-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
1/58
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Di dalam fisika dan termodinamika, persamaan keadaan adalah
persamaan termodinamika yang menggambarkan keadaan materi di
bawah
seperangkat kondisi fisika. Persamaan keadaan adalah sebuah
persamaan
konstitutif yang menyediakan hubungan matematik antara dua atau
lebih
fungsi keadaan yang berhubungan dengan materi, seperti
temperatur, tekanan,
volumedan energi dalam. Persamaan keadaan berguna dalam
menggambarkan
sifat-sifat fluida, campuran fluida,padatan,dan bahkan bagian
dalambintang.
Penggunaan paling umum dari sebuah persamaan keadaan adalah
dalam memprediksi keadaan gas dan cairan. Salah satu persamaan
keadaan
paling sederhana dalam penggunaan ini adalah hukum gas ideal,
yang cukup
akurat dalam memprediksi keadaan gas pada tekanan rendah dan
temperatur
tinggi. Tetapi persamaan ini menjadi semakin tidak akurat pada
tekanan yangmakin tinggi dan temperatur yang makin rendah, dan
gagal dalam
memprediksi kondensasi dari gas menjadi cairan. amun demikian,
sejumlah
persamaan keadaan yang lebih akurat telah dikembangkan untuk
berbagai
macam gas dan cairan. Saat ini, tidak ada persamaan keadaan
tunggal yang
dapat dengan akurat memperkirakan sifat-sifat semua !at pada
semua kondisi.
1.2 Rumusan Masalah
". #agaimana mengetahui persamaan keadaan $
%. #agaimana mengetahui persamaan keadaan gas sempurna$
&. #agaimana mengetahui persamaan keadaan gas nyata$
'. #agaimana mengetahui ketetapan gas (an der )aals$
5. #agaimana hukum bersesuaian$
*. #agaimana turunan parsial +panggu$
. #agaimana penerapan turunan parsial pada system
termodinamika$
. #agaimana koefisien muai kubik dan ketermampatan$
/. #agaimana diferensial eksak$
"0. #agaimana hubungan lain turunan parsial$
1.3 Tujuan
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
1
http://id.wikipedia.org/wiki/Fisikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Termodinamikahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_konstitutif&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_konstitutif&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi_keadaan&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/wiki/Temperaturhttp://id.wikipedia.org/wiki/Tekananhttp://id.wikipedia.org/wiki/Volumehttp://id.wikipedia.org/wiki/Energi_dalamhttp://id.wikipedia.org/wiki/Fluidahttp://id.wikipedia.org/wiki/Padathttp://id.wikipedia.org/wiki/Bintanghttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hukum_gas_ideal&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/wiki/Termodinamikahttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_konstitutif&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_konstitutif&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fungsi_keadaan&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/wiki/Temperaturhttp://id.wikipedia.org/wiki/Tekananhttp://id.wikipedia.org/wiki/Volumehttp://id.wikipedia.org/wiki/Energi_dalamhttp://id.wikipedia.org/wiki/Fluidahttp://id.wikipedia.org/wiki/Padathttp://id.wikipedia.org/wiki/Bintanghttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hukum_gas_ideal&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/wiki/Fisika
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
2/58
". 1enjelaskan pesrsamaan keadaan.
%. 1enjelaskan persamaan keadaan gas sempurna.
&. 1enjelaskan persamaan gas nyata.'. 1enjelaskan tetapan
gas (an der )aals.
2. 1enjelaskan hukum keadaan bersesuaian.
*. 1enjelaskan turunan parsial +panggu.
. 1enjelaskan penerapan turunan parsial pada system
termodinamika.
. 1enjelaskan koefisien muai kubik dan ketermampatan.
/. 1enjelaskan diferensial eksak.
"0. 1enjelaskan hubungan lain turunan parsial.
BAB II
PERAMAAN !EADAAN
2.1Persamaan !ea"aan
Persamaan keadaan suatu sistem ialah hubungan antara
variabel-variabel
keadaan atau koordinat termodinamik sistem itu pada suatu
keadaan seimbang.
3eadaan setimbang suatu sistem yang terdiri atas sejumlah gas,
ditentukan oleh
tekanannya +p, volumenya +(, suhunya +T, dan massanya +m.
#esaran-besaran
seperti inilah yang disebut variabel keadaan atau koordinat
termodinamik. 4adi
persamaan keadaan sistem ini secara umum adalah5
+%-"
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
2
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
3/58
4ika yang diketahui bukan jumlah massanya melainkan jumlah
molnya +n,
maka persamaan keadaan itu secara umum adalah5
+%-%
6ntuk satu mol gas persamaan keadaannya menjadi
+%-&
2.2 Persamaan!ea"aan #as em$urna %I"eal&
Persamaan keadaan gas sempurna seperti yang sudah diketahui
sebelumnya yaitu5
6ntuk satu mol
+%-'a
6ntuk n mol
+%-'b
6ntuk m kg
+%-'c
3eterangan5
1 7 bobot molekul 7 massa tiap " mol gas
8 7tetapan gas umum untuk " mol
Dengan5
8 7 0,0%"atm mol-"3-"
8 7 ,&"'& 4 mol-"3-" +S9
8 7 ,&"'&: "0&4 mol-"3-" +13S
8 7 ,&"'& : "0erg mol-"3-" +;
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
4/58
Tahun "& (ander )aals, seorang fisikawan bangsa #elanda
menjabarkan persamaan berikut, untuk melukiskan keadaan gas
nyata.
+%-2a
+%-2b
Pers. +%-2a berlaku untuk " mol gas dan Pers. +%-2b untuk n mol
gas.
Sementara untuk a dan b adalah tetapan, yang disebut tetapan Van
der Waals,
tetapi nilainya berbeda untuk gas yang berbeda, sehingga sering
pula disebut
sebagai tetapan gas individual +individual gas constant. Pada
tabel "."a
diperlihatkan nilai kedua tetapan ini untuk beberapa macam
gas.
4ika volume gas besar sekali, maka a=(%dan b dalam kedua
persamaan di
atas dapat diabaikan, sehingga persamaan kembali menjadi
persamaan keadaan
untuk gas sempurna.
Persamaan bentuk lain ialah yang disebut persamaan virial.
+%-*
>, #, ;, ...adalah fungsi suhu dan disebut koefisien virial.
6ntuk gas sempurna >
7 8T dan # 7 ; 7 D 7 ....... 7 0. Persamaan (an der )aals pun
dapat ditulis dalam
bentuk virial. Persamaan +%-2a dapat diubah menjadi
Dengan rumus binomial
4adi dalam bentuk virial persamaan (an der )aals menjadi
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
4
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
5/58
Dalam hal ini maka5 > 7 8T? # 7 8Tb @ a? ; 7 8Tb % dan
seterusnya.
Persamaan #eattie @ #ridgeman sangat cocok dengan hasil
eksperimen
untuk kawasan p, (, dan T yang luas. Persamaan ini adalah
modifikasi dari
persamaan virial.
+%-
+%-
+%-/
+%-
"0
>o, a, #o, b, dan ; adalah tetapan yang berbeda nilainya
untuk gas yang berbeda.
Tabel3-1.tetapan a dan b dalam persamaan Van der Waals untuk
beberapa
macam gas
Aat a +4.m&.3 mol-% b +m&.3 mol-"
Be
B%
C%
;C%
B%C
Bg
&,'' : "0&
%',0
"&,00
&**,00
20,00
%/%,00
0,0%&'
0,0%**
0,0&"
0,0'%/
0,0&"/
0,0022
2.( B)"ang $*+*T #as em$urna
4ika variabel p, (, dan T dari persamaan keadaan gas sempurna
dilukiskan
pada tiga sumbu saling tegak lurus, maka terbentuklah bidang
p-(-T atau keadaan
gas sempurna. #idang ini berbentuk paraboloid hiperbolik,
seperti terlihat pada
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
6/58
Gambar 2-1.Bidang p-V-T gas sempurna
Tiap keadaan seimbang bersangkutan dengan sebuah titik pada
bidang ini.
Suatu proses kuastitatik dinyatakan oleh sebuah garis pada
bidang tersebut.
Proyeksi perpotongan bidang p-(-T dengan bidang-bidang datar
yang tegak lurus
sumbu T pada bidang p-( adalah proses isotermal dan grafiknya
berupa hiperbola
sama sisi +
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
7/58
Gambar2-. Proses isobarik
2., B)"ang $*+*T #as N'ata
Sifat-sifat gas nyata menyimpang dari sifat-sifat gas sempurna.
1olekul-
molekul gas sempurna tidak tarik-menarik dan tidak mempunyai
volume.
1olekul-molekul gas nyata tarik-menarik serta mempunyai
volume.
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
8/58
di titik c semua uap telah menjadi cair. Pemampatan selanjutnya
akan diikuti oleh
kenaikan tekanan yang besar, karena cairan sukar sekali
dimampatkan. Dalam
proses pencairan atau kondensasi ini tentu saja energi panas
perlu dikeluarkan dari
sistem.
4ika proses ini diadakan pada suhu yang lebih tinggi +T%ET",
maka garis
koeksistensi b-c menjadi lebih pendek dan pada suhu tertentu,
yang disebut suhu
kritis +Tk, garis koeksistensi ini menjadi nol +titik b berimpit
dengan titik c.
Tekanan yang bersangkutan dengan suhu kritis ini disebut tekanan
kritis +pk dan
volume +(k.
Di atas suhu kritis gas nyata tak dapatdicairkan dengan cara
pemampatan.
Di sini gas sejati mengikuti dengan baik hukum #oyle dalam
kawasan yang agak
luas.
Suatu !at nyata!real subtance" dapat berada dalam fase gas pada
suhu
yang cukup tinggi dan tekanan rendah. Pada suhu rendah dan
tekanan tinggi dapat
terjadi transisi ke fase cair dan padat. 3arena itu bidang p-(-T
gas nyata hanyalah
merupakan bagian dari bidang p-(-T !at nyata. Dalam hal ini
perlu dibedakan
adanya dua macam !at nyata, yaitu !at yang menguncup dan
mengembang ketika
membeku. ;ontoh jenis pertama adalah ;C% dan yang kedua air
seperti yang
terlukis pada
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
9/58
Diperlihatkan pula suatu garis yang disebut garis tripel, tempat
ketiga fase
dapat berada bersama. Seperti pada gambar sempurna, maka tiap
garis pada
bidang p-(-T ini menyatakan proses kuasistatik yang mungkin
terjadi. Semua
irisan dengan bidang-bidang datar tegak lurus sumbu T,
menyatakan proses
isotermal.
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
10/58
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
11/58
berlawanan. 4ika proses pemanpatan isotermal dilakaukan pada
suhu yang lebih
tinggi, kawasan cair-uap menjadi lebih pendek dan pada suhu
kritis menjadi nol.
9ni berarti bahwa volume jenis !at cair jenuh sama dengan volume
jenis uap
jenuh.
3oeksistensi antara fase padat dan uap mungkin pula terjadi,
yaitu pada
tekanan yang cukup tinggi. (olume jenis cairan jenuh dan uap
jenuh pada suhu
kritis disebut volume jenis kritis +vk dan tekanan yang
bersangkutan disebut
tekanan kritis +pk.
Tabel %-& Tetapan kritis
Aat Tk+3 Pk+pa v +m& =kmol
Belium '
Belium &
Bidrogen
itrogen
Cksigen
>monia
Greon "%
3arbon dioksida
Sulful dioksida
>ir
3arbon disulfida
2,%2
&,&'
&&,&'
"%*,%0
"2',0
'02,20
&',0
&0',0
'&0,0
*','0
22%,00
","*
","2
"%,0
&&,*0
20,%0
""",00
&/,0
&,00
,0
%0/,00
,00
0,02
0,0%*
0,0*20
0,0/0"
0,00
0,0%2
0,%"0
0,0/'0
0,"%%0
0,02*0
0,"00
4ika suhu gas pada tekanan tertentu lebih tinggi dari suhu jenuh
pada
tekanan ini, maka dikatakan bahwa gas itu super panas
+superheated dan disebut
uap superpanas atau adipanas +superheated vapour.
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
12/58
suhu dan tekanan sama. 9ni tidak mengesampingkan kemungkinan
adanya titik
kritis semacam itu pada tekanan yang sangat tinggi.
Gase cair tak dapat berada pada suhu yang lebih rendah dari
titik tripel,
atau pada tekanan yang lebih rendah dari tekanan pada titik
tripel. 4ika lebih
rendah dari tekanan pada titik tripel, !at hanya dapat berada
pada fase padat dan
uap saja. Transisi dari yang satu kepada yang lain berlangsung
pada suhu
sublimasi, Ts. Dalam hal air, dapat terjadi peristiwa yang
disebut anomali. >ir
dapat berada dalam fase cair walaupun suhunya lebih rendah
daripada titik tripel.
2.-. Persamaan !ea"aan )stem La)n
>sas termodinamika berlaku umum tidak terbatas pada gas,
ccairan dan
!at padat di bawah tyekanan hidristatis yang seragam atau
homogeny. (ariable-
variabel intensif dan ekstensif yang bersangkutan mungkin
berbeda, namun suhu
sistem selalu merupakan sifat termodinamik yang mendasar.
Ditinjau dari sebuah batang atau kawat yang mengalami tegangan.
Panjang
kawat atau batang ini*, , dan T adalah persamaan keadaan kawat
tersebut. 4ika
kawat meregang tidak melampaui batas elastisitas, dan jika suhu
tidak terlalu jauh
dari suhu acuan Ta , maka persamaan kawat adalah5
7 o + " H H I +T @ T0 +%-
"'
o7 panjang kawat tanpa tegangan pada suhu T0
J 7 modulus Joung +modulus regangan isothermal
> 7 luas penampang kawat
I 7 koefisien muai linear
Pada contoh adalah variable intensif dan variabel ekstensif.
1omen magnetik 1 dari suatu !at paramagnetik yang terdapat
ddalam
medan magnetik seragam dengan intensitas , adalah tergantung
pada maupun
suhu T. kecuali pada suhu yang sangat rendah dan di dalam medan
magnetik yang
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
12
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
13/58
besar, maka momen magnetik dapat dinyatakan dengan ketepatan
yang cukup
oleh persamaan5
1 7 ;c +%-"2
;c 7 tetapan yang nilainya tergantung pada jenis !at dan disebut
tetapan
;urie. Persamaan ini dikenal sebagai hukum ;urie. >dalah
variabel intensif dan
1 variabel ekstensif.
1omen dwikutubPsuatu dielektrik di dalam medan listrik luar +
dapat
dinyatakan dalam persamaan5
P 7 +a H + +%-"*
apisan permukaan suatu cairan dapat pula dianggap sebagai
sistem
termodinamika, meskipun bukan sistem yang tertutup. Sebab jika
luas permukaan
dari sejumlah massa cairan berubah, maka molekul-molekulnya
pindah dari cairan
ke permukaan atau sebaliknya. (ariabel yang penting adalah
tegangan permukaan,
yang dapat didefinisikan sebagai kakas per satuan panjang byang
ditimbulkan
oleh lapisan itu pada perbatasannya. (ariabel ekstensif yang
bersangkutan adalah
luas lapiasan permukaan. Tegangan permukaan nini tak tergantung
pada luas
lapisan dan hanya tergantung pada suhu. 6ntuk semua cairan,
tegangan muka
menurun dengan kenaikan suhu dan menjadi nol pada suhu kritis.
Secara
pendekatan, tegangan permukaan dapat dinyatakan oleh
persamaan5
7 o + +%-"
o 7 tegangan muka pada suhu
Sistem termodinamika lain yang sangat penting dalam kimia fisika
adalah
sel elektrolitik. (ariabel intensifnya adalah muatan, yang nilai
mutlaknya tidak
penting, melainkan besar muatan yang mengalir melewati suatu
titik dalam
rangkaian yang sebanding dengan jumlah mol yang bereaksi dalam
sel dalam
proses tsb. Tegangan gerak elektrik ini dapat dinyatakan
sebagai5
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
13
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
14/58
7 %0 H +t - %0K H +t - %0K % H +t - %0K & +%-"
(ariabel t menyatakan suhu dalam K;, %07 tge pada %0 K; , dan ,
,
adalah tetapan yang bergantung pada jenis !at yang membentuk
sel.
2. Teta$an #as +an "er /aals
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
15/58
+ H +v / b 70T
Selanjutnya dapat disusun menjadi
v&@ + b H H v - 7 0 +%-"/
Pers. +%-"/, adalah persamaan derajat tiga dalam v, jadi
mempunyai tiga
akar v", v%, v&. Pada suhu kritis Tk, ketiga akar berimpit
dan tekanan yang
bersangkutan adalah tekanan kritis pk. 4adi persamaan
v&@ + b H H v - 7 0 +%-%0
mempunyai tiga akar nyata yang sam yaitu vk. >kan tetapi
persamaan derajat tiga
dalam vyang ketiga akarnya sama dengan vkadalah juga
+v / vk &7 v3@ &vk v
2H & - 7 0 +%-%"
Persamaan +%-%0 dan +%-%" adalah identik, sehingga koefisien
yangbersangkutan dapat disamakan.
9. &vk7 b H
99. 7
999. 7
Dari ketiga persamaan ini dapat diperoleh
vk 7 &b 7 +%-%%
Tk 7 7 8 +%-%&
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
15
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
16/58
1enurut persamaan +%-%& sebelah kanan, 7 7 %,*
Basil percobaan untuk beberapa gas adalah sbb.
Be 7 &,"& ;C% 7 &,'/
B% 7 &,0& ;*B*7 &,*
1enurut persamaan +%-%% sebelah kiri, 7 &, dan hasil
percobaan untuk
beberapa gas adalah
> 7 ",'" ;C%7 ",*
B% 7 %,0 C% 7 ",/
Persamaan +%-%% dan +%-%& dapat juga dijabarkan dengan
mengingat
bahwa isoterm kritis dalam, diagram p-v di titik kritis
mempunyai titik belok
dengan garis singgung mendatar, sehingga
L MT7 0 dan L MT 7 0
Persamaan (an der )aals dapat diubah menjadi
p 7 -
4adi, L MT 7 - H dan L MT 7 -
4ika T 7 Tk dan v 7 vk , maka kedua persamaan di atas 7 0,
sehingga diperoleh
7 dan 7
#ila persamaan pertama dibagi dengan persamaan kedua akan
diperoleh hasil
7 atau vk 7 &b
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
16
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
17/58
4ika hasil ini dimasukkan pada salah satu persamaan di atas akan
diperoleh
Tk7
Selanjutnya dengan perantaraan persamaan keadaannya akan
diperoleh
pk7
2.0 D)agrampv-p #as +an Der /aals uhu B'le
Persamaan (an der )aals dapat di ubah menjadi
+%-%'
Dari persamaan ini maka tampak bahwa pv adalah fungsi dari v.
>kan
tetapi karena v sendiri adalah juga fungsi p, maka dapat
disimpulkan bahwa pv
juga p. Diagram pv-p untuk gas (an der waals terlukis seperti
pada
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
18/58
mengikuti dengan baik hukum #oyle dalam kawasan yang agak luas.
9soterm
pada suu yang lebih tinggi dari suhu #oyle segera mendeki mulai
dari p 7 0. #agi
gas (an der )aals dapat dibuktikan bahwa titik-titik minimum
isoterm-isoterm itu
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
19/58
>tau
4ika ruas kiri dan kanan dikalikan denganpv% , diperoleh
>tau
+%-%
Pers. +%-% adalah persamaan derajat dua dalampv$dan grafinya
berupa
para bola, dan parabola ini merupakan tempat kedudukan semua
titik minimum
paga grafik pv-p. Pers. +%-% dapat diubah menjadi persamaan lain
yang
berbentukp !pv".
6ntuk p 7 0 maka pv 7 0 dan . 4adi parabola itu memotong sumbu
pv
pada titik 0 dan a=b. Tititk pncaknya dapat diperoleh dengan
menghitung dan
disamakan dengan nol.
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
19
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
20/58
#ila nilai untuk pv ini dimasukkan ke dalam persamaan p 7 f+pv
yang
tertera di atas maka akan diperoleh
4adi koordinat titik puncaknya, P, adalah
9soterm #oyle mempunyai titik minimum pada p 7 0. 6ntuk p 7 0,
maka v
7 , sebab pv mempunyai nilai terhingga. Cleh karena itu maka
dan
Pers. +&-%2 menjadi 8T7a=b. 4adi suhu #oyle
+%-%
2. Hukum !ea"aan Bersesua)an
+The aw of ;orresponding States
Semua gas sempurna sifatnya sama, yaitu mengikuti satu hukum
gas
sempurna pv0Tyang tidak menggantung tetapan individual. #idang
keadaan
semua gas sempurna berimpit. 4ika dua dari tiga besaran p, v dan
T untuk berbagai
gas sama, maka yang ketiga pun sama.
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
21/58
yang menyatakan bahwa sifat semua gas nyata juga sama asalkan
tekanan, volume
dan suhu dinyatakan dalam tekanan tereduksi , volume tereduksip
vvk
dan suhu tereduksi Tn TTk. Dalam besaran-besaran tereduksi ini,
maka semua
gas nyata mengikuti persamaan keadaan f+ 7 0 yang tidak lagi
mengandung
tetapan pribadi. 4adi bidang keadaan tereduksi semua gas nyata
berimpit. 4ika dia
dari tiga besaran sama untuk berbagai gas, maka yang ketiga
pun
sama. 6ntuk gas (an der )aals, maka f+ dapat dijabarkan seperti
di bawah
ini.
4iika dimasukkan kedalam persamaan (an der waals, diperoleh
yang selanjutnya dapat disederhanakan menjadi
+%-%/
Persamaan ini tidak lagi mengandung tetapan individual dan
berlaku untuk
semua !at. Bukum keadaan bersesuaian berlaku lebih luas dan
lebih tepat dari
pada persamaan (an der )eaals. Bukum keadaan bersamaan berlaku
pula untuk
gas-gas yang bukangas (an der waals. 4adi untuk semua gas
berlaku f+ 7 0
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
21
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
22/58
yaitu persamaan keadaan tereduksi, yang tidak lagiiii mengandung
tetapan
individual, meskipun bentuknya lain dari Pers.+%-%/
2.14 D)agram +an "er /aals uhu B'le Tere"uks)
Telah dijabarkan persamaan keadaan (an der )aals terenduksi,
yaitu
Persamaan ini dapat diubah bentuknya menjadi
Selanjutnya ruas kiri dan ruas kanan dikalikan dengan
+%-&0
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
23/58
Dari rumus +%-%/
Dari kedua persamaan terakhir ini diperoleh
3edua ruas dikaitkan dengan memberikan
atau
+%-&"
Persamaan +%-&" melukiskan suatu parabola yang memotong
sumbu
di titik 0 dan / sedangkan puncaknya di titik +' . 6ntuk
membuktikan hal ini,
terlebih dahulu Pers. +%-&" diubah menjadi bentuk ,
yaitu
+%-&"
Perpotongan suatu grafik dengan sumbu berarti , sehingga
dari
persamaan terakhir ini diperoleh
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
23
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
24/58
Jang menghasilkan
Syarat maksimum ialah sehingga
Dan ini menghasilkan
#ila hasil ini dimasukkan ke dalam Pers. +%-&"a akan
diperoleh
Suhu #oyle tereduksi
9sotera tereduksi kritis
6ntuk , maka dari Pers.+%-%/
4adi isoterm adalah garis lurus dengan koefisien arah
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
24
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
25/58
2.11 5nth*6nth sal
%-". #erapakah tekanan yang ditumbulkan oleh & gram gas
nitrogen di dalam
bejana yang volumenya 2 liter pada suhu "o;$ Diketahui bobot
molekul nitrogen
% yang dianggap sebagai gas sempurna. ya tekananlah jawaban
dalam satuan
atmosfer das pascal.
Penyelesaian
8umus diubah menjadi , selanjutnya nilai-nilai yang
diketahui dimasukkan. 4adi
p %/0 3 7 0,2" atm
6ntuk menyatakan jawaban dalam pascal dapat dilakukan dengan dua
cara, yaitu
yang pertama hanya dengan mengalihkan jawaban di atas dengan
faktor
konversinya dan yang kedua dengan merubah dahulu semua satuan
yang diketahui
menjadi satuan S9.
;ara pertama
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
25
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
26/58
Dari hasil di atas, p 7 0,2" atm 7 0,2" : ",0"& %2 :
"02Pa
;ara kedua
47 & g 7 & : "0-& kg,47 % : "0-&kg mol-&, V7
2:"0-& m&
T 7 %/0 3 dan 8 7 ,&"' 4 mol-"3-", sehingga
P 7
>tau
%-%. Sebuah bejana volume % liter dilengkapi dengan kran, berisi
gas oksigen pada
suhu &00 3 dan tekanan " atm. Sistem dipanasi hingga suhunya
menjadi '00 3
dengan kran lalu ditutup dan bejana dibiarkan mending kembali
sampai suhu
semula. +a #erapakah tekanan akhir$ +b #erapa gram oksegin yang
masih
terdapat dalam bejana$
Penyelesaian +lihat
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
27/58
Pada proses dari keadaan +" ke adaaan +% sistem dipanaskan degan
kran tetap
terbuka. 9ni berarti bahwa tekanan tetap sama dengan tekanan
udara luar yaitu "
atm. (olume bejana karena dipanaskan tentunya kan bertambah,
tetapi perubahan
volume itu pastilah jauh lebih kecil dari angka % liter,
sehingga boleh diabaikan.
Dengan pula setelah mendingkan kembali volume tetap % liter.
3eadaan +% dan
+& mempunyai masa yang sama, sebab pada waktu mandingin kran
di tutup. Pada
keadaan +% dan +& berlaku
3alau persamaan pertama dibagi dengan persamaan kedua dengan
mengingat
bahwa , maka hasilnya adalah
4adi
6ntuk mencari massa yang masih terdapat dalam bejana kita dapat
menghitung
dari keadaan +% atau +&, yaitu keadaan setelah kran ditutup.
1isalkan dari
keadaan +&, yang dapat diubah menjadi .
4adi
m
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
27
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
28/58
BAB III
PERAMAAN !EADAAN
3.1 Turunan Pars)al %Panggu&
Persamaan keadaan suatu sistem , misalnya untuk sistem yang
terdiri atas satu mol gas, secara umum adalah 5 f
3arena variable-variabel +peubah-peubah itu dihubungkan oleh
satu
persamaan, maka hanya dua dari tiga variable +peubah itu adalah
variable bebas
+tak gayut dan yang ketiga adalah variabel tak bebas +gayut.
4ika dua dari ketiga
variabel itu diketahui maka yang ketiga dapat dihitung. Satu
variabel merupakan
fungsi dari dua variabel yang lain. 4adi dapat dipilih
f ? f ? f
Secara umum, untuk sembarang sistem, hubungan ketiga variabel
itu 5
f +&-"
1isalkan dipilih 5 f atau . 1enurut matematika 5
+&-%
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
28
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
29/58
>tau
+&-&
atau mempunyai arti bahwa fungsi tersebut diturunkan terhadap
dengan
menganggap sebagai tetapan, dan atau berarti bahwa fungsi itu
diturunkan
terhadap dengan menganggap sebagai tetapan. ;ara penulisan
seperti yang
tertera pada pers. +&-% dan +&-& adalah cara yang
biasa digunakan dalam bidang
matematika. Dalam termodinamika cara penulisannya agak berbeda,
yaitu bahwa
variabel yang dianggap sebagai tetapan dicantumkan sebagai
indeks.
4adi 5
+&-'
>tau
+&-2
Tentu saja juga dapat dianggap sebagai fungsi dan , sehingga
5
+&-*
4ika pers.+&-* dimasukkan ke dalam pers.+&-2 diperoleh
5
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
29
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
30/58
Jang dapat disusun menjadi 5
Dalam pers.+> ini sebagai variabel bebas adalah dan , karena
itu boleh
diberi nilai atau diberi perubahan nilai berapapun. 4ika dan ,
maka
ruas kanan menjadi nol sehingga ruas kiri pu harus sama dengan
nol, sebab ini
adalah suatu persamaan. Tetapi , jadi faktor dalam kurung di
ruas kiri
haruslah sama dengan nol, sehingga 5
>tau
>tau
+&-
4ika dari pers.+> di atas dan , maka ruas kiri 7 0
sehingga
ruas kanan pun harus 7 0. Tetapi karena maka 5
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
30
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
31/58
>tau
>tau
+&-
8umus +&- sering dinamakan sebagai rumus -". 8umus ini dapat
pula diubah
menjadi 5
Dengan menggunakan rumus +&-, maka persamaan di atas dapat
diubah lagi
menjadi 5
+&-/
8umus-rumus +&- sampai dengan +&-/ dapat diterapkan pada
system ,
seperti persamaan keadaan gas sempurna ataupun gas (an der
waals. 4adi 5
+&-"0
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
31
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
32/58
+&-""
+&-"%
8umus +&-"0 mudah diingat bila dianalogikan misalnya dengan
bilangan
&=2 yang sama dengan . Sementara itu tampaknya rumus
+&-"" lebih sulit
untuk diingat. amun dengan membayangkan bahwa ketiga variabel
dan
sebagai tiga titik yang terletak pada sebuah lingkaran dengan
jarak yang sama,
maka rumus itu mudah dituliskan. 4ika factor pertama dalam
kurung di ruas kiri
adalah , maka letakkanlah di puncak, di sebelah kiri bawah dan
di
sebelah kanan bawah. 6ntuk memperoleh factor kedua, putarlah
lingkaran itu
sekeliling sumbu di pusatnya sesuai dengan arah putaran jarum
jam, sehingga di
puncak, di kiri bawah dan di kanan bawah. Gactor kedua menjadi
.
Selanjutnya untuk memperoleh factor ketiga, lingkaran diputar
lagi sesuai dengan
arah perputaran jarum jam, sehingga di atas, di sebelah kiri
bawah dan di
sebelah kanan bawah. Gactor ketiga menjadi .
6ntuk menuliskan rumus +&-"%, perlu diingat bahwa turunan
parsial itu
dipecah menjadi dua buah turunan parsial, yang pertama sebagai
pembilang
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
32
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
33/58
+numerator dan yang kedua sebagai penyebut +denominator. Jang
diturunkan
+didiferensialkan baik pada pembilang atau pun penyebut adalah
variabel yang di
luar kurung atau yang dianggap sebagai tetapan pada ruas kiri.
Dalam rumus +&-
"% variabel yang di luar kurung adalah . 3emudian
diferensialkanlah terhadap
dua variabel lain di ruas kiri secara bersilang. 4adi untuk
pembilang
didiferensialkan terhadap dan untuk penyebut didiferensialkan
terhadap .
Dengan mengingat cara-cara seperti tersebut di atas itu maka
variasi ketiga
rumus itu mudah dibuat. 1isalnya 5
+&-"0a
+&-""a
+&-"%a
+&-"0b
+&-""b
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
33
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
34/58
+&-"%b
+&-
"0c
+&-
""c
+&-
"%c
Suatu variabel tertentu pada variabel-variabel takgayut yang
lain,
seringkali tidak dapat dinyatakan secara eksplisit, contohnya
ialah variabel v
+volume pada persamaan (an der )aals tidak dapat dibuat
eksplisit. 6ntuk
menghitung turunan parsial dari variabel ini harus digunakan
rumus seperti +&-"0
atau +&-"%. amun, jika tiga atau lebih variabel tidak dapat
dibuat eksplisit, maka
kedua rumus tersebut tidak dapat digunakan.
1isalkan secara umum5 f+N, J, A 7 0, didiferensialkan
menjadi
4ika A tidak berubah atau dA 7 0, maka
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
34
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
35/58
atau
+&-
"&a
+&-
"&b
+&-
"&c
4ika diterapkanpada sistem f+p, v, T 7 0, diperoleh
+&-
"'a
+&-
"'b
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
35
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
36/58
+&-
"'c
3.2 Penera$an Turunan Pars)al $a"a )stem Term")nam)ka
1isalnya untuk gasd sempurna yang persamaan keadaannya5 pv 7
8T.
+>
+#
Tampak bahwa persamaan +# adalah kebalikan dari persamaan
+>,
sesuai dengan rumus +&-"0. 8umus +&-"" dapat pula diuji
kebenarannya dengan
cara5
>pabila ketiganya dikalikan, maka hasilnya sama dengan -",
sesuai rumus
+&-"". Denganj cara yang sama dapat pula diuji kebenaran
rumus +&-"%.
8umus +&-"% dapat mengubah persamaan (an der )aals
menjadi5
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
36
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
37/58
4adi
Persoalan ini juga dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus
+&-"'b,
yang lebih bersifat umum daripada rumus +&-"%, sebab
variabel itu boleh eksplisit
boleh pula tidak. Secara lebih umum persamaan (an der )aals
dapat ditulis
menjadi
f+p,v,T 7 0
atau
Dan sesuai dengan rumus +&-"'b, maka
Disederhanakan menjadi
3.3 !e7)s)en Mua) !u8)k "an !etermam$atan
3oefisien muai kubik suatu !at didefinisikan sebagai
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
37
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
38/58
+&-
"2
+&-
"*
(ariabel ( dalam rumus +&-"2 adalah volume total, sedangkan
v dalam
rumus +&-"* adalah volume jenis, yaituvolume per kg atau
volume per mol.
adalah perubahan volume !at disebabkan karena suhunya
berubah
dengan . 6ntuk gas sempurna , sehingga
6ntuk gas (an der )aals, telah dihitung di atas , sehingga
+&-
"
atau
+&-
"
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
38
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
39/58
Dari definisi tersebut, satuan adalah 3-".
4ika suatu sistem menjalani proses isobarik yang kecil, misalkan
keadaan
awal ditentukan oleh suhu T dan volume ( dan keadaan akhir
ditentukan oleh
suhu T H dT dan volume ( H d(, keduanya pada tekanan yang
sama.
3oefisien muai volume dapat ditulis sebagai
+&-
"/
atau
+&-
%0
4adi, koefisien muai volume dapat dinyatakan sebagai nilai limit
dari
perubahan volume fraksional atau per satuan perubahan suhu pada
tekanan
tetap. 3oefisien muai volume rata-rata di dalam selang suhu
tertentu antara T"
dan T% didefinisikan sebagai
+&-
%"
Pada umumya koefisien muai volume adalah fungsi suhu dan
tekanan.
Ternyata koefisien ini mendekati nol ketika suhunya mendekati
03. Tabel tentang
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
39
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
40/58
sifat-sifat !at biasanya mencantumkan juga koefisien linier I
!at padat yang
dihubungkan dengan O oleh persamaan
O 7 &I +&-%%
3etermampatan isotermal5 suatu !at didefinisikan sebagai5
+&-
%&
atau
+&-
%'
Tanda negatif mengingatkan bahwa volume selalu berkurang
dengan
kenaikan tekanan. 4adi negatif, sehingga5 menjadi positif.
Satuan5 dalam
S9 adalah Pa-"atau m%=.
6ntuk gas sempurnapv 0Tatau . 4adi
atau
+&-
%2
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
40
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
41/58
3etermampatan rata-rata didefinisikan sebagai
+&-
%*
6ntik gas (an der )aals, karena v tak dapat dibuat eksplisit,
maka untuk
menghitungnya perlu digunakan rumus +&-"0atau +&-"% atau
rumus yang lebih
umum yaitu rumus +&-"'b. hasilnya yaitu
+&-
%
6tuk !at cair dan !at padat, O dan 5 tak dapat ditentukan
daripersamaan
keadaannya, tetapi harus dengan eksperimen. Ternyata keduanya
dalah fungsi dari
tekanan dan suhu. 4adi
Ditinjau suatu sistem p-(-T dan dipilih ( 7 (+p,T. 4ika
dideferensialkan
diperoleh
+&-
%
atau
+&-
%/
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
41
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
42/58
4ika O dan5diketahui sebagai fungsi suhu dan tekanan, maka
persamaan
keadaannya dapat ditentukan dnegan pengintegralan. 1isalkan
untuk gas pada
tekanan rendah telah dikemukakan jik dimasukkan pada
persamaan +&-%/, diperoleh
atau
4ika persamaan yang terakhir ini diintegralkan, akan
diperoleh5
atau
4ika tetapan itu diketahui sama dengan n8, maka persamaan itu
adalah
persamaan keadaan gas sempurna. 4ika persamaan +&-%/
diintegralkan dari suatu
keadaan +po, (o, To ke keadaan lain +p, (, T, maka diperoleh
4ika suhu dan tekanan berubah, perubahan volume !at cair dan !at
padat
adalah kecil bila suhu dan tekanan berubah, karena itu secara
pendekatan ( dapat
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
42
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
43/58
dianggap tetap dan sama dengan (o. Sementara itu O dan5adalah
bilangan kecil
dan juga dapat dianggap tetap, sehingga hasil integral persamaan
tersebut adalah
+&-
&0
4adi, dengan mengukuir O dan 5 ditambah dengan apa yang
diketahui
tentang nilai pada keadaan acuan, maka cukuplah untuk
menentukan
persamaan keadaan !at cair dan padat secara pendekatan.
3.( D)7erens)al Eksak
4ika variabel-variabel N, J dan A terdapat hubungan A 7 f+N, J,
sehingga
dapat diturunkan
atau
dengan
1aka apabila A dan turunan-turunannya malr +kontinu lagipula
dipenuhi
hubungan
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
43
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
44/58
+&-
&"
dA disebut diferensial eksak.
>gar pembahasan ini lebih bersifat umum, yaitu meliputi lebih
dari & variabel,
maka fungsi yang akan ditinjau adalah
+6$ 7$ 8$ '$ V$ W$ . . . 7 0 +&-&%
Dari hubungan ini dapat dipilih misalnya
W W+6$ 7$ 8$ '$ V$ . . . +&-&&
#ila dideferensialkan, maka hasilnya adalah
dW7 J, A, . . .d6H N, A,. . .d7H . . . .
&'
atau
dW 4dNH9 dJ HPdA H . . . .
&2
#ila : demikian pula turunan-turunannya malar, lagi pula
dipenuhi hubungan
N, A,. 7 J, A,... ? N, J,7 J, A,
N, J,7 N, A, dst.
1aka dW disebut diferensial eksak. Selanjutnya
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
44
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
45/58
N, A,7 A, 6,7 A, 6,
J, A,7 N, A,7 A, 6,
4adi
A, 6, 7 A, 6,
&*
9ni berarti bahwa nilai turunan parsial kedua campuran tidak
tergantung
pada urutan pendiferensialan. Dalam matematika diketahui bahwa
jika suatu
diferensial eksak diintegralkan, maka hasilnya hanya tergantung
pada batas
integral awal dan akhir saja, tidak tergantung pada jalan yang
dilalui. Cleh karenaitu apabila diintegralkan melalui lintasan yang
tertutup +keadaan akhir kembali
kekeadaan awal, maka hasilnya sama dengan nol. Di dalam
termodinamika
variabel-variabel sepertip$ V dan T adalah fungsi keadaan.
ilainya ditentukan
oleh keadaan system. Pada tiap keadaan seimbang ketiga variabel
itu mempunyai
nilai tertentu. Diferensialnya adalah diferensial eksak, sebab
kalau diintegralkan
hasilnya hanya ditentukan oleh keadaan awal dan keadaan akhir
saja. 3ecuali
besaran keadaan atau fungsi keadaan, di dalam termodinamika
terdapat pula
besaran yang bukan fungsi keadaan, misalnya bahan yang akan
diberi lambang ;
dan juga besaran kerja yang akan diberi lambang W. Dalam suatu
sistem yang
seimbang tak dapat ditanyakan berapa besar nilai ; dan W nya.
Pengertian kedua
besaran tersebut hanya timbul pada suatu proses atau perubahan
sistem dari satu
keadaan kekeadaan yang lain. Diferensialnya bukan diferensial
eksak, sebab kalau
diintegralkan nilainya tergantung juga pada jalan yang dilalui,
kecuali tergantung
pada keadaan awal dan akhir. Dengan perkataan lain nilainya
tergantung pada
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
45
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
46/58
jenis prosesnya. ambang d; dan dWbukan berarti diferensial dari
fungsi ; dan
W, melainkan hanyalah sejumlah kecil bahan dan sejumlah kecil
kerja yang
diperlukan atau yang timbul pada suatu proses tak terhingga
kecil.
6ntuk membedakan kedua jenis diferensial ini, akan digunakan
lambang d
untuk diferensial eksak dan Q untuk diferensial tak eksak.
1isalnya5 dp$ dV$dT$
Rpabila fungsi itu lebih sederhana, misalnya hanya terdiri atas
dua
variabel tak gayut saja, maka hubungan yang diperoleh juga lebih
sederhana.
1isalnya kalau+N, J, A 7 0, atau A 7 A+N, J, maka
dA 7 dN H dJ +&-&/
atau
dA 7 1 +N, J d6H +N, J d7 +&-'0
sehingga persyaratan agar d8 eksak adalah
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
46
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
47/58
7 +&-'"
Suatu diferensial tak eksak, apabila dibagi dengan suatu fungsi
dari salah
satu variabel tak gayut atau yang disebut penyebut
pengintegralkan +integrating
denominator, dapat berubah menjadi diferensial eksak, sebab
atau " -". Tetapi bila d8 dibagi dengan N%sebagai integrating
denominator,
maka hasilnya +namakan dW menjadi diferensial eksak. 4adi dW7 d6
-
d7$ maka dW adalah diferensial eksak, sebab bila diterapkan
persyaratan seperti
pada Pers +&-'", hasilnya adalah "=N%7 "=N%. >pabila d87
7 d6 6 d7$ maka
diferensial ini adalah eksak pula.
3., Hu8ungan La)n TurunanPars)al
Telah diketahui bahwa tenaga dakhil u adalah fungsi keadaan dan
untuk
gas variabel yang menentukan keadaan sistem adalah p$ V dan T.
Secara umum
namakanlah variabel keadaan itu :, y dan !. 4di u 7 u+:, y, !.
Tetapi karena
variabel-variabel itu dihubungan oleh satu persamaan, yaitu
persamaan
keadaannya, maka hanya dua variabel saja yang tak gayut. Dapat
kita pilih
misalnya u 7 u+:,y.
du 7 d: H dy +&-'%
Tetapi : adalah fungsi y dan !, sehingga perubahan : adalah
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
47
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
48/58
d: 7 dy H d! +&-'&
1asukkan Pers. +'-'& ke dalam Pers. +'-'%. 3ita akan
memperoleh
du 7 H dy
atau
du 7 dy H H d!
Tetapi sebagai fungsi y dan !, maka perubahan u adalah juga
du 7 dy H d!
3edua persamaan yang terakhir ini adalah identik, sehingga
7 +&-''
7 H +&-'2
8umus +&-'' mudah diingat bila dianalogikan dengan misalnya
bilangan
2=* yang sama dengan +2=%+%=*, jadi pembilang dan penyebut
dibagi dengan
bilangan yang sama, sementara itu variabel yang dianggap konstan
tetapsaja
+dalam rumus ialah 7. 8umus +&-'2 lebih sulit untuk diingat.
Pada ruas kanan
terdapat dua suku, dengan suku pertama terdiri atas dua faktor
dalam kurung dan
suku kedua terdiri atas satu faktor saja dalam kurung. Dua
faktor yang terdapat
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
48
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
49/58
pada suku pertama sama seperti pada rumus +&-'' tetapi
variabel yang dianggap
tetap diambilkan dari apa yang tertulis di bawah garis pembagi
pada ruas kiri
+7 dan8. Suku kedua sama seperti ruas kiri, tetapi variabel yang
dianggap tetap
adalah variabel yang belum terpakai +6.
#ila diterapkan dalam sistemp-v-T$ akan diperoleh
7 +&-''a
7 H +&-
'2a
7 +&-
''b
7 H +&-
'2b
7 +&-
''c
7 H +&-
'2c
3.- 5nth*5nth al
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
49
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
50/58
&-" +a #uktikanlah bahwa 7 . 6jilah kebenaran pernyataan di
+a dengan
menerapkannya pada +b gas sempurna dan +c gas (an der )aals.
Penyelesaian
+a Dari rumus yang sudah dibicarakan di atas,
7 7 - 7
+b Telah didapatkan untuk gas sempurna, = 7 dan : 7 . 4adi 7
.
Sementara itu 7 yang tentu saja sama dengan .
4adi pernyataan di +a benar untuk gas sempurna.
+c 6ntuk gas (an der )aals,
=7 dan : 7
4adi
7
Persamaan (an der )aals dapat diubah menjadi
p - sehingga
7 . Tampaklah bahwa pernyataan di +a pun
benar untuk gas (an der )aals.
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
50
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
51/58
&-% ;arilah untuk gas (an der )aals5 +a , +b dengan
menggunakan hasil yang diperoleh dari , +c . +d 6jilah
kebenaran rumus @ " dengan menghitung hasil kali +a, +b dan +c
soal ini.
Penyelesaian
Persaaan (an der )aals dapat ditulis5 p - , jadi
+a 7 - H 7
+b 7 7
7
4adi
7
+c 7
+d Perkalian ketiga hasil ini memberikan
7
7 -"
4adi rumus -" juga benar bila diterapkan pada gas (an der
)aals.
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
51
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
52/58
&-& #ila volume v adalah salah satu variabel di dalam
sistempvT gas sempurna,
buktikanlah bahwa integral dv dari keadaan > kekeadaan #
melalui dua jalan yang
berbeda +>-# dan +>-;-# memberikan hasil yang sama. ihat
gambar +'-" di
bawah ini.
Penyelesaian
Persamaan keadaan gas sempurna5pv 0T
dv7 dTH dP7 dT- dP +>
Persamaan garis >-# adalah
7
atau
T +p - p" T1 +#
sehingga
dT7 dP +;
Pers. +> dapat diubah menjadi
dv7 +p dT / T dP +D
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
52
T
T2
T1
# p1
p2
$
%
&
p
'. 41
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
53/58
4ika Pers. +# dan +; dimasukkan kedalam Pers. +D diperoleh
dv7 dp
7 dp
7 dp
dv 8 d +F
#ila Pers. +F ini diintegralkan dari keadaan " kekeadaan %,
diperoleh
7 Rv7 8
9ni dapat disederhanakan menjadi
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
53
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
54/58
9nilah perubahan nilai v jika langsung melalui garis lurus dari
> ke #. Sekarang
nilai perubahan v jika proses melalui garis >-; +proses
isotermal dan melalui
garis ;-# +proses isobarik. Dari persamaan
Diperoleh
4ika persamaan yang terakhir ini diintegralkan dari keadaan " ke
keadaan %
diperoleh
9ni akan menghasilkan
yatalah bahwa persamaan G dan < sama. 4afi integral dvtidak
tergantung pada
jalan yang dilalui, melainkan hanya pada keadaan awal dan akhir
saja. Dengan
perkataan lain, v adalah fungsi keadaan dan diferensialnya
adalah diferensial
eksak.
&-' #uktikanlah bahwa koefisien muai kubik = suatu !at padat
isotrop sama
dengan & kali koefisien muai liniernya.
#ukti
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
54
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
55/58
6ntuk sebuah batang yang tidak mengalami tegangan, hubungan
panjang pada
suhu T dan T0adalah
6ntuk !at padat, jika panjang, lebar dan tingginya adalah " , %
dan & ,
hubungan volumenya adalah
>tau
Sebab menurut matematika untuk Q ", maka +" H Qn7 " H nQ.
Rv 7 v @ v07 &I v0RT, atau . Dalam keadaan lima menit
dan
tanpa tekanan,
;ara lain
>tau
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
55
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
56/58
&-2 #uktikanlah bahwa koefisien muai volume dapat dinyatakan
sebagai
Dan keterampilan isotermal dapat dinyatakan sebagai
#esaran U adalah massa jenis atau kebalikan volume jenis v
#ukti
&-* Persamaan suatu gas secara pendekataan dinyatakan
sebagai
#uktikanlah bahwa
#ukti
Dari persamaan keadaannya dapat ditulis
4adi
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
56
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
57/58
&- #uktikanlah bahwa 5
#ukti
3arena dv adalah diferensial eksak, maka berlakulah
>tau
&- Suatu !at mempunyai nilai dan dengan a dan b tetapan.
+a #uktikanlah bahwa keadaannya
Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial DalamTermodinamika Page
57
-
5/21/2018 Persamaan Keadaan Dan Turunan Parsial Dalam
Termodinamika
58/58
+b 4ika pada p0dan suhu T0, volume jenis v0, tentukanlah ;.
Penyelesaian
(a)
4adi
#ila diintegralkan
Dan persamaan keadaannya
+b Dari data diatas, maka
DA9TAR PUTA!A
isika untuk A4 ?elas 6C. 4akarta5 Frlangga
8esnick, Balliday. "/.>isika edisi ?etiga @ilid 1.4akarta5
Frlangga
Soedojo, Peter. "//. (as-a(as Clmu >isika. Jogyakarta5