Pertemuan 14

MATEMATIKA TEKNIK ITEOREMA STOKES DAN POTENSIAL DI RUANG

PERTEMUAN MINGGU KEEMPAT BELAS

TEOREMA STOKES

S C

Rd . F dS N . F Curl

: maka

S pada kontinu )Fx(F Curl

dan F misalkan koheren yang C batas

denganregular permukaan S Misalkan

jam jarum searah C maka

Rd F dulu lebih dihitung akan

S. permukaan untuk

dan dalam siparamerisa gunakan kita

stokes teorema dari ruas kedua dihitung akan

0.z dengan 1zyx bola atas

permukaan S .k zj 2y-i 3yF Diberikan

:Contoh

C

222

2

0

2π

2

0

2π

2

0

2π

2

C

2

dtt cost sin 2tsin 3

dt k0.jt cosit sin.k0jt sin 2it sin 3

dz.dy,dx,z,y,x, ganti

dt kdzjdyidxkzj2y-i3yRd . F

jam) jarum (searah02π:t

0z

t cosdyt sin 1y

t -sindxt cos 1x

C

: bentuk dalam C tulis

kzj2y-i3yF

.

0

2π

0

2π

0

2π

21

0

2π

0

2π

0

2π

0

2π

0

2π

0

2π

2

du u sin2

1duu cos

2

1

2

3dt

2

3

dtdumaka2t,umisal

dt2t sindtcos2t2

3dt

2

3

dt2t sincos2t2

3

2

3

dt2t sincos2t12

13

dtt cost sin 2tsin 3

3π

00.2π2

30

(2.2π2 cos-(2.0) cos2

1(2.2π sin0)sin

4

3)2(0

2

3

)2cos2

1)2sin(

4

3t

2

3

u)cos2

1u)sin(

4

3t

2

3

du u sin2

1duu cos

2

1

2

3dt

2

3

0

2π

0

2π

0

2π

0

2π

0

2π

0

2π

0

2π

0

2π

0

2π

.(

(

(

2

tt

φ cos φ sin 3

k φ cos φ sin-j φsin sinθi φsin θ cos-k3-N . Fx

: Maka

k φ cos φ sin-j φsin sinθi φsin θ -cosN

:didapat S untuk φ dan θparameter Dalam

dS . N . K3dS .N.Fx

: Maka

33k0j0i

z2y3y

xxx

k j i

Fx :sedangkan

22

22

SS

2

3ππ/2sin2

16π

φsin2

16π

φ.dφ cos φ sin 6π

dφφ cos φ sin 3θ

dφdθφcosφsin3dSN.Fx

:Sehingga

2

02

0

2π

00

S 0φ

2π

0θ

2π

2π

2π

2π

xy bidang atas di azyx

bola permukaan S dengan

dSn.Fx:Hitunglah

,kxyjxz)2(xjyFJika

:Soal

2222

s

k z 2j yix

y

y

x

2xzxk

z

y

x

xyj

z

2xzx

y

xyi

xy2xzxy

zyx

kji

Fx

a

k zj yi x

4z4y4x

k 2zj 2yi 2xn

k 2zj 2yi 2x

zyxφ

222

222

dxdy

yxa

2ayx3

dydx yxa

2zyx

z/a

dydx

a

k zj yix .k 2zj yix

k.n

dydxn.FxdSn.Fx

0z ,ayx lingkaran oleh

dibatasiR, adalah xy bidang pada S dari Proyeksi

a

ax

xa

xay222

222

R222

222

R

RS

222

22

22

0

dθaa

dθraara

dθradra2

ara

2

3

dθdr ra

rara3r

dθdr r ra

a)a3(rdθdr r

ra

2a3r

: menjadi integral

dθdr r dx dy , θ sinr y θ, cosr x: dengan θ)(r,polar

koordinat ke pindahkan kita integrasi memudahkan Untuk

2π

0

33

2π

0

a

0

22222

22222

222π

0φ

a

0r

2π

0φ

a

0r22

222

2π

0φ

a

0r22

2222π

0φ

a

0r22

22

23

21

21

xy. bidang dan

)y(x-4zboloida

para oleh dibatasi

yang permukaan

adalah S dengan

dS n . r

:Hitunglah

22

S

k . n

dydx dS,

14y4x

z2y2xr.n

kzjyixr14y4x

kj2yi2xn

kj2yi2xφ

0,4zyx

:anPenyelesai

22

22

22

,

π24dθ12

dθ84

dθ2rr

θddrr4r

θ sinr y θ, cosr x dy,dx 4yx

dydx z2y2x

dydx 14y4x14y4x

z2y2xdSn . r

2π

0

2π

0

2

0

2π

0

2441

2π

0

2

0

2

S

22

S

22

22

S22

22

S

.

TEORI POTENSIAL DI RUANG

sama). awalnya titik serta sama yang ujung titik

mempunyai yangΩdikurvakurvaK dan K(dengan

R.dFR.dF jika

Ω.di lintasan

bebasdisebut F dari garis Integral

Ω.diCreguler

tertutup kurva setiap untuk

0R.dF jika fkonservati F

ruang di daerahdisuatukontinuevektormedanFMisal

21

KK

C

21

dzz

fdy

y

fdx

x

f

Rd . fdf

:NOTE

PfPfRd . F

: berlaku Ω di P ke P dari Creguler

kurva setiap untuk makaΩdifFBila

C

01

1o

Ω. di terletak seluruhnya yangreguler kurva

terdapat Ω di sembarang di tiik 2 Antara2.

Ω di titiktitikmemuat hanya yangbola

dibuatdapatΩdititiksetiapDisekitar1.

: domaindisebutΩ

0fCurl

0

yx

f

yx

fk

zx

f

zx

fj

zy

f

zy

fi

z

f

y

f

x

f

zyx

kji

fx

domainsuatu hal dalamBuat

f.konservati F dan lintasan bebas R.dFfF Jika

222222

K

.

Ω. direguler

permukaan suatu dari batas merupakan Ω di tertutup

kurva setiap jika sederhana penghubungdisebut

tambahan).

npersyarata memenuhi jika ya adalah (jawabnya

? potensial fungsi punya F 0Fx jika Apakah

0Fx maka f,FjikaJadi

di 0Fx potensial

fungsi punya F : maka

, sederhana terhubung

yang domain suatu pada

kontinu Fx dan F Jika

: Sifat

potensial) fungsi (f fskalar medan suatu untuk

fF fkonservati F 0Rd . F Jadi

0 dS N . 0 dS N . Fx Rd . F

: STOKES hukum dengan sehinggaΩ, di Sreguler permukaan

suatu dari batas merupakan C maka sederhana terhubung Ω karena

. direguler tertutup kurva sembarang C misalkan 0,Fx diketahui :

0fxFx maka fF diketahui :

C

SC S

potensial fungsi punya tidak F maka0,Fxkarena

0

k2x-j-i12z

2x-0k0-1j2z-1-i

zyxz2xy

xxx

kji

Fx

RΩ dengan k z)y-(x j z i 2xyF

:Contoh

2

32

y

F

z

F

x

F

y

F

x

F

z

F0Fx Khusus

ky

F

x

Fj

x

F

z

Fi

z

F

y

F

y

F

x

Fk

z

F

x

Fj-

z

F

y

Fi

FFF

zyx

kji

Fx

322131

123123

121323

321

,,

321

321

3

xyzxyzxyz

Fz

fdanF

y

fF

x

f

kz

fj

y

fi

x

fkFjFiFF

fditentukan akanfF

ya.potensialn fungsi punya F0Fxdidapat

R di kandidefinisi

k y)(xye j z)(xzei 4x)-(yzeF

:Contoh

,,

ye yx z

f

ze zx y

f

x 4e z yx

f

:diperoleh

xyz

xyz

xyz

(z)Kyz)(y,K

y terhadap alkandifferensizz)(y,Kx

ze zx z)(y,Kx

e zx

z)(y,Kx

e zx x

f

z)(y,K2xezy,x,f

x terhadap nintegralkax 4e z yx

f

:satusalahAmbil

21

1

xyz1

xyz

1xyz

12xyz

xyz

konstantazy2x-ez)y,f(x,

: Maka

konstanta(z)k(z)kz

ye yx (z)kz

ye yx

(z)kz

ye yx z

f

(z)kzy2x-ez)y,f(x, :Sehingga

2xyz

22

xyz2

xyz

2xyz

22xyz

0

?

C

3

22

Rd . FHitung

R di didef

,k3)(y-j2yz-i2xF

:Contoh

Karena itu dipilih lintasan lain yang “lebih sederhana” dibanding C (diihat dari segi komutasi)

dz Fdy Fdx iF

)k dzj dyi).(dx k Fj Fi (FRd . F

:Catatan

12

z 3

dz3000

dz 3)(y-dy z y 2-dx x 2

z. sumbu sepanjang (0,0,4) ke (0,0,0) dari lintasan K

R.dFR.dF

32

321

4

0

4

0

22

C K