Pertemuan: 02 Metode Stokastikkhamaludin.com/wp-content/uploads/2019/02/Pertemuan-2-Integer-Programming.pdf · Metode Branch and Bound Dengan perhitungan menggunakan metode grafis

Metode Stokastik

Integer ProgrammingFakultas

Teknik

Khamaludin, S.T., M.T

Program Studi

Teknik Industri

Pertemuan:

02

Pengertian Umum

Programa bilangan bulat atau integer programming (IP)adalah bentuk lain dari programa linier atau linierprogramming (LP) di mana asumsi divisabilitasnya melemahatau hilang sama sekali.

Bentuk ini muncul karena dalam kenyataannya tidak semuavariabel keputusan dapat berupa bilangan pecahan.

Misalnya, jika variabel keputusan yang dihadapi adalahjumlah produk yang harus diproduksi untuk mencapaikeuntungan maksimal, maka jawaban 1,5 adalah sangattidak mungkin karena kita tidak bisa memproduksisetengah-setengah.

Jenis Integer Programming

Pure (all) Integer Programming (Programa Bilangan BulatMurni)

Apabila seluruh variabel keputusan dari permasalahanprograma linier harus berupa bilangan bulat (positif atau nol).Dalam hal ini asumsi divisibilitas dari programa liniernya hilangsama sekali.

Minimize Z = 3X1 + 5X2

Subject to 2X1 + 4X2 > 43X1 + 2X2 > 5X1, X2 > 0; X1, X2 integer


Mixed Integer Programming (Programa Bilangan BulatCampuran)

Apabila hanya terdapat sebagian dari variabel keputusan daripermasalahan programa linier yang diharuskan berupabilangan bulat (positif atau nol). Dalam hal ini asumsidivisibiltasnya melemah.

Maximize Z = 6X1 - 4X2

Subject to X1 + X2 < 2-3X1 - 2X2 < 12X1, X2 > 0; X2 integer


Zero One Integer Programming (Programa Bilangan Nol-Satu)

Apabila variabel keputusannya diharuskan berharga 0 (nol)atau 1 (satu). Kondisi ini ditemukan dalam kasus di manapersoalan yang dihadapi merupakan persoalan keputusan :ya”atau “tidak”.

Maximize Z = 40X1 + 50X2

Subject to 2X1 + 3X2 < 3.0004X1 + 2X2 < 2.500X1, X2 = 0 atau 1

Programa Linier Relaksasi

Programa linier relaksasi merupakan bentuk programalinier yang diperoleh dengan mengabaikan pembatasinteger. Sebagai contoh adalah permasalahan programabilangan bulat di bawah ini:


Subject to 2X1 + 4X2 > 43X1 + 2X2 > 5X1, X2 > 0; X1, X2 integer

Programa linier relaksasi dari permasalahan di atas:


Subject to 2X1 + 4X2 > 43X1 + 2X2 > 5X1, X2 > 0

Metode Pemecahan Programa Bilangan Bulat

Metode GrafisMetode ini sama seperti metode pemecahan dalamprograma linier dalam bentuk grafis, namun denganpembatas yakni variabel keputusan – sebagian atau semua– berupa bilangan bulat.

Metode Round Off

Metode ini memberikan cara konvensional atau kolotterhadap permasalahan programa bilangan bulat, yaknimelakukan pembulatan (round off) terhadap solusi optimalbila dimungkinkan.

Metode Branch and Bound

Metode ini dilakukan dengan mengibaratkan suatupermasalahan sebagai pohon (tree), kemudianpermasalahn tersebut dibagi atau dibuat percabangan(branching) ke dalam subset yang lebih kecil.

Contoh:

Maximize Z = 7X1 + 6X2

Subject to 2X1 + 3X2 < 126X1 + 5X2 < 30X1, X2 > 0; X1, X2 integer

Di mana:X1 : LampuX2 : Kipas angin

Metode Grafis

Terlihat kalau metode grafis tidak mampu memberikansolusi yang nyata pada permasalahan di atas, karenatidak mungkin perusahaan membuat dan menjualbarang dalam bentuk pecahan.

Hal yang dapat dilakukan adalah menggeser titikoptimal yang masih masuk dalam daerah fisibel, yakni:titik (4,1) atau (3,2). Titik (4,1) akan memberikan solusisebesar 34, sedangkan titik (3,2) akan memberikansolusi sebesar 33.

Karena titik (4,1) memberikan solusi optimal yang lebihmaksimal, maka diperoleh solusi optimal sebesar 34dengan X1 = 4 dan X2 = 1 (perusahaan akanmendapatkan profit sebesar $34 dengan memproduksilampu sebanyak 4 buah dan kipas angin sebanyak 1buah).

Metode Round Off

Dengan perhitungan menggunakan metode grafis atau simpleks,didapatkan solusi optimal Z = 35,25; X1 = 3,75; X2 = 1,5.

Dengan metode Round Off (pembulatan) diperoleh nilaiX1 = 4 dan X2 = 2 sehingga nilai optimal Z = 40

Metode Branch and Bound

Dengan perhitungan menggunakan metode grafis atausimpleks, didapatkan solusi optimal Z = 35,25; X1 = 3,75; X2 =1,5.

Karena X1 dan X2 bukan bilangan bulat, maka solusi ini tidakvalid dan nilai Z (profit) sebesar 35,25 dijadikan sebagai batasatas awal (first upper bounded). Artinya, solusi optimalnantinya tidak akan lebih besar dari 35,25

Kemudian dengan metode pembulatan ke bawah, kitadapatkan X1 = 3 dan X2 = 1 dengan Z = 27 dijadikan batasbawah (lower bounded). Artinya, solusi optimal nantinya haruslebih dari 27.

Dengan kedua Batasan ini, maka solusi optimal yang akan dicariharuslah berada pada rentang 27 sampai 35,25.

Iterasi 1

Subset 1Maximize Z = 7X1 + 6X2

Subject to 2X1 + 3X2 < 126X1 + 5X2 < 30X1 > 4


Subject to 2X1 + 3X2 < 126X1 + 5X2 < 30X1 < 3

Iterasi 1

PermasalahanZ = 35,25X1 = 3,75X2 = 1,5

Subset 1Z = 35,2X1 = 4

X2 = 1,2

Subset 2Z = 33X1 = 3X2 = 2

Calon Solusi

X1 > 4 X1 < 3

Iterasi 2

Subset 3Maximize Z = 7X1 + 6X2Subject to 2X1 + 3X2 < 12

6X1 + 5X2 < 30X1 > 4X2 > 2


Subject to 2X1 + 3X2 < 126X1 + 5X2 < 30X1 > 4X2 < 1

Iterasi 2Permasalahan

Z = 35,25X1 = 3,75X2 = 1,5

Subset 1Z = 35,2X1 = 4

X2 = 1,2

Subset 2Z = 33X1 = 3X2 = 2

Calon Solusi

X1 > 4 X1 < 3

Subset 3Infeasible fathomed

Subset 4Z = 35,16X1 = 4 1/6

X2 = 1

X1 > 2 X1 < 1

Iterasi 3


Subject to 2X1 + 3X2 < 126X1 + 5X2 < 30X1 > 4X2 < 1X1 > 5


Subject to 2X1 + 3X2 < 126X1 + 5X2 < 30X1 > 4X2 < 1X1 < 4

PermasalahanZ = 35,25X1 = 3,75X2 = 1,5

Subset 1Z = 35,2X1 = 4

X2 = 1,2

Subset 2Z = 33X1 = 3X2 = 2

Calon Solusi

X1 > 4 X1 < 3

Subset 3Infeasible fathomed

Subset 4Z = 35,16X1 = 4 1/6

X2 = 1

X2 > 2 X2 < 1

Subset 5Z = 35X1 = 5X2 = 0

Solusi Optimal

Subset 6Z = 34X1 = 4X2 = 1

Calon Solusi

X1 > 5 X1 < 4

Perbandingan 3 Metode

Metode Nilai Variabel Keputusan Solusi Keterangan

Grafis X1 = 3 dan X2 = 2 Z = 34 Feasible

Round Off X1 = 4 dan X2 = 2 Z = 40 Infeasible

Branch and Bound X1 = 5 dan X2 = 0 Z = 35 Feasible

Thanks!!!

Pertemuan: 02 Metode Stokastikkhamaludin.com/wp-content/uploads/2019/02/Pertemuan-2-Integer-Programming.pdf · Metode Branch and Bound Dengan perhitungan menggunakan metode grafis

Documents