Physical Sciences Mathematics, Mechanics, Physics

JOURNAL

OF THE TECHNICAL UNIVERSITY AT

PLOVDIV, BULGARIA

FUNDAMENTAL SCIENCES AND APPLICATIONS

VOL. 13 (10) 2006

ANNIVERSARY SCIENTIFIC CONFERENCE 2006

THE SCIENTIFIC REPORTS

Physical Sciences Mathematics, Mechanics, Physics

- 2 -

ORGANIZING COMMITTEE Conference Co-chairs: Prof. Kamen Veselinov, PhD Rector of TU - Sofia

Prof. Dimitar Katsov, PhD Director of the Plovdiv Branch of TU - Sofia

Members: Prof. DSc Vassili Loumos Greece Prof. DSc Mark Himbert France Prof. DSc Panayiotis Frangos Greece Prof. DSc Reinhart Verschoore Belgium Prof. DSc Yasser Alayly France Prof. Dr. Dr.h.c.mult. Uwe Heisel Germany Acad. Prof. DSc Yuri Kuznetsov Ukraine Prof. DSc Alexander Tsiganenko Russia Prof. DSc Victor Baranov Russia Prof. DSc Edward Evreinov Russia Prof. DSc Okyay Kaynak Turkey Acad. Prof. DSc Kiril Boianov Bulgaria Corr. Memb. Prof. DSc Mincho Hadjiski Bulgaria Corr. Memb. Prof. DSc Petko Petkov Bulgaria Prof. DSc George Popov Bulgaria Prof. DSc Marin Nenchev Bulgaria Prof. DSc Mincho Minchev Bulgaria Prof. Angel Vachev, PhD Bulgaria Prof. George Stoianov, PhD Bulgaria Prof. Drumi Bainov, PhD Bulgaria Assoc. Prof. Pepo Yordanov, PhD Bulgaria Assoc. Prof. Valentin Kirchev, PhD Bulgaria Assoc. Prof. Kostadin Iliev, PhD Bulgaria Assoc. Prof. Valyo Nikolov, PhD Bulgaria Assoc. Prof. Peyo Stoilov, PhD Bulgaria

Copyright © 2006 by Technical University at Plovdiv, Plovdiv, BULGARIA. ISSN 1310 - 8271

3

CONTENTS Page

Mathematics ПЕЙО СТОИЛОВ ПАМЕТНАТА ТЕОРЕМА НА ПАВЕЛ ГЕОРГИЕВ ТОДОРОВ ( 1931 – 2003) ЗА ТИПИЧНО РЕАЛНИТЕ ФУНКЦИИ ……………………………………………………………...… 5

PEYO STOILOV THE MEMORABLE THEOREM OF TYPICALLY REAL FUNCTIONS OF PAVEL GEORGIEV TODOROV(1931-2003) ……………………………………………………………. 9 PEYO STOILOV AND RUMYANA GECHEVA GENERALIZATION OF THE INEQUALITIES OF ANALYTIC FUNCTIONS OF LUO - MAC GREGOR ……………….……………………..… 13 IVAN BADEV AND GEORGI ZLATANOV INVARIANT CHARACTERISTICS OF CPECIAL COMPOSITIONS IN EQUIAFFINE SPACE 23

GEORGI P. PASKALEV SMOOTH SOLUTIONS OF A NONLOCAL BVP …………………………………………………….. 31

GEORGI P. PASKALEV NONLOCAL BVP IN CYLINDRICAL DOMAIN ……………………………………...……………….. 37 DIANA TSANKOVA, SVETLA LEKOVA CHAOS BASED MODIFICATION OF RANDOM SEARCH METHOD LOCATING GLOBAL OPTIMUM OF FUNCTION

http://www.tu-plovdiv.bg/content/files/Tsankova_505.pdf

- 4 -

Mechanics , Physics SONIA TABAKOVA, FRANCOIS FEUILLEBOIS, STEFAN RADEV MODELING THE LATERAL JET FOLLOWING THE DROP IMPACT ON A DRY WALL 43 SVETLANA BARZILOVA, ALEKSANDAR GEORGIEV, SONIA TABAKOVA GROUND SOURCE HEAT PUMP SYSTEMS AND THE SUPPORTING THERMAL RESPONSE TEST …………………………………………..……………………………………………….. 51 STEFTCHO YORDANOV A WAY FOR INTRODUCTION TO CORIOLIS POWER ……………………………………………… 59 ИВАН ИВАНОВ, ХРИСТО КАРАПАНОВ, СТЕФЧО ЙОРДАНОВ ДИЕЛЕКТРИЧНИ И ЕЛЕКТРИЧНИ СВОЙСТВА НА КЕРАМИЧНИ МАТЕРИАЛИ НА БАЗАТА НА Bi4Ti3O12 …………………...…………………………………………………………… 63 ILIYCHO ILIEV, SNEZHANA GOCHEVA-ILIEVA, NIKOLA SABOTINOV ON THE STATISTICAL ANALISYS OF THE COPPER BROMIDE LASER EFFICIENCY 71 VENCESLAV VASSILEV, VALERI VACHKOV, TEMENUGA HRISTOVA-VASILEVA EXPANSION OF A METHOD FOR SPINNING UNIFORM LAYERS OF PHOTORESIST PER 3003A-25 CP ON Si-PLATES

77 VENCESLAV VASSILEV, ANNA AMOVA, KATERINA TOMOVA, VALERI VACHKOV

DETERMINATION OF THE EFFECTIVE MASS OF THE ELECTRONS IN THE NARROW-GAP SEMICONDUCTOR Ag4SSe ………………………………...………………………………………. 83 VENCESLAV VASSILEV, TEMENUGA HRISTOVA-VASILEVA, LILIA ALJIHMANI, VALERI VACHKOV PHYSICO-CHEMICAL PROPERTIES OF SOME MULTICOMPONENT As2Se3-Sb2Te3-CdTe KLASSES 89 АНТОАНЕТА ФРАНЦОВА1 , ГАРО МАРДИРОСЯН1, БОЙКО РАНГЕЛОВ2 ОСНОВНИ КРИТЕРИИ ПРИ ПОДБОРА НА ИНСТРУМЕНТАЛНА ЕКИПИРОВКА ЗА АЕРОКОСМИЧЕСКО ИЗУЧАВАНЕ НА ПРИРОДНИ РИСКОВЕ 97 GEORGI DOBREV, IVAN PISHTYSKI, BORIANA ZHEKOVA, VESELIN STANCHEV

OPTIMIZATION OF CARBON SOURCE IN THE NUTRIENT MEDIUM FOR XYLANASE BIOSYNTHESIS BY ASPERGILLUS NIGER B03 107 BORIANA ZHEKOVA, IVAN PISHTIYSKI, VESELIN STANCHEV

INVESTIGATION ON CYCLODEXTRIN GLUCANOTRANSFERASE COUPLING ACTIVITY 113 PETAR GYOSHEV APPLICATION OF ENERGY FIELDS, π TECHNOLOGIES AND POWER SUPPLY CARRIERS FOR MEDICINE, AGRICULTURE, INDUSTRY AND EVERYDAY LIFE. PROGRAM “ANTI-VIRUS”. 121


- 5 -

©Journal of the Technical University at Plovdiv “Fundamental Sciences and Applications”, Vol. 13(10), 2006 Anniversary Scientific Conference’ 2006 BULGARIA

œAMETHATA TEOPEMA HA œABEÀ √EOP√»EB TOƒOPOB

( 1931 - 2003) «A T»œ»◊HO PEAÀH»TE ‘”H ÷»»

ПЕЙО СТОИЛОВ

На 20.12. 2003 почина Павел Георгиев Тодоров – един от

най-ярките таланти от втората половина на XX век в геометричната теория на аналитичните функции. Павел Тодоров остави за поколенията своето творчество в 266 научни публикации, като всички с изключение на няколко са самостоятелни.

По негово завещание, на надгробната му плоча в родния град Пловдив е изписано: ( ) 6 5 0.2134....cr TR = − =

Може би това не е най-значимият резултат на Павел Тодоров, но той избира него, защото за доказателството му е трябвало да преодолее най-много логически и изчислителни трудности, по негово признание на границата на човешките възможности.

Авторът на настоящата статия, като свидетел на последните години от творческия път на Павел Тодоров, дава кратка историческа справка за неговия паметен резултат в теорията на типично реалните функции. Тя ще бъде полезна за бъдещото поколение математици и историци, които безспорно ще изследват пълното творчество на Павел Тодоров.

Нека S е класът от всички функции 2 3

2 3( )f z z c z c z= + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ,

аналитични и еднолистни в кръга 1.z < Радиус на изпъкналост на класа S се нарича горната граница cr на радиусите r на кръговете z r< , които чрез всяка функция f S∈ се изобразяват в изпъкнала област, т.е. в област, на която при обхождането на границата в една посока, допирателните към границата се въртят също в една посока.

- 6 -

Известно е [ ]1 , че f S∈ изобразява кръга z r≤ в изпъкнала област тогава и само тогава, когато

( )Re 1 0

( )zf zf z′′⎛ ⎞⎟⎜ + ≥⎟⎜ ⎟⎜ ′⎝ ⎠

при z r= .

През 1919 г. R. Nevanlinna доказва, че 2 3 0,2679 ...cr = − = .

Радиус на звездообразност на класа S се нарича горната граница sr на радиусите r на кръговете z r< , които чрез всяка функция f S∈ се изобразяват в звездообразна област, т.е в област, за която при обхождането на границата й от точка w в положителна посока, argw строго расте.

Известно е [ ]1 , че f S∈ изобразява кръга z r≤ в звездообразна област тогава и само тогава, когато

( )Re 0

( )zf zf z′⎛ ⎞⎟⎜ ≥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

при z r= .

През 1934 г. H. Grunsky доказва, че 0,6557 ...4sr thπ

= =

Класът TR на типично реалните функции е въведен от W. Rogosinski през 1931 г. [ ]2 :

f TR∈ , ако ( )f z е реална функция върху диаметъра 1 1z− < < , а в

останалите точки на кръга 1z < имаме ( )Im ( ) 0f z > при Im 0z > , ( )Im ( ) 0f z < при Im 0z < . През 1950 г. Г. М. Голузин [ ]3 доказва, че f TR∈ тогава и само тогава, когато ( )f z е представима във вида

20

1( ) ( )

1 2 cos

zf z d

z z

πµ θ

π θ=

− +∫ ,

където ( )µ θ е реална не растяща функция в интервала π θ π− ≤ ≤ , като ( ) (0)µ π µ π− = .

Г. М. Голузин доказва също, че всяка функция f TR∈ има следното еквивалентно представяне

1

21( ) ( )

1 2

zf z d

tz zµ θ

−=

− +∫ ,

където ( )tµ е реална не растяща функция в интервала 1 1t− ≤ ≤ , като (1) ( 1) 1µ µ− − = .

Като използва това представяне, в [ ]2 Г. М. Голузин решава редица екстремални задачи за класа TR .

Неочаквано трудни задачи обаче, се оказват определянето на

( )cr TR и ( )sr TR .


- 7 -

Едва през 1966 г. W. E. Kirwan [ ]4 доказва, че ( ) 2 1 0.4142...sr TR = − = ,

като задачата за определянето на ( )cr TR остава не решена.

През 1975 г. St. Ruscheweyh [ ]5 доказва следната важна за класа TR теорема:

Минимумът на функционала ( )Re

( )zf zf z′⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

в класа TR за всяка точка z се

достига върху подмножеството на TR от функции от вида

2 21 2

(1 )( )

1 2 1 2

z zf z

t z z t z z

µ µ−= +

− + − +, 0 1µ≤ ≤ , 1 21 1.t t− ≤ ≤ ≤

Като използва теоремата на St. Ruscheweyh, преодолявайки тежки

логически и изчислителни трудности, на 29. 12. 1980 г. Павел Тодоров депозира в Abstracts of papers presented tu the American Mathematical Society [ ]6 своето откритие: ( ) 6 5 0.2134....cr TR = − = .

Още в ръкописна форма резултатът е включен от Германското

Изследователско Общество в избраната колекция от световна математическа литература в Гьотинген. Пълното си доказателство Павел Тодоров публикува за първи път в [ ]8 , но вече като следствие от решените от него по-общи задачи : определяне радиусите на изпъкналост и звездообразност от ред α (0 1)α≤ < за класа TR :

max ( )( ) Re 1 : ,

( )sr

zf zr TR z r f TR

f zα α

′′⎧ ⎛ ⎞ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎟⎜= + ≥ ≤ ∈⎨ ⎬⎟⎜ ⎟⎜ ′⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭,

max ( )( ) Re : ,

( )sr

zf zr TR z r f TR

f zα α

′⎧ ⎛ ⎞ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎟⎜= ≥ ≤ ∈⎨ ⎬⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭,

0( ) ( )c cr TR r TRα== , 0( ) ( )s sr TR r TRα== .

От доказаната теорема на Павел Тодоров за ( )sr TR

α , като следствие при 0α = следва ново просто доказателство на резултата на W. E. Kirwan :

( ) 2 1 0.4142....sr TR = − = .

Също като следствие от общия случай Павел Тодоров дава две алтернативни доказателства на своя резултат:

( ) 6 5 0.2134....cr TR = − =

Друго алтернативно доказателство на теоремата на W. E. Kirwan, включващо и обобщения е дадено в [ ]7 .

- 8 -

През 2001г. Dong Jintian и Liu Liquan [ ]9 , като копират метода и резултатите на Павел Тодоров от [ ]8 намират радиуса на звездообразност на класа Q от мероморфни типично реални функции:

2 21 2

0 1 221

(1 ) 1( ) ( )

(1 2 )z

f z d t c c z c zzz tz z

µ−

− −= = − + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− +∫

В заключение ще отбележим, че обсъденият в тази кратка историческа

справка резултат, е само един от стотиците също толкова значими резултати на Павел Тодоров.

Написването на монография, в която да включи основно своите резултати беше в плановете на Павел Тодоров. По негово признание щеше да направи това в годините, когато вече няма идеи за нови значими резултати.

За съжаление, това не можа да се случи… ЛИТЕРАТУРА 1. Г. М. Голузин. Геометрическая теория функций комплексного переменного. Москва, 1966.

2. W. Rogosinski. Über positive harmonische Entwicklungen und typisch-reelle Potenzreihen, Math. Z., 35, №1, 93-121, 1932.

3. Г. М. Голузин. О типично вещественных функциях, Матем. сб., 29(71), №1, 197-208, 1950.

4. W. Kirvan. Extremal problems for the typically real functions, Amer. J. Math. 88, 942- 954, 1966.

5. St. Ruscheweyh. Nichtlineare Extremalprobleme für holomorphe Stieltjesintegrale, Math. Z., 142, 19-23, 1975.

6. P. G. Todorov. The radii of starlikeness and convexity of order alpha of the typically real functions, Abstracts Amer. Math. Soc. 2, 297 (81T-30-148), 1980.

7. P. G. Todorov. A simple proof of the Kirvan theorem for the radius of starlikeness of the typically real functions and one new result, Acad. Roy. Belg. Bull. CI, Sci. (5), Tome LXVI, №4, 334-342, 1980.

8. P. G. Todorov. The radii of starlikeness and convexity of order alpha of the typically real functions, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. I. Math. 8, № 1, 93-106, 1983.

9. Dong Jintian; Liu Liquan. The radius of starlikeness of meromorphic typically real functions. J. Math. Anal. Appl. 255 , № 1. 2, 423—435, 2001.


- 9 -


THE MEMORABLE THEOREM OF TYPICALLY REAL FUNCTIONS OF

PAVEL GEORGIEV TODOROV (1931-2003)

PEYO STOILOV

On December 20, 2003 died Pavel Georgiev Todorov – one of the most

pronounced talents in the geometrical theory of analytical functions of the second half of XX century. Pavel G. Todorov left his 262 scientific research publications to the future generations. Almost all of these papers are a result of his independent research work. According to his will, on his gravestone there has been inscribed:

( ) 6 5 0.2134....cr TR = − =

Perhaps it is not the most significant of Pavel G. Todorov’s results but he

had chosen it to be the inscription on his gravestone, because, by his own admission, he had had to “surmount the most logical and calculative problems on the frontier of human potentialities”.

The author of the present article, being a witness of the last years of Pavel G. Todorov’s work, gives brief historical information about his memorable result in the theory of typically real functions. It will be useful for the future generations of mathematicians and historians who will definitely study the complete work of Pavel G. Todorov.

Let S denote the class of all functions 2 3

2 3( )f z z c z c z= + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ,

analytic and univalent in the disc 1.z < Radius of convexity of the class S is called the upper limit cr of the radii r of

the discs z r< which, through every function f S∈ , are represented in a convex domain, i.e. in a domain for which, while going round the limit in one direction, the tangents also go round in one direction.

It is known [ ]1 that f S∈ represents the disc z r≤ in the convex domain then and only when

( )

Re 1 0( )

zf zf z′′⎛ ⎞⎟⎜ + ≥⎟⎜ ⎟⎜ ′⎝ ⎠

at z r= .

In 1919 R. Nevanlinna proves that 2 3 0,2679 ...cr = − =

∗ 2000 Mathematics Subject Classification. Primary 30E20, 30D50.

- 10 -

Key words and phrases: Analytic function, Typically real functions, Radius of convexity, Radius of starlikeness.

Radius of starlikeness of the class S is called the upper limit sr of the radii r of the discs z r< , which through each function f S∈ are represented in a starlike domain, i.e. in a domain for which, while going round its limit from pointw in a positive direction, argw strictly increases.

It is known [ ]1 that f S∈ represents the disc z r≤ in the starlike domain then and only when

( )

Re 0( )zf zf z′⎛ ⎞⎟⎜ ≥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

at z r= .

In 1934 H. Grimsky proves that 0,6557 ...

4sr thπ

= =

The class TR of the typically real functions is introduced by W. Rogosinski: f TR∈ if ( )f z is a real function on the diameter 1 1z− < < and in the rest

points of the disc 1z < we have

( )Im ( ) 0f z > at Im 0z > , ( )Im ( ) 0f z < at Im 0z < . In 1950 G. M. Goluzin [ ]2 proves that f TR∈ then and only when ( )f z can

be represented in the way

20

1( ) ( )

1 2 cos

zf z d

z z

πµ θ

π θ=

− +∫

where ( )µ θ is a real non-increasing function in the interval π θ π− ≤ ≤ as

( ) (0)µ π µ π− = . G. M. Goluzin also proves that each function f TR∈ has the following

equivalent representation

1

21( ) ( )

1 2

zf z d

tz zµ θ

−=

− +∫

where ( )tµ is a real non-increasing function in the interval 1 1t− ≤ ≤ , as

(1) ( 1) 1µ µ− − = . Using this representation, in [ ]2 G. M. Goluzin solves a lot of extremal problems

of the class TR . However, defining ( )cr TR and ( )sr TR proves to be an unexpectedly difficult

problem.

Only in 1966 W. E. Kirwan [ ]3 proves that ( ) 2 1 0.4142....sr TR = − = , but

the problem of defining ( )cr TR remains unsolved.


- 11 -

In 1975 St. Ruscheweyh [ ]4 proves the following, important to the class TR theorem:

The minimum of the functional ( )Re

( )zf zf z′⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

in the class TR for each point z is

reached on the sub-multitude of TR of functions of the type

2 21 2

(1 )( )

1 2 1 2

z zf z

t z z t z z

µ µ−= +

− + − +, 0 1µ≤ ≤ , 1 21 1.t t− ≤ ≤ ≤

Using the theorem of St. Ruscheweyh, surmounting hard logical and

calculative difficulties, on 29 December 1980, Pavel G. Todorov presents to Abstracts of papers presented tu the American Mathematical Society [ ]5 his discovery:

( ) 6 5 0.2134....cr TR = − = .

It is still in a handwritten form that this result is included into a selected

collection of world mathematic literature by the German Research Society in Gotingen. The proof itself is first published in [ ]6 , but already as a corollary from the more

general problems solved by Pavel G. Todorov, namely: defining the radii of convexity and starlikeness of row α (0 1)α≤ < of the class TR :

( )

( ) Re 1 : ,( )s

r

zf zr TR z r f TR

f zα α

′′⎧ ⎛ ⎞ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎟⎜= + ≥ ≤ ∈⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ′⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭max ,

( )

( ) Re : ,( )s

r

zf zr TR z r f TR

f zα α

′⎧ ⎛ ⎞ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎟⎜= ≥ ≤ ∈⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎜⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭max ,

0( ) ( )c cr TR r TRα== , 0( ) ( )s sr TR r TRα== .

A new simple proof of W. E. Kirwan’s result follows as a corollary from the

theorem proved by Pavel G. Todorov for ( )sr TRα at 0α = :

( ) 2 1 0.4142....sr TR = − =

Also, as a corollary from the general case, Pavel G. Todorov gives two alternative proofs of his result:

( ) 6 5 0.2134....cr TR = − =

In 2001 Dong Jintian и Liu Ligian [ ]7 , copying Pavel G. Todorov’s methods

and results from[ ]6 , find the radius of starlikeness of the class Q of meromorphic typically real functions:

- 12 -

2 21 20 1 221

(1 ) 1( ) ( )

(1 2 )

zf z d t c c z c z

zz tz zµ

−

− −= = − + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− +∫

Finally, we would like to note that the result discussed here is only

one of Pavel G. Todorov’s numerous significant results. Pavel G. Todorov intended to write a monograph that would include

mainly his results. As he had said, he would do this when he would have no ideas of new significant results.

Unfortunately, it could not happen…

REFERENCES

1. Г. М. Голузин. Геометрическая теория функций комплексного переменного. Москва, 1966.

2. W. Rogosinski. Über positive harmonische Entwicklungen und typisch-reelle Potenzreihen, Math. Z., 35, №1, 93-121, 1932.

3. Г. М. Голузин. О типично вещественных функциях, Матем. сб., 29(71), №1, 197-208, 1950.

4. W. Kirvan. Extremal problems for the typically real functions, Amer. J. Math. 88, 942- 954, 1966.

5. St. Ruscheweyh. Nichtlineare Extremalprobleme für holomorphe Stieltjesintegrale, Math. Z., 142, 19-23, 1975.

6. P. G. Todorov. The radii of starlikeness and convexity of order alpha of the typically real functions, Abstracts Amer. Math. Soc. 2, 297 (81T-30-148), 1980.

7. P. G. Todorov. A simple proof of the Kirvan theorem for the radius of starlikeness of the typically real functions and one new result, Acad. Roy. Belg. Bull. CI, Sci. (5), Tome LXVI, №4, 334-342, 1980.

8. P. G. Todorov. The radii of starlikeness and convexity of order alpha of the typically real functions, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. I. Math. 8, № 1, 93-106, 1983.

9. Dong Jintian; Liu Liquan. The radius of starlikeness of meromorphic typically real functions. J. Math. Anal. Appl. 255 , № 1. 2, 423—435, 2001.

Department of Mathematics Technical University 25 Tsanko Dijstabanov, 4000 Plovdiv, Bulgaria e-mail: [email protected]


- 13 -


GENERALIZATION OF THE INEQUALITIES OF ANALYTIC FUNCTIONS OF LUO - MAC GREGOR

PEYO STOILOV AND RUMYANA GECHEVA

Abstract. Let Af C∈ , 1η = and 0 1.α< ≤ In [1] D. Luo and T. Mac Gregor

proved the inequality

11

20 1

( ) ( ) 2 ( )( ) (1 ) ( )

1

f f ff r r dr C dα

αζ

ηζ ηζ ηη α ζ

ζ−

−=

+ −′ − ≤

−∫ ∫ .

In the present note we give the following generalization of this result. THEOREM. Let Af C∈ , 1η = , n ∈ N and 0 .nα< ≤ Then for each

λ ∈ C

we have 1

( ) 11

0 1

( ) ( ) ( ( ) ( ))( ) (1 ) ( , ) ,

1n

n

f f f ff r r dr C n dα

αζ

ηζ η λ ηζ ηη α ζ

ζ−

+ −=

− + −− ≤

−∫ ∫

where ( , )C nα is a constant depending onli on α and n . For 1,n = 1λ = it follows the inequality of D. Luo and T. MacGregor. For 1, 0, 1λ = − it follows main new inequalities:

∗ 2000 Mathematics Subject Classification. Primary 30E20, 30D50.

- 14 -

Key words and phrases: Analytic function, inequalities for analytic functions. 1

( ) 11

0 1

( ) ( ) 2 ( )( ) (1 ) ( , ) ,

1n

n

f f ff r r dr C n dα

αζ


ζ−

+ −=

+ −− ≤

−∫ ∫

1

( ) 11

0 1

( ) ( )( ) (1 ) ( , ) ,

1n

nf f

f r r dr C n dαα

ζ

ηζ ηη α ζ

ζ−

+ −=

−− ≤

−∫ ∫

1

( ) 11

0 1

( ) ( )( ) (1 ) ( , ) .

1n

n

f ff r r dr C n dα

αζ

ηζ ηζη α ζ

ζ−

+ −=

−− ≤

−∫ ∫

We also the note that if ,nα > then

1

( ) 1

0

!( ) (1 ) .

2( )n nf r r dr f

nαη

α−

∞− ≤

−∫

ОБОБЩЕНИЕ НА ЕДНО НЕРАВЕНСТВО ЗА

АНАЛИТИЧНИ ФУНКЦИИ НА LUO - MAC GREGOR

1.Въведение и цел на изследването. В теорията на функциите неравенствата за аналитични функции са основен метод за доказване съотношението между различни класове аналитични функции. Те обаче имат и самостоятелна значимост. На тях се дължат идеите за дефиниране и изследване на много нови класове. Мотивът за настоящата статия е обобщение на следното

Неравенство на D. Luo и Т. MacGregor [ ]1 : Ако 0 1 , 1α η< ≤ = , то

1

12

0 1

( ) ( ) 2 ( )( ) (1 ) ( ) ,

1

f f ff r r dr C dα

αζ


ζ−

−=

+ −′ − ≤

−∫ ∫

където Af C∈ ( Класът от всички функции, аналитични в кръга { }: 1D z z= <

и непрекъснати в затворения кръг { }: 1D z z= ≤ ) , ( )C α е константа, която зависи само от α .


- 15 -

2. Основни резултати.

Teoрема . Нека А0 , , .f C Cα λ> ∈ ∈ Тогава за всяко 1η = и Nn ∈ имаме:

а) 1

( ) 11

0 1

( ) ( ) ( ( ) ( ))( ) (1 ) ( , ) ,

1

0 ,

nn

f f f ff r r dr C n d

n

αα

ζ


ζ

α

−+ −

=

− + −− ≤

−

< ≤

∫ ∫

където ( , )C nα е константа, която зависи само от α и n ;

b)

( )( )

1( ) 1

0

!( ) 1 , .

2n nf r r dr f n

nαη α

α−

∞− ≤ >−∫

При 1 , 1n λ= = от а) следва неравенството на D. Luo и Т. MacGregor:

1

12

0 1

( ) ( ) 2 ( )( ) (1 ) ( )

1

f f ff r r dr C dα

αζ


ζ−

−=

+ −′ − ≤

−∫ ∫ .

Доказателство на а) : Нека 0 .nα< ≤

За удобство да положим , .it ie e θζ η= =

Следва да докажем неравенството

( )1 2 ( ) ( )( ) 1

10 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( , ) .

1

i t i i t in i

nit

f e f e f e f ef re r dr C n dt

e

π θ θ θ θθ α

α

λα

+ −−

+ −

− + −− ≤

−∫ ∫

Tъй като А,f C∈ то по формулата на Коши имаме

- 16 -

( )

2

10

! ( )( ) .

2 ( )

itn i it

it i nn f e

f re e dte re

πθ

θπ +=−∫

След смяна на променливата t tθ→ + , пoлучаваме

( ) ( )2 ( )

( ) 10

! ( )( )

2 ( )

i tn i i t

i t i nn f e

f re e dte re

π θθ θ

θ θπ

++

+ += =−∫

2 ( )

10

! ( ).

( )2

i tit

it ninn f e

e dte re

π θ

θπ

+

+=−∫

Ще използваме също, че

( )2 ( )

10

( ) ( ) ( )0

( )

i t i iit

it n

f e f e f ee dt

e r

π θ θ θλ −

+

− −=

−∫ .

Доказателството на това тъждество е следното. След смяна на променливата t t→ − , за лявата страна получаваме

( )2 ( )

10

( ) ( ) ( )

( )

i t i iit

it n

f e f e f ee dt

e r

π θ θ θλ− +−

− +

− −−

−∫

( )

( )2 ( )

10

( ) ( ) ( )

(1 )

i t i init

it n

f e f e f ee dt

re

π θ θ θλ +

+

− −=

−∫

( ) 1

11

( ) ( ) ( )0.

(1 )

i i in

n

f e f e f ed

r

θ θ θ

ζ

λ ζζ ζ

ζ−

+=

− −= =

−∫

( )

( )Използвахме че функцията 11

( ) ( ) ( ),

(1 )

i i in

n

f e z f e f ez z

rz

θ θ θλϕ−

+

− −=

−


- 17 -

е аналитична в D и принадлежи на АC (особената точка 1

z Dr

= ∉ ) .

Следователно, по теоремата на Коши интегралът е нула. Това ни дава основание да запишем формулата на Коши във вида

( ) ( ) ( )2 ( ) ( )

10

( ) ( ) ( ) ( ) !.

( )2

i t i i t in i it

it nin

f e f e f e f enf re e dt

e re

π θ θ θ θθ

θ

λ

π

+ −

+

− + −=

−∫

Тогава,

1

( ) 1

0

( ) (1 )n if re r drθ α−− =∫

( )( )

( )

1 2 ( ) ( )1

10 0

( ) ( ) ( ) ( ) !1

2 1

i t i i t iit

nit

f e f e f e f ene dt r dr

re

π θ θ θ θα

λ

π

+ −−

+

− + −= −

−∫ ∫

( )1 2 ( ) ( )1

10 0

( ) ( ) ( ) ( )!(1 )

2 1

i t i i t i

nit

f e f e f e f enr dtdr

re

π θ θ θ θαλ

π

+ −−

+

− + −≤ −

−∫ ∫

( )2 1 1

( ) ( )1

0 0

! (1 )( ) ( ) ( ) ( )

2 1

i t i i t init

n rf e f e f e f e dr dt

re

π αθ θ θ θλ

π

−+ −

+

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪= − + −⎨ ⎬⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭∫ ∫ .

Остава да оценим

( )1 1

10

(1 ).

1

defitnit

rI e dr

re

α−

+−

=−

∫

Използваме представянето:

- 18 -

2

2 2

2 2

1 (1 )(1 )

1 1 ( )

(1 ) 2 ( ) (1 ) (2 ) .

it it it

it it it it it it

it it it it

re re re

re re r e e r e e r

r r r e e r r e e

−

− − −

− −

− = − − =

= − − + = − + + =

= − + − + = − + − −

Тъй като

2

1 2 , it it ite e e−− = − − то

2 2 22 2 21 (1 ) 1 (1 ) 1 it it itre r r e r r e− = − + − ≥ − + − ⇒

( )1 1

1 2 22 22 21 1 (1 ) 1n n

nit it itre re r r e+ +

+ ⎡ ⎤⇒ − = − ≥ − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ,

от което следва:

( )

( )

1 1

120 22 2

1( ) .

1 1

itn

it

rI e dr

r r e

α−

+−

≤⎡ ⎤− + −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

За да изследваме сходимостта на този интеграл, полагаме

1

1

itr ex

r

−= ⇒

− ,

1 itx

re x

=− +

( )2

1 ,

1

it

it

edr dx

e x

−=

− +

11 ,

1

it

it

er

e x

−− =

− +

2 2 22 2

22 22 2 2

1 1 1 (1 )(1 ) 1 .

( 1 ) ( 1 ) ( 1 )

it it itit

it it it

e x e e xr r e

e x e x e x

− − − +− + − = + =

− + − + − +

Като заместим, следва


- 19 -

( )( )

( )( )

121 2

1 2 220

11 1

1 (1 )1 1

nitit it

ititit it

e xe eI e dx

e xe x e x

α

α

+−∞

−

⎡ ⎤− +− −⎢ ⎥≤ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥− +− + − +⎣ ⎦

∫

( ) 1 1 21

1 20 2

11

1 1

itnit

nnit

ee x dx

e x

αα

∞+ − + −

++

−= − +

⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

( )

( ) ( )1 1 1 1

2 20 02 2

11 1 (2 ).

1 11 1

nit n

n n n nit it

e x xdx dx

e ex x

α α

α α

−∞ ∞ −

+ − + + − +− + +

= ≤− −+ +

∫ ∫

Ако положим

( ) 120 2

(2 ) , ,

(1 )

n

nx

B n dx

x

αα

∞ −

++

=

+∫

то

( )11

( ) , ,1

itnit

I e B ne

α α+ −≤−

0 2t π< <

Остава да покажем , че интегралът

( )( )

( )( ) ( )

1

1 21 120 12 2 2

(2 ) 2, , ,

1(1 )

n n def

n nx x

B n dx dx B n B n

xx

α αα α α

∞− −

+ ++ +

= + = +

++∫ ∫

e сходящ при 0 < α ≤ n. Изследваме интегралите ( )1 ,B nα и ( )2 ,B nα :

( )

( )

1 1

1 1 220 02

(2 ) 1, 3 3 3

411

nn n n

nx

B n dx dxx

x

αα α απ

α−

− − −+

+= ≤ = <

++

∫ ∫

( Използвахме, че 1

2 22(1 ) 1n

x x+

+ > + ) ;

- 20 -

( )( )

( )

( )

( )2 1 1

2 21 12 2

2 2,

1

n n

n nx x

B n dx dx

x x

α αα

∞ ∞− −

+ ++ +

= ≤

+∫ ∫

3 1 3. .

1

n n

x

α α

αα α

− −∞

= − =

Следователно ( ) ( )1, 3 1 nB n αα

α−≤ + < ∞ , откъдето

( )11

( ) , .1

itnit

I e B ne

α α+ −≤ < ∞−

Kaто използваме оценката за ( ),itI e окончателно получаваме

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )1 2

11

0 0

1 , ,1

i t i t in i

nit

f e f e f ef re r dr C n dt

e

π θ θ θθ α

αλ µ

α+ −

−+ −

+ +− ≤

−∫ ∫

където сме положили ( ) ( )!

, , .2n

C n B nα απ

=

Доказателство на b). Нека .n α< Ще използваме , че

1 2 11 1

1 12 2n n

d d

r r rζ ζ

ζ ζπ πζ ζ ζ+ −

= =

=− − −∫ ∫

1 2 11 1

1 1 1 12 2 ( )( )(1 ) (1 )n n

d dr rrr rζ ζ

ζ ζπ π ζ ζζ− −

= =

≤ =− −−− −∫ ∫

11

1 12 ( )(1 )(1 )n

di r rr ζ

ζπ ζ ζ−

=

≤ =− −− ∫

11 1 1

.(1 )(1 ) (1 )(1 ) nn r r rr −= <

− + −−.

По формулата на Коши

( ) ( )

( )

( ) 11

!2

n nn n

n ff r d

i rζ

ζηη η ζ

π η ζ +=

=−∫ ,


- 21 -

откъдето

( ) ( )( )1

1

! ! 1.

2 2 1n

nnn d n

f r f frrζ

ζη

π πζ∞ ∞+=

≤ ≤−−∫

Тогава

( ) ( ) ( ) ( )( )

1 11 1

0 0

! !1 1 .

2 2n nn nf r r dr f r dr f

nα αη

α− − −

∞ ∞− ≤ − =−∫ ∫

3. Проблемни въпроси. ♦ За по-голяма обозримост нека положим 1n = .

Тогава неравенството а) приема вида

1

12

0 1

( ) ( ) ( ( ) ( ))( ) (1 ) ( )

1

f f f ff r r dr C dα

αζ


ζ−

−=

− + −′ − ≤

−∫ ∫ ,

(0 1α< ≤ ) и ни дава основание да дефинираме класовете аналитични функции:

1

1

0

: sup ( ) (1 ) AT

J f C f r r drαα

ηη −

∈

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪′= ∈ − < ∞⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭∫ ,

21

( ) ( ) ( ( ) ( ))W = : sup

1A

T

f f f ff C dλ

α αη ζ

ηζ η λ ηζ ηζ

ζ −∈ =

⎧ ⎫⎪ ⎪− + −⎪ ⎪⎪ ⎪∈ < ∞⎨ ⎬⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭∫ .

От доказаното неравенство следва съотношението между тези класове:

W Jλα α⊂ за всяко Cλ ∈ .

♦ Като открита проблематика за следващо изследване е определянето на

съотношенията между отделните класове от фамилията W .λα

Това, което понастоящем можем да отбележим е следното:

От неравенствата

- 22 -

2( ) ( ) ( ( ) ( ))

1T

f f f fdα

ηζ η λ ηζ ηζ

ζ −− + −

≤−∫ 2

( ) ( )

1

f fdα

ηζ ηζ

ζ −−

+−∫

T

2( ) ( )

1

f fdα

ηζ ηλ ζ

ζ −−

+ =−∫

T2

( ) ( )(1 )

1

f fdα

ηζ ηλ ζ

ζ −−

+−∫

T

следва, че 0W Wλ

α α⊂ за всякоλ , т.е класът

02

1

( ) ( )W = : sup

1A

T

f ff C dα αη ζ

ηζ ηζ

ζ −∈ =

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪∈ < ∞⎨ ⎬⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭∫

се явява “ сърцевина “ на фамилията класове Wλ

α .

ЛИТЕРАТУРА

1. D. Luo and Т. МacGregor. Multipliers of fractional Cauchy transforms and smoothness conditions , Can. J. Math. (3) 23 (1998), pp. 595-604.


- 23 -


INVARIANT CHARACTERISTICS OF CPECIAL COMPOSITIONS IN EQUIAFFINE SPACE

IVAN BADEV AND GEORGI ZLATANOV

Abstract. [5] builds an apparatus for studying special compositions in equiaffine spaces NEqA . This work uses bivalent tensor of composition, introduced in [5], to study characteristics of special quasi-cartesian and quasi-chebyshevian compositions. Characteristics of the spaces NEqA , containing these compositions are obtained as well. Geometric characteristics of the vector of quasi-parallel translation, the first and the second chebishevian vector of compositions are derived. Key words: equiaffine space, composition, Chebyshevian, Cartesian, geodesic, quasi-parallel. 2000 Mathematics Subject Classification:53Bxx, 53B05.

1. Preliminary A space with symmetric connection is said to be equiaffine provided there exist a

volume which is preserved under the parallel translation of the vectors. Volume is defined as:

(1.1) е 1 21 2... 1 2... ,nn

i i ii i in

V v v v=

where 1 2.... ni i ie is the fundamental n –vector of the space ([1],с. 150). Equiaffine spaces will be denoted by NEqA .

Suppose ,jisk isR R , kisΓ and 12...ne are curvature tensor, Ricci tensor,

coefficients of connection, and the main density of space NEqA respectively. The equiaffine composition is characterized by one of the following ([1], p.150):

(1.2) k∇ 1 2.... ni i ie = 0;

(1.3) sksΓ = lnk e∂ ;

(1.4) si isR R= ;

(1.5) 0kiskR = .

Consider in NEqA (N m n= + ), the composition n mx x× of two differential manifolds nx and mx . In this case the equiaffine space of compositions will be denoted by ( ).N n mEqA x x×

- 24 -

Define in ( )N n mEqA x x× adapted coordinate system ( ,i iu u )

( 1,2,..., ;i n= 1, 2,..., )i n n n m= + + + and an arbitrary coordinate system ( 1,2,.., )x Nα α = . Through any point in ( )N n mEqA x x× , there are two positions

of the base manifolds ( )nP x and ( )mP x .

Any composition is identified by a field with affinor аβα , such that

(1.6) аνα аβν = β

αδ , and the condition for integrability of the structure [3]

(1.7) а а[ [] ] 0a aσ δ σ δα α ββ σ σ∇ − ∇ = .

The projective affinors are defined as [3]

(1.8) n

aβα = 12

( )aβ βα αδ + ,

m

aβα = 12

( )aβ βα αδ − .

Hence these satisfy

(1.9) n

aβαnaνβ =

naνα ,

m

aβαmaνβ =

maνα ,

n

aβαmaνβ =

m

aβαnaνβ =0 .

In the adapted with composition coordinate system, matrix of the affinor and matrices of projective affinors are respectively[3]

(1.10) ( )aβα =

0

0

ji

j

i

δ

δ−

−

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

, (n

aβα ) =0

0 0

jiδ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

, (m

aβα ) =

0 0

0 j

iδ−

−

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

.

A direction of n-dimensional site is quasi-parallelly translated along the line γ ,

provided the absolute differential βαδξ of an arbitrary vector i

αξ decomposes as

.kkA du Bβ ββ

α α αδξ ξ= +

Here Aα is a function of the point and duβ is the vector of translation along γ [3]. The composition n mx x× is quasi-chebychevian—quasi-chebychevian (QC-QC), provided ( )nP X and ( )mP X are translated quasi- parallelly along the lines of mx and nx respectively.

A composition is (QC-QC) iff the affinor of composition satisfies

(1.11) naσδ

n

aβα σ∇ -naσα

n

aβσ δ∇ - ( ) 0.m nn m

a a a aβ βσ σσ α αδ δτ + =

The vector

(1.12) 1 1

( ) ( )2 2m nδ δ δ δ δτ σ γ σ γ= − − +

is called vector of quasi-parallel translation and the vectors

(1.13) 12δγ = a aα ν

ν α δ∇ ,12δσ = aαα δ∇


- 25 -

are called first and second chebychevian vectors of the composition respectively [3]. A composition n mx x× for which the positions ( )nP x are translated quasi-parallelly along the lines of mx is denoted by (QC- mx ). Such a composition is characterized by [3]

(1.14) maσα

n

aθδ

n

aβσ ν∇ 0.mn

a aβσσ αδτ− =

A composition for which the positions ( )nP x are quasi-parallelly translated along the lines mx and positions ( )mP x are translated parallelly along the lines mx is denoted by (QC-G). It is characterized by [3]

(1.15) maσα

n

aβσ δ∇ 0.mn

a aβσσ αδτ− =

A composition is said to be quasi-cartesian (QD-QD), provided the positions ( )nP x and ( )mP x are translated quasi-parallelly along all lines of the space. Such a

composition is characterized by

(1.16) aβα δ∇ 2 ( ) 0m nn m

a a a aβ βσ σσ α α αδτ− − = .

For given ( )N n mEqA x x× , [5] introduces tensor of composition n mx x×

(1.17) _

Rασ = a Rνα νσ ,

and proves that ( )N n mEqA x x× is an equiaffine space of the composition n mx x×

exactly whenever there exits a bi-valent tensor _

Rαβ satisfying:

(1.18) _

RασvvR Rσ β Rαβ= ,

_

Rβδ Rσδ

[ ]( )R Rνρα σ ρ−

∇ −_

Rβδ Rσδ

[ ]( )R Rνρβ σ ρ−

∇ 0= ,

where vRσ is the reciprocal of Rσν . If (1.18) holds then the composition n mx x× is characterized as follows [5]: (i) n mx x× is cartesian-cartesian (D-D) iff

(1.19) α∇_

Rσν Rβν +

_

Rσν α∇ Rβν 0= .

(ii) n mx x× is chebychevian-chebychevian (C-C) iff

(1.20) [ ]R Rνβα σ ν−

∇ + [ Rβν

α∇ Rσ−

] 0.ν=

(iii) n mx x× is geodesic-geodesic (G-G) iff

(1.21) Rσν_

Rβν ( )R Rδρσρα∇ +_

RανvRσ ( ) 0.R Rδρβρσ∇ =

- 26 -

2. Invariant characteristics of some special compositions in equiaffine space

From now on assume that (1.18) holds for _

Rασ . From (1.12), taking into account (1.13) and (1.17), for the vector of quasi-parallel translation, the first and second chebychevian vector of the composition respectively it follows:

(2.1) δτ =4m n

Rmn δβ+

(Rβν α∇ R−

)Rαρνρ ( )4m n

R Rmn

βαδβα

−− ∇ ,

2 δγ =R (Rαρνρ α∇_R )Rβνδβ ,2 δσ = (α∇

_R )Rανδν .

By (1.17), the projective affinors (1.8) onto the positions ( )nP x and ( )mP x (1.17) are

(2.2) 2n

aβα = _

( )R Rβ σβασαδ + , 2

m

aβα = _

( )R Rβ σβασαδ − .

Denote by (QC- mx ) a composition, whose positions ( )nP x translate quasi-

parallelly along the lines of mx . Suppose n mx x× is (QC- mx ). From (1.14) , (1.8) and (2.1) we get

(α∇_R )Rνβδν +R Rρνδρ (α∇

_R )Rσβνσ − R Rνσαν (σ∇

_R )Rρβδρ −

(2.3) R Rρσαρ R Rρνδρ (σ

∇_R )Rγβνγ 2 ( β

δ ατ δ− − R Rνβαν ) +

2 ( βσ ατ δ R Rνσδν R− Rνσδν R Rβγγα ) 0= .

From where by (1.18) the following follows: Proposition 2.1 A composition n mx x× of NEqA is (QC- mx ) iff Rασ satisfies (2.3). Proposition 2.2 An equiaffine space NEqA contains a (QC- mx ) composition, iff there exists a tensor Rασ satisfying (1.18) and (2.3).

Next, after contraction of (2.3) along the indexes α and β we get

(2.4) ( ναδ +

_

Rαρ )( )Rρν ν νσ γ− 2m− ( vαδ −_

Rαρ ( )R Rγβνγσ∇

From where by (2.1) and (2.2) it follows: Corollary 1 If n mx x× is (QC- mx ) then ( )mP xν νσ γ− ∈ and ( ).nP xντ ∈

Denote by (QC-G) a composition whose position ( )nP x quasi-parallelly along the lines of mx and position ( )mP x translate parallelly along the lines of mx . Suppose the composition n mx x× is (QC-G). From (1.15) and (1.18) we obtain:


- 27 -

(2.5) ( )vR Rνβδα∇ +_

RανσνR ( )R Rβρδρσ∇ − ( β

δ ατ δ − )R Rνβαν +

(στ_

RδνvRσ

_

Rαρ Rρβ β

αδ−_

RδνvRσ ) 0= .

Proposition 2.3 A composition n mx x× is (QC-G) iff _

Rασ fulfills (2.5).

Proposition 2.4 An equiaffine space NEqA contains (QC-G) composition iff there exists tensorRασ which satisfies (1.18) and (2.5).

Next, contracting (2.5) along α and β we find: (2.6) (2 ) 0.n m mδ δγ σ+ + = From (2.6), (2.1) and (2.2) it follows: Corollary 2 If n mx x× is (QC-G) then the first and the second chebychevian vector of the composition are collinear.

Suppose n mx x× is (QC-QC). From (1.12) it follows that (2.7)

R Rνσδυ ( )R Rβρσρα∇ − R Rνσα ν ( )R Rβρδρσ∇ −2 δτ R Rνσδυ +

2 στ vR Rνβα R Rρσδρ = 0.

Proposition 2.5 A composition n mx x× is (QC-QC) iff _

Rασ satisfies (2.7).

Proposition 2.6 An equiaffine space NEqA contains a (QC-QC) composition iff there

exist a tensor _

Rασ for which (1.18) and (2.7) hold. Suppose n mx x× is (QD- mx ). Following [3], according (1.17) for the tensor

of the composition we have (2.8) ( )vR Rβνδα∇ + vR Rνσδ ( )R Rβρσρα∇ − δτ ( β

αδ − R Rνβαν ) -

στ (vR Rνσδβαδ - ) 0.R Rρβαρ =

Proposition 2.7 A composition n mx x× is (QD- mx ) iff Rασ satisfies (2.8). Proposition 2.8 An equiaffine space NEqA contains a (QD- mx ) composition iff there exists a tensor Rασ satisfying (1.18) and (2.8).

Next, contract (2.8) to get: (m σ

δ δ σ αγ σ τ δ+ − + ) 0vR Rνσα = . From the above with (2.1) and (2.2) it follows: Corollary 3 If a composition n mx x× is (QD- mx ) then the vector ( ).nP xστ ∈ Denote by (QD-G) a composition whose position ( )nP x translate quasi-parallelly along all lines of nx , and positions ( )mP x are translated parallelly along

mx . Now, suppose n mx x× is (QD-G). The tensor of the composition and the vector of quasi-parallel translation satisfy:

- 28 -

vR Rνσδ ( )R Rβρσρα∇ + vR Rνσα ( ) 0R Rβρδρσ∇ = ,

(2.9) ( δ στ τ+ )R Rσρδρ ( βαδ − )vR Rνβα − ( )vR Rβνα δ∇ −

vR Rνσδ ( ) 0.R Rβρσρα∇ = Proposition 2.9 . A composition n mx x× is (QD-G) iff Rασ satisfies (2.9). Proposition 2.10. An equiaffine space NEqA contains a (QD-G) composition iff there exist a tensor Rασ satisfying (1.18) and (2.9).

Suppose n mx x× is (QD-QD). From the invariant characteristic of the composition and (1.17) it follows that

(2.10) ( ) 0.v vR R R R R Rββρ βν σνα σρ δ α σ α δτ τ δ∇ + − =

Proposition 2.11 A composition n mx x× is (QD-QD) iff Rασ satisfies (2.10). Proposition 2.12 An equiaffine space NEqA contains a (QD-QD) composition iff there exist a tensor Rασ satisfying (1.18) and (2.10).

Denote by (C- mx ) a composition whose positions ( )nP x translate parallelly along the lines mx . Suppose a composition n mx x× is (C- mx ). For its tensor we have:

(2.11) ( )R Rβρδρα∇ + R Rνρδρ ( )vR Rσβσα∇ − vR Rνσα ( )R Rβρδρσ∇ −

R Rσρα ρp

pR Rνδ ( ) 0.qqR R β

σ ν∇ =

From where it follows: Proposition 2.13. A composition n mx x× is (C- mx ) iff Rασ satisfies (2.11). Proposition 2.14. An equiaffine space NEqA contains a (C- mx ) composition iff there

exist a tensor ασR_

satisfying (1.18) and (2.11). Next, contract (2.11) to obtain:

( ναδ + )( ) 0R Rνρα ρ ν νσ γ− = .

From where, (2.1) and (2.2) we get: Corollary 4 If a composition n mx x× is (C- mx ) then the vector

( ).nP xν νσ γ− ∈


- 29 -

Denote by (D- mx ) a composition, whose positions ( )nP x translate parallelly along all lines of nx . If n mx x× is (D- mx ) then for the tensor of the composition we have:

(2.12) ( )R Rβρδα ρ∇ +R Rνσδ ν ( ) 0.R Rρβσα ρ∇ = Proposition 2.15 . A composition n mx x× is (D- mx ) iff Rασ satisfies (2.12). Proposition 2.16. An equiaffine space NEqA contains a (D- mx ) composition iff

there exist a tensor ασR_

satisfying (1.18) and (2.12). Next, after contracting from (2.12) we have

( ναδ + ) 0R Rνρα ρ νσ = .

From where and (2.1) and (2.2) we get Corollary 5 If n mx x× is (D- mx ) then the vector ( ).nP xνσ ∈

Denote by (C-D) a composition whose positions ( )nP x and ( )mP x translate parallelly along the lines mx . If n mx x× is (C-D), for the tensor of the composition we have:

(2.13) R Rνσδ ν ( )R Rρβσα ρ∇ - R Rνσα ν ( ) 0,R Rρβδσ ρ∇ =

( )R Rρβδα ρ∇ -R Rνσδ ν ( ) 0.R Rρβσα ρ∇ = Proposition 2.17 A composition n mx x× is (C-D) iff Rασ satisfies (2.13). Proposition 2.18 An equiaffine space NEqA contains a (C-D) composition iff there exist a tensor Rασ satisfying (1.18) and (2.13 ). Theorem 2.1 If a composition n mx x× is (C-C) and (G-G) then it is (D-D) as well. Proof. If n mx x× is (C-C) then

( σδδ + )R Rσρδ ρ

−( )R Rνβα δ ν−

∇ ( σαδ− + )R Rσρα ρ

−( )R Rρβσ δ ρ−

∇ = 0,

from where

(2.14) R Rνσδ ν−

( )R Rρβα σ ρ−

∇ R Rνσδ ν−

− ( )R Rρβα σ ρ−

∇ = 0.

Since n mx x× is (G-G) as well we have

(2.15) R Rνσδ ν−


∇ +R Rνσδ ν−


∇ = 0. From (2.14) and (2.15) we arrive at

R Rνσδ ν−


∇ 0.= Hence the composition is (D-D) [3], [5].

- 30 -

Theorem 2.2 If a composition n mx x× is ( nx -C) and (G- mx ) then it is (G-C). Proof. If a composition is ( nx -C) then

(2.16) ( )R Rδβα ν δ−

∇ R Rσνρ σ−

( )R Rνβσ ν ρ−

−∇ R Rδσα δ−

-

( )R Rδβα ρ δ−

∇ +R Rδσα δ−

R Rθνρ θ−

( )R Rγβσ ν γ−

∇ 0= .

Since the composition is (G- mx ) as well we have

(2.17) ( )R Rδβα ν δ−

∇ R Rνσρ σ−

+ ( )R Rνβσ ρ ν−

∇ R Rδσα δ−

+

( )R Rρβα δ ρ−

∇ +R Rδσα δ−

R Rθνρ θ−

( )R Rγβσ ν γ−

∇ 0= .

From (2.16) and (2.17) we find

( )R Rρβα δ ρ−

∇ +R Rνσδ ν−


∇ 0= .

Hence the conclusion. The next theorem follows in a similar to Theorem 2.2 way. Theorem 2.3 If a composition n mx x× is ( nx -G) and (C- mx ) then it is (C-G) composition.

REFERENCES

1. А.Norden: Affinely Connected Space, Monograph, Moscow, 1976.

2. А. Norden: Spaces of Cartesian compositions, Math.4(1973), 117-128.

3. А. Norden,G.Тimofeev: The invariants tests of the special compositions in many

dimensional spaces. Izv. Vuzov, Math.8(1972), 81-89.

4. А.Naviera: A classification of Riemannian almost-product manifolds. Rend. Di. Mat.

Di Roma. № 3(1983), 577-592.

5. G.Zlatanov: Equiaffine Spaces of compositions, Tensor, N.S. vol.62(2000), 183-190.

6. G. Zlatanov: Weyl Spaces of compositions, Mathematics and education in

mathematics, Sunny Beach, 2003, 213-218.

7. Е.Leontjev: Classification of the special connectives and compositions in multivariate

spaces, Izv. vuzov Math.5(1967), 40-51.

8. G.Timofeev: Invariant tests of the special compositions in Weil’s spaces, Izv. Vuzov,

Math.1(1976), 87-99.

Technical University-Sofia Branch Plovdiv University of Plovdiv “Paisii Hilendarski” Technical College “J.Atanassov” Faculty of Mathematics and Informatics 25,Tzanko Djustabanov Str.4000 Plovdiv 24 Tsar Assen Str. 4000 Plovdiv, Bulgaria E-mail:ivanbadev @abv.bg E-mail: zlatanov @ulcc.pu.acad.bg

Journal of the Technical University at Plovdiv“Fundamental Sciences and Applications”, Vol. 13, 2006Anniversary Scientific Conference’ 2006 BULGARIA

SMOOTH SOLUTIONS OF A NONLOCAL BVP

G. P. PASKALEV

Abstract. We consider a special case of the nonlocal boundary value problem considered in [1,2]. When the higher-order partial differential equation is parabolic in neighborhood of the bottoms of the cylinder it is possible to simplify some assumptions on the coefficients of the equation – we can choose these assumptions similar to the conditions used in the local case. Sufficient conditions for the smoothness of the generalized solution of a nonlocal boundary value problem for a higher-order equation of mixed type in an anisotropic space are proved. Sufficient conditions for existence of classical solution are obtained.Key words: Higher-order equation, Nonlocal condition, Anisotropic function space, Classical solution.

1. Introduction

In the present paper we investigate the smoothness of the generalized solution of the problem considered in [3], where existence and uniqueness of the solution are obtained.

Let D⊂ℝn , n1, be a bounded domain with a boundary ∂ D. Denote:x=x1 , x2 , x3 ,⋯, x n ,G =D×0, T , =∂ D×0, T , T 0.

Suppose that Γ is smooth and let us consider in G the equation Lu≡P 2st , x u−−1 m M 2m xu[c t , x−C ]u= f t , x , (1)

where

P 2st , x u≡∑i=1

2s

k i t , x D ti u ; M 2mx u≡ ∑

∣∣=∣∣=mDx

[ ax D x] u ;

Dti ut , x= ∂i

∂ t i u t , x ; D x u t , x= ∂

∂1x1∂2

x2⋯∂nxn

u t , x ;

i0, m1, s1 are integer, C=const>0 is sufficiently large and k it , x , c t , x ,ax≡ax are infinitely smooth functions in G. Suppose that for fixed ∈0,T / 2 the condition k 2s t , x=0 ∀ t∈[0,]∪[T − , T ]∀ x ∈D is satisfied and

Copyright 2006 by Technical University at Plovdiv, Plovdiv, BULGARIA. ISSN 1310 - 8271

31

∑∣∣=∣∣=m

a xC0 .∣∣2m ,∀∈ℝn ,∀ x∈ D.

where C 0=const 0 and α,β are multi indexes. The equation (1) is a mixed type equation in G∪ and in neighborhood of the bottoms

of the cylindrical domain the equation is parabolic.

2. Boundary conditions and function spaces

Consider the following boundary value problem: To find a soluton of equation (1) in G, satisfying the boundary conditions:

D x u∣=0 ;∣∣m−1 ; (2)

Dti uT , x = D t

i u 0, x , i=0,2 s−2 ; (3)where =const ≠0, ∣∣1.

Let C ∞ G be the space of infinitely smooth in G functions, satisfying the boundary conditions (2) and (3) and let C ✴

∞ G be the corresponding space of infinitely smooth in G satisfying the adjoint to (2) and (3) boundary conditions:

D xv∣=0 ;∣∣m−1 ;

Dti v 0, x= Dt

i v T , x , i=0,2 s−2 ;

If p1 and q1 are integer numbers, define the space W t , xp , qG as a set of functions

u∈L 2G , which have generalized derivatives

D ti Dx

u ∈L 2G ,∀i ,: ip

∣∣q 1.

By definition W t , xp , qG is a normed space with a norm

∥u∥p, q2 =∫

G∑

qip∣∣pqD t

i D xu 2 dtdx. (4)

If p1 , q1 are integer numbers, let us define the space H t , xp , qG as the closure of the

function space C ∞ G with respect to the norm (4) and the space H t , x , ✴p , q G as the closure

of C ✴∞ G with respect to the same norm. From definitions it follows that

H t , xp, qG ⊂W t , x

p , qG .As usually, the scalar product of the space L 2G ≡H t , x

0,0G we shall denote by . , .0.

In [3] we give the following

Definition: A function u ∈H t , x2s−1, mG is called a generalized solution for the problem

(1)-(3) if u , L✴ v 0= f , v 0∀ v ∈C ✴

∞ G. (5)

32

3. Main Result

Theorem. Let l > 1 is an integer number and(i) f ∈W t , x

l ,l [m/ s ]G ,

(ii) Dti f T , x = D t

i f 0, x ,i=0, l−1 ; almost everywhere in D.(iii) 2k 2s−1t , x −r.D t k 2st , x =const 0 ∀t , x ∈G , r=2p-1, p=0, l ,r=2p-4s+1, p=0, l ;(iv) k iT , x =k i0, x ∀ x ∈D , s1,i=0, s ;(v) Dt

i cT , x =Dti c 0, x ∀ x∈D ,s1, i=0,2 s−3l ;

(vi) Dti k 2s−1T , x= Dt

i k 2s−10, x ≠0∀ x∈D , i=−l ,2 s−2.Then the generalized solution u(t,x) of the problem (1)- (3) belongs to the space

W t , x2s−1l ,2ml−1[m/ s ]G and Dt

i uT , x = D ti u 0, x , i=0,2 s−2l ; almost everywhere in D.

4. Proof

In order to prove this theorem we apply the schema, used in [1]. In the case l=1 we prove that if u is the generalized solution for the problem (1)-(3) then D t u is a generalized solution of the same non-local problem for the equation L1 w≡k 2st , x Dt

2s w[k 2s−1t , x D t k 2st , x ] D t2s−1 wDt k 2s−1t , x D t

2s−2 w− −Nw−−1m M 2mx w

and f 1t , x=D t { f −[c t , x −C ] u−Nu−[1−s1] . ∑i=1

2s−1

k it , x D ti u }, where δ is the sim-

bol of Kroneker and N is a sufficiently large positive constant.Consider the problem

L1 w= f 1 in G (6)

D xw∣=0 ;∣∣m−1 ; (7)

Dti w 0, x= Dt

i wT , x ,i=0,2 s−2 ; (8)

The conditions of theorems 1,2 from [3] are true and hence the problem (6)-(8) has a unique generalized solution w ∈H t , x

2s−1, mG . If now ∈C ✴∞ G is an arbitrary element, define the

function v t , x=Z t , x −1 −1. Z 0, x where Z t , x=∫T

t

, x d . Then

a Dt v=t , x ∀t , x∈ G , b v t , x ∈Caster∞ G and

w , L1✴ v 0= f 1, v0 ,

where


33

L1aster v=Dt

2s [k 2st , x .v ]−D t2s−1[ k 2s−1t , xD t k 2st , x v]Dt

2s−2 [D t k 2s−1t , x .v]−−−1m ∑

∣∣=∣∣=mD x

[ax D xv ]−Nv

Using the fact that the equation Lu= f is satisfied in weak sense, we obtain in parti-al that for each function ∈C 0

∞G the equality A u ,0= , 0 is true, where

A u ,=∫G

∑∣∣=∣∣=m

ax D xu D x

u dtdx ,= f −c t , x uCu−∑i=1

2s

k it , x D ti u ;

From [5], Theorem 3 it follows that u∈W t , x0,2mG . Now from the estimates for the

mixed derivatives (point 10.2 from [6]) we conclude that u∈W t , x2s ,2mG . From the equali-ties

Dti w T , x = D t

i w 0, x ,i=0,2 s−2 ; almost everywhere in D, we obtain that Dt

i uT , x = D ti u 0, x , i=0,2 s−2 ; if we add the equality u T , x =u 0, x . The the-orem

is proved in the case when l=1.Let now l 01 is a fixed integer number and suppose that the theorem is true for

l=l 0 and that the conditions are true for l=l 01. Hence the problem (1)-(3) has a unique

solution u∈W t , x2s−1l ,2ml−1[m/s ]G , such that D t

i u T , x= D ti u 0, x , i=0,2 s−2l ;

almost everywhere in D. If we take in the conditions of Lemma 2 from [1] l , s , m=l ;=l [ m/ s ];l , s , m=2ml−1[m / s] ; where [.] is the function “entire part of the argument”, then are true the conditions (5)-(10) from [1].

But f ∈W t , x1l0 ,l0 1[m/ s ]G , u∈W t , x

2s−1l0 ,2ml0−1[m/s ]G , then from point (i) of Lem- ma 2 from [1] it follows that f 1∈W t , x

l0 ,l0[m/s ]G . In this moment for L1 and for right hand f 1 are fulfilled all the conditions of the theorem. Hence the problem (6)-(8) has a unique

solution w∈W t , x2s−1l0 ,2ml0−1[m/s ]G , such that D t

i w T , x= Dti w 0, x , i=0,2 s−2l 0 ;

almost everywhere in D. As in the case when l=1 it follows that D t u=w almost everywhere in G. Then D t u∈W t , x

2s−1l0 ,2ml0 −1[m /s ]G , from where u∈W t , x2sl0 , l0 G and

Dti uT , x = D t

i u 0, x , i=0,2 s−2l 0 ; almost everywhere in D.By integration by parts in the equality (5) we obtain

∫G

∑∣∣=∣∣=m

ax D xu D x

dtdx= f −cuCu−∑i=1

2s

k i D ti u ,0 ∀∈C ✴

∞ G

But C 0∞ G ⊂C ✴

∞G . From point (ii) of Lemma 2 from [1] it follows that the

function f 2= f −cuCu−∑i=1

2s

k i D ti u , belongs to W t , x

0, l 0[m/s]G . Now from theorem 3 from [4]

we conclude that u∈W t , x0, 2ml0 [m/s ]G . Finally the estimates from point 10.2 from [6] give that

u∈W t , x2s−1l0 ,2m l0−1[m/s]G . The theorem is proved.

34

5. Classical solution

A domain of considered type fulfills a b-horn condition for b=b 0, b1, b2, b 3, ... , bn ,bi0, i=0, n , b1=b2=⋯=bn ; For integer l1 and such that

2s2s−l1

12 { 1

2s−l1

n

2ml−1[ms

]}1, (9)

from theorem 10.4 from [5] we obtain that the derivatives Dti u ,i2s of the generalized

solution u of the problem (1)-(3) are classical. Also from the same theorem we have that for integer l1 and such that

2s

2ml−1[ms

]

12 { 1

2s−l1

n

2ml−1[ms

]}1, (10)

then the derivatives D x u ,∣∣2m of the solution are classical.

If the inequalities (9),(10) are true, then using integration by parts we conclude that the generalized solution of the problem (1)-(3) is a classical solution of this problem.

6. Example

Let n=3, T=1, A,C,R are positive constants and D={x1 , x2 , x3/ x1

2x22 x3

2R2 },G=D×0,1 , =∂ D×0,1 ,∈C∞ [0,1] ,t =0∀ t ∈[0,1/r ]∪[1−1/r ,1] , r∈ℕ , r2, s=m=4, f ∈L2G .Let us consider the problem

t Dt8uAD t

7u− Dx1

8 u−D x2

8 u−D x3

8 u−Cu= f t , x in G, (11)

D x u∣=0 ;∣∣3, (12)

Dti uT , x =1 /2. Dt

i u 0, x ,i=0,6 . (13)

In this example k 8t , x ≡t , k 7t , x≡A ,k it , x ≡0, i=1,6 , c t , x≡0,=1 /2, a x≡1,=≡4,0 ,0 ,0,4 ,0 ,0,0 ,4 else a x≡0.

The equation is an eighth order mixed type equation and near the plains {t=0}and {t=T} is parabolic. If f ∈W t , x

l ,l G , where l1 is a parameter and if the constants A,C are sufficiently large and Dt

i f T , x =1 /2. Dti f 0, x ,i=0, l−1 ; in D,almost everywhere, then

all the conditions of the above theorem are satisfied. Hence the problem (11)-(13) has a unique solution u∈W t , x

7l ,7lG . If we take l=4 in the conditions (9),(10), then it follows that the generalized solution of the problem (11)-(13) is a classical solution of this problem.


35

In this case we simplify some conditions on the coefficients of the equation – now they are similar to the conditions used in the case when s=1 (the case of second order equation) [4] and to the conditions used in the local case [5].

References

1. Paskalev G. P. Sufficient conditions for the smoothness of the generalized solution of a nonlocal boundary value problem for a higher-order equation of mixed type., (Russ.), Diff. Uravnenia, Minsk, 2000, V. 36,no.6,P.886-893.2. Paskalev G. P. Smooth and classical solution of nonlocal boundary value problem for a class of a higher-order partial differential equations., Math. Balcanica (N.S.) 15(2001), no.1-2, P. 109-123.3. Paskalev G. P. Nonlocal BVP in cylindrical domain., Journal of the Technical University at Plovdiv “Fundamental Sciences and Applications”, Vol. 13, 2006.(This edition).4. Karatopraklieva M. G. Nonlocal boundary value problem for mixed type equations., (Russ.), Diff. Uravnenia, Minsk, 1991, V. 27, no.1, P.68-79. 5. Fan Duck Chau Boundary value problems for higher-order equations of mixed type in cylindrical domain. (Russ.), Comptes Rendus de l'Academie bulgare, 1981,Tome 34, No. 10, P.1339-1342. 6. Besov O.V.,V. P. Ilin,S. M. Nikolskij Integral representations of functions and embedding theorems. (Russ.), Moskva, 1975.

Department of Mathematics, Physics and ChemistryTechnical University – Sofia, Plovdiv Branch25, Tzanko Dyustabanov Str.4000 PlovdivBULGARIAE-mail:[email protected]

36

Journal of the Technical University at Plovdiv“Fundamental Sciences and Applications”, Vol. 13, 2006Anniversary Scientific Conference’ 2006 BULGARIA

NONLOCAL BVP IN CYLINDRICAL DOMAIN

G. P. PASKALEV

Abstract. We consider a special case of the problem, considered in [1]. When the equa-tion is parabolic near the bottoms of the cylinder, we can simplify some assumptions on the coefficients of the equation – now the conditions are similar to the conditions used in the case of second order equation and in the local case. Existence and uniqueness of the generalized solution in an anisotropic space are proved.Key words: Higher-order equation, Nonlocal condition, Anisotropic function space, A priori estimates.

1. Introduction

Let D⊂ℝn , n1 be a bounded domain with a boundary ∂D. Denote:x=x1 , x2 , x3 ,⋯, x n ,G=D×0, T ,=∂D×0, T , T0.

Suppose that Γ is smooth and and let us consider in G the equation Lu≡P 2st , x u−−1 mM 2mxu[ ct , x−C ]u= f t , x , (1)

where

P 2st , x u≡∑i=1

2s

k i t , xD ti u ; M 2mx u≡ ∑

∣∣=∣∣=mDx[ ax D x

] u ;

Dti ut , x= ∂i

∂ t i u t , x ; D xu t , x= ∂

∂1x1∂2

x2⋯∂nxn

u t , x ;

i0, m1, s1 are integer, C=const>0 is sufficiently large and the coefficientsk it , x , c t , x , ax ≡a x are infinitely smooth functions in G. Suppose that for fixed ∈0,T / 2 the condition k 2s t , x=0∀ t∈[0,]∪[T− , T ]∀ x∈D is satisfied and

∑∣∣=∣∣=m

axC0 .∣∣2m ,∀∈ℝn ∀ x∈ D.

where C 0=const0 and α,β are multi indexes. (1) is a mixed type equation in G∪ and near the bottoms of the cylindrical domain

the equation is parabolic.


37

2. Boundary conditions and function spacesConsider the following boundary value problem. To find a soluton of equation (1) in

G, satisfying the boundary conditions:

D xu∣=0 ;∣∣m−1 ; (2)

Dti uT , x =D t

i u 0, x , i=0,2 s−2 ; (3)where =const≠0,∣∣1.

Remark: We can reduce the general nonlocal case ≠0 to the case when=const≠0,∣∣1, because in the case when ∣∣1 we can set U t , x=e−t . u t , x , whereU t , x is a new unknown function and 0 is a constant such that e−T .1.

Let C∞ G be the space of infinitely smooth in G functions, satisfying the boun-dary conditions (2) and (3) and letC ✴

∞ G be the corresponding space of infinitely smooth in Gfunctions, satisfying the adjoint to (2) and (3) boundary conditions:

D xv∣=0 ;∣∣m−1 ;

Dti v 0, x=Dt

i v T , x , i=0,2 s−2 ;

If p1 , q1 are integer numbers, let us define the space H t , xp , qG as the closure of

C∞ G with respect to the norm ∥u∥p ,q

2 =∫G∑

qip∣∣1Dt

i D xu 2 dtdx

and the space H t , x ,✴p, q G as the closure of C ✴

∞ G with respect to the same norm.The scalar product of the space L 2G ≡H t , x

0,0G we shall denote by . , .0.

Definition: A function u∈H t , x2s−1, mG is called a generalized solution for the problem

(1)-(3) if u , L✴v 0= f , v 0∀ v∈C ✴

∞ G. (4)

3. Preliminary

Lemma 1. Let 0 is sufficiently small and the function t has the properties: i ∈C∞[0,T ] ; ii t =0∀ t∈[0, ]∪[T− ,T ] ;

Then the problem (1)-(3) is equivalent to the problem (5),(1),(2), where et Lu=et f t , x , (5)

Remark: Let we pay attention that the coefficients a of the equation (5) depend on

the varyable t. In this case we we need to modify the proofs, obtained in [1].

38

4. Results

For l=0,2 s−2 , j=0,2 s−1−l define the function

j ,lt , x= ∑i= jl1

2s

−1i−1− ji−1− jl D t

i−1− j−l k lt , x .

Suppose that for above indexes are satified the equalities j ,lT , x= j ,l 0, x∀ x∈ D.

Theorem 1. Let the following conditions are satisfied:(i) 2k 2s−1t , x −D t k 2st , x=const0∀t , x∈G ,(ii) k iT , x=k i 0, x∀ x∈D ,s1, i=0, s ;(iii) k 2s−1T , x =k 2s−10, x≠0 ∀ x∈ D.

Then for any function f ∈L2G there exists a generalized solution for the problem (1)- (3).

Let the functions k i✴ t , x are the corresponding coefficients of the operator L✴ ,

formally adjoint to L.

Theorem 2. Let the following conditions are satisfied:(i) 2k2s−1t , x −4s−1 Dt k 2st , x 1=const0∀t , x ∈G ,(ii) k i

✴T , x =k i✴ 0, x ∀ x∈D , s1, i=0, s ,

(iii) k 2s−1T , x =k 2s−10, x≠0 ∀ x∈ D.Then the problem (1)-(3) can have no more than one generalized solution.

5. Proofs

Proof of theorem 1. Let the function ∈C∞[0,T ] has the properties a 0T ∀ t∈[0,T ] , b t =t ∀ t∈[ , T−] , ct =0∀ t∈[ 0,/ 2 ]∪[T− /2, T ] (6) and let us define the function t by the equality

t =−t . {[1 /s ]1−[1 / s]2s }. ,where [ .]≡entier . , eT=−2 .

Let us multiply the equation (1.1) by et , where the function satisfies the conditions (5.1). Now we obtain the equation

et P 2st , x u−−1m et M 2m xuet [c t , x −C ] u=et f t , x , (7)Using Lemma 1 we obtain that the boundary value problems (1)-(3) and (7),(1),(2) are

equivalent. Now we append the method of proving of Theorem 1 from [1] in the case when the coefficients a depend on t and obtain an a priori estimate

∥L✴v∥−2s−1, mconst.∥v∥0∀ v∈C ✴∞ G.


39

Hence there exists a function u∈H t , x2s−1, mG for which (4) is true. The theorem is proved.

Proof of theorem 2. Let the function ∈C∞[0,T ] has the properties (6) and let us define the function t by the equality

t =−t . {[1 /s ]1−[1 / s]2s }./4s−1 , where [ .]≡entier . , eT=−2

From Lemma 1 we obtain that the problems (1)-(3) and (7), (1),(2) are equivalent. Now we append the method of proving of Theorem 2 from [1] in the case when the coeffici-ents a depend on t and obtain an a priori estimate

∥L u∥−2s−1, mconst.∥u∥0∀u∈C∞G ,

from where it follows that there exists no more than one function u∈H t , x2s−1, mG for which

(4) is true. The theorem is proved.

6. Example

Let D={x1 , x2/ x12x2

2R2} ,G=D×0,1 ,=∂ D×0,1 , where R=const>0,∈C∞[0,1 ] ,t =0∀ t∈[0,1 / r ]∪[1−1 / r ,1 ] , r∈ℕ , r2, s=m=4, f ∈L 2G .

Let us consider the problem

t D t8 uADt

7 u−D x1

8 u−D x2

8 u−Cu= f t , x in G, (8)

D xu∣=0 ;∣∣3, (9)

Dti uT , x =1 /2. Dt

i u 0, x ,i=0,6 , (10)where A=const>0, C=const>0.

In this example we have k 8t , x ≡t , k 7t , x≡A ,k it , x ≡0, i=1,6 , c t , x≡0, ax≡1 for =≡4,0 ,0,4 else ax ≡0, =1 /2.

If the constants A,C are sufficiently large, then the conditions of the theorems 1,2 are satisfied. Hence the problem (8)-(10) has a unique generalized solution u∈H t , x

7,4G.

The considered higher-order partial differential equation is parabolic in some neighbourhoods of the bottoms of the cylinder. In this case we simplify some assumptions on the coefficients of the equation – the assumptions are similar to the conditions used in the case when s=1 [2] and in the local case [3]. The smoothness of the solutions of the boundary value problem we shall consider in another paper.

40

References

1. Paskalev G. P. On a nonlocal boundary value problem for a higher-order equation of mixed type., (Russ.),Diff. Uravnenia, Minsk, 2000, V.36,no.3,P.393-399.2. Karatoprakliev G. D. Nonlocal boundary value problems for mixed type equations., (Russ.), Diff. Uravnenia, Minsk, 1987, V.23, no.1, P.78-84.3. Fan Duck Chau Boundary value problems for higher-order equations of mixed type in cylindrical domain. (Russ.), Comptes Rendus de l'Academie bulgare, 1981,Tome 34, No. 10, P.1339-1342.

Department of Mathematics, Physics and ChemistryTechnical University – Sofia, Plovdiv Branch25, Tzanko Dyustabanov Str.4000 PlovdivBULGARIAE-mail:[email protected]


41

42

©Journal of the Te hni al University at Plovdiv"Fundamental S ien es and Appli ations", Vol. 13(10), 2006Anniversary S ienti� Conferen e' 2006BULGARIAMODELING THE LATERAL JET FOLLOWING THE DROPIMPACT ON A DRY WALLSONIA TABAKOVA, FRANÇOIS FEUILLEBOIS, STEFAN RADEVAbstra tThe drop impa t problem is important from a fundamental point of view, sin eit has numerous appli ations in nature and te hnology. Shortly after impa t on adry wall, the drop surfa e is highly deformed and destroyed leading to lateral jettingalong the wall. The jet an be regarded as an unsteady axisymmetri al thin liquid�lm on a wall and surrounded by an ambient gas. The boundary layer approa h ofthe stagnation point �ow is applied to model the thin �lm dynami s.Keywords: drop impa t, stagnation point �ow, boundary layer1 Introdu tionThe problem of drop impa t has been attra ting s ientists for more than a entury be auseof its broad spe trum of appli ations. In nature it o urs either as high speed impa t offreezing rain, drizzle or aerosol leading to i e a retion on air rafts during �ights, on powerwires, on ships, on wind turbines, et .; or as intermediate speed impa t of raindropsleading to soil erosion. In modern manufa turing te hnologies, su h as thermal spray oating or painting te hniques, the impa t speeds are often low.The drop diameter has an important role for drop deformation [1℄, [2℄: drops withsmall diameters of O(1µm) preserve their spheri al shape or at most be ome trun atedspheres at impa t. However, drops of bigger diameter of O(1mm) an strongly deform,even spread as thin �lms. Whether the target surfa e is dry or wet is also signi� ant: on adry surfa e, drops spread out or splash and in general their behavior is di�erent from thatof an impa t on wetted surfa es or liquid layers. In the dry surfa e ase, the me hanismof splashing is still not fully des ribed and the transition limit between spreading andsplashing is not exa tly known for ea h liquid and substrate material.It is observed that for very low impa t velo ities the drop spreading is quasistati andlasts a few se onds. A thin �lm model then is appli able, as shown in the review paper ofOron, Davis and Banko� [3℄. One nonlinear evolution PDE of 4th order for �lm thi knessis obtained from the long-wave approa h using the lubri ation assumption. The onta tline velo ity and onta t angle values are derived from di�erent wetting hypotheses. If theimpa t velo ity is intermediate or high, the spreading be omes dynami and is measuredin millise onds. For that ase, Ho king and Davis [4℄ applied a boundary layer model,Copyright © 2006 by Te hni al University at Plovdiv, Plovdiv, BULGARIA. ISSN 1310 - 8271

−44−that is linearizing inertia, and used the assumption of a small onta t angle. A similarmodel was also developed by Cox [5℄, but for the steady �ow ase.Sin e for high impa t velo ities the problem be omes ompressible, the full ompress-ible numeri al model has been used by many authors; an extensive bibliography an befound in the review papers of Yarin [1℄ and Feuillebois et al. [2℄ and in the re ent paperof Stoilova et al. [6℄.Our study is on erned with big drops and we onsider the �rst stages of the dropimpa t on dry surfa es. The lateral jetting and subsequent spreading after drop impa tare lo ally modelled as a unsteady axisymmetri al stagnation �ow at the impa t point(stagnation point). The boundary layer approa h is applied for this �ow �eld. The timedependen e of the outer potential �ow is assumed to be a power law. The lateral velo itypro�le and the boundary layer thi kness are obtained numeri ally for di�erent pro essparameters: di�erent power values and di�erent lateral velo ity s ales. The results arepresented graphi ally for further interpretation of experimental data.2 Problem formulationA spheri al drop of diameter D with onstant density ρ and vis osity µ impinges normallywith a velo ity V on a dry solid surfa e. Shortly after impa t, the drop spreads as a thinlayer modelled here as a ylinder of height h(r, t) and radius a(t) that grows in time.The spreading velo ity is ∼ da(t)/dt. In the �rst instants after impa t, it is higher thanthe impa t velo ity V , as experimentally registered in [7℄, [8℄. In the present model thesurfa e tension and gravity are assumed to be negligible for simpli ity.We use a ylindri al oordinate system (r, θ, z), with the wall as z = 0 and the originat the stagnation point of impa t, see Fig.1. From the experimental observations of Loehr[7℄, during the drop spreading on a solid surfa e the liquid layer thi kness h(r, t) is almost onstant in r, ex ept in the region of the impa t point r = 0. Here, we present a lo almodel of the liquid layer omposed of a unsteady boundary layer lose to the solid surfa eand an unsteady potential �ow on top of it. The potential �ow is hosen to be a unsteadyaxisymmetri al stagnation point �ow with velo ity omponents U(r, z, t) = ArG(t) andW (r, z, t) = −2AzG(t) along r and z, where A is a dimensional onstant and G(t) is somefun tion of time t, su h that AG(t) is with dimension (time)−1. An analogous approa hof a steady stagnation point �ow was used for the similar problem of a non-isothermaldrop impa t with solidi� ation in [9℄.We use the following hara teristi parameters: the drop diameter D for length, thedrop impa t velo ity V for velo ity and the impa t time tim = D/V for time. Let Gim bea onstant with the dimension of G(t). In our analysis we take G(t) as a power fun tionin time, i.e., G(t) = tα, where α is a real number. Then Gim = tαim. This hoi e of thefun tion G(t) is onne ted for example with some experimental observations [3℄ giving thespreading radius as a(t) ∼ tq, where q ≪ 1, for very small impa t velo ities and for longtimes after impa t. For the onsidered ases, the motion is started impulsively at t = t0,where 0 < t0 < tim.The unsteady axisymmetri al boundary layer equations in dimensionless form are:

∂u

∂τ+ u

∂u

∂r+ w

∂u

∂z=

∂U

∂τ+ U

∂U

∂r+

1

Re

∂2u

∂z2, (2.1)

∂(ru)

∂r+

∂(rw)

∂z= 0, (2.2)

−45−

Figure 1: Sket h of the drop spread as a thin layer on a solid surfa e z = 0.where the dimensionless variables are denoted by a bar, τ = ttim

, U = ArG(τ) in whi hA = ADGim

Vand Re = V D

µis the impa t Reynolds number. Sin e ADGim is of the orderof U , let ADGim = Ul (the order of the radial velo ity is denoted with Ul from now on);then A = Ul

V∼ da(t)

dt/V whi h an be evaluated from experimental data [7℄, [8℄.The no-slip boundary onditions on the solid surfa e and the potential �ow velo ityoutside the boundary layer are imposed as:u(r, 0, τ) = w(r, 0, τ) = 0, u(r,∞, τ) = U(r, τ). (2.3)The impulsive initial ondition at an instant τ0 is assumed to be the potential �ow velo ity:

u(r, z, τ0) = U(r, τ0). (2.4)Following the lassi al analysis for the boundary layer equations of an axisymmetri alstagnation point �ow, we introdu e η = z√

2Re/2 and a fun tion F (η, τ) su h thatu(r, z, τ) = ArF ′(η, τ), w(r, z, τ) = − 4A√

2ReF (η, τ). Then (2.2) is identi ally satis�edand (2.1) be omes:

∂F ′

∂τ+ A

(

F ′2 − 2FF ′′)

=∂G

∂τ+ AG2 +

1

2F ′′′, (2.5)where the prime denotes the di�erentiation with respe t to η.The boundary and initial onditions (2.3), (2.4) be ome:

F (0, τ) = F ′(0, τ) = 0, F ′(∞, τ) = G(τ), ∀τ, (2.6)F ′(η, τ0) = G(τ0), ∀η. (2.7)3 Numeri al ResultsThe equation (2.5), subje ted to (2.6) and (2.7), is solved numeri ally using the Crank-Ni holson method with a spatial step δη = 0.01 and a time step δτ ≤ 0.01. The outerboundary η −→ ∞ is repla ed by η∞ = 100, the initial instant of time is τ0 > 0. Fromexperimental measurements presented in [7℄, the numeri al value of A is between 2 and

3. In our analysis, we take a broader range for A, namely 10 ≥ A ≥ 0.1.Copyright © 2006 by Te hni al University at Plovdiv, Plovdiv, BULGARIA. ISSN 1310 - 8271

−46−As dis ussed in the previous se tion, the hosen time fun tion is G(τ) = τα, wherethe following ases are onsidered for α:α = −1/2, α = 0, α = 1/2, α = 1. (3.1)In Fig.2 the fun tion F ′(η, τ) is presented for the four onsidered values of α and for

A = 3. For α = −1/2 and α = 0, it is a de reasing fun tion in τ , with F ′ rea hing itssteady form at τ = 0.5 in the latter ase. For α = 1/2 and α = 1, the fun tion F ′ in reasesin time, although that it be omes onstant for smaller values of η, i.e., the boundary layerthi kness be omes smaller, as is also seen in Fig.4 b).

0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

7

8τ= 0.02

τ= 0.04

τ= 0.06

τ= 0.1

τ= 0.2

τ= 0.5τ= 1

τ= 1.5

η

F’

a) 0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

τ= 0.02τ= 0.04

τ= 0.06

τ= 0.1

τ= 0.2

τ= 0.5 ... ∞

η

F’

− steady solution

b)

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

τ= 0.02τ= 0.04τ= 0.06

τ= 0.1

τ= 0.2

τ= 0.5

τ= 1

τ= 1.5

η

F’

) 0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

τ= 0.04τ= 0.1

τ= 0.2

τ= 0.5

τ= 1

τ= 1.5

η

F’

d)Figure 2: The distribution of F ′(η, τ) for A = 3 with the power fun tion G(τ) = τα and:a) α = −1/2; b) α = 0; ) α = 1/2; d) α = 1.Sin e at α = 0 we obtain the steady state solution in the boundary layer for a �nitetime τ , we verify our numeri al results with the solution presented in [10℄ for the steadyaxisymmetri stagnation point �ow. This solution orresponds to A = 1 (a unique velo itys ale is used). We �nd an ex ellent oin iden e of our numeri al results with the tabulatedsolution in [10℄ at τ ≥ 1. Results for F ′ are shown in Fig.3a) and those for the boundary

−47−layer thi kness δ are shown in Fig.3b). This boundary layer thi kness was determinedfrom our numeri al results as the point δ = η, where|F

′(η, τ) − F ′(η∞, τ)

F ′(η∞, τ)| ≤ 0.001. (3.2)The plots of δ = δ(τ, A) for α = 1/2 are shown in Fig.4a). It is interesting to notethat after some initial growing, the boundary layer thi kness either in reases or de reasesdepending on A. For smaller A it in reases, as the Reynolds number of the lateral velo ity

Rel = UlD

µde reases, while for bigger A it de reases, as Rel in reases. For �xed A = 3the fun tion δ = δ(τ, α) is presented in Fig.4b). Here, again, we �nd di�erent behavioursof δ for the onsidered values of α. For α = −1/2 and α = 0, it is an in reasing fun tionin τ and rea hes its steady value at τ = 0.5 in the latter ase. While for α = 1/2 and

α = 1, δ in reases in time until τ = 0.5 and de reases thereafter. At τ = 1 the boundarylayer thi kness has the same value for all α.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1τ= 0.5

τ= 1, ..., ∞steady solution [10]

η

F’

a) 0 1 2 3 40.5

1

1.5

2

2.5

3

τ

δ

steady solution [10]

b)Figure 3: Comparison with the steady axisymmetri al stagnation point �ow (see S hli ht-ing and Gersten [10℄) for α = 0 and A = 1: a) velo ity pro�les; b) boundary layer thi kness4 Con lusionsIn the present paper the lateral jetting following the drop impa t on a dry wall is mod-elled as a unsteady stagnation point vis ous �ow in the boundary layer approximation.The time dependent fun tion for the unsteady outer potential �ow is assumed to be apower-law fun tion in time. Following the lassi al boundary layer approa h, the velo ity omponents are obtained in term of a self-similar fun tion of time and of the normal oordinate to the wall. This fun tion satis�es a nonlinear PDE of 3−rd order in the nor-mal oordinate to the wall. This equation then is solved numeri ally for di�erent pro essparameters, i.e. power values and lateral velo ity s ales. The lateral velo ity pro�le andthe boundary layer thi kness are presented graphi ally.As a future work on the subje t, we shall improve the present model in luding theCopyright © 2006 by Te hni al University at Plovdiv, Plovdiv, BULGARIA. ISSN 1310 - 8271

−48−�nite jet length. Also the present results will be used to interpret some experimentalobservations.

0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

τ

δ

A

A

A

A

A=0.1

=1

=3=6

=10a) 0 0.5 1 1.50.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

τδ

α=−1/2 α=0

α=1/2

α=1

b)Figure 4: Boundary layer thi kness at: a) α = 1/2 and di�erent A; b) A = 3 and di�erentα.A knowledgments. The present paper has been a omplished due to the resear hproje t between CNRS (Fran e) and BAS (Bulgaria).Referen es[1℄ Yarin, A.L., Drop Impa t Dynami s: Splashing, Spreading, Re eding, Boun ing...Annu. Rev. Fluid Me h. 38 (2006) 159-192.[2℄ Feuillebois, F., Radev, S., Stoilova, A., Tabakova, S., Modeling the Impa t andSpreading of a Drop on a Dry Surfa e. Journal of Theoreti al and Applied Me- hani s 35 No.3 (2005) 39-60.[3℄ A. Oron, S.H. Davis, S.G. Banko�, Long-s ale evolution of thin liquid �lms. Rev.Mod. Phys. 69 (1997) 931- 980.[4℄ L.M. Ho king, S.H. Davis, Inertial e�e ts in time-dependent motion of thin �lmsand drops, J. Fluid Me h. 467 (2002) 1-17.[5℄ Cox, R. G., Inertial and vis ous e�e ts on dynami onta t angles, J. Fluid Me h.357 (1998) 249-278.[6℄ Stoilova, A., V. Daru, S. Tabakova , F. Feuillebois, S. Radev, Numeri al Modelingthe Impa t of a Vis ous Drop on a Dry Surfa e, Pro . of Finite Di�eren e Meth-ods'06, 26-29 August 2006, Lozenetz (Bulgaria), as a volume of LNCS (2007) (inprint).

−49−[7℄ Loehr, K., Etalement et é latement de gouttes, Ph.D. Thesis, Université Pierreet Marie Curie (Paris 6), Paris, 1990.[8℄ Rioboo, R., Impa t de gouttes sur des surfa es solides et se hes. Ph.D. Thesis,Universite Pierre et Marie Curie (Paris 6), Paris, 2001.[9℄ Bian, X. and Rangel, R.H., the vis ous stagnation-�ow solidi� ation problem, Int.J. of Heat and Mass Tr. 35 (1996) 3581-3594.[10℄ S hli hting, H., Gersten, K., Boundary Layer Theory, Springer-Verlag, Berlin,Heidelberg, 2000.S. Tabakova, Department of Me hani s,TU - So�a, bran h Plovdiv, 4000 Plovdiv, Bulgaria,e-mail: sonia�tu-plovdiv.bgF. Feuillebois, Laboratoire PMMH,CNRS, ESPCI, 75231 Paris, Fran e,e-mail: feuillebois�pmmh.esp i.frS. Radev, Laboratory of Physi o-Chemi al Hydrodynami s,Institute of Me hani s,BAS, 1113 So�a, Bulgaria,e-mail: stradev�imbm.bas.bg

Copyright © 2006 by Te hni al University at Plovdiv, Plovdiv, BULGARIA. ISSN 1310 - 8271

- 50 -


- 51 -

©Journal of the Technical University at Plovdiv “Fundamental Sciences and Applications”, Vol. 13, 2006 Anniversary Scientific Conference’ 2006 BULGARIA

GROUND SOURCE HEAT PUMP SYSTEMS AND THE

SUPPORTING THERMAL RESPONSE TEST

SVETLANA BARZILOVA, ALEKSANDAR GEORGIEV, SONIA TABAKOVA

Abstract. The present work has the purpose to introduce the Ground Source Heat Pump Systems, which is a proven technology, already in use in Europe and USA for the last 25 years. The ground thermal conductivity is a critical parameter, as it affects the design substantially and it can be estimated only from geological information. One very effective method, called Thermal Response Test for determination of the soil parameters necessary for design, is considered. The Bulgarian experience in that field of investigation is represented by two projects (GSHP systems) of residential houses in Plovdiv region, Bulgaria. This paper aims to popularize, develop and prove the effectiveness of this kind of systems for heating and cooling of households in Bulgaria. Keywords: Ground Source Heat Pump, Borehole Heat Exchanger, Ground properties, Thermal Response Test, Design, Charging, Discharging

Nomenclature

a - thermal diffusivity (l/C), m2/s H - borehole depth, m Q - heat injection rate, W Rb - borehole thermal resistance, mK/W Rs - effective thermal soil resistance, mK/W r - borehole radius, m T - temperature, °C To - undisturbed ground temperature, °C T - time, s γ - 0.5772 - Euler’s constant λ - thermal conductivity of soil, W/mK

Subscripts

BHE - Borehole Heat Exchanger f - fluid GPM - Geothermal Properties

Measurement m - mean s - soil

1. Introduction Ground Source Heat Pump (GSHP) systems are one of the most cost-effective and long-

lasting heating and cooling systems. They make use of renewable energy stored in the ground, providing one of the most energy-efficient ways of heating and cooling. The only energy used by GSHP systems is electricity to power the pumps. Typically, a GSHP will deliver three or four times as much thermal energy (heat) as is used in electrical energy to drive the system.

GSHP systems consist of three parts: the ground heat exchanger, the heat pump unit, and

- 52 -

the air delivery system (ductwork). Depending on the local geology, hydrogeology and geochemistry either an aquifer storage (ATES) or a Underground Thermal Energy Storage (UTES), in particular a Borehole Thermal Energy Storage (BTES), is applied. A BTES has a bigger potential for application, because of its smaller size and less hydro-geological restrictions. Some of the advantages of a closed loop ground heat exchanger system are the following: a very long life span, free maintenance, durability, smaller technical space requirements, quiet operation, no need of cooling towers, and no need of an equipment on facade or roof, etc.

It is important to know the geo data (subsurface characteristics) before performing the design, simulation and construction of the UTES. There is certain experience in the investigation of the round thermal properties, which gives mainly the basis for the development of the seasonal Borehole Thermal Energy Storage (BTES). The most critical input parameters are the ground thermal properties. The problem is the uncertainty of the ground thermal characteristics, as they differ from place to place. There exists information of the soil profile, presented as tables of the thermal classifications of soil types, obtained by laboratory methods for ground studying. Unfortunately, the results are normally not correct. For reason to make an accurate project design and to be sure for comfort, the designers need concrete soil parameters of the place.

The Thermal Response Test (TRT) answers to all these demands. It is an effective method for the determination of the ground thermal conductivity, which is used in the last years. First, it was presented by Mogensen as a method to determine the in situ values of ground thermal conductivity and thermal resistance in BHE systems [1]. His installation is designed as an immobile system. After that, a mobile conductivity measurement system appeared in Sweden: Eklöf & Gehlin [2]. Austin [3] developed a similar installation in USA. This type of measurements is also used now in Germany: Sanner et al [4], Canada, Norway, Netherlands, England and Turkey [5]. The theoretical bases of the thermal response test are presented by Hellström [6], Gehlin [7] and Kavanaugh & Rafferty [8].

A cooperative work between research groups of Chile, Argentina and Bulgaria led to the realization of the first TRT performed in South America [9] and of a charge/ discharge experiment with solar collectors on a shallow single borehole [10]. In Bulgaria the BTES technology is still not well known. There are a few installations realized by the company Geosis, based in Plovdiv that made the first steps in investigation and realization of the BTES technology [11].

Fig. 1. Horizontal closed loop system layout [12]. Fig. 2. Vertical closed loop system layout [12].


- 53 -

2. Short review of the Ground Source Heat Pumps Ground source heat pumps (GSHPs) are electrically powered systems that tap the stored

energy of the greatest solar collector in existence: the earth. These systems use the earth's relatively constant temperature to provide heating, cooling, and hot water for homes and commercial buildings.

At the Horizontal Closed Loop System the fluid runs through the pipe in a closed system (Fig. 1). The workers use trenchers or backhoes to dig the trenches one to two meters below the ground in which they lay a series of parallel plastic pipes.

The Vertical Closed Loop System consists of vertical holes 50 to 150 m deep (much like wells) bored in the ground; a single loop of pipe with a U-bend at the bottom is inserted before the hole is backfilled (Fig. 2). Each vertical pipe is connected to a horizontal underground pipe that carries fluid in a closed system to and from the indoor exchange unit.

At the Pond/ Lake Closed Loop System the fluid circulates underwater through polyethylene piping in a closed system, just as it does through ground loops (Fig. 3). Since it is a closed system, it results in no adverse impacts on the aquatic system.

At the Open Loop System the ground water is pumped into and out of a building, transferring its heat in the process; and Standing Column Well Systems, which can be up to 500 m deep and can, furnish potable water, too (Fig. 4).

Fig. 3. Pond or lake closed loop system layout [12]. Fig. 4. Open loop system layout [12].

3. Consideration of the ground thermal properties and methods of determination When designing a BTES system a good estimate of the thermal conductivity of the ground

is needed to avoid the over-sizing and under-sizing of the ground heat exchanger. For this reason, different researchers use different methods. The experience in various countries is described below.

- 54 -

3.1. Laboratory methods The ground conductivity can be determined in laboratories. For this type of determination, undisturbed ground samples are needed. The bore profile must include samples of all important soil layers with the corresponding natural water contents. Unfortunately, the received ground nucleuses are usually damaged (Fig. 5) and the laboratory study often gives incorrect results.

3.2. Stationary system for determination of the ground properties The idea of measuring the thermal response of BTES boreholes in-situ was first

presented by Mogensen [1] at a conference in Stockholm, in June 1983. The conception for the equipment, which he suggested, is a simple arrangement with a circulation pump, a chiller with constant power rate, and continuous logging of the inlet and outlet temperatures of the duct.

Fig. 6 shows a schematic version of the experimental installation, which can be realized. It consists of a duct in the ground, a circulation pump, which moves the fluid through the pipes and the water chiller. The outlet fluid temperature is recorded and the injection heat rate is fixed at a constant level during the test. After the opinion of the author, the test duration for a couple of hours gives satisfactory results for typical borehole installations with duct diameter of about 100 mm.

Fig. 5. Samples of different ground sources

up to 50 m depth for the

Fig. 6. Outline of the experimental setup of the response test measurements [7].

laboratory analysis (Belashtitsa, Bulgaria)[11].

3.3. Mobile system for estimation of the ground properties Since the BTES system has been already constructed, it is less probable to find better or

worse thermal properties values than the designed ones. Therefore mobile measurement equipment, which may perform a thermal response test on one test-hole, is a feasible tool to obtain reliable data for the final BTES design. When we talk about mobility it means flexibility and saving money by determining these properties in an early stage of the construction of the system. Today, the interest is already large from leading companies in the field to develop the method of using mobile equipment for Thermal Response Test.

The first mobile thermal response test equipments has been developed in 1995-96; TED at Luleå University of Technology, Sweden [2] (Fig. 7) and another one at Oklahoma State University, USA [3]. Both equipments use constant heating power injection.


- 55 -

The equipment at the Luleå University is set up on a small trailer and consists of a 1 kW pump circulating the heat carrier through the borehole collector and through a cross-flow heater with adjustable and stable heating power in the range 3-12 kW. The temperatures of the heat carried fluid are measured at the inlet and outlet of the borehole with thermistors. The measured values are recorded at a set time interval by a data logger. A good insulation minimizes energy losses.

Fig. 7. TED - measurements at the heat store in Lulea University of Technology and the thermal

response test equipment - TED, 1998. Photo: Peter Olsson [2].

3.4. Bulgarian experience There exists some experience in the subsoil properties investigation in Bulgaria. The first

steps in that field have been taken by the company Geosis, based in Plovdiv, Bulgaria. Two installations that use the ground as store of heat and cool have been constructed in two Bulgarian villages. They will be used for heating in the winter and cooling in the summer.

The first installation is a vertical loop, which consists of six boreholes perforated along a line (Fig. 8). The soil at the site consists of several different layers, which are shown in Fig. 5. The inputs and outputs of every U-loop are connected with two parallel water collector tubes (for the cold and warm fluid). Both collectors are situated at a depth of about 60 cm under the ground surface. Preliminary tests of the installation were made in September 2003, which proved its working ability. The measurements showed a ground temperature between 14 and 16,5 °C.

Fig. 8. Plan of the BHE storage in the village of Belashtitsa [11].

- 56 -

The second installation is horizontal and has been installed in a family house in the village Markovo. A ditch has been dug near the house and a horizontal heat exchanger has been stationed under the ground. The installation has “two floors”, which mean that two levels of the pipes were made – one in depth of 1.8 m under the ground surface and the second in depth of 4.25m. The ditch has been filled up again with the same soil.

The above mentioned installation saves some space near the house and has an environment preservation effect, too.

4. Test performance

4.1. The procedure of performing TRT in few simple steps

Step 1: Digging down a borehole with a known depth and radius. Step 2: Placing the U-shaped plastic pipe into the borehole. Step 3: Isolation of the U-shaped plastic pipe. Step 4: Filling the surrounding space of the U-shaped plastic pipe with some material (usually grout). Step 5: Filling the pipe with mixture of water and ethylene-glycol, which is used as a heat carrier fluid. Step 6: The already build system in the ground is connected to the heat producing devices (heat pump, electric heater, solar collectors, etc.). Step 7: Measuring of the surrounding temperature – 0T without power injection. Step 8: At the time t0, the power is switched on and the temperature of the fluid increases rapidly. The break times are calculated, tb1, tb2… tbn. The linear function of Tf is calculated on the basis of different break times. fT is used as an approximation of

20

4ln

4b

f oQ at QR

T TH Hr

γπλ

⎛ ⎛ ⎞ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎟= − + +⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎝ ⎠ ⎠ (1)

or ln( ) ,T k t m= + (2)

where 4Q

kHπλ

= .

Step 9: For each break time tb1, tb2… tbn the inclination of the functions and the value of the parameter k are obtained. Then, for each single value of k, the values of λ are obtained. Step 10: Determining the thermal resistance Rb. Using the equation from Step 8 and the value of λ obtained in Step 9, the Rb value is determined.

Remark: The equation used in Steps 8, 9 and 10 has a maximum error 2% if 205r

ta

> .

4.2. Thermal response analysis

There exist different models for estimating the performance of ground loop exchanger, which adopts the analytical solution of the heat transfer between the borehole and the nearby infinite region. They require several simplifying assumption regarding the geometry of the borehole


- 57 -

and the heat exchanger pipes. The most commonly used model is a line source model. With this approximation, the delivered heat is considered like coming from a line source (the borehole) – Eklöf & Gehlin [2]. The heating process is presented by the equation:

, 21 4

ln( ) ln4 4f m b s

b

Q Q aT t R T

H H rγ

πλ πλ

⎡ ⎛ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎞ ⎤⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟ ⎟= + − + +⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ for

25 brta

≥ . (3)

The method is fast and easy, but depends on a sufficiently long in time test and sufficiently

stable energy rate (developed by Mogensen [1]). His basic concept was used as a basis for all future models of TRT.

Another method to estimate the conductivity of the soil is to consider the resistance of the borehole and that of the soil. It approximates the BHE as an infinite cylinder with a constant heat flux in radial direction. The heat exchanger pipes are normally represented by an “equal diameter” cylinder. This method is called cylindrical source model. The relationships can be presented with the following equation [8].

, , ( )f m s m b sQ

T T R RH

− = + (4)

Another way for determining the ground thermal properties is a numerical parameter estimation technique. It is more difficult and time-consuming model because of the large set of required input data.

5. Conclusions This paper represents the advantages of the GSHP systems and the necessity of the

Thermal Response Test to determine the ground thermal properties. On the ground of conducted analysis, the following fundamental conclusions can be made:

• Since the laboratory methods for the investigation of thermal properties give bad results, the TRT come in sight to measure at local conditions those thermal properties that are difficult to estimate;

• The requirements for precise experiments and calculations, which offer correct results must be fulfilled very carefully;

• The use of the mobile measurement gives the opportunity to make equal tests at different places;

• Initial attempts of Bulgarian specialists to use the ground heat pump technology have been made.

REFERENCES

1. P. Mogensen. Fluid to Duct Wall Heat Transfer in Duct System Heat Storages. Proc. Int. Conf. on Subsurface Heat Storage in Theory and Practice, Stockholm, Sweden, June 6-8, 1983, p. 652-657. 2. C. Eklöf and S. Gehlin. TED – A Mobile Equipment for Thermal Response Test. Master’s Thesis 1996:198E. Luleå University of Technology, Sweden, 1996.

- 58 -

3. W. A. Austin. Development of an In-Situ System for Measuring Ground Thermal Properties. Master’s thesis. Oklahoma State University. Stillwater, Oklahoma, 1998. 4. B. Sanner, M. Reuss, E. Mands and J. Müller. Thermal Response Test – Experiences in Germany. Proceedings of Terrastock 2000, 8th Int. Conference on Thermal Energy Storage, Stuttgart, August 28-September 1, 2000, p. 177-182 V. 1, 2000. 5. H. Paksoy, Z. Gurbuz, B. Turgut, D. Dikici and H. Evliya. Aquifer thermal storage (ATES) for air-conditioning of a supermarket in Turkey. Proceedings of World Renewable Energy Congress-VII 2002, Cologne, Germany, 29 June - 5 July, 2002. 10_n66.pdf. 6. G. Hellström. Ground heat storage, Thermal analysis of duct storage systems: Part I. University of Lund, Department of Mathematical Physics. Lund, Sweden, 1991. 7. S. Gehlin. Thermal response test – in-situ measurements of thermal properties in hard rock. Licentiate Thesis. Luleå University of Technology, Department of Environmental; Engineering, Division of Water Resources Engineering, 1998:37, Sweden, 1998. 8. S. P. Kavanaugh and K. Rafferty. Ground-source heat pumps: design of geothermal systems for commercial and institutional buildings. Atlanta: ASHRAE, Inc; 1997, p. 22-31. 9. P. Roth, A. Georgiev, A. Busso and E. Barraza. First In-situ Determination of Ground and Borehole Thermal Properties in Latin America. "Renewable Energy", 2004, V. 29 (12) p. 1947-1963. 10. A. Georgiev, A. Busso and P. Roth. Shallow Borehole Heat Exchanger: Response test and Charging - Discharging test with solar collectors. "Renewable Energy", 2006, V. 31 (7) p. 971-985. 11. A. Georgiev, O. Pekov, A. Angelov, R. Popov, J. F. Urchueguía and H. Witte. First steps of ground accumulation in Bulgaria. Proc. of the World Renewable Energy Congress-IX, 2006, Italy, Florence, 19-25 August 2006. 12. Website of US Department of Energy Efficiency and Renewable Energy: Types of geothermal heat pump systems. http://www.eere.energy.gov/consumer/your_home/space_heating_cooling/index.cfm/mytopic=12650 Department of Mechanics Technical University–Sofia, Plovdiv Branch 25, Tsanko Dystabanov Str. 4000 Plovdiv BULGARIA E-mail: [email protected]


- 59 -


A WAY FOR INTRODUCTION TO CORIOLIS POWER

STEFTCHO YORDANOV

Abstract. The results from the candidate student test in physics for the academic year 2006/07 of the Technical University – Sofia, branch Plovdiv, have been analyzed. The successful test question and problem answers were discussed.

ЕДИН НАЧИН ЗА ВЪВЕЖДАНЕ НА СИЛАТА НА КОРИОЛИС

1. Въведение От трите основни инерциoнни сили, силата на Кориолис е най-трудна за въвеждане

и за осмисляне от студените. Най-нагледен е подходът от позиция на двама наблюдатели: единият неподвижен в неподвижната отправна система, а другият във въртящата се. Този подход позволява да се изясни механизма на възникване на тази инерционна сила, но не дава възможност да се определи нейната големина. Вторият вариант се състои в трансформация между двете отправни системи съпроводена с обемисти математични операции. По този подход се определя големината и посоката на силата, но се губи физиката на явлението. В настоящия доклад се разглежда подход от позицията на двама наблюдатели, съчетан с мислен експеримент, който позволява да се определи и големината на силата на Kориолис

2. Резултати и анализ Разглеждаме тяло движещо се в равномерно въртяща се отправна система с ъглова

скорост ω – фиг.1. В момент t = 0 тялото започва да се движи без триене с постоянна скорост v′ от центъра на въртящия се диск O, насочена по радиуса ОО′. Да означим с К инерциалната, а с К′ - неинерциалната отправна система.

1. Движението от позиция на неподвижен наблюдател в инерциалната система К. За този наблюдател характерът на движение е следния. Съгласно първия закон на Нютон, понеже на тялото не действа никаква сила, то се движи праволинейно равномерно. След време t, когато точка О′ достигне позиция О′′ тялото ще бъде в точка О1 - фиг.2. За този наблюдател траекторията на тялото е права линия.

- 60 -

2. Движението от позиция на неподвижен наблюдател в неинерциалната система К′. За неподвижен наблюдател в неинерциалната система К′ тялото ще се отклони вдясно от посоката на движение, а траекторията е крива линия. От негова гледна точка това отклонение може да се обясни с действието на някаква сила FC насочена в тази посока. Това е силата на Кориолис, която се въвежда за въртящата отправна система с цел да обясни поведението на движещите се в нея тела.. Да определим големината на тази сила.

3. Определяне големината и посоката на силата на Кориолис. За тази цел ще изходим от следния мислен експеримент. За да се движи точката по избрания радиус трябва да и действа сила равна по големина и противоположна по посока на Кориоли-совата. Това може да се осъществи, ако тялото се наниже на неподвижна шпилка във въртящата се отправна система насочена по избрания радиус ОО′ на фиг.3б.и се движи по нея равномерно без триене. На тялото действа силата на Кориолис. То действа със същата сила на пръчката, която му противодейства със сила равна по големина и противоположна по посока. Да разгледаме движението на тялото между точки 1 и 2по шпилката, лежащи на окръжности с радиуси R и R + dR – фиг.4. Моментът на импулса на тялото в точка 1 е L1 = mRv = mR2ω (1) където v = ωR е линейната скорост на тялото по окръжността с радиус R - това е ли-

К

К′

ω

О

О′

v ′

Фигура 1 Фигура 2

К′

ОО1

О′ О′′

ω

R + dR

Фигура 4

1

2

RO

ω

Фигура 3

ω

v ′

CF

CFF −=

R +dR


- 61 -

нейната скорост на точката от диска, в която се намира тялото. Аналогично за точка 2 L2 = m(v + dv) (R+ dR) =m(ωR + ω.dR) (R + dR) = mR2ω + 2mωRdR (2) където dv = ω.dR е изменението на линейната скорост, а членът с квадрата на dR пренебрегваме.. Изменението на момента на импулса за този интервал е dL = L2 – L1 = 2mωRdR (3) Изменение се създава под действието на въртящ момент М относно оста на въртене (точка О). Това е моментът на силата F = -FC От втория закон на Нютон

М = dtdL = 2mωR

dtdR = 2mωRv′= 2mω v′R =FR (4)

където R e рамото на силата F. От (4) определяме големината на тази сила F = 2mω v′ = -FC (5) По големина силата зависи от произведението на ъгловата скорост на неинерциалната система и линейната скорост на тялото. Очевидно, в общ случай, това е векторно произведение между тези скорости. Като изходим от ориентацията на силата на Кориолис и посоките на скоростите, съгласно фигура 3 за вектора на тази сила получаваме )v(m2FC ω×′= (6) и за ускорението на Кориолис )v(a ω×′= 2 (7)

Големината на силата и ускорението са съответно Fc = 2mv′ωsinϕ (8) ac = 2v′ωsinϕ (9) където ϕ е ъгълът между двете скорости. При движение по меридиан този ъгъл е равен на географската ширина.

4. Примери. След записване на формули (6-9) е полезно да се разгледат някои частни случаи и да се направи количествена оценка за реални ситуации.

•Движение по меридиан. Това е най-простата ситуация. За тяло,което се движи със скорост v = 90km/h = 25m/s ускорението на Кориолис по формула (9) при средна географска ширина (ϕ = 45о, sinϕ = 0,71)) и известна ъглова скорост на земята ω = 7,3.10-

5rad/s е ac = 2,59.10-3m/s2. Това е малка величина по големина, но при продължително действие може да създаде значително отклонение вдясно от посоката на движение. При горните параметри отклонението за 1 минута е ∆х ≈ 4,66m. За локомотив с маса 80t = 8.104kg силата на Кориолис е Fc ≈ 200N. Тази сила е приложена върху релсите и създава

- 62 -

хоризонтален нормален натиск насочен надясно. Възниква сила на триене, която при продължително пътуване на железопътната линия води до износване на дясната релса (за северното полукълбо). Подобна е ситуацията и при реките. Там движението на водата е постоянно и ерозията на десните брегове е значителна. Морско течение със скорост 1m/s напредва за едно денонощие с 86km и се отклонява на 260m. .

•Движение по екватора. Обикновено се разглежда движение по меридиан и може да се създаде погрешна представа, че силата на Кориолис се проявява само в този случай. напротив, тази сила действа на всяко движещо се тяло. При движение по екватора ъгловата и линейната скорост са взаимно перпендикулярни и силата (ускорението) е максимална - ac ≈ 3,65.10-3m/s2. От формули (6) и (7) се вижда, че ускорението е насочено по земния радиус: при движение от запад на изток вертикално нагоре, а при движение от изток на запад - надолу. Това води до незначително изменение на теглото на телата - с около 0,04%

•Движение по паралел. Силата на Кориолис е насочена по радиуса на тази линия. Тогава въпросната сила може да се разложи на две компоненти: по земния радиус и по допирателната към меридиана през тази точка. Втората компонента създава отклонението надясно.

Department of Electrical Engineering Technical University–Sofia, Plovdiv Branch 25, Tsanko Dystabanov Str. 4000 Plovdiv BULGARIA E-mail: [email protected]


- 63 -


ДИЕЛЕКТРИЧНИ И ЕЛЕКТРИЧНИ СВОЙСТВА НА КЕРАМИЧНИ МАТЕРИАЛИ НА БАЗАТА НА Bi4Ti3O12

ИВАН ИВАНОВ, ХРИСТО КАРАПАНОВ, СТЕФЧО ЙОРДАНОВ

Резюме. Изследвани са свойствата на керамични материали на основата на Bi4Ti3O12, в които Bi и Ti атоми са заместени с изовалентни атоми на антимон, който да замести Bi. Измерени са температурните и честотни зависимости на диелектричната константа ε, на диелектричните загуби tgδ и на проводимоста G. Abstract. A study of cereamic materials on the basis of Bi2Ti3O12, in which Bi and Ti atoms with isovalent atoms are substituted is reported. Sb for substitution of Bi is chosen. The temperature and frequency dependences of the dielectrical constant and loss and conductivity are measured.

1.Въведение. Попер [1], Субарао [2-4], Волфе [5], Крос [6], Нюман [7], Армстронг [8], Кикучи

[9,10], Такенака [11], Заич [12], Осипян [13] и Исупов [13] изучават някои твърди разтвори на основата на Bi4Ti3O12 на други бисмуто съдържащи слоисти фероелектрици. Те правят заключението, че бисмутовите атоми могат да бъдат заместени от атоми от I, II и III групи само в перовскито подобните слоеве. Йонният радиус на примесните атоми, според Армстронг е ограничен в интервала (1,1 – 1,3 ).10-10m. Заич дава по точна формула: (1,77 – 1,04R6 ).10-10m < R6 < ( 3,01R6 – 0,5 ). .10-10m, където R6 е радиусът на йона в титанова позиция. Ние нямаме информация за заместване на бисмута в тази система с йони от пета група. Най близък размер до размера на Bi йон има йона на антимона. Радиусът на Bi3+ e 0,76.10-10m.Неговият радиус не се съдържат в посочените по-горе граници, но от друга страна бисмута и антимона имат сходна електронна структура. По тези причини може да се предположи, че полуметалите Bi и Sb могат да образуват твърд разтвор с неограничена разтворимост. Ние предполагаме, че е възможно заместване на Bi от Sb и образуване на твърд разтвор,но разтворимостта е ограничена. Според Голдщайн и статията цитирана в [15] установява, че в системата Sb3-O3 съединение не се образува. Такова се образува в системата Sb2-TiO2, a то е 3Sb2O4.4TiO2.Това не изключва възможноста за образуване на твърд разтвор между Bi4 Ti3O12 и Sb4Ti3O12. Подобна ситуация възниква в системата Bi4(Zr, Hf, Sn )3O12 [9, 10], където разтворимоста на Zr, Hf, иSn е под 1 – 2 %.

Цел на работата е да се изучат диелектрчните свойства на Bi4(1-x) Sb4xTi3O12 за x1=0,05%, x12=0,0175%, x2=0, 025%, x23= 0,0375, x3 = 0,05%, x34 = 0,075%, x4 = 0,1%, 0,175%, x5 = 0,25%, x56 = 0,375%.

- 64 -

2. Подготовка на образците Образците са изготвени по стандартна керамична технология.Началните материали

са Bi2O3, TiO2 и SbO2 с висока чистота 99,9%. Бяха направени смеси с подходящо процентно съдържание на Sb2O3, TiO2 и Bi2O3, посредством смесване и смилане в планетарна мелница PULVERIZETE – 5 “ FRITCH” за 4 часа. От получената смес бяха пресовани дискове с диаметър 50mm и изпечени за 3 часа на въздух при температура 7500C. Калцинираните дискове се натрошават и смилат за 4 часа със същата мелница. От получената смес се пресоват при налягане 100MPa дискове с диаметър 11 – 16 mm. Синтероването се извършва при температура 12000C на въздух. От двете страни се нанасят сребърни електроди съгласно ASTM D150 – 70.

3. Диелектричнчни измервания Измерването на диелектричната константа и диелектричните загуби бяха направени

посредством RLC – метър Е7–12, Q – метър BM560 и RLC –метър BM559. За загряване бе използвана вертикална пещ без индуктивност, с цел елиминиране на смущенията дължащи се на променливотоковото захранване. Скоростта на изменение на температурата бе поддържана да е по-малка от 10C/min. За измерване на температурата бе използвана термодвойка тип К, съгласно изискванията на NF C42323 и DIN43714.

4. Експериментални резултати Диелектрична константа На фиг.1 и фиг2 са показани температурните зависимости за състав x1 и x12 при

200Hz, а на фиг 3 – 11 са показани температурните зависимости на на диелектричната константа за състава с x2, при честоти 100Hz ,200Hz , 400Hz, 1kHz, 3kHz, 4kHz, 10kHz, 20kHz и1MHz, а на фиг 12 – 20 същите зависимости, но за състава с x3. И за двата състава се наблюдават остри максимуми. Положението на този максимум за всички честоти на измерване е показано в таблица 1 . Вижда се, че положението на този максимум мени положението си слабо. За състав с x2 той е разположен между 955К и 970К, а за x3 този максимум е по-остър и по-добре изразен и разположен между 940К и 958К.

Taб. 1 100

Hz 200 Hz

400 Hz

800 Hz

1 kHz

2 kHz

4 kHz

10 kHz

20 kHz

1 MHz

T2, K 974 969 966 965 960 966 968 956 959 956 T3, K 947 954 953 953 949 949 953 948 948 895

Стойностите на εmax за всички честоти за двата състава са дадени в таблица 2. Можем да заключим, че εmax намалява когато честотата расте.

Taб. 2 100

Hz 200 Hz

400 Hz

800 Hz

1 kHz

2 kHz

4 kHz

10 kHz

20 kHz

1 MHz

ε2max 21820 13177 8152 4335 2643 1700 1018 740 218 ε3max 2564 1936 1300 1100 1152 768 800 750 571


- 65 -

Измерихме диелектричната константа при загряване и охлаждане. За всички честоти и състави се появява хистерезис около температурата на максимума. Тази температура е по-висока при загряване в сравнение с тази при охлаждане. За всички честоти и състави кривата ε(Т) при охлаждане лежи под кривата на загряване.

200Hz

500 700 900 1100temperature,K

0

100

200

300

400

500

600

700

diel

ectri

c co

nsta

nt

200Hz

300 500 700 900 1100temperature,K

0

25

50

75

100

125

150

diel

ectri

c co

nsta

nt

фиг.1 фиг.2

100Hz

600 700 800 900 1000 1100temperature,K

0

5000

10000

15000

20000

25000

diel

ectri

c co

nsta

nt

200Hz

600 700 800 900 1000 1100temperature,K

0

2500

5000

7500

10000

12500

15000

diel

ectri

c co

nsta

nt

фиг.3 фиг.4

400Hz

600 700 800 900 1000 1100temperature,K

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

diel

ectri

c co

nsta

nt

1000Hz


0

5000

10000

15000

20000

25000

diel

ectri

c co

nsta

nt

фиг.5 фиг.6

- 66 -

2000Hz


0

500

1000

1500

2000

2500

3000

diel

ectri

c co

nsta

nt

4000HZ

600 700 800 900 1000 1100temperature,K

0

250

500

750

1000

1250

1500

1750

diel

ectr

ic c

onst

ant

фиг.7 фиг.8

10kHz


0

250

500

750

1000

1250

diel

ectri

c co

nsta

nt

20kHz

600 700 800 900 1000 1100temperature,K

0

100

200

300

400

500

600

700

800

diel

ectri

c co

nsta

nt

фиг.9 фиг.10

1MHz


40

76

112

148

184

220

diel

ectri

c co

nsta

nt

фиг.11

100Hz


0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

diel

ectri

c co

nsta

nt

200Hz

300 500 700 900 1100temperature,K

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

diel

ectri

c co

nsta

nt

фиг.12 фиг.13


- 67 -

400Hz

300 500 700 900 1100temperature,K

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

diel

ectri

c co

nsta

nt

1000Hz

300 500 700 900 1100temperature,K

0

500

1000

1500

2000

2500

diel

ectri

c co

nsta

nt

фиг.14 фиг.15

2000Hz

300 500 700 900 1100temperature,K

0

250

500

750

1000

1250

1500

diel

ectri

c co

nsta

nt

4000Hz

300 500 700 900 1100temperature,K

100

250

400

550

700

850

1000

diel

ectri

c co

nsta

nt

фиг.16 фиг.17

10kHz

300 500 700 900 1100temperature,K

100

200

300

400

500

600

700

800

diel

ectri

c co

nsta

nt

20kHz

200 400 600 800 1000temperature,K

100

200

300

400

500

600

700

800

diel

ectri

c co

nsta

nt

фиг.18 фиг.19

1MHz


100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

diel

ectri

c co

nsta

nt

фиг.20

- 68 -

Диелектрични загуби Диелектричните загуби са измерени при честоти 100Hz, 200Hz, 400Hz, 1kHz, 2kHz,

10kHz, 20kHz и 1MHz. На фиг.21 е показана зависимостта на загубите на състав x1 при 200Hz, на фиг.22 за x12 при 4kHz, на фиг.23 за x2 при 1MHz и на фиг.24 за x3 при 1MHz.

200Hz

700 800 900 1000 1100 1200temperature,K

0

5

10

15

20

25

diel

ectri

c lo

ss

4kHz


0

2.5

5

7.5

10

12.5

15

diel

ectri

c lo

ss

Фиг.21 фиг.22

1MHz


0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

diel

ectri

c lo

ss

1MHz


0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

diel

ectri

c lo

ss

фиг.23 фиг.24 Проводимост За всички честоти беше измерена зависимостта на проводимостта от

температурата. В близост до температурата на максимумите на ε и на tgδ се наблюдават особености и в температурната зависимост на G. (фиг.25 до фиг28)

200Hz


0

2500

5000

7500

10000

12500

15000

17500

cond

uctiv

ity,S

10-6

4kHz


0

250

500

750

1000

1250

1500

1750

2000

cond

uctiv

ity,S

.10-6

Фиг.25 фиг.26


- 69 -

1MHz


0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

cond

uctiv

ity,S

.10-

6

1MHz

300 500 700 900 1100temperature,K

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

diel

ectri

c lo

ss

фиг.27 фиг.28

40000

30000

20000

10000

0

200 400 600 800 1000 1200 1400 фиг.29

На фиг.29 са показани резултатите от Рамановата спектроскопия на два образеца от един и същи състав. Единият от тях е измерван – загряван до 1000К, след което са му свалени сребърните електроди. От фигурата се вижда, че пиковете на интензитета и за двата образеца съвпадат. Това говори, че при загряването няма дифузия на сребро в обема на образеца.


1.P. POPER Trans. Brit. Ceram. Soc 56,no/7,356-365(1959). 2.E.S.SUBBARAO, Phys.Rev Изв. 122, no.3,604-807(19610) 3.E.S.SUBBARAO.,J.Phys.Chem.Solids. 23,no.3,665-676(1962). 4.E.S.SUBBARAO.,J.Amer.Ceram.Soc.45,no.4,166-169(1962). 5. R.W.WOOLFE AND R.E.NEWNHAM.,J.Electrochem.Soc.116,no.6,832-835(1969). 6.L.E.CROSS AND R.C.POHANKA.,Mater.Res Bull.6,no.9,939-950(1971). 7.R.E.NEWNHAM, R.W.EOLFE AND J.F.DORIAN.,Mater.Res Bull.6,no.10,1029- 1040(1962).

- 70 -

8.R.A.ARMSTRONG AND R.E.NEWNHAM.,Mater.Res Bull.7,no.10,1025-1034(1977). 9.T.A.KIKUCHI, A.VATANABE AND K.USHIDA.,Mater.Res Bull.12,no.3,299-304(1977). 10.T.A.KIKUCHI,Mater.Res Bull.14,no.12,1561-1569(1979). 11.T.TAKENAKA AND K.SAKATA.,Ferroelectrics.38,769-772(1981). 12.A.M.SAICH AND YU.A.TITOV,Russian J. Unorg. Chem.28,no.2,306-311(1983).

Department of Physics Technical University–Sofia, Plovdiv Branch 25, Tsanko Dystabanov Str. 4000 Plovdiv BULGARIA E-mail: [email protected]


- 71 -


ON THE STATISTICAL ANALISYS OF THE COPPER BROMIDE LASER EFFICIENCY

ILIYCHO ILIEV, SNEZHANA GOCHEVA-ILIEVA, NIKOLA SABOTINOV

Abstract. Subject of this study is the laser generation of the copper bromide laser with wavelengths 510,6 nm and 578,6 nm. By means of the multidimensional statistical analysis of the experimental data, the impact of the geometric laser design (inside diameter of the laser tube, ring inside diameter and electrode distance) and the power parameters (average input electric power and average input power per length) on the total laser efficiency is established. Key words: factor analysis, regression model, laser efficiency, copper bromide laser.

1. Introduction

Because of its large practical and theoretical importance, the achievement of the optimal overall efficiency of the laser generation in the metal vapor lasers is subject of continuous interest. It is well known that this efficiency depends on many different parameters: technological laser design (geometry and constructive materials), operational conditions (input electric power, gas pressure, metal vapor pressure, pulse repetition frequency, etc.).

This work presents statistical research of the existing experimental data for copper bromide vapor lasers with wavelengths 510,6 nm and 578,6 nm. The data have been measured under R&D in the Laboratory of Metal Vapor Lasers with the Institute of Solid State Physics of Bulgarian Academy of Sciences. They are published in [1]-[7].

The investigation was made by means of the method of multidimensional factor analysis, analysis of variance and regression methods. Factor analysis attempts to identify variables, or factors, that explain the pattern of correlations within a set of observed variables. This method is used: 1) in data reduction to identify a small number of factors that explain most of the variance observed in manifested variables and 2) to classify the variables by the establishment of their mutual dependences. The method of regression allows determining the dependence between the extracted factors and the output laser efficiency.

In this paper we extend the results obtained in [8] and present more detailed further investigation. The obtained results show that the basic five parameters have almost equal influence on the total laser efficiency.

All the computations were carried out by the statistical package SPSS [9]. The data of eleven parameters were observed: D - inside tube diameter, d - ring inside

diameter, diameter ratio /D d , L – electrode separation, V – active zone volume, inP – average input power, vP – average input power per volume, LP – average input power per length, outP –

average power output, outVP – average output power per volume, = out

in

PEffP

, % - laser efficiency.

A part of the data samples is given in the next Table 1.

- 72 -

Table 1. Part of the initial samples data

d L V inP outP outVP D Dd

LP vP Eff

4,5 30 4,77 1 6,7 1,4 15 3,3 1,7 105 0,7 20 50 157 1,2 19 0,12 40 2 1,2 3,8 1,6 30 100 707 2,5 53 0,075 50 1,7 1,2 1,8 2,1 30 140 989 2,3 47 0,048 50 1,7 0,8 1,2 2 40 50 628 1,2 24 0,038 40 1 1,2 1 2 40 120 1507 2,7 58 0,038 40 1 1,1 0,9 2,2 58 200 5284 3,3 100 0,019 58 1 0,8 0,3 3

2. Factor Analysis and results The first stage of the study was the examining of the Pearson correlation matrix and other

parameters to specify the variables that satisfy the validity of the Factor Analysis. The main result of this preparatory work was the selection of five basic variables: D , d , L , inP and LP (see also [8]). Their correlation matrix is given in Table 2. In addition the bivariate correlations with the efficiency Eff were also presented with the corresponding levels of significance. A satisfactory Kaiser measure of sampling adequacy (0,696) and Bartlett’s test of sphericity (with Sig. 0,006) were calculated which confirm the appropriate choice of these variables for application of the Factor Analysis.

Table 2. Correlation Matrix (a)

a) Determinant = ,001

D d L inP LP D 1,000 ,806 ,800 ,763 -,917 d ,806 1,000 ,785 ,757 -,785 L ,800 ,785 1,000 ,946 -,847

inP ,763 ,757 ,946 1,000 -,733

Correlation

LP -,917 -,785 -,847 -,733 1,000 D ,014 ,015 ,023 ,002 d ,014 ,018 ,025 ,018 L ,015 ,018 ,001 ,008

inP ,023 ,025 ,001 ,030

Sig. (1-tailed) LP ,002 ,018 ,008 ,030

Correlation Eff ,918 ,967 ,855 ,840 -,863 Sig. (1-tailed)

Eff ,002 ,000 ,007 ,009 ,006

At the second stage the communalities and total variances by the Principal Component

Analysis (PCA) and Principal Axis Factoring (PAF) methods were carried out. The obtained results are very similar. Two factors were retained in order to better distinguish the influence of the parameters. In table 3 variances for the two first eigenvalues by the PCA are given. Analysis of the reproduced correlations was also performed which showed satisfactory values of the residuals.


- 73 -

Table 3. Total Variance Explained

Component Extraction Sums of Squared Loadings Rotation Sums of Squared Loadings

Total % of Variance Cumulative % Total % of

Variance Cumulative

% 1 4,257 85,138 85,138 2,508 50,169 50,169 2 0,374 7,488 92,626 2,123 42,457 92,626

Extraction Method: Principal Component Analysis. In the next step we conducted the extraction of factors, following by the next methods of

rotation: Varimax, Equamax, Oblimin and Promax. The main results were obtained for the above selected variables D , d , L , inP and LP . The initial and rotated solution by standard Varimax method with two factors 1F and 2F are presented in Tables 4 and 5, respectively.

Table 4. Initial solution a)

Parameter 1F 2F

D ,929 -,272

d ,894 -,116

L ,950 ,256

inP ,910 ,391

LP -,929 ,262

Extraction Method: PCA. a) 2 components extracted.

Table 5. Rotated component matrix a)

Parameter 1F 2F

D ,872 ,422

d ,740 ,514

L ,532 ,827

inP ,413 ,901

LP -,864 -,430

Extraction Method: PCA. Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization. a) Rotation converged in 3 iterations.

To precise the leading loadings of the factors we also explored the two oblique rotation

methods: Oblimin and Promax. The corresponding pattern matrices are given in Tables 6 and 7. Now the results are very clear and witness the previous ones from Table 5. The conclusion is that the variables D , d and LP have high loadings on the first factor 1F with common percentage of variance of 50%. Note that LP is negative according to its physical sense. The variables inP and L load well on 2F with total variance of 42%. More precisely, the inside tube diameter D and LP have little higher loadings in all tables for 1F . For 2F the variable inP is the dominant in all tables.

So we can conclude that the first factor 1F combines the variables D , d and LP and the second factor 2F combines inP and L .

- 74 -

Table 6. Pattern Matrix by Promax a)

Parameter 1F 2F

D ,954 ,018

d ,706 ,237

L ,199 ,822

inP -,020 1,006

LP -,939 -,034

Extraction Method: PCA. Rotation Method: Promax with Kaiser Normalization. a) Rotation converged in 3 iterations.

Table 7. Pattern Matrix by Oblimin a)

Parameter 1F 2F

D 1,001 -,041

d ,732 ,200

L ,178 ,834

inP -,059 1,038

LP -,985 ,024

Extraction Method: PCA. Rotation Method: Oblimin with Kaiser Normalization. a) Rotation converged in 6 iterations.

3. Multidimensional regression modeling and analysis

In multiple regression models, one has several independent variables but only one dependent variable. The basic model can be written as 0 1 1

ˆ ... p pY B B X B X= + + + , (1) where p is the number of variables, iX are the independent variables, iB are the seeking

coefficients and Y is the approximated value of the dependent variable Y . In the standardized form the equality (1) is pp XXY ββ ...11 += , (2)

with the coefficients iβ . The adequacy of the model is measured by the least squares criterion. For our data we conducted two multiple regression models: linear and stepwise model. For the linear regression the obtained coefficients for the factor scores of 1F and 2F , taken from the PCA with Varimax rotation, are shown in Table 8. The ANOVA in this case was with a residual sum of squares 0,180 and significant level of the F-test equal to 0,004. The R square coefficient was 0,937 with the Standard Error of the Estimate 0,2121. Exactly the same results were found by the stepwise regression model.

Table 8. Linear regression model - coefficients

Coefficients (a)

Model Unstandardized Coefficients

Standardized Coefficients t Sig.

Linear B Std. Error Beta 1 (Constant) 1,943 0,080 24,232 0,000

1F 0,544 0,087 0,785 6,276 0,003

2F 0,393 0,087 0,567 4,533 0,011

a) Dependent Variable: Eff

Therefore the following linear regression model presents the dependence between the


- 75 -

factors and the manifested Eff variable in nostandardizied and standardizied coefficients, respectively: 1 20,544 0,393 1,943Eff F F≈ + + . (3)

21 567,0785,0 FFEff += . (4) The regression analysis by using the factors, obtained from the oblique rotations gave the more predominant coefficients to 1F , but with non satisfactory significant levels.

Finally, a reliability analysis was carried out for the variables D , d , L , inP and ( LP− ). With the obtained Cronbach’s Alfa equal to 0,956, we can conclude that our regression model describe well the observed experimental data. 3. Interpretation of the results According to the given samples and to the obtained results, we can give the following interpretation. In common, all basic variables D , d , L , inP and LP have significant loadings with different regression coefficients in equation (4). The more precise consideration shows that parameters D (the inside tube diameter of the laser tube) and LP (average input power per length) play dominant role in the first factor 1F , which is multiplied by 0,785, so its total influence on the efficiency is bigger than the influence of the others parameters. This can be explained by the fact that by increasing D , the heat balance of the laser tube is improved and the heat population of the lower laser levels decreases. This leads to the increase of the efficiency Eff . The lower LP (with respectively higher incoming electrical power inP ) enhances the energy of the electrons and the effectiveness of the upper laser level population. Another basic geometrical parameter is the electrode separation distance L . Its augmentation considerably raises the amplification ( Le≈ ). The parameter d is of a little minor importance, but could not be neglected. The presence of inside rings picks up the diffusion speed of the lower meta-stable laser levels to the walls of the laser tube. 4. Conclusion

The final conclusion is that the laser chamber geometrical design (inside diameter, ring inside diameter and the input electric power per length have slyghtly higher influence on the total laser efficiency with a little excess of the inside diameter. The obtained results will allow the appropriate planning of experiments to provide more and more reliable data for further statistics, and therefore for the enhancement of the laser generation characteristics, including efficiency.

ACKNOWLEDGEMENT This work was supported by the Scientific Fund of the Ministry of Education and Science of Bulgaria, project number: VU-MI-205/2006.

- 76 -

REFERENCES

1. N. P. Denev, D. N. Astadjov and N. V. Sabotinov. Analysis of the copper bromide laser efficiency, Proceedings of the Forth International Symposium on Laser Technologies and Lasers’ 2005, October 8-11, Plovdiv, 2006, 153-156.

2. D. N. Astadjov, K. D. Dimitrov, C. E. Little and N. V. Sabotinov. A CuBr laser with 1.4 W/cm3 average output power, IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol. 30, No. 6, 1994, 1358-1360.

3. NATO contract SfP, 97 2685 (50W Copper Bromide Laser), 2000. 4. N. K. Vuchkov, D. N. Astadjov and N. V. Sabotinov. A new circuit for CuBr laser

excitation, Optical and Quantum Electronics, Vol. 23, 1991, S549-S553. 5. D. N. Astadjov, K. D. Dimitrov, D. R. Jones, V. Kirkov, L. Little, C. E. Little, N. V.

Sabotinov and N. K. Vuchkov. Influence on operating characteristics of scaling sealed-off CuBr lasers in active length, Optics Communications, Vol. 135, 1997, 289-294.

6. K. D. Dimitrov and N. V. Sabotinov. High-power and high-efficiency copper bromide vapor laser, SPIE, Vol. 3052, 1996, 126-130.

7. D. N. Astadjov, N. K. Vuchkov and N. V. Sabotinov. Parametric study of the CuBr laser with hydrogen additives, IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol. 24, No. 9, 1988, 1927-1935.

8. I. P. Iliev, S. G. Gocheva-Ilieva, N. P. Denev and N. V. Sabotinov. Statistical study of the copper bromide laser efficiency, Proceedings of 6th Intern. Conf. of the Balkan Physical Union, 22-26 August 2006, Istanbul – Turkey (in press).

9. SPSS® 12.0 Brief Guide, SPSS Inc., USA, 2003. Department of Mathematics, Physics and Chemistry Technical University–Sofia, Branch Plovdiv 25, Tsanko Djusstabanov Str. 4000 Plovdiv BULGARIA E-mail: [email protected] Department of Applied Mathematics and Modeling Faculty of Mathematics and Informatics ‘Paisii Hilendarski’ University of Plovdiv, 24, Tsar Assen Str. 4000 Plovdiv BULGARIA E-mail: [email protected] Laboratory of Metal Vapor Lasers Institute of Solid State Physics Bulgarian Academy of Sciences 72 Tzarigradsko Shossee Blvd., 1784 Sofia BULGARIA E-mail: [email protected]


- 77 -


EXPANSION OF A METHOD FOR SPINNING UNIFORM LAYERS OF PHOTORESIST PER 3003A-25 CP ON Si-PLATES

VENCESLAV VASSILEV, VALERI VACHKOV, TEMENUGA HRISTOVA-VASILEVA

Abstract. An important place on investigating the stability conditions of the photolytographic process takes the optimization of the process “Receiving of photoresistive layers” with high thickness uniformity. As a result of the experiments taken out, the optimum conditions for obtaining covers of the type photoresist PER 3003A-25 cP with best uniformity are determined. They are as follows: dynamic regime of spinning, duration of the pause between the spinning and the covering by 2 seconds at acceleration of dissolution 10 % from the top (3500 min-1). Key words: photolitography, photoresistive lacquer, centrifuges, high thickness uniformity layers, homogeneous layers.

РАЗРАБОТВАНЕ НА РЕЖИМ ЗА НАНАСЯНЕ НА РАВНОМЕРНИ СЛОЕВЕ ОТ ФОТОРЕЗИСТ PER 3003А-25СР ВЪРХУ Si -

ПЛАСТИНИ

1. Въведение Непрекъснатото повишаване степента на интеграция в съвременните микро- и наноелектронни технологии поставя все по-строги изисквания към толерансите на фотолитографския процес при производството на свръх бързи интегрални схеми, както по отношение на реализацията на линейните размери, така и по отношение на точността на съвмествяване на следващите един след друг технологични слоеве. Важно място при изследване на условията за стабилност на фотолито-графския процес заема оптимизацията на процеса “получаване на фоторезистивни слоеве”. При нанасяне на фотослоя върху пластината е необходимо да се осигури неговата равномерност по дебелина и еднородност. (отсъствие на пори, газови мехурчета, впръскване на чужди частици и т.н.). Неравномерността по дебелина е причинена от неплътно прилепване на фотошаблона към фотослоя на етапа “експониране” и локално влощаване на контрастността поради наличието на въздушна хлабина. Порите, газовите мехурчета и чуждите частици водят до образу-ване на отверстия на етапа “ецване”. Еднородността на фотослоя зависи от чистотата на изходния разтвор на

- 78 -

фоторезиста и атмосферата, в която се провежда нанасянето и сушенето, а така също и начина на изсушаване. Равномерността по дебелина на фотослоя и неговата възпроизводимост в рамките на една партида от пластини зависи от метода на нанасяне. Най-често се използва методът на центрофугирането. Моделите на Danghton [1], Emslie [2], Acrivos [3], Washo [4], Flack [5] и др., свързани с процеса на получаване на функционални слоеве от фоторезист, се осно-вават на общи предположения и не отчитат ефектите, свързани с промяна на виско-зитета на фоторезиста при неговото нанасяне върху полупроводниковите пластини и последващото му сушене. Фоторезистът, като правило, се отличава значително от идеалния нютоновски флуид, което затруднява интепретацията на свойствата му. Повечето научни публикации, свързани с този приоблем, имат предимно емпири-чен характер. В цитираните по-горе съобщения е установено, че дебелината на лаковото покритие зависи от свойствата на фоторезиста (вид на смолата, инхи-битора и разтворителя, вискозитета, молекулната маса, наличието на специални добавки и др.), както и от самите технологични параметри на процеса “лакиране” (продължителност, ъглова скорост на центрофугата и др.). Не по-маловажен е и въпросът, свързан с равномерността на лаковото покритие [6,7]. Неравномерността в дебелината на лаковото покритие оказва влияние върху критичните размери главно чрез два ефекта [8].

Първият ефект е свързан със силната зависимост на общото количество енергия, погълнато от фоторезиста при експонирането му от дебелината на слоя, а вторият ефект – с промяната на разпределението на интензитета на експониращото лъчение в слоя фоторезист при вариации в дебелината му. В крайна сметка реализираният линеен размер е периодична функция на дебелината на лаковото покритие.

Промяната в дебелината на фоторезистивния слой влияе също и върху точността на съвместяване [9]. Наблюдавана е силна зависимост на интерферен-чната картина около ръбовете на знаците за съвместяване от дебелината на лака [10]. Благодарение на това явление ефективната широчина на оптичното изобра-жение на маркера може значително да се различава от истинската, което от своя страна вличе върху точността на автоматичното съвместяване.

Целта на настоящото съобщение е разработване на режим за нанасяне на

равномерни слоеве от фоторезист PFR 3003А с вискозитет 25сР чрез центрофу-гиране върху Si-пластини с диаметър 100 mm.

2. Описание на методите

Експериментите са проведени на стандартна автоматична центрофуга АС3500 за нанасяне на фоторезист с пределна стойност на ъгловото ускорение 5.104 min-1 s-1. Всички технологични параметри се задават програмно. Ъгловото ускорение се задава в процент от максималната стойност. Използван е позитивен фоторезист PFR 3003А с вискозитет 25сР. Експериментите са проведени върху 20 силициеви пластини с диаметър 100 mm, като технологичните операции за получа-ване на лаковото покритие са обобщени в табл. 1.


- 79 -

Таблица 1. Технологичен ред за получаване на фоторезистивни слоеве

№ Технологична операция Технологичен режим за провеждане

на операцията 1 Химична обработка на тестовите пластини - 2 Обработка в пари на хексаметилдисилазан

(ХМДС) Продължителност 3 мин

3 Нанасяне и разстилане на резиста - 4 Предварително изпичане на слоя фоторезист В ИЧ пещ при Т = 100±5 ºС за време

12 min 3. Резултати

Дебелината на получените слоеве е измерена със спектрофотометричен прибор Leitz в девет равномерно разположени точки по един от диаметрите на пластината с точност ± 20 nm. Данните са обработени статистически. Като оценка на неравномерността на отделната пластина е приет параметърът 11 3d σ=∆ , където 1σ е усреднена стойност на средноквадратичните отклонения в дебелината на слоя за всяка пластина от серията. Неравномерността на фоторезистивното покритие от пластина до пластина се оценява с параметъра 22 3d σ=∆ , където 2σ е средноквад-ратичното отклонение на средните стойности на дебелината на слоя за всяка отдел-на пластина от серията. Средноквадртичните отклоненияе на величните 1σ и 2σ са използвани за получаване на интервални оценки на разсейването по дебелина на фоторезистивното покритие. Фоторезистът е нанесен по два начина: динамичен и статичен – табл. 2.

Таблица 2. Технологични параметри на динамичен и статичен режим на нанасяне на фоторезист 3003А-25сР

Реж

-им

№ Вид на операцията Продължителност на операцията

Ъглова скорост на центрофугата, min-1

Ъглово уско-рение, %

1 Сушене от ХМДС 15 3000 10 2 Нанасяне на фоторезист 6 500 10 3 Пауза 2 0 0

Дина-

ичен

4 Крайно развъртане 30 3500 10 1 Сушене от ХМДС 15 3000 10 2 Нансяне на фоторезист 6 0 0 3 Пауза 2 0 0

Стати

-чен

4 Крайно развъртане 30 3500 10 Проведени са три групи експерименти.

С първата група експерименти се цели изследване на връзката между начина на нанасяне на фоторезиста (динамичен и статичен) и равномерността на покри-тието. Резултатите от тази група експерименти (табл. 3) показват предимствата на динамичния режим на нанасяне на фоторезиста, поради което следващите експери-менти са проведени в динамичен режим.

- 80 -

Таблица 3. Неравномерност на дебелината на лака в зависимост от режима на нанасяне

Режим Средна неравномерност в дебелината на лака на отделна пластина от серията, nm

Неравномерност в средната дебелина на ла-ка от пластина до пластина за серията, nm

Динамичен 10±3 9±3 Статичен 15±3 18±3 С помощта на втората група експерименти е изследвано влиянието на продължителността на паузата между нанасянето и разстилането на фоторезиста върху неравномерността на покритието при динамичен режим. Технологичните параметри на нанасяне са същите, както при динамичен режим (табл. 2), като продължителността на паузата е съответно 0, 2, 5 и 10 s. Наблюдава се минимум в зависимостта на нерваномерността на слоя от продължителността на паузата, т. е. оптималната продължителност е в границите от 2 до 5 s (табл. 4).

Таблица 4. Влияние на продължителността на паузата върху нерваноменростта на дебелината на слоя

Пауза, s ∆d1, nm ∆d2, nm 0 15±5 10±3 2 3±3 8±3 5 10±3 6±3

10 21±6 27±7 С третата група експериментални резултати се проследява връзката между ускорението на разстилане на фоторезиста и негоавата неравномерност по дебели-на при ъглова скорост 3500 min-1s-1 и пауза 2 s (табл. 5). Оптималното ускорение, гарантиращо най-добра равномерност, е 10 % от пределното.

Таблица 5. Влияние на ускорението върху неравномерността на слоя

Ускорение, % ∆d1, nm ∆d2, nm 1 36±8 27±9 2 24±6 18±6 5 9±3 9±3

10 7±3 6±3 15 7±3 8±3 20 8±3 8±3

4. Заключение В резултат на проведените експерименти са направени следните изводи: а) за всеки вид фоторезист и апаратура за нанасяне (центрофугиране) съ-ществува оптимален режим за нанасяне на равномерни по дебелина и еднородни покрития; б) оптималните условия за нанасяне на фоторезистивни покрития от фото-резист 3003А върху Si-пластини с диаметър 100 mm при използване на автома-тична центрофуга АС3500 са: динамичен режим на нанасяне, 2 s пауза между нанасянето и разстилането при ускорение на разстилане10 % от пределното.


- 81 -


1. Danghton W.J., F.L. Given, J. Electrochem. Soc., Vol. 129, 1982, 198-204 2. Emslie A.G., J. Appl. Phys., Vol. 29, No. 5, 1958, 858-862 3. Acrivos A., M.J. Shah, J. Appl. Phys., Vol. 31, No. 6, 1960, 963-968 4. Washo B.D., IBM J. Res. Dev., Vol. 21, 1977, 190-198 5. Flack W.W., D.S. Soong, J. Appl. Phys., Vol. 56, No. 4, 1984, 1199-1205 6. Damon G.F., Proc. Kodak Microminiaturization Seminar p. 36, Kodak Park, Rochester,

MY,1967 7. Givens F.L., W.J. Danghton, J. Electrochem. Soc., 126, 1979, 269-275 8. Arden W., H. Keller, L. Mader, Sol. State Technology, July 1983 9. Lin Y.C., A.R. Newreuther, IEEE Trans. Electron. Dev., Vol. ED-25, No. 11,1981, 1397-

1401 10. Berry Dau, P. Kern, H. Sewell, Sol. State Technology, 5, 1983 Department of Semiconductors University of Chemical Technology and Metallurgy–Sofia 8, Kliment Ohridsky Blvd. 1756 Sofia BULGARIA E-mail:[email protected]

- 82 -


- 83 -


DETERMINATION OF THE EFFECTIVE MASS OF THE ELECTRONS IN THE NARROW-GAP SEMICONDUCTOR

Ag4SSe

VENCESLAV VASSILEV, ANNA AMOVA, KATERINA TOMOVA, VALERI VACHKOV

Abstract. The Fermi’s energy (EF) and the effective mass of the electrons in the bottom of the conductivity gap (mn) are determined, as the experimental data of the measurement of the coefficient thermal electromotive tension (α) are used on knowing the band energy gap, the concentration (n) and the mechanism of dispersion (r) of the electrons (at T = 300 K, mn = 0,2mo) Key words: Fermi’s energy, effective mass, coefficient thermal electromotive tension, mechanism of dispersion.

OПРЕДЕЛЯНЕ НА ЕФЕКТИВНАТА МАСА НА ЕЛЕКТРОНИТЕ В ТЕСНОЗОННИЯТ ПОЛУПРОВОДНИК Ag4SSe

1. Въведение

Развитието на съвременните технологии постоянно поставя нови изисквания към полупроводниковите материали. Това се отнася както към качеството на вече изследвани вещества, трайно навлезли в науката и техниката, както и към свойствата на нови, все още неизследвани или слабо изследвани полупроводници. В последния случай от тях се очакват такива параметри, или съчетание от параметри, които не биха могли да се получат от известните и използвани полупроводникови материали.

Във връзка с това през последните години рязко нарастна интересът към полупроводниците с тясна забранена зона, както и към полуметалите. Използването на посочените материали води до значително нарастване на коефициента на термоелектрична ефективност и, следователно, на коефициента на полезно действие на термоелектричните елементи. Разработването на полупроводникови квантови генератори и фотоелектрични приемници, използващи ефекта на „собствена“ фотопроводимост за диапазона от вълни над 5-7 µm, също изискват теснозонни материали. В полупроводниците с малка широчина на забранената зона и висока подвижност на носителите на заряд, типичен представител на които е InSb, е теоретично предсказано и експериментално доказано съществуването на магнитофононния резонанс, както и други интересни физични ефекти [1].

Понятието „материали с тясна забранена зона“ може да се дефинира по различен

- 84 -

начин. Условно е прието, към тази група материали да се отнасят полупроводниците, широчината на забранената зона на които не превишава 0,3 eV при 300 К [2].

Понастоящем, към групата на материалите с тясна забранена зона се отнасят следните полупроводници и полуметали [2]:

- твърдите разтвори на основата на PbTe и PbSe: PbTe-SnTe, PbTe-SnSe, PbSe-SnSe, PbSe-SnTe;

- Hg-халкогениди и твърдите разтвори на тяхна основа: HgSe, HgTe; HgTe-CdTe; HgTe-ZnTe; HgTe-MnTe; HgTe-HgSe; HgTe-HgS; HgTe-In2Te3; HgSe-CdTe; HgSe-ZnSe; HgSe-HgS;

- твърди разтвори на основата на бисмута и неговите съединения: Bi-Sb, Bi2(SexTe1-

x)3 и т.н., както и BixSb1-xIn; - Mg2Pb и твърдите разтвори на негова основа: Mg2Pb-Mg2Sn, Mg2Pb-Mg2Ge; - отделни бинарни съединения: α-Ag2Se, α-Ag2Te, PtSb2, SmAs, EuAs и GdAs

(полупроводници), PrAs, NdAs и PmAs (полуметали) и др.; - някои елементи: α-Sn, Bi, α-Sb; - тройни съединения [3]: CdSnAs2, ZnSnSb2; Cu2GeS3; Ag2GeTe3, Ag2SnTe3; Ag4SSe

[4, 5].

2. Описание на физико-математическия апарат

Ако в реален кристал се създаде външно електрично поле Е, то това поле ще действа на електрона със сила F, придавайки му ускорение а [6]:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 2

2

dkEd.Fa , (1)

където к е вълновия вектор на свободния електрон. Това уравнение изразява втория закон на Нютон. От тази формула следва, че под

действие на външни сили електронът се движи в периодичното поле на реалния кристал така, както би се движил под действие на тази сила свободния електрон, ако той би притежавал ефективна маса mеф:

( )22

2

еф dk/Edm = . (2)

По такъв начин се получава, че електрон с маса mо, попаднал в реален кристал, под действие на външни сили се държи така, като че ли неговата маса е mеф. Тази разлика между mо и mеф се дължи на взаимодействието на електрона с кристалната решетка. Въпросът за физическия смисъл на ефективната маса подробно се разглежда в специалната литература [6-8].

Ефективната маса на електрона, като параметър на енергетичните зони, участва в почти всички формули за определяне на основните параметри на полупроводниците. В този аспект експерименталното определяне на ефективната маса е от съществено значение за пълното охарактеризиране на даден полупроводников материал.

В настоящата работа се предлага една възможност за определяне на носителите на заряд в полупроводници със сферична нестандартна зона като се използват данните от измерването на коефициента на термо-е.д.н. в отсъствие на магнитно поле.

Обект на изследването е съединението n-Ag4SSe - теснозонен полупроводник с широчина на забранената зона 0,24 eV [4, 5]. Методиката на синтез е описана в работа [9]. Концентрацията на електроните n и коефициентът на термо-е.д.н. αо са определени в


- 85 -

предходни наши работи [4, 5, 10]. Стойностите на коефициента на разсейване r са взе-ти от работа [10].

Фиг. 1. Температурна зависимост Фиг. 2. Температурна зависимост на

на n на Ag4SSe αо и r на Ag4SSe (●-αо; ■-r).

2.1. Определяне гранична енергия на Ферми В полупроводниците с малка широчина на забранената зона, проводимата зона се

отклонява от закона 2kE ≈ и това отклонение съществено влияе върху електрофизичните свойства. Коефициентът на термо-е.д.н. в отсъствие на магнитно поле се дава с уравнението [7]:

( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

+

++

π−=α

F.2E4

FE.FF2Е

.1r.Т.к3е

k

gg

gо

2о

о , (3)

където: ko – константа на Болцман, e- заряд на електрона; Eg- широчина на забранената зона; F – гранична енергия на Ферми.

При заместване на константите и изразяване на Eg и F в електронволти, у-ние 3 се трансформира в у-ние 4:

( ) ( )0)1r.(T.E.10.01221,0

F.E.T.r10.89,4E.5,0F.T.r10.89,4E.5,1F.2g

6g

82g

28g

3

=++

++α++α+α

−

−−

(4)

Това уравнение е решено по метода на разполовяването, широко описан в специалната литература, напр. [11]. Получените резултати за F са показани на фиг. 1.

2.2. Определяне на ефективна маса на електроните на дъното на проводимата

зона

От друга страна F се дава с уравнението [7]:

- 86 -

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

π+= 1

E.m)n..3.(.21.

2E

Fgn

5,122g , (5)

където: mn – ефективна маса на електроните на дъното на проводимата зона; ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π=

2h -

константа на Планк; n – концентрация на електроните. От у-ние 5, след заместване на константите, се определя ефективната маса на

електроните на дъното на проводимата зона:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−

1EF.F

n10.32088,3m

g

67,049n (6)

(В уравнение 6 F и Eg се измерват в електронволти.) Получените резултати за ефективната маса на електроните в Ag4SSe в интервала 80-

400 K са показани на фиг. 2. 3. Резултати

F, e

V

T, K100 200 300 4000

0,1

0,2

0,3

0

m

n, 1

0-31 k

g

T, K0 100 200 300 400

0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

Фиг.1. Температурна зависимост Фиг.2. Температурна зависимост на енергията на Ферми. на ефективната маса.

Ефективната маса на елекроните расте при повишаване на температурата до настъпването на собствената проводимост (T ≈ 300 K). При Т > 300 К Ферми-нивото рязко се отдалечава от дъното на проводимата зона. Такъв ход на зависимостта F = f(T) се наблюдава, когато концентрацията на донорите е много голяма. В такъв случай областта на собствена проводимост започва, преди да се йонизират напълно примесите [12]. При температура (365 ± 2) К се наблюдава скок в зависимостите F, mn = f(T), което се дължи на фазовия преход α↔β-Ag4SSe. Аналогичен скок при същата температура е наблюдаван и при изследване на други електрични свойства на Ag4SSe [4, 5, 10].

4. Заключение Определена е енергията на Ферми и ефективната маса на електроните, като са

използвани експерименталните данни от измерването на коефициента на термо-е.д.н. в отсъствие на магнитно поле, при познаване широчината на забранената зона, концен-трацията и механизма на разсейване на носителите на заряд (при Т=300 К, mn=0,2 mo).


- 87 -

5. Благодарности Авторският колектив си позволява да изкаже благодарност за финансирането на

настоящото изследване на Министерството на образованието и науката (Фонд ,,НИ“ чрез договор № 1503/05).


1. Л. И. Анатычук, Термоэлементы и термоэлектрические устройства: Справочник, Изд-во «Наукова думка», Киев, 1979 2. Сборник, Полупроводники с узкой запрещенной зоной и их применение, Изд-во «Мир», Москва, 1969 3. З. Бончева-Младенова, В. Василев, Химия и физикохимия на полупроводниковите материали, Изд-во «МНП», София, 1991 4. V. S. Vassilev, Z.G. Ivanova, Bull. Chem. Thechnol. Macedonia, 22, № 1, 2003, 21-24 5. V. S. Vassilev, Z. G. Ivanova, B. Pejova, Bull. Chem. Technil., 24, № 1, 2005, 47-51 6. Г. И. Епифанов, Физика твердого тела, Изд-во «Высшая школа», М., 1977 7. Б.М. Аскеров, Кинетические эффекты в полупроводниках, Изд-во «Наука», Л., 1977 8. Ч. Китель, Введение в физику твердого тела, Изд-во «Наука», М., 1963 9. Z. Bontschewa-Mladenowa, K. Zaneva, Z. Anorg. Allg. Chem., 434, 1977, 253 10. V. Vassilev, V. Vachkov, K. Tomova, A. Amova, Коефициент на разсейване на елек- троните в теснозония полупроводник Ag4SSe, VIth International Scientific conference UNITECH’06, Gabrovo, 24-25.11.2006, in press 11. У. С. Дорн, Д. Д. Макракен, Числени методи и програмиране на Фортран IV, Изд- во «Наука и изкуство», С., 1977 12. М. Молдованова, Физика на полупроводниците, Изд-во «Наука и изкуство», С., 1977 Department of Semiconductors University of Chemical Technology and Metallurgy–Sofia 8, Kliment Ohridsky Blvd. 1756 Sofia BULGARIA E-mail:[email protected]

- 88 -


- 89 -


PHYSICO-CHEMICAL PROPERTIES OF SOME

MULTICOMPONENT As2Se3-Sb2Te3-CdTe GLASSES

VENCESLAV VASSILEV, TEMENUGA HRISTOVA-VASILEVA, LILIA ALJIHMANI, VALERI VACHKOV

Abstract. Chalcogenide glasses from the As2Se3-Sb2Te3-CdTe system were synthesized. The basic physicochemical parameters such as density (d), microhardness (HV) and the temperatures glass transition Tg were measured. Compactness (C) and some thermomechanical characteristics such as volume (Vh) and formation energy (Eh) of micro-voids in the glassy network, as well as the module of elasticity (E) were calculated. The correlation between the composition and properties of the As2Se3-Sb2Te3-CdTe glasses was established and comprehensively discussed. Key words: chalcodenide glasses; physicochemical properties.

ФИЗИКОХИМИЧНИ СВОЙСТВА НА СТЪКЛА ОТ СИСТЕМАТА As2Se3-Sb2Te3-CdTe


Халкогенидните стъкла (ХС) се отличават от обикновените силикатни стъкла по своята прозрачност в инфрачервената област на спектъра, висок показател на пречупва-не с нелинейна дисперсия, ниска температура на размекване, която лежи близо до тем-пературата на кристализация. Освен това те се получават лесно и се характеризират с висока химична и радиационна устойчивост. В тях се проявяват редица физични ефек-ти като: термо- и фото-е.д.н., ефект на Хол, фотопроводимост и фотолуминесценция, както и ефект на фотопотъмнение в резултат на протичането на обратими фотострук-турни промени в тях [1,2].

Благодарение на свойствата си ХС намират приложение като материали за пра-гови превключватели и елементи на памет, за оптични прозорци в различни части на спектъра, за оптични влакна, функционални елементи в интегралнооптични схеми и като фоторезисти. ХС се използват като среди за холографски запис, в нелинейната оптика и в акустооптични прибори [3,4]. На основата на ХС са разработени също и химични сензори за потенциометрични, амперометрични, термични и др. измервания. Сред твърдотелните потенциометрични сензори за анализ на течни среди, особен ин-терес предизвикват йонселективните електроди с мембрани от ХС, а така също и мул-тисензорните системи [5-9].

- 90 -

Посочените по-горе свойства и възможността за практическото им приложение в

различни елементи и устройства мотивират от една страна по-пълното и задълбочено изследване на известните вече вещества, а от друга – синтеза и изучаването на свойст-вата на нови такива.

В този смисъл е и целта на настоящата работа: изследване на някой физикохимични свойства на нови стъклообразни фази в системата As2Se3-Sb2Te3-CdTe, данни за която не бяха намерени в литературата.

Областта на стъклообразуване в системата As2Se3-Sb2Te3-CdTe е изучена в пре-дишна наша работа - фиг. 1 [10]. Тя e изтеглена към областта богатa на As2Se3, като лежи частично върху страните As2Se3-Sb2Te3 (от 0 до 38 mol % Sb2Te3) и As2Se3-CdTe (от 0,0 до 7,5 mol % CdTe) в концентрационния триъгълник на Гибс. В системата Sb2Te3-CdTe не са получени стъкла. Максималната разтворимост на CdTe в стъклата е ≈ 7,5 mol %.

Фиг. 1. Област на стъклообразуване в системата As2Se3-Sb2Te3-CdTe

2. Описание на методите Изходните съединения As2Se3 и Sb2Te3, както и ХС от системата (As2Se3)x

(Sb2Te3)y(CdTe)z в количество 4 g, са получени чрез пряк еднотемпературен синтез във вакуумирани и запоени под вакуум (1.10-3 Ра) кварцови ампули. Като изходни суровини за синтеза на MenChm са използвани Se, Те и As с чистота 5N, Sb – 4N). Използван е CdTe на фирмата „BALZERS” с чистота „Coating Material”. Характеристиките на син-тезите (температури и продължителност на изотермичните стъпала, както и скоростта на нагряване между тях) са съобразени с физикохимичните особености на изходните елементи и халкогенидите MenChm. Максималната температура на синтеза на ХС от изследваната система е 950 ± 10 °С, при която се прилага вибрационно разбъркване на стопилката. Последната е закалена от температура 850 ± 10 °С в смес: вода+лед.

Съставите на получените ХС са показани в табл. 1. Измерени са следните свой-ства: микротвърдост (HV) - по метода на Викерс (използван е металографски микро-скоп МИМ-7 с вграден микротвърдомер ПМТ-3 при натоварване 10 g), плътност (d) – по


- 91 -

хидростатичен метод в работна течност толуол и температура на размекване (Tg), определена с помоща на диференциалнотермичен анализ (ДТА), осъществен на апарат от системата F. Paulik-J. Paulik-L. Erdey на фирмата MOM-Hungary при скорост на на-гряване 10 ºС/min и еталонно вещество - накален α-Al2O3. Използвани са вакуумирани съдчета на Степанов (маса на образците и еталона ≈ 0,3 g). Модулът на еластичност (Е), минималният обем (Vh) и енергията за образуване на микропразнините (Еh), както и компактността са изчислени по уравнения (1) [11]:

E=15HV, Vh=5,04HVTg , Eh=30,729Tg

1

iii

i i

ii

i

ii xMdxM

dxMdC

−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∑⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∑ ∑−= ,

(1)

където Mi и xi – молекулна маса и молна част на i-ия компонент. Температурата на размекване на ХС от системата (As2Se3)x (Sb2Te3)y(CdTe)z е

определена от ДТА-кривите на нагряване, като резултатите са обобщени в табл. 1, в която m=y/(x+y).

3. Резултати

При увеличаване съдържанието на As2Se3 (z=const) Tg на стъклата от изследва-ната система чувствително нараства, което е логично за очакване, тъй като As2Se3 е един от най-добрите стъклообразуватели. От друга страна внасянето на CdTe (при m= const) води до намаляване на Tg, тъй като CdTe е кристално вещество и наличието на метална компонента в неговата химична връзка затруднява стъклообразуването в системата. Внасянето на 5 и 10 % CdTe отмества пропорционално зависимостта Tg(m) по посока към по-ниските стойности на Tg.

Таблица 1. Физични и термомеханични свойства на някои от стъкловидните фази от системата (As2Se3)x(Sb2Te3)y(CdTe)z

Състав, mol % № x y z m Tg,

°C

HV, kgf/mm

2

E, kgf/mm

2

Vh, 10-

3

Å 3

Eh kJ/mol

,

d, g/cm

3 C

19 100 0 0 0 18

2 88 1320 10,42 5593 4,42 -0,0792

5 90 10 0 0,10 180

95 1425 9,55 5531 4,66 -0,1023

6 80 20 0 0,20 168

102 1530 8,30 5162 4,83 -0,0719

10 70 30 0 0,30 17

2 100 1500 8,67 5285 4,94 -0,0844

20 95 0 5 0 15

8 86 1290 9,26 4855 4,75 -0,0161

2 85,5 9,5 5 0,10 16 91 1365 9,25 5132 4,93 -0,0194

- 92 -

1 7 22 76 19 5 0,20 15

8 96 1440 8,30 4855 5,17 -0,0097

15 66,5 28,5 5 0,30 15

3 94 1410 8,20 4702 5,36 -0,0087

1 85,5 4,5 10 0,05 155

85 1275 9,19 4763 5,01 -0,0581

17 81 9 10 0,10 15

5 88 1320 8,88 4763 5,10 0,0098

18 76,5 13,5 10 0,15 15

3 - - - 4702 5,21 0,0126

3 72 18 10 0,20 148 90 1350 8,29 4548 5,26 0,0042

Микротвърдостта на изследваните халкогенидни стъкла е в границите 85-102

kgf/mm2 и зависи от състава им. Ходът на зависимостта HV(m) при z=const се наблюда-ва слабоизразена тенденция към преминаване през максимум при m>0,2. Върху HV влияят две тенденции. Едната е свързана с нарастване плътността на образците и съот-ветно тяхната компактност ( 3Te2Sbd > 3Se2Asd ; 3Te2SbC > 3Se2AsC ). Тази тенденция би след-вало да води до нарастване на HV. Втората тенденция е свързана с различните стойно-сти на HV на As2Se3 и Sb2Te3. Тъй като 3Se2AsHV > 3Te2SbHV , то следва че тази тенденция ще води до намаляване на HV при нарастване съдържанието на Sb2Te3 (при z=const). Следователно, в хода на зависимостта HV(m) при m<0,2, преобладаваща е първата тен-денция, а при m>0,2 – втората.

Зависимостта HV(z) при m=const, в изследвания концентрационен интервал (0-10 mol% CdTe) линейно намалява при увеличаване на z, т.е. в сила е адитивния закон (внасянето на 10 mol% CdTe води до намаляване на HV с около 7-8 %). Тази закономерност изглежда логична, тъй като 3Se2AsHV > HVCdTe и най-вероятно 3Te2SbHV ≈ HVCdTe.

С увеличаване съдържанието на CdTe неговите димери (-Те-Cd-Te-) свързват тригоналните пирамиди AsSe3/2 и SbTe3/2 и индивидуалното влияние на последните се маскира, което по всяка вероятност е причина за изключително слабото влияние на m върху HV при z=10 (фиг. 2).

0 . 0 0 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 1 5 0 . 2 0 0 . 2 5 0 .3 0

4 5

6 0

7 5

9 0

1 0 5

1 2 0

1 3 5

1 5 0

z = 0 z = 5 z = 1 0

HV

, kgf

.mm

-2

m

Фиг. 2. Mикротвърдост на стъкла от системата (As2Se3)x(Sb2Те3)y(CdTe)z.


- 93 -

Зависимостта Е(m) по дефиниция повтаря зависимостта HV(m). Аналогично хо-дът на зависимостта Eh(m) повтаря зависимостта Tg(m).

Характерна особеност на ХС е наличието на значителна част микрошупли, мик-ропразнини, вътрешни микрокухини и т.н. Логично е при увеличаване на стъклообразу-ващата способност вероятността за нарастване на обема на тези празнини също да на-раства, което намира израз в показателя минимален обем на микропразнините (Vh). От друга страна, при увеличаване съдържанието на димерните структури на CdTe общия обем на празнините също може да нараства или да намалява в зависимост от поведе-нието на тези димери. Ако те причиняват разкъсване на матрицата на стъклото, то Vh нараства (тази тенденция е по-силно изразена при внасяне на по-голямо количество CdTe). Ако димерите се вграждат в структурите на стъклото, то се създават условия за уплътняване на структурата и Vh намалява. Ходът на зависимостите Vh(m, z) показва, че най-вероятно е протичането на вграждане по втория механизъм. Тази тенденция е по-силно изразена в случайте на по-ниските стойности на m.

При увеличаване съдържанието на Sb2Te3 при z=const и на z (при m= const) плът-ността на изследваните халкогенидни стъкла нараства (фиг. 3), което е в тясна зависи-мост с плътностите на изходните компоненти. Плътността на изходните компоненти намалява в реда Sb2Te3→CdTe→As2Se3 = 6,57→5,86→4,80 g/cm3.

Зависимостите d(m) при z=const имат линеен характер (спазва се адитивния за-кон), тъй като As2Se3 и Sb2Te3 имат сходни структури (тригонални пирамиди).

Внасянето на Sb2Te3 към As2Se3 (при z=const) води до слабо нарастване на ком-пактността, което най-вероятно е свързано със замяната на As-атоми с Sb-атоми, чийто атомен радиус (0,145 nm) е по-голям от този на As (0,125 nm) - табл. 1.

0.0 0.1 0.2 0.33

4

5

6

7

z=0 z=5 z=10

d, g

.cm

-3

m

Фиг. 3. Плътност на стъкла от системата (As2Se3)x(Sb2Те3)y(CdTe)z.

Внасянето на 5 % CdTe към Sb2Te3+As2Se3 води до уплътняване структурата на

стъклото, тъй като атомният радиус на кадмия е по-голям от същия на арсена, респ. на антимона.

Експерименталният факт, че зависимостта С(m) при z=0 и С(m) при z=5 % CdTe са отместени успоредно една спрямо друга, ни кара да предполагаме, че Cd за всички стойности на m, замества арсенови атоми. При внасяне на 10 % CdTe зависимостта С(m)

- 94 -

значително се различава от линейната, като за 0,05 ≤m≤0,15 компактността на-раства чувствително, а при m>0,15 – С клони към константна стойност. Този ход на зависимостта C(m) дава основание да се предполага, че при m от 0,05 до 0,015 Cd попада в междувъзлията, което е причина за рязко уплътняване на структурата, а при m>0,15 кадмия замества в основаната си част арсеновите атоми и в по-малката си част – антимоновите атоми, които от своя страна също са заместили As-атоми.

4. Заключение

В резултат на проведените изследвания на стъкла от системата As2Se3-Sb2Te3-CdTe могат да се направят следните изводи:

1. Определени са редица основни физикохимични характеристики на нови Cd-съдържащи халкогенидни стъкла;

2. Установена е корелация между изследваните свойства и състава на стъклата; 3. Интерпретирани са наблюдаваните закономерности в зависимостите свойство-

състав, в светлината на структурните представи за многокомпонентни халкогенидни стъкла. Благодарности Авторският колектив си позволява да изкаже благодарност за финансирането на настоящото изследване на Министерството на образованието и науката (фонд ,,Научни изследвания“) чрез договор ТН 1503/05 и на Ръководството на ХТМУ чрез договор №10299.


1. Marquez E., J.B. Ramirez-Malo, J. Fernandez-Pena, P. Villares, R. Jimenez-Garay, P.J.S. Ewen, A.E. Owen, On the influence of Ag-photodoping on the optical properties of As-S glass films, J. Non-Cryst. Solids, Vol. 164-166, 1993, 1223-1226

2. Marquez E., J.B.Ramirez-Malo, J.Fernandez-Pena, P.Villares, R. Jimenez-Garay, P.J.S. Ewen, A.E. Owen, On the optical properties of wedge-shaped thin films of Ag-photodoped As30S70 glass, Opt. Mater., Vol. 2, No. 3, 1993, 143-150

3. Nasu H., K. Kubodera, M. Kobayashi, M. Nakamura, K. Kaniya, Third-harmonic generation from some chalcogenide glasses, J. Amer. Ceram. Soc., Vol. 73, 1990, 1794-1796

4. Hajto E., P.J. Ewen, A.E. Owen, Linear and nonlinear optical properties of chalcogenide glasses, J. Non-Cryst. Solids, Vol. 164-166, 1993, 901-904

5. Vlasov, Y.G., E.A. Bychkov, Ion-selective chalcogenide glass electrodes, Ion-Sel. Electrode Rev., Vol. 9, 1987, 5-93

6. Vlasov, Yu.G., E.A. Bychkov, B.L. Seleznev, Silver ion sensors based on Ag-As-Se-Te glasses. I. Ion sensitivity and bulk membrane transport, Sensors and Actuators B, Vol. 2, No. 1, 1990, 23-31

7. König, C.E., E.W. Grabner, Reinvestigation of a ferric ion-selective electrode based on the chalcogenide glass FexSe60Ge28Sb12 (x=1-10), Electroanalysis, Vol. 7, No. 11, 1995, 1090-1094

8. Pungor, E., The theory of ion-selective electrodes, Anal. Sci., 14, No. 4, 1998, 249-256 9. Lezal D., J.Pedlikova, J.Zavadil, Chalcogenide glasses for optical and photonic applications,

Chalcogenide Letters, Vol. 1, No. 1, 2004, 11-15


- 95 -

10. Vassilev V., T. Hristova-Vassileva, L. Aljihmani, Glassformation in the As2Se3-Sb2Te3-CdTe system, Materials Letters, in press

11. L. Aljihmani, V. Vassilev, P. Petkov, Compositional trends of the physico-chemical properties in pseudoternary chalcogenide glasses, J. Optoelectr. and Adv. Materials, Vol. 5, No. 5, 2003, 1187-1192

Department of Semiconductors University of Chemical Technology and Metallurgy-Sofia 8, Kliment Ohridsky Blvd. 1756 Sofia BULGARIA E-mail:[email protected]

- 96 -


- 97 -


ОСНОВНИ КРИТЕРИИ ПРИ ПОДБОРА НА ИНСТРУМЕНТАЛНА ЕКИПИРОВКА ЗА

АЕРОКОСМИЧЕСКО ИЗУЧАВАНЕ НА ПРИРОДНИ РИСКОВЕ

АНТОАНЕТА ФРАНЦОВА1 , ГАРО МАРДИРОСЯН1, БОЙКО РАНГЕЛОВ2

Резюме. В настоящия доклад са разгледани основни критерии, служещи за база при определянето и подбора на аерокосмическа апаратурна екипировка, използвана за изучаването на природните бедствия. Показани са основни параметри и технически характеристики на избрани сателитни платформи и апаратни системи. На базата на така избраните от нас критерии е направен анализ за приложимостта, използваемостта и ефективността на дистанционната аерокосмическа информация при управление на риска от природни бедствия. Ключови думи: природни бедствия, критерии за избор, инструментална екипировка

CRITERIA SELECTION OF AEROSPACE EQUIPMENT ABOUT NATURAL HAZARDS INVESTIGATIONS

1. Introduction Despite enormous progress in the science and technology, most of the natural hazards and

disasters are still unpredictable events and continuously brings people’s life loses and cause huge damages all around the world.

During the last years, the space technologies (especially earth observing satellites) get wider application in research of natural hazards/disasters. Special equipment is established at different satellites on orbit for observations and data transfer. The visualization of the monitored phenomena is essential for the public presentations of the data and information. All space centers are processing and implementing the data about the different natural hazards, which could be useful for the risk management practice.

2. Criteria selection of aerospace equipment about natural hazards investigation Main selection criteria regarding the aerospace measuring devices about natural hazards

and disaster investigation can be divided in two broad groups. The first group covers the physical parameters related to natural hazards and risk process in the context of their study and investigation. On the other hand - the second group is connected with technical characteristics and operating parameter of the space platforms and technical equipment one the board. In some cases telemetry and downlink are also important.

- 98 -

In fig.1 are presented several classes of sensors, plotted as a triangle diagram, in which the corner members are determined by the principal parameter measured: spectral, spatial and intensity.

Fig.1. Several classes of sensors On the Fig.2 are shown different sensor types for remote sensing and earth observations

including natural hazards and disaster studies and investigation.

Fig.2. Wider array of sensor types Furthermore the selection of remote sensing measuring devices depends on the phase of

Passive

Active

Scanning

Non-scanning

Non-imaging

ImagingCamera

Microwave radiometer Spectrometer/Fourier spectrometer Electro-Magnetic sensor Gravimeter Polarimeter Other (resistivity)

Optical-mechanical scanner Electro-optical scanner Radiometer/photometer Spectroradiometer

Imaging

Non-scanning

Scanning

Non-imagingMicrowave radiometer Microwave altimeter Lidar Laser distance meter Laser water depth meter

Imaging

SAR (Synthetic Aperture Radar) SLAR (Real Aperture radar)

Sensor Type

Image plane scanning

Object plane scanning

TV camera Solid scanner

Image plane scanning

Object plane scanning

Passive phased array radar

Spectral information

Imager Souder Altimeter

Spatial information

Intensity information SpectrometerSpectro-radiometer

Radiometer Polarimeter Scatterometer

Imagines spectromet

Imaging spectroradoimeter


- 99 -

risk management process in which particular equipment (or instrument) and remote sensing data will be used – “before”, “during” and “after” disaster occurs.

Different stages of risk management require different and specific information, which enforce using and obtaining of different data, received from different remote sensing instrument and technical equipment.

For instance – about forecast, monitoring and early warning for some of the weather hazards, such as tropical cyclones, hurricanes, typhoons largely is used weather techniques, such as geostationary and polar-orbiting satellites, whereas for damage assessment and vulnerability analysis these satellites platforms are inapplicability.

One of the most important parameters for criteria selection of aerospace equipment is the spatial, spectral and temporal resolution.

In most cases these parameters determine the devices’ applicability for certain tasks, purposes and goals in the different stages of risk management process. Further down spatial, spectral, temporal and radiometric resolution are described in brief.

Spatial resolution defines the level of spatial detail depicted in an image. This may be described as a measure of the smallness of objects on the ground that may be distinguished as separate entities in the image, with the smallest object necessarily being larger than a single pixel. In this sense, spatial resolution is directly related to image pixel size. Pixel size is usually a function of the platform and sensor, while the detectability may change from place to place and time to time. The pixel size for aircraft- and satellite-borne scanners is a function of both the sensor (optics and sampling rate) and the platform (altitude and velocity).

Spectral resolution can be defined in terms of both the number of spectral channels being imaged over a given spectral region and the range of wavelengths incorporated into each single channel. An increase in spectral resolution over a given spectral range will result in a greater number of spectral channels. However, this additional resolution also 'costs' in terms of increased data volume and the consequent increase in costs associated with its processing. The theoretically optimal spectral range and resolution for a particular cover type therefore may need to be modified with respect to the practical considerations of data collection and processing.

The temporal resolution of remotely sensed data refers to the repeat cycle or interval between acquisitions of successive imagery. This cycle is fixed for spacecraft platforms by their orbital characteristics, but is quite flexible for aircraft platforms. The 'ideal' temporal resolution varies considerably for different applications. Studies of weather observation may require two or four images per hour but land cover monitoring may only require several image each year.

Radiometric resolution in remotely sensed data is defined as the amount of energy required to increase a pixel value by one quantization level or 'count (defines the maximum number of quantisation levels detectable by a sensor). The radiometric extent is the dynamic range or the maximum number of quantisation levels that may be recorded by a particular sensing system. Most remotely sensed imagery is recorded with quantisation levels in the range 0-255, that is, the minimum 'detectable' radiation level is recorded as 0 while the 'maximum' radiation is recorded as 255. This range is also referred to as 8 bit resolution since all values in the range may be represented by 8 bits (binary digits) in a computer. (Quantisation levels (brightness level) are frequently given in terms of the number of bits rather than the number or range of levels. In image processing, quantisation levels are usually referred to as Digital Numbers (DN).)

Other very important criteria are connected with data receiving manner and data access and receiving opportunity.

In general, remote sensing satellite data can be received by: purchasing of single (particular) images; by “subscription” and by direct receiving in real or near-real time.

- 100 -

These ways are dependent on given aims, tasks and questions, but mainly of available means and resources. The most efficient but the most expensive way is downlink of Earth observation data (direct receiving) in real or near-real time for given satellite or instrument on the board.

The different physical characteristics related to different natural hazards are observed within different ranges of the electromagnetic spectrum with various instruments, devices and technical equipment. Because of that, the instruments and technical equipments applicable for particular natural hazard and disaster could be inapplicable and/or useless for others.

However, there is not yet a specific or complex platform or sensor that is dedicated to retrieve all required data (information) about studies, forecast and monitoring on a particular type of disaster(s). The result of this situation is the need of retrieving information simultaneously from several systems, which implies problems and hardens the process of production of the needed information. This tendency is formulated to the technology of the Global Monitoring Observation System (GMOS), which is intended to be the future platform for the monitoring and management of all natural phenomena, including the natural hazards.

This is required by the fact that each instrument operates in different part of electromagnetic spectrum and obviously has its own advantages and disadvantages. For example - electro-optical instrument working in visible part of electromagnetic spectrum are applicable only during the day because of strongly dependency of meteorological conditions and the time of the 24-hour period.

Some space techniques, such as those of weather forecast, have become operational and are used in the everyday practice. These weather forecast techniques permit early warnings and monitoring for some of the weather hazards, such as tropical cyclones, hurricanes, typhoons. On the contrary, the management practice of the other disasters only by satellite technology is on a research and application phase. The general reasons are that in case on rapid onset disaster and in disaster situation (and emergency management) the data should be easily and timely acquired. In addition different natural hazards and disasters have different disaster potential, cover various areas, and have different time duration.

On fig.3 and fig.4 disaster potential (low, medium, high) and area coverage (local, regional, global) for different natural hazards are shown [4].

Fig.3. Disaster potential and area coverage for different natural phenomenon in solid Earth

and weather hazards [4]. 2. Typology and description of the selected satellites and their applicability After deeper analysis and examinations a several tables are constructed [1,2,3].


- 101 -

Tabl.1 Typology and description of the satellites and sensors Satellite Instrument Frequency/band Spatial Resolution Swath(km)

QuickBird (USA) BGIS 2000/

BHRC 60

0.45- 0.90 µm PAN 0.45 - 0.90 µm

0,61 m 2,8 m 16,5 km

Landsat 7 (USA) ETM+ 0.45 - 12.50 µm

0.52 - 0.90 µm PAN 30 m, 60 m 15 m 183 km

HRG HRS

0.48 - 0.71 µm PAN; 0.50 - 1.75µm 0,49 - 0,69 µm PAN

2.5/ 5 m; 10 m, 20 m 10 m

60 km 600 x 120 km

Spot 5 (FRANCE) Vegetation 2 0,43 - 1,75 µm 1000 m 2250 km

AATSR 1.6, 3.7, 10.8, 12.0, 0.55, 0.67, 0.87 µm 1x 1 km nadir 500 km ASAR Image mode

5.331 GHz (5.6 cm, C-band)

28 x 28 m

7 selectable - 57-109 km

Alternating polarization mode 30 m 7 selectable Wide Swath mode 150 x 150 m 405 km Global monitoring 1 x 1 km >=405 km Wave Mode 28 x 30 m 5 km vignette MERIS

0,390 – 10,40 µm 260 x 290 m (full resolut.) 1040 x 1160 m (reduced)

582 km 1165 km

RA-2 13.57 GHz (accuracy - 4,5 cm) (Pulse width - 3 ns) n/a MWR 23.8 GHz, 36.5 GHz 22 km 500 km GOMOS UV/VIS Spectr. IR1/2 Spectrom. Photometers

248-371/387-693 nm 750-776 nm, 915-956 nm 644-705/466-528 nm

Vertical resolution -1,7 km Alt. range - 20 -100 km

n/a

MIPAS 4.15 - 14.6 µm 3 km high, 30 km wide 500 km

ENVISAT (ESA)

SCIAMACHY 0,24 - 2,38 µm (8 spectral band )

3 km ( Limb mode) 32 x 16 km

500 km 960 km

HIRDLS 6.2 - 17.76 µm (21 channel) 1 km vertical, 10 km across , 300 km along

6 profiles 2000-3000km

MLS 118 GHz, 190 GHz , 240 GHz , 640 GHz, 2.5 THz

3 km vertical., 5 cross-scan, 500 km along

2600 km

OMI

350 - 500 nm; 270 - 314 nm 306 - 380 nm (1500 bands )

13 x 24 km; 35 x 48 km 13 x 13 km

2600 km

AURA (USA, UK Netherlands, Finland) “NASA atmospheric chemistry mission”

TES 3,2 - 15.4 µm 0,53 x 5,3 km (nadir) 2.3 km (Limb mode)

5.3 x 8.5 km 0 to 34 km

IceSat (NASA)

GLAS

YAG laser; 1,064 µm and 0,532 µm

40 pulses/ sec 15 cm (ice), 1-10 m (land)

Nadir view n/a

AIRS 0,4 - 1.0 µm (4 channel) 3,7 - 15.4 µm (2378 channel)

13,5 km hor., 1 km vertical, 2.3 x 2.3 km (for VNIR)

1650 km

AMSU-A 15-90 GHz (15 channel) 40 km horizontal(nadir) 1650 km HSB 150 GHz; 183 GHz (3 channel) 13,5 km horizontal (nadir) 1650 km AMSR-E 6.925; 10.64; GHz; 18.7 GHz; 23.8

GHz; 36.5; 89 GHz (12 channel) 75 x 43; 51 x 29; 27 x 16; 32 x 18; 14 x 8; 6 x 4 km

1445 km

MODIS 0.4 - 14.5 µm. (36 band) 250 m, 500 m 1000 m 2330 km

AQUA (NASA) (AMSR–E responsible agency-NASDA) CERES 0.3 - 100 µm; 0.3 - 5µm, 8-12 µm 20 km at nadir Limb to limb GRACE (Germany/Usa)

Accelerometer GPS

24/32 GHz cross-ling (K-band Ranging)

n/a

n/a

ASTER 0.52 - 11,65 µm 15 m, 30 m, 90 m 60 m CERES 0.3 - 100 µm ; 0.3-5 µm; 8-12 µm 20 km (nadir) Limb to limb MISR (26.10, 45.6, 60, 70.5 0)

4 band (36 channel) (9 cameras) 446, 558, 672, 867 nm

275 x 275 m, 1 x 1 km 275 m x 1 km (nadir)

360 km

MODIS 36 band ( 0.4 - 14.5 µm.) 250 m, 500 m, 1 km 2330 km

TERRA (NASA,CSA, NASDA)

MOPIT 0,405 - 14,385 µm 22 x 22 km 616 km CALIPSO (NASA/CNES)

CALIOP IRR WFC

532 nm and 1064 nm 8.7 µm, 10.5 µm, 12.0 µm 620 - 670 nm

(pulse width 20 ns) 1000 m 125 m

n/a 64 x 64 km 60 km

CloudSat (NASA/CSA)

CPR 94 GHz (3 mm) (Pulse width 3.33ms)

Cross x along 1.2 x 3,5 km , 500 m

LAGEOS-II 426 laser n/a n/a n/a

- 102 -

(NASA/Italy) reflector AVHRR/3 0.58 - 12.50 µm (6 channel) 1,1 km nadir 2900 km HIRS/3 0.69 - 14.95 µm (20 bands) 18 km (nadir) 2160 km AMSU-A 23.8- 89 GHz (15 channels) 50 km (nadir) 2052 km AMSU-B 89.0 -131 GHz (5 channel) 15 km (nadir) 2052 km MHS 89.0 -190,31 GHz (5 channel) 16 km (nadir) 2134 km SBUV/2 0,252 – 0,339 µm (12 band) - - SARSAT 406.05 MHz (121.5, 243 MHz ) - -

NOAA/ POES series (NOAA, CSA NASA, UK, CNES, EumetSat)

SEM/2 “Space weather ” (EPS, XRI, HEPAD, XRS, Magnetometer) SEVIRI 0,56-14,40 µm; HRV - 0,4-1,1 µm 3 km; 1 km - GERB 0.32 - 4.0 µm; 0.32 -> 100 µm 44.6 x 40 km -

MeteoSat (second generation) SARSAT 406.05 MHz (121.5, 243 MHz ) n/a n/a

Tabl.2 Typology and description of the satellites and sensors

Satellite Orbit Instrument/Sensor

QuickBird (USA)

Sun-synchronous near-polar, Altitude- 470 km, period - 94 min., Inclination - 97.3 0

BGIS 2000 - Ball Global Imaging System 2000 BHRC 60 - Ball High Resolution Camera 60

Landsat 7 (USGS)

Sun-synchronous, near-polar, Altitude: 705 km, Period - 98.88 min., Inclination - 98.20

ETM+ - Enhanced Thematic Mapper Plus

Spot 5 (CNES)

sun-synchronous near-polar, altitude - 822 km., Period - 101,4 min., Inclination - 98.70

HRG - High Resolution Geometric HRS - High Resolution Stereoscopic VEGETATION

ENVISAT (ESA)

Sun synchronous near-polar, Altitude - 795 km., Inclination - 98.550 , Period - 100 min. Repeat cycle - 35 days (varies)

AATSR - Advanced Along-Track Scanning Radiometer ASAR - Advanced Synthetic Aperture Radar MERIS- Medium Resolution Imaging Spectrometer MWR - Microwave Radiometer RA-2 - Radar Altimeter GOMOS - Global Ozone Monitoring by Occultation of Stars MIPAS - Michelson Interferometer for Passive Atmospheric Sounding SCIAMACHY - Scanning Imaging Absorption Spectrometer for Atmospheric Cartography

AURA (USA, UK Netherlands) A-train

Sun-synchronous near polar, Altitude: 705 km, Inclination - 98.80, Period: 100 min., Repeat cycle - 16 days

TES - Tropospheric Emission Spectrometer OMI - Ozone Monitoring Instrument MLS - Microwave Limb Sounder HIRDLS - High Resolution Dynamics Limb Sounder

IceSat (NASA)

Near polar, Altitude - 600 km., Inclination-94 0, Period - 101m.

GLAS - Geoscience Laser Altimeter System

AQUA (NASA) A-Train

Sun-Synchronous near polar, Altitude - 705 km., Inclination - 98 0 Period - 99 min., Repeat cycle - 16 days

AIRS - Atmospheric Infrared Sounder AMSU-A - Advanced Microwave Sounding Unit AMSR-E - Advanced Microwave Scanning HSB - Humidity Sounder for Brazil MODIS - Moderate Resolution Imaging CERES - Clouds and the Earth’s Radiant Energy System

GRACE (USA, Germany)

Near polar, Altitude - 500 km; Inclination - 98 0; Period 89 m.

K-band Ranging GPS – Global Positioning System Accelerometer

TERRA (NASA,CSA NASDA)

Sun-synchronous near polar, Altitude - 705 km., Inclination - 98,2 0, Period - 99 min. Repeat cycle - 14 days

ASTER - Advanced Spaceborne Thermal Emission and Reflection Radiometer CERES - Clouds and the Earth’s Radiant Energy System MISR - Multi-angle Imaging Spectroradiometer MODIS - Moderate Resolution Imaging Spectroradiometer MOPITT - Measurements of Pollution in the Troposphere

CALIPSO Sun-synchronous near polar, CALIOP Cloud-Aerosol Lidar with Orthogonal Polarization


- 103 -

(NASA/CNES) A-train

Altitude - 705 km., Period - 99 min., Inclination - 98.05 0

IRR - Imaging Infra-Red Radiometer WFC - Wide-Field Camera

CloudSat (NASA/CSA A-Train

Sun-synchronous, Altitude - 705 km, Inclination - 98.2º , Period - 99 min., Cycle-16 days

CPR - The Cloud Profiling Radar

NOAA/ POES series (NOAA, UK NASA,CSA CNES, EumetSat)

Near-polar synchronous , Altitude - 804-854 km., Inclination - 98.7є (retrograde), Period -102 min., Repeat cycle – 12 h.

AVHRR/3 -Advanced Very High Resolution Radiometer HIRS/3 - High Resolution Infrared Sounder AMSU-A Advanced Microwave Sounding Unit A AMSU-B Advanced Microwave Sounding Unit B MHS - Microwave Humidity Sounder) SBUV/2 - Solar Backscatter Ultraviolet Radiometer

MeteoSat (Eumetsat/ ESA)

Geostationary Altitude - 35, 786 km Period - 1,436 min

GERB (Geostationary Earth Radiation Budget) SEVIRI - Spinning Enhanced Visible and Infrared Imager SARSAT - Search and Rescue System

Tabl.3.Applicability of the different satellites to the stages of the natural hazards

Satellite Instrument Before During After QuickBird BGIS 2000/ (1),2,3,7,(8),9,10,11 (1), ((8)), 9, (12) 1,2,3,7,8,9,10,11 Spot 5

HRG HRS VEGETATION

1,2,3,7,8,9,10,11 1,2,7 (7)

1,(8),9,12,14 9

1,2,3,7,8,9,10,11 8,9

Landsat 7 ETM+ 1,2,(4),3,7,8,9,10,11 1,8,9, (12),14 1,(2),3,7,8,9,10,11 ENVISAT

AATSR ASAR MERIS RA-2 MWR GOMOS MIPAS SCIAMACHY

1,6,((4)),(8),(9),(10) (1),(2),3,(4),7,(8),(9),10,11 ((4)),((7)),8,9,((11)),((12)) ((1)),((2)),((3)),4,6, (9),10,12 ((4)),(10),(11) (4) (4)

1,6,8,(9),(14) (1),7,(9),10,11,(12),13,(14 ((8)),9,(12), (13),(14) 6,(9),10,12,13 (10), (13) 1,5 (1), (5) (1), (5)

(1),(8) (1),2,3, 9,10,11 8,9,((11)) ((3)) 1 (1) (1)

AURA

(As whole) OMI TES

4

1,5 1 1,5

1 1 1

AQUA

(As whole) AIRS AMSR-E MODIS CERES

4,(9),10,11 4 6,(4),((7)),((8)),(9),10,11,12 (1), ((2)), ((6)),(7),(8),(10),(11) (4)

(9),10,11 6,((7)),(9),10,11,12,13 1, ((6)),8,9,(12),14

1 1, 8,9,(10),(11)

CALIPSO Lidar 4 1,8 1,8 CloudSat Cloud radar 4,10,11 1,8,10,11,12 1,8 IceSat Laser altimetry 4 (1),(8),13 (1),(8) GRACE K-band Ranging Geodesy, Oceanography, ((2)) GPS 1,2,7 7 1,2 LAGEOS laser reflector ((1)), (2) ((1)), (2) TERRA

ASTER CERES MISR MODIS MOPIT

1, 2, (3), (4),((6)),7,8,9,10,11 (4) (4) (1),((2)),(4),((6)),(7),(8),(10),(11) ((4))

1, ((6)),8,9,((11)),12,14 ((8)),9,14,(12),14 1, ((6)),8,9,(12),14

1,(2),(3),8,9,10,11 1,8, 1, 8,9,(10),(11)

MeteoSat (As whole) SEVIRI

4,6,(7),8,9,10,11,12

6,(7),8,9,10,11,12 ((1)),((8))

NOAA/ POES series

(As whole) AVHRR/3 SBUV/2

4,6,(7),8,9,10,11,12 1,((7)),(8),(9), 10

6,(7),8,9,10,11,12 1,8,(9),10,(14) 1,(5)

(1),(8) 1

Legend: 1 – Volcano activity; 2 – Earthquakes; 3 – Tsunamis; 4 – Climate change, research and modeling; 5 – Ozone hole; 6 – El Nino, La Nina (ENSO) – SST; 7 – Landslides; 8 – Forest fires; 9 – Droughts; 10 – Storms, hurricanes (incl. high rain rates, strong winds); 11

- 104 -

– Floods (river), flash floods (incl. snow melt); 12 – Winter storms; 13 – Polar ice sheet; 14 – Global land coverage (incl. deforestation and desertification); (( )) – low applicability; ( ) – medium applicability; without bracket – high applicability. (In the table are not shown the instruments which are not applicable in natural hazards studies).

In tab.1 and tab.2 a variety of commercial and/or scientific satellites in orbit, with different technical equipment are presented. For each type satellite some orbital parameters, instruments carried on board, frequency band, spatial resolution and instrument swath are shown.

In table.3 the different instruments and their usefulness and applicability in risk management process of natural hazards/disaster are described.

The table shows that different instruments, depending on their technical parameters and specification are applicable for different hazards at the different stage of the hazards investigation and observations and the risk management process. (Moreover the applicability of different instruments depending of the physical properties of the objects on Earth and the nature of the disaster itself.)

Thee levels of applicability (low, medium and high) and 14 hazards had been selected including global phenomenon as climate change, El Nino and La Nina. We used the philosophy “before”,”during” and “after” the disaster occurrence. “Before” means – preparatory stages, early warnings, vulnerability and risk assessment; “During” means – disaster monitoring in real or near-real time when it is possible; “After” means – damage assessment, modeling the negative effects of the past of future events.

It can be seen that all Earth Observing Satellites (EOS) are launched to sun-synchronous near-polar orbit, which is the most appropriate orbit for remote sensing and earth observations.

A sun-synchronous orbit (also rarely called a heliosynchronous orbit) is a geocentric orbit which combines altitude and inclination in such a way that an object on that orbit passes over any given point of the Earth's surface at the same local solar time. The surface illumination angle will be nearly the same every time. This is possible for a range of altitudes (typically 600–800 km), for periods in the 96–102 min range because the Earth's equatorial bulge causes a satellite's orbit to precess at a rate which depends on the orbit's inclination (about 980 for the aforementioned altitudes), allowing one to pick an inclination that will cause just the right amount of precession (360° per year).

A sun-synchronous orbit provides consistent lighting of the Earth-scan view. The satellite passes the equator and each latitude at the same time each day. The orbital plane of a sun-synchronous orbit precess (rotate) approximately one degree each day, eastward, to keep pace with the Earth's revolution around the sun.

Special cases of the sun-synchronous orbit are the noon/midnight orbit, where the local solar time of passage for equatorial longitudes is around noon or midnight, and the dawn/dusk orbit, where the local solar time of passage for equatorial longitudes is around sunrise or sunset, so that the satellite rides the terminator between day and night. Riding the terminator is not useful for passive imaging satellites, but is useful for active radar satellites; the advantage of being on the terminator is that the satellites' solar panels can always see the Sun, without being shadowed by the Earth. 3. Conclusions Special investigations are performed about the remote sensing equipment useful for the natural hazards research.

Several tables are constructed displaying 15 different satellites platform and more then 35 various remote sensing measuring devices (passive and active, imaging and non-imaging) operating within ultraviolet, visible, infrared (NIR-reflected, TIR-emitted) and microwave part of electromagnetic spectrum. It is shown that the applicability of the remote sensing devices and data about natural hazards investigation depends of many parameters and criteria – complexity, simultaneous use of the earth data and remote sensing data, spectral, temporal resolution, frequency band, sensitivity, high/low spatial resolution, sampling frequency of the measurements, reliability of the communication and data transfer, data receiving manner, software tools and velocity of the data processing, etc.


- 105 -

REFFERENCES

1. A. Frantzova, G. Mardirossian, B. Ranguelov. Classification and analysis of the remote

sensing technologies about natural hazards and risk management. Proceedings Second International Symposium on "Geo-information for disaster Management", Goa, India, September 25-26, 2006.

2. A. Frantzova, G. Мardirossian, B. Ranguelov. Remote sensing technologies and instruments used in risk management of natural hazards. Proceedings of the Fifteenth International Scientific and Applied Science Conference ET’ 2006, TU-Sofia, Sozopol, September 20-22, 2006, Book 4. рр

3. A. Frantzova, G.Mardirossian, B.Ranguelov. Risk management of floods in Bulgaria using aerospace data. Proceedings of the The First International Symposium on Geo-information for Disaster Management, Delft, Netherlands, March 21-23, 2005.

4. B. Ranguelov, Petrova B., Hristov E., Georgiev A., Spassov E., 2006, Early warning systems for some natural hazards and their effectiveness., In Proc. “Universitaria SIMPRO’2006”, Petrosani, 13-14 October, p. 3-8.

5. Envisat Product Handbooks. Available from http://envisat.esa.int/dataproducts/ 6. G. Mardirossian, Natural ecocatastrophes and aerospace techniques and instrumentation for

their study, Academic Publishing House, Sofia, 2000, 386 p, 7. K. Smith. Environmental Hazards: Assessing Risk and Reducing Disaster.(Routledge Physical

Environment Series).Routledge, 2001, pp.388 8. NASA current missions: http://www.nasa.gov/ 9. N. Short. The Remote sensing Tutorial. Available from: http://rst.gsfc.nasa.gov/ 10. Resources of Earth observation. Available from http://directory.eoportal.org/about.html 11. S.Walter, D. Sandwell. Conventional Bathymetry, Bathymetry from Space, and Geodetic

Altimetry. Oceanography, Volume 17, Number 1/2004. Available from: www.tos.org/ oceanography/issues/ issue_archive/ issue_pdfs/17_1/17_1_Smith_et_al.pdf

12.WMO. Comprehensive risk assessment for natural hazards WMO/ TD No.955, 1995, Geneva.

1Институт за космически изследвания при БАН, София 1113, ул.“Акад. Г. Бончев” бл. 3 2Геофизичен институт при БАН, София 1113, ул. “Акад. Г. Бончев” бл. 3 e-mail: [email protected]

- 106 -


- 107 -

©Journal of the Technical University at Plovdiv “Fundamental Sciences and Applications”, Vol. 13(10), 2006 Anniversary Scientific Conference’ 2006 BULGARIA OPTIMIZATION OF CARBON SOURCE IN THE NUTRIENT

MEDIUM FOR XYLANASE BIOSYNTHESIS BY ASPERGILLUS NIGER B03

GEORGI DOBREV1, IVAN PISHTYSKI1, BORIANA ZHEKOVA1,

VESELIN STANCHEV2

Abstract. The effect of corn cobs and wheat bran concentrations in the nutrient medium for xylanase biosynthesis from Aspergillus niger B03 was investigated. The optimization of the carbon source was performed using central composite design. A regression model, describing the effect of corn cobs and wheat bran concentrations on xylanase activity, was developed. Using the mathematical model the optimal concentrations of corn cobs and wheat bran ensuring maximization of the investigated function were determined. The composition of the optimized nutrient medium for xylanase biosynthesis was (g/l): corn cobs 26.8, wheat bran 17.4, malt sprout 6.0, (NH4)2HPO4 2.6, urea 0.9. It was established that corn cobs and wheat bran had strong interaction effect on xylanase biosynthesis. Key words: optimization, corn cobs, whet bran, central composite design

ОПТИМИЗАЦИЯ НА КОНЦЕНТРАЦИЯТА НА ВЪГЛЕРОДНИЯ ИЗТОЧНИК В ХРАНИТЕЛНА СРЕДА ЗА ПОЛУЧАВАНЕ НА

КСИЛАНАЗА ОТ ASPERGILLUS NIGER B03 1. Въведение

Ежегодно в страните членки на европейския съюз отпадат около 7 млн. тона отпадъци от зърнопреработвателната промишленост, основна част от които са царевични какалашки, пшенични и оризови трици, пшенична слама и др. Те са богати на пентозани основна част, от които e ксилан [1].

Ксиланът е един от основните компоненти, които изграждат растителната клетъчна стена и съставлява 20-30 % от сухата маса на растенията [2,3].

Ксиланазата (ЕС 3.2.1.8) е ензим с ендо действие, който катализира хидролизата на β-1,4 гликозидните връзки между ксилопиранозните единици във вътрешността на ксилановата молекула. Тя играе ключова роля при ензимната хидролиза на ксилана до ксилоолигозахариди [2,3,4,5]. При повечето от изследваните ксиланази, крайният продукт на ензимната хидролиза е ксилотриозата [6].

Обработката на растителните материали с ксиланаза променя някои физикохимични характеристики на ксилана, което решава важни технологични проблеми или подобрява качеството на крайните продукти в различни области на хранително-вкусовата промишленост. Възможностите за приложение на ксиланазата в

- 108 -

хлебопроизводството, сокопроизводството, пиво и вино производството правят ксиланазата един от индустриално получаваните ензими [2,3,4,5,7].

Основните промишлени продуценти на ксиланаза са плесенните гъби от род Aspergillus и Trichoderma както и бактериите от род Bacillus. Ксиланазата е извънклетъчен, индуцируем ензим. Ролята на индуктор изпълнява ксиланът, който е и субстрат за действието на ензима [2,3,8,9]. Включването на растителни отпадъци, богати на ксилан в хранителните среди за микробно получаване на ксиланаза е една от стратегиите при биосинтеза на ксиланаза. Ниската цена и достъпността на тези отпадъци, както и високото съдържание на ксилан ги прави предпочитан въглероден източник. Установено е силното влияние на вида и количеството на въглеродния източник върху биосинтеза на ксиланаза [8,9,10,11]. Определянето на оптималните концентрации на въглеродните източници в състава на хранителната среда осигурява максимална биосинтеза на ксиланаза.

Широко приложение при оптимизацията на състава на хранителните среди в биотехнологичните процеси намират методите на математическото планиране и моделиране. Извеждат се математически модели, които описват зависимостта на целевата функция (ксиланазната активност) от входните независими променливи (концентрацията на компонентите на хранителната среда). С получените математически зависимости могат да се определят оптималните стойности на входните променливи, които осигуряват максимум на целевата функция [11,12,13,14].

Целта в настоящия доклад е да се определят оптималните концентрации на царевичните какалашки и пшеничните трици, с които се постига максимална биосинтеза на ксиланаза от Aspergillus niger B03.

2. Материали и методи Поддържане на продуцента: Изследванията са извършени с продуцент Aspergillus

niger B 03. Поддържането и спорулирането на щама се осъществява на твърда хранителна среда със състав (g/dm3) : глюкоза 4.0, дрождев екстракт 4.0, малцов екстракт 10.0, агар 20.0; Коригира се рН до 6.20-6.40 и се стерилизира при 121 °С за 30 min. Посетите епруветки с наклонен агар се инкубират при 29 °С за 7 дни. Съхраняват се при 4 °С за 3-4 месеца.

Получаване на вегетативен посевен материал: Използва се хранителна среда описана от Давидов и Атев [8]. Култивирането се извършва в колби от 500 cm3, в които се поставя 100 cm3 хранителна среда. Посяват се с 2.5 cm3 спорова суспензия, съдържаща 3.107-3.108 спори/cm3. Посетите проби се култивират при 28 °С на клатачка при 180 min-1 за 22 h.

Биосинтеза на ксиланаза: Осъществява се в колби от 500 cm3, в които се поставя по 50 cm3 от контролната хранителна среда със състав (g/dm3): царевични какалашки 20.0, пшеничени трици 10.0, малцови коренчета 6.0, (NH4)2HPO4 2.6 и карбамид 0.9. Коригира се рН до 6.70-6.80 и се стерилизират при 121 °С за 30 min. Колбите се посяват с 10 % вегетативен посевен материал и се култивират при 28 °C на клатачка при 180 min-1 за 64 h.

Ксиланазна активност: Определя се по метода на Bailey [15]. Една единица ксиланазна активност се дефинира, като количеството ензим под действие, на което се получава 1 µmol ксилоза за 1 min при рН 5.0 и температура 50 °С. Субстрат за действие на ензима е 1 % разтвор на овесен ксилан в ацетатен буфер с рН 5.0.

Централен композиционен план: В областта на екстремума има изразена нелинейност, която не може да се опише с линейни модели от първи ред. За това е


- 109 -

използван централен композиционен план, с които се извеждат математически модели със следния общ вид:

∑ ∑ ∑∑= =

−

= +=

+++=k

i

k

i

k

i

k

ijjiijiiiii xxxxY

1 1

1

1 1

20 .... ββββ

(1) Полиномните модели от втори ред са едни от най-често използваните в практиката.

Те позволяват да се описва изследваното явление в сравнително широка област на изменение на входните променливи [12]. Статистическата обработка на резултатите е извършена с помощта на програма ANOVA на Microsoft Excel, а оптимизационната процедура с програма EUREKA.

Независимите променливи и техните стойности, които са обект на това изследване са представени в табл. 1.

Таблица 1. Стойности и кодирани нива на независимите променливи

Независими променливи Кодирани нива g/l -1 0 1

X1-царевични какалашки 26 40 54 X2- пшенични трици 9 15 21

Кодирането на независимите променливи се извършва по формула (2).

iX =i

ioi

XXX

∆− )( (2)

iX - стойност на i -фактор

0iX - стойност на i -фактор в центъра на плана

iX∆ - стъпката на вариране на i -фактор

3. Резултати Централният композиционен план (CCD) 22 е представен в табл. 2. С Y са

отбелязани експериментално получените стойности на ксиланазната активност, а с Ŷ изчислените с помощта на изведения регресионен модел.

Таблица 2. Централен композиционен план 22

Променливи Ксиланазна активност , (U/cm3) Номер на експеримента 1x 2x Y Ŷ 1 -1 -1 912.18 911.42 2 1 -1 909.39 925.87 3 -1 1 825.87 807.64 4 1 1 1030.65 1029.66 5 -1.414 0 790.48 803.55 6 1.414 0 982.05 970.73 7 0 -1.414 945.68 950.23 8 0 1.414 953.03 950.23 9 0 0 1041.21 1050.60 10 0 0 1065.38 1050.60 11 0 0 1038.26 1050.60 12 0 0 1047.32 1050.60

- 110 -

13 0 0 1060.81 1050.60 След провеждане на опитите по матрицата на плана (табл. 2), са изчислени

регресионните коефициенти, които са представени в табл. 3.

Таблица 3. Регресионни коефициенти получени от проведения 22 CCD Коефициенти в регресионното уравнение

Стойност на коефициента

T-stat P-value

b0 1050.60 175.803 0.000 b1 59.12 12.512 0.048.10-3 b2 5.67 1.200 0.269 b12 51.89 7.767 0.011.10-2

b11 -81.75 -16.133 0.855.10-6 b22 - 50.20 -9.906 0.228.10-4

Стойността на P-value се използва за анализ на значимостта на регресионните

коефициенти. Коефициенти, за които P-value<0.05 са значими при ниво на доверие α = 0.05. Незначимите коефициенти (P-value>0.05) не се включват в уравнението на регресия [14]. Окончателният вид на математическия модел е:

Ŷ = 1050.60 +59.12. 1x + 51.89. 1x . 2x - 81.75. 21x - 50.20. 2

2x (3) Резултатите от анализа за адекватност на уравнение (3) са представени в табл.4.

Таблица 4. Анализ на регресионния модел с програма ANOVA df SS MS *Significance F Регресионно уравнение 5 96518.67 19303.73 1.81.10-6 Остатък 7 1249.94 178.56 Общо 12 97768.61

Коефициент на корелация R2 = 0.98; df, степени на свобода; SS, сума на квадратите; MS, средна сума на квадратите;*Значимост при ниво на доверие = 99% (Significance F<0.01)

Максимална ксиланазна активност Ŷmax = 1063.21 U/cm3 се получава при следните

оптимални стойности на изследваните фактори 1x = 0.47 и 2x = 0.28. Регресионният анализ (табл. 3) показва, че коефициентът пред 2x е статистически

незначим (P-value=0.269). Следователно концентрацията на пшеничните трици в изследвания интервал, самостоятелно не влияе съществено върху биосинтеза на ксиланаза.

От друга страна регресионният коефициент пред 1x . 2x (P-value=0.011.10-2) показва силно изразеното съвместно влияние на концентрациите на царевичните какалашки и пшеничните трици върху биосинтеза на ксиланаза. Въпреки, че царевичните какалашки и пшеничените трици се разглеждат като източник на въглерод и индуктор не може съдържанието на единия компонент да се компенсира за сметка на другия. Количественото съотношение на двата въглеродни източника в състава на хранителната среда е определящо за получаването на максимална ксиланазна активност.

Влиянието на концентрацията на царевичните какалашки и пшеничните трици върху биосинтеза на ксиланаза е представено на Фиг. 1.


- 111 -

Фиг. 1. Влияние на концентрацията на царевичните какалашки и

пшеничните трици върху биосинтеза на ксиланаза

След декодиране на стойностите за 1x и 2x се получава хранителна среда със следния състав (g/dm3): царевични какалашки 46.6, пшеничени трици 16.7, малцови корени 6.0, (NH4)2HPO4 2.6, карбамид 0.9. С оптимизираната хранителна среда, от пет наблюдения в областта на екстремума са получени следните резултати: Yопт.1 = 1072.54 U/cm3, Yопт.2 = 1053.64 U/cm3, Yопт.3 = 1060.89 U/cm3, Yопт.4 = 1048.61 U/cm3, Yопт.5 = 1054.73 U/cm3. Статистическата проверка за равенство на математическото очакване на Yопт.i (i = 1-5) с Ŷmax се потвърждава при ниво на доверие α = 0.05 и ν = 4 (t-критерий на Стюдънт).


Определянето на оптималните концентрации на царевичните какалашки и пшенични трици води до икономия на суровини и материали и повишаване на добива на ксиланаза. В резултат на проведеното изследване е получена оптимизирана хранителна среда със следния състав (g/dm3): царевични какалашки 46.6, пшеничени трици 16.7, малцови корени 6.0, (NH4)2HPO4 2.6, карбамид 0.9. Постигната е средна активност Y = 1058.08 U/cm3 от пет наблюдения в областта на екстремума..

Изследванията доказват, че количественото съотношение между царевичните какалашки и пшеничените трици е определящо за постигане на максимална биосинтеза на ксиланаза от Aspergillus niger B03. За микробните продуценти на ксиланаза е характерно биосинтеза на изоензими поради силната нееднородност на ксилана от различни източници [16]. Ксиланът, изолиран от царевични трици се характеризира със значително по-висока степен на разклоненост (Арабиноза/Ксилоза = 0.7 - 0.8) в сравнение с ксилана от пшеничните трици (Арабиноза/Ксилоза = 0.4 - 0.5) [17]. Възможно е ксиланите от различни източници да индуцират различни изоформи на ксиланазата, които да проявяват синергизъм при хидролиза на ксилан.

- 112 -


1. E. Bonnin et al. Aspergillus niger I-1472 and Pycnoporus cinnabarinus MUCL 39533, selected for the biotranformation of ferulic acid to vanilin, are also able to produce cell wall polysaccharide-degrading enzymes and feruloyl esterases, Enzyme Microb. Technol., 28, 70-80, 2001.

2. N. Kulkarni et al. Molecular and biotechnological aspects of xylanases, FEMS Microb. Letters 23, 411-456, 1999.

3. S. Subramanyan and P. Prema. Biotechnology of microbial xylanases: Enzymology, molecular biology and application. Critical Reviews in Biotechnology, 22, 33-64, 2002.

4. T. Colins et al. Xylanases, xylanase families and extremophilic xylanases, FEMS Microbiology Letters, 29, 3-23, 2005

5. M. Coughlan and G. Hazlewood. β-1,4-D-xylan-degrading enzyme systems: biochemistry, molecular biology and applications. Biotechnol. Appl. Biochem.,17, 259-289, 1993.

6. S. Ryan et al. Purification and characterization of a new low molecular weight endoxylanase from Penicillium capsulatum, Enzyme and Microbial Technology 33, 775-785, 2003.

7. L. Yin et al. Studies on water-extractable arabinoxylans during malting and brewing, Food Chemistry 93, 33-38, 2005.

8. E. Давидов и А. Атев. Способ получения ферментого препарата и ферментньй препарат, Patent number Ru 2057179 C1, 1996.

9. Д, Маринова, А. Атев, Дж. Полизоев Метод за получаване на ензимен препарат с водеща ксиланазна активност, Patent number BG51306 A.

10. P. Gawande and M. Kamat. Production of Aspergillus xylanase by lignocellulosic waste fermentation and its application, J. of Appl. Microb., 87, 511-519, 1999.

11. S. Park et al. Xylanase production in solid state fermentation by Aspergillus niger mutant using statistical experimental design, Appl. Microbiol. Biotechnol., 58, 761, 2002.

12. E. Божанов, И. Вучков. Статистически методи за моделиране и оптимизиране на многофакторни обекти, Техника, София, 1973, 161-189.

13. D. Bocchini et al. Optimization of xylanase production by Bacillus circulans D1 in submerged fermentation using reponse surface methodology. Process Biochemistry 38, 727-731, 2002.

14. J. Heck et al. Optimization of cellulose-free xylanase activity produced by Bacillus coagulans BL69 in solid-state cultivation, Process Biochem., 40, 107-112, 2005

15. M. Bailey et al. Interlaboratory testing of methods for assay of xylanase activity, J. of Biotechnol., 23, 257-270, 1992.

16. K. Wong et al. Multiplicity of 3-1,4-xylanase in microorganisms: functions and applications, Microbiological Reviews 52, 305-317, 1988.

17. B. Saha. Hemicellulose bioconversion, J. Ind. Microbiol. and Biotechnol., 30, 279, 2003. 1 Department of Biochemistry and molecular biology

University of Food Technologies 26, Maritza Blvd., 4002 Plovdiv, BULGARIA e-mail: [email protected]

2 Department of automatics, information and control systems University of Food Technologies,26, Maritza Blvd., 4002 Plovdiv, BULGARIA


- 113 -


INVESTIGATION ON CYCLODEXTRIN GLUCANOTRANSFERASE COUPLING ACTIVITY

BORIANA ZHEKOVA1, IVAN PISHTIYSKI1, VESELIN STANCHEV2

Abstract. The ability of cyclodextrin glucanotransferase to degrade cyclodextrins in the absence and in the presence of acceptor molecules was investigated. Greater degree of conversion was achieved in the presence of an acceptor. The effect of polymerization degree of the acceptor molecules was studied. The kinetic parameters of the coupling reaction out and in the presence of glucose and maltose were determined. Key words: coupling activity, cyclodextrins, cyclodextrin glucanotransferase, kinetics.

ИЗСЛЕДВАНЕ НА ДЕЦИКЛИЗИРАЩАТА АКТИВНОСТ НА ЦИКЛОДЕКСТРИН ГЛЮКАНОТРАНСФЕРАЗА


Циклодекстрин глюканотрансферазата (ЦГТаза, ЕС 2.4.1.19) е трансгликозилиращ ензим, който проявява четири различни активности [1]:

• Циклизираща - чрез реакция на вътрешномолекулно трансгликозилиране на нишесте и сродни α-1,4-глюкани се образуват циклични нередуциращи олигозахариди, изградени от 6, 7 или 8 α-1,4-свързани глюкозни остатъка, означавани съответно като α-, β- и γ-циклодекстрини (ЦД);

• Диспропорционираща – междумолекулно трансгликозилиране на линейни малтоолигозахариди;

• Дециклизираща – междумолекулно трансгликозилиране между ЦД (донор) и линейни малтоолигозахариди (акцептор), в резултат на което цикличната молекула се разгражда и се образуват малтоолигозахариди с различна степен на полимеризация;

• Хидролитична. Основно приложение на ЦГТазата е получаването на ЦД от нишесте, основаващо

се на циклизиращата активност на ензима. В този случай особено нежелано е едновременното разграждане на ЦД в резултат на дециклизиращата активност на ензима. Много автори установяват намаление на добива на ЦД в късния етап на ензимната реакция, дължащо се на разграждането им [2,3,4]. Преодоляването на този проблем е възможно чрез провеждане на процеса при условия, ограничаващи дециклизирането, тъй като преобладаването на едната от двете конкурентни активности на ензима зависи от

- 114 -

свойствата на ЦГТазата и реакционните условия. Целта на настоящата работа е да се изследва дециклизиращата активност на

ЦГТазата от Bacillus megaterium и да се определят кинетичните константи на реакцията. 2. Материали и методи Субстрати β-ЦД (Fluka), глюкоза (Merck), малтоза (Fluka), малтотриоза (Fluka) Ензим Непречистен ензимен концентрат на ЦГTаза от B. megatereium с активност

2.54 Е/cm3. Култивирането на щама и биосинтезът на ензима са описани в [5]. Дециклизираща реакция Приготвят се такива разтвори на субстратите във фосфатен буфер с pH 7.0, че след

добавяне на 2.6 Е ЦГТаза, концентрацията им да достигне желаната стойност. Ензимната реакция се провежда при 45˚С, с разклащане на възвратно-постъпателна клатачка за 30 h. ЦГТазата се инактивира чрез 10-минутно кипене на водна баня. Определя се съдържанието на β-ЦД и глюкоза в реакционната смес.

Кинетично изследване Кинетиката на разграждане на β-ЦД е изследвана при вариране концентрацията на

β-ЦД от 3.3 до 10.6 mM, а на глюкоза и малтоза – от 10.0 до 50.0 mM. Продължителността на ензимната реакция е 30 min. Скоростта е дефинирана като:

dtdSv −= (1)

където: v– скорост на ензимната реакция [mM/min] S – концентрация на β-ЦД [mM] t – реакционно време [min] За определяне на кинетичните константи на разграждането на β-ЦД без наличие на

акцептор е използвано уравнението на Михаелис–Ментен за едносубстратни реакции:

SK

SVvm +

=. (2)

където: V– максимална скорост на ензимната реакция [mM/min] Km– константа на Михаелис – Ментен [mM] Кинетичните константи в присъствие на акцептор са определени чрез уравнение,

описващо кинетиката на двусубстратни реакции, протичащи с образуване на троен комплекс:

BABKAKKK

BAVv Am

Bm

Bm

Am ....

..* +++

= (3)

където: A – концентрация на β-ЦД [mM] B – концентрация на акцептор [mM]

Bm

Am KK , - константи на Михаелис–Ментен в отсъствие на втори субстрат [mM]

**, Bm

Am KK -константи на Михаелис–Ментен в присъствие на втори субстрат[mM]

*BmK не е включена в (3), а е пресмятана чрез релация (4) [6]:

K

K

K

KB

m

Am

B

m

Am

*

*

= (4)

Кинетичните константи са определяни по методиката, предложена от Лайнуевър и


- 115 -

Бърк [7,8]. Конкретните им стойности за модел (2) и (3) са получени чрез решаване на серия от оптимизационни задачи, удовлетворяващи критерий от вида:

min)( 2

1

→−=∑=

n

iмоделопит ii

vvJ (5)

Изчислителните процедури са реализирани в програмната среда на EUREKA. Графичното оформление е изпълнено с помощта на EXCEL (MS Office).

Аналитични методи ЦГТазната активност и съдържанието на β-ЦД са определени по метода на Кестнер

[9] с модификация [5], а съдържанието на глюкоза – по ензимния метод с глюкозооксидаза/пероксидаза/К4Fe(CN)6 [10].

Тънкослойната хроматография (TLC) е проведена върху силикагелна плака (Merck 20x20cm). На стартовата линия се нанасят по 5 µl от разтвора на стандартите (с концентрация 1 mg/ml всеки) и от реакционната смес. Подвижната фаза е съставена от пропанол, етилацетат и вода в отношение 7:1:2. Хроматограмата се развива еднократно до достигане на фронта на 15 cm от стартовата линия и се суши на въздух в хоризонтално положение. Проявяването се извършва чрез напръскване със смес от 0.5 g карбазол, 5.0 cm3 к.H2SO4 и 95.0 cm3 96 %-ен етанол и нагряване за 10 min при 120°C. Въглехидратите се проявяват като виолетови петна на син фон. 3. Резултати Изследвана е способността на ЦГТазата от B. megaterium да проявява хидролитична активност спрямо β-ЦД при три различни концентрации на субстрат (фиг. 1).

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20 25 30 35Продължителност [h]

-ЦД

[mg/

cm3 ]

10 mg/ml20 mg/ml30 mg/ml

Фиг. 1. Разграждане на β-ЦД без присъствие на акцептор.

От резултатите се вижда, че дециклизацията се характеризира с много ниска

начална скорост. При продължителност 2 h и концентрация на субстрат 10 mg/cm3 ЦГТазата разгражда около 20 % от β-ЦД, а при 20 mg/cm3 – само около 7 %. Този факт е още по-ясно изразен при начална концентрация на субстрат 30 mg/cm3. В този случай не се наблюдава намаление в съдържанието на β-ЦД след 2 h ензимно действие. Въпреки ниската начална скорост, концентрацията на ЦД значително намалява в по-късния етап на реакцията. При ниската концентрация на субстрат ЦГТазата разгражда почти цялото налично количество β-ЦД за 30 h. Съществено дециклизиране се наблюдава и при високите изходни концентрации.

Този характер на протичане на процеса предполага ниска хидролитична и

- 116 -

преобладаваща трансферазна активност на ЦГТазата спрямо β-ЦД. Вероятно в резултат на хидролиза на β-ЦД в началото на реакцията, се натрупват линейни малтоолигозахариди. Те служат като акцептори в дециклизиращата реакция и улесняват разграждането на β-ЦД от ЦГТазата.

Изследвано е разграждането на β-ЦД в присъствие на акцептори с различна степен на полимеризация - глюкоза, малтоза и малтотриоза при концентрация на акцептор 50.0 mM (фиг.2).

.

0

1

2

3

4

0 5 10 15 20 25

Продължителност [h]

-ЦД

[mg/

cm3 ]

Фиг.2. Разграждане на β-ЦД в присъствие на акцептори:

глюкоза, малтоза, ○ малтотриоза, без акцептор. В присъствие на акцептор ЦГТазата проявява по-висока активност спрямо β-ЦД.

Наличието на акцептор ускорява реакцията и води до по-висока степен на разграждане. Същевременно с това ЦГТазата проявява предпочитание към дължината на веригата на акцептора. С увеличаване на нейната дължина степента на дециклизиране намалява. При продължителност 1 h в присъствие на глюкоза ЦГТазата разгражда около 81 % от β-ЦД, а в присъствие на малтоза и малтотриоза – съответно 70 и 43 %. Този факт може да се дължи или на предпочитанието на ЦГТазата към глюкозата като акцептор или на едновременно протичаща реакция на циклизация в присъствие на малтоза и малтотриоза. Подобни резултати са установени и за други ЦГТази [11,12].

На фиг. 3 е представено участието на глюкозата в дециклизиращата реакция. Нейното намаление свидетелства, че тя е пряк субстрат в ензимната реакция.

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20 25

Продължителност [h]

Глюкоза

[mg/

cm3 ]

Фиг. 3. Изменение на глюкозата при дециклизиращата реакция.

На фиг. 4 и фиг. 5 са представени графиките на Лайнуевър-Бърк за скоростта на


- 117 -

дециклизиращата реакция без и с присъствие на акцептори.

0

40

80

120

160

-0,15 -0,05 0,05 0,15 0,25 0,35

1/ЦД [mM -1]1/

v [m

M-1

.min

]

Фиг. 4. Графика на Лайнуевър-Бърк за дециклизиращата реакция без акцептори.

В отсъствие на акцептор (фиг. 4) дециклизацията протича като едносубстратна

реакция. Увеличаването на концентрацията на субстрата води до нарастване началната скорост на ензимната реакция. Поради това за определяне на кинетичните константи е използвано уравнение (2).

А

0

10

20

30

40

-0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

1/ЦД [mM-1]

1/v

[mM

-1.m

in]

Б

0

10

20

30

40

-0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

1/ЦД [mM-1]

1/v

[mM

-1.m

in]

концентрация на акцептор 10.0 mM 20.0 mM 30.0 mM x 50.0 mM

Фиг. 5. Графики на Лайнуевър-Бърк за дециклизиращата реакция в присъствие на

акцептори: А- глюкоза; Б-малтоза.

В присъствие на акцептор (фиг.5) скоростта на реакцията зависи от концентрацията на двата субстрата. С понижаване концентрацията на акцептора отрезът и наклонът на правите нарастват. Това ни дава основание да смятаме, че реакцията протича с образуване на троен комплекс [6]. Подобни са твърденията и на други автори [13]. От резултатите, обаче, не може да се определи редът на свързване на донора и акцептора с ензимната молекула, тъй като образуването на троен комплекс по подреден или безпорядъчен механизъм е кинетично неразличимо [6,8].

Стойностите на кинетичните константи на дециклизиращата реакция, определени по (2), (3) и (4), са представени в табл. 1.

- 118 -

Таблица 1. Стойности на кинетичните константи на дециклизиращата реакция

Тип реакция V

[mM/min]

AmK

[mM]

BmK

[mM]

*AmK

[mM]

*BmK

[mM] Без акцептор 0.0277 8.89 - - - С глюкоза като акцептор 0.6697 41.46 11.09 32.09 8.58 С малтоза като акцептор 0.6897 52.54 12.19 15.67 3.63

В присъствие на акцептор дециклизиращата реакция се характеризира със

значително по-висока максимална скорост. Този резултат потвърждава по-високата трансферазна и по-ниската хидролитична активност на ЦГТазата спрямо β-ЦД.

Прави впечатление, че и при двата вида акцептори след свързване на първия субстрат (донор или акцептор), стойностите на Km намаляват – Km

* има по-ниска стойност от K m . Това предполага кооперативност между двата субстрата.

Продуктите на дециклизиращата реакция без и с акцептор са анализирани чрез TLC

(фиг. 6).

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 – стандарти (глюкоза, малтоза, малтотриоза, β-ЦД); 2 – без акцептор, 1 h; 6 – с акцептор малтоза, 1 h; 3 – без акцептор, 23 h; 7 – с акцептор малтоза, 23 h; 4 – с акцептор глюкоза, 1 h; 8 – с акцептор малтотриоза, 1 h 5 – с акцептор глюкоза, 23 h 9 – с акцептор малтотриоза, 23 h

Фиг. 6. TLC на реакционните продукти на дециклизиращата реакция (концентрация на субстрат: β-ЦД 3.3 mM, акцептор 50.0 mM).


- 119 -

В присъствие на акцептори още в началото на процеса се забелязва наличие на продукти от разграждането – глюкоза, малтоза, малтотриоза. При провеждане на процеса с β-ЦД като единствен субстрат олигозахариди се отчитат само в края на ензимната реакция. Предполагаме, че в резултат на дециклизацията се образуват и други по-високо молекулни малтоолигозахариди.


ЦГТазата от B. megaterium проявява слаба хидролитична и преобладаваща трансферазна активност спрямо β-ЦД. Висока дециклизираща активност се наблюдава при наличие на акцептор.

Степента на разграждане зависи от дължината на акцепторната молекула, като с увеличаване степента на полимеризация дециклизиращата активност на ензима намалява.

В резултат на разграждането на β-ЦД се образуват глюкоза, малтоза и малтотриоза.


1. A. Tonkova. Bacterial cyclodextrin glucanotransferase, Enzyme Microbial Technol, 22, 1998,

678-686. 2. C. Jeang, C. Wung, B. Chang, S. Yeh and D. Lour. Characterization of the Bacillus

macerans cyclodextrin glucanotransferase overexpressed in Escherichia coli, Proc Natl Sci Counc, 22, 1999, 62-68.

3. P. Mattson, Т. Korpela, S. Paavilainen and M. Mäkelä. Enhanced conversion of starch to cyclodextrins in ethanolic solutions by Bacillus circulans var. alcalophilus cyclomaltodextrin glucanotransferase, Appl Biochem Biotechnol, 30, 1991, 17-28.

4. K. Shiraishi, K. Kawakami, H. Marushima and K. Kusunoki. Effect of ethanol on formation of cyclodextrin from soluble starch by Bacillus macerans cyclodextrin glucanotransferase. Starch/Stärke, 41, 1989, 151-155.

5. V. Popova, I. Pishtiyski. Isolation of cyclodextrin glucanotransferase preparations of different purities, Eur Food Res Technol, 213, 2001, 67-71.

6. A. Cornish-Bowden. Fundamentals of enzyme kinetics, Portland Press, London, 1995. 7. Д. Колев. Ензимология, Наука и изкуство, София, 1988. 8. М. Диксон, Э.Уэбб. Ферменты, Том 1, Мир, Мoсква, 1982. 9. А. Кестнер, Р. Вокк, К. Паппель и Э. Пейпман. Опредeление активности

циклодекстрин-глюканотрансферазы, Прикл. биохимия и микробиология, XXV, 3, 1989, 425-430.

10. Н. Люцканов, Т. Иванова, И. Пищийски и А. Колева. Биохимия - ръководство за практически упражнения, Пловдив, 1994, 32-33.

11. T. Kim, B. Kim and H. Lee. Production of cyclodextrins using moderately heat-treated cornstarch, Enzyme Microbial Technol, 17, 1995, 1057-1061.

12. A. Blackwood, C. Bucke. Addition of polar organic solvents can improve the product selectivity of cyclodextrin glycosyltransferase. Solvent effects on CGTase, Enzyme Microbial Technol, 27, 2000, 704-708.

- 120 -

13. B. Van der Veen, G. Van Alebeek, J. Uitdehaag, B. Dijkstra and L. Dijkhuizen. The three transglycosylation reactions catalyzed by cyclodextrin glycosyltransferase from Bacillus circulans (strain 251) proceed via different kinetic mechanisms. Eur J Biochem, 267, 2000, 658-665.

1 Department of Biochemistry and Molecular Biology 2 Department of Automatics, Information and Control Systems University of Food Technologies - Plovdiv 26, Maritza Blvd., 4002 Plovdiv BULGARIA E-mail: [email protected]


- 121 -


APPLICATION OF ENERGY FIELDS, π TECHNOLOGIES AND POWER SUPPLY CARRIERS FOR MEDICINE, AGRICULTURE, INDUSTRY AND EVERYDAY LIFE.

PROGRAM “ANTI-VIRUS”.

PETAR GYOSHEV

Abstract. The author has tried to present in short information paper a theme, which includes a new method for virus and other human body diseases`cure as it is mentimed that this universal method is also applicable to animals, birds and plants. The author has been working on his own program “ANTI-VIRUS” since 1991. Key words: energy fields, π technologies.

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕНЕРГИЙНИТЕ ПОЛЕТА, ПИ ( )π ТЕХНОЛОГИИТЕ И ЕНЕРГОНОСИТЕЛИТЕ В МЕДИЦИНАТА, СЕЛСКОТО

СТОПАНСТВО, ПРОМИШЛЕНОСТТА И БИТОВОТО ЕЖЕДНЕВИЕ. ПРОГРАМА “АНТИВИРУС”.

С този кратък информационен доклад, авторът желае да сподели със специалистите и обществеността за един нов и малко известен, универсален метод, който би могъл да намери широко приложение в медицината, селското стопанство, промишлеността и нашето ежедневие.

По този метод, авторът работи от 1991 година. Съставена бе една програма наречена от автора – “АНТИВИРУС”. По тази протрама следваше да се направят колкото се може повече опити, изследвания и съответно направени изводи. Същността на програмата се свеждаше до борбата с вирусните заболявания в човешкия организъм, при животните, птиците и разстенията. Трябаше да се установи ефективността на метода и дали той е съпроводен с някакви странични явления и вредни последствия.

В какво се състой самия метод: чрез съвременната и все още неизяснена ПИ ( )π технология, която се обосновава на електронния строеж на веществата, се зарежда енергоносител с (+) или (-) заряд. Обикновено за енергоносител се използва обикновена вода, коята преди зареждането претърпява някои допълнителни обработки за да се получат необходимите параметри.

- 122 -

22π ,π е пореден номер на орбитата по която се движат електроните.

Фиг. 1. Схема на образуване на Фиг. 2. Геометрия и размери на молекулата на водата. молекулата на водата.

Фиг. 3. Електронните облаци в Фиг. 4. Електрическите полюси в молекулата на водата. молекулата на водата.

Фиг. 5. ПИ ( )π технологии-начин за зареждане с (+) или (-) енергия на енергоносителя.


- 123 -

След обработване и зареждане с (+) или (-) енергия на енергоносителя- т.е. въпросната вода, то тя придобива коренно различни свойства и качества, които нямат нищо общо с неутралната вода. Тук ще кажем, че при съединяване на две равни части (+) и (-) заредена вода, то тя пак си възстановява неутралния вид и се превръща в предишната вода.

За сега няма една единствена и точна теория, но има някои обяснения за това явление. Какво е ПИ ( )π технологията- това е технология, занимаваща се със зареждане на течности, съдържащи вода или самата вода. Технологията действува на електронно ниво и в междумолекулното пространство, като го зарежда с (+) положителен или (-) отрицателен заряд. За тези заряди се съди по параметъра pH, който изразява концентрацията на водородните йони в химически чиста вода и представлява отрицателния логаритъм от стойността на CH+; т.е. pH= -lgCH+, респективно за хидроокисните йони pOH за който важи формулата pOH= -lgCоH-. За химически чистата вода при температура 25 0С получаваме:

pH = -lg1.10 7− = 7 и pОH = -lg1.10 7− = 7 т.е. pH + pOH = 7+7 = 14 водородни хидроокисни йони йони

или pH = 14 – за чистата вода при 25 0С. Освен това е известно, че между температурата и специфичната проводимост има определена зависимост, а именно: при увеличаване на температурата pH се намалява а при намаляване на температурата pH се увеличава.

Какво се получава, когато през обикновена вода с pH=14 и при определени условия се пропусне определен по вид ел. ток. С увеличаване на времето и на тока се увеличава pH, което според вида на заряда достига: 1/при (+) заряд до 1pH; 2/при (-) заряд до 11pH.

Така заредените с (+) или (-) заряд води вече притежават изключително високо (силно) ниво, което действува лечебно върху болни места на човешкия организъм (съответно на животни, птици и растения). Така получените води заредени с (+) или (-) енергия, автора ги обозначава с А )(+ или А )(− (от наименованието на латински AKVA) или В )(+ съответно В )(− на български. Например А )(+ ( В )(+ ) – вода, заредена с (+) положителна енергия. Така е и за А )(− (В )(− ).

Всичко гореказано за водата важи за структурата с формула Н162 О. Тази формула е

предложена през 1842 година от Дюма, който открива, че отношението на масата на водорода към масата на кислорода във водата е 2:16.

Освен това с откриването на изотопите на кислорода и на изотопите на водорода (1932 година), се налага извода, че водата е съставена не само от едно химично съединение, а като смес от няколко химични съединения на изотопите на кислорода и водорода. Известно е, че съществуват три изотопа на водорода (протий 1Н(Н); деутерий 2 Н(D) и тритий 3Н(Т)) и осем изотопа на кислорода ( 13О; 14О; 15О; 16О; 17О; 18О; 19О; 20О). От тях относително стабилни са 16О, 17О и 18О.

От комбинацията между горе изброените изотопи на водорода и кислорода, могат да се образуват 48 изотопни разновидности на водата, от които 39 са нестабилни, а 9 са стабилни химични съединения. Това са постоянно влизащи в състава на природните води, изотопни разновидности на водата. Относителният дял на тези изотопни разновидности в природните води е различен и се намира в границите между 0,03%-0,04% до 0,20%, като останалите проценти или основния дял се пада на изотопната разновидност Н 16

2 О. Тази вода е прието да се означава с формулата Н 2 О. Това означава, че чистата вода не е съвсем

- 124 -

чиста и може да се разглежда като една дисперсна система. Към горните особености, прибавяме и факта, че досега предложените хипотези за

структурата на водата са много и не дават ясна представа дали водата има еднородна или разнородна структура. Освен това специфичните свойства на водата се определят от междумолекулните взаимодействия, които се изразяват в съществуването на специфични междумолекулни водородни връзки. Тази връзка се осъществява между атома на водорода от дадена молекула и електроотрицателни атоми на кислорода. Към горното като прибавим и самодисоциацията на водата, при което се получава деформиране на електронните облаци, вследствие влиянието на протоните. Това води до поляризиране на някои молекули, като към страната на протона те стават по-отрицателни, а към противоположната страна по-положителни. Тези хидратирани протони са в постоянна динамика на образуване и разпадане. Природата им обаче все още не е изяснена.

Всичко казано до тук за “обикновената” вода е, че всъщност тя не е съвсем обикновена. Затова и ПИ ( )π технологиите, които се използват за зареждане на тази вода също не са изяснени, но тяхното приложение води до съвсем неочаквани резултати от действието на заредените енергоносители върху организмите и растенията.

Приложение на активнозаредените с (+) или (-) заряд енергоносители в медицината.

До сега, в продължение на 15 години (от 1991 година, когато за пръв път бе проведен експеримент при клинични условия за оздравяване на открита и труднозарастваща рана при възрастен и диабетично болен пациент) са извършени много опити предимно външно на човека като при изгаряния, охлузвания, дълбоки разкъсни рани и други подобни, при възпаление и раздразнение в очите, при лечение на конюктивит, при лечение на гнойни пъпки по лицето, при кожни раздразнения и възпаления, при псориазис, при възпаление на гърлото и носната кухина, при грипни възпаления, при разстройство или запек, при стомашночревни проблеми, при гастрити и язви и много още други възпалителни процеси предизвикани от вируси, при силни изгаряния. От наблюденията се вижда, че има само положителен ефект, без никакви странични въздействия или вредности. За отбелязване е, че раните зарастват без видими следи от изгарянето, разрезите или шевовете. Кожата се изчиства от петна, става по-свежа. Косата става мека. Забавя се процесът на побеляване. Косъмът се заздравява, спира окапването. Това е при външна употреба. При вътрешна употреба чрез пиене, активираната вода действува освежаващо, укрепително, поглъща газовете в стомаха и чревния тракт и пр. При гастрити и язви действува много добре, като заздравява и възстановява изтънелите тъкани. Ликвидира киселините в стомаха.

Лечението не трябва да се прилага съвместно и едновременно с лекарствени препарати за пиене или мазане, тъй като силно активираната вода неутрализира тези лекарства. Когато се прилагат съвместни, комбинирани методи, то първо трябва да се приложи метода с активираната вода и то при разлика не по-малка от половин час, като първо се употребява активираната вода, коята за около 15-20 минути си отдава енергията.

Принцип на действие: ако се върнем в миналото на китайската медицина ще намерим обяснение за двата енергийни потока “ИН” и “ЯН”, които денонощно циркулират в човешкото тяло, като през различните часове на денонощието те се намират в определени зони на организма. Когато тези два потока се намират в равновесие и са балансирани, то казваме, че тялото е абсолютно здраво. Това означава, че биохимичните процеси и биоенергиите в тялото са в пълно равновесие.

Какво става, когато някой орган се разболее? Според китайската медицина при поява на болно място в тялото на човека се получава нарушаване на баланса между двата


- 125 -

енергийни потока “ИН” и “ЯН”. В мястото на заболяване се нарушава енергийния баланс и се променя биополето на съответния болен орган. Съгласно китайската медицина, чрез прилагане на акупунктура (иглоубождане) в определени енергийни точки, които са свързани с болния орган, то този орган получава необходимата допълнителна енергия и оздравява. Ако не помогне иглоубождането, то се прибягва до лечение чрез съвременната медицина- с лекарствени препарати или билкови лекарства. Тук също чрез лекарствените препарати се внася определена енергия, с която се зареждат още при производството им в заводите. После тази енергия се отдава в организма и чрез кръвоносната система достига до болното място. Тук обаче трябва да се каже, че много от лекарствените препарати, особено силните имат и странични ефекти, които понякога са и вредни в известна степен. Това е негативната страна на лечението с лекарства.

Как стоят нещата, ако вместо лекарства и билки, използваме известната енергийно заредена вода. При вкарване в организма, тя по най-кратък път стига до болното място, отдава енергията си и се превръща пак в обикновенна вода. Напълно безвреден процес. Имаме само обмен на енергия и понеже енергоносителят съдържа голямо количество енергия и със сравнително високо ниво, то времето за лечение по този метод се съкращава многократно. Това е действието на въпросния нов универсален метод. Като общи изводи, които се налагат може да се каже следното:

- напълно безвреден метод; - няма странични въздействия; - ако не помогне, със сигурност не вреди; - универсален е и е приложим както при човека, така и при животните, птиците и разстенията; - изключително положително въздействие върху имунната система на организма. Засилва я много, вследствие на което тя се справя по-лесно с болестите и инфекциите; - при оздравяване на болното място, респективно болния орган, се възстановяват предишната форма, размери и състав на кръвната клетка, каквато е била преди; - при заздравяване на открити външни рани вследствие изгаряне, ожулвания, разкъсвания и други не остават никакви видими следи. Повърхностите се изравняват и стават чисто гладки, като че ли не е имало нараняване на това място; - енергоносителят, зареден с (+) или (-) енергия в случая се явява идеалния и чист донор за имунната система на всеки жив организъм. И то много мощен донор, чието енергийно ниво може да се контролира и дозира според заболяването; - този метод е много евтин, лесноприложим даже и при домашна обстановка. Обучението на кадри става за няколко часа. Не се изисква голям професионализъм; Ръководейки се от горните изводи, които са направени на база многогодишни

експерименти и наблюдения лично от автора на този доклад, то авторът си е поставил за крайна цел новият и универсален метод да може да се приложи успешно и при лечението на много тежките за сега и неизлечими болести като вируса на СПИН (HIV-вирус), птичия грип, тежките форми на туберколоза и хепатит и приложението на метода при грипни епидемии. Авторът предполага и допуска, че във всички случаи ще има поне подобрение, ако няма излекуване. Сигурно е, че вреда няма да има.

След като разгледахме подробно новия метод и неговото приложение в

- 126 -

медицината, следва да споменем с няколко думи и за приложението му в селското стопанство, промишлеността и битовото ежедневие. В селското стопанство ако птиците и животните пият от енергийнозаредената вода и то още от малки- след излюпването, то те израстват по-бързо, стават по-здрави и почти няма смъртност сред тях. Имунната им система става много силна и успява да се прибори с евентуално попаднали вируси. Рахит не се проявява. Прирастът е с около 30-40% по-голям, отколкото при другите им връстници, хранени и поени по традиционния начин. Ефектът е още по-голям ако и към хранителните смески се добави енергийно заредена вода.

При разстенията е същото. Те много по-бързо се развиват, израстват и не боледуват ако още от началото започнат да се поливат с такава вода. Тук добивът също нараства с около 25-35% спрямо останалите, които не се поливат с енергийно заредена вода. Това се отнася и за цветята.

Приложение на метода в промишлеността. Тук той може да намери най- широко

приложение при обработка предимно на течни храни, които съдържат вода в по-

големия си обем, например всички видове пюрета, детски храни, компоти, сокове и

др. Ефектът е много добър. Постига се висока стерилност, всякакви болестотворни

организми се унищожават. Това води до значително увеличаване на срока на

годност и до увеличаване на съпротивителните сили на организма, т.е. действува

положително върху имунната система. Това е особено важно за детските храни, тъй

като води до намаляване на заболяваемостта сред децата.

Друго приложение метода може да намери при обработка на отпадъчни материали от хранително-вкусовата промишленост, където вместо да бъдат изхрърляни хранителни отпадъци съдържащи голямо количество витамини, могат да се използват като храна за животни и птици, след като обаче бъдат обработени по новия метод- този на ПИ технологиите, чрез който се убиват само микроорганизмите, а се запазват микроелементите. За пример може да се посочи отпадъчния продукт от производството на спирт и спиртни продукти. За сега отпадъчния продукт, който се нарича ШЛЕМПА се изхвърля, тъй като бързо се вкисва. Затова спиртните фабрики плащат екологични глоби. Същата ШЛЕМПА представлява продукт много богат на витамини и химически елементи, които са много важни за живите организми, за животните, птиците и дори за растенията, ако се обработят по ПИ технологиите. Микроорганизмите водещи до вкисване и разлагане на ШЛЕМПА се унищожават а микроелементите се запазват. Получава се висока стерилизация на ШЛЕМПА и тя може да се съхранява дълго време и да се използва като добавка към водата и храната на животни и птици.

Активираната вода намира приложение и в нашето ежедневие. Като начало в козметиката – за изчистване на кожата от полепи, петна, пъпки и др. Подмладяване и освежаване на кожата и тялото. Против пърхот и косопад. Против всякакви кожни проблеми. Прилага се външно чрез мазане или компреси. Против грипни епидемии- нужно е само сутрин и вечер гаргара в продължение на около 30-60 секунди и няколко


- 127 -

капки в ноздрите на носа и вероятността от разболяване се свежда до минимум. За съхранение на хранителни продукти- ако вземем парче сирене или парче прясно

месо и ги сложим поотделно в буркани с активирана вода и след това ги оставим при стайна температура на сянка (да няма пряко слънчево облъчване) то те ще запазят външния си вид и вкусовите си качества за не по-малко от 10-15 дни. За една почивка на море или балкан това е достатъчно за да имаме прясно сирене и месо. Ако се занимаваме с цветя, то тяхното поливане с активирана вода ще ги държи винаги свежозелени и те няма да боледуват, ще се развиват по-бързо от другите цветя, които не се поливат. Активираната вода може да намери приложение и на още много други места.

Макар и все още неизяснено действието на водата и активирането й по метода на ПИ технологиите, то резултатите получени на практика и изследването им доказват, че тази активирана вода притежава изключителни свойства и силно лечебно въздействие върху човешкия организъм, при животните, птиците и разстенията.

Бъдещето ще покаже дали този метод ще бъде полезен при лечението на тежки и опасни вирусни заболявания като СПИН, птичи грип, дори и при лечението на рак.

Авторът се намира пред самия финал за изпробване на метода върху кръвни проби от четирите кръвни групи: А, В, АВ и О извън човешкия организъм както върху здрава кръв, така и върху заразена. Това разбира се ще се извърши в оторизирани лаборатории имащи право и възможности за това, като се спазват всички изисквания на съответните висши инстанции на здравеопазването и съгласието на световната здравна организация (С.З.О.) и под техния строг контрол.


1. И. Добревски. Технология на водата, “ТЕХНИКА”, гр.София, 1982. 2. Ф.Г. Поротов. Електропунктурная рефлексотерапия, “ЗИНАТНЕ”, гр.Рига, 1982.


263


CHAOS BASED MODIFICATION OF RANDOM SEARCH METHOD LOCATING GLOBAL OPTIMUM OF FUNCTION

DIANA TSANKOVA, SVETLA LEKOVA

Abstract. Chaotic forcing signal, presented as a dynamic system, is introduced in the optimization algorithm of random search with back step to locate global optimum of function. Searching algorithm using chaotic forcing overcomes the potential barriers between local minima/maxima. When the magnitude of the forcing signal decays slowly, the random search with back step algorithm approaches the global optimum of the multimodal potential function. Under chaos conditions an additional stop criterion is considered. The validation of the proposed optimization algorithm is confirmed by MATLAB simulations.

БАЗИРАНА НА ХАОС МОДИФИКАЦИЯ НА МЕТОДА НА СЛУЧАЙНОТО ТЪРСЕНЕ ЗА НАМИРАНЕ НА ГЛОБАЛЕН

ОПТИМУМ НА ФУНКЦИЯ 1. Въведение

Сложните целеви функции от висок ред или от трансцендентен вид често притежават множество екстремуми. Много алгоритми са разработени за намиране на глобалния оптимум [1, 2], а сходимостта на някои от тях е математически доказана. Методите на случайното търсене са широко използвани поради своята простота, малък брой изчисления, широка област за изследване от дадена начална точка, минимални ограничения (не се изисква непрекъснатост на целевата функция) и др. Случайното търсене от множество начални точки, въпреки че е тривиален метод за намиране на глобален екстремум, не е много ефективен при голям брой управляващи параметри и сложни целеви функции с много голям брой екстремуми. Напоследък се използват и интелигентни методи за глобално търсене като генетични алгоритми [3] и имунни мрежи (клонова селекция) [4]. Въпреки това, намирането на ефективен числен алгоритъм, който да гарантира локализиране на глобален оптимум със сравнително малък брой итерации е все още открит въпрос.

За намиране на глобален минимум на функция в [5] е използвана хаотична динамична интервенция, приложена към градиентен метод. Хаотичното форсиране (с подходяща големина и затихване) причинява бифуркации в многоекстремалната потенциална функция. Така динамичната система, описваща движението към екстремума, последователно преодолява локалните енергийни бариери и се установява в най-ниското си енергетично състояние, което съответствува на глобалния минимум. В

264

[6] същият метод е приложен за глобално търсене при наличие на ограничение от типа “равенство”.

В доклада се предлага нов подход за глобална оптимизация на мултимодална целева функция, който е получен чрез модифициране на метода на случайното търсене с обратна стъпка посредством добавяне на форсиращ хаотичен сигнал в търсещия алгоритъм. Въведен е допълнителен критерий за спиране в условията на хаос. Разгледан е пример на глобално търсене по два параметъра. Сходимостта на предложения алгоритъм към глобалния екстремум е потвърдена в средата на MATLAB.

2. Хаотично форсиране на градиента Хаотичното форсиране на отрицателния градиент тук е разгледано, така както е

предложено в [5] и използвано в [6]. Разглежда се задача за намиране на глобален оптимум (минимум) *xx = на непрекъсната изпъкнала мултимодална функция )(xQ , където T

21 ),...,,( nxxx=x , 1≥n . Производните се нулират в екстремумите на функцията, т.е.

nix

Q

i

,...,2,1,0)(==

∂∂ x . (1)

Решението зависи от избора на началните условия и често съответства на локален оптимум. Ако функцията )(xQ е диференцируема по отношение на x , тогава тя намалява най-бързо при движение по посока на отрицателния градиент на )(xQ , т.е.

nixQ

dtdx

i

i ,...,2,1, =∂∂

−= . (2)

В зависимост от избора на начални условия 0)0()0( iii xxtx →== , ni ,...,2,1= равновесната точка, достигната от системата (2), ще съответства на един от минимумите на функцията (1) и някой от тях ще бъде глобалният минимум на целевата функция. Даже за относително прости задачи, често е трудно да се определят началните условия, които гарантират достигане на глобалния минимум.

Чрез хаотично форсиране на (2) се получава системата [5, 6]

nieCkxQ

dtdx tk

ii

i ,...,2,1,21 =+

∂∂

−= − , (3)

където iC е хаотичен форсиращ член, 01 >k е неговата големина, а 02 >k управлява степента на затихване на форсирането. Уравнението на Лоренц с параметри 10=σ ,

60=ρ , и 3/8=β е използвано в [5, 6] за генериране на хаотичния сигнал ( nitzCi ,...,2,1),(2 == ):

2133

31212

211 )(

zzzzzzzzz

zzz

+−=

−−=−=

βρσ

. (4)

Траекторията на горната система е показана на Фиг.1. Тя е била изведена от Edward Lorenz през 1963 година, когато той се опитвал да опише процеса на конвекция в атмосферата на Земята. Хаотичната динамична система има следните свойства: чувствителност към началните условия, топологично смесване и плътност на периодичните орбити [7]. Чувствителността към началните условия е известна като “ефектът на пеперудата”, т.е. пърхането на крилете на пеперудата би могло да предизвика фини промени в атмосферата, водещи до появата на торнадо. Пърхащите крила представляват една малка промяна в началното условие на системата, която


265

причинява верига от събития, водещи до феномени от голяма величина [7]. Системите се държат идентично, само ако техните начални условия са едни и същи. Топологично смесване означава, че системата ще се развива във времето, така че някаква зададена област или отворено множество от нейното фазово пространство евентуално ще се припокрива с някаква друга зададена област.

Фиг.1. Траекторията на системата на Лоренц.

Хаотичният резонанс може да бъде асоцииран с преходите, индуцирани от хаотичното форсиране на нелинейните системи [8, 9]. Присъствието на детерминиран хаос играе ролята на случайно смущение. В една система с множество устойчиви равновесни състояния може да се прояви вътре-падинната динамика (intra-well dynamics, поведение в областта на привличане на минимума) и между-падинната динамика (inter-well dynamics, преходите през потенциалната бариера между два минимума) в зависимост от големината на хаотичния форсиращ сигнал. В някои системи [5], се появява хаотичен резонанс в близост до точките на кризисна бифуркация. Една точка на кризисна бифуркация се отнася до бифуркациите, след които системата претърпява преход от вътре-падинна към между-падинна динамика [10, 5]. Такива преходи лесно могат да бъдат получени чрез увеличаване на големината на форсирането. Веднъж системата показала между-падинно динамично поведение, големимната на форсиращия сигнал постепенно се редуцира. В [5] е показано, че за голямо множество от начални условия, системата (2) се установява в състоянието, което съответства на глобалния минимум на функцията )(xQ . 3. Хаотична интервенция в алгоритъма на случайното търсене с обратна стъпка 3.1. Случайно търсене с обратна стъпка. Основната идея на метода на случайното търсене с обратна стъпка се състои в последователната замяна на една начална точка 0x с друга 1x , ако целевата функция в нея има по-добра стойност, т.е.

)()( 01 xx QQ < (оптимумът е минимум). Достигането до новата точка се осъществява чрез стъпка в случайна посока по направлението на случаен вектор, за който всички възможни направления в пространството са еднакво вероятни. Ако стъпката е удачна, новата точка с по-добър резултат за целевата функция, се приема за начална и се търси ново удачно направление. Ако стъпката е неудачна се проверява и обратната посока, тъй като вероятността тя да се окаже удачна е значителна. Ако и двете посоки на дадено направление се окажат неудачни, търси се ново удачно случайно направление. Оптималната точка се смята за намерена, когато по M поредни случайни направления

266

не може да се намери по-добър резултат за целевата функция, където M се изчислява по емпиричните формули [2]

42 += nM , ако 3≤n , 42 += nM , ако 3>n . (5)

Стъпката в случайно направление се извършва по формулата [2] nihxx iiii ,...,2,1,)0()1( =±= ξ , (6)

където ih е параметър (мащабен коефициент) на стъпката по i -тата управляваща променлива, а iξ , i n= 1 2, ,..., са компонентите на нормиран случаен вектор, който се получава по следния начин:

1. Генерират се равномерно разпределени в интервала ( )0 1÷ случайни числа iβ , ni ,...,2,1= ;

2. Тези числа се трансформират в нова поредица iα , ni ,...,2,1= , които са равномерно разпределени в интервала )11( ÷−

niii ,...,2,1),5.0(2 =−= βα (7) 3. Компонентите на нормирания случаен вектор iξ се изчисляват по формулата

nin

jj

ii ,...,2,1,

1

2

==

∑=

α

αξ . (8)

Знакът "-" във формула (6) се отнася за стъпка в обратната посока на случайния вектор. При нормиран случаен вектор (с дължина 1), параметрите на стъпката ih представляват максималното възможно изменение на съответната управляваща променлива при текущата стъпка. Те определят точността на локализация на екстремалната точка по отделните управляващи променливи. Могат да се използуват променливи параметри на стъпката ih . Търсенето се започва със сравнително големи стойности, осигуряващи висока скорост на движение към областта на екстремума, а постепенното им намаляване до предварително зададени минимални стойности гарантира желаната точност.

3.2. Хаотично форсиране на случайното търсене. Уравнение (3) може да се представи в следната дискретна форма (удобна за числено решение по метода на Ойлер):

niezTkTxQxx kTkk

xi

kkk

iii

,...,2,1,02)(

)(2010

)()1( | =+∂∂

−= −+ , (9)

където 0T и k са съответно стъпка и момент на дискретизацията, а )(2kz се получава от

уравнението на Лоренц (4), представено в дискретна форма:

0)(

2)(

1)(

3)(

3)1(

3

0)(

3)(

1)(

2)(

1)(

2)1(

2

0)(

2)(

1)(

1)1(

1

)(

)(

)(

Tzzzzz

Tzzzzzz

Tzzzz

kkkkk

kkkkkk

kkkk

+−+=

−−+=

−+=

+

+

+

β

ρ

σ

. (10)

Зависимостта (6), по която се изчислява новата точка в метода на случайното търсене се модифицира в съответствие с (9) по следния начин:

niezkhxx kkkkii

ki

ki ,...,2,1),( 2)(

21)()()1( =+±= −+ ξ , (11)


267

където 011 Tkk ← и 022 Tkk ← . Хаотичната съставка променя посоката (слабо) и големината (значително) на случайния вектор, като при ∞→k тази съставка клони към нула. Добавя се допълнителен критерий за спиране, според който след M успешни итерации се сравняват средното отклонение *Q∆ на M -те последователни оптимуми от усреднената им стойност Q за този интервал, както и съответствуващото средноквадратично отклонение *x∆ на управляващите променливи с предварително зададени гранични стойности - Qδ и xδ . Отклоненията се изчисляват по формулите:

∑=

−=∆M

r

r QQM

Q1

)(1* , (12)

∑ ∑= =

−=∆M

r

n

ii

ri xx

Mx

1 1

2)( )(1* , (13)

където средните стойности на Q и x за последните M успешни итерации са

∑=

=M

r

rQM

Q1

)(1 и nixM

xM

r

rii ,...,2,1,1

1

)( == ∑=

. След M неуспешни посоки случайното

търсене без хаотична интервенция би спряло, евентуално в локален минимум. В модифицираният метод, обаче, в този момент се нулира броячът на времето 0=k (или

0=t ), при което хаотичната съставка стартира с минимална стойност на затихването и търсенето продължава. Ако в този момент са изпълнени условията

xQ xQ δδ <∆<∆ *&* , (14) търсенето спира при достигане на предварително зададен минимален размер на стъпката nih

ihi ,...,2,1, =< δ , а ако не е достигнат, стъпката се намалява наполовина и търсенето продължава, но без хаотичната форсираща съставка (по метода случайното търсене с обратна стъпка). Като последна мярка за спиране може да се зададе достигането на определен (голям брой) итерации с което да се предотврати възможността за зацикляне, ако по някаква причина не се изпълни (14). Такава причина може да бъде липсата на M подобрени стойности на Q за дълъг интервал от време, поради осцилации с твърде голяма стъпка nihi ,...,2,1, = .

3.3. Алгоритъм на предложения метод

Стъпка 1. Инициализация. Задават се: броят на управляващите променливи n ; стъпката на дискретизация 0T ; началният размер на мащабиращия коефициент по i -тата управляваща променлива nihh ii ,...,2,1,0 == и минималният му размер

niih ,...,2,1, =δ , определящ точността на локализация на минимума; началната точка

),...,,( )0()0(2

)0(1

)0(nxxx=x ; началното условие ),,( )0(

3)0(

2)0(

1)0( zzz=z за решение на

уравнението на Лоренц (10); крайният брой итерации maxN . Изчисляват се целевата функция в нея )( )0(

0 xQQ = и константата M по (5), като критерий за зацикляне около оптимума. Нулират се: броячът на дискретното време k , броячът на итерациите N , и броячът за неудачни направления L ; Резервират се два масива bestMQ − и bestM −x с размерности съответно M×1 и Mn× , които ще съдържат последните M най-добри стойности на Q и x (при търсене на минимум bestMQ − се инициализира с M на брой много големи стойности).

268

Стъпка 2. Генерира се нормиран случаен вектор ),...,,( 2,1 nξξξ=ξ по (8). Проверява се дали да се въведе хаотичен сигнал в случайното търсене, т.е., ако е изпълнено условието nihh ii ,...,2,1,0 == от началната точка се прави стъпка по формула (11) в съответствие с (10), като се използува знакът "+". В противен случай – стъпката се прави по формула (6) със знак "+". Броячите за дискретно време ( k ) и итерациите ( N ) се увеличават с 1.

Стъпка 3. Изчислява се целевата функция )( )1(1 xQQ = . Ако 01 QQ < , алгоритъмът

продължава от стъпка 4, а в противен случай се - от стъпка 5.

Стъпка 4. Запомнят се координатите на точка )1(x като нова начална точка )0(x ; 0Q приема стойността 1Q ; актуализират се масивите bestMQ − и bestM −x , като се изтрива

най-старата стойност и на нейно място се въвежда новият оптимум ( 1Q и )1(x ); нулира се броячът за неудачни направления L и алгоритъмът продължава от стъпка 2.

Стъпка 5. Проверява се дали в обратната стъпка да се въведе хаотичен сигнал. Ако е изпълнено условието nihh ii ,...,2,1,0 == осъществява се обратна стъпка по (11) в съответствие с (10), като се използува знакът "-". В противен случай – стъпката се прави по формула (6) със знак "-". Броячите за дискретно време ( k ) и итерациите ( N ) се увеличават с 1.

Стъпка 6. Изчислява се целевата функция )( )1(1 xQQ = . Ако 01 QQ < , алгоритъмът

продължава от стъпка 4, а в противен случай - от стъпка 7.

Стъпка 7. Отброява се едно неудачно направление, т.е. броячът L нараства с единица. Ако ML < се продължава от стъпка 2, в противен случай се нулират броячът на неудачни направления 0=L и броячът на дискретно време 0=k , продържава се от стъпка 8.

Стъпка 8. Проверява се критерият за спиране - достигнат зададен максимален брой итерации. Ако е изпълнено maxNN ≤ , продължава се със следващата стъпка 9, в противен случай - стъпка 10.

Стъпка 9. Изчисляват се отклонението *Q∆ на последните M оптимума от средната им стойност по (12), както и средноквадратичното отклонение *x∆ на съответствуващите им управляващи променливи по (13). Проверява се критерият за спиране в условията на хаос, т.е. ако е изпълнено условието (14) – се продължава от стъпка 10, в противен случай - стъпка 2.

Стъпка 10. Мащабиращият коефициент ih се намалява наполовина. Ако е изпълнено условието nih

ihi ,...,2,1, =< δ алгоритъмът продължава в стъпка 11, в противен случай - стъпка 2.

Стъпка 11. Край на алгоритъма. Търсенето се прекратява, като решението на задачата е точката )0(x с резултат за целевата функция в нея - 0Q .

3.4. Пример. Двумерна оптимизация. За илюстрация на предложения модифициран метод на случайно търсене с форсиращ хаотичен сигнал, като тестов пример е използвана следната целева функция:

.)2()3()7()11()( 22

21

2221

22

21 −+−+−++−+= xxxxxxQ x (15)


269

Тримерната графика и еквипотенциалните линии на (15) са показани съответно на Фиг.2 а, б. В зависимост от избора на началната точка методът на случайното търсене с обратна стъпка би могъл да намери евентуално локалните минимуми на (15):

85.71)(,)1.3;6.3( *I

T*I =−−= xx Q ; 87.33)(,)1.3;6.2( *

IIT*

II =−= xx Q ; 14)(,)52.1;55.3( *

IIIT*

III =−= xx Q ; 0)(,)2;3( *IV

T*IV == xx Q .

Един от тях е глобалният минимум: 0)(,)2;3( *T* == xx Q . В случая на двумерна глобална оптимизация форсиращата хаотична съставка в

(11) може да бъде променена, в сравнение с вече предложената в литературата [5, 6], по следния начин:

)).sin((

)),cos((

0)(

2)(

21)(

22)(

2)1(

2

0)(

2)(

21)(

11)(

1)1(

1

2

2

kTzezkhxx

kTzezkhxxkkkkkkk

kkkkkkk

−+

−+

+±=

+±=

ξ

ξ (16)

Тази модификация разширява областта от пространството на управляващите променливи, достъпна за въздействие от страна на хаотичната система. Така, форсиращата съставка описва с хаотично променяща се честота окръжност, чийто радиус също се променя хаотично.

4. Симулационни резултати За да се демонстрира работоспособността, преимуществата и недостатъците на предложения алгоритъм за глобално търсене на екстремум бяха проведени множество симулации в средата на MATLAB с описаната по-горе целева функция (15). Бяха избрани следните параметри, използвани в предложения търсещ алгоритъм: стъпка на дискретизация s01.00 =T ; начална и минимална стойности на мащабиращите коефициенти по двете управляващи променливи съответно 4.000

201 === hhh и

2.021== hh δδ ; коефициенти на хаотичната форсираща съставка 1375.01 =k и

0001.02 =k ; начални условия за уравнението на Лоренц 1.003

02

01 === zzz ; краен брой

итерации 2000max =N ; минимални отклонения за допълнителния критерий за спиране в условията на хаос 2=Qδ и 15.2 0 == hxδ . На Фиг.3 са показани резултатите от оптимизацията на (15) по класическия метод на случайно търсене с обратна стъпка, стартирайки от следните три начални точки: )5.2;5.4(0

I −−=x , )4;4(0II −=x ,

)5.4;5.4(0III −=x . Същият експеримент е повторен с модифицирания с хаотично

X1

X2

(b)

-5 0 5 -5

0

5

Фиг.2. Тримерна графика и еквипотенциални линии на (15).

270

форсиране метод, който за двумерни целеви функции е изпълнен в два варианта – (11) и (16). Първият вариант е инспириран от цитираната в литературата хаотична интервенция в градиентен метод [5], а вторият вариант е нейно подобрение за двумерна оптимизация, предложено в настоящата работа. На Фиг.4 и Фиг.5 са представени резултатите, получени по двата метода. Вижда се, че областта на въздействие на хаотичната съставка в първия случай е силно ограничена, което зависи от различни фактори (системата на Лоренц, която я генерира, коефициентите 1k и 2k ), но най-вече от начина на въвеждането и в закона на случайното търсене (6). Тя участва по един и същи начин в уравненията за актуализиране и на двете управляващите променливи. Областта на началните условия, водещи до глобален екстремум е разширена по отношение на класическото случайно търсене с обратна стъпка, но недостатъчно за да гарантира висока успеваемост на глобалното търсене. Във втория метод около текущата точка се формира претърсване във вид на кръгово движение с хаотична честота на обхождане и хаотично променящ се (в широк диапазон) радиус. При подходящ избор на коефициентите 1k и 2k за разглеждания пример симулациите показаха 100% локализиране на глобалния екстремум. Броят на неудачните направления (5), който участва пряко в критерия за спиране при случайното търсене с обратна стъпка и непряко (формули (12), (13)) при модификацията му с форсиращ хаотичен сигнал е 8=M . За по-добра визуализация на примерите, в симулациите критерият за спиране в условията на хаос използва по-тясен филтър с ширина

6%75 =M . Намаляването на M , maxN и 1k , както и увеличаването на 2k влошават успеваемостта на глобалното търсене. На Фиг.6 с развитието на итерациите е показано актуализирането на управляващите променливи и оптимумът на целевата функция, съответстващи на експериментът от Фиг.5б. Тъй като със знак “о” са означени успешните итерации, може визуално да се добие представа за броят на изчисленията на целевата функция в хаотично генерираните неудачни точки.

X1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4 -3 -2 -1

X2 0

1 2 3 4 5

Фиг.3. Намиране на локален екстремум (минимум) по метода на случайното търсене с обратна стъпка. Символите “∆”, “ ” и “+” означават съответно начална точка, крайна точка на търсенето и екстремум

X1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X2

3 4 5

2

-5 -4 -3 -2 -1 0

1

Фиг.4. Глобално търсене по модифицирания метод на случайното търсене с хаотично форсиране - формула (11)


271

X1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1

X2 0

1

4 5

2

3

(a)

X1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5

-4 -3 -2 -1

X2 0

1

3 4

5

2

(б)

X1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1

X2 0

1

3 4 5

2

(в)

(г)

X1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5

-4 -3 -2 -1

X2 0

1

3 4 5

2

Фиг.5. Глобално търсене по модифицирания метод на случайно търсене с хаотично форсиране - формула (16)

X1

-20

-10

0

10

0 50 100 150 200 250N

X2

-5 0 5

10 15

0 50 100 150 200 250 N

Q

10

10

10

10

10

10

10

10 5

4

3

2

1

0

-1

-2

0 50 100 150 200 250N

(a) (b)

Фиг.6. Итеративно актуализиране на управляващите променливи и оптимумът на целевата функция, съответстващо на експеримента от Фиг.5в.

272

5. Заключение Предложен е метод за намиране на глобален екстремум, получен чрез хаотична интервенция в метода на случайното търсене с обратна стъпка. Въведен е допълнителен критерий за спирене в условията на хаоса. Чрез симулации в средата на MATLAB е демонстрирана сходимостта на метода към глобалния екстремум. Бъдещите изследвания в областта на разглеждания проблем ще включват: обобщение на актуализиращото провило (16) за n -мерна целева функция; сравнителен анализ на базата на успеваемост, бързодействие и изчислителната трудоемкост на предложения метод и други популярни методи за глобално търсене; разширение на метода за търсене при наличие на областни и функционални ограничения; и др.

Acknowledgements Докладът представя изследвания, които са спонсорирани по Научен проект ВУ-

ТН-108/2005 г. (Национален фонд за научни изследвания) при МОН, България.


1. L.C.W. Dixon, G.P. Szego (Eds.) Towards Global Optimization, North-Holland

Publishing, Co., 1975. 2. С. Стоянов. Методи и алгоритми за оптимизация, София, 1990. 3. Z. Michalewicz. Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs, Springer-

Verlag, Berlin Heidelberg, 1994. 4. L.N. de Castro, F.J. Von Zuben. aiNet: An Artificial Immune Network for Data

Analysis, In Data Mining: A Heuristic Approach, H.A. Abbass, R.A. Sarker, and C.S.Newton (Eds.), Idea Group Publishing, USA, Chapter XII, 2001, pp.231-259.

5. R. Konnur. Application of Chaos Induced Near-Resonance Dynamics to Locate the Global Optimum of Functions, arXiv: nlin.CD/0107017 v2, 11 Jul 2001.

6. D. Tsankova, S. Lekova. Chaos Based Location of Global Optimum of Functions Under Equality Constraints, Proc. of the Int. Conf. on A&I, Sofia, 2006.

7. http://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory, Chaos Theory, In Wikipedia: The Free Encyclopedia.

8. T.L. Carroll, L. M. Pecora. Phys. Rev. Lett.70, p.576, 1993. 9. T. Kapitaniak. Chaos, Solitons and Fractals 3, p.405, 1993. 10. C. Grebogi, E. Ott, J. Yorke. Physica 5D, p.181, 1983. Department of Control Systems Technical University–Sofia, Plovdiv Branch 25, Tsanko Dyustabanov Str. 4000 Plovdiv BULGARIA E-mail: [email protected], [email protected]

Physical Sciences Mathematics, Mechanics, Physics

Documents