This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
www.VNMATH.com
UBND TỈNH HẢI DƯƠNGSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
sö dông "ph¬ng ph¸p chÆn"
®Ó gi¶i mét sè bµi to¸n sè häc trong c¸c kú thi häc sinh giái
MÔN: To¸n
KHỐI LỚP: 6, 7, 8, 9
NHẬN XÉT CHUNG....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
ĐIỂM THỐNG NHẤT
Bằng số: .......................................................Bằng chữ: .....................................................
Giám khảo số 1: .......................................................................Giám khảo số 2: .......................................................................
NĂM HỌC: 2010-2011
1
www.VNMATH.com
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HẢI DƯƠNGTRƯỜNG THCS Th¹ch kh«i
sö dông "ph¬ng ph¸p chÆn"
®Ó gi¶i mét sè bµi to¸n sè häc trong c¸c kú thi häc sinh giái
Môn: To¸n
Tên tác giả: Ph¹m ThÞ Thuû
Xác nhận của nhà trường, ký,đóng dấu
2
Số phách(Do CT hội đồng chấm
SKKN TP ghi)
www.VNMATH.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNGPHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HẢI DƯƠNG
sö dông "ph¬ng ph¸p chÆn"
®Ó gi¶i mét sè bµi to¸n sè häc trong c¸c kú thi häc sinh giái
MÔN: To¸n KHỐI LỚP: 6, 7, 8, 9
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG CẤP THÀNH PHỐ(Nhận xét, xếp loại, ký, đóng dấu)
Tên tác giả:..........................................................................Đơn vị công tác...................................................................
(Do Hội đồng cấpTP ghi sau khi đã tổ chức chấm và xét duyệt)
3
Số pháchHội đồng cấp tỉnh ghi
www.VNMATH.com
A. ĐẶT VẤN ĐỀ .
1. Lí do chọn đề tài :
Toán học là môn học có ứng dụng trong hầu hết trong tất cả các ngành
khoa học tự nhiên cũng như trong các lĩnh vực khác của đời sống xã hội.
- §iÒu tra kh¶o s¸t qua kiÓm tra ®èi chøng víi kÕt qu¶ häc tËp
cña häc sinh
- Ph¬ng ph¸p thö nghiÖm
I. Một số kiến thức cơ bản cần nhớ:
1. Với m, m N; a 0 th× a 1a Î ¹ ³
2. 0 ví i aa ³ "
3. = 100a + 10b + cabc4. Phương pháp giải bất phương trình5. Phương pháp giải phương trình bậc hai
II. Các bµi tËp hình thành phương pháp Bµi tËp 1 : Tìm các số tự nhiên x , y sao cho
a. 2x + 5y = 21b. 7x + 12y = 50
Giải :
7
www.VNMATH.com
- Giáo viên có thể gợi mở để hình thành hướng suy nghĩ cho học sinh- Giáo viên có thể đặt các câu hỏi gợi ý cho các em cách suy nghĩ tương tự cho những bài sau:? So sánh 2x với 1 từ đó có kết luận gì về giá trị của 5y- Giáo viên hướng dẫn học sinh cách xây dựng bảng lựa chọn a. Vì 2x 1 nên 5y 20 vậy y 4 . Ta có bảng lựa chọn sau :
y 0 1 2 3
5y 0 5 10 15
2x 21 16 11 6
x không có 4 không có không có
Đáp số : x = 4; y = 1 ; x = 0; y = 4Bằng cách tương tự ta có thể làm được phần b
b. Nếu y 2 thì 12y 122 > 50 => y < 2 y = 0 hoặc y = 1- Nếu y = 0 thì 120 = 1 nên 7x = 49 x = 2- Nếu y = 1 thì 121 = 12 nên 7x = 38 (loại)
Đáp số x = 2 và y = 0Nhận xét : Với bài trên ngoài việc chặn theo các giá trị của y, ta cũng có thể chặn theo các giá trị của x như sau : a) Vì 25 = 32 > 21 nên x 4 x Î 0 , 1 , 2 , 3 , 4 và lập bảng lựa chọn để giải tiếp b) ta có 37 50> => x 2 sau đó cũng xét các trường hợp tương tự
Bµi tËp 2 :: Tìm các số tự nhiên x, y, z biết 5. 3x yz = 7850
Giải : Khi đưa ra bài toán trên tôi thấy đa số học sinh lúng túng không biết cách giải và thường không biết bắt đầu từ đâu. Sau đó tôi đưa ra gợi ý:
? 3yz có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (HS 300 3 399yz )
? Vậy x có thể có giá trị trong khoảng nào?Sau khi có gợi ý trên hầu hết các em đều có thể làm được bài toán trên. Tuy nhiên đa số các em chỉ tìm được cận trên của x mà không tìm cận dưới nên bài toán trình bày dài hơn. Do đó tôi đưa ra lời giải sau:
Ta thấy nếu x 3 thì 5. 3x yz 35.300 = 10500 > 7850 . Vậy x < 3
Ta cũng thấy x > 1 vì nếu x = 1 thì 5.3x yz 15. 399 = 5985 < 7850 .
Như vậy 1 < x < 3 nên x = 2 . thay vào đề bài ta có 25. = 7850 nên
3yz = 7850 : 25 = 314 = 14 . Vậy x = 2; y = 1; z = 4
8
www.VNMATH.com
* Nhận xét: Bài toán trên ta đã chặn theo các giá trị của x . Ta cũng có thể chặn như sau:
5.3x yz = 7850 => Vậy x = 2 hoặc x = 1. Đến đây việc
giải tiếp dễ dàng . Tuy nhiên không nên chặn theo các giá trị của y hoặc của z vì nếu như có làm được thì lời giải cũng phức tạp dễ gây nhầm lẫn* Qua hai bµi tËp trên ta có thể thấy nếu chọn đúng được ẩn để chặn thì bài toán trở lên đơn giản và lời giải cũng gọn hơn. Từ hai bµi tËp này học sinh đã hình thành được phương pháp chặn, đồng thời thấy được việc chọn đúng ẩn để chặn là việc làm rất quan trọng
Bµi tËp 3 : Tìm các số nguyên x, y biết 5x – 2 13
Khi đưa ra bµi tËp trên với học sinh lớp 8 và lớp 9 thì một số học sinh khá giỏi có thể làm được theo cách giải bất phương trình. Tuy nhiên lời giải khá dài và phức tạp dễ dẫn đến việc nhầm lẫn. Vì vậy tôi hướng học sinh đến việc sử dụng phương pháp chặn để làm và có khá nhiều học sinh có thể làm được
Giải :
- Nếu x 4 thì 5x – 2 5.4 – 2 = 18 = 18 > 13 => x 3
- Nếu x - 3 thì 5x – 2 5.( - 3) – 2 = – 17 = 17 > 13 . x - 2 Vậy : - 2 x 3 x Î - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 . Thử lại, ta có bảng sau :
x - 2 - 1 0 1 2 3 5x – 2 12 7 2 3 8 13
Cả 6 giá trị trên của x đều thỏa mãn . Vậy x Î - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 .* Nhận xét: Với phương pháp trên thì học sinh trung bình trở lên của lớp 6, lớp 7 cũng có thể hiểu và giải được bài toán trên.
Bµi tËp 4 : Tìm ba số tự nhiên a , b , c biết a + b + c = abc và a > b > c > 0Ví dụ trên là bài toán khá quen thuộc, nó đã được sử dụng trong rất nhiều đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên với nhiều cách phát biểu khác nhau. Để làm được bài trên thì học sinh phải có cái nhìn toàn diện để có thể chọn ẩn nào cho thÝch hîp
Giải : Vì a > b > c nên a + b + c < a + a + a = 3a , mà a + b + c = abc abc < 3a hay bc < 3 . Vậy bc Î 1 ; 2 do abc ≠ 0 . Mặt khác vì b > c nên b = 2 và c = 1. Thay vào bài ta có a + 2+ 1 = 2a a = 3 .
Đáp số : a = 3 ; b = 2 ; c = 1
9
www.VNMATH.com
Nhận xét : ở bµi tËp này ta không thể chặn a trực tiếp bằng một số cụ thể nào mà chỉ sử dụng tính chất : " là số lớn nhất" trong ba sè a, b, c . Tại sao không nên chặn theo b hoặc theo c ? Để biết thêm thế mạnh của cách chặn này ta xét bµi tËp 5 sau đây:
Bµi tËp 5: Tìm biết ( ) yxx xyyxGiải :
Ta thấy y > 1 vì nếu y = 1 thì = vô lý . Vậy y 2 .
Ta lại thấy y < 4 vì nếu y 4 thì 104 = 10000 > Vậy y Î 2 ; 3
- Nếu y = 2 ta có = x2.121 = x.1001 + 220 x2.121 = 11(x.91 + 20)
x2.11 = x.91 + 20 x2.11 – 91x - 20 = 0 Phương trình trên không có nghiệm nguyên - Nếu y = 3 ta có = . Nếu x 2 thì 22³ = 10648 có 5 chữ số
( Kh«ng tho¶ m·n ). Vậy x = 1 . Thử vào bài 11³ = 1331 hợp lý. Đáp số =13
Ta cũng có thể giải như sau : ta có = x3.113 = x.1001 + 330
x3.113 = 11( x.91 + 30 )Vậy x3. 121 = x.91 + 30 = 121x + ( 30 – 30x) (30 – 30x) M 121 30(1 – x) M 121mà ( 30 ; 121 ) = 1 nên 1 – x M 121, do x là số có một chữ số nên 1 – x = 0 hay x = 1.
Thử vào bài ta có 113 = 1331 hợp lý . Vậy x = 1 và y =3 . Đáp số =13
Nhận xét : Ta cũng có thể chặn như sau : Vì 9999 < 10000 = 104.
Vậy < 104 < nên y < 4 . Mặt khác ( ) yxx > 991 vì = có 4 chữ số Vậy y
2 . Vậy y Î 2 ; 3 . Phần còn lại giải như trên .
* Đây là bµi tËp khó nên hầu hết học sinh đều lúng túng không xác định được phương pháp, cho dù đã biết phương pháp giải nhưng không có kĩ năng nhất định thì cũng sẽ rất khó để giải bài toán trênBµi tËp 6: Tìm số tự nhiên sao cho số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì bằng 249
10
www.VNMATH.com
* Đây là bài toán đã nhiều lần xuất hiện trong các bài thi học sinh giỏi. Sau khi đã được trang bị phương pháp thì đa số học sinh đều nhận ra được cách làm
Giải : - Gọi số phải tìm là n và tổng các chữ số của n là s(n) , ta phải có n + s(n) = 249Ta thấy n phải là số có 3 chữ số vì nếu n có một hoặc hai chữ số thì n + s(n) 99 + 9 + 9 = 117 < 249 và tất nhiên n không thể có nhiều hơn 3 chữ số.
Đặt n = thì ta có : abc + a + b + c = 249
Vì a + b + c 27 nên 200 < < 249 a = 2 , Thay vào bài ta được :
+ 2 + b + c = 249 200 + bc + 2 + b + c = 249
+ b + c = 249 – 202
bc + b + c = 47 . Vậy b 4 . Lại vì b + c lớn nhất là 18 nên nhỏ
nhất là 47 – 18 = 29 vậy b 2 . Ta có 2 b 4 b Î 2 ; 3 ; 4 - Nếu b = 2 ta có + 2 + c = 47 22 + 2c = 47 2c = 25 ( loại )
- Nếu b = 3 ta có 3c + 3 + c = 47 33 + 2c = 47 2c = 14 c = 7
- Nếu b = 4 ta có 4c + 4 + c = 47 44 + 2c = 47 2c = 3 ( loại )
Đáp số : số phải tìm là 237Bµi tËp 7: Tìm các số nguyên x và y biết : 2x + 3y = 5
Giải : Nếu y = 0 , ta có 2x = 5 x = 2,5 vô lý vì x Î ZXét y ≠ 0 thì 3y 3 nên 2x 2 x 1. Vậy x Î 0 ;1
- Với x = 0 thì 3y = 5 y = 5/3 vô lý vì y Î Z- Với x = 1 x Î -1; 1 khi đó y = 1 và y Î -1; 1 . Thử vào đề bài ta được
các đáp số là : ; ; ;
* Qua các bµi tËp trªn ta thấy phương pháp chặn có vai trò rất quan trọng trong các bài toán tìm số. Nó không chỉ làm cho bài toán trở nên đơn giản, dễ hiểu hơn mà còn làm cho lời giải ngắn gọn và đơn giản hơn rất nhiều.
Qua bµi tËp sau ta có thể khẳng định lại một lần nữa vai trò của phương pháp chặnBµi tËp 8: Tìm số tự nhiên biết = 4321
Giải :
abcd abc ab a = 4321 = 4321
Ta thấy a < 4 , vì nếu a 4 thì 4444 + > 4321
11
www.VNMATH.com
và a > 2 vì nếu a 2 thì 2222 + 999 + 99 + 9 = 3329 < 4321 2 < a < 4
Vậy a = 3 khi đó ta có bbb cc d = 4321 – 3333 = 988 .
Ta thấy b < 9 vì nếu b = 9 thì = 999 > 988 chưa kể .
Lại thấy b > 7 vì nếu b 7 thì 777 + 99 + 9 = 885 < 988 7 < b < 9 .Vậy b = 8 .
Khi đó = 100 điều này chỉ có thể ở trường hợp 100 = 99 + 1 ,
=> vậy c = 9 và d = 1Đáp số = 3891
Bµi tËp 9: Tìm các số nguyên dương x , y thỏa mãn 1 1 1
3x y và x y
Giải :
Vì x y > 0 khi đó và 1 1 1 1 2
x y y y y . Vậy = y
6
Lại vì > 0 nên < vậy y > 3 , hay y 4 . Vậy ta có 4 y 6
- Nếu y = 4 ta có + = + = = x = 12
- Nếu y = 5 ta có + = + = = - = loại vì x Z
- Nếu y = 6 ta có + = + = = x = 6
Bài toán có 2 đáp số là ( x ; y) = ( 12 ; 4 ) và ( x; y ) = ( 6 ; 6 )
Bµi tËp 10: Tìm số biết 1 1 1
da b c với a > b > c
Giải : Vì a > b > c > 0 nên c 1 ; b 2 ; a 3 khi đó ta có
12
www.VNMATH.com
1 1 1 1 1 1 112
3 2 1 6a b c mà
1 1 1d
a b c nên d < 2 ,Vậy d = 1 .
Ta có: 1 1 1
1a b c với a > b > c .
Lại vì a > b > c > 0 1 1 1
a b c khi đó ta có
1 1 1 1 1 1 3
a b c c c c c
mà 1 1 1
1a b c nên
31
c
Vậy c = 1 hoặc c = 2
Với c = 1 thì 1 1 1
11a b
vô lý
Với c = 2 thì 1 1 1 1 1 1
12 2a b a b
, mà 1 1 1 1 2
a b b b b nên
2 1 2
2 4b
do đó b < 4 mà b > c = 2 nên b = 3 . ta có 1 1 1 1 1 1 1
3 2 2 3 6a a , vậy a
= 6Vậy a = 6 , b = 3 , c = 2 , d = 1 và : = 6321
Bµi tËp 11: Tìm các số nguyên tố a , b , c ( có thể bằng nhau ) thỏa mãn abc < ab + bc + ca và a b c
Giải :Vì a b c . Ta có :ab + bc + ca ab + ab + ab = 3ab . Mà ab + bc + ca > abc nên ta có abc < 3ab
c < 3 mà c nguyên tố nên c = 2 . Thay vào bài ta được 2ab < ab +2( a + b) ab < 2(a + b) 2( a + a) = 4a . Vậy ab < 4a nên b < 4 b Î 2 ; 3 .
Nếu b = 2, thay vào đề bài ta được 2.2.a < 2a + 2.2 + 2.a , hay 4a < 4a + 4 đúng với mọi số nguyên tố a
Nếu b = 3, thay vào bài ta được 2.3.a < 3a + 6 + 2a, hay 6a < 6 + 5a a < 6 , do a nguyên tố không nhỏ hơn b = 3 nên a = 3 hoặc 5Đáp số : b = c = 2 và a là số nguyên tố tùy ý
c = 2 , b = 3 và a = 3 hoặc a = 5Bµi tËp 12: Cho 4 số nguyên dương có tổng bằng 9. Chứng minh rằng trong 4 số đó có ít nhất hai số bằng nhau
13
www.VNMATH.com
Giải :Giả sử trong 4 số đã cho không có 2 số nào bằng nhau. Gọi 4 số đã cho là
a, b, c, d với a > b > c > d . Ta có : d 1 ; c 2 ; b 3 ; a 4 . Như vậy a + b + c + d 1 + 2 + 3 + 4 = 10 . Theo bài ra ta có a + b + c + d = 9 nên sẽ có 9 10 vô lý . Vậy giả sử trong 4 số đã cho không có 2 số nào bằng nhau là không đúng nên phải có ít nhất 2 số trong các số đã cho là bằng nhau . ( đpcm)III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1 : Tìm biết = 1037
Bài 2 : Tìm xyz biết 4 . 5yz x = 17395
Bài 3 : Tìm số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng số đó cộng với hai lần tổng các chữ số của nó thì bằng 405
Bài 4 : Tìm số abcd biết .ab cb dddBài 5 : Tìm hai số tự nhiên x , y biết Bài 6 : Cho hai số nguyên dương khác nhau là a và b . Chứng minh > 2 Bài 7 : Cho a, b, c là các số nguyên dương . Chứng minh rằng
1 < a b c
b c c a a b
< 2
Bài 8 : Tìm các số nguyên x và y biết 5x + 2 13
14
www.VNMATH.com
IV) KÕt qu¶ - bµi HỌC KINH NGHIỆM:
- Khi cha thùc nghiÖm ®Ò tµi nµy c¸c em häc sinh thêng tá ra
- Khi ¸p dông chuyªn ®Ò nµy vµo thùc tiÔn c¸c em tá ra phÊn khëi, tù tin, yªu thÝch bé m«n to¸n h¬n
Sau khi triển khai đề tài, tôi lại cho 30 học sinh giỏi của trường làm bài kiểm tra với mức độ đề khó hơn tôi thu được kết quả như sau:
Đề bài:(Thời gian làm bài 30')
Câu 1: Tìm abc biết 4 . 5bc a = 17395
Câu 2: Tìm số bị chia và thương trong phép chia sau: 9 * * : 17 = * * (Biết rằng thương là một số nguyên tố)Câu 3: Tìm số tự nhiên biết tổng của số đó và các chữ số của nó bằng 2020*) Kết quả:
a, Khi cha ¸p dông s¸ng kiÕn:
15
www.VNMATH.com
điểm < 5 5 £ điểm < 8 8 £ điểm £ 10
30 HSSL % SL % SL %
9 30 18 60 3 10
b, Sau khi ¸p dông s¸ng kiÕn:
điểm < 5 5 £ điểm < 8 8 £ điểm £ 10
30 HSSL % SL % SL %
1 3 20 67 9 30
*) Nhận xét:
Sau khi triển khai đề tài trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi của trường tôi
thấy so với trước khi triển khai đề tài học sinh có một số tiến bộ sau:
- Học sinh đã biết sử dụng phương pháp chặn trong một số bài toán số học
nói chung và dạng toán tìm số nói riêng.
- Học sinh giải các bài toán tìm số nhanh hơn, xác định ngay được hướng
làm và lựa chọn cách trình bày đơn giản nhất.
- Học sinh tiếp tục phát triển tư duy sáng tạo, tăng cường học hỏi bạn khác,
tự tìm tòi kiến thức mới.
Sau khi triển khai kinh nghiệm “Sử dụng phương pháp chặn để giải toán số học” tại nhà trường tôi đã rút ra một số bài học sau: