- Wärmetransport - Prof. Dr. Ulrich Hahn WS 2008/09 Physik III im Studiengang Elektrotechnik
- Wärmetransport -
Prof. Dr. Ulrich HahnWS 2008/09
Physik IIIim Studiengang Elektrotechnik
Wärmetransport 2
Transportmechanismen
Temperaturausgleich:T Wärme
WärmeleitungWärmeleitungT Medium (f, fl, g)
mikrospkopischmikrospkopisch ungeordnete Bewegungungeordnete Bewegung Atome/MoleküleElektronen
WärmestrahlungWärmestrahlungT
WärmeströmungWärmeströmungT
LichtLicht
Medium (fl, g)
makrospkopischmakrospkopischgeordnete Bewegunggeordnete Bewegung
Wärmetransport 3
Wärmeleitung
T Medium
Wärme fließt in endlicher Zeit:WWWWäääärmestromrmestromrmestromrmestromtreibende Kraft:TemperaturdifferenzTemperaturdifferenzTemperaturdifferenzTemperaturdifferenz
elel IRU ⋅=
treibende Kraft:Potentialdifferenz Potentialdifferenz Potentialdifferenz Potentialdifferenz UUUU
QRTT th &⋅=− A
Rel
el
l⋅κ
= 1Draht:
stabförmiges Medium:A
Rthl⋅
λ= 1
l
λλλλ: W: W: W: WäääärmeleitfrmeleitfrmeleitfrmeleitfäääähigkeithigkeithigkeithigkeitKm
W][
⋅=λ Werkstoffeigenschaft
WK
][ =thR
UTIQ
↔∆↔&
Wärmetransport 4
Wärmeleitfähigkeitλλλλ @ 20°C in W/(m .K)
Diamant 2000,00
gute elektrische Leiter ���� gute Wärmeleiter
Wiedemann-Franz: λ ~ κ κ⋅⋅=λ TL L: Lorenzzahl 2,45.10-8 V²/K²
Diamant: perfekter Einkristallperfekter Nichtleiter
���� elastische Wellen elastische Wellen elastische Wellen elastische Wellen
���� freie Elektronen freie Elektronen freie Elektronen freie Elektronen
Hindernisse für Phononen: GitterstörungenKorngrenzenGitterschwingungen
Wärmetransport 5
Wärmeleitung durch mehrere Medien
TM 1: λ1, ℓ1, A1M 2: λ2, ℓ2, A2
ParallelschaltungParallelschaltung
R1 R221 GGG +=
SerienschaltungSerienschaltung
T λ1, ℓ1, A1 λ2, ℓ2, A2 21 RRR +=
R1
R2
häufig: ebene Geometrie (Wand):A1 = A2 = A
Def.: kkkk----Wert Wert Wert Wert (U(U(U(U----Wert) Wert) Wert) Wert) A
G
ARk th
th
=⋅
= 1:Km²
W][
⋅=k
2
2
1
11λ
+λ
= ll
Sk⇒
Grenzschichttemperaturen ���� Spannungsteiler
Wärmetransport 6
Temperaturverlauf im Medium
Spannungsteiler:
Rl
x homogenes Medium:l
x
R
Rx =
x
x
R
U
R
UI ==
xTT
TTx ⋅−+= <l
T
Mehrschichtenwand:T
λ1ℓ1
λ2ℓ2
λ3ℓ3λ1 < λ2 < λ3
T
x
)(1
112 > −⋅λ
⋅−= TTkTT l
Steigungen Steigungen Steigungen Steigungen ~ 1/1/1/1/λλλλiiii
Grenzschichttemperatur:
Wärmetransport 7
dynamische EffekteWärmestrom warm ���� kalt:
Abkühlen des warmen ReservoirsT Medium kaltes Reservoir: keine Erwärmung
Analogie: Entladen eines Kondensators Analogie: Entladen eines Kondensators Analogie: Entladen eines Kondensators Analogie: Entladen eines Kondensators
RsWRWRel cmCC ⋅=↔
warmes Reservoir � Kapazität
wärmeleitendes Medium � Widerstand
λ⋅=↔ l
ARR thel
1
Abklingkonstante
λ⋅⋅=⋅
sWR
WR
c
AmCR
l
CRt
eTTTtT ⋅−
⋅−=− ))0(()(
AbkühlkurvenAbkühlkurven
Wärmetransport 8
Wärmeleitung: nicht ebene Geometrien
>T
Wärmetransport 9
Kontinuitätsgleichung
Hülle umschließt Wärmequelle:
WWWWäääärmestrom geht durch die Hrmestrom geht durch die Hrmestrom geht durch die Hrmestrom geht durch die Hüüüülle lle lle lle
∫ •=Hülle
Q ajQrr& d
Form der HForm der HForm der HForm der Hüüüülle beliebig! lle beliebig! lle beliebig! lle beliebig!
∫ •⋅λ−=Hülle
aTgradr
d
Problem: Finden von T(x,y,z) und jQ(x,y,z) bei gegebener Geometrie von Wärmequelle (T>) und –senke (T
Wärmetransport 10
Beispiel: Zylindersymmetrie
iT
aT
Wärmestrom: radial
Hüllfläche: konzentrische Zylinder
Manteldemauf.|| constjQ =r
nDeckflächedenauf0d =• ajQrr
r
rl
QjQ ⋅⋅π⋅
=2
&rl: Zylinderlänge
Wärmestrom: )()/ln(
2ia
ia
TTrr
lQ −⋅λ⋅⋅π⋅−=&
Temperaturverlauf T(r): )ln()/ln(
)(iia
iai r
r
rr
TTTrT ⋅−+=
ir
ar
Wärmetransport 11
KonvektionWärmetransport durch Materiebewegung Gase, FlüssigkeitenGase, Flüssigkeiten
erzwungene Bewegungerzwungene Bewegung Pumpen, Ventilatoren, Wind ...
AuftriebsbewegungenAuftriebsbewegungen thermisch bedingte Dichteunterschiede
linearer Ansatz:
TAQ K ∆⋅α⋅=&
häufig: Wärmetransport Fluid �� Wand
WT
FT
Qj
vr
WT
Temperaturverlauf:
Grenzschicht:keine Bewegung
x
Fluid:T ≈ const. bei x ≈αK/λWand
Tj FQ grad⋅λ−=
Wärmeübergangskoeffizient
FT
Wärmetransport 12
Wärmeübergangskoeffizienten α [W/m²K]
Wärmetransport 13
Wärmeübergangskoeffizienten α
Wärmetransport 14
Anwendung: Aufwindkraftwerk
Wärmetransport 15
Anwendung: Aufwindkraftwerk
Wärmetransport 16
WärmetauscherWärme von einem Medium (Fluid) auf ein anderes übertragen
Rekuperatoren getrennte Stoffströme
Regeneratoren getrennte StoffströmeWärmespeicher
Mischwärmetauscher Stoffströme mischen sich
kontinuierliche Wärmeübertragung
� Wärmerückgewinnung (Lüftung)� Autokühler� Kühlkreisläufe (Kernkraftwerke)
Laden: Stoffstrom 1, Entladen: Stoffstrom 2
� Winderhitzer
� Kühlturm
Wärmetransport 17
Wärmetauscher
Winderhitzer
Wärmetransport 18
Rekuperatoren
Gleichstromwärmetauscher
Gegenstromwärmetauscher
Kreuzstromwärmetauscher
Q& Q&
Q& Q&
ET1AT1
AT2ET2
ET1AT1
AT2ET2
ET1
AT1
AT2 ET2
Wärmetransport 19
WärmestrahlungWärmetransport: elektromagnetische Strahlung
Ursache der Strahlung: Beschleunigung von Ladungen (Beschleunigung von Ladungen (ee--))
Atom-/ Molekülbewegung
jeder Körper bei T > 0 emittiert Lichtjeder Körper bei T > 0 emittiert Lichtjeder Körper bei T > 0 emittiert Lichtjeder Körper bei T > 0 emittiert Lichtjeder Körper bei T > 0 emittiert Lichtjeder Körper bei T > 0 emittiert Lichtjeder Körper bei T > 0 emittiert Lichtjeder Körper bei T > 0 emittiert Licht
abhängig von: TemperaturOberflächenbeschaffenheit
jeder Körper absorbiert Lichtjeder Körper absorbiert Lichtjeder Körper absorbiert Lichtjeder Körper absorbiert Lichtjeder Körper absorbiert Lichtjeder Körper absorbiert Lichtjeder Körper absorbiert Lichtjeder Körper absorbiert Licht
abhängig von:ReflektivitätOberflächenbeschaffenheit
Wärmetransport 20
Absorptions-, Emissionsgrad, Reflektivität
schwarzer Körper: absorbiert alle auftreffende Strahlung
weißer Körper: absorbiert keine auftreffende Strahlung Strahlung wird reflektiert
grauer Körper: absorbiert und reflektiert Strahlung
Definitionen:
Strahlungsintensität:Strahlungsintensität:Fläche
PI Strahlung=: Fläche ⊥ Strahlungsrichtung
Absorptionsgrad:Absorptionsgrad:
Emissionsgrad:Emissionsgrad:
Reflektivität:Reflektivität:sKabsreflabsein IIII =+==ρ :
ein
ref
I
I1=1=1=1=αααα++++ρρρρ
=ε :sKem
em
I
I
=α :sKabs
abs
I
I
Wärmetransport 21
Zusammenhang Emission - Absorption2 Körper im thermischen Gleichgewicht:
Tεεεε1αααα1
Tεεεε2αααα2
Spiegel
Spiegel
P1
P2
von Körper 2 absorbierte Strahlung
12*
1 PP ⋅α=von Körper 1 absorbierte Strahlung
21*
2 PP ⋅α=*
2*
1 PP =thermisches Gleichgewicht:
Kirchhoff: Kirchhoff: Kirchhoff: Kirchhoff: α~emP
sKem
sKabs PPP 1,2,
*1 ==2 schwarze Körper: sK
iemsK
iabs PP ,, =
(2) schwarzer, (1) grauer Körper:
)()( λε=λα⇒
Temperaturen gleich
sKem
sKem
sKem PPPPP 2,
*22,11,1
*1 ==⋅ρ+⋅ε=
sKem
sKabs PPP 2,1,
*2 ==
Wärmetransport 22
Emissionsgrade
Metalle:
Nichtmetalle:
C/ °TStoff ε
Wärmetransport 23
schwarzer Körper: StrahlungsgesetzeExperimente von Stefan:
spezifische Abstrahlung spezifische Abstrahlung spezifische Abstrahlung spezifische Abstrahlung ächeStrahlerfl
LeistungteabgestrahlRichtungenalleinM e =:
4TM SBe ⋅σ=
spektrale Verteilung (M. Planck 1900): �
Lage des Maximums abhängig von T:
Kµm2900max ⋅=⋅λ T
Wiensches VerschiebungsgesetzWiensches VerschiebungsgesetzWiensches VerschiebungsgesetzWiensches Verschiebungsgesetz
1)exp(
d²2d),( 5
−⋅⋅λ
⋅λ⋅
λ⋅⋅π⋅=λ⋅λ
Tkch
chTM e
Plancksches Wirkungsquantum h=6,62Plancksches Wirkungsquantum h=6,62Plancksches Wirkungsquantum h=6,62Plancksches Wirkungsquantum h=6,62....10101010 ---- 34343434 JsJsJsJs
48
SBK²m
W10760,5 −⋅=σ
Wärmetransport 24
1
2
Strahlungsaustausch (schwarze Körper)welche Strahlungsleistung geht von 1 ���� 2?
gradlinige Ausbreitung:SichtfaktorenSichtfaktoren
121
:12 hlungGesamtstraStrahlung
F→=
thermisches Gleichgewicht: T1 = T2sKsK PP 1221 →→ =⇒ 212121 FAFA ⋅=⋅
T1 ≠≠≠≠ T2: )(4
24
112112 TTFAQ SB −⋅σ⋅⋅=&
einfach: Körper 2 umgibt Körper 1
1
FFFF12121212 = 1= 1= 1= 1
)( 424
1112 TTAQ SB −⋅σ⋅=&
Halbraum über Ebeneparallele Ebenen (∝ groß) dann: Wärmestromdichte
Wärmetransport 25
Sichtfaktoren einfacher GeometrienFlächenelement 1 parallel zu Rechteckfläche 2:
h
bb
h
aa
b
a
b
b
a
b
a
aF
==
+⋅
++
+⋅
+⋅
π=
:~
,:~
))1²
~~
arctan(1²
~
~)
1²~
~arctan(
1²~~
(21
2,1
Flächenelement 1 senkrecht zu Rechteckfläche 2:
))1²~
~arctan(
1²~1~
(arctan21
2,1 +⋅
++⋅
π=
a
b
abF
Kugelförmiges Element 1 senkrecht zu Rechteckfläche 2:
)1²
~²~
~~arctan(
41
2,1 ++⋅⋅
π=
ba
baF
Wärmetransport 26
Werte für Sichtfaktoren
Flächenelement 1 parallel zu Fläche 2 Sichtfaktor Flächenelement � Fläche
Sichtfaktor kugelförmiges Element 1 �Fläche 2
2,1F↑
2,1F↑
Wärmetransport 27
Werte für Sichtfaktoren
Gleiche Rechtecke parallelSichtfaktor Fläche 1 � Fläche 2
Rechtecke orthogonal, gleiche LängeSichtfaktor Fläche 1 � Fläche 2
2,1F↑
2,1F
↑
Wärmetransport 28
Umrechnung für andere Fälle
Summationsgesetz:Summe der Sichtfaktoren über die Flächen, die einen Halbraum über der betrachtete Fläche bilden
11
, =∑=
n
kkiF (i: Fläche, Flächenelement, Kugel)
Wechselwirkungsgesetz (Flächen): 21,212,1 AFAF ⋅=⋅
Zerlegungsgesetz:''2,1'2,12,1 FFF −=
Wärmetransport 29
Strahlungsaustausch (graue Körper)
1
2 teilweise Reflexion teilweise Reflexion teilweise Reflexion teilweise Reflexion
212
2
121
42
4112211
12
1
)(
FAA
TTFAQ
⋅⋅ρ⋅ρ−
−⋅⋅ε⋅ε⋅=&
11AM M1A1F12 21211 εFAM
M1A1F12ρ2F21
M1A1F12ρ2F21ρ1F12 21122121211 FFFAM ρρε
Strahlung von 1 ���� 2: ∑∞
=
⋅ρ⋅⋅ρ⋅⋅ε⋅⋅=0
2121211221112 )(i
iFFFAMP
Wärmestrom von 1 ���� 2:
211212 PPQ −=&
Wärmetransport 30
Strahlungsaustausch (umschlossene Flächen)Wärmestrom vom Körper
)( 44 UKUKKK TTCAQ −⋅⋅= →&
U
KUK
SBUKUK
AA
Cmit⋅ρ⋅ρ−
σ⋅ε⋅ε=→1
CK�U: Strahlungsaustauschkoeffizient
Grenzfälle: • AK ≈ AU (Rohrummantelung): )111/( −ε
+ε
σ=→UK
SBUKC
• AK