Phương pháp số và lập trình - Nội suy, Đạo hàm, Tích phân

PHƯƠNG PHÁP SỐPHƯƠNG PHÁP SỐVÀ LẬP TRÌNH

GV: Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

1. Nội suy đa thức

1.1. Vấn đề nội suy

1.2. Nội suy bằng đa thức Lagrange

1.3. Nội suy bằng phương pháp bình phương tối thiểu

Nội suy đa thứcĐạo hàm và tích phân

2. Đạo hàm

2.1. Đạo hàm số của hàm liên tục

2.2. Đạo hàm số của hàm rời rạc

3. Tích phân

3.1. Tích phân hàm liên tục

3.2. Tích phân hàm rời rạc

1. Biết cách nội suy đa thức.

2. Biết cách tính đạo hàm và tích phân.

3. Viết được chương trình tính đạo hàm và tích

Mục tiêu

3. Viết được chương trình tính đạo hàm và tích

phân.

Nhu cầu nội suy

Trong thực tế đo đạc, ta thường xây dựng kết quả đo dưới dạng bảng số:

Nội suy đa thức

• Muốn biết giá trị của y tại x = x*(không có trong bảng)?

• Cần tìm một hàm số mô tả mối quan hệ y= f(x)?

Đa thức nội suy: y=f(x) sao cho f(xi)=yi

Nội suy bằng đa thức Larange

sao cho .

Nội suy đa thức

- Nội suy bậc nhất- Nội suy bậc hai- Nội suy bậc n

Nội suy bằng đa thức Larange bậc nhất

Ta xây dựng đa thức dưới dạng:

Nội suy đa thức

Đa thức Larange bậc nhất:

Nội suy bằng đa thức Larange bậc hai

Ta xây dựng đa thức dưới dạng:

Nội suy đa thức

Đa thức Larange bậc hai:

Nội suy bằng đa thức Larange bậc n

Đa thức Larange bậc n:

Nội suy đa thức

với

1,

nj

ij j i i j

x xL

x x= ≠

−=

−∏

Nội suy bằng đa thức Newton

Giả sử ta đa thức nội suy cho tập dữ liệu n điểm khác

nhau .

Khi thêm vào 1 điểm dữ liệu mới , ta xây dựng lại đa

thức nội suy mới:

Nội suy đa thức

1( )nP x−

( ), , 1,i ix y i n=

( )1 1,n nx y+ +

với

( )1 0 11

( ) ( ) ; ( )n

n n n ii

P x P x C x x P x y−=

= + − =∏

( )( ) ( )

0 1

1 1 1 1 1 11 1

1 11 1

( ) ;

( ) ( ) ( )( ) .n n n n n n n

n n n n n n

n i n ii i

P x y

P x P x y P xP x y C x

x x x x

+ − + + − ++ +

+ += =

=− −= → = =

− −∏ ∏

Nội suy bằng đa thức Newton

-Xác lập bậc của đa thức (n-1), giá trị cần tính nội suy của hàm

tại đó, các điểm dựng nên đa thức nội suy

- For i=0,n:

- For j-1,n:

Nội suy đa thức

( ), , 1,i ix y i n=

0i iD y=

- For j-1,n:

For i=j,n:

- Tính

, 1 1, 1i j i jij

i i j

D DD

x x− − −

−

−=

−

( ) ( ) ( )( )00 11 0 22 0 1

0 1

...

( )( )...( )n

nn n

P x D D x x D x x x x

D x x x x x x

= + − + − − ++ − − −

Phương pháp bình phương tối thiểu

• Ta cần tìm mối quan hệ giữa x và y.

• Giả sử có thể mô tả mối quan hệ này thông qua hàm sốy = f(x) sao cho sai khác của nó với hàm thực sự là nhỏ nhất.

Nội suy đa thức

• Sử dụng điều kiện cực trị của bình phương độ sai lệch của hàm f với hàm thực sự tại các giá trị tới hạn, ta suy ra được các hệ số của hàm f.

Phương pháp bình phương tối thiểu

Ta định nghĩa hàm tổng bình phương sai số:

Nội suy đa thức

Do hàm f(x) là rất gần với hàm thực sự nên ta có điều kiệu sau (điều kiện bình phương tối thiểu):

• Hàm bậc nhất

• Hàm bậc hai

Phương pháp bình phương tối thiểu – hàm bậc nhất

Hàm cần tìm có dạng .

Điều kiện bình phương tối thiểu cho ta hệ phương trình:

Nội suy đa thức

Giải hệ này, ta tìm được các hệ số a và b.

Phương pháp bình phương tối thiểu – hàm bậc hai

Hàm cần tìm có dạng .

Điều kiện bình phương tối thiểu cho ta hệ phương trình:

Nội suy đa thức

Giải hệ này, ta tìm được các hệ số a, b và c.

Ví dụ

Tìm hàm xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của hàm số cho bởi bảng dưới đây:

a)

Nội suy đa thức

b)

Đạo hàm hàm liên tục:

Cho một hàm số liên tục, yêu cầu tính đạo hàm tại một vị trí x*.

Giải pháp:

Sử dụng định nghĩa đạo hàm:

Đạo hàm

Sử dụng định nghĩa đạo hàm:

1. Xác lập hàm cần lấy đạo hàm f(x), hai biên xa , xb , số điểm cần lấy đạo hàm n.

2. Tính bước nhảy giữa hai điểm cần lấy đạo hàm:

h=(xb - xa)/n

Đạo hàm

3. For i= 0, 1, 2,…, n: tính f(xa+ih).

4. For i= 1, 2,…, n-1: tính đạo hàm bằng công thức:

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2

1 1' *

2

1 2 * 1'' *

a aa

a a aa

f x i h f x i hf x i h

h

f x i h f x i h f x i hf x i h

h

+ + − + −+ =

+ + − + + + −+ =

Đạo hàm hàm rời rạc:

Cho một hàm số dưới dạng bảng số rời rạc, yêu cầu tính đạo hàm tại một vị trí x*.

Giải pháp:

1.Sử dụng định nghĩa đạo hàm nếu khoảng cách lưới đủ

Đạo hàm

1.Sử dụng định nghĩa đạo hàm nếu khoảng cách lưới đủ nhỏ.

2.Sử dụng nội suy, tìm ra hàm liên tục tương ứng. Sau đó, tìm đạo hàm theo phương pháp đạo hàm của hàm liên tục.

Tích phân hàm liên tục:

Cho hàm số liên tục trên đoạn , tính tích phân:

Tích phân

Giải pháp:

- Dùng công thức nguyên hàm

- Phương pháp hình thang

- Phương pháp Simpson

Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:

Khai triển Tay lor:

Tích phân

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

0

0

2 30 0 0

1 1' '' ...

2! 3!

1 1

x

xx

f x dx f x x f x x f x x+∆

= ∆ + ∆ + ∆ +

∫

=> Quy tắc hình thang

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

0 0 0

0 03

1 1' ... ...

2 2

1

2

f x f x f x x x

f x f x x x x

= + + ∆ + + ∆

= + + ∆ ∆ + Θ ∆

Tích phân

y

Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:

( ) ( ) ( )0

0

0 0

1

2

x x

x

f x dx f x f x x x+∆

= + + ∆ ∆ ∫

0x x+ ∆0x x

Quy tắc hình thang

Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:

Tích phân

y

Quy tắc hình thang phức

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0

0 0 0 02 2 2 ...2

x n x

x

xf x dx f x f x x f x x f x n x

+ ∆ ∆ = + + ∆ + + ∆ + + + ∆ ∫

0x n x+ ∆0x x

Tích phân

Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:

- Lập hàm f(x), xác định 2 biên x1 , x2 , số điểm cần lấy tích phân n.

- Tính ( )1 0 /x x x n∆ = −

- For i=0, (n-1):

( ) ( )( )0 0 12

xTP TP f x i x f x i x

∆ = + + ∆ + + + ∆

Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:

Tích phân

y

Quy tắc điểm giữa

( ) ( ) ( )0

0

/23

/2

0 0

1'' ...

24

x x

xx

f x dx f x x f x x+∆

−∆

= ∆ + ∆ +∫

0x x+ ∆0x x

Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:

Tích phân

y

Quy tắc điểm giữa phức hợp

( )0

0

1

00

1

2

x n x n

ix

f x dx x f x i x+ ∆ −

=

=∆ + + ∆

∑∫

0x n x+ ∆0x x

Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:

Tích phân

y

=> AD cho hàmdưới dấu TP kì dị làmquy tắc hình thang phá sản!

0x n x+ ∆0x x

Tích phân

Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:

- Lập hàm f(x), xác định 2 biên x1 , x2 , số điểm cần lấy tích phân n.

- Tính ( )1 0 /x x x n∆ = −

- For i=0, (n-1):

( ) ( )( )0 0 12

xTP TP f x i x f x i x

∆ = + + ∆ + + + ∆

Tích phân hàm liên tục – phương pháp Simpson:

Tăng độ chính xác: - giảm

- tăng độ chính xác hàm lấy TP

Quy tắc Simpson

Tích phân

x∆

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

0

2 30 0 0

44 50 0

2

05

0 0

42 ' ''

3

2 4''' ...

3 15....

4 23

x

x

x

f x dx f x x f x x f x x

f x x f x x

xf x f x x f x xx

+ ∆

= ∆ + ∆ + ∆

+ ∆ + ∆ +

=∆

= + + ∆ + + ∆ + Θ ∆

∫

Tích phân hàm liên tục – phương pháp Simpson:

-Chia nhỏ thành n bước

- Định trị qua 3 điểm: các khoảng con chẵn => n=2m

Quy tắc Simpson phức hợp

Tích phân

( )( ) ( )( )

( )( )1

0

10 0

0 0

2 4 2 1

3 2 2

x m

ix

f x i x f x i xxf x dx

f x i x

−

=

+ ∆ + + + ∆∆ =+ + + ∆

∑∫

Tích phân hàm liên tục – phép cầu phương Gauss:

-Khai triển Taylor tại các điểm và lân cận

Tích phân

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

0

0

2 3

0 0 0 0

2 3

0 0 0 0

1 1' '' ''' ...

2 21 12

' '' ''' ...2 2

x x

x

f x f x x f x x f x xx

f x dx

f x f x x f x x f x x

α α α

β β β

+∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆= + + ∆ + ∆ + ∆ +

∫

0x xα+ ∆ 0x xβ+ ∆ 0x

- Đồng nhất thức:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 0

2 3 42 2 3 3

0 0 0 0

2 2

' '' ''' ...2 4 12

x x xxf x f x f x f xα β α β α β

∆ ∆ ∆= ∆ + + + + + + +

( )2 2

1

/ 4 1/ 6

α βα β+ =

+ =

( ) ( )0

0

40 0

1 3 1 3

2 2 6 2 6

x x

x

xf x dx f x x f x x x

+∆ ∆= + − ∆ + + + ∆ + Θ ∆ ∫

Tích phân hàm liên tục – phép cầu phương Gauss:

Tích phân

( ) ( )1

0

14

0 00

1 3 1 3

2 2 6 2 6

x n

ix

xf x dx f x x f x x x

−

=

∆= + − ∆ + + + ∆ + Θ ∆ ∑∫

Tích phân hàm rời rạc:

Cho hàm số dưới dạng bảng số rời rạc , tính tích phân:

Giải pháp:

Tích phân

Giải pháp:

1.Dùng nội suy tìm dạng hàm liên tục trên mỗi khoảng nhỏ.

2.Tính diện tích trên mỗi khoảng nhỏ theo các phương pháp đã học,. . . hoặc sử dụng công thức nguyên hàm với trường hợp hàm nội suy đa thức.

3.Cộng các diện tích trên các khoảng lại.

Bài tập