Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ

1.Phương pháp đặt ẩn phụ:

Ví dụ: Giải phương trình :

Giải:

Đặt ta có:

với điều kiện

Tìm sau đó suy ra (chú ý đối chiếu điều kiện nghiệm đúng)

2.Phương pháp đưa về hệ phương trình:

Thường được dùng để giải phương trình vô tỷ có dạng:

Ví dụ: Giải phương trình :

Đặt:

với điều kiện

Khi đó ta có hệ:

Giải hệ tìm suy ra .

3.Phương pháp bất đẳng thức:

Ví dụ: Giải phương trình:

Giải:

Theo BĐT Côsi ta có:

Do đó:

4.Phương pháp lượng giác:

Ví dụ: Giải phương trình:

Giải:

Điều kiện: .

Đặt:

và biến đổi đơn giản ta có:

suy ra và từ đó tìm được

5.Phương pháp nhân liên hợp:

Ví dụ: Giải phương trình:

Giải:

Phương trình tương đương với:

1. Nếu th“ ta có thể đặt hoặc

Ví dụ 1 :

Lời giải : ĐK : Đặt Phương tr“nh đã cho trở thành :

)( ) = 0

Kết hợp với điều kiện của t suy ra :

Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :

Ví dụ 2 :

Lời giải : ĐK :

Khi đó VP > 0 .

Nếu

Nếu .

Đặt , với ta có :

) ( ) = 0

Vậy nghiệm của phương tr“nh là

Ví dụ 3 :

Lời giải : ĐK :

Đặt

phương tr“nh đã cho trở thành :

Vậy phương tr“nh có nghiệm duy nhất

Ví dụ 4 (TC THTT):

HD :

Nếu : phương tr“nh không xác định .

Chú ý với ta có :

vậy để giải phương tr“nh (1) ta chỉ cần xét với

Đặt

khi đó phương tr“nh đã cho trở thành :

2. 2. Nếu th“ ta có thể đặt :

Ví dụ 5 : Lời giải : ĐK :

Đặt Phương tr“nh đã cho trở thành :

kết hợp với điều kiện của t suy ra

Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :

TQ :

Ví dụ 6 : Lời giải : ĐK :

Đặt phương tr“nh đã cho trở thành :

(thỏa mãn)

TQ : với a,b là các hằng số cho trước

3. Đặt để đưa về phương tr“nh lượng giác đơn giản hơn :Ví dụ 7 : (1)

Lời giải :

Do không là nghiệm của phương tr“nh nên :

(1) (2)

Đặt .

Khi đó (2) trở thành :

Suy ra (1) có 3 nghiệm :

Ví dụ 8 :

Lời giải : ĐK :

Đặt phương tr“nh đã cho trở thành :

Kết hợp với điều kiện suy ra :

Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :

4. Mặc định điều kiện : . sau khi t“m được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương tr“nh và kết luận :

Ví dụ 9 : Lời giải : phương tr“nh đã cho tương đương với :

(1)Đặt :(1) trở thành :

:Leftrightarrow Suy ra (1) có tập nghiệm :

Vậy nghiệm của phương tr“nh đã cho có tập nghiệm chính là S

sưu tầm từ mathscope.org

II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để* Nội dung phương pháp : Đưa phương trình đã cho về phương tr“nh bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương tr“nh đã cho :Đưa phương tr“nh về dạng sau :

khi đó : Đặt . Phương trình viết thành :

Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương tr“nh sau khi đã đơn giản hóa và kết luận :Ví dụ 10 : (1)lời giải : ĐK :

Đặt Lúc đó :

(1)

Phương tr“nh trở thành :

Giải phương tr“nh trên với ẩn t , ta t“m được :

Do nên không thỏa điều kiện .

Với th“ :

( thỏa mãn điều kiên Ví dụ 11 : Lời giải : ĐK : Đặt .phương trình đã cho trở thành :

* Với , ta có :(vô nghiệm v“ : )

* Với , ta có :

Do không là nghiệm của phương tr“nh nên :

Bình phương hai vế và rút gọn ta được : (thỏa mãn)TQ :

lúc đó chúng ta đặt

và đưa về hệ đối xứng loại hai

Ví dụ 12 : Lời giải :Đặt . Phương tr“nh đã cho viết thành :

Từ đó ta tìm được hoặc Giải ra được : .* Nhận xét : Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ th“ không dễ để giải quyết trọn vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn .ví dụ 13 :

Lời giải : ĐK : Đặt .phương trình đã cho trở thành :

Giải ra : hoặc (loại)* ta có :

Vậy là các nghiệm của phương tr“nh đã cho .

ví dụ 14 :

Lời giải : ĐK :

Đặt

Phương tr“nh đã cho trở thành :

Phương trình trên đã khá đơn giản !!!!!!!

III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích1. Dùng một ẩn phụ

Ví dụ 15 : (1)

Lời giải : ĐK : .

Đặt .phương tr“nh (1) trở thành :

(2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :

Đặt để đưa về dạng : TQ : Với a là hắng số cho trước .

Ví dụ 16 : (1)Lời giải : ĐK : Viết lại (1) dưới dạng :

(2)Đặt . Khi đó (2) trở thành :

Do vậy hoặc * . Ta có :

* . Ta có :

Vậy phương tr“nh đã cho có 2 nghiệm : Ví dụ 17 : Lời giải : ĐK : (1)Đặt (2) .phương tr“nh đã cho trở thành :

(3)

Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra :

Ví dụ 18 : Lời giải : ĐK : (1)Đặt

Khi đó : .phương tr“nh đã cho trở thành :

V“ nên :t^2 + t - 1003 < 0Do đó phương tr“nh tương đương với :

Do vậy (thỏa (1))

2. Dùng 2 ẩn phụ .Ví dụ 9 : Lời giải : Đặt

*

*

Ví dụ 20 : (1)Lời giải : ĐK : hoặc (*) Đặt ta có :

(1) trở thành :

(Do )

T“m x ta giải :

(Thỏa (*))Vậy (1) có 2 nghiệm :

Ví dụ 21 : Lời giải : ĐK : Chuyển vế r?#8220;i b“nh phương hai vế phương tr“nh mới :

(2)

Đặt và Th“ :(2)

* ta có :* ta có : Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn :

Ví dụ 22 : lời giải : ĐK : Đặt :

Từ phương tr“nh ta được :( Do )từ đó ta giải ra được các nghiệm :

3. Dùng 3 ẩn phụ .

Ví dụ 23 : Lời giải :

Đặt ta có :

(1)

Mặt khác : (2)Từ (1) và (2) ta có :

Nên :

:Leftrightarrow từ đó dễ dàng t“m ra 4 nghiệm của phương tr“nh :

Ví dụ 24 : (1)Lời giải :

Đặt Suy ra : khi đó từ (1) ta có :

:Leftrightarrow Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương tr“nh :

III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút gọn theo vế .a. Dùng một ẩn phụ .Ví dụ 25 : Lời giải :ĐK : Đặt . Ta có :

TQ : b. Dùng 2 ẩn phụ .* ND :

* Cách giải :Đặt :

Như vậy ta có hệ :

Ví dụ 26 : (1)Lời giải : ĐK :

Đặt Khi đó :

(1) :Leftrightarrow

(Do hệ : : vô nghiệm )hoặc

Đến đây chỉ việc thay vào để t“m nghiệm của phương tr“nh ban đầu .

Ví dụ 27 : Lời giải : ĐK : Đặt :

Với :

(*)Như vậy ta được hệ :

Giải (1) :(1)

( )Vậy thỏa (*) chính là 2 nghiệm của phương tr“nh đã cho .

Ví dụ 28 : Lời giải :Đặt :

(2)

(1)

2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứngDạng 1 : CG : Đặt ta có hệ :

Ví dụ 29 : Lời giải :Đặt : ta có :

(1) :Leftrightarrow

(2) : Vô nghiệm .Vậy tập nghiệm của phương tr“nh là :

Dạng 2 : CG : ĐẶt

PT :Leftrightarrow Ví dụ 30 : Lời giải : ĐK : Đặt : (1)

PT Lấy (3) trừ (2) ta được :

(1)

(Do ) Dạng 3 : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược :Ví dụ 31 :

Lời giải : ĐK : Đặt . Chọn a, b để hệ :

( ) (*)là hệ đối xứng .Lấy ta được hệ :

Giải hệ trên ta được : Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta được nghiệm duy nhất của phương tr“nh là :

Dạng 4 :Nội dung phương pháp :

Cho phương tr“nh : Với các hệ số thỏa mãn :

Cách giải : Đặt

Ví dụ 32 :

Lời giải : ĐK :

PT - Kiểm tra :

Đặt :

(1)

Mặt khác : (2) Từ (1) và (2) ta có hệ :

Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải .Ví dụ 33 : Lời giải :

PT - Kiểm tra : Đặt :

(1)Mặt khác : (2)Từ (1) và (2) ta có hệ :

Ví dụ 34 : Lời giải :

PT

- Kiểm tra :

Đặt :

(1)Mặt khác : (2)Từ (1) và (2) ta có hệ :

Giải hệ trên đã thật đơn giản !!!!!!!!!

Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương

Dạng 1: Phương trình

Dạng 2: phương trình:

( g(x,m) phải có nghĩa)

Dạng 3: Phương trình:

(f(x,m) và g(x,m) phải có nghĩa)

Ví dụ minh hoạ :VD1: tìm m để pt sau có nghiệm:

LG:Phương trình đã cho được biến đổi tương đương đưa về dạng:

Do đó điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là:

Join DateSep 2009

Đến từQuảng Trị

Bài gởi1,113

Thanks236Thanked 248 Times in 169 Posts

Ví dụ Đặt ẩn phụ - dạng 1

VD1: GPT: Đặt , ta có:

do đó điều kiện cho ẩn phụlà Khi đó phương trình có dạng :

Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2

VD2:GPT: + + =0 (1)

Nx: không là nghiệm của pt, chia cả 2 vế cho được

(2)

Đặt } , khi đó

(2) hoặc t=-1/2

Bây giờ xét 2 trường hợp:TH1: Nếu n chẵn Khi đó ĐK của pt phải không âm,do đó 2 nghiệm trên bị loại. Vậy pt vô nghiệm.TH2: Nếu n lẻ

Với ( vô nghiệm)

Với Vậy...

Bài tập tương tự: Giải các pt sau:

b>Giải và biện luận pt :

Ví dụ Đặt ẩn phụ - dạng 2:

Giải: Đk:

đặt :

Khi đó pt được chuyển thành hệ:

giải ra được hay

Bài tập tương tự:

Giải các pt sau:

b> Giải và biện luận :

ví dụ:

- Sử dụng BĐT,ví dụ:

Vậy Đk cho ẩn phụ là : -Sử dụng đạo hàm [/b]

Ví dụ

VD1: GPT: Đặt , ta có:

do đó điều kiện cho ẩn phụlà Khi đó phương trình có dạng :

Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2

Bài tập tương tự: Giải các pt sau:

b>Giải và biện luận pt :