ĐẠO HÀM RIÊNG - bai-giang.webnode.vn. ĐẠ… · - xấp xỉ tuyến tính - quy tắc dây chuyền (chain rule) - Đạo hàm riêng bậc cao chƢƠng iv. ĐẠo hÀm riÊng

Chương IV.

ĐẠO HÀM RIÊNG

1

CALCULUS FOR COMPUTING

NỘI DUNG

- Hàm nhiều biến và đạo hàm riêng

- Đạo hàm có hướng

- Mặt phẳng tiếp xúc

- Xấp xỉ tuyến tính

- Quy tắc dây chuyền (Chain Rule)

- Đạo hàm riêng bậc cao

2 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG




1. HÀM NHIỀU BIẾN

CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG 4






HÀM HAI BIẾN



HÀM HAI BIẾN



HÀM HAI BIẾN

Ví dụ

Cho hàm số 2 biến:

𝑎/ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 3𝑦 + 7

𝑏/ 𝑧 = 𝑓( 𝑥, 𝑦 ) = 𝑥2 𝑦 + 2 𝑥𝑦 + 5

𝑐/ 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦2 + (5𝑥 + 7𝑦)2



Miền xác định?..........................................................................

Miền giá trị?..............................................................................

𝑓(0,1)? ………………………………………………..…….

𝑓(2, −1)?……………………………………………………..

𝑓(𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦)? ………………………………………….…

𝑓(𝑥, 𝑥)?……………………………………………………....



Miền xác định?.....................................................

Miền giá trị?.........................................................



HÀM HAI BIẾN

Đồ thị của 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) là một mặt, tập

hợp của tất cả các điểm có toạ độ ( 𝑥, 𝑦, 𝑧).



HÀM HAI BIẾN

Đồ thị của hàm 𝑓 = 2𝑥 + 3𝑦



HÀM HAI BIẾN

Đồ thị của hàm 𝑓 = 4𝑥2 − 𝑦2 + 15 và

𝑓 = 4𝑥2 − 𝑦2





Giới hạn và liên tục



a. Giới hạn



a. Giới hạn

Định nghĩa giới hạn kép



a. Giới hạn



a. Giới hạn



Chú ý:

Thay tương đương VCB, VCL, quy tắc

L’Hospital chỉ được áp dụng nếu chuyển được

sang hàm 1 biến.

a. Giới hạn



Ví dụ

Tính ∶ lim(𝑥,𝑦)→(1,1)

𝑥𝑦−2𝑥−𝑦+2

𝑥−1

0

0

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

…………………………………………..



Tính: lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

1+𝑥𝑦−1

ln (1+𝑥𝑦)

0

0

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

…………………………………………..

……………………………………

Ví dụ



……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………..



……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………..

…………………………………… 25 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG


b. LIÊN TỤC



b. LIÊN TỤC



b. LIÊN TỤC



2. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN



a. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)




31





……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………..

……………………………………














……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………..

……………………………………




……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………..

……………………………………












Ví dụ

Tìm 𝜕2𝑓

𝜕𝑥2 ,𝜕2𝑓

𝜕𝑦2 ,𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦

a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 − 3𝑦 + 5

b. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5 𝑥 − 6𝑦2

c. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦

d. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥5𝑦4 + 𝑥3𝑦2

e. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑒𝑦 .

f. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥2𝑦2 + 2𝑥3𝑦

𝑔. 𝑓 𝑥, 𝑦 = ln 𝑥2 + 𝑦2

𝑕. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥2𝑦





Vi phân cấp 1 của hàm f(x,y) tại (x0,y0):

𝑑𝑓 𝑥0, 𝑦0 = 𝑓′𝑥 𝑥0, 𝑦0 𝑑𝑥 + 𝑓′𝑦 𝑥0, 𝑦0 𝑑𝑦


b. V𝐢 𝐩𝐡â𝒏 𝒄ủ𝒂 𝒉à𝒎 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚)



Ví dụ: Tìm vi phân toàn phần (cấp 1) của hàm số tại (0,1)

a) 𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑥 − 1

b) 𝑧 = 3𝑥2 𝑦 − 4𝑥𝑦2 + 2𝑥𝑦 + 1

c) 𝑧 = 𝑥2 − 6𝑥𝑦2 − 𝑥𝑦3 − 𝑥













Ví dụ:

Dùng hàm 𝑓 = 𝑥𝑒𝑥𝑦, tính gần đúng giá trị 𝑓(1.1, −0.1)




Ví dụ: Dùng hàm 𝑓 = 𝑥2 + 3𝑥𝑦 − 𝑦2, tính gần đúng

giá trị 𝑓(2.05, 2.96)

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………..

……………………………………













……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………..

…………………………………… 54 CHƢƠNG IV. ĐẠO HÀM RIÊNG



……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………

……………………………………………..

……………………………………



Đạo hàm riêng hàm hợp









Vi phân của hàm hợp



Các ví dụ



Các ví dụ



Đạo hàm riêng hàm ẩn


Trƣờng hợp 1


VÍ DỤ



VÍ DỤ




Cách 1. đạo hàm 2 vế của phương trình theo x. Chú ý, y là

hàm theo x.

Cách 2. Dùng công thức, đạo hàm riêng của F theo x, coi y

là hằng số


Đạo hàm riêng hàm ẩn


Trƣờng hợp 2



Cách 1. Đạo hàm 2 vế của phương trình theo x.

Chú ý y là hằng, z là hàm theo x.

Cách 2. Dùng công thức. Chú ý ở đây x là biến, y

và z là hằng số.


Ví dụ



Đạo hàm theo hƣớng, vectơ Gradient


𝑓 = 𝑓 𝑥, 𝑦


Đạo hàm của hàm f theo hướng vectơ 𝑢 tại

điểm M0:





















Bài tập 1




Bài tập 2



Bài tập 3



Bài tập 4



Bài tập 5



Bài tập 6



Bài tập 7



Bài tập 8



Bài tập 9



Bài tập 10



Bài tập



Bài tập

ĐẠO HÀM RIÊNG - bai-giang.webnode.vn. ĐẠ… · - xấp xỉ tuyến tính - quy tắc dây chuyền (chain rule) - Đạo hàm riêng bậc cao chƢƠng iv. ĐẠo hÀm riÊng

Documents