Maths Physique Chimie Resume MPSI

VISA POUR LA PRPA

4OUTENCHES-ATHmMATIQUES 0HYSIQUE#HIMIE

MPSI 0#3) PTSI "#034MARIE-VIRGINIE SPELLERERWAN GULOU

Dunod, Paris, 2013ISBN 978-2-10-059277-7

Conception et cration de couverture : Atelier 3+

Table des matires

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Mathmatiques[Outils mathmatiques]Fiche cours 1 Le point sur les quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8Fiche cours 2 Le point sur la rsolution de systmes . . . . . . . . .11Fiche cours 3 Les polynmes des second et troisime degrs . .14Fiche cours 4 Le point sur les inquations

et les tableaux de signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18Fiche cours 5 Les sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21Fiche cours 6 Le point sur les combinaisons et les factorielles .22Fiche cours 7 Rappels de gomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

[Les fonctions]Fiche cours 8 Lensemble de dfinition dune fonction . . . . . . . .30Fiche cours 9 Les axe et centre de symtie dune fonction

parit dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31Fiche cours 10 La priodicit dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . .32Fiche cours 11 Le point sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33Fiche cours 12 La continuit et la drivabilit dune fonction

en un point x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37Fiche cours 13 Le tableau des drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38Fiche cours 14 Les tapes dune tude de fonction . . . . . . . . . . .40Fiche cours 15 Les fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47Fiche cours 16 Le point sur les fonctions valeur absolue

et partie entire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53Fiche cours 17 Les fonctions exponentielle et logarithme

de base a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56Fiche cours 18 Les fonctions trigonomtriques

et trigonomtriques rciproques . . . . . . . . . . . . . .60Fiche exercices 19 tudes de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69Fiche exercices 20 Linarisation des fonctions trigonomtriques . . .90

[Introduction] Bienvenue en Maths sup ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

[Table des matires]

IV

[Lintgration]Fiche cours 21 Les primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92Fiche cours 22 Les intgrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94Fiche exercices 23 Le calcul intgral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98Fiche cours 24 Les quations diffrentielles des 1er et 2nd ordre

(Hors programme TS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100Fiche exercices 25 Les quations diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . . .103

[Les suites]Fiche cours 26 Les suites arithmtiques et gomtriques . . . . .106Fiche cours 27 Le comportement dune suite . . . . . . . . . . . . . . .108Fiche cours 28 Les suites rcurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110Fiche exercices 29 Les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

[Les nombres complexes]Fiche cours 30 Quest-ce quun nombre complexe ? . . . . . . . . .118Fiche exercices 31 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127Fiche exercices 32 Comment calculer la racine carre dun nombre

complexe ? (Hors programme TS) . . . . . . . . . . .134Fiche cours 33 Les nombres complexes et la gomtrie . . . . . .137Fiche exercices 34 Les nombres complexes et la gomtrie . . . . . .143Fiche exercices 35 Les transformations gomtriques

(Hors programme TS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

[Les matrices]Fiche cours 36 Les espaces vectoriels (Hors programme TS) . .152Fiche cours 37 Les matrices (Enseignement de spcialit TS) . .153Fiche exercices 38 Les matrices carres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161

[Les probabilits et les statistiques]Fiche cours 39 Les statistiques descriptives bases . . . . . . . . . .166Fiche cours 40 Le dnombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168Fiche cours 41 Les probabilits conditionnelles . . . . . . . . . . . . .170Fiche cours 42 Les principales lois discrtes . . . . . . . . . . . . . . . .172Fiche exercices 43 Les loi de Bernoulli et Binomiale . . . . . . . . . . . .175Fiche cours 44 Les lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177Fiche cours 45 Le point sur les lois discrtes et continues . . . . .179

[Larithmtique]Fiche cours 46 Le point sur les notions en arithmtique . . . . . .184Fiche exercices 47 Larithmtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186

Physique[Outils mathmatiques indispensables la physique]Fiche cours 48 Le point sur les conversions . . . . . . . . . . . . . . . .190Fiche exercices 49 Le point sur les conversions . . . . . . . . . . . . . . . .194Fiche cours 50 La notion derreur et dincertitude . . . . . . . . . . .196Fiche cours 51 Le rsultat exprimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201Fiche exercices 52 Le rsultat exprimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203

[Signaux physiques et rappels doptique]Fiche cours 53 Les ondes et particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206Fiche exercices 54 Les caractristiques des ondes . . . . . . . . . . . . . .210Fiche cours 55 Optique et proprits des ondes . . . . . . . . . . . . .213Fiche exercices 56 Les caractristiques des ondes . . . . . . . . . . . . . .220Fiche cours 57 Le monde qantique Introduction . . . . . . . . . . .224Fiche exercices 58 Le monde quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227

[Mcanique : Temps, Mouvement et volution]Fiche cours 59 Cinmatique et lois de Newton . . . . . . . . . . . . . .230Fiche exercices 60 Mouvement dun mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236Fiche cours 61 Le mouvement des plantes . . . . . . . . . . . . . . . .242Fiche exercices 62 Les lois de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245Fiche cours 63 Travail et nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248Fiche exercices 64 Travail et nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252Fiche cours 65 La dilatation des dures . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263

[Introduction la thermodynamique changes thermiques]Fiche cours 66 Du microscopique au macroscopique . . . . . . . . .266Fiche cours 67 nergie dans un systme thermodynamique . . .267Fiche cours 68 Transferts thermiques et bilan nergtique . . . .269Fiche exercices 69 Transferts thermiques et bilan nergtique . . . .273Fiche cours 70 Mes premiers pas en thermodynamique

(Hors programme Terminale) . . . . . . . . . . . . . . .275

[Table des matires]

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[Llectricit]Fiche cours 71 Les bases en lectricit (Rappels de 1re) . . . . . . .278Fiche exercices 72 Les bases en lectricit (Rappels de 1re) . . . . . . .287Fiche cours 73 Les circuits R, L, C srie

(Hors programme Terminale) . . . . . . . . . . . . . . .289Fiche cours 74 Comment dchiffrer les informations

dun oscilloscope ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293Fiche exercices 75 Comment dchiffrer les informations

dun oscilloscope ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .295

Chimie[Les ractions doxydorduction]Fiche cours 76 Les ractions doxydorduction . . . . . . . . . . . . .298Fiche exercices 77 Les ractions doxydorduction . . . . . . . . . . . . .300Fiche cours 78 Les piles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .305Fiche exercices 79 Les piles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .308

[Les ractions acido-basiques]Fiche cours 80 Les ractions acido-basiques . . . . . . . . . . . . . . .314Fiche exercices 81 Les ractions acido-basiques . . . . . . . . . . . . . . .318Fiche cours 82 Titrages et dosages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322Fiche exercices 83 Titrages et dosages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .325

[La chimie organique]Fiche cours 84 Les familles de composs organiques . . . . . . . .330Fiche exercices 85 Les familles de composs organiques . . . . . . . .335Fiche cours 86 Les ractions chimiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .338Fiche exercices 87 Les ractions chimiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341Fiche cours 88 Analyse des composs organiques et rendement .345Fiche exercices 89 Analyse des composs organiques et rendement .350

[Cintique et catalyse]Fiche cours 90 Cintique chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .358Fiche exercices 91 Cintique chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .362Fiche cours 92 La catalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .368Fiche exercices 93 La catalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .371

[Index] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .374

[Table des matires]

VI

[Bienvenue en prpa !]

Introduction

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Vous avez dit prpa ?

1. Bienvenue en prpa !

Tout dabord FLICITATIONS vous qui tes admis en classe prpa ! Avant de consulter cet ouvrage nous vous invitons lire ces quelqueslignes en guise dintroduction car mme si vous restez au lyce beau-coup de choses vont changer... Afin dapprhender au mieux votre annede prpa, autant que vous sachiez prcisment o vous mettez les pieds !

2. qui sadresse ce livre ?

Cet ouvrage regroupe les notions essentielles matriser parfaitement enmathmatiques, physique et chimie pour intgrer une classe de math-matiques suprieures MPSI (Mathmatiques Physique Sciences delIngnieur), PCSI (Physique Chimie Sciences de lIngnieur), PTSI(Physique Technologie Sciences de lIngnieur) ou BCPST (BiologieChimie Physique Sciences de la Terre).

3. Une nouvelle forme dvaluation : vers le concours !

Vous aviez lhabitude dtre nots sur 20 aux diffrents contrles enfonction des exercices correctement traits et selon un barme prcis.En prpa, vous tes nots en fonction des rsultats des autres lvesde la classe. Cela signifie que vous pouvez obtenir une note de 20/20en nayant pas ralis la totalit du sujet : par exemple, si vous tes lemeilleur en ayant fait la moiti de lnonc, vous avez 20/20 !

Sur votre copie figure donc dsormais votre classement ct de lanote attribue.

4. Quelles matires ?

Les matires enseignes en classe de mathmatiques suprieures sont (levolume horaire dpend de votre filire) :

[Introduction]Bienvenue en Maths sup !

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it.[Bienvenue en Maths sup !]

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Les mathmatiques La physique La chimie Les sciences de lingnieur (MPSI, PCSI et PTSI) Les sciences de la vie et de la terre (BCPST) Le franais : trois uvres autour dun thme commun. Langlais : thmes (du franais vers langlais) et versions (de langlais

vers le franais) Le sport : ce qui peut vous permettre de vous dtendre et vacuer

votre surplus de stress !

5. Quelle attitude adopter en prpa ?

Travaillez rgulirement !Avec la masse de nouvelles informations que vous allez devoir digrer aucours de la semaine, vous ne pouvez pas vous permettre de travailler parintermittence. Sinon vous serez vite perdu(e) et accumulerez trop de retard !Prenez lhabitude de lire vos notes prises au cours de la journe tous lessoirs en rentrant chez vous. Notez les diffrents points que vous ne sai-sissez pas bien et nhsitez pas aller voir vos professeurs pour leurposer des questions.Ne ngligez pas les matires littraires : Dabord parce qu niveau gal dans les matires scientifiques, cest

langlais et le franais qui feront la diffrence aux concours ! Il est galement vivement conseill aux futurs ingnieurs dtre bilin-

gue franais/anglais leur arrive sur le march du travail. Mais aussi parce que le franais ou langlais reprsentent un bol

dair frais dans la semaine qui est remplie de formules mathma-tiques et scientifiques en tout genre.

Faites-vous des amis !Daccord, vous tes systmatiquement classs chaque devoir sur table,ce qui peut instaurer un certain esprit concours dans la classe.Nentrez surtout pas dans ce jeu : prtez vos cours aux absents, expliquezce que vous avez bien compris ceux qui ont des difficults, travaillezavec vos camarades de classe, etc. Pourquoi ? Parce que vous avancezbeaucoup plus rapidement en expliquant aux autres et en leur posant desquestions plutt quen rvisant tout seul dans votre coin.

[Bienvenue en Maths sup !]In

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Ne faites pas que travailler avec les personnes de votre classe, sortez,allez au cinma, allez au thtre, allez voir des expositions, etc.Organisez-vous aussi des dners de classe ! Le but est de partager autrechose que la vie scolaire. Et vous verrez, on peut se faire des amis enprpa ! Cela vous permettra aussi de supporter le rythme soutenu descours.

Rassurez-vous !Il se peut que vous entendiez beaucoup de commentaires dcourageantssur la prpa : cest horrible , cest trs difficile , tu ne vas que tra-vailler , etc. De quoi vous miner le moral... Mais prenez les choses dubon ct :

Vous avez choisi cet enseignement et en plus vous avez eu la chan-ce de voir votre candidature retenue. Cest tout de mme une trsbonne nouvelle !

Vous allez travailler sur des thmes qui vous plaisent priori. La prpa est loccasion de dvelopper dexcellentes mthodes de

travail. Vous ne perdez pas votre temps car en cas dchec ou de change-

ment dorientation vous pouvez intgrer dautres filires.La fin de lanne... premier bilan :

Vous tes admis en maths sp ! Bravo et bonne chance pour la 3/2 ! Vous ntes pas admis poursuivre dans votre lyce : tentez une

maths sp dans dautres tablissements ou bien changez de filire.Demandez des conseils vos professeurs : que pouvez-vous faire enfonction de vos rsultats ? Cette filire vous plat-elle ? Etc. Prenezrendez-vous, si vous avez besoin avec une conseillre dorientation.Allez aux portes ouvertes des coles dingnieur post-bac, des uni-versits, etc. Mais en aucun cas, cette non-admission en maths sp dans votrelyce ne constitue un chec. Vous avez acquis de trs bonnes basesdans les matires scientifiques (notamment en mathmatiques)mais vous disposez galement dsormais dexcellentes mthodesde travail. Vous pourrez ainsi russir brillamment dans dautres tudes.

Remerciements

Je tiens tout dabord remercier lquipe ddition pour son sou-tien, son coute et sa confiance.Je remercie galement tous les lves que jai pu accompagnerlors de leurs tudes en prpa. Leurs doutes et leurs questionne-ments mont permis dinsister sur les points qui posent le plus deproblmes aux tudiants leur arrive en classe prparatoire.Jespre que cet ouvrage rpondra aux attentes des futurs lvesde mathmatiques suprieures.Bon travail et bonne maths sup tous !

Marie-Virginie SPELLER

[Bienvenue en Maths sup !]

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[Outilsmathmatiques]

Mathmatiques

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Je fais le point sur mes connaissances

1. Les quations gnralits

Les quations se prsentent sous la forme f (x) = b et les solutions sob-tiennent en effectuant le calcul : x = f 1(b) o f 1 est la fonction rci-proque de f (avec f bijective). f peut tre une fonction affine, une fonc-tion logarithme, une exponentielle, une racine, etc.

2. Les quations avec expressions affines

quations du type ax = 0 avec a rel :si a est un rel non nul, alors lunique solution de cette quation estx = 0. S = {0}.Si a est nul, alors lquation admet une infinit de solutions. S = R.

quations du type x + b = 0 avec b rel ;lunique solution de cette quation est x = b. S = {b}.

quations du type ax + b = 0 :si a et b sont deux rels non nuls, alors cette quation a pour unique

solution x = ba

. S = {b

a

}.

3. quations sous forme de facteurs

Un produit de facteurs est nul si et seulement si lun des facteurs aumoins est nul. A B = 0 A = 0 ou B = 0.Parfois, et mme souvent, lquation ne se prsente pas sous la formedun produit directement factoris. Cest donc vous de factoriser lex-pression afin dobtenir un produit de facteurs et pouvoir ainsi rsoudrelquation.

4. quations sous forme de quotients

Un quotient est nul si et seulement si son numrateur est nul et sondnominateur non nul :

[Outils mathmatiques]Le point sur les quations

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it.[Le point sur les quations]

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AB

= 0 A = 0 et B = 0Parfois et mme souvent, il arrive que lquation ne se prsente pas sousla forme dun seul quotient. Cest donc vous de rduire lexpression aumme dnominateur afin dobtenir un unique quotient et pouvoir ainsirsoudre lquation.[REMARQUE]

Lorsque vous obtenez une solution qui est une valeur interdite(qui annule le dnominateur), vous ne pouvez pas en tenircompte.

Exemplex2 5x + 6

x 2 = 0 (x 2)(x 3)

x 2 = 0

{

x = 2 ou x = 3x = 2 x = 3 et S = {3}

5. Les quations non linaires

f est dans ce cas une fonction non affine. Il sagit obligatoirement dunefonction bijective (cest--dire que chaque x admet une unique image ypar f et chaque y un unique antcdent x par f).

quations Solutions1x

= a, x = 0, a = 0 x = 1a, x = 0, a = 0

ln(x) = a, x > 0 x = eaex = a, a > 0 x = ln(a), a > 0

x = a x = a2x2 = a, a 0 x = a, a 0

x3 = a x = 3ax2p = a, a 0 x = 2pa, a 0

x2p+1 = a x = 2p+1a|x | = a x = a ou x = a

x = x

12 , x 0 3x = x 13 nx = x 1n , n 1,

{x 0, n pairx reel, n impair

[Le point sur les quations]M

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[REMARQUE]

Un nombre entier pair n scrit n = 2p et un nombre entierimpair n scrit n = 2p + 1 o p est un entier naturel.

[ATTENTION]

Les mots cls

Ensemble vide :Il sagit de lensemble ne comportant aucun lment. On note S = ,lorsque lquation nadmet pas de solution.Infinit de solutions :Une quation admet une infinit de solutions lorsquelle est vraie pourtout x de R.Produit de facteurs :Un produit de facteurs est nul si et seulement si lun au moins des fac-teurs est nul.Solution :La ou les solution(s) de lquation f (x) = 0 est (sont) le ou les point(s)de concours de la courbe reprsentative de f avec laxe des abscisses. Valeur interdite :Une valeur interdite est une valeur que ne peut pas prendre x . Par exem-ple, une valeur interdite est la valeur qui annule un dnominateur ou lex-pression lintrieur dun ln, etc.[REMARQUE]

Les quations sont trs utilises dans la recherche de lensem-ble de dfinition dune fonction ou bien dans le calcul des coor-donnes des extrema dune fonction (qui annulent la drive)ou encore dans ltude du signe de la drive.

Je fais le point sur mes connaissances

On cherche rsoudre un systme de 2 quations 2 inconnues x et y :

(S){

ax + by = ecx + dy = f

1. La rsolution par substitution

Il sagit dexprimer lune des variables en fonction de lautre. Dans lesystme (S), il est possible dexprimer y en fonction de x dans la pre-mire quation :

ax + by = e by = e ax y = e axb

Puis on remplace y dans la seconde quation :

cx + dy = f cx + d e axb

= f cbx + de daxb

= bfb

cbx + de dax = bf, b = 0 (bc ad)x = bf de (bc ad)x = bf de x = bf de

bc ad , bc ad = 0On obtient lexpression de y en remplaant x par la valeur obtenue ci-dessus :

y = e axb

=e a bf de

bc adb

= e(bc ad) a(bf de)b(bc ad)

y = ebc ead abf + adeb(bc ad) =

ebc abfb(bc ad) y =

ec a fbc ad

2. La rsolution par combinaison

Cette mthode consiste liminer une variable de manire se retrouveren prsence dune quation une seule inconnue x ou y. Pour cela, ilsuffit dadditionner ou soustraire les deux quations affectes dun fac-teur permettant de supprimer une variable. M

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it.[Outils mathmatiques]Le point sur la rsolution de systmes

Dans le systme (S), il suffit de multiplier la 1re quation par d et la 2ndepar b puis de les soustraire. Cela permet dliminer la variable y :d(ax + by) b(cx + dy) = de bf dax + dby bcx bdy = de bf dax bcx = de bf (da bc)x = de bf x = de bf

ad bc =bf debc ad

Puis on remplace x par son expression dans lune ou lautre des qua-tions de dpart pour obtenir le mme rsultat que prcdemment. Le ysobtient de la mme manire que dans la mthode par substitution.

3. La rsolution par le pivot de Gauss

La mthode du pivot de Gauss pour le calcul de linverse dune matriceest dtaille dans le chapitre portant sur les matrices : le but est deffec-tuer une succession doprations sur les lignes du systme afin de lavoirsous une forme triangulaire. partir dun systme matriciel AX = b,vous obtenez un systme sous forme triangulaire puis la solutionX = A1b avec A1 matrice inverse de A (inversible).Un systme de n quations n inconnues de la forme AX = b a poursolution le vecteur de Rn X = A1 b (o A est une matrice inversibledinverse A1 et b un vecteur de Rn) :

a11x1 + a12x2 . . . + a1n xn = b1a21x1 + a22x2 . . . + a2n xn = b2

. . .

an1x1 + an2x2 . . . + ann xn = bn

a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann

A

x1

x2

xn

X

=

b1b2 bn

b

4. Les systmes non linaires

Les systmes non linaires sont forms dquations qui ne sont pas for-cment affines. Le principe de rsolution est le mme, vous de choisirla mthode que vous prfrez sauf si on vous limpose dans lnonc !

Les mots cls

Couple solution :Il sagit des points (x ; y) qui vrifient le systme. Cest le point deconcours des droites correspondant aux quations du systme dans le caso les quations sont affines. S = (x ; y).

[Le point sur la rsolution de systmes]M

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Ensemble vide :Il sagit de lensemble ne comportant aucun lment. On note S = ,lorsque le systme nadmet pas de solution, cest--dire lorsque les droi-tes correspondantes aux quations sont parallles.Forme matricielle dun systme :Il sagit de lcriture AX = b. Les solutions du systme sont donnes parX = A1 b avec A matrice inversible dinverse A1.Infinit de solutions :Un systme a une infinit de solutions lorsque les quations sont pro-portionnelles, cest--dire, lorsque leurs droites correspondantes sontconfondues. On note dans ce cas S = R.Pivot de Gauss :Cette mthode (dtaille plus loin dans cet ouvrage) consiste crire lesystme sous forme triangulaire en calculant la rduite de Gauss de lamatrice A correspondante au systme (S).Reprsentation graphique :

[Le point sur la rsolution de systmes]

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Unique solution Aucune solution

Infinit de solutions

Je fais le point sur mes connaissances

1. Les polynmes du second degr

Les polynmes ou trinmes du second degr scrivent sous la formeax2 + bx + c . Leur(s) racine(s) ventuelle(s) vrifient lquation :ax2 + bx + c = 0.

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[Outils mathmatiques]Les polynmes des second

et troisime degrs

Racines Signe Factorisation

> 0Deux racines

relles

x1 = b

2a

x2 = b +

2a

le polynme estdu signe de a lextrieur des

racines et de a lintrieur

a(x x1)(x x2)

= 0Une racine

double rellex0 = b2a

le polynme estdu signe de a a(x x0)2

< 0Deux racines

complexes conjugues

x1 = b i

2a

x2 = b + i

2a

le polynme estdu signe de a

pas de factorisation

2. Les polynmes du troisime degr

Pour dterminer les racines des polynmes de degr trois, vous devezdterminer la racine vidente, afin de factoriser le polynme sous laforme du produit dun polynme de degr un : (x racine vidente) parun polynme de degr deux : (ax2 + bx + c ).Comment rsoudre une quation avec un polynme du 3e degr oudterminer les racines dun polynme de degr 3 ?

Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0

Il faut tout dabord chercher une racine vidente. En gnral, il sagit de1, 1, 2, 2, 3, 3, etc. Il suffit de ttonner en essayant diffren-tes valeurs pour x .En notant la racine vidente, = 0, le polynme se factorise sous laforme :Ax3 + Bx2 + Cx + D = (x )(ax2 + bx + c)Ax3 + Bx2 + Cx + D = ax3 + bx2 + cx ax2 bx cAx3 + Bx2 + Cx + D = ax3 + (b a)x2 + (c b)x cPar identification, apparat un systme de 4 quations 3 inconnues a, bet c :

a = Ab a = Bc b = Cc = D

a = Ab a = Bc b = Cc = D

a = Ab = B + Ac (B + A) = Cc = D

a = Ab = B + Ac = C + (B + A)c = D

Avec pour condition : C + (B + A) = D

: on obtient forcmentdeux expressions pour c car il y a 4 quations pour 3 inconnues. En gn-ral, on choisit la 4e quation qui donne une valeur obtenue simplementdu 3e paramtre c.Finalement :

Ax3 + Bx2 + Cx + D = (x )(Ax2 + (B + A)x D

)

Il devient ainsi ais dobtenir les autres racines ventuelles du polynme

en calculant le discriminant du polynme Ax2 + (B + A)x D

.

[REMARQUE]

[Les polynmes des second et troisime degrs]

Mat

hm

atiq

ues

15

D

unod

T

oute

rep

rodu

ctio

n no

n au

toris

e e

st un

dl

it.

Lorsque = 0, vous obtenez directement la factorisation par xsans passer par une identification !

Les mots cls

Coefficients :Il sagit des nombres a, b ou c (rels en TS ou complexes en prpa) mul-tipliant respectivement le x2, le x et le terme constant. Ainsi tout poly-nme du second degr scrit sous la forme : ax2 + bx + c .Discriminant :Il est not et est donn par la formule = b2 4ac. Son signe per-met de dduire le nombre de racines du polynme (deux racines relles,ou bien une racine double ou bien encore deux racines complexes conju-gues) : si > 0, le polynme admet deux racines relles ; si = 0, le polynme admet une racine double ; si < 0, le polynme nadmet pas de racine relle, mais deux raci-

nes complexes conjugues.Extremum (minimum ou maximum) :Lextremum est atteint en x = b

2aet a pour valeur :

P( b

2a

)= 4ac b

2

4a=

4a

Ainsi le point de coordonnes ( b

2a;

4a

)est lextremum de P(x).

Il sagit dun minimum si et seulement si a > 0 ou dun maximum si etseulement si a < 0.Forme canonique :La forme canonique dun polynme consiste lcrire sous la forme dela diffrence de deux carrs, lorsque cela est possible :

ax2 + bx + c = a(

x2 + ba

x + ca

)= a

((x + b

2a

)2 b24a2

+ ca

)

ax2 + bx + c = a((

x + b2a

)2 ( b24a2

4ac4a2

))

ax2 + bx + c = a((

x + b2a

)2 b

2 4ac4a2

)= a

((x + b

2a

)2

4a2

)

[Les polynmes des second et troisime degrs]M

ath

mat

iqu

es

16

Racine :Il sagit dune certaine valeur prise par x pour laquelle le polynme san-nule. En fonction du signe de , on distingue plusieurs types de racines : racines relles : les deux racines appartiennent R ; racine double : la racine est unique et appartient galement R ; racines complexes conjugues : les deux racines appartiennent C.Racine vidente :Une racine vidente se dduit par ttonnements . Elle permet de fac-toriser un polynme de degr trois et de se ramener au produit dun poly-nme de degr un par un polynme de degr deux. [ RETENIR]

[Les polynmes des second et troisime degrs]

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T

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n no

n au

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it.

Dans le cas dun polynme de degr deux de la forme ax2 + bx+ c, il est utile de connatre les rsultats suivants :

la somme des racines : est gale x1 + x2 = ba

;

le produit des racines : est gal x1 x2 =ca

.

Je fais le point sur mes connaissances

1. Les inquations affines simples

Signe de ax + b (a 0) :

Mat

hm

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18

[Outils mathmatiques]Le point sur les inquations

et les tableaux de signes

x ba

+

ax + b signe de a 0 signe de a

2. Les inquations sous forme de produit

Signe de (ax + b)(cx + d) :On suppose ici par commodit que le quotient b

aest plus petit que c

d,

(ce choix est parfaitement arbitraire).

x ba

cd

+

ax + b signe de a 0 signe de a signe de acx + d signe de c signe de c 0 signe de cP(x) signe de ac 0 signe de ac 0 signe de ac

3. Les inquations sous forme de quotient

Signe de ax + bcx + d :

On suppose ici par commodit que le quotient ba

est plus petit que cd

,

(ce choix est parfaitement arbitraire).

[ATTENTION]

[Le point sur les inquations et les tableaux de signes]

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n no

n au

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it.

x ba

cd

+

ax + b signe de a 0 signe de a signe de acx + d signe de c signe de c 0 signe de cQ(x) signe de ac 0 signe de ac signe de ac

Le terme cd

annule le dnominateur, il sagit donc dune valeur

interdite. Do la prsence dune double barre dans la dernireligne du tableau au niveau de cette valeur.

4. Les solutions : ingalit large ou stricte ?

Ingalit large Ingalit stricteValeur qui annule

le facteur on ferme les crochets on ouvre les crochets

Valeur interdite on ouvre les crochets on ouvre les crochets

5. Les ingalits de fonctions

a < b a b a > b a bf strictement

croissante f (a) < f (b) f (a) f (b) f (a) > f (b) f (a) f (b)f strictementdcroissante f (a) > f (b) f (a) f (b) f (a) < f (b) f (a) f (b)

Quelques fonctions usuelles :

[Le point sur les inquations et les tableaux de signes]M

ath

mat

iqu

es

20

a < b a b a > b a bln(x) ln(a) < ln(b) ln(a) ln(b) ln(a) > ln(b) ln(a) ln(b)

ex ea < eb ea eb ea > eb ea eb

x

a

b

a

bx2 sur

[0, +[ a2 < b2 a2 b2 a2 > b2 a2 b2

x2 sur

] ; 0] a2 > b2 a2 b2 a2 < b2 a2 b2

1x

1a

>1b

1a

1b

1a

b3 a3 b3

x a > b a b a < b a b

Les mots cls

Ingalit large :Il sagit des ingalits ou . En leur prsence, on ferme les crochets sila borne de lintervalle nest pas une valeur interdite. Dans ce dernier cas,le crochet est ouvert.Ingalit stricte :Il sagit des ingalits > ou 0|x | a a x a|x | < a a < x < a|x | a x a ou x a|x | > a x > a ou x < aValeur interdite :Il sagit dune valeur que x ne peut pas prendre. Le crochet situ laborne de lintervalle est toujours ouvert en prsence de cette valeur.

Je fais le point sur mes connaissancesn

k=0a = (n + 1) a, a R

nk=0

k = n(n + 1)2

nk=0

k2 = n(n + 1)(2n + 1)6

nk=0

k3 =(

n(n + 1)2

)2

Les mots cls

Indice :Il sagit de la variable de la somme . Cest lentier qui varie de la pluspetite valeur (en gnral 0 ou 1) la plus grande valeur (en gnral n oun + 1).Nombre de termes dans une somme :Une somme pour k variant de k = a k = b, compte b a + 1 termes.De manire gnrale, pour dterminer le nombre de termes dans unesomme il vous suffit deffectuer lopration suivante : dernier terme 1erterme +1.Termes dune somme :Les termes dune somme sont les nombres que lon additionne pourobtenir le rsultat de cette somme.

Mat

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it.[Outils mathmatiques]Les sommes

Je fais le point sur mes connaissances

1. Les combinaisons

La combinaison de k lments parmi n est par exemple le nombre demanires de choisir k lments parmi n sans remise et sans ordre. Cenombre est not : (

n

k

)et

(n

k

)= n!

k! (n k)![REMARQUE]

Mat

hm

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22

[Outils mathmatiques]Le point sur les combinaisons

et les factorielles

La combinaison de k lments parmi n peut galement se noterCkn .Quelques combinaisons connatre :(

n0)

=

(nn

)= 1

(n1)

=

(n

n 1)

= n

(n2)

=

(n

n 2)

=n(n 1)

2

2. Les factorielles

La factorielle dun nombre entier n est le nombre not n! et dont lex-pression est donne par : n! = n (n 1) (n 2) ... 2 1 :0! = 1 par convention1! = 12! = 2 1 = 23! = 3 2 1 = 64! = 4 3 2 1 = 245! = 5 4 3 2 1 = 1206! = 6 5 4 3 2 1 = 7207! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5 040

8! = 8 7 6 5 4 3 2 1 = 40 3209! = 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 362 88010! = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 3 628 800

Les mots cls

Arrangement :Un arrangement de k lments parmi n est par exemple le nombre demanires de choisir k lments parmi n sans remise et dans un ordre pr-cis. Ce nombre est not :

Akn =n!

(n k)! = k! (

n

k

)

Combinaison :La combinaison de k lments parmi n est par exemple le nombre demanires de choisir k lments parmi n sans remise et sans ordre.Facteurs :Les facteurs sont les nombres que lon multiplie lorsque lon effectue unproduit. Par exemple dans le calcul de n!, les facteurs sont tous lesentiers compris entre 1 et n.Factorielle :La factorielle dun nombre entier n est le produit des nombres entiersinfrieurs ou gaux n.[ATTENTION]

[Le point sur les combinaisons et les factorielles]

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n au

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it.

Le nom factorielle est fminin !

Produit :Un produit est le rsultat dune multiplication entre deux ou plusieursfacteurs.

Les primtres, aires et volumes

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24

[Outils mathmatiques]Rappels de gomtrie

Primtre Surface ou Aire Volume

somme des ctsb h

2

4 ct (ct)2

2 (L + l) L l

2 R R2

h

b

Triangle

Carr

Rectangle

Cercle

/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False

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