence du choix du systme . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 798
2 Travail des forces de pression . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 7992.1 Expression gnrale du travail de la
pression extrieure . . . . . . . . 7992.2 Cas particulier dun
fluide en coulement . . . . . . . . . . . . . . . 8022.3 Travail
des forces de pression dans deux cas particuliers . . . . . . .
8032.4 Travail des forces de pression dans le cas dune
transformation m-
caniquement rversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 8043 Transfert thermique . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 807
3.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 8073.2 Les trois modes de transfert thermique (PTSI)
. . . . . . . . . . . . . 8073.3 Transformation adiabatique . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8093.4 Notion de thermostat . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8103.5 Retour sur
les transformations monotherme et isotherme . . . . . . . 8113.6
Choix dun modle : adiabatique ou isotherme ? . . . . . . . . . . .
. 811
15
-
TABLE DES MATIRES
23 Premier principe. Bilans dnergie. 8191 Le premier principe de
la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819
1.1 nergie dun systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 8191.2 Premier principe de la thermodynamique . . . . . . .
. . . . . . . . 8201.3 Obtention de la valeur du transfert
thermique . . . . . . . . . . . . . 8211.4 Transfert thermique dans
une transformation isochore sans travail
autre que celui de la pression et sans variation dnergie
cintique . . 8221.5 Exemples dapplication du premier principe . . .
. . . . . . . . . . . 822
2 La fonction dtat enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 8262.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 8262.2 Premier principe pour une
transformation monobare avec quilibre
mcanique dans ltat initial et ltat final . . . . . . . . . . . .
. . . 8272.3 Transfert thermique dans une transformation isobare
sans travail autre
que celui de la pression et sans variation dnergie cintique . .
. . . 8272.4 Enthalpie dun gaz parfait . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 8282.5 Enthalpie dune phase condense indilatable
et incompressible . . . . 8302.6 Enthalpie dun systme diphas . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 8312.7 Variations denthalpie
isobares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832
3 Mesures de grandeurs thermodynamiques . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 8353.1 Le calorimtre . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 8353.2 Dtermination dune capacit
thermique massique . . . . . . . . . . 8363.3 Dtermination dune
enthalpie de changement dtat . . . . . . . . . 8373.4 Mesure de la
valeur en eau du calorimtre . . . . . . . . . . . . . . . 838
24 Deuxime principe. Bilans dentropie. 8491 Le deuxime principe
de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 849
1.1 Transformations irrversibles et transformations rversibles .
. . . . 8491.2 Le deuxime principe de la thermodynamique . . . . .
. . . . . . . . 852
2 Entropie dun chantillon de corps pur . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 8532.1 Entropie dun gaz parfait . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 8542.2 Entropie dune phase condense
indilatable et incompressible . . . . 8572.3 Entropie dun systme
diphas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858
3 Exemples de bilans dentropie . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 8603.1 Mthode gnrale . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 8603.2 Exemple 1 : dtente de Joule - Gay
Lussac . . . . . . . . . . . . . . 8603.3 Exemple 2 : mise en
contact avec un thermostat . . . . . . . . . . . . 8613.4 Exemple 3
: compression dun gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . 8633.5
Exemple 4 : chauffage par effet Joule . . . . . . . . . . . . . . .
. . 866
16
-
TABLE DES MATIRES
3.6 Exemple 5 : solidification dun liquide surfondu . . . . . .
. . . . . . 867
25 Machines thermiques 8851 Machine monotherme . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8852 Machines thermiques
dithermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886
2.1 Gnralits sur les machines dithermes . . . . . . . . . . . .
. . . . 8862.2 Moteur thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 8872.3 Machine frigorifique . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 8892.4 Pompe chaleur . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890
3 tude de cycles thoriques rversibles . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 8913.1 Cycle de Carnot pour un gaz parfait . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 8913.2 Cycle de Carnot pour un systme
diphas . . . . . . . . . . . . . . . 893
4 tude de machines thermiques relles . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 8944.1 Moteur explosion . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 8944.2 Machine frigorifique (MPSI) . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 897
V Induction et forces de Laplace 927
26 Le champ magntique 9291 Carte de champ . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929
1.1 Les champs en physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 9291.2 Un champ vectoriel permet de dcrire une
interaction distance . . . 9301.3 Units et ordres de grandeur . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9301.4 Topographie du champ
magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9311.5 Quelques
cartes de champ magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . 932
2 Moment magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 9372.1 Vecteur surface . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 9372.2 Dfinition du moment magntique .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9372.3 Moment magntique dun
aimant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9372.4 Lignes de champ
dun moment magntique . . . . . . . . . . . . . . 938
27 Actions dun champ magntique 9431 Force de Laplace . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943
1.1 Force de Laplace sur une tige en translation . . . . . . . .
. . . . . . 9431.2 Puissance de la force Laplace . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 944
2 Couple magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 9442.1 Expression du Couple . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 9442.2 Puissance de laction de Laplace .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944
17
-
TABLE DES MATIRES
2.3 Complment : tablissement du couple . . . . . . . . . . . . .
. . . 9443 Action dun champ magntique sur un aimant . . . . . . . .
. . . . . . . . . 946
3.1 Orientation dun aimant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 9463.2 Positions dquilibre . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 9473.3 Application : la boussole . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9473.4 Effet moteur dun champ
magntique tournant . . . . . . . . . . . . 948
28 Lois de linduction 9571 Flux magntique . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957
1.1 Dfinition du flux magntique . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 9571.2 Orientation dune surface . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 9581.3 Unit de flux magntique . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 959
2 Expriences dinduction lectromagntique . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 9592.1 Exprience historique de Faraday . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 9592.2 Expriences avec un aimant et une
bobine . . . . . . . . . . . . . . . 9602.3 Le phnomne dinduction
lectromagntique . . . . . . . . . . . . . 9612.4 Loi de Lenz . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961
3 Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 9623.1 Rgle du flux . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 9623.2 Convention dalgbrisation . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9623.3 Exceptions la rgle
du flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9623.4 Loi de
Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
963
29 Circuit fixe dans un champ magntique variable 9711
Auto-induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 971
1.1 Inductance propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 9711.2 Calcul dune inductance propre . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 9731.3 Circuit lectrique quivalent . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9741.4 Loi de Lenz . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9741.5 Mesure
dune inductance propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9751.6 tude nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 975
2 Deux circuits en interaction . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 9762.1 Inductance mutuelle . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 9762.2 Circuits lectriques
quivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9772.3 tude
harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9782.4 tude nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 979
3 Transformateur de tension (PTSI) . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 9803.1 Constitution . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 980
18
-
TABLE DES MATIRES
3.2 Principe de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 9803.3 Normalisation et orientation des courants . . . .
. . . . . . . . . . . 9813.4 Courants de Foucault . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 9833.5 Utilisation . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983
30 Circuit mobile dans un champ magntique stationnaire 9991
Conversion de puissance mcanique en puissance lectrique . . . . . .
. . . 999
1.1 Rails de Laplace gnrateurs . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 9991.2 Freinage par induction . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 10041.3 Alternateur . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005
2 Conversion de puissance lectrique en puissance mcanique . . .
. . . . . . 10082.1 Rails de Laplace moteurs . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 10082.2 Haut-parleur lectrodynamique . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10112.3 Machine courant continu
entrefer plan (PTSI) . . . . . . . . . . . 1014
VI Appendices 1045
A Mesures et incertitudes 10471 Mesure dune grandeur physique .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047
1.1 Reprsentation dune grandeur physique . . . . . . . . . . . .
. . . . 10471.2 Mesure dune grandeur physique . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1048
2 Incertitudes et intervalle de confiance . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 10512.1 Notion dintervalle de confiance . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 10512.2 valuation dune
incertitude-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10522.3
Incertitude-type compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 1055
3 Prsentation dun rsultat exprimental . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 10563.1 Notation dun rsultat . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 10563.2 Chiffres significatifs et
arrondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057
4 Validit dun rsultat exprimental . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 10584.1 Comparaison entre une valeur mesure et une
valeur de rfrence . . 10584.2 Vrification dune relation linaire
entre des donnes . . . . . . . . . 1058
B Outils mathmatiques 10631 quations algbriques . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063
1.1 Systme linaire de n quations p inconnues . . . . . . . . . .
. . . 10631.2 quation non linaire . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1064
2 quations diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 10662.1 quation diffrentielle linaire dordre 1
coefficients constants . . . 1066
19
-
TABLE DES MATIRES
2.2 quation diffrentielle linaire homogne dordre 2
coefficientsconstants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1070
2.3 quation diffrentielle linaire dordre 2 coefficients
constants, avecun second membre non nul . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1074
2.4 Autres quations diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 10773 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 1080
3.1 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 10803.2 Drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 10823.3 Dveloppements limits . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 10843.4 Primitive et intgrale . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10853.5
Reprsentation graphique dune fonction . . . . . . . . . . . . . . .
10883.6 Dveloppement en srie de Fourier . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 1089
4 Gomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 10914.1 Projection dun vecteur, produit scalaire
. . . . . . . . . . . . . . . . 10914.2 Produit vectoriel . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10934.3
Transformations gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 10954.4 Courbes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 10984.5 Courbes paramtres . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 11024.6 Longueurs, aires et volumes
classiques . . . . . . . . . . . . . . . . 11044.7 Barycentre dun
systme de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105
5 Trigonomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 11075.1 Angle orient . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 11075.2 Fonctions trigonomtriques .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11085.3 Nombres complexes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111
6 Gradient dun champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 11136.1 Champ scalaire f et surfaces iso- f . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 11136.2 Drives partielles et
diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11136.3 Vecteur
gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1114
20
-
Premire partie
Signaux physiques
21
-
1
On appelle signal physique une grandeur physique dpendant du
temps. Dans cette partie ducours, on sintressera surtout des
signaux priodiques. Un signal priodique est un signalqui se
reproduit identique lui-mme au cours du temps. Le plus fondamental
des signauxpriodiques est le signal sinusodal.Dans ce chapitre, on
introduit un modle physique qui produit un signal sinusodal
appelloscillateur harmonique. Les adjectifs harmonique et sinusodal
sont synonymes : on ren-contre parfois les expressions signal
harmonique ou oscillateur sinusodal .Lexemple tudi dans ce chapitre
est un oscillateur harmonique mcanique. Cependant onretrouve ce
modle dans bien dautres domaines de la physique, notamment
llectricit.
1 Un oscillateur harmonique mcanique1.1 Systme tudiLe systme
mcanique oscillant le plus simple est une masse accroche un
ressort.On considre dans ce paragraphe un mobile de masse m qui se
dplace sans frottement lelong dune tige horizontale (figure 1.1).
Sa position est repre par labscisse x de son centredinertie G
mesure sur laxe (Ox) matrialis par la tige. On choisit de placer
lorigine delaxe (Ox) de manire que G concide avec O dans la
position dquilibre (voir figure 1.1).
quilibre mouvement
OO
x
xxGG
RR
mgmgF
Figure 1.1 Un exemple doscillateur harmonique mcanique.
-
CHAPITRE 1 OSCILLATEUR HARMONIQUE
1.2 Obtention dune quation diffrentiellea) Forces sexerant sur
le systmeLe ressort exerce sur le mobile une force qui scrit :
F =kxux ,
o k est la constante de raideur du ressort. Cette force est une
force de rappel : son sens estoppos au sens du dplacement du mobile
par rapport sa position dquilibre (la positionx = 0). Lorsque x est
positif, la force est de sens oppos ux et inversement. On
trouveraplus de renseignements sur la force dun ressort dans le
chapitre Principes de la dynamiquenewtonienne.Le mobile est aussi
soumis son poids mg ainsi qu une raction R de la tige. Ces
deuxforces sont verticales et nont pas dinfluence sur le mouvement
qui est horizontal.
b) Application du principe fondamental de la dynamiqueLe
mouvement du mobile est rgi par le principe fondamental de la
dynamique (ou troisimeloi de Newton), qui scrit :
dpdt =
F
o p est la quantit de mouvement du mobile. En notant vG la
vitesse instantane du centredinertie G du mobile, on a :
p = mvG = mdxdtux .
Dans cette relation, dxdt est la drive de la fonction x(t). On
noterad2xdt2 la drive seconde de
cette fonction. Le principe fondamental de la dynamique conduit
donc la relation, vrifie
chaque instant : ddt
(m
dxdtux)=kxux , soit : md
2x
dt2ux =kxux , soit aprs simplification :
d2xdt2 =
km
x. (1.1)
La relation qui vient dtre obtenue est appele quation
diffrentielle. Une quation dif-frentielle est une relation entre
une fonction x(t) et ses drives par rapport au temps dxdt ,d2xdt2
..., qui est vrifie chaque instant. Ici, on a trouv une quation du
deuxime ordre, carlordre de drivation le plus grand qui apparat
dans lquation (le seul ici, mais il pourrait yen avoir plusieurs)
est gal deux.
1.3 Dfinition dun oscillateur harmoniqueLquation diffrentielle
(1.1) est une quation diffrentielle doscillateur harmonique.
24
-
UN OSCILLATEUR HARMONIQUE MCANIQUE
On appelle oscillateur harmonique un systme physique dcrit par
une grandeur x(t)dpendant du temps et vrifiant une quation
diffrentielle de la forme :
d2xdt2 =
20 x(t) (1.2)
o 0 est une constante relle positive qui est appele pulsation
propre de loscillateurharmonique et qui sexprime en rad.s1.
Remarque
Lunit de 0 se dduit de lhomognit de lquation diffrentielle. En
effet, la driveseconde par rapport au temps a pour dimension
physique la dimension de x divise parun temps au carr. Donc 20 a la
dimension des s2 et 0 a la dimension des s1. Leradian na pas de
dimension physique.
La masse accroche au ressort du paragraphe prcdent est un
oscillateur harmonique mca-nique, de pulsation :
0 =
km.
On en verra dautres exemples, en mcanique ou en lectricit.
1.4 Rsolution de lquation diffrentiellea) Position du
problmeRsoudre une quation diffrentielle consiste trouver
lexpression de la fonction inconnuex(t) qui vrifie cette relation.
Mais lquation ne dtermine pas de manire unique x(t). Parmiles
fonctions qui la vrifient, on doit choisir celle qui respecte des
conditions initiales quisont connues a priori.Pour une quation du
deuxime ordre, comme lquation dun oscillateur harmonique,
lesconditions initiales consistent en la donne : de la valeur de la
fonction inconnue linstant initial t = 0 : x(0),
de la valeur de la drive premire de la fonction inconnue
linstant initial :(
dxdt
)t=0
.
On va rsoudre cette quation dans le cas du mobile accroch au
ressort. Les condition ini-tiales sont : la position initiale :
x(0) = x0,
la vitesse initiale :(
dxdt
)t=0
= v0.
b) Solutions dans deux cas particuliersCas o x0 = 0 et v0 = 0.
On considre la fonction :
x(t) = x0 cos(0t) (1.3)
25
-
CHAPITRE 1 OSCILLATEUR HARMONIQUE
o x0 est une constante. On a alors, en utilisant des formules
classiques de drivation (voirlappendice mathmatique) :dxdt =x0
sin(0t),
d2xdt2 =
ddt (0x0 sin(0t)) =
20 x0 cos(0t) =20 x(t) =
km
x(t).
Ainsi cette fonction x(t) vrifie lquation diffrentielle (1.1).
quelle situation physique la solution trouve correspond-elle? Les
conditions initiales v-rifies sont :
x(0) = x0 cos(0) = x0 et(
dxdt
)t=0
= x0 sin(0) = 0.
Il sagit du cas o on lche le mobile dans la position x = x0 sans
lui communiquer de vitesseinitiale. Dans ce cas, x(t) oscille entre
x0 et x0 puisque la fonction cosinus oscille entre 1et 1 (voir
figure 1.2).
Cas o x0 = 0 et v0 = 0 On peut imaginer une autre manire de
lancer le mobile : sanslcarter de sa position dquilibre, lui
communiquer une vitesse v0ux . Quelle est alors la loidu mouvement
x(t) ? Les conditions initiales que doit vrifier cette solution
sont :
x(0) = 0 et(
dxdt
)t=0
= v0.
La fonction : x(t) = bsin(0t), o b est une constante est aussi
une solution de lquationdiffrentielle du mouvement comme le montre
le calcul suivant :dxdt = 0bcos(0t),
d2xdt2 =
ddt (0bcos(0t)) =
20 bsin(0t) =20 x(t) =
km
x(t).
Elle vrifie les conditions initiales si : x(0) = bsin(0) = 0, et
si :(
dxdt
)t=0
=0bcos(0) = v0.
Il faut donc que : b = v0
. Finalement, la solution de lquation diffrentielle
correspondant ces conditions initiales est :
x(t) =v00
sin(0t). (1.4)
Cette solution x(t) oscille entre v00
etv00
puisque la fonction sinus oscille entre 1 et 1(voir figure
1.2).
c) Solution pour des conditions initiales quelconquesOn peut
vrifier facilement que la somme des deux solutions prcdemment
trouves,
x(t) = x0 cos(0t)+v00
sin(0t), (1.5)
est aussi une solution de lquation diffrentielle et quelle
vrifie les conditions initiales
x(0) = x0 et(
dxdt
)t=0
= v0. On a ainsi la solution pour un jeu de conditions initiales
quel-conque. Sur la figure 1.2 on voit que x(t) oscille entre deux
valeurs opposes A et A.
26
-
UN OSCILLATEUR HARMONIQUE MCANIQUE
0 t
x0v00
A
x0A
v00
T0
x(t)
Figure 1.2 Reprsentation graphique de x(t) en fonction de t. En
gris clair : casx0 = 0 et v0 = 0 ; en gris fonc : cas x0 = 0 et v0
= 0 ; en noir : cas x0 = 0 et v0 = 0. La
priode des oscillations est T0 =20
= 2
m
k (voir paragraphe 2).
d) Gnralisation
La solution de lquation de loscillateur harmonique (1.2) est de
la forme :
x(t) = acos(0t)+ bsin(0t)
o a et b sont des constantes fixes par les conditions
initiales.
1.5 Conservation de lnergie mcaniqueLorsquil est en mouvement le
mobile possde une nergie cintique qui se calcule par laformule
:
Ec =12
mv2 =12
m
(dxdt
)2.
Le ressort quant lui na pas de masse donc pas dnergie cintique,
mais il possde unenergie appele nergie potentielle lie sa
dformation et dont on admettra ici lexpression :
Ep =12
kx2.
La somme de ces deux nergies est lnergie mcanique :
Em = Ep +Ec =12
kx2 + 12
m
(dxdt
)2.
Que valent ces nergies au cours du temps ?Si lon injecte la
solution x(t) = x0 cos(0t)+ v0
0sin(0t) dans les expressions prcdentes
27
-
CHAPITRE 1 OSCILLATEUR HARMONIQUE
on trouve :
Ec(t) =12
m(0x0 sin(0t)+ v0 cos(0t))2
=12
m(20 x
20 sin2(0t)+ v20 cos2(0t) 20x0v0 cos(0t)sin(0t)
),
et :
Ep(t) =12
k(
x0 cos(0t)+v00
sin(0t))2
=12
k(
x20 cos2(0t)+
v202
sin2(0t)+ 2x0v00
cos(0t)sin(0t))
=12
m(20 x
20 cos
2(0t)+ v20 sin2(0t)+ 20x0v0 cos(0t)sin(0t)
),
en utilisant la relation k = m20 . Lnergie mcanique scrit :
Em(t) = Ep(t)+Ec(t)
=12
m(20 x
20(cos2(0t)+ sin2(0t)
)+ v20
(cos2(0t)+ sin2(0t)
))=
12
m(20 x
20 + v
20)=
12
k(
x20 +v2020
)=
12
kx20 +12
mv20.
(1.6)
en utilisant encore la relation k =m20 . Lnergie mcanique est
donc constante dans le temps.On reconnat dans la dernire expression
la valeur de lnergie mcanique linstant initial.Ce rsultat est
cohrent avec le fait que lon tudie un systme idalis dont
lamortisse-ment est nglig : on ne prend en compte aucun type de
frottement. Cest pourquoi il y aconservation de lnergie
mcanique.
Remarque
Dans les deux cas particuliers du paragraphe b) on fournit son
nergie au systme : sous forme dnergie potentielle uniquement quand
x0 = 0 et v0 = 0 ; sous forme dnergie cintique uniquement quand x0
= 0 et v0 = 0.
Lquation diffrentielle (1.1) peut tre tablie partir de la
relation de conservationde lnergie mcanique : Em =
12
m
(dxdt
)2+
12
kx(t)2 = constante. En effet, il vientsi lon drive par rapport
au temps :
mdxdt
d2xdt2 + kx(t)
dxdt = 0,
ce qui redonne lquation diffrentielle (1.1), aprs simplification
par le terme dxdt .
28
-
UN OSCILLATEUR HARMONIQUE MCANIQUE
1.6 Amplitude et priode du mouvementa) Amplitude du
mouvementLamplitude A du mouvement est la valeur maximale atteinte
par x(t). Dans le cas o x0 = 0et v0 = 0, A = x0 ; dans le cas o x0
= 0 et v0 = 0, A = v0
0. Quelle est lexpression de A dans
le cas gnral o x0 = 0 et v0 = 0 ?On peut utiliser la
conservation de lnergie : lorsque x(t) passe par la valeur maximale
A, sadrive est nulle donc lnergie cintique est nulle. Par suite
:
Em =12
kA2 + 0.
Lexpression (1.6) de lnergie mcanique conduit alors :
A =
x20 +
v2020
.
b) PriodeComme on lobserve sur la figure 1.2, le mouvement du
mobile est oscillatoire et priodique :les valeurs de x(t) se rptent
intervalle rgulier. Mathmatiquement cela provient de lapriodicit
des fonctions cosinus et sinus : cos( +2)= cos et sin( +2) = sin .
Alors :
cos(0t) = cos(0t + 2) = cos(
0
(t +
20
)),
et de mme : sin(0t) = sin(
0
(t +
20
)). Ainsi, on a :
x(t) = x(t +T0) avec T0 =20
= 2
m
k . (1.7)
Cette relation signifie que le mouvement est priodique de priode
T0. La priode ne d-pend pas de lamplitude du mouvement, cest la
proprit disochronisme des oscillationsde loscillateur harmonique.
On peut alors parler de priode de loscillateur harmonique.
T0augmente avec la masse m du mobile et diminue avec la constante
de raideur k du ressort, cequi est intuitif.
29
-
CHAPITRE 1 OSCILLATEUR HARMONIQUE
2 Signal sinusodal2.1 Dfinition du signal sinusodal
Un signal sinusodal est un signal de la forme :
s(t) = Acos(t +).
o A et sont des constantes positives et une constante. est la
pulsation du signal, A son amplitude, et sa phase initiale.
Un signal sinusodal peut aussi tre crit sous la forme :
s(t) = acos(t)+ bsin(t),
o a et b sont deux constantes. Cest sous cette forme quon
lobtient naturellementen rsolvant lquation diffrentielle de
loscillateur harmonique.Il faut savoir trouver la valeur de
lamplitude et de la phase initiale de ce signal.La relation de
trigonomtrie cos( + ) = cos cos sin sin (voir appendicemathmatique)
permet dcrire : Acos(t +) = Acos cos(t)Asin sin(t).On en dduit
:
cos = aA
et sin = bA
do A =
a2 + b2, (1.8)
puisque cos2 + sin2 = 1.Pour dterminer on peut utiliser la
mthode suivante qui donne une valeur com-prise entre et : il sagit
de arccos
( aA
)si sin > 0 et de arccos
( aA
)si
sin < 0.
2.2 Phase instantane, phase initialeLargument de la fonction
cosinus est appele phase instantane.Le signal oscille entre A et A
: il vaut A aux instants o la phase instantane est gale 2no n est
un entier, il vaut A aux instants o elle est gale (2n+1) , il vaut
0 et a une pentengative aux instants o elle est gale
(2n+ 1
2
) , et il vaut 0 et a une pente positive aux
instants o elle est gale (
2n 12
) . Ceci est illustr sur la figure 1.3.
La phase initiale donne la valeur de dpart du signal t = 0. Elle
dpend de loriginedes temps choisie. De plus, le cosinus tant une
fonction priodique de priode 2 , la phaseinitiale nest dfinie qu un
multiple entier de 2 prs. On peut ainsi toujours se ramener une
phase initiale comprise entre et .
30
-
SIGNAL SINUSODAL
0 t
s(t)
2n (2n+1)(2n1)(
2n+ 12
)
(2n 1
2
)
A
A
T
t+
Figure 1.3 Signal sinusodal. La valeur de la phase instantane t
+ est indiqueen certains points, n est un entier.
2.3 Priode, frquencea) DfinitionsUn signal physique s(t) est
priodique sil se rpte dans le temps. Sa priode T est la pluspetite
dure telle que :
s(t +T ) = s(t).
La frquence du signal :
f = 1T
est le nombre de rptitions du signal par unit de temps.La priode
T se mesure en secondes (symbole s) ; la frquence f se mesure en
hertz (symboleHz) : 1Hz = 1s1.
b) Relations entre pulsation, priode et frquenceOn a vu plus
haut quun signal sinusodal est priodique de priode :
T =2
.
31
-
CHAPITRE 1 OSCILLATEUR HARMONIQUE
Sa frquence est donc relie la pulsation par les formules :
f = 2
ou = 2 f .
c) Deux autres expressions du signal sinusodalLe signal
sinusodal s(t) = Acos(t +) peut scrire aussi :
s(t) = Acos(
2 tT+
)ou s(t) = Acos(2 f t +).
2.4 Une interprtation gomtrique
0
s(t)X
Y O
M0
M
tH
t t
Figure 1.4 Mouvement circulaire et signal sinusodal.
On peut donner du signal sinusodal s(t) = Acos(t +) une image
gomtrique. On consi-dre le cercle de rayon A centr lorigine du
repre orthonorm (OXY ) (voir figure 1.4)et sur le cercle le point
M0 tel que langle entre le vecteur directeur uX de laxe (OX) et
levecteur
OM0 vaut . Soit un point M se dplaant sur le cercle avec la
vitesse angulaire etpassant par M0 linstant initial. Langle entre
le vecteur
OM et laxe (OX) linstant t est (t) = t + et labscisse de ce
point est
XM(t) = OH = OM cos (t) = Acos(t +) = s(t).
Le signal sinusodal est ainsi labscisse dun point tournant la
vitesse angulaire .
32
-
SIGNAL SINUSODAL
2.5 Reprsentation de Fresnel (MPSI)a) Dfinition du vecteur de
Fresnel
On associe au signal s(t) = Acos(t +) un vecteur appel vecteur
de Fresnel, qui aune norme gale A et qui fait, linstant t, langle t
+ avec laxe des abscisses.
Ce vecteur tourne autour de lorigine la vitesse angulaire (voir
figure 1.5). Il sagit duvecteur
OM du paragraphe prcdent. Dans cet ouvrage le vecteur de Fresnel
associ ausignal s(t) est not S .
X
Y
S
1
DS
t+
12
D2S
Figure 1.5 Reprsentation de Fresnel dun signal sinusodal et ses
deux premiresdrives. Les vecteurs DS et D2S ont t multiplis
respectivement par 1 et
12
pourune question dhomognit.
b) Vecteur de Fresnel du signal drivLa drive par rapport au
temps dun signal sinusodal s(t) = Acos(t + ) est aussi unsignal
sinusodal, en effet :
dsdt =Asin(t +) = Acos
(t + +
2
).
Lamplitude de dsdt est gale lamplitude de s(t) multiplie par et
sa phase initiale est
gale la phase initiale de s(t) augmente de 2
. Ainsi :
Le vecteur de Fresnel associ dsdt sobtient partir du vecteur de
Fresnel associ s(t)en effectuant les oprations suivantes :
on tourne le vecteur dun angle 2
dans le sens trigonomtrique, on multiple la norme du vecteur par
(voir figure 1.5).
33
-
CHAPITRE 1 OSCILLATEUR HARMONIQUE
Le vecteur de Fresnel relatif dsdt sera notDS.
Si on drive le signal deux fois, on tourne le vecteur dun angle
et on multiplie sa norme
par 2. Ainsi le vecteur de Fresnel D2S associ d2s
dt2 est :
D2S =2S .
Cette relation nest autre que lquation diffrentielle de
loscillateur harmonique de pulsationpropre dont le signal sinusodal
est solution. Elle est visualise sur la figure 1.5.
2.6 Dphasagea) Dphasage entre deux signaux sinusodauxOn considre
deux signaux sinusodaux : s1(t)=A1 cos(1t+1) et s2(t)=A2
cos(2t+2).On appelle dphasage du signal s2 par rapport au signal s1
la diffrence entre leurs phasesinstantanes :
(t) = (2t +2) (1t +1) = (2 1)t +21.Le dphasage est visible dans
la reprsentation de Fresnel : il sagit de langle allant
duvecteur
S1 au vecteur S2 (voir figure 1.6).
1t+12t+2
O X
YS1
S2
Figure 1.6 Dphasage entre deux signaux sinusodaux.
Quand les deux signaux sinusodaux ont la mme frquence (soit 1 =
2) leur dphasageest constant dans le temps et gal la diffrence de
leurs phases initiales :
= 2 1.Dans la suite on se place uniquement dans ce cas et on
appelle la pulsation des deux signaux(1 = 2 = ).
b) Valeurs remarquables du dphasageLes signaux sont dits en
phase si est gal 0 ou 2n avec n entier. Dans ce cas :
cos(t +2) = cos(t +1 + 2n) = cos(t +1).
34
-
SIGNAL SINUSODAL
Les deux signaux passent par leurs valeurs maximales ou leur
valeurs minimales en mmetemps, sannulent en mme temps. Les vecteurs
de Fresnel ont chaque instant mme direc-tion et mme sens (voir
figure 1.7).
t+1O X
YS1S2
s1s2
t
Figure 1.7 Signaux sinusodaux de mme frquence en phase.
Les signaux sont dits en opposition phase si est gal ou (2n+1)
avec n entier. Dansce cas :
cos(t +2) = cos(t +1 +(2n+ 1)) = cos(t +1 +) =cos(t +1).
un instant o lun des signaux passe par sa valeur maximale,
lautre passe par sa valeurminimale. Il sannulent en mme temps mais
lun en croissant et lautre en dcroissant. Lesvecteurs de Fresnel
ont chaque instant la mme direction mais sont de sens opposs
(voirfigure 1.8).
t+1O X
YS1
S2
s1
s2
t
Figure 1.8 Signaux sinusodaux de mme frquence en opposition de
phase.
Les signaux sont dits en quadrature de phase si est gal 2
ou
(2n 1
2
)
avec n entier. Alors :
cos(t +2) = cos(
t +1 +(
2n 12
)
)= cos
(t +1 2
)=sin(t +1).
un instant o lun des signaux passe par sa valeur maximale,
lautre passe par zro etrciproquement. Les vecteurs de Fresnel sont
orthogonaux chaque instant. On parle de
35
-
CHAPITRE 1 OSCILLATEUR HARMONIQUE
quadrature avance ou quadrature retard selon que s2 est en
avance ( =+2 + 2n)ou en retard ( =
2+ 2n) sur s1 (voir figures 1.9 et 1.10).
t+1O X
YS1S2
s1
s2
t
Figure 1.9 Signaux sinusodaux de mme frquence en quadrature de
phase. s2 esten avance sur s1.
t+1O X
YS1
S2
s1
s2t
Figure 1.10 Signaux sinusodaux de mme frquence en quadrature de
phase. s2est en retard sur s1.
Remarque
La drive dun signal sinusodal s(t) est en quadrature avance sur
s(t). La driveseconde est en opposition de phase par rapport s(t).
Un signal dont s(t) est la drive(soit une primitive de s(t)), est
en quadrature retard sur s(t).
c) Mesure dun dphasageExprimentalement on peut visualiser un
signal en fonction du temps laide dun oscillo-scope ou bien dune
carte dacquisition relie un ordinateur. Pour cela, le signal doit
treune tension lectrique. Si le signal que lon veut tudier nest pas
une tension, on utilise uncapteur qui fournit une tension
proportionnelle ce signal.
36
-
SIGNAL SINUSODAL
s1s2
tt1 t2 t3
||T
Figure 1.11 Mesure du dphasage entre deux signaux
sinusodaux.
La courbe donnant le signal au cours du temps est appele forme
donde. Dans le cas dunsignal sinusodal, on dduit de la forme donde
: lamplitude A, en mesurant la valeur maximale smax et la valeur
minimale smin, par la
formule : A = smax smin2
(attention ne pas oublier le facteur 12
) ; la priode T , en mesurant les dates t1 et t2 > t1 de deux
annulations successives du signal
avec la mme pente (voir figure 1.11), par la formule : T = t2
t1.La phase initiale dun seul signal sinusodal a peu dintrt
pratique car elle dpend du choixde lorigine des temps. En revanche,
le dphasage entre deux signaux sinusodaux de mmefrquence est
souvent une information importante.Le dphasage est li au dcalage
temporel entre les deux signaux. En effet :
cos(t +2) = cos(t +1 +) = cos(
(t +
)+1
)= cos((t + )+1),
formule o apparat le dcalage temporel entre les deux signaux
:
=
.
La mesure de conduit la valeur de . Pour cela on repre : deux
dates t1 et t2 conscutivesen lesquelles la courbe s2 sannule avec
la mme pente, une date t3 la plus proche possible det2 o le signal
s1 sannule avec une pente du mme signe (voir figure 1.11). On en
dduit : la priode du signal : T = t2 t1 ; le dcalage temporel : =
t3 t2 ; le dphasage de s2 par rapport s1 : = = 2
t3 t2t2 t1 .
La valeur du dphasage obtenue par cette mthode est comprise
entre et + . Elle estpositive si s2(t) est en avance sur s1(t) (cas
de la figure 1.11) et ngative si s2(t) est en retard.
Il faut contrler le signe du rsultat en observant le
chronogramme : s2 est en avancesur s1 si, entre t1 et t2, il
atteint son maximum avant s1.
37
-
CHAPITRE 1 OSCILLATEUR HARMONIQUE
d) Utilisation de loscilloscope en mode XY Lorsquon utilise une
oscilloscope en mode XY on observe une courbe forme par lespoints
donc labscisse est X(t) = s1(t) et lordonne Y (t) = s2(t).Dans le
cas o s1(t) et s2(t) sont deux signaux sinusodaux, cette courbe
est, pour un dpha-sage quelconque, une ellipse (voir annexe
mathmatique).Si ces signaux sont en phase on a : s2(t) =
A2A1
s1(t) soit Y (t) =A2A1
X(t). La courbe observeest donc une droite de pente
positive.
Si ces signaux sont en opposition phase on a : s2(t) = A2A1
s1(t) soit Y (t) = A2A1
X(t). Lacourbe observe est donc une droite de pente ngative.
Lutilisation de loscilloscope en mode XY permet de reprer
facilement des signauxen phase ou en en opposition de phase :
quelconque =0 =
38
-
SIGNAL SINUSODAL
SAVOIRS quation diffrentielle de loscillateur harmonique
expression de la pulsation de loscillateur constitu par une masse
accroche un ressort dfinitions dun signal sinusodal, de son
amplitude, sa pulsation, sa phase initiale relations entre la
pulsation, la frquence et la priode reprsentation de Fresnel
SAVOIR-FAIRE tablir lquation diffrentielle dune masse accroche
un ressort rsoudre lquation diffrentielle dun oscillateur
harmonique avec des conditions ini-
tiales donnes trouver lamplitude et la phase initiale de la
solution vrifier la conservation de lnergie mcanique reconnatre
lamplitude, la phase initiale, la priode, la frquence, la pulsation
dun si-
gnal sinusodal donn trouver la phase instantane un instant o le
signal est maximal, minimal, nul dessiner une reprsentation de
Fresnel (MPSI) dterminer exprimentalement un dphasage
MOTS-CLS oscillateur harmonique signal sinusodal amplitude
pulsation
priode frquence phase dphasage
vecteur de Fresnel conservation de lnergie
SYNTHSE
39
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Exer
cice
s CHAPITRE 1 OSCILLATEUR HARMONIQUE
SENTRANER
1.1 Reconnatre un oscillateur harmonique ()1. La tension
lectrique v(t) aux bornes dun oscillateur quartz (tel quon en
trouve dans lesmontres) vrifie lquation diffrentielle : d
2v
dt2 +Av(t) = 0 avec A = 4,239.1010 USI. Quelle
est lunit de A ? Quelle est la frquence de cet oscillateur ?2.
Un lectron de masse me = 9,11.1031 kg et de charge q = 1,61.1019 C
est pig lintrieur dun dispositif tel que son nergie potentielle est
Ep =
12
qV0d2 z
2 o V0 =5,0 V etd = 6,0 mm. On sintresse un mouvement de
llectron selon laxe (Oz).
a. Exprimer lnergie mcanique de llectron en fonction des donnes
et de z(t) de dzdt .b. On suppose que lnergie mcanique est
constante dans le temps. Calculer la frquence
des oscillations de llectron selon (Oz) dans le pige.
1.2 Mouvement sinusodal ()On filme avec une webcam le mobile
tudi dans le premier paragraphe. A laide dun logicielpermettant de
relever image aprs image la position de G, on trouve que G passe
par saposition dquilibre, avec une vitesse dans le sens de (Ox),
linstant t1 = 1,44 0,03 s etquil passe ensuite pour la premire fois
au milieu entre la position dquilibre et la positiondlongation
maximale linstant t2 = 2,52 0,1 s.1. Calculer la priode des
oscillations.2. Pourquoi na-t-on pas choisi de mesurer linstant o
le mobile passe par la position dlon-gation maximale ?
1.3 Vibration dun diapason ()Un diapason vibre la frquence du
La4 soit f = 440 Hz. On mesure sur une photo lampli-tude du
mouvement de lextrmit des branches A = 0,5 mm. Quelle est la
vitesse maximalede lextrmit du diapason ? Quelle est lacclration
maximale de ce point ?1.4 nergie de loscillateur harmonique ()
Lnergie mcanique dun oscillateur harmonique scrit : Em(t)
=12
m20 x2 +
12
m
(dxdt
)2.
On suppose quil ny a aucun phnomne dissipatif : lnergie mcanique
est donc constante.1. En utilisant la conservation de lnergie,
retrouver lquation diffrentielle de loscillateurharmonique.2. On
suppose que x(t)=Acos(0t+). Exprimer lnergie cintique et lnergie
potentielleen fonction de m, 0, A et cos(2t+2). On utilisera les
formules : cos2 =
12(1+cos(2))
et sin2 = 12(1 cos(2)). Vrifier que lnergie mcanique est bien
constante.
40
-
Exer
cice
sAPPROFONDIR
3. Tracer sur un mme graphe les courbes donnant lnergie cintique
et lnergie potentielleen fonction du temps. Quelle est la frquence
de variation de ces nergies ?
1.5 Caractristiques de signaux sinusodaux ()1. Donner
lamplitude, la priode, la frquence et la phase initiale des signaux
suivants :
a. x(t) = 15cos(100t+ 0,5) ;b. x(t) = 5sin(7,854.106t) ;c. x(t)
= 2sin(120t 4 ) ;d. x(t) = 15cos(2,0.103t) 5sin(2,0.103t)
(indication : utiliser la reprsentation de
Fresnel).2. Quelle est la phase initiale dun signal sinusodal
qui vaut la moiti de sa valeur maximaleet crot linstant t = T4 o T
est la priode ?
1.6 Dtermination dun dphasage ()La figure reprsente un cran
doscilloscopeavec deux signaux sinusodaux de mme fr-quence s1(t)
(en noir) et s2(t) (en gris). La ligneen tiret reprsente le niveau
zro pour les deuxsignaux. Une division de laxe des temps
cor-respond 20 ms.
1. Dterminer la frquence des signaux.2. Caculer le dphasage de
s2 par rapport s1.3. Quelle est la phase de s1 au point le plus
gauche de lcran ?
APPROFONDIR
1.7 Vibration dune molcule ()La frquence de vibration de la
molcule de chlorure dhydrogne HCl est f = 8,5.1013 Hz.On donne les
masse atomiques molaires : MH = 1 gmol1 et MCl = 35,5 gmol1, ainsi
quele nombre dAvogadro :NA = 6,02.1023 mol1.On modlise la molcule
par un atome dhydrogne mobile reli un atome de chlore fixepar un
ressort de raideur k.1. Justifier lhypothse dun atome de chlore
fixe.2. Calculer k.3. On admet que lnergie mcanique de la molcule
est gale 1
2h f o h = 6,63.1034 Js
est la constante de Planck. Calculer lamplitude du mouvement de
latome dhydrogne.4. Calculer sa vitesse maximale.
41
-
Exer
cice
s CHAPITRE 1 OSCILLATEUR HARMONIQUE
1.8 Un modle dlasticit dune fibre de verre ()Le verre est un
matriau trs dur. On peut toutefois le dformer lgrement sans le
casser : onparle dlasticit. Rcemment, des expriences de biophysique
ont t menes pour tudierlADN. Le capteur utilis tait simplement une
fibre optique en silice amincie lextrmitde laquelle on accroche un
brin dADN. Lexprience consistait suivre la dformation deflexion de
la fibre. La masse volumique du verre est = 2500 kg.m1.
Y kFF
La fibre de verre de longueur et de diamtred est encastre
horizontalement dans une pa-roi immobile. Au repos, la fibre est
horizon-tale (on nglige son poids). Quand on appliqueune force
verticale F (on supposera que la forceF reste verticale tout au
long de lexprience) lextrmit libre de la fibre, celle-ci est
d-forme. Lextrmit est dplace verticalementdune distance Y que lon
appelle la flche (voirfigure).La flche Y est donne par la relation
suivante (on notera la prsence du facteur numrique7, sans
dimension, qui est en fait une valeur approche pour plus de
simplicit) : 7
3FEd4 , o
E est appel module dYoung du verre. Pour les applications
numriques on prendra pour lemodule dYoung E = 7.1010 S.I..
1. Quelle est lunit S.I. du module dYoung E ?2. En considrant
uniquement la force F , montrer que lon peut modliser la fibre de
verre parun ressort de longueur vide nulle et de constante de
raideur k dont on donnera lexpressionanalytique en fonction de E ,
d et .3. Calculer numriquement k pour une fibre de longueur = 7 mm
et de diamtre d = 10 m.
On a tous fait lexprience suivante : faire vibrer une rgle ou
une tige lorsquune deses extrmits est bloque. On cherche ici
trouver les grandeurs pertinentes qui fixentla frquence des
vibrations. Lextrmit de la tige vaut Y (t) linstant t. On admet
quelors des vibrations de la fibre, lnergie cintique de la fibre de
verre est donne par lex-
pression Ec = d2(
dYdt
)2. Son nergie potentielle lastique lorsque la flche vaut Y est
:
Ep =12
Ed473
Y 2.
4. crire lexpression de lnergie mcanique de la fibre en
ngligeant lnergie potentiellede pesanteur.5. Justifier que lnergie
mcanique se conserve au cours du temps. En dduire
lquationdiffrentielle qui rgit les vibrations de la fibre.6. Quelle
est lexpression de la frquence propre de vibration dune tige de
verre de moduledYoung E , de longueur et de diamtre d ?7. Calculer
numriquement la frquence des vibrations dune fibre de verre de
longueur 7 mmet de diamtre 0,01 mm.
42
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Exer
cice
sCo
rrig
s
CORRIGS
CORRIGS
1.1 Reconnatre un oscillateur harmonique
1. A se mesure en s2. Lquation diffrentielle est celle dun
oscillateur harmonique de
pulsation =
A donc de frquence f = 2
=
A
2= 32,77 kHz.
2. a. Lnergie mcanique est la somme de lnergie cintique Ec
=12
me
(dzdt
)2et de
lnergie potentielle donne, soit : Em =12
me
(dzdt
)2+
12|qV0|
d2 z2, car qV0 = (q)(V0) =
|qV0|.b. Lnergie mcanique tant conserve, dEmdt = me
d2zdt2
dzdt +
|qV0|d2
dzdt z(t) = 0, soit aprs
simplification par dzdt et division par m :d2zdt2 +
|qV0|med2
z(t) = 0.
On reconnat lquation dun oscillateur harmonique de pulsation =
|qV0|
med2et donc de
frquence f = 12
|qV0|med2
= 25.106 Hz = 25 MHz.
1.2 Mouvement sinusodal
1. Le mobile passe par sa position dquilibre avec une vitesse
dans le sens positif t1.Daprs la figure 1.3 du cours la phase du
signal x(t) t = t1 est = 2 . La loi horaire dumouvement est donc :
x(t) = Acos
((t t1) 2
)= Asin((t t1)).
2. A linstant t2, x(t2) =A2 , donc sin((t2 t1)) =
12 , soit (t2 t1) = arcsin
(12
)=
3 .
Ainsi : = 3(t2 t1) do T =2
= 6(t2 t1) = (6,48 24) s.
Pour encadrer l