Pertemuan 4 (Limit-fungsi 1)

LIMIT FUNGSILIMIT FUNGSI

PengantarPengantar Konsep limit merupakan suatu Konsep limit merupakan suatu

konsep dasar utk dpt memahami konsep dasar utk dpt memahami lebih lanjut konsep kalkulus yaitu lebih lanjut konsep kalkulus yaitu hitung diferensial dan integralhitung diferensial dan integral

Oleh krn itu utk dpt memahami dgn Oleh krn itu utk dpt memahami dgn baik kalkulus diferensial dan baik kalkulus diferensial dan integral, maka terlebih dahulu integral, maka terlebih dahulu harus dipahami dgn baik mengenai harus dipahami dgn baik mengenai konsep limitkonsep limit

Dalam materi ini akan dibahas Dalam materi ini akan dibahas konsep limit yaitu: pengertian limit, konsep limit yaitu: pengertian limit, sifat limit, bentuk2 persoalan limitsifat limit, bentuk2 persoalan limit

Pengertian limitPengertian limit Sebenarnya agak sulit Sebenarnya agak sulit

membayangkan apa yang dimaksud membayangkan apa yang dimaksud dgn limit, namun secara populer dgn limit, namun secara populer limit dapat diartikan sebagai suatu limit dapat diartikan sebagai suatu nilai batas yang dapat didekati nilai batas yang dapat didekati sedekat mungkin, tapi tak pernah sedekat mungkin, tapi tak pernah dapat dicapai dan dianggap dapat dicapai dan dianggap tercapaitercapai

Pengertian limit dpt kita bayangkan Pengertian limit dpt kita bayangkan dlm contoh berikut:dlm contoh berikut:

MisalnyaMisalnya Timbanglah 1 kg gula pasir, Timbanglah 1 kg gula pasir,

kemudian timbangan dlm kemudian timbangan dlm kedudukan seimbang, ambilah 5 kedudukan seimbang, ambilah 5 butir gula pasir.butir gula pasir.

Selanjutnya amatilah jarum/mata Selanjutnya amatilah jarum/mata timbangannya. Apakah bergeser timbangannya. Apakah bergeser (berubah) kedudukannya? Jelas (berubah) kedudukannya? Jelas tidak kan?tidak kan?

Kita tahu bahwa 5 butir gula pasir Kita tahu bahwa 5 butir gula pasir memiliki berat, seharusnya berat (1 memiliki berat, seharusnya berat (1 kg – 5 butir) gula pasir ≠ berat 1 kg kg – 5 butir) gula pasir ≠ berat 1 kg gula pasir?gula pasir?

Lanjutan…Lanjutan… Dalam contoh tadi dengan pertimbanagn Dalam contoh tadi dengan pertimbanagn

tertentu kita menganggap bahwa (1 kg tertentu kita menganggap bahwa (1 kg minus 5 butir) gula pasir sama dgn 1 kg minus 5 butir) gula pasir sama dgn 1 kg gula pasir. gula pasir.

Dalam bahasa limitnya bagaimana? Dalam bahasa limitnya bagaimana? Bila kita disuruh menghitung 1 kg gula Bila kita disuruh menghitung 1 kg gula

pasir terdiri dari berapa butir gula pasir?pasir terdiri dari berapa butir gula pasir? Tentu saja kita tdk sanggup, maka dari Tentu saja kita tdk sanggup, maka dari

itu kita menyatakan bahwa banyak butir itu kita menyatakan bahwa banyak butir gula yang terdapat dalam 1 kg gula gula yang terdapat dalam 1 kg gula pasir adalah tak berhingga.pasir adalah tak berhingga.

Laanjutan…Laanjutan…

Lanjutan…Lanjutan…

Contoh.

X 1,5 1,7 1,9 1,99 ….. 2,001 2,01 2,1 2,3

f(x) 5,5 5,7 5,9 5,99 ….. 6,001 6,01 6,1 6,3

Defenisi 2

Contoh

LIMIT FUNGSI:LIMIT FUNGSI:

Mendekati hampir, sedikit lagi, atau Mendekati hampir, sedikit lagi, atau

harga batasharga batas

Limit fungsi:Limit fungsi:

Suatu limit f(x) dikatakan mendekati Suatu limit f(x) dikatakan mendekati AA

{f(x) A} sebagai suatu limit.{f(x) A} sebagai suatu limit.

Bila x mendekati a {x a}Bila x mendekati a {x a}

Dinotasikan Dinotasikan

Lim F(x) = A Lim F(x) = A

X aX a

Langkat-langkah mengerjakan limitLangkat-langkah mengerjakan limit

fungsi (supaya bentuk tak tentu dapatfungsi (supaya bentuk tak tentu dapat

dihindari) adalah ….dihindari) adalah ….

1.1. Subtitusi langsung.Subtitusi langsung.

2.2. Faktorisasi.Faktorisasi.

3.3. Mengalikan dengan bilangan sekawan.Mengalikan dengan bilangan sekawan.

4.4. Membagi dengan variabel pangkat Membagi dengan variabel pangkat tertinggi. tertinggi.

Berapa teorema limit:Berapa teorema limit:Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = BBila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B x a x ax a x a

Maka Maka 1. Lim [k1. Lim [k..f(x)] = k Lim f(x)f(x)] = k Lim f(x)

x a x ax a x a = k. A= k. A

2. Lim [f(x)2. Lim [f(x)++g(x)] = Lim f(x) g(x)] = Lim f(x) ++ Lim Lim g(x)g(x)

x a x a x ax a x a x a = A = A ++ B B

3. Lim 3. Lim x ax a

= Lim f(x) x Lim g(x)= Lim f(x) x Lim g(x) x a x ax a x a = A x B= A x B

4. 4.

[f(x) x g(x)]

B

A

xg

xf

xg

xf

Lim

LimLim

ax

ax

ax

)(

)(

)(

)(

n

n

ax

n

ax

Axfxf LimLim

)()(5.5.

6. 6. Axf

n

ax

nn

axLimxfLim

)()(

Soal latihan:Soal latihan:1.1. Nilai dari Lim 3x adalah…. Nilai dari Lim 3x adalah…. x x 22

a. 1a. 1

b. 2b. 2

c. 3c. 3

d. 4d. 4

e. 6e. 6

Pembahasan 1: Pembahasan 1:

Lim 3x = 3(2)Lim 3x = 3(2)x 2x 2

= 6= 6

Pembahasan 2:Pembahasan 2:

Lim 3x = 3 Lim XLim 3x = 3 Lim Xx 2 x 2x 2 x 2 = 3(2) = 6= 3(2) = 6

Jawab:Jawab:1.1. Nilai dari Lim 3x adalah…. Nilai dari Lim 3x adalah…. x 2x 2

a. 1a. 1

b. 2b. 2

c. 3c. 3

d. 4d. 4

e. 6e. 6

2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah…. 2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah…. x x 22

a. -2a. -2b. 2b. 2c. 4c. 4d. 6d. 6e. 8e. 8

Pembahasan:Pembahasan:

Lim (2x+4) = 2(2) + 4Lim (2x+4) = 2(2) + 4 x x 22

= 4 + 4= 4 + 4

= 8= 8

2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah…. 2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah…. x x 22

a. -2a. -2b. 2b. 2c. 4c. 4d. 6d. 6e. 8e. 8

3. Nilai dari Lim [6x-2] adalah….3. Nilai dari Lim [6x-2] adalah…. x x 33

a. -6a. -6

b. 8b. 8

c. 12c. 12

d. 14d. 14

e. 16e. 16


Lim [6x-2] = Lim 6x-2 = 6(3)-2 = Lim [6x-2] = Lim 6x-2 = 6(3)-2 = 1414

X 3X 3 x 3 x 3

3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah….3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah…. x x 33

a. -6a. -6

b. 8b. 8

c. 12c. 12

d. 14d. 14

e. 16e. 16

Limit fungsi bentukLimit fungsi bentuk

Jika f(x) = (x-a).h(x)Jika f(x) = (x-a).h(x)

g(x) = (x-a).k(x)g(x) = (x-a).k(x)

Maka:Maka:

)().(

)().(

)(

)(

xkax

xhax

xg

xfLimLim

axax

0

0

)(

)(

)(

)(

ak

ah

xk

xhLim

ax

Limit Fungsi BentukLimit Fungsi Bentuk

Jika diketahui limit tak hingga (Jika diketahui limit tak hingga (~~))Sebagai berikut:Sebagai berikut:

Maka:Maka:1. R= 0 jika n<m1. R= 0 jika n<m2. R= 2. R= aa jika n=m jika n=m pp3. R= 3. R= ~~ jika n>m jika n>m

~~

Rrqxpx

cbxaxmm

nn

xLim

...

...

~1

1

Limit Fungsi Bentuk (Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)~ - ~)

a.a.

1. R= ~ jika a>p1. R= ~ jika a>p

2. R= 0 jika a=p2. R= 0 jika a=p

3. R= -~ jika a<p 3. R= -~ jika a<p

RqpxbaxLimx

~

b.b.

1. R= 1. R= ~~ jika a>p jika a>p

2. jika a=p 2. jika a=p

3. R= 3. R= --~~ jika a<p jika a<p

RrqxpxcbxaxLimx

22

~

a

qbR

2

Soal latihan:Soal latihan:

4. Nilai dari 4. Nilai dari

adalah….adalah….

a. 3a. 3 d.d.

b. 2b. 2

c. 1c. 1 e. -2 e. -2

xxx

xxxLimx 22

4323

24

0

2

1


Jika 0 didistribusikan menghasilkanJika 0 didistribusikan menghasilkan

(bukan solusi) sehingga soal(bukan solusi) sehingga soal

diselesaikan dengan cara faktorisasi diselesaikan dengan cara faktorisasi

0

0

0.200.2

0.40.30

22

43

23

24

23

24

0

xxx

xxxLimx

0

0

Maka:Maka:

22

4

200

400

22

43

22

43

22

43

2

3

0

2

3

0

23

24

0

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

Lim

Lim

Lim

x

x

x

Soal latihan:Soal latihan:



a. 3a. 3 d.d.

b. 2b. 2

c. 1c. 1 e. -2 e. -2

xxx

xxxLimx 22

4323

24

0

2

1

5. Nilai dari5. Nilai dari

adalah…. adalah…. 6

42

2

2

xx

xLimx

5

3.

5

4.

1.

c

b

a

1.5

2.

e

d


6

42

2

2

xx

xLimx

5

4

32

22

3

2

2

x

xLimx

)3)(2(

)2)(2(

2

xx

xxLimx


adalah…. adalah…. 6

42

2

2

xx

xLimx

5

3.

5

4.

1.

c

b

a

1.5

2.

e

d


adalah …. adalah ….

a. -6a. -6 d. 16d. 16

b. 2b. 2 e. 32e. 32

c. 10c. 10

182

6342

2

~

xx

xxLimx


182

6342

2

~

xx

xxLimx

2

2

222

2

222

2

182

634

182

634

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx


002

004

~1

~8

2

~6

~3

4

2

2

22

4


Perhatikan bahwa pangkat diatas Perhatikan bahwa pangkat diatas samasama

dengan pangkat bawah sehingga p = dengan pangkat bawah sehingga p = qq

(p dibagi q)(p dibagi q)

182

6342

2

~

xx

xxLimx

22

4

q

pL


adalah …. adalah ….

a. -6a. -6 d. 16d. 16

b. 2b. 2 e. 32e. 32

c. 10c. 10

182

6342

2

~

xx

xxLimx



a. -3a. -3 d. 0d. 0

b. -2b. -2 e. 1e. 1

c. -1c. -1

}124624{~

22

xxxxLimx


2.2

4

42

22

2

a

qbR

14

4



a. -3a. -3 d. 0d. 0

b. -2b. -2 e. 1e. 1

c. -1c. -1

}124624{~

22

xxxxLimx



a. -4a. -4 d. 4d. 4

b. 0b. 0 e. 8e. 8

c. 2c. 2

2

2

)14(

)28(

~

x

xLimx


1816

43264

)14(

)28(2

2

~2

2

~

xx

xxLim

x

xxx

Lim

416

64



a. -4a. -4 d. 4d. 4

b. 0b. 0 e. 8e. 8

c. 2c. 2

2

2

)14(

)28(

~

x

xLimx

xx

xxLim

ox 22

2


adalah….adalah….a. -~a. -~ d. 0d. 0b. -2b. -2

c. c. e. e. 2

1

2

1


)2(

)1(

2 02

2

0

xx

xx

xx

xxLimLimxx

2

1

20

10

2

1

0

x

xLimx

xx

xxLim

ox 22

2


adalah….adalah….a. -~a. -~ d. 0d. 0b. -2b. -2

c. c. e. e. 2

1

2

1

2523

124634

22

~

xxx

xxxLimx

2

1

2

1



a. d. 2a. d. 2

b. 0b. 0 e. 3 e. 3

c. c.


PerhatikanPerhatikan

Pangkat tertinggi diatas 3Pangkat tertinggi diatas 3

Pangkat tertinggi dibawah 4Pangkat tertinggi dibawah 4

Jadi n < mJadi n < m

Nilai R = 0Nilai R = 0

2523

124634

22

~

xxx

xxxLimx

2523

124634

22

~

xxx

xxxLimx

2

1

2

1



a. d. 2a. d. 2

b. 0b. 0 e. 3 e. 3

c. c.



4133

12522

2

4

xx

xxLimx

13

11.

13

8.

13

5.

c

b

a

13

14.

13

12.

e

d


4133

12522

2

4

xx

xxLimx

)4)(13(

)4)(32(

4

xx

xxLimx

1)4(3

3)4(2

13

32

4

x

xLimx

13

11

13

11



4133

12522

2

4

xx

xxLimx

13

11.

13

8.

13

5.

c

b

a

13

14.

13

12.

e

d

74

10422

2

~

x

xxLimx

2

1

2

1



a. a. d. -1d. -1

b. 0b. 0 e. -6e. -6

c. c.


Pangkat diatas = Pangkat Pangkat diatas = Pangkat dibawahdibawah

MakaMaka

74

10422

2

~

x

xxLimx

2

1

4

2

74

10422

2

~

x

xxLimx

2

1

2

1



a. a. d. -1d. -1

b. 0b. 0 e. -6e. -6

c. c.

SELAMAT SELAMAT BELAJARBELAJAR

Pertemuan 4 (Limit-fungsi 1)

Documents