Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 1 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 BÀI GIẢNG – NHỊ THỨC NEWTƠN PHẦN A. Áp dụng đạo hàm vào bài toán nhị thức NewTơn Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng dần từ 1 đến n (hoặc giảm từ n đến 1) (không kể dấu). Hai khai triển thường dùng: n 0 1 2 2 k k n n n n n n n 1 x C Cx Cx ... Cx ... Cx 1 n k n 0 1 2 2 k k n n n n n n n 1 x C Cx Cx ... 1 Cx ... 1 Cx 2 i) Đạo hàm 2 vế của (1) hoặc (2). ii) Cộng hoặc trừ (1) và (2) sau khi đã đạo hàm rồi thay số thích hợp. Ví dụ 7. Tính tổng 1 2 2 3 28 29 29 30 30 30 30 30 30 S C 2.2C 3.2 C ... 29.2 C 30.2 C . Giải Ta có khai triển: 30 0 1 2 2 29 29 30 30 30 30 30 30 30 1 x C C x C x ... C x C x 1 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 29 1 2 29 28 30 29 30 30 30 30 C 2C x ... 29C x 30C x 30 1 x 2 Thay x = – 2 vào (2) ta được: 29 1 2 2 3 28 29 29 30 30 30 30 30 30 C 2.2C 3.2 C ... 29.2 C 30.2 C 30 1 2 . Vậy S 30 . Ví dụ 8. Rút gọn tổng 1 2 3 4 5 26 27 28 29 30 30 30 30 30 S C 3.2 C 5.2 C ... 27.2 C 29.2 C Giải Ta có khai triển: 30 0 1 2 2 29 29 30 30 30 30 30 30 30 1 x C C x C x ... C x C x 1 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 29 1 2 29 28 30 29 30 30 30 30 C 2C x ... 29C x 30C x 30 1 x 2 Thay x = 2 và x = – 2 lần lượt vào (2) ta được: 29 1 2 2 3 28 29 29 30 30 30 30 30 30 C 2.2C 3.2 C ... 29.2 C 30.2 C 30 1 2 3 29 1 2 2 3 28 29 29 30 30 30 30 30 30 C 2.2C 3.2 C ... 29.2 C 30.2 C 30 1 2 4 Cộng hai đẳng thức (3) và (4) ta được: 1 2 3 4 5 26 27 28 29 29 30 30 30 30 30 2(C 3.2 C 5.2 C ... 27.2 C 29.2 C ) 30 3 1 Vậy 29 S 15 3 1 . Ví dụ 9. Rút gọn tổng 0 1 2 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2007 S 2008C 2007C 2006C ... 2C C . Giải Ta có khai triển: 2007 0 2007 1 2006 2 2005 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2007 x 1 C x C x C x ... C x C Nhân 2 vế (1) với x ta được: 2007 0 2008 1 2007 2 2006 2006 2 2007 2007 2007 2007 2007 2007 xx 1 C x C x C x ... C x C x 2
19
Embed
PHẦN A. Áp dụng đạo hàm vào bài toán nhị thức NewTơn · PHẦN A. Áp dụng đạo hàm vào bài toán nhị thức NewTơn Dấu hiệu nhận biết: Các hệ
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 1 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
BÀI GIẢNG – NHỊ THỨC NEWTƠN PHẦN A. Áp dụng đạo hàm vào bài toán nhị thức NewTơn
Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng dần từ 1 đến n (hoặc giảm từ n đến 1) (không kể dấu). Hai khai triển thường dùng:
n 0 1 2 2 k k n nn n n n n1 x C C x C x ... C x ... C x 1
n k n0 1 2 2 k k n nn n n n n1 x C C x C x ... 1 C x ... 1 C x 2
i) Đạo hàm 2 vế của (1) hoặc (2). ii) Cộng hoặc trừ (1) và (2) sau khi đã đạo hàm rồi thay số thích hợp. Ví dụ 7. Tính tổng 1 2 2 3 28 29 29 30
30 30 30 30 30S C 2 .2C 3 .2 C ... 2 9 .2 C 30 .2 C .
Giải Ta có khai triển:
30 0 1 2 2 29 29 30 3030 30 30 30 301 x C C x C x ... C x C x 1
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 291 2 29 28 30 2930 30 30 30C 2C x ... 29C x 30C x 30 1 x 2
Thay x = – 2 vào (2) ta được: 291 2 2 3 28 29 29 3030 30 30 30 30C 2.2C 3.2 C ... 29.2 C 30.2 C 30 1 2 .
Vậy S 30 . Ví dụ 8. Rút gọn tổng 1 2 3 4 5 26 27 28 29
30 30 30 30 30S C 3.2 C 5.2 C ... 27.2 C 29.2 C
Giải
Ta có khai triển: 30 0 1 2 2 29 29 30 3030 30 30 30 301 x C C x C x ... C x C x 1
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 291 2 29 28 30 2930 30 30 30C 2C x ... 29C x 30C x 30 1 x 2
Thay x = 2 và x = – 2 lần lượt vào (2) ta được:
291 2 2 3 28 29 29 3030 30 30 30 30C 2.2C 3.2 C ... 29.2 C 30.2 C 30 1 2 3
291 2 2 3 28 29 29 3030 30 30 30 30C 2.2C 3.2 C ... 29.2 C 30.2 C 30 1 2 4
Cộng hai đẳng thức (3) và (4) ta được:
1 2 3 4 5 26 27 28 29 2930 30 30 30 302(C 3.2 C 5.2 C ... 27.2 C 29.2 C ) 30 3 1
2007 0 2007 1 2006 2 2005 2006 20072007 2007 2007 2007 2007x 1 C x C x C x ... C x C
Nhân 2 vế (1) với x ta được:
2007 0 2008 1 2007 2 2006 2006 2 20072007 2007 2007 2007 2007x x 1 C x C x C x ... C x C x 2
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 2 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
Đạo hàm 2 vế của (2) ta được: 0 2007 1 2006 2 2005 2006 20072007 2007 2007 2007 20072008C x 2007C x 2006C x ... 2C x C
2006(1 2008x) x 1 (3)
Thay x = 1 vào (3) ta được: 0 1 2 2006 2007 20062007 2007 2007 2007 20072008C 2007C 2006C ... 2C C 2009.2 .
Cách khác: Ta có khai triển:
2007x 1 0 2007 1 2006 2 2005 2006 20072007 2007 2007 2007 2007C x C x C x ... C x C 1
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
20060 2006 1 2005 2 2004 2005 20062007 2007 2007 2007 20072007C x 2006C x 2005C x ... 2C x C 2007 x 1 2
Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được:
0 1 2 2006 2007 20072007 2007 2007 2007 2007C C C ... C C 2 3
0 1 22007 2007 2007
2006 20062007
2007C 2006C 2005C
... C 2007.2 4
Cộng (3) và (4) ta được: 0 1 2 2006 2007 20062007 2007 2007 2007 20072008C 2007C 2006C ... 2C C 2009.2 .
Vậy 2006S 2009.2 Ví dụ 10. Cho tổng 0 1 2 n 1 n
n n n n nS 2C 3C 4C ... (n 1)C (n 2)C
với n . Tính n, biết S 320 . Giải
Ta có khai triển:
n 0 1 2 2 n 1 n 1 n nn n n n n1 x C C x C x ... C x C x 1
Nhân 2 vế (1) với x2 ta được: n0 2 1 3 2 4 n 1 n 1 n n 2 2n n n n nC x C x C x ... C x C x x 1 x 2
Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
n0 1 2 2 3 n 1 n n n 1 2 n 1n n n n n2C x 3C x 4C x ... (n 1)C x (n 2)C x 2x 1 x nx (1 x) 3
Thay x = 1 vào (3) ta được:
0 1 2 n 1 n n 1n n n n n2C 3C 4C ... (n 1)C (n 2)C (4 n).2 4 .
n 1S 320 (4 n).2 320 n 6 . Cách khác: Ta có khai triển:
n 0 1 2 2 n 1 n 1 n nn n n n n1 x C C x C x ... C x C x 1
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
n 11 2 3 2 n n 1n n n nC 2C x 3C x ... nC x n 1 x 2
Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được:
0 1 2 3 n 1 n nn n n n n nC C C C ... C C 2 3
1 2 3 n 1 n n 1n n n n nC 2C 3C ... (n 1)C nC n.2 4
Nhân (3) với 2 rồi cộng với (4) ta được:
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 3 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
0 1 2 n 1 n n 1n n n n n2C 3C 4C ... (n 1)C (n 2)C (4 n).2 .
n 1S 320 (4 n).2 320 . Vậy n 6 . 2.2. Đạo hàm cấp 2 Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng (giảm) dần từ 1.2 đến (n–1).n hoặc tăng (giảm) dần từ 12 đến n2 (không kể dấu).
Xét khai triển: n 0 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n nn n n n n n1 x C C x C x C x ... C x C x 1
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: n 11 2 3 2 4 3 n n 1n n n n nC 2C x 3C x 4C x ... nC x n 1 x 2
i) Tiếp tục đạo hàm 2 vế của (2) ta được: 2 3 4 2 n n 2n n n n1.2C 2.3C x 3.4C x ... (n 1)nC x n 2n(n 1)(1 x) (3)
ii) Nhân x vào 2 vế của (2) ta được:
n 11 2 2 3 3 4 4 n nn n n n nC x 2C x 3C x 4C x .. . nC x nx 1 x 4
Đạo hàm 2 vế của (4) ta được:
2 1 2 2 2 3 2 2 n n 1 n 2n n n n1 C 2 C x 3 C x ... n C x n(1 nx)(1 x) 5
HD Lại lấy đạo hàm cả hai vế của (2) ta có: 1n21n2
1n22kk
1n2k3
1n22
1n21n2 xC)1n2(n2....xC)1k(k)1(...xC3C2)x1)(1n2(n2
Thay x = 2 vào đẳng thức trên ta có: 2 3 k k 2 k 2n 1 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 12n(2n 1) 2C 3.2.2C ... ( 1) k(k 1)2 C ... 2n(2n 1)2 C
Phương trình đã cho 100n020100nn240200)1n2(n2 2 Bài 13 Tính tổng S = 1 3 5 2009
2010 2010 2010 20102C 6C 10C ... 4018C . Tính tổng 2011
201220092012
52012
32012
12012 2012.20112010.2009...30122 CCCCCS .
Tính tổng 201120112011
201020112010
32011
22011
12011
02011 2
201222011...
21
43 CCCCCCS
Bài 14 Tính tổng 20112011
22011
12011
02011 2012...32 CCCCS
HD Xét đa thức: 2011 0 1 2 2 2011 20112011 2011 2011 2011( ) (1 ) ( ... )f x x x x C C x C x C x
0 1 2 2 3 2011 20122011 2011 2011 2011... .C x C x C x C x
Ta có: 0 1 2 2 2011 20112011 2011 2011 2011( ) 2 3 ... 2012f x C C x C x C x
0 1 2 20112011 2011 2011 2011(1) 2 3 ... 2012 ( )f C C C C a
Mặt khác: 2011 2010 2010( ) (1 ) 2011(1 ) . (1 ) (1 2012 )f x x x x x x / 2010(1) 2013.2 ( )f b Từ (a) và (b) suy ra: 20102013.2 .S Bài 14 Tính giá trị biểu thức: 2 4 6 100
100 100 100 1004 8 12 ... 200A C C C C . Ta có: 100 0 1 2 2 100 100
100 100 100 1001 ...x C C x C x C x (1)
100 0 1 2 2 3 3 100 100100 100 100 100 1001 ...x C C x C x C x C x (2)
Lấy (1)+(2) ta được: 100 100 0 2 2 4 4 100 100
100 100 100 1001 1 2 2 2 ... 2x x C C x C x C x Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được
99 99 2 4 3 100 99100 100 100100 1 100 1 4 8 ... 200x x C x C x C x
Thay x=1 vào => 99 2 4 100
100 100 100100.2 4 8 ... 200A C C C
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 8 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
Bài 15 Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của 1002x x , chứng minh rằng:
99 100 198 199
0 1 99 100100 100 100 100
1 1 1 1100C 101C 199C 200C 0.2 2 2 2
Bài 16 Hãy tìm số tự nhiên n thoả mãn:
0 1 2 3 20 2 2 1 2 2 2 3 2 3 2 02 2 2 2 21.3 .2 . 2.3.2 . 3.3 .2 . 4.3 .2 . ...... (2 1).3 .2 . 73nn n n n n
n n n n nnC C C C C
HD Ta cã 0 1 2 1 22 2 2 1 2 1 1 2 02 2 2 2(2 ) 2 .2 ... .2 .2n nn n n n n
Nhân phân phối vế phải (3) và cân bằng hệ số x100 ta được: 100200
100S C
101 .
Bài 17 Với mỗi số tự nhiên n hãy tính tổng: 1 1 10 1 1 2 2.2 .2 .2 ...2 3 1
n n n nS C C C Cn n n nn
.
PHẦN C. Áp dụng số phức vào bài toán nhị thức NewTơn Bài 1 Tính tổng: 0 4 8 2004 2008
2009 2009 2009 2009 2009...S C C C C C Ta có: 2009 0 1 2009 2009
2009 2009 2009(1 ) ..i C iC i C
0 2 4 6 2006 20082009 2009 2009 2009 2009 2009
1 3 5 7 2007 20092009 2009 2009 2009 2009 2009
....
( ... )
C C C C C C
C C C C C C i
Thấy: 1 ( )2
S A B , với 0 2 4 6 2006 20082009 2009 2009 2009 2009 2009....A C C C C C C
0 2 4 6 2006 20082009 2009 2009 2009 2009 2009...B C C C C C C
+ Ta có: 2009 2 1004 1004 1004 1004(1 ) (1 )[(1 ) ] (1 ).2 2 2i i i i i . Đồng nhất thức ta có A chớnh là phần thực của 2009(1 )i nờn 10042A . + Ta có: 2009 0 1 2 2 2009 2009
2009 2009 2009 2009(1 ) ...x C xC x C x C Cho x=-1 ta có: 0 2 2008 1 3 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009... ...C C C C C C Cho x=1 ta có: 0 2 2008 1 3 2009 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009( ... ) ( ... ) 2C C C C C C . Suy ra: 20082B . + Từ đó ta có: 1003 20072 2S .
Bài 2 Chứng minh rằng 0 2 4 100 50100 100 100 100... 2 .C C C C
Ta có
100 0 1 2 2 100 100 0 2 4 100 1 3 99100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 1001 ... ... ...i C C i C i C i C C C C C C C i
Mặt khác
2 100 502 501 1 2 2 1 2 2i i i i i i Vậy 0 2 4 100 50100 100 100 100... 2 .C C C C
Bài 3 Tính tổng: 1 3 5 7 2009 20112011 2011 2011 2011 2011 2011...S C C C C C C
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 17 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
I. Chứng minh đẳng thức nhờ Nhị thức New tơn Bài 1 Chứng minh: 0 10 1 9 9 1 10 0 10
10 20 10 20 10 20 10 20 30. . ... . . C C C C C C C C C . Ta có 30 10 20(1 ) (1 ) .(1 ) , x x x x (1)
Mặt khác: 3030
1(1 ) . ,
n
k k
kx C x x .
Vậy hệ số 10a của 10x trong khai triển của 30(1 ) x là 1010 30a C .
Do (1) đúng với mọi x nên 10 10a b . Suy ra điều phải chứng minh.
HD Ta cã: 1 1 2 21 5 5 5 .. 6n o n n n nn n n nC C C C
0 1 1 11 ....n n n n nn n n nx C x C x C x C Cho x=5
1 1 2 25 5 5 .. 6n o n n n nn n n nC C C C
Bài 5 Chứng minh rằng 2011
0 2 4 20102011 2011 2011 2011
1 1 1 2...3 5 2011 2012
C C C C .
Bài 6 Tính tổng 1 2 100100 100 100 1003 2 1 199
2 4 2 200.. ...3 3 3 3
kk
kT C C C C .
Tính tổng 201120112011
201020112010
32011
22011
12011
02011 2
201222011...
21
43 CCCCCCS
Tính tổng 20112012
20092012
52012
32012
12012 2012.20112010.2009...30122 CCCCCS .
Bài 7 Tính: 0 0 1 1 2 2 3 3 2010 2010
2010 2010 2010 2010 20102 C 2 C 2 C 2 C 2 CA ...1 2 3 4 2011
Ta có:
k k kk kk k 1 k 12010
2011
1 2 2011 2011 01 2 2011 02011 2011 2011 2011
2 2010! 2 2010! 2 2011!2 C 1 11 2 Ck 1 k! 2010 k ! k 1 k 1 ! 2010 k ! 2011 k 1 ! 2011 k 1 ! 4022
1 1 1A 2 C 2 C ... 2 C 2 1 2 C4022 4022 2011
Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 18 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
Bài 8 Tìm số nguyên dương n; biết khai triển P(x) = (5 + 2x + 5x2 + 2x3 )n thành đa thức thì hệ số của x3 bằng 458 HD P(x) = [5 +2x + 5x2 + 2x3]n = (1 + x2)n(5 + 2x)n
Hệ số x3: 0 3 3 3 1 1 15 2 5 .2n nn n n nC C C C = 5n-2.2( 3 24 25 )nC n = 458 ==> n = 3
Bài 9 Tìm số hệ số của số hạng chứa 6x trong khai triển 12
n
xx
, biết rằng 2 11 4 6n
n nA C n .
Giải phương trình 2 11 4 6n
n nA C n ; Điều kiện: n ≥ 2 ; n N.
Phương trình tương đương với ( 1)!( 1) 4 62!( 1)!
nn n nn
( 1)( 1) 4 62
n nn n n
n2 – 11n – 12 = 0 n = - 1 (Loại) hoặc n = 12.
Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn: 12 24 312 12
12 122 212 12
1 1
12 2 . .2 .k k
kk k k
k kx C x x C x
x
Số hạng này chứa 6x khi , 0 12
424 3 12k N k
kk
. Vậy hệ số của số hạng chứa 6x là: 4 812 2C
Bài 1 Tính giá trị biểu thức: 1 2 100100 100 100 1003 2 1 999