Page 1
1
PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN
I. CÁCH GIẢI CÁC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phƣơng trình sin x = a
A. Cách giải:
Điều kiện để phương trình có nghiệm: -1 a 1
Cách giải:
+ Đặt a = sin
+
2kx
2kxsinxsin (k )Z
Chú ý: x k.360
sin x sin (k Z)x 180 k.360
Một số trường hợp đặc biệt:
+ sin x 1 x k22
+ sin x 1 x k22
+ sin x 0 x k
B. Bài tập ví dụ: Ví dụ: Giải các phương trình
a) 1
sin x2
b) 3
sin 2x2
Giải: a)
x k21 6
sin x sin x sin52 6
x k26
b)
2x k2 x k23 3 6
sin 2x sin 2x sin (k Z)22 3
2x k2 x k23 3
2. Phƣơng trình cos x = a:
A. Cách giải:
Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 1a1
Cách giải:
+ Đặt a = cos
)Zk(2kx
2kxcosacos
Chú ý: x k.360
cos x cosx k.360
Một số trường hợp đặc biệt:
+ cos x 1 x k2
+ cos x 1 x k2
Page 2
2
+ cos x 0 x k2
B. Bài tập ví dụ:
Ví dụ: Giải các phương trình
a) 2
cos x2
b) 2
cos(x 60 )2
c) 1
cos x3
Giải:
a) 2 3 3 2
cos x cos cos x cos 3x k2 x k2 4 4 4 3
b) x 15 k3602
cos(x 60 ) cos(x 60 ) cos45x 105 k3602
c) 1 1
cos x x arccos k23 3
3. Phƣơng trình tan x = a:
A. Cách giải:
- Điều kiện: )Zk(k2
x
- Cách giải:
+ Đặt tana
+ )Zk(kxtanxtan
Với phương trình tanxtan thì )Zk(180.kx
B. Bài tập ví dụ:
)Zk(2
k)3
1arctan(
2
1x
k)3
1arctan(x2
3
1x2tan/a
)Zk(180.k15x
180.k3015x
30tan)15xtan(
3
3)15xtan(/b
4. Phƣơng trình cot x = a:
A. Cách giải:
- Điều kiện: )Zk(kx
- Cách giải:
+ Đặt cota
kxcotxcot
Với phương trình cotxcot thì )Zk(180.kx
B. Bài tập ví dụ:
Page 3
3
)Zk(3
k)2cot(arc3
1x
k)2cot(arcx3
2x3cot/a
)Zk(4
k2
1
4x
k6
2x4
)6
cot()2x4cot(
3)2x4cot(/b
II. Một số bài tập tham khảo:
1. Giải phương trình:
2
1)12cos(/a với x
2
2)15x2sin(/b với 90x120
2. Giải phương trình:
02sin2sin2/
05cos4sin/
2cos3sin/
)3sin()12sin(/
xxd
xxc
xxb
xxa
Một số phƣơng trình lƣợng giác thƣờng gặp
I. Phƣơng trình bậc nhất đối với một hàm số lƣợng giác
1. Khái niệm:
Là phương trình có dạng asinx + b = 0 (a ≠ 0) hoặc acosx + b = 0 (a ≠ 0) hoặc atanx + b
= 0 (a ≠ 0) hoặc acotx + b = 0 (a ≠ 0)
Với các dạng trên ta biến đổi để cô lập hàm lượng giác ở một vế, vế còn lại là hằng số, tức là đưa
về dạng cơ bản
VD: asinx + b = 0
asinx = -b
sinx =
Phƣơng trình bậc nhất đối với sinax và cosax
Phương trình bậc nhất đối với sinax và cosax có dạng:
Page 4
4
Asinax + Bcosax = C
a là các số thực ≠ 0 ; A và B không đồng thời bằng 0
Phương trình trên có thể được giải bằng 2 cách
Cách 1: Ta có Asinax + Bcosax = Rsin(ax + a), ở đó R = > 0, α là số thực thoả mãn:
cos = , sin =
Do đó, phương trình trên sẽ tương đương với phương trình dạng cơ bản
sin(ax + ) =
Cách 2: Đặt t = tan . Ta có thể chứng minh được sinax = , cosax = . Thay vào
phương trình đầu tiên ta có:
2At + B - B = C + C
(C + B) - 2At + C – B = 0 (1)
Nếu 0 + phương trình (1) có hai nghiệm t1, t2
Khi đó việc giải phương trình quy về việc giải các phương trình cơ bản
tan = t1, tan = t2
BÀI TẬP:
BT1: Giải phương trình
1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x (1)
BT2: Giải phương trình
cos2x – cosx = 2sin2
BT3: Giải phương trình
sin4x + 3sin2x = tanx (ĐK: cosx 0)
II.Phƣơng trình bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác
Phƣơng pháp chung
Đặt hàm số lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ nếu có (thí dụ với t = sinx hoặc t
= cosx, điều kiện | t | ≤ 1), rồi giải phương trình theo ẩn phụ này và từ đó suy ngược lại nghiệm x.
Page 5
5
Bài tập tự luận
1. Cho phương trình: 2cos x – (2m + 1)cosx + m +1 = 0
a. Giải phương trình với m = 3
2
b. Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc [π
2,
3π
2]
2. Cho phương trình: 5 – 42sin x - 8 2cos
x
2 = 3m
a. Giải phương trình với m = - 4
3
b. Tìm m nguyên dương để phương trình có nghiệm.
3. Cho phương trình: cos2x + 5sinx + m = 0
a. Giải phương trình với m = 2
b. Tìm m để phương trình có nghiệm
4. Cho phương trình: 4 2cos x – (2m – 1)cosx – m = 0
a. Giải phương trình với m = 3
b. Tìm m để phương trình có nghiệm
5. Xác định m để phương trình: mcos2x – 4(m – 2)cosx + 3(m – 2) = 0
có đúng 2 nghiệm thuộc (- π
2,
π
2)
6. Giải và biện luận theo m phương trình: (m – 1)2sin x - 2(m + 1)cosx + 2m – 1 = 0
III.Phƣơng trình bậc nhất đối với sin x và cos x
Phƣơng pháp chung
Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng:
asinx + bcosx = c. (1)
Để giải phương trình (1) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước:
Bước 1. Kiểm tra:
1. Nếu a + b
< c phương trình vô nghiệm.
2. Nếu a + b
c, khi đó để tìm nghiệm của phương trình (1) ta thực hiện tiếp bước 2.
Bước 2. Chia hai vế phương trình (1) cho 2 2a b , ta được:
2 2
a
a bsinx +
2 2
b
a bcosx =
2 2
c
a b
Vì (2 2
a
a b
2) + (2 2
b
a b
2) = 1 nên tồn tại góc α sao cho
2 2
a
a b= cos α ,
2 2
b
a b= sin α
Khi đó, phương trình (1) có dạng:
sinx.cos α + sin α .cosx = 2 2
c
a b sin(x + α ) =
2 2
c
a b
Đây là phương trình cơ bản và có hàm số sin.
Page 6
6
Cách 2: Thực hiện theo các bước:
Bước 1. Với cosx
2 = 0 x = π + 2k π , k Z, kiểm tra vào phương trình
Bước 2. Với cosx
2 0 x π + 2k π , đặt t = tg
x
2, suy ra
sinx = 2
2t
1 t và cosx =
2
2
1 - t
1 t
Khi đó, phương trình (1) có dạng:
a.2
2t
1 t + b.
2
2
1 - t
1 t = c (c + b) 2t - 2at + c – b = 0 (2)
Bước 3. Giải phương trình (2) theo t.
Cách 3: Với những yêu cầu biện luận tính chất nghiệm của phương trình trong ( , ), ta có thể
lựa chọn phương pháp điều kiện cần và đủ.
Nhận xét quan trọng:
1. Cách 1 thường được sử dụng bởi các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện
của tham số để phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải và biện luận phương trình theo
tham số.
2. Cách 2 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện
của tham số để phương trình có nghiệm thuộc tập D với D [0, 2 π ]
3. Cách 3 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu biện luận theo tham số để phương
trình k có nghiệm thuộc tập D với D [0, 2 π ]
4. Từ cách giải 1 ta có được kết quả sau:
- 2 2a b asinx + bcosx 2 2a b
kết quả đó gợi ý cho bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số dạng
y = a.sinx + b.cosx, y = a.sinx + b.cosx
c.sinx + d.cosx và phương pháp đánh giá cho một số phương trình
lượng giác.
Dạng đặc biệt:
sinx + cosx = 0 x = - π
4 + k π , k Z
sinx – cosx = 0 x = π
4 + k π , k Z
Bài tập tự luận
7. Giải các phương trình sau:
a. 3sinx – 3 cos3x = 43sin x – 1
b. 3 sin4x – cos4x = sinx – 3 cosx
c. 2sinx(cosx – 1) = 3 cos2x
d. 2sin3x – sin2x + 3 cos2x = 0
8. Giải các phương trình sau:
a. 3 sin(x - π
3) + sin (x +
π
6) – 2sin1972x = 0
b. sinx = 1
3(3 - 3 cosx)
Page 7
7
9. Giải các phương trình sau:
a. (1 + 3 )sinx + (1 - 3 )cosx = 2
b. sin2x + ( 3 - 2)cos2x = 1
10. Giải các phương trình sau:
a. 3cosx – sin2x = 3 (cos2x + sinx)
b. 2 cos(x
5 -
π
12) - 6 sin(
x
5 -
π
12) = 2sin(
x
5 +
2π
3) – 2cos(
x
5 +
π
6)
11. Cho phương trình: (m - 1)sinx – cosx = 1
a. Giải phương trình với m = 1
b. Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc [ - π
2,
π
2]
12. Cho phương trình: 3 sinx + cosx = m
a. Giải phương trình với m = -1
b. Biện luận theo m số nghiệm thuộc (-π
6, 2 π ] của phương trình.
IV.Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x
Phƣơng pháp chung
Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx có dạng:
a2sin x + bsinx.cosx + c.
2osc x = d (1)
Để giải phương trình (1) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Với cosx = 0 x = π
2 + k π , k Z
Khi đó phương trình (1) có dạng a = d
- Nếu a = d, thì (1) nhận x = π
2 + k π làm nghiệm
- Nếu a d, thì (1) không nhận x = π
2 + k π làm nghiệm
Bước 2: Với cosx 0 x π
2 + k π , k Z
Chia hai vế của phương trình (1) cho 2cos x 0, ta được
a 2tg x + btgx + c = d(1 + 2tg x)
Đặt t = tgx, phương trình có dạng:
(a – d)2t + bt + c – d = 0 (2)
Bước 3: Giải phương trình (2) theo t
Cách 2: Sử dụng các công thức:
2sin x =
1 cos2x
2
,
2cos x = 1 cos2x
2
và sinx.cosx =
1
2sin2x
ta được:
b.sin2x + (c - a)cos2x = d – c – a (3)
Đây là phương trình bậc nhất của sin và cos.
Nhận xét quan trọng:
Page 8
8
1) Cách 1 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện
của tham số để phương trình có nghiệm thuộc tập D.
2) Cách 2 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện
của tham số để phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải và biện luận phương trình theo
tham số.
Bài tập tự luận
13. Giải phương trình: 42sin x + 3 3 sin2x – 2 2cos x = 4
14. Cho phương trình: 32sin x + m.sin2x - 4 2cos x = 0
a. Giải phương trình khi m = 4
b. Xác định m để phương trình có nghiệm
15. Cho phương trình: (m + 1)2sin x – 2sinx.cosx + cos2x = 0
a. Giải phương trình khi m = 0
b. Xác định m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc (0, π
2)
16. Cho phương trình: m.2sin x – 3sinx.cosx – m – 1 = 0
a. Giải phương trình với m = 1
b. Tìm m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc (0, 3π
2)
17. Cho phương trình: m.sinx + cosx = 1
cosx, với m 0
a. Giải phương trình khi m = 3
b. Xác định m để phương trình có nghiệm
c. Giả sử m là giá trị làm cho phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn
x1 + x2 π
2 + k π . Tính cos2(x1 + x2) theo m
V.Phƣơng trình đối xứng đối với sin x và cos x
Phƣơng pháp chung
Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx có dạng:
a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (1)
hoặc a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (2)
Để giải phương trình (1) ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t | 2 sinx.cosx = 2t 1
2
Khi đó, phương trình có dạng:
at + b2t 1
2
+ c = 0 b
2t + 2at + 2c - b = 0 (*)
Bước 2: Giải (*) theo t và chọn nghiệm t0 thỏa mãn điều kiện | t | 2
Với t = t0, ta được:
sinx + cosx = t0 2 sin(x + π
4) = t0 sin(x +
π
4) = 0t
2
Đây là phương trình cơ bản của hàm số sin.
Page 9
9
Chú ý:
1) Ta có thể giải (1) bằng cách đặt ẩn phụ z = π
4 - x, khi đó ta có:
sinx + cosx = 2 cos(π
4 - x) = 2 cosz
sinx.cosx = 1
2sin2x =
1
2sin2 (
π
4 - z) =
1
2sin(
π
2 - 2z)
= 1
2cos2z =
1
2(2 2cos z - 1)
Khi đó, phương trình ban đầu được đưa về dạng phương trình bậc hai đối với cosz.
2) Phương trình (2) được giải tương tự như (1) với ẩn phụ:
t = sinx – cosx, điều kiện | t | 2 sinx.cosx = 2t 1
2
Bài tập tự luận
18. Giải các phương trình sau:
a. | sinx – cosx | + 4sin2x = 1
b. | sinx + cosx | - sin2x = 1
19. Tìm m để phương trình: 3(sinx + cosx) = 4msinx.cosx có nghiệm thuộc (0, 3π
4)
20. Cho phương trình: (1 - cosx)(1 - sinx) = m
a. Giải phương trình với m = 2
b. Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc [0, π
2]
21. Cho phương trình: m(sinx + cosx) + sinxcossx + 1 = 0
a. Giải phương trình với m = 0
b. Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc [-π
2, 0]
22. Cho phương trình: m(sinx + cosx) + sin2x = 0
a. Giải phương trình với m = 0
b. Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc [0, π ]
23. Giải và biện luận theo k phương trình: 1
cosx -
1
sinx= k
24. Cho phương trình: m(sinx - cosx) + 2sinxcosx = m
a. Giải phương trình với m = 1 + 2
b. Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc [0, π ]
VI.Phƣơng trình lƣợng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài 1: Giải phương trình:
2sin2cos3 xx
Bài 2: Giải phương trình:
x
xxsin
1tancot
Page 10
10
Bài 3: Giải phương trình:
2cossincossin xxxx
Bài 4: Cho phương trình:
axx
sin
1
cos
1
a) Giải phương trình với a = 2 2
b) Chứng minh rằng nếu a < 2 2 thì phương trình vô nghiệm
Bài 5:Giải phương trình
| sinx – cosx | + | sinx + cosx | = 2
VII. Phƣơng trình lƣợng giác chứa căn thức
Bài 1: Giải phương trình:
xx
xx
cossin
12cos2sin 42 = 0
Bài 2: Giải phương trình:
0cossin1 xx
Bài 3: Giải phương trình:
xx
xxsin4
cos
cos1cos1
VIII.Phƣơng trình sử dụng các công thức cộng cung.
VÝ dô: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau
1. cos3x tgxsin3x 1;
2. cos3x 3sin3x 2cosx;
3. cos5x cos2x sin3xsin2x 0.
§iÒu kiÖn: x k2
1. Ta cã: cos3x tgxsin3x 1 cos3xcosx sinxsin3x cosx
x 2k
2x x 2kcos2x cosx k2k
2x x 2k x3
2. Ta cã: cos3x 3sin3x 2cosx
Page 11
11
cos3xcos sin sin3x cosx3 3
3x x k23
cos 3x cosx3
3x x 2k3
x k6
kk
x12 2
3. Ta cã: cos5x + cos2x + sin3xsin2x = 0
cos3xcos2x cos2x 0 cos2x cos3x 1 0
XÐt hai trêng hîp
ka.cos2x 0 2x k x
2 4 2
2kb.cos3x 1 3x 2k x k
3 3
Page 12
12
Bµi tËp
1. Áp dông c¸c c«ng thøc céng cung gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
1. 3sin5x cos5x 2sinx; 2.sin7x cos7x 2 cos3x
3.cos4x tgxsin4x 1; 4.sin6x 3 cos6x 2cosx
cos6x sinx5. 3
cosx sin6x
2. Áp dông c¸c c«ng thøc biÕn tÝch thµnh tæng gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
3
1. 2sin3xcosx sin2x 3 cos4x;
2. 2sin3xcosx sin 4x sin2x 2;
3. 2cos5xcosx cos4x sin3x;
4. 2sin7xsinx cos8x 3sin6x 1;
35. 2cos7xcos3x cos10
2
3. Áp dông c¸c c«ng thøc biÕn tæng thµnh tÝch gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
3
1. cos9x cosx sin13x sin3x
2. cos9x cosx cos5x 1 cos 4x
3. 2 cos4x 2 2 cos 2x 1 08
4. 2sin6x 1 4sin 3x12
5. 2sin 4x 3 4cos2x3
4. §Æt t = tgx ®Ó gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
Page 13
13
2 2
2
3
3
2 3
1. sin x 3cos x sin2x 2cos2x 5
2. sin x cos2x 2sin2x 1
3. cos3x cosx 4sin x
4. cosxcos2x cos x sinx
5. 2sin xcosx cos x cosx sinx
5. §Æt t sinx cosx , gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
3 3
2
3 3
1. sin3x cos3x 2 sinx cosx 1
2. sin x cos x sinx cosx 2
3. cosx sinx 2sinxcosx 1
4. 3sinx cosx 3sin2x 8sin x 1
5. sin x cos x sin2x 1 0
6. Sö dông c¸c c«ng thøc nh©n ®«i, nh©n ba gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
3
2
3
1. 2cos3x sin2x cosx 0
2. sin3x sin2x 2sinx 0
3. 3 cos3x 4sin x 3sinx 1
4. cos3x cos2x sin x 2
5. cos3x 3cosx 4cos 3x
7. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau
2
3
3
2
2
3
2
2 2
2 2
1 11. 2 7 tg x
cos x cosx
12. tg x tgx 4
cos x
3. tg x tgx 2cotgx 4
14. cotg x 3
sin x
15. tg x cotg x 6
sin xcos x
8. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau
Page 14
14
3 3
4 2
4 2
4 2 6 6
1. sin3x cos3x 2sin2x 1
2. sin x cos x 1 sinxcosx
3. 8cos x 8cos x 1 sin4x
4. 8cos x 8cos x 1 cos8x
5. 8cos x 8cos x 1 sin x cos x
sin4x6. 3 cosx
2 cos3x cosx
9. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
2 2
2
2
1. 3 1 tg x sin2x tg x 1
2tgx2. 3 2cotgx 0
1 tg x
sin3x3. tg5x 4cos x
sinx
IX.Phƣơng trình lƣợng giác không mẫu mực
Trường hợp 1: tổng hai số không âm
Áp dụng:
000
0
BABA
BA
Giải phương trình:
1. 04tan32cos34tan3cos4 23 xxxx (1)
Ta có:
26
0)1tan3()3cos2()1(
26
3
1tan
2
3cos
3
1tan
22
kx
xx
kx
x
x
x
2. 013cos12cos4cos8 2 xxx (2)
03cos1)14cos2(
03cos1)14cos44cos4(
03cos11)4cos1(4cos4)2(
2
2
xx
xxx
xxx
23
22
14cos
13cos kxx
x
Page 15
15
Trường hợp 2: phương pháp đối lập
Áp dụng: MBABMA
BA
Giải phương trình:
1. xxx 3sin26)4cos2(cos 2 (1)
Ta có:
xxx 3sin26sin.3sin4)1( 22
Do: 13sin 2 x và 1sin 2 x nên 4sin.3sin4 22 xx
Vậy xxx 3sin264sin.3sin4 22
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
22
kx
2. 21coscos3 xx (2)
1cos4)1(cos2
1cos4cos5cos3
1cos2cos3)2(
xx
xxx
xx
Ta có:
vàxx
xx
,01cos4
,0)1(cos2
Do đó dấu = của (2) xảy ra khi và chỉ khi:
)(
2
1cos
Zk
kx
x
Trường hợp 3:
Áp dụng: MA
NB
NBMA
NMBA
....
1sinsin2sinsin
1sin,1sin2sinsin
1sinsin2sinsin
vuvu
vuvu
vuvu
Tương tự cho các trương hợp:
2coscos
;2cossin
vu
vu
Giải phương trình:
1. 024
3cos2cos
xx (1)
24
3cos2cos
xx
Mà 14
3cos,12cos
xx nên dấu = của (1) xảy ra khi và chỉ khi:
Page 16
16
Zkkx
xx
,8
14
3cos2cos
2. 23cos.2cos.cos6cos4cos2cos xxxxxx (2)
)(
22
16cos2cos4cos
36cos2cos4cos
4
9)6cos2cos4(cos
4
3
4
9)6cos4cos62(cos
4
1cos.2cos.3cos)2(
1cos.2cos.3cos4
1)3cos(cos3cos2
13cos2cos.3cos2 2
tmkx
kx
xxx
xxx
xxx
xxxxxx
xxx
xxx
xxxVT
X.Loại nghiệm không thích hợp của một phƣơng trình lƣợng giác
Phƣơng pháp chung
Ta thường gặp 2 dạng toán sau:
Dạng 1: Tìm nghiệm thuộc (a, b) của phương trình
Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình
Bước 2: Giải phương trình để tìm nghiệm x = α + 2kπ
n, k, n Z
Bước 3: Tìm nghiệm thuộc (a, b):
a < α + 2kπ
n < b (k, n Z) (k0, l0) x0 = α + 0
0
2k π
n
Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình x β + 2lπ
n, l, n Z
Bước 2: Giải phương trình để tìm nghiệm x0 = α + 2kπ
n, k, n Z
Bước 3: Kiểm tra điều kiện ta lựa chọn một trong hai phương pháp sau:
Phương pháp đại số:
Nghiệm x0 bị loại khi và chỉ khi:
α + 2kπ
n = β +
2lπ
n
Nghiệm x0 chấp nhận được khi và chỉ khi:
α + 2kπ
n β +
2lπ
n
Phương pháp hình học:
Page 17
17
Biểu diễn các điểm x = β + 2lπ
n, l, n Z trên đường tròn đơn vị, khi đó ta được tập các
điểm C = {C1,…, Cp}
Biểu diễn các điểm x = α + 2kπ
n, k, n Z trên đường tròn đơn vị, khi đó ta được tập các
điểm D = {D1,…, Dq}
Lấy tập E = D\C = {E1,…, Er} từ đó kết luận nghiệm của phương trình là:
x = E1 + 2k π ,… x = Er + 2k π , k Z
Bài tập tự luận
25. Giải các phương trình sau:
a. 1 - cos4x
2sin2x=
sin4x
1 + cos4x
b. 2 2cotg x - tg
cos2x
x = 16(1 + cos4x)
26. Giải các phương trình sau:
a. 6sinx – 23cos x =
5sin 4x.cosx
2cos 2x
b. 4 4sin x + cos x
sin 2x=
1
2(tgx + cotgx)
27. Giải các phương trình sau:
a. sinx + sin2x + sin3x
cosx + cos2x + cos3x = 3
b. 21 2sin x - 3 2 sinx + sin2x
2sin x.cosx - 1
= 1
28. Giải các phương trình sau:
a. 2(sin3x – cos3x) = 1
s inx +
1
cos x
b. 3 3sin x + cos x
cosx - sinx= cos2x
29. Giải các phương trình sau:
a. 2 2 sin(x + π
4) =
1
s inx +
1
cos x
b.
4 4x xsin cos
2 21 - sinx
- 2tg x.sinx =
1
2(1 + sinx) + 2tg x
30. Giải các phương trình sau:
a. 3(cotg2x cos2x)
cotg2x - cos2x
- 2sin2x = 2
b. 1
tgx + cotg2x =
2(cos x - sinx)
cotgx - 1
31. Giải các phương trình sau:
Page 18
18
a. 4sin x + 4cos x = 7
8cotg(x +
π
3).cotg(
π
6 - x)
b. 1
cos x +
1
sin 2x =
2
sin 4x
32. Giải các phương trình sau:
a. 3tg3x + cotg2x = 2tgx + 2
sin4x
b. 2sin x – sinx + 2
1
sin x -
1
sinx = 0
33. Tìm các nghiệm của phương trình:
sinx
2 - cos
x
2 = 1 – sinx
thỏa mãn điều kiện |x
2-
π
2| ≤
3π
4
34. Tìm các nghiệm của phương trình:
1
2(cos5x + cos7x) -
2cos 2x + 2sin 3x = 0
thỏa mãn điều kiện | x | < 2
35. Tìm các nghiệm của phương trình:
3π
4sin(2x +
5π
2) – 3cos(x -
7π
2) = 1 + 2sinx
thỏa mãn điều kiện x (π
2, 3 π )
36. Tìm tổng các nghiệm thỏa mãn 1 ≤ x ≤ 70 của phương trình:
cos2x - 2tg x = 2 3
2
cos x - cos x - 1
cos x
Một số bài tập tổng hợp luyện tập
1) 22 . sin(x + /4)=1/sin x + 1/cos x
2) Giải phương trình sin3x + cos
3x = 2(sin
5x + cos
5x)
3) Giải phương trình sin2x = 2cos2x + cos
23x
4) 8cos3(x + /3) = cos3x
5) sin6x + cos
6x = 2(sin
8x + cos
8x)
6) cos6x – sin
6x = 13/8 . cos
22x
7) 1 + 3tgx = 2sin2x
8) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4
Page 19
19
9) sin3x = cosx.cos2x.(tg2x + tg2x)
10) Cho f(x) = cos22x + 2(sinx + cosx)
2 – 3sin2x + m
Giải PT f(x) = 0 khi m = -3
Phương trình bậc nhất và bậc 2:
1. 2sin 2 x + 5sin x – 3 = 0
Ans:
26
5
26
kx
kx
2. 2cos x2 - 3cos x + 1 = 0
Ans:
23
23
2
kx
kx
kx
3. cos x2 = sin x
Ans:
22
51arcsin
22
51arcsin
kx
kx
4. (Đại học quốc gia Hà Nội- Khối D năm 2000-2001)
x2sin2tan31
Ans:
k4
Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x :
1. 3 sin x + cos x = 1
Ans:
2
23
kx
kx
2. y = 4sincos2
3sin2cos
xx
xx ( );( x )
Tìm x để y min, max.
Ans:
2max
11
2min
y
y
Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sin x và cos x
1. 4sin x2 - 5sin x cos x - 6cos x2
= 0
Page 20
20
Ans:
2tan
4
3tan
x
x
2. sin x2 - 3 sin x cos x + 2cos x2
= 1
Ans:
kx
kx
6
2
3. 4sin x2 + 3 3 sin x2 - 2cos x2
= 4
Ans:
kx
kx
6
2
Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x :
1. (2 + 2 )(sin x cos x ) – sin x2 = 2 2 + 1
Ans:
24
kx
2. -6( sin x - cos x ) - sin x cos x = 6
Ans:
22
3
2
kx
kx
3. 1 + tan x = 2sin x + xcos
1
Ans:
24
4
3
kx
kx
Phương trình bậc chẵn hoặc bậc lẻ đối với sin x , cos x
1. 3sin 3 x - cos 3 x + 2cos x = 0
Ans:
kx
4
2. 6sin x - 2cos 3 x = 5 sin x2 .cos x
Ans:
kx 4
3. sin 2 x2 = 4( cos 4 x + cos x2 ) + sin x4
Ans:
kx
kx
4
4
4. sin 7 x + cos 5 x + 2
1(cos 3 x + sin 5 x ).sin x2 = sin x + cos x
Page 21
21
Ans:
kx
kx
kx
4
2
Sử dụng công thức biến tích thành tổng:
1. sin x .sin x2 .sin x3 = x4sin4
1
Ans:
2
48
kx
kx
2. sin x2 .sin x5 = sin x3 .sin x4
Ans:
2
kx
kx
3. cos x5 .sin x4 = cos x3 .sin x2
Ans:
714
2
kx
kx
4. 3 + 2sin x . sin x3 = 3cos x2
Ans: kx
5.
Sử dụng công thức biến tổng thành tích:
1. 04cos.3cos
1
3cos.2cos
1
2cos.cos
1
xxxxxx
Ans: x = 3
k
2. sin x + sin x2 + sin x3 = cos x + cos x2 + cos x3
Ans:
23
2
23
2
28
kx
kx
kx
3.
Dạng khác
1. )4
7sin(4
)2
3sin(
1
sin
1x
xx
Page 22
22
Ans:
kx
kx
kx
8
3
8
24
1. sin x = 2 sin x5 - cos x
Ans:
324
7
216
3
kx
kx
2. 1 + tan x = 2sin x + xcos
1
Ans:
24
4
3
kx
kx
3. )cot(tan2
1
2sin
cossin 44
gxxx
x x
Ans: phương trình vô nghiệm.
4. 1cossin 43 xx
Ans:
22
kx
kx
5. xxxx cos.2sin3sin.2sin
Ans:
kx
kx
3
2
6. xxx
sin212
cos2
sin 44
Ans:
2
2
kx
kx
7. (Đại học sư phạm Hà Nội- Khối B, D năm 2000-2001)
xxx cos82sin23cos4 3
Page 23
23
Ans:
24
3
24
2
kx
kx
kx
8. (Đại học giao thông vận tải Hà Nội năm 2000-2001)
xxxx 2cos3cos).cos(sin22
Ans: Phương trình vô nghiệm
9. (Đại học hàng hải năm 2000-2001)
3cos4)4sin24cos3)(1sin2( 2 xxxx
Ans:
2
26
7
kx
kx
10. (Đề thi đại học kiến trúc Hà Nội- chuyên ban năm 2000-2001)
xxxgxxxx 2sin2tan.coscot.sincossin 3333
( gợi ý: xxx 2sin2cossin )
11. (Đại học ngoại thương - Khối A – CSII – năm 2000-2001)
xxxxx 2cos2sincos3cossin1
Ans:
23
26
7
26
kx
kx
kx
kx
12. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
2
12sincossin 4 xmxx
Ans: );1[]1;( m
13. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
m( sin x +cos x ) + sin x2 = 0
Ans: ]22;2
2[m
14. 2a.sin x + (a+1)cos x = x
a
cos
a, Giải phương trình với a=1
Page 24
24
b, Tìm a để phương trình có nghiệm
Ans: a,
kx
kx
)51arctan(
)51arctan(
b, );0()1;( a
15.: Giải phương trình: cotanx + sinx(1+tanx.tanx/2)=4
(Đề thi ĐH&CĐ,khối B,năm 2006)
16. Giải các phương trình sau:a) sin³x.cosx- cos³x.sinx=¼ b) sin cos x =5/8
( Trích sách 400 bài toán lượng giác tự luận )
17 Giải các phương trình sau :
a)cos^6x+sin^6x=cos^6x +1/16 b)cos^6-sin^6x=cos2x
(Trích sách ‘400 BT lượng giác tự luận ’)
18. Giải các phương trình sau: a) (sinx.cot5x)/ cos9x = 1 (ĐH Huế)
b) 2tanx +cot2x = 2sin2x +1/sin2x ( ĐHQG Hà Nội)
(Trích sách ‘400 BT lượng giác tự luận)
19. Giải các phương trình sau: cos3x +cos2x – cosx-1=0
(Trích sách ‘400BT lượng giác tự luận’)
20.Giải phương trình sau: sin²2x +cos²3x =1
21.Giải các phương trình sau: a) cos²x + cos²2x + cos²3x +cos²4x = 3/2 ( HVQHQT)
b) sin²x + sin²2x +sin²3x = 3/2
22. Cho phương trình (*):
0cos)34(cossin)2(2sin)12(3sin)64( 23 xmxxmxmxm
a/ Giải phương trình khi m = 2
b/ Tìm m để phương trình (*) có duy nhất một nghiệm trên
4,0
Gợi ý-Đáp án
Page 25
25
Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản
II. Một số bài tập tham khảo:
3. Giải phương trình:
2
1)12cos(/a với x
2
1
6
5x
2
1
6x
1k
0kZk
2
1
6
7k
6
5
2
1
2
1k
6
2
1k
6x*
2
1
6x0kZk
2
1
6
5k
6
7
2
1
2
1k
6
2
1k
6x*
)Zk(2
1k
6x
2k3
12
3cos)12cos(
2
2)15x2sin(/b với 90x120
75x
105x
0k
1kZk
12
1k
12
1390180.k75120
180.k75x*
30x0kZk
3
1k
6
590180.k30120
180.k30x*
)Zk(180.k75x
180.k30x
360.k13515x2
360.k4515x2
4. Giải phương trình:
Page 26
26
)Zk(2k
4
3x
kx
2
1xcos
0xsin
0xcos21
0xsin2
0)xcos21(xsin2
0sxcosxsin22xsin2
0x2sin2xsin2/d
)Zk(
9
k2
18x
k22
x
k22
x92
k22
x2
02
x92cos
02
x2cos
02
x92cos.
2
x2cos2
0x5cos)x42
cos(
0x5cosx4sin/c
)Zk(
5
k2
10x
2k2
x
2kx22
x3
2kx22
x3
)x22
sin(x3sin
x2cosx3sin/b
)Zk(
3
)1k2(
3
2x
2k2x
2k)3x(1x2
2k3x1x2
)3xsin()1x2sin(/a
Phƣơng trình bậc hai của một hàm số lƣợng giác
BT1: Giải phương trình
Page 27
27
1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x (1)
Chuyển tất cả số hạng từ vế phải sang vế trái rồi biến đổi thành tích:
sinx + (1– cos2x) – (cosx – cos3x) – sin2x
= sinx + 2sin2x – 2sinxsin2x – sin2x
= sinx(1 + 2sinx) – sin2x(2sinx + 1)
= (1 + 2sinx)(sinx – sin2x)
= (1 + 2sinx)sinx(1 – 2cosx)
(1) (1 + 2sinx)sinx(1 – 2cosx) = 0
BT2: Giải phương trình
cos2x – cosx = 2sin2
Ta có:
cos2x – cosx = 2sin2
–2sin sin – 2sin2
= 0
–2sin = 0
–2sin 2sinxcos = 0
(k )
(k )
Page 28
28
(k )
BT3: Giải phương trình
sin4x + 3sin2x = tanx (ĐK: cosx 0)
Nhân hai vế của phương trình với cosx rồi biến đổi như sau:
sin4xcosx + 3sin2xcosx – sinx = 0
sin5x + 4sin3x + sinx = 0
sin5x + sinx + 4sin3x = 0
sin3x(cos2x + 2) = 0
sin3x = 0
x = (tmđk)
Phƣơng trình bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác
1. Đặt t = cosx, điều kiện | t | 1. Khi đó, phương trình có dạng: 2t - (2m + 1)t + m + 1 = 0
1t =
2
t = m
1cosx =
2
cosx = m
πx = 2kπ
3
cosx = m (*)
, k Z
a. Với m = 3
2 thì phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy với m = 3
2 phương trình có hai họ nghiệm
πx = 2kπ
3 , k Z
b. Để phương trình có nghiệm thuộc [π
2,
3π
2] điều kiện là:
(*) có nghiệm thuộc [π
2,
3π
2] -1 m 0.
Vậy, với -1 m 0 thỏa mãn điều kiện đề bài
2. Biến đổi phương trình về dạng:
5 – 4(1 - 2cos x) – 4(1 + cosx) = 3m 4
2cos x – 4cosx – 3m – 3 = 0
Đặt t = cosx, điều kiện | t | 1
Khi đó phương trình có dạng:
f(t) = 42t - 4t – 3m – 3 = 0 (1)
a. Với m = - 4
3, phương trình có dạng:
42t - 4t + 1 = 0 t =
1
2 cosx =
1
2
πx = 2kπ
3 , k Z
Vậy, với m = - 4
3, phương trình có hai họ nghiệm.
b. Phương trình có nghiệm:
(1) có nghiệm thuộc [-1, 1] (1) có 1 nghiệm thuộc [-1, 1]
hoặc(1) có 2 nghiệm thuộc [-1, 1]
Page 29
29
f(-1).f(1) 0
' 0
af(-1) 0
af(1) 0
S-1 1
2
(5 3m)(-3 - 3m) 0
16 + 12m 0
5 - 3m 0
- 3 - 3m 0
1-1 1
2
+m Z
m = - 1
m = 0
m = 1
Vậy, với m = 1 hoặc m = 0 phương trình có nghiệm.
3. Biến đổi phương trình về dạng:
1 - 22sin x + 5sinx + m = 0 2
2sin x – 5sinx – m -1 = 0
Đặt t = sinx, điều kiện | t | 1
Khi đó, phương trình có dạng:
f(t) = 2 2t - 5t – m -1 = 0
a. Với m = 2, phương trình có dạng:
22t - 5t – 3 = 0
t 1
3t = (L)
2
sinx = -1 x = -π
2 + 2k π , k Z
Vậy, với m = 2, phương trình có một họ nghiệm.
b. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thuộc [-1, 1]
(1) có 1 nghiệm thuộc [-1, 1]
hoặc (1) có 2 nghiệm thuộc [-1, 1] (loại vì S
2 =
5
4)
f(-1).f(1) 0 (6 – m)(- 4 – m) 0 - 4 m 6
Vậy, với - 4 m 6 phương trình có nghiệm.
4. Đặt t = cosx, điều kiện | t | 1
Khi đó, phương trình có dạng:
f(t) = 42t - 2(m – 1)t – m = 0
a. Với m = 3 , phương trình có dạng:
42t - 2( 3 - 1)t - 3 = 0
1t = -
2
3t =
2
1cosx = -
2
3cosx =
2
2πx = 2kπ
3
πx = 2kπ
6
, k Z
Vậy, với m = 3 , phương trình có bốn họ nghiệm
b. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thuộc [-1, 1]
(1) có 1 nghiệm thuộc [-1, 1]
hoặc (1) có 2 nghiệm thuộc [-1, 1]
f(-1).f(1) 0
' 0
af(-1) 0
af(1) 0
S-1 1
2
2
(m + 2)(6 3m) 0
m 2m + 1 0
m + 2 0
6 - 3m 0
m - 1-1 1
4
mọi m
Vậy, với mọi m phương trình luôn có nghiệm.
5. Biến đổi phương trình về dạng:
m(22cos x - 1) – 4(m – 2)cosx + 3(m – 2) = 0
Page 30
30
m 2cos x – 2(m – 2)cosx + m – 2 = 0
Đặt t = cosx, điều kiện | t | 1
Khi đó, phương trình có dạng:
f(t) = m 2t - 2(m – 2)t + m – 2 = 0
Để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc (-π
2,
π
2) điều kiện là:
(1) có đúng 1 nghiệm thuộc (0, 1)
3 m < 4
6. Biến đổi phương trình về dạng:
(m – 1)(1 - 2cos x) – 2(m + 1)cosx + 2m – 1 = 0
(m – 1) 2cos x + 2(m + 1)cosx – 3m + 2 = 0
Đặt t = cosx, điều kiện | t | 1
Khi đó, phương trình có dạng:
(m – 1)2t + 2(m + 1)t – 3m + 2 = 0
Ta có:
Δ’ = (m + 1 2) + (3m - 2)(m - 1) = 4 2m - 3m + 3,
af(-1) = (m – 1)(- 4m – 1), af(1) = 3(m – 1),
S
2 - 1 = -
m + 1
m - 1 - 1 = -
2m
m - 1,
S
2 + 1 = -
m + 1
m - 1 + 1 = -
2
m - 1
Kẻ bảng:
m Δ’ af(-1) af(1) S
2 - 1
S
2 + 1
So sánh các nghiệm với
-
-1/4
0
1
+
+
+
+
+
-
0
+
+
0
-
-
-
-
0
+
-
-
0
+
||
-
-
-
-
||
+
t1 < -1 < t2
t1= -1
-1 < t1 < 1 < t2
t = ¼
t1 < -1 < t2 < 1
Vậy:
Với m < - 1
4, phương trình vô nghiệm
Với m = - 1
4, phương trình có nghiệm t1 = - 1 x = π + 2k π , k Z
Với - 1
4 < m < 1, phương trình có nghiệm:
Page 31
31
t1 = 2m - 1 - 4m 3m 3
m 1
cosx = t1 = cos α
x = α + 2k π , k Z
Với m = 1, phương trình có nghiệm:
t = 1
4 cosx =
1
4 = cos β x = β + 2k π , k Z
Với m > 1, phương trình có nghiệm:
t2 = 2m - 1 + 4m 3 3
m 1
m
cosx = t2 = cos γ
x = γ + 2k π , k Z
Phƣơng trình bậc nhất của sin x và cos x
7.
a. Biến đổi phương trình về dạng:
3sinx - 43sin x - 3 cos3x = 1
sin3x - 3 cos3x = 11
2sin3x -
3
2cos3x =
1
2
sin3x.cosπ
3 - cos3x.sin
π
3 =
1
2 sin(3x -
π
3) = sin
π
6
π π3x - 2kπ
3 6
π π3x - π - 2kπ
3 6
π 2kπx
6 3
7π 2kπx
18 3
, k Z
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.
b. Biến đổi phương trình về dạng:
3
2sin4x -
1
2cos4x =
1
2sinx -
3
2cosx sin(4x -
π
6) = sin(x -
π
3)
π π4x - x - 2kπ
6 3
π π4x - π - x + 2kπ
6 3
π 2kπx -
18 3
3π 2kπx
10 5
, k Z
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.
c. Biến đổi phương trình về dạng:
2sinx.cosx – 2sinx = 3 cos2x sin2x - 3 cos2x = 2sinx
1
2sin2x -
3
2cos2x = sinx sin2x.cos
π
3 - cos2x.sin
π
3 = sinx
sin(2x - π
3)
π2x - x + 2kπ
3
π2x - π - x 2kπ
3
πx = + 2kπ
3
4π 2kπx =
9 3
, k Z
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm
d. Biến đổi phương trình về dạng:
2sin3x = sin2x - 3 cos2x sin3x = 1
2sin2x -
3
2cos2x
Page 32
32
sin3x = sin2x.cosπ
3 - cos2x.sin
π
3 = sinx sin3x = sin(2x -
π
3)
π3x = 2x - + 2kπ
3
π3x = π - 2x + 2kπ
3
πx = - + 2kπ
3
4π 2kπx =
15 5
, k Z
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.
8.
a. Biến đổi phương trình về dạng:
3 sin(x - π
3) + cos(x +
π
6 -
π
2) – 2sin1972x = 0
3 sin(x - π
3) + cos(x -
π
3) = 2sin1972x
3
2sin(x -
π
3) +
1
2cos(x -
π
3) = sin1972x
sin(x - π
3 +
π
3) = sin1972x
sin1972x = sinx 1972x x + 2kπ
1972x = π - x + 2kπ
2kπx
1971
π 2kπx = +
1973 1973
, kZ
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm
b. Biến đổi phương trình về dạng:
3sinx + 3 cosx = 13
2sinx +
1
2cosx =
1
2 3
2
2
π ππx + = - + 2kπ
m 2x = - 2kπ1 3 1 - t 6 6α 3
π π m 02 2 1 tx = π 2kπx + = π + + 2kπ
6 6
sinx.cosπ
6 + cosx.sin
π
6 =
1
2 3 sin(x +
π
6) =
1
2 3 = sin α
πx + α 2kπ
6
πx + = π - α + 2kπ
6
πx α - 2kπ
6
5πx = - α + 2kπ
6
, k Z
9.
a. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng:
1 + 3
2 2sinx +
1 - 3
2 2cosx =
1
2
Đặt 1 + 3
2 2 = cos α ,
1 - 3
2 2 = sin α , ta được:
sinx.cos α + cosx.sin α = 1
2 sin(x + α ) = sin
π
4
Page 33
33
πx + α = 2kπ
4
πx + α = π - + 2kπ
4
πx = α 2kπ
4
3πx = - α+ 2kπ
4
, k Z
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:
(sinx + cosx) + 3 (sinx – cosx) = 2 2 sin(x + π
4) - 6 cos(x +
π
4) = 2
1
2sin(x +
π
4) -
3
2cos(x +
π
4) =
1
2
sin(x + π
4).cos
π
3 - cos(x +
π
4).sin
π
3 =
1
2 sin(x -
π
12) = sin
π
4
π πx - = 2kπ
12 4
π πx - = π - + 2kπ
12 4
πx = 2kπ
3
5πx = + 2kπ
6
, k Z
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.
b. Biến đổi phương trình về dạng:
( 3 - 2)cos2x = 1 – sin2x ( 3 - 2)( 2cos x - 2sin x) = (cosx - sinx 2)
[( 3 - 2)(cosx + sinx) – (cosx – sinx)](cosx - sinx) = 0
( 3 3)cosx = (1 - 3)sinx
cosx = sinx
tgx = - 3
tgx = 1
πx = - kπ
3
πx = kπ
4
, k Z
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.
10.
a. Biến đổi phương trình về dạng:
3cosx - 3 sinx = 3 cos2x + sin2x
3 (3
2cosx -
1
2sinx) =
3
2cos2x +
1
2sin2x
3 cos(x + π
6) = sin(2x +
π
3)
3 cos(x + π
6) = 2sin(x +
π
6).cos(x +
π
6)
πcos(x + ) 0
6
π 3sin(x + ) =
6 3
π πx + kπ
6 2
π πx + = + 2kπ
6 3
π 2πx + = + 2kπ
6 3
πx = kπ
3
πx = 2kπ
6
πx = 2kπ
2
, k Z
Vậy, phương trình có ba họ nghiệm.
b. Sử dụng phép biến đổi từng phần:
cos(x
5 -
π
12) - 3 sin(
x
5 -
π
12)
Page 34
34
= 2[1
2cos(
x
5 -
π
12) -
3
2sin(
x
5 -
π
12)]
= 2sin(π
6 -
x
5 +
π
12) = 2sin(
π
3 -
x
5) = 2sin[ π - (
x
5 +
2π
3)]
= 2sin(x
5+
2π
3) = 2sin(
x
5 +
π
6 +
π
2) = 2cos(
x
5 +
π
6)
Từ đó, phương trình được biến đổi về dạng:
2 2 sin(x
5 +
2π
3) = 0
x
5 +
2π
3 = k π x = -
10π
3 + 5k π , k Z
Vậy, phương trình có một họ nghiệm.
11. Xét hai trường hợp:
Với cosx
2 = 0
x
2 =
π
2 + k π x = π + 2k π , k Z, thay vào phươg trình ta được:
(m – 1)sin( π + 2k π ) – cos( π + 2k π ) = 1 luôn đúng
Vậy x = π + 2k π , k Z là một họ nghiệm của phương trình.
Với cosx
2 0
x
2
π
2 + k π x π + 2k π , k Z
Đặt t = tgx
2, suy ra sinx =
2
2t
1 t và cosx =
2
2
1 - t
1 t
Khi đó, phương trình có dạng:
2
2(m - 1)t
1 t -
2
2
1 - t
1 t = 1 2(m – 1)t – 1 +
2t = 1 + 2t (m – 1)t = 1 (2)
a. Với m = 1 ta thấy ngay phương trình chỉ có một họ nghiệm x = π + 2k π , k Z
b. Với x [-π
2,
π
2] thì t [-1, 1]
Do vậy, để phương trình có nghiệm thuộc [-π
2,
π
2] điều kiện là phương trình (2) có nghiệm
thuộc [-1, 1]
m - 1
1- 1 1
m - 1
m 2
m 0
Vậy, với m (- , 0] [2, + ) thỏa mãn điều kiện đề bài.
12.
a. Với m = -1, phương trình có dạng:
3 sinx + cosx = -1 3
2sinx +
1
2cosx = -
1
2 sin(x +
π
6) = sin(-
π
6)
π πx + = - + 2kπ
6 6
π πx + = π + + 2kπ
6 6
πx = - 2kπ
3
x = π 2kπ
, k Z
Vậy, với m = -1 phương trình có hai họ nghiệm.
b. Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng y = m với phần đồ thị
hàm số y = sin(x + π
6) trên D = (-
π
6, 2 π ]
Từ đó, ta có thể kết luận:
Với | m | > 2, phương trình vô nghiệm.
Với m = 2, phương trình có 1 nghiệm thuộc D.
Page 35
35
Với – 2 < m 0 hoặc 1 < m < 2, phương trình có 2 nghiệm thuộc D.
Với 0 < m 1, phương trình có 3 nghiệm thuộc D.
Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x
13. Biến đổi phương trình về dạng:
2(1 – cos2x) + 3 3 sin2x – (1 + cos2x) = 4
3 sin2x – cos2x = 1 3
2sin2x -
1
2cos2x =
1
2
sin(2x - π
6) = sin
π
6
π π2x - 2kπ
6 6
π π2x - π - 2kπ
6 6
πx kπ
6
πx kπ
2
, k Z
14. Ta có cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của phương trình cho 2cos x 0, ta được:
3 2tg x + 2mt.tgx – 1 = 0
Đặt t = tgx, phương trình có dạng:
3 2t + 2mt – 1 = 0 (2)
a. Với m = 0, ta được:
32t – 1 = 0 t =
1
3 tgx = tg
π
6 x =
π
6 + k π , k Z
Vậy, với m = 0 phương tình có hai họ nghiệm
b. Để phương trình có nghiệm:
(2) có nghiệm ' 0 2m + 3 0 , luôn đúng.
Vậy, với mọi m phương trình luôn có nghiệm.
15. Biến đổi phương trình về dạng:
(m + 1)2sin x - 2sinx.cosx + 1 - 2
2sin x = 0
(m - 1)2sin x - 2sinx.cosx + 1 = 0
Xét hai trường hợp:
Với cosx = 0 x = π
2 + k π , k Z
Khi đó, phương trình có dạng:
m – 1 = 1 = 0 m = 0
Với cosx 0 xπ
2 + k π , k Z
Chia 2 vế của phương trình cho 2cos 0, ta được:
(m - 1) 2tg x – 2tgx + 1 + 2tg x = 0 m 2tg x – 2tgx + 1 = 0
Đặt t = tgx, phương trình có dạng:
f(t) = m2t - 2t + 1 = 0 (1)
a. Với m = 0, phương trình có dạng:
-2t + 1 = 0 t = 1
2 tgx =
1
2 = tg α x = α + k π , k Z
Vậy, với m = 0 phương trình có hai họ nghiệm
b. Để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc (0, π
2)
(1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn 0 < t1 < t2
Page 36
36
' > 0
af(0) > 0
S0
2
1 m > 0
1 > 0
10
m
0 < m < 1
Vậy, với 0 < m < 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài
16. Ta thấy phương trình không nhận x = π
2 + k π làm nghiệm
Chia 2 vế của phương trình cho 2cos 0, ta được:
m. 2tg x - 3tgx – (m + 1)(1 + 2tg x ) = 0 2tg x + 3tgx + m + 1 = 0
Đặt t = tgx, phương trình có dạng:
f(t) = 2t + 3t + m + 1 = 0
a. Với m = 1, phương trình có dạng:
2t + 3t + 2 = 0 t = - 1
t = - 2
tgx = - 1
tgx = - 2 = tgα
πx = - kπ
4
x = α + kπ
, k Z
Vậy, với m = 1 phương trình có hai họ nghiệm
b. Để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc (0, 3π
2)
(1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn t1 < 0 < t2
af(0) < 0 m + 1 < 0 m < - 1
Vậy, với m < - 1 thỏa mãn điều kiện đề bài
17. Điều kiện cosx 0 x π
2+ k π , k Z
Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng:
msinx.cosx + 2cos x = 1 msinx.cosx =
2sin x
s inx = 0
m.cosx = sinx
cosx 0
s inx = 0
tgx = m
(I)
a. Với m = 3 , ta được:
(I) sinx = 0
tgx = 3
x = kπ
πx = + kπ
3
, k Z
Vậy, với m = 3 , phương trình có hai họ nghiệm
b. Từ (I) ta thấy phương trình (1) có nghiệm với mọi m
c. Vì x1 + x2 π
2+ k π , do đó có thể coi:
x1 là nghiệm của phương trình sinx = 0 tgx1 = 0
x2 là nghiệm của phương trình tgx = m tgx2 = m
suy ra:
cos2(x1 + x2) = cos2x1.cos2x2 – sin2x1.sin2x2
= 2
1
2
1
1 tg x
1 tg x
.
2
2
2
2
1 tg x
1 tg x
- 1
2
1
2tgx
1 tg x. 2
2
2
2tgx
1 tg x =
2
2
1 - m
1 m
Cách 2: Chia 2 vế của phương trình (1) cho cosx 0, ta được
mtgx + 1 = 1 + 2tg x 2t 2tg x – mtgx = 0
tgx = 0
tgx = m
(II)
Page 37
37
a. Với m = 3 , ta được:
(I) tgx = 0
tgx = 3
x = kπ
πx = + kπ
3
, k Z
Vậy, với m = 3 phương trình có hai họ nghiệm.
b. Từ (II) ta thấy phương trình (1) có nghiệm với mọi m.
c. Vì x1 + x2 π
2+ k π , do đó có thể coi:
x1 là nghiệm của phương trình tgx = 0 tgx1 = 0
x2 là nghiệm của phương trình tgx = m tgx2 = m
suy ra cos2(x1 + x2) = 2
2
1 - m
1 m
Phƣơng trình đối xứng với sin x và cos x
18.
a. Đặt | sinx – cosx | = t, điều kiện 0 t 2 , suy ra sinx.cosx = 21 t
2
Khi đó, phương trình có dạng:
t + 4(1 - 2t ) = 1 4
2t - t - 3= 0
t 1
3t (L)
4
| sinx – cosx | = 1 sin2x = 0 2x = k π x = kπ
2, k Z
Vậy, phương trình có một họ nghiệm.
b. Đặt | sinx + cosx| = t, điều kiện 0 t 2 , suy ra sinx.cosx = 2t 1
2
Khi đó, phương trình có dạng:
t – (2t - 1) = 1 2t - t = 0
t 1
t 0
sin 2x 0
sin 2x 1
2x kπ
π2x 2kπ
2
kπx
2
πx kπ
4
, k Z
Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.
19. Đặt t = sinx + cosx điều kiện | t | 2 , suy ra sinx.cosx = 2t 1
2
Khi đó, phương trình có dạng:
3t = 2m(2t - 1) = 0 f(t) = 2m
2t - 3t – 2m = 0
Với x (0, 3π
4) thì điều kiện 0 t 2 bởi phép biến đổi:
0 < x < 3π
4
π
4 < x +
π
4 < π 0 < sin(x +
π
4) 1
Page 38
38
0 < 2 sin(x + π
4) 2 1 < t 2
Để phương trình có nghiệm thuộc (0, 3π
4) điều kiện là
(1) có nghiệm thuộc (0, 2 ] (1) có 1 nghiệm thuộc (0, 2 ]
hoặc (1) có 2 nghiệm thuộc (0, 2 ]
f (0).f ( 2) 0
0
af(0) 0
af( 2) 0
S0 2
2
m 0
3 2m
2
Vậy,với m (- , 0) [3 2
2, + ) thoả mãn điều kiện đầu bài.
20. (1 - cosx)(1 - sinx) = m
sinx + cosx – sinx.cosx + m - 1 = 0
Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t | 2 , suy ra sinx.cosx = 2t 1
2
Khi đó,phương trình có dạng:
t - 2t 1
2
+ m – 1 = 0 f(t) =
2t - 2t – 2m + 1 = 0 (1)
a. Với m = 2 phương trình có dạng:
2t - 2t – 3 = 0 t = -1
t = 3 (L)
sinx + cosx = -1 sin(x + π
4) = -
2
2
π πx + 2kπ
4 4
π 5πx + 2kπ
4 4
πx 2kπ
2
x π 2kπ
, k Z
Vậy, với m = 2 phương trình có hai họ nghiệm.
b. Với x [0, π
2] thì điều kiện 1 t 2 bởi phép biến đổi:
0 x π
2
π
4 x +
π
4
3π
4
2
2 sin(x +
π
4) 1
1 2 sin(x + π
4) 2 1 t 2
Để phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc [0, π
2] thì điều kiện là:
(1) có đúng 1 nghiệm thuộc [1, 2 ]
f (t).f( 2) 0
b1 2
2a
0 m 3 2 2
2
Vậy, với 0 m 3 2 2
2
thỏa mãn điều kiện đề bài.
Page 39
39
21. Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t | 2 , suy ra sinx.cosx = 2t 1
2
Khi đó, phương trình có dạng:
mt + 2t 1
2
+ 1 = 0 f(t) = 2t + 2mt + 1 = 0 (1)
a. Với m = 0 , phương trình có dạng: 2t + 1 = 0 vô nghiệm
Vậy, với m = 0 phương trình vô nghiệm
b. Với x [-π
2, 0] thì điều kiện -1 t 1 bởi phép biến đổi:
-π
2 x 0 -
π
4 x +
π
4
π
4 -
2
2 sin(x +
π
4)
2
2
-1 2 sin(x +π
4) 1 -1 t 1
Để phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc [-π
2, 0] thì điều kiện là:
(1) có đúng 1 nghiệm thuộc [-1, 1]
f(-1).f(1) 0
b- 1 - 1
2a
| m | 1
Vậy, với | m | 1 thỏa mãn điều kiện đề bài.
22. Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t | 2 , suy ra sinx.cosx = 2t 1
2
Khi đó, phương trình có dạng:
mt + 2t - 1 = 0 f(t) =
2t + mt – 1 = 0
a. Với m = 2 phương trình có dạng:
2t - 1 = 0 sin2x = 0 2x = k π x = kπ
2, k Z
Vậy, với m = 0 phương trình trên có một họ nghiệm
b. Với x [0, π ] thì điều kiện -1 t 2 bởi phép biến đổi:
0 t π π
4 x +
π
4
5π
4 -
2
2 sin(x +
π
4) 1
-1 2 sin(x +π
4) 2 -1 t 2
Để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc [0, π ] điều kiện là:
(1) có hai nghiệm phân biệt thuộc [-1, 2 ]
0
af(-1) 0
af( 2) 0
S0 2
2
- 2 m 0
Vậy, với - 2 m 0 thỏa mãn điều kiện đề bài.
23. Điều kiện:
s inx 0
cosx 0
- 2 m 0
Page 40
40
Biến đổi phương trình về dạng:
s inx - cosx
sinx.cosx - k = 0 sinx – cosx – ksinx.cosx = 0
Đặt sinx – cosx = t, điều kiện | t | 2 , suy ra sinx.cosx = 2t 1
2
Khi đó phương trình có dạng:
t – k.21 t
2
= 0 f(t) = k 2t + 2t – k = 0 (2)
1) Với k = 0, ta được:
t = 0 sinx + cosx = 0 x = -π
4 + k π , k Z
Vậy với k = 0 phương trình có 1 họ nghiệm
2) Với k 0 , ta có:
Δ = 1 + 2k > 0 k, suy ra phương trình (2) có hai nghiệm là:
t1 = 21 1 k
k
; t2 =
21 1 k
k
Phương trình (1) có nghiệm (2) có nghiệm thỏa mãn - 2 t 2
Xét 2 trường hợp:
Trƣờng hợp 1: Phương trình (2) có 1 nghiệm thuộc [- 2 , 2 ]
f(- 2 )f( 2 ) 0 (k - 2 )(k + 2 ) 0 -2 2 k 2 2
Khi đó, nghiệm thuộc [- 2 , 2 ] là t2 = 21 1 k
k
sinx – cosx = 21 1 k
k
sin(x -
π
4) =
21 1 k
k
= sin α
πx - α + 2kπ
4
πx - π - α + 2kπ
4
πx α + + 2kπ
4
5πx = - α + 2kπ
4
, k Z
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Trƣờng hợp 2: Phương trình (2) có 2 nghiệm thuộc [- 2 , 2 ]
0
af( 2) 0
af(- 2) 0
S2 2
2
21 k 0
k(k 2 2) 0
k(k - 2 2) 0
12 2
k
k 2 2
k - 2 2
Khi đó, ta có:
Với t1 = 21 1 k
k
sinx – cosx = 21 1 k
k
sin(x -
π
4) =
21 1 k
k
= sin α
πx - α + 2kπ
4
πx - π - α + 2kπ
4
πx α + + 2kπ
4
5πx = - α + 2kπ
4
, k Z
Page 41
41
Với t2 = 21 1 k
k
sinx – cosx = 21 1 k
k
sin(x -
π
4) =
21 1 k
k
= sinβ
πx - β + 2kπ
4
πx - π - β + 2kπ
4
πx β + + 2kπ
4
5πx = - β + 2kπ
4
, k Z
Vậy phương trình có 4 họ nghiệm.
24. Đặt sinx - cosx = t, điều kiện | t | 2 , suy ra sinx.cosx = 2t 1
2
Khi đó phương trình có dạng:
mt + 1 - 2t = m f(t) =
2t - mt + m – 1 = 0t 1
t = m - 1
sinx - cosx 1
t = m - 1
π 2sin(x - )
4 2
t = m - 1
x = π + 2kπ
πx = 2kπ
2
t = m - 1 (*)
, k Z
a. Với m = 1 + 2 ta giải phương trình:
t = 2 sinx – cosx = 2 x = 3π
4 + 2k π , k Z
Vậy với m = 1 + 2 phương trình có 3 họ nghiệm
b. Để phương trìn có đúng 2 nghiệm thuộc [0, π ] điều kiện là:
(*) vô nghiệm hoặc có nghiệm bằng 1
| m 1| 2
m - 1 = 1
m > 1 2
m < 1 - 2
m = 2
Vậy với m (- , 1 - 2 ) (1 + 2 , + ){2}thỏa mãn điều kiện đề bài
Phƣơng trình lƣợng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài 1:
2sin2cos3 xx
xx cos32sin2
Điều kiện: 3
2cos x
Bình phương 2 vế của PT ta có:
Page 42
42
kkx
x
lx
x
xx
xx
,2
0cos
)(13/12cos
0cos
0cos12cos13
cos32sin4
2
22
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.
Bài 2:
x
xxsin
1tancot
Điều kiện:
k
kx
x
x,
20cos
0sin
kx
kx
x
x
xx
xxxx
xxxx
xxx
xx
23
2
23
2
2
1cos
02cos
1
0cos
2
cos
1
sin
1
cos
21
cos
11
sin
1
sin
1
cos
2tancot2
2sin
1tancot
10sintan
2
222
2
22
2
2
Kiểm tra điều kiện (1):
- Với x =
23
2k , ta được:
Page 43
43
03
1
2
3
13
23
2sin
12
3
2tan
sin
1tan
k
kx
x
Do đó họ nghiệm này bị loại.
- Với x = -
23
2k , ta được:
03
1
2
3
13
23
2sin
12
3
2tan
sin
1tan
k
kx
x
Do đó họ nghiệm này thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình có một họ nghiệm x = -
23
2k , k .
Bài 3:
.,2
02sin
12cos
12
2sin
24
cos4
sin21
24
cos4
sin
24
cos24
sin2
2cossincossin
2
kk
x
x
x
x
xx
xx
xx
xxxx
Vậy phương trình có một họ nghiệm .
Bài 4:
Page 44
44
xxaxx
axx
cossincossin
sin
1
cos
1
Đặt txx cossin , suy ra 2
1cossin
2
txx .
Do 1cos0,1sin01cossin 22 xxxx nên
1cossin
0cossincossin
0cos1cossin1sin
22
xx
xxxx
xxxx
Vậy điều kiện là 21 t .
Khi đó phương trình có dạng:
)2(02
02
1
2
2
atat
tat
a) Với a = 22 , ta có:
.,4
2cossin
12
1
2
022 222 2
kkx
xx
t
t
tt
Vậy với a = 22 phương trình có một họ nghiệm.
b) Phương trình (1) có nghiệm => (2) có nghiệm thỏa mãn 21 t .
Mà (2) không thể có 2 nghiệm thuộc khoảng 21 t (do (2) không thể có 2 nghiệm cùng dấu
vì a.c = -1 < 0) nên (2) chỉ có thể có 1 nghiệm thuộc khoảng 21 t .
.
22
0)22)(2(
02.1
a
a
ff
Vậy nếu a < 2 2 thì phương trình vô nghiệm.
Bài 5 :| sinx – cosx | + | sinx + cosx | = 2
Bình phương 2 vế ta được | cos2x | = 1 sin2x = 0 x = k/2
Phƣơng trình lƣợng giác chứa căn thức
Bài 1:
Page 45
45
.,4
12sin02cos
12cos
02sin
02cos2cos
02sin
012cos2sin
0cossin
0cossin
12cos2sin
2
2
24
42
42
kkx
xx
x
x
xx
x
xx
xx
xx
xx
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Bài 2:
20sinsin
10cos
cossin1
0cos
cossin1
0cossin1
2
2
xx
x
xx
x
xx
xx
Giải (2):
kkx
kx
x
x
x
x
x
x
x
,2
2
2
1sin
1cos
)1(1cos
1sin
1cos
1sin
0sin
2
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Bài 3:
xx
xxsin4
cos
cos1cos1
Điều kiện: .,2
0cos kkxx
Biến đổi phương trình về dạng:
Page 46
46
.,
36
510
8
3
8
228
228
24
322
4
2cos8cos
2
12sin
8cos12cos1
2
12sin
02sin
4cossin
04cos
02sin
4cossin
02sin
4cos1sin1
02sin
2sin22
sin2
cos
02sin
2sin22
sin2
cos
2sin22
sin22
cos2
22
2
2
22
kk
x
kx
kxk
kxx
kxx
kxk
xx
x
xx
x
x
xx
x
x
xx
x
xx
x
xxx
x
xxx
xxx
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Phƣơng trình lƣợng giác sử dụng các công thức cộng cung
1. ¸p dông c¸c c«ng thøc céng cung gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
Page 47
47
1. 3sin5x cos5x 2sinx; 2.sin7x cos7x 2 cos3x
3.cos4x tgxsin4x 1; 4.sin6x 3 cos6x 2cosx
cos6x sinx5. 3
cosx sin6x
Híng dÉn
1. 3sin5x cos5x 2sinx cos 5x sinx3
2.sin7x cos7x 2 cos3x sin 7x cos3x4
3. §iÒu kiÖn: x k ;2
cos4x tgxsin4x 1 cos3x cosx
4.sin6x 3 cos6x 2cosx sin 6x cosx3
5. §iÒu kiÖn: cosx sin6x
cos6x si
nx3
cosx sin6x
cos 6x sin x cos x3 3 6
2. ¸p dông c¸c c«ng thøc biÕn tÝch thµnh tæng gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
3
1. 2sin3xcosx sin2x 3 cos4x;
2. 2sin3xcosx sin 4x sin2x 2;
3. 2cos5xcosx cos4x sin3x;
4. 2sin7xsinx cos8x 3sin6x 1;
35. 2cos7xcos3x cos10
2
Page 48
48
Híng dÉn
3
3
3
2
1. 2sin3xcosx sin2x 3 cos4x
sin4x sin2x sin2x 3 cos4x
tg4x 3
2. 2sin3xcosx sin 4x sin2x 2
sin4x sin2x sin2x sin 4x 2
sin 4x sin4x 2 0
sin4x 1 sin 4x sin4x 2 0
sin4x 1
3. 2cos5xcosx cos4x sin3x
cos6x cos4x cos
4x sin3x
cos6x cos 3x2
4. 2sin7xsinx cos8x 3sin6x 1
cos6x cos8x cos8x 3sin6x 1
cos 6x cos3 3
35. 2cos7xcos3x cos10
2
3cos10x cos4x cos10x
2
3cos4x
2
3. ¸p dông c¸c c«ng thøc biÕn tæng thµnh tÝch gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
3
1. cos9x cosx sin13x sin3x
2. cos9x cosx cos5x 1 cos 4x
3. 2 cos4x 2 2 cos 2x 1 08
4. 2sin6x 1 4sin 3x12
5. 2sin 4x 3 4cos2x3
Híng dÉn
Page 49
49
3
3
3
2
1. cos9x cosx sin13x sin3x
2cos5xcos4x 2sin8xcos5x
cos5x cos4x sin8x 0
2. cos9x cosx cos5x 1 cos 4x
2cos5xcos4x cos5x 1 cos 4x
cos5x cos 4x 2cos4x 1 0
cos5x cos4x 1 cos 4x cos4x 1 0
3. 2 cos4x 2 2 cos 2x 18
0
cos4x 2cos 2x cos 0 Chia c¶ 2 vÕ cho 28 4
2cos 2x cos 2x 2cos 2x 08 8 8
2cos 2x cos 2x 1 08 8
4. 2sin6x 1 4sin 3x12
sin6x sin 2sin 3x Chia c¶ 2 v6 12
Õ cho 2
2sin 3x sin 3x 2sin 3x12 12 12
2sin 3x sin 3x 1 012 12
5. 2sin 4x 3 4cos2x3
sin 4x sin 2cos2x Chia c¶ 2 vÕ cho 23 3
2sin 2x cos2x 2cos2x3
2c
os2x sin 2x 1 03
4. §Æt t = tgx ®Ó gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
Page 50
50
2 2
2
3
3
2 3
1. sin x 3cos x sin2x 2cos2x 5
2. sin x cos2x 2sin2x 1
3. cos3x cosx 4sin x
4. cosxcos2x cos x sinx
5. 2sin xcosx cos x cosx sinx
Híng dÉn
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
2
2 2
2 2 2
1. sin x 3cos x sin2x 2cos2x 5
sin x 3cos x 2sinxcosx 2 2cos x 1 5
sin x 7cos x 2sinxcosx 7sin x 7cos x
6sin x 2sinxcosx 0
2. sin x cos2x 2sin2x 1
sin x 2cos x 1 2sin2x 1
sin x 2cos x 4sinxcosx 2sin x 2co
2
2
3
3 3 2 2
3 2
2
s x
sin x 4sinxcosx 0
3. cos3x cosx 4sin x
4cos x 4sin x 4cosx cos x sin x
4sin x 4cosxsin x 0
4sin x sinx cosx 0
3
2 3
3 2 2
3 3 3 2 2
3 2 2
4. cosxcos2x cos x sinx
cosx 2cos x 1 cos x sinx
cos x sinx cosx sin x cos x
cos x cos x sin x sinxcos x cosxsin x
sin x sinxcos x cosxsin x 0
Chia c¶ 2 vÕ cho 3cos x 0 ta thu ®îc:
3 2tg x tg x tgx 0
2 3
2 3 2 2
2 3 3 3 2 2
3 2 2
5. 2sin xcosx cos x cosx sinx
2sin xcosx cos x cosx sinx sin x cos x
2sin xcosx cos x cos x sin x sinxcos x cosxsin x
sin x sin xcosx cos xsinx 0
Chia c¶ 2 vÕ cho 3cos x 0 ta thu ®îc:
3 2tg x tg x tgx 0
5. §Æt t sinx cosx , gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
Page 51
51
3 3
2
3 3
1. sin3x cos3x 2 sinx cosx 1
2. sin x cos x sinx cosx 2
3. cosx sinx 2sinxcosx 1
4. 3sinx cosx 3sin2x 8sin x 1
5. sin x cos x sin2x 1 0
Híng dÉn
3 3
2
2 3
2
1. sin3x cos3x 2 sinx cosx 1
3sinx 4sin x 4cos x 3cosx 2 sinx cosx 1
4 sinx cosx 1 sinxcosx 5 sinx cosx 1
§Æt t = sinx + cosx, t 2 ta nhËn ®îc:
t 1- 4t 1- 5t 1
2
t 2t t 1 1 2t t 1 0
t 1 2t 2t 1 0 t 1
2. si
3 3
22
3 2
n x cos x sinx cosx 2
sinx cosx 1 sinxcosx sinx cosx 2
§Æt t = sinx + cosx, - 2 t 2 ta thu ®îc:
t 1t 1- t 2 t 3 t 2t 4
2
t 5 4 0 t 1 t t 4 0
3. cosx sinx 2sinxcosx 1
§Æt t = cosx - sinx, - 2 t 2 ta thu ®îc
2 2
2
2 2
2
3 3
:
t + 1 - t 1 t t 0 t 0;t 1
4. 3sinx cosx 3sin2x 8sin x 1
§Æt t = 3sinx + cosx, - 2 t 2 suy ra t 1 8sin x 3sin2x
ta thu ®îc: t 1 2 0
5. sin x cos x sin2x 1 0
sinx cosx 1 sinxcosx sin2x 1 0
Page 52
52
22
2 2
2
§Æt t = sinx - cosx, - 2 t 2 ta thu ®îc:
1 - tt 1 - 1 t 1 0
2
t 1 t 4 2t 0
t 1 t 3t 4 0 t 1
6. Sö dông c¸c c«ng thøc nh©n ®«i, nh©n ba gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
3
2
3
1. 2cos3x sin2x cosx 0
2. sin3x sin2x 2sinx 0
3. 3 cos3x 4sin x 3sinx 1
4. cos3x cos2x sin x 2
5. cos3x 3cosx 4cos 3x
Híng dÉn
3
3
2
2
3
2
1. 2cos3x sin2x cosx 0
2 4cos x 3cosx 2sinxcosx cosx 0
8cos x 2sinxcosx 5cosx 0
cosx 8cos x 2sinx 5 0
cosx 8sin x 2sinx 3 0
2. sin3x sin2x 2sinx 0
3sinx 4sin x 2sinxcosx 2sinx 0
sinx 4sin x 2cosx 5 0
sinx 4
2
3
cos x 2cosx 1 0
sinx 0
3. 3 cos3x 4sin x 3sinx 1
3 cos3x sin3x 1
sin 3x cos sin3 3 6
2
3 2 2
4. cos3x cos2x sin x 2
4cos x 3cosx 2cos x 1 1 cos x 2
Page 53
53
3 2
2
3
3 3
4cos x cos x 3cosx 2 0
cosx 1 4cos x 5cosx 2 0
cosx 1
5. cos3x 3cosx 4cos 3x
4cos x 4cos 3x
cos3x cosx
7. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau
2
3
3
2
2
3
2
2 2
2 2
1 11. 2 7 tg x
cos x cosx
12. tg x tgx 4
cos x
3. tg x tgx 2cotgx 4
14. cotg x 3
sin x
15. tg x cotg x 6
sin xcos x
Híng dÉn
2
3
3 2
3 2
2
3 2 3
2
3 2
1 11. 2 7 tg x
cosxcos x
1 1 12 8
cosxcos x cos x
1§Æt t, t 1, ta thu ®îc
cosx
2t t 2t 8 0
t 2 2t 3t 4 2 0
2. §iÒu kiÖn: cos2x 0 x k k2
1tg x tgx 4 1 tg x tg x tgx 4
cos x
tg x tg x tgx 3 0
tgx 1 tg
2x 2tgx 3 0
tgx 1
Page 54
54
2 2
3 2
2
3 3 2
2
3 2
2
3. §iÒu kiÖn: sin2x 0 x k k2
2tg x tgx 2cotgx 4 tg x tgx 4
tgx
tg x tg x 4tgx 2 0
tgx 1 tg x 2tgx 2 0
4. §iÒu kiÖn: sinx 0 x k k
1cotg x 3 cotg x 1 cotg x 3
sin x
cotg cotg x 2 0
cotgx 1 cotg x 2cotgx 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2
2
4 2
2
cotgx 1
5. §iÒu kiÖn: sin2x 0 x k k2
1tg x cotg x 6
sin xcos x
1 tg x 1 cotg x tg x cotg x 6
2tg x 2cotg x 4 0
22tg x 4 0
tg x
2tg x 4tg x 2 0
tg x 1
8. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau
3 3
4 2
4 2
4 2 6 6
1. sin3x cos3x 2sin2x 1
2. sin x cos x 1 sinxcosx
3. 8cos x 8cos x 1 sin4x
4. 8cos x 8cos x 1 cos8x
5. 8cos x 8cos x 1 sin x cos x
sin4x6. 3 cosx
2 cos3x cosx
Page 55
55
Híng dÉn
3 3
4 2
4 2
4 2
1. sin3x cos3x 2sin2x 1
sinx cosx 2sin2x 1 2sin2x 1 0
2. sin x cos x 1 sinxcosx
sinx cosx 1 sinxcosx 1 sinxcosx 0
3. 8cos x 8cos x 1 sin4x
cos4x sin4x
tg4x 1
4. 8cos x 8cos x 1 cos8x
cos4x cos8x
5. 8cos x 8cos x
6 6
2
1 sin x cos x
3 1 cos4x3cos4x 1 sin 2x 1
4 8
6. §iÒu kiÖn: cos3x + cosx 0
x k ;x k k4 2 2
sin4x3 cosx
2 cos3x cosx
sinx 3 cosx tgx 3
9. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
2 2
2
2
1. 3 1 tg x sin2x tg x 1
2tgx2. 3 2cotgx 0
1 tg x
sin3x3. tg5x 4cos x
sinx
Híng dÉn
2 2
2
2
1. §iÒu kiÖn: cosx 0 x k k2
3 1 tg x sin2x tg x 1
1 tg x3sin2x
1 tg x
1cos2x 3sin2x tg2x
3
Page 56
56
2
2
2
2. §iÒu kiÖn: sin2x 0 x k k2
2tgx3 2cotgx 0
1 tg x
3 2cotgx sin2x 0
1 sin2x 2 1 cotgx 0
2sinx cosx sinx cosx 0
sinx
2sinx cosx sinx cosx 0
sinx
sinx cosx2 sin x sinxcosx 0
sinx
sinx cosx 0 tgx 1
3.
2
2
§iÒu kiÖn: x k ;X k k10 5
sin3xtg5x 4cos x
sinx
sin3x5g5x 4cos x
sinx
tg5x 1
Loại nghiệm không thích hợp của một phƣơng trình lƣợng giác
25.
a. Điều kiện:
sin 2x 0
1 + cos4x 0
2
sin 2x 0
2cos 2x 0
sin4x ≠ 0 x ≠
kπ
4, k Z
Biến đổi phương trình về dạng:
1 - 2cos 4x = 2sin4x.sin2x 2sin 4x = 2sin4x.sin2x
sin 4x 0
sin4x = 2sin2x 2sin2x.coss2x = 2sin2xsin 2x 0
cos2x = loại
Vậy phương trình vô nghiệm
b. Điều kiện:
sinx 0
cosx 0
cos2x 0
sin 2x 0
cos2x 0
sin4x ≠ 0 x ≠
kπ
4, k Z
Ta có:
2cot g - 2t g = 4 4
2 2
cos x sin x
sin x.cos x
=
2 2
2
cos x sin x
1sin 2x
4
=
2
4cos2x
sin 2x
Do đó phương trình được biến đổi về dạng:
Page 57
57
2
4
sin 2x = 32 2cos 2x 1 = 2 2sin 4x cos8x = 0
8x = π
2 + k π x =
π
16 +
kπ
8, k Z thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm
26.
a. Điều kiện:
cos2x ≠ 0 2x ≠ π
2 + k π x ≠
π
4 +
kπ
2, k Z (*)
Biến đổi phương trình về dạng:
6sinx – 23cos x = 5sin2x.cosx 6sinx - 2
3cos x = 10sinx. 2cos x (1)
Với cosx = 0 x = π
2 + k π , k Z
(1) 6sin(π
2 + k π ) = 0 mâu thuẫn.
Vậy phương trình không nhận x = π
2 + k π làm nghiệm
Với cosx ≠ 0 x ≠ π
2 + k π , k Z
Chia 2 vế của phương trình (1) cho 3cos x ≠0, ta được
6(1 + 2tg x)tgx - 2 = 10tgx 3 3tg x - 2tgx - 1 = 0
(tgx – 1)(3 2tg x + 3tgx + 1) = 0
tgx = 1 x = π
4 + k π , vi phạm điều kiện (*)
Vậy phương trình vô nghiệm
b. Điều kiện:
sin 2x 0
cosx 0
sinx 0
sin2x ≠ 0 2x ≠ k π x ≠ kπ
2, k Z (*)
Biến đổi phương trình về dạng: 2 2 2 2 2(sin x cos x) 2sin x.cos x
sin 2x
=
1
2.
2 2sin x cos x
cosx.sin x
211 sin 2x
2sin 2x
=
1
sin 2x sin2x = 0 loại
Vây phương trình vô nghiệm
27.
a. Biến đổi tương đương phương trình về dạng:
2sin 2x.cosx + sin2x
2cos 2x.cosx + cos2x = 3
(2cosx + 1)sin2x
(2cosx + 1)cos2x = 3
2cos x 1 0
tg2x = 3
1cos x
2
π2x = kπ
3
Page 58
58
2πx 2kπ
3
π kπx =
6 2
πx kπ
6
πx = - 2kπ
3
, k Z
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
b. Điều kiện:
2sinx.cosx – 1 ≠ 0 sin2x ≠ 1 x ≠ π
4 + k π , k Z (*)
Biến đổi phương trình về dạng:
1 + 2 2sin x - 3 2 sinx + sin2x = sin2x – 1
22sin x - 3 2 sinx + 2 = 0
|sinx| 1
sinx = 2
2
(*)
x = 3π
4 + 2k π , k Z
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm
28.
a. Điều kiện:
s inx 0
cosx 0
sin2x ≠ 0 2x ≠ k π x ≠
kπ
2, k Z (*)
Ta có:
sin3x – cos3x = 3sinx - 43sin x - 4
3cos x + 3cosx
= 3(sinx + cosx) – 4(3sin x + 3cos x )
= (sinx + cosx)[3 – 4(2sin x +
2cos x – sinx.cosx)]
= (sinx + cosx)(2sin2x -1)
1
s inx +
1
cos x =
sinx + cosx
sinx.cos x =
2(sinx + cosx)
sin2x
Do đó, phương trình được biến đổi về dạng:
2(sinx + cosx)(2sin2x – 1) = 2(sinx + cosx)
sin2x
(sinx + cosx)(2sin2x – 1)sin2x = sinx + cosx
(sinx + cosx)(22sin 2x - sin2x - 1) = 0
2
sinx + cosx = 0
2sin 2x sin 2x - 1 = 0
tgx = - 1
1sin2x = -
2
sin 2x = 1
πx = - kπ
4
π2x = - 2kπ
6
7π2x = 2kπ
6
π2x = 2kπ
2
πx = - kπ
4
πx = - kπ
12
7πx = kπ
16
πx = kπ
4
π kπx =
4 2
πx = - kπ
12
7πx = kπ
12
, k Z
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm
b. Điều kiện:
cosx – sinx ≠ 0 tgx ≠ 1 x ≠ π
4 + k π , k Z (*)
Biến đổi phương trình về dạng:
Page 59
59
3sin x + 3cos x = cos2x.cosx – cos2x.sinx
3sin x + 3cos x = 1
2(cos3x + cosx) -
1
2(sin3x –sinx)
2( 3sin x + 3cos x) = 4 3cos x - 3cosx + cosx – 3sinx + 4 3sin x + sinx
3sin x + 3cos x – sinx – cosx = 0 (sinx + cosx)(1 – sinx.cosx – 1)=0
1
2(sinx + cosx)sin2x = 0
sinx + cosx = 0
sin2x = 0
tgx = - 1
sin2x = 0
πx = - kπ
4
2x = kπ
πx = - kπ
4
kπx =
2
, k Z
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
29.
a. Điều kiện:
s inx 0
cosx 0
sin2x ≠ 0 2x ≠ k π x ≠
kπ
2, k Z (*)
Biến đổi phương trình về dạng:
2(sinx + cosx)sinx.cosx = sinx + cosx
(sinx + cosx)(sin2x – 1) = 0sinx + cosx = 0
sin2x = 1
x = - 1
sin2x = 1
πx = - kπ
4
π2x = 2kπ
2
πx = - kπ
4
πx = kπ
4
x = π
4 +
kπ
2, k Z
Vậy phương trình cso 1 họ nghiệm
b. Điều kiện:
1 sinx 0
cosx 0
s inx 1
cosx 0
cosx ≠ 0 x ≠
π
2 + k π , k Z (*)
Biến đổi phương trình về dạng:
2 2 2 2 2x x x x(sin cos ) 2sin .cos
2 2 2 21 sinx
=
1
2(1 + sinx) + (1 + sinx) 2tg x
211 sin x
21 sinx
= (1 + sinx)(
1
2 + 2tg x) 2 -
2sin x = (1 - 2sin x)(1 + 2tg x)
1 + 2cos x =
2cos x + 22sin x cos2x = 0 x =
π
4 +
kπ
2, k Z
Vậy phương trình có một họ nghiệm
30.
a. Điều kiện:
sin 2x 0
cotg2x - cos2x 0
sin 2x 0
cos2x - cos2x 0
sin2x
sin 2x 0
cos2x 0
sin2x 1
sin4x ≠ 0 4x ≠ k π x ≠ kπ
4, k Z (*)
Biến đổi phương trình vè dạng:
Page 60
60
cos2x3 cos2x
sin2x
cos2xcos2x
sin2x
= 2(1 + sin2x)3(1 sin 2x)
1 sin 2x
= 2(1 + sin2x)
3(1 + sin2x) = 2(1 - 2sin 2x) 2
2sin 2x + 3sin2x + 1 = 0
sin2x = - 1 (L)
1sin2x = -
2
π2x = - 2kπ
6
7π2x = 2kπ
6
πx = - kπ
12
7πx = kπ
12
, k Z
b. Điều kiện:
cos x 0
sin2x 0
tgx + cotg2x 0
cotgx 1
sin2x 0
tgx + cotg2x 0
cotgx 1
(*)
Biến đổi phương trình về dạng:
1
sinx cos2x
cosx sin2x
= 2(cosx - sinx)
cosx1
sinx
sin2x.cosx
cos(2x x)= 2 sinx
sinx 0
2sinx = 2 cosx = 2
2 x =
π
4 + 2k π , k Z
Kiểm tra điều kiện (*) ta chỉ nhận được nghiệm x = - π
4 + 2k π , k Z
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm
31.
a. Ta có:
cotg(x + π
3).cotg(
π
6 - x) = cotg(x +
π
3).tg(
π
2 -
π
6 + x)
= cotg(x + π
3).tg(x +
π
3) = 1
Từ đó, ta lần lượt có:
Điều kiện có nghĩa của phương trình là:
πsin(x + ) 0
3
πcos(x + ) 0
3
sin(2x + 2π
3) ≠ 0 x ≠ -
π
3 +
kπ
2, k Z (*)
Phương trình được biến đổi về dạng:
(2sin x +
2cos x 2) - 22sin x
2cos x = 7
8 1 -
1
2
2sin 2x = 7
8 4
2sin 2x = 1
2(1 – cos4x) = 1 cos4x = 1
2 x =
π
12 +
kπ
2, k Z
Vậy, phương trình có 1 họ nghiệm
b. Điều kiện sin4x ≠ 0 4x ≠ k π x ≠ kπ
4, k Z
Biến đổi phương trình về dạng:
1
cosx =
2
2sin 2x.cos2x-
1
sin2x
1
cosx =
1 cos2x
sin 2x.cos2x
Page 61
61
1
cosx =
22sin x
2sinx.cosx.cos2x cos2x = sinx 2 2sin x + sinx – 1 = 0
sinx = - 1 (L)
1sinx =
2
πx = 2kπ
6
5πx = 2kπ
6
, k Z
Vậy, phương trình có 2 họ nghiệm
32.
a. Điều kiện
cos3x 0
sin2x 0
cosx 0
sin4x 0
cos3x 0
sin4x 0
π kπx
6 3
kπx
4
, k Z
Biến đổi phương trình về dạng:
2(tg3x – tgx) + (tg3x + cotg2x) = 2
sin 4x
2sin 2x
cos3x.cosx +
cosx
cos3x.sin2x=
2
sin 4x
4sin4x.sinx + 2cos2x.cosx = 2cos3x
4sin4x.sinx + cos3x + cosx =2cos3x 4sin4x.sinx = cos3x - cosx
8sin2x.cos2x.sinx = - 2sin2x.sinx (*)
cos2x = - 1
4= cos2 α
2x = 2 α + 2k π x = α + k π , k Z
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
b. Điều kiện sinx ≠ 0 x ≠ k π , k Z (*)
Biến đổi phương trình về dạng:
4sin x -
3sin x + 1 – sinx = 0 (sinx – 1)3sin x – (sinx – 1) = 0
(sinx – 1)(3sin x - 1) = 0 sinx = 1 x =
π
2 + 2k π , k Z
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm
33. Biến đổi phương trình về dạng:
sinx
2 - cos
x
2 = (sin
x
2 - cos
x
2
2) (sinx
2 - cos
x
2 - 1)(sin
x
2 - cos
x
2) = 0
x π2 sin( ) 1
2 4
x xsin cos
2 2
x π 2sin( )
2 4 2
xtg 1
2
x = π + 4kπ
x = 2π + 4kπ
πx = 2kπ
2
, k Z
Lần lượt kiểm tra các nghiệm cho điều kiện | x
2 -
π
2 |
3π
4 chúng ta nhận được nghiệm của
phương trình là x = π
2, x = π , x = 2 π và x =
5π
2
34. Biến đổi phương trình về dạng:
cos6x.cosx - 1
2(cos6x + cos4x) = 0
cos6x.cosx - cos5x.cosx = 0 (cos6x - cos5x)cosx = 0
Page 62
62
cos6x = cos5x
cosx = 0
6x = 5x + 2kπ
πx = kπ
2
2kπx =
11
x 2kπ
πx = kπ
2
, k Z
Lần lượt kiểm tra các nghiệm cho điều kiện | x | < 2 chúng ta nhận được nghiệm của phương
trình là x = π
2, x =
2kπ
11 với k = 0, 1, 2, 3
35. Biến đổi phương trình về dạng:
sin(2x + π
2) – 3cos(x +
π
2) = 1 + 2sinx cos2x + 3sinx = 1 + 2sinx
1 - 22sin x = 1 - sinx 2
2sin - sinx = 0
sinx = 0
1sinx =
2
x = kπ
πx = 2kπ
6
5πx = 2kπ
6
πx ( ,3π)
2
x = π, x = 2π
13πx =
6
5π 17πx = , x =
6 6
Vậy phương trình có 5 nghiệm
36. Tìm tổng các nghiệm thỏa mãn 1 x 70 của phương trình
cos2x - 2tg x = 2 3
2
cos x cos x 1
cos x
Điều kiện cosx ≠ 0 x ≠ π
2 + k π , k Z (*)
Biến đổi phương trình về dạng:
22cos x - 1 - 2tg x = 1 – cosx – (1 + 2tg x)
22cos x + cosx – 1 = 0
cosx = - 1
1cosx =
2
x = π + 2kπ
πx = 2kπ
3
x = π 2kπ
3 3 , k Z
Với các nghiệm thỏa mãn 1 x 70 ta được
1≤ π 2kπ
3 3 ≤ 70
3 π
2π
≤ k ≤
210 π
2π
k Z
k = 0,32
Từ đó ta nhận được:
S = 1
3( π + 3 π + 5 π + … + 65 π ) = 363 π
Một số bài tập tổng hợp luyện tập
1) 2 + 2cos2x = -5sinx
2sin2x – 5sinx – 3 = 0
x = - /6 + 2k
x = 7/6 + 2k
Page 63
63
2) sin3x + cos
3x = 2(sin
5x + cos
5x)
(sin3x + cos
3x)(sin
2x + cos
2x) = 2(sin
5x + cos
5x)
sin3x.cos
3x + cos
3x.sin
2x = sin
5x + cos
5x
cos2x - sin
2x = 0
cos3x - sin
3x = 0 cosx = sinx
cos2x - sin
2x = 0
cos2x = 0
x = /4 + k/2
3) sin2x = 2cos2x + cos
23x
(1 – cos2x)/2 = (1 + cos4x)/2 + (1 + cos6x)/2
(cos2x + cos4x) + (cos6x + 1) = 0
2cos3x.cosx + 2cos23x = 0
cosx = 0, cos2x = 0, cos3x = 0
KL: x = /2 + k, x = /4 + k/2, x = /6 + k/3 (k Z)
4) 8cos3(x + /3) = cos3x
8. [3cos(x + /3) + cos(3x + )] / 4 = cos3x
6cos(x + /3) – 2cos3x = cos3x
2cos(x + /3) = cos3x
4cosx - 4 cos3x - 3sinx = 0
2sinx(sin2x - 3/2) = 0
x = k, x = /6 + k, x = /3 + k
5) sin6x + cos
6x = 2(sin
8x + cos
8x)
sin6x(1 - 2 sin
2x) + cos
6x(2 cos
2x – 1) = 0
cos2x(sin6x + cos
6x) = 0
cos2x = 0 x = /4 + k/2
6) cos6x – sin
6x = 13/8 . cos
22x
cos2x(2cos22x = 13cos2x + 6) = 0
+) cos2x = 0 2x = /2 + k x = /4 + k/2
+) 2cos2x – 13cos2x + 6 = 0 cos2x = 6 (loại); cos2x = ½ x = /6 + k
7) 1 + 3tgx = 2sin2x
Đặt tgx = t
PT 1 + 3t = 4t/(1+t2)
PT có nghiệm t = -1
KL: x = -/4 + k
8) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4
4sinx.cosx – (1 – 2sin2x) – 7sinx – 2cosx + 4 = 0
Page 64
64
2cosx (2sinx – 1) + (2sinx – 1)(sinx – 3) = 0
+) 2sinx – 1 = 0 sinx = ½
+) 2cosx + sinx – 3 = 0 2cosx + sinx = 3 (1)PT (1) vô nghiệm vì 22 + 1
2 > 3
2, vậy PT đã cho
tương đương PT sinx = ´
x = /6 + 2k; x = 5/6 + 2k
9) sin3x = cosx.cos2x.(tg2x + tg2x)
3sinx – 4sin3x = cosx.cos2x.[ sin
2x/cos
2x + 2sinx.cosx/cos2x) ]
ĐK: cosx 0, cos2x 0
a) sinx = 0 x = k (ko thỏa mãn)
b) 3 – 4sin2x = cosx.cos2x. sinx/cos
2x + 2cos
2x
cos2x(1 – tgx) = 0
+) cos2x = 0 (loại)
+) tgx = 1 cos2x = (1- tg2x)/(1+ tg
2x) = 0 (loại)
KL: x = k
10) f(x) = cos22x + 2(sinx + cosx)
2 – 3sin2x + m
= cos22x + 2(sinx + cosx)
3 – 3(1 + sin2x) + m + 3
= -(sinx + cosx)2 [sinx + cosx – 1]
2 + m + 3
khi m = -3 thì f(x) = -(sinx + cosx)2 (sinx + cosx – 1)
2
f(x) = 0 sinx + cosx = 0
và sinx + cosx = 1
cos (x - /4) = 0
và cos (x - /4) = 1/2
x = 3/4 + k; x = 2k; x = /2 + 2k
Dạng khác
15: Giải phương trình: cotanx + sinx(1+tanx.tanx/2)=4
(Đề thi ĐH&CĐ,khối B,năm 2006)
Bài giải:
Điều kiện:{sinx≠0,cosx≠o,cosx/2≠} <=> sin2x≠0 (*)
Phương trình đã cho tương đương với:
cosx/sinx +sinx{1+(sinx.sinx/2)/(cosx.cox/2}=4
<=>cosx/sinx + {(sinx.cosx/2)/cox.cosx/2)}=4
<=> (cos²x +sin²x)/sinx.cosx =4
<=>sin2x =1/2 (thỏa mãn (*))
ặ
hoặ (k thuộc Z)
Page 65
65
16: Giải các phương trình sau:a) sin³x.cosx- cos³x.sinx=¼
( Trích sách 400 bài toán lượng giác tự luận )
Bài giải:
a)Ta có: sin³x.cosx- cos³x.sinx=¼
<=>sinx.cosx(sin²x-cos²x)=¼
<=>½sin2x.(-cos2x)=¼
<=>-¼sin4x=¼
<=>sin4x=-1
<=>4x=-
<=>x= - (k thuộc Z)
<=>1- 2sin²x.cos²x= 5/8
<=> -½sin²2x= -3/8
<=> sin²2x=3/4
<=>1-cos4x=3/2
<=> cos4x=-½
(k thuộc Z)
17: Giải các phương trình sau :
a)cos^6x+sin^6x=cos^6x +1/16 b)cos^6-sin^6x=cos2x
(Trích sách ‘400 BT lượng giác tự luận ’)
Bài giải
a) Phương trình <=> 1 – ¾ sin²2x = Cos²2x =1/16
<=> 1 – ¾ (1- cos²2x)= cos²2x +1/16
<=> ¼ + ¾ cos²2x = cos²2x + 1/16
<=> ¼cos²2x = 3/16
<=> cos²2x = ¾
<=> 1 +cos4x = 3/2
<=> cos4x = ½
( k Thuộc Z)
b) Ta có : cos^6x – sin^6x = cos2x
<=> (cos²x -
<=> cos2x(1- sin²x.cos²x) = 2cosx
<=> cos2x = 0 hoặc sin²2x = O
<=> sin4x=0 hoặc x = ( k thuộc Z)
18. Giải các phương trình sau: a) (sinx.cot5x)/ cos9x = 1 (ĐH Huế)
b) 2tanx +cot2x = 2sin2x +1/sin2x ( ĐHQG Hà Nội)
(Trích sách ‘400 BT lượng giác tự luận)
Page 66
66
Bài giải:
a) Điều kiện: cos9x ≠ 0 và sin5x ≠ 0 ộc Z)(*)
Phương trình: <=> sinxcos5x = cos9x.sin5x
<=> ½ (sin6x – sin4x) = ½ (sin14x – sin4x)
<=> sin14x = sin6x
<=> hoặ -
<=> ặ
So sánh với điều kiện nghiệm cần tìm là:
ặ ( l,k thuộc Z; l kô chia hết cho 4)
b) Điều kiện: sin2x ≠ 0 k thuộc Z
Phương trình: <=> 2tanx = 2sin2x + (1-cos2x)/sin2x
<=> 2tanx = 2sin2x + tanx
<=> tanx = 2sin2x
<=> sinx = 2sin2x.cosx = sin3x + sinx
<=> sin3x = 0 <=> ộc Z
Vậ ộc Z; k kô chia hết cho 3) là các nghiệm cần tìm.
19 Giải các phương trình sau: cos3x +cos2x – cosx-1=0
(Trích sách ‘400BT lượng giác tự luận’)
Bài giải:
Phương trình tương đương với:
(cos3x – cosx) – (1 – cos2x) =0
<=> -2sin2x.sinx – 2sin²x =0
<=> sin²x(2cosx +1) =0
<=>
<=> (k thuộc Z)
20.Giải phương trình sau: sin²2x +cos²3x =1
Bài giải:
Ta có: sin²2x + cos²3x =1
<=> ½(1 – cos4x) + ½ (1+cos6x)=1
<=> cos6x = cos4x
hoặc 6x = -
sinx=0
cosx= ½
x = k
x= ±2 /3 +
k2
Page 67
67
hoặ
( k thuộc Z)
21.:Giải các phương trình sau: a) cos²x + cos²2x + cos²3x +cos²4x = 3/2 ( HVQHQT)
c) sin²x + sin²2x +sin²3x = 3/2
Bài giải:
a) Phương trình :
<=> ½ (1+ cos2x) + ½ (1+cos4x) + ½ (1+cos6x) + cos²4x =3/2
<=> (cos6x + cos2x) + cos4x +2cos²4x =0
<=> 2cos4xcos2x + cos4x + 2cos²4x =0
<=> cos4x(2cos2x +1+ 2cos4x) =0
<=>cos4x(4cos²2x + 2cos2x -1) =0
<=> cos4x =0 hoặc 4cos²2x + 2cos2x – 1=0
<=> cos4x =0 hoặc cos2x = (-1 -√5)/4 hoặc cos2x = (-1+√5)/4
ặ -1 -√5)/4 hoặ cosb= (-1+√5)/4 (k
thuộc Z)
b) Phương trình :
<=> ½ (1 – cos2x) + ½ (1- cos4x)+ ½ (1-cos6x)= 3/2
<=> cos4x +(cos6x + cos2x) =0
<=>cos4x(2cos2x +1) = 0
<=> cos4x =0 hoặc cos2x = -1/2
ặ
ặ (k thuộc Z)
22. Khi
kx 2
thì 1sin,0cos xx nên(*) thành:
01
0)12(3)64(
mm
Vô nghiệm
Chia hai vế (*) cho 0cos3 x thì:
0)34tan2)(tan1(tan
034tan)12(3tan)12(tan
0)tan1)(34(tan)2(2)tan1(tan)12(3tan)64((*)
2
23
2223
mxmxx
mxmxmx
xmxmxxmxm
a/ Khi m = 2 thì (*) thành:
)(
4
1tan
0)5tan4)(tan1(tan 2
Zk
kx
x
xxx
b/ Ta có:
4;0
x thì 1;0tan x
Xét phương trình:
Page 68
68
txkhitfmmtt tan),(0)342( 2 (**)
Theo yêu cầu đầu bài ta suy ra 0)34tan2(tan2 mxmx vô nghiệm trên 1;0
(**) có nghiêm trên 1;0
12
0
;0)1(
;0)0(
;0
0)1()0(
S
af
af
ff
14
30)22)(34( mmm
Do đó (**) vô nghiệm trên 1;0 14
3 mm